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Theorem stoweidlem57 29761
Description: There exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. In this theorem, it is proven the non-trivial case (the closed set D is nonempty). Here D is used to represent A in the paper, because the variable A is used for the subalgebra of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem57.1  |-  F/_ t D
stoweidlem57.2  |-  F/_ t U
stoweidlem57.3  |-  F/ t
ph
stoweidlem57.4  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
stoweidlem57.5  |-  V  =  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
stoweidlem57.6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem57.7  |-  T  = 
U. J
stoweidlem57.8  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem57.9  |-  U  =  ( T  \  B
)
stoweidlem57.10  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem57.11  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem57.12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem57.13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem57.14  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
stoweidlem57.15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem57.16  |-  ( ph  ->  B  e.  ( Clsd `  J ) )
stoweidlem57.17  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Clsd `  J ) )
stoweidlem57.18  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  D
)  =  (/) )
stoweidlem57.19  |-  ( ph  ->  D  =/=  (/) )
stoweidlem57.20  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem57.21  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem57  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
Distinct variable groups:    e, a,
f, t    q, a,
r, f, t, A    A, e, f, t    D, a, e, f    T, a, e, f, t    U, a, e, f    ph, a,
e, f    e, g, h, f, t, A    w, e, h, t, A    e, E, f, g, h, t   
g, r, h, A   
x, f, g, h, t, A    B, f,
g, r    f, V, g, r    f, Y, g, r    g, q, D    D, h, r    g, J, h, t    T, g, h, r    U, g, h, r    ph, g, h, r    w, r, E    A, q    D, q    T, q    U, q    ph, q    w, D    w, B    t, K    ph, w    w, J    w, T    w, U    w, Y    x, B    x, D    x, E    x, T
Allowed substitution hints:    ph( x, t)    B( t, e, h, q, a)    C( x, w, t, e, f, g, h, r, q, a)    D( t)    U( x, t)    E( q, a)    J( x, e, f, r, q, a)    K( x, w, e, f, g, h, r, q, a)    V( x, w, t, e, h, q, a)    Y( x, t, e, h, q, a)

Proof of Theorem stoweidlem57
Dummy variables  s  m  i  v  y  u  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem57.2 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t U
2 stoweidlem57.3 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t
ph
3 stoweidlem57.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t D
43nfcri 2571 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t  s  e.  D
52, 4nfan 1865 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( ph  /\  s  e.  D )
6 stoweidlem57.6 . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
7 stoweidlem57.10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
87adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  J  e.  Comp )
9 stoweidlem57.7 . . . . . . . . . 10  |-  T  = 
U. J
10 stoweidlem57.8 . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
11 stoweidlem57.11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
1211adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  A  C_  C )
13 stoweidlem57.12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
14133adant1r 1206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  D )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
15 stoweidlem57.13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
16153adant1r 1206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  D )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
17 stoweidlem57.14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
1817adantlr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  D )  /\  a  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  a )  e.  A )
19 stoweidlem57.15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
2019adantlr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  D )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
21 stoweidlem57.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  U  =  ( T  \  B
)
22 stoweidlem57.16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  ( Clsd `  J ) )
23 cmptop 18898 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
249iscld 18531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Top  ->  ( B  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( B  C_  T  /\  ( T 
\  B )  e.  J ) ) )
257, 23, 243syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( B  C_  T  /\  ( T  \  B )  e.  J ) ) )
2622, 25mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  C_  T  /\  ( T  \  B
)  e.  J ) )
2726simprd 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( T  \  B
)  e.  J )
2821, 27syl5eqel 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
2928adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  U  e.  J )
30 stoweidlem57.17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Clsd `  J ) )
319cldss 18533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( Clsd `  J
)  ->  D  C_  T
)
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  C_  T )
3332sselda 3353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  s  e.  T )
34 stoweidlem57.18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  D
)  =  (/) )
35 disjr 3717 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  i^i  D )  =  (/)  <->  A. s  e.  D  -.  s  e.  B
)
3634, 35sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. s  e.  D  -.  s  e.  B
)
3736r19.21bi 2812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  -.  s  e.  B )
3833, 37eldifd 3336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  s  e.  ( T  \  B
) )
3938, 21syl6eleqr 2532 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  s  e.  U )
401, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 29, 39stoweidlem56 29760 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  E. w  e.  J  ( (
s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )
41 simpl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  J  /\  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )  ->  w  e.  J )
42 simprll 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  J  /\  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )  -> 
s  e.  w )
43 simprr 751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  J  /\  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )  ->  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) )
44 stoweidlem57.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  V  =  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
4544rabeq2i 2967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  V  <->  ( w  e.  J  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )
4641, 43, 45sylanbrc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  J  /\  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )  ->  w  e.  V )
4741, 42, 46jca32 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  J  /\  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )  -> 
( w  e.  J  /\  ( s  e.  w  /\  w  e.  V
) ) )
4847reximi2 2820 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  J  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) )  ->  E. w  e.  J  ( s  e.  w  /\  w  e.  V
) )
49 rexex 2773 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  J  ( s  e.  w  /\  w  e.  V )  ->  E. w ( s  e.  w  /\  w  e.  V ) )
5040, 48, 493syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  E. w
( s  e.  w  /\  w  e.  V
) )
51 nfcv 2577 . . . . . . . . 9  |-  F/_ w
s
52 nfrab1 2899 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ w { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
5344, 52nfcxfr 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ w V
5451, 53elunif 29647 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  U. V  <->  E. w
( s  e.  w  /\  w  e.  V
) )
5550, 54sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  s  e.  U. V )
5655ex 434 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  D  ->  s  e.  U. V
) )
5756ssrdv 3359 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  C_  U. V )
58 cmpcld 18905 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  D  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  D )  e.  Comp )
597, 30, 58syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Jt  D )  e.  Comp )
607, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
619cmpsub 18903 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  D  C_  T )  -> 
( ( Jt  D )  e.  Comp  <->  A. k  e.  ~P  J ( D  C_  U. k  ->  E. u  e.  ( ~P k  i^i 
Fin ) D  C_  U. u ) ) )
6260, 32, 61syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  D )  e.  Comp  <->  A. k  e.  ~P  J ( D  C_  U. k  ->  E. u  e.  ( ~P k  i^i 
Fin ) D  C_  U. u ) ) )
6359, 62mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ~P  J ( D  C_  U. k  ->  E. u  e.  ( ~P k  i^i 
Fin ) D  C_  U. u ) )
64 ssrab2 3434 . . . . . . . 8  |-  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) }  C_  J
6544, 64eqsstri 3383 . . . . . . 7  |-  V  C_  J
6644, 7rabexd 4441 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
67 elpwg 3865 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  e.  ~P J  <->  V 
C_  J ) )
6866, 67syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( V  e.  ~P J 
<->  V  C_  J )
)
6965, 68mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  e.  ~P J
)
70 unieq 4096 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  V  ->  U. k  =  U. V )
7170sseq2d 3381 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  V  ->  ( D  C_  U. k  <->  D  C_  U. V
) )
72 pweq 3860 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  V  ->  ~P k  =  ~P V
)
7372ineq1d 3548 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  V  ->  ( ~P k  i^i  Fin )  =  ( ~P V  i^i  Fin ) )
7473rexeqdv 2922 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  V  ->  ( E. u  e.  ( ~P k  i^i  Fin ) D  C_  U. u  <->  E. u  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) D  C_  U. u
) )
7571, 74imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( k  =  V  ->  (
( D  C_  U. k  ->  E. u  e.  ( ~P k  i^i  Fin ) D  C_  U. u
)  <->  ( D  C_  U. V  ->  E. u  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) D  C_  U. u
) ) )
7675rspccva 3069 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  ~P  J ( D  C_  U. k  ->  E. u  e.  ( ~P k  i^i 
Fin ) D  C_  U. u )  /\  V  e.  ~P J )  -> 
( D  C_  U. V  ->  E. u  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) D  C_  U. u
) )
7763, 69, 76syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  C_  U. V  ->  E. u  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) D  C_  U. u
) )
7857, 77mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. u  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) D  C_  U. u
)
79 elin 3536 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  <->  ( u  e.  ~P V  /\  u  e.  Fin ) )
8079simplbi 457 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  u  e.  ~P V )
81 elpwi 3866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ~P V  ->  u  C_  V )
8281ssdifssd 3491 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ~P V  -> 
( u  \  { (/)
} )  C_  V
)
83 vex 2973 . . . . . . . . . . . 12  |-  u  e. 
_V
84 difexg 4437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  \  { (/) } )  e.  _V )
8583, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u 
\  { (/) } )  e.  _V
8685elpw 3863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  \  { (/) } )  e.  ~P V  <->  ( u  \  { (/) } )  C_  V )
8782, 86sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ~P V  -> 
( u  \  { (/)
} )  e.  ~P V )
8880, 87syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  (
u  \  { (/) } )  e.  ~P V )
8979simprbi 461 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  u  e.  Fin )
90 diffi 7539 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  Fin  ->  (
u  \  { (/) } )  e.  Fin )
9189, 90syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  (
u  \  { (/) } )  e.  Fin )
9288, 91elind 3537 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  (
u  \  { (/) } )  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) )
93923ad2ant2 1005 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  D  C_  U. u
)  ->  ( u  \  { (/) } )  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) )
94 unidif0 4462 . . . . . . . . 9  |-  U. (
u  \  { (/) } )  =  U. u
9594sseq2i 3378 . . . . . . . 8  |-  ( D 
C_  U. ( u  \  { (/) } )  <->  D  C_  U. u
)
9695biimpri 206 . . . . . . 7  |-  ( D 
C_  U. u  ->  D  C_ 
U. ( u  \  { (/) } ) )
97963ad2ant3 1006 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  D  C_  U. u
)  ->  D  C_  U. (
u  \  { (/) } ) )
98 eldifsni 3998 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ( u  \  { (/) } )  ->  w  =/=  (/) )
9998rgen 2779 . . . . . . 7  |-  A. w  e.  ( u  \  { (/)
} ) w  =/=  (/)
10099a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  D  C_  U. u
)  ->  A. w  e.  ( u  \  { (/)
} ) w  =/=  (/) )
101 unieq 4096 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( u  \  { (/) } )  ->  U. r  =  U. ( u  \  { (/) } ) )
102101sseq2d 3381 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( u  \  { (/) } )  -> 
( D  C_  U. r  <->  D 
C_  U. ( u  \  { (/) } ) ) )
103 raleq 2915 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( u  \  { (/) } )  -> 
( A. w  e.  r  w  =/=  (/)  <->  A. w  e.  ( u  \  { (/)
} ) w  =/=  (/) ) )
104102, 103anbi12d 705 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( u  \  { (/) } )  -> 
( ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) )  <->  ( D  C_  U. ( u  \  { (/)
} )  /\  A. w  e.  ( u  \  { (/) } ) w  =/=  (/) ) ) )
105104rspcev 3070 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  \  { (/)
} )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. ( u  \  { (/)
} )  /\  A. w  e.  ( u  \  { (/) } ) w  =/=  (/) ) )  ->  E. r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )
( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )
10693, 97, 100, 105syl12anc 1211 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  D  C_  U. u
)  ->  E. r  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )
107106rexlimdv3a 2841 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) D  C_  U. u  ->  E. r  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) ) )
10878, 107mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  E. r  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )
109 nfv 1678 . . . . . 6  |-  F/ h ph
110 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ h RR+
111 nfre1 2770 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ h E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) )
112110, 111nfral 2767 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ h A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
)
113 nfcv 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h J
114112, 113nfrab 2900 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ h { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
11544, 114nfcxfr 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ h V
116115nfpw 3869 . . . . . . . 8  |-  F/_ h ~P V
117 nfcv 2577 . . . . . . . 8  |-  F/_ h Fin
118116, 117nfin 3554 . . . . . . 7  |-  F/_ h
( ~P V  i^i  Fin )
119118nfcri 2571 . . . . . 6  |-  F/ h  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )
120 nfv 1678 . . . . . 6  |-  F/ h
( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) )
121109, 119, 120nf3an 1867 . . . . 5  |-  F/ h
( ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D 
C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )
122 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t RR+
123 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t A
124 nfra1 2764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )
125 nfra1 2764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ t A. t  e.  w  ( h `  t
)  <  e
126 nfra1 2764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t )
127124, 125, 126nf3an 1867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ t ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) )
128123, 127nfrex 2769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) )
129122, 128nfral 2767 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) )
130 nfcv 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t J
131129, 130nfrab 2900 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
13244, 131nfcxfr 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t V
133132nfpw 3869 . . . . . . . 8  |-  F/_ t ~P V
134 nfcv 2577 . . . . . . . 8  |-  F/_ t Fin
135133, 134nfin 3554 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( ~P V  i^i  Fin )
136135nfcri 2571 . . . . . 6  |-  F/ t  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )
137 nfcv 2577 . . . . . . . 8  |-  F/_ t U. r
1383, 137nfss 3346 . . . . . . 7  |-  F/ t  D  C_  U. r
139 nfv 1678 . . . . . . 7  |-  F/ t A. w  e.  r  w  =/=  (/)
140138, 139nfan 1865 . . . . . 6  |-  F/ t ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) )
1412, 136, 140nf3an 1867 . . . . 5  |-  F/ t ( ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D 
C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )
142 nfv 1678 . . . . . 6  |-  F/ w ph
14353nfpw 3869 . . . . . . . 8  |-  F/_ w ~P V
144 nfcv 2577 . . . . . . . 8  |-  F/_ w Fin
145143, 144nfin 3554 . . . . . . 7  |-  F/_ w
( ~P V  i^i  Fin )
146145nfcri 2571 . . . . . 6  |-  F/ w  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )
147 nfv 1678 . . . . . . 7  |-  F/ w  D  C_  U. r
148 nfra1 2764 . . . . . . 7  |-  F/ w A. w  e.  r  w  =/=  (/)
149147, 148nfan 1865 . . . . . 6  |-  F/ w
( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) )
150142, 146, 149nf3an 1867 . . . . 5  |-  F/ w
( ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D 
C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )
151 stoweidlem57.4 . . . . 5  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
152 simp2 984 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) )
153 simp3l 1011 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  D  C_ 
U. r )
154 stoweidlem57.19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  =/=  (/) )
1551543ad2ant1 1004 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  D  =/=  (/) )
156 stoweidlem57.20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
1571563ad2ant1 1004 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  E  e.  RR+ )
15826simpld 456 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
1591583ad2ant1 1004 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  B  C_  T )
160663ad2ant1 1004 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  V  e.  _V )
161 retop 20240 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
1626, 161eqeltri 2511 . . . . . . . 8  |-  K  e. 
Top
163 cnfex 29659 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K
)  e.  _V )
16460, 162, 163sylancl 657 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J  Cn  K
)  e.  _V )
16511, 10syl6sseq 3399 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
166164, 165ssexd 4436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
1671663ad2ant1 1004 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  A  e.  _V )
168121, 141, 150, 21, 151, 44, 152, 153, 155, 157, 159, 160, 167stoweidlem39 29743 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  E. m  e.  NN  E. v ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )
169168rexlimdv3a 2841 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) )  ->  E. m  e.  NN  E. v ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) ) )
170108, 169mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  E. v ( v : ( 1 ... m
) --> V  /\  D  C_ 
U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )
171 nfv 1678 . . . . . . 7  |-  F/ i ( ph  /\  m  e.  NN )
172 nfv 1678 . . . . . . . 8  |-  F/ i  v : ( 1 ... m ) --> V
173 nfv 1678 . . . . . . . 8  |-  F/ i  D  C_  U. ran  v
174 nfv 1678 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  y : ( 1 ... m ) --> Y
175 nfra1 2764 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )
176174, 175nfan 1865 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
177176nfex 1878 . . . . . . . 8  |-  F/ i E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
178172, 173, 177nf3an 1867 . . . . . . 7  |-  F/ i ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
179171, 178nfan 1865 . . . . . 6  |-  F/ i ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )
180 nfv 1678 . . . . . . . 8  |-  F/ t  m  e.  NN
1812, 180nfan 1865 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ph  /\  m  e.  NN )
182 nfcv 2577 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
v
183 nfcv 2577 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( 1 ... m
)
184182, 183, 132nff 5552 . . . . . . . 8  |-  F/ t  v : ( 1 ... m ) --> V
185 nfcv 2577 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t U. ran  v
1863, 185nfss 3346 . . . . . . . 8  |-  F/ t  D  C_  U. ran  v
187 nfcv 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
y
188124, 123nfrab 2900 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
189151, 188nfcxfr 2574 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t Y
190187, 183, 189nff 5552 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t  y : ( 1 ... m ) --> Y
191 nfra1 2764 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )
192 nfra1 2764 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t )
193191, 192nfan 1865 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )
194183, 193nfral 2767 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )
195190, 194nfan 1865 . . . . . . . . 9  |-  F/ t ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
196195nfex 1878 . . . . . . . 8  |-  F/ t E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
197184, 186, 196nf3an 1867 . . . . . . 7  |-  F/ t ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
198181, 197nfan 1865 . . . . . 6  |-  F/ t ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )
199 nfv 1678 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ph  /\  m  e.  NN )
200 nfv 1678 . . . . . . . 8  |-  F/ y  v : ( 1 ... m ) --> V
201 nfv 1678 . . . . . . . 8  |-  F/ y  D  C_  U. ran  v
202 nfe1 1783 . . . . . . . 8  |-  F/ y E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
203200, 201, 202nf3an 1867 . . . . . . 7  |-  F/ y ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
204199, 203nfan 1865 . . . . . 6  |-  F/ y ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )
205 nfv 1678 . . . . . . 7  |-  F/ w
( ph  /\  m  e.  NN )
206 nfcv 2577 . . . . . . . . 9  |-  F/_ w
v
207 nfcv 2577 . . . . . . . . 9  |-  F/_ w
( 1 ... m
)
208206, 207, 53nff 5552 . . . . . . . 8  |-  F/ w  v : ( 1 ... m ) --> V
209 nfv 1678 . . . . . . . 8  |-  F/ w  D  C_  U. ran  v
210 nfv 1678 . . . . . . . 8  |-  F/ w E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
211208, 209, 210nf3an 1867 . . . . . . 7  |-  F/ w
( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
212205, 211nfan 1865 . . . . . 6  |-  F/ w
( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )
213 eqid 2441 . . . . . 6  |-  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
214 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( f  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) } , 
g  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) ) )  =  ( f  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) } , 
g  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) ) )
215 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... m )  |->  ( ( y `  i ) `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... m )  |->  ( ( y `  i ) `
 t ) ) )
216 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( t  e.  T  |->  (  seq 1 (  x.  , 
( ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... m
)  |->  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) `
 t ) ) `
 m ) )  =  ( t  e.  T  |->  (  seq 1
(  x.  ,  ( ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... m ) 
|->  ( ( y `  i ) `  t
) ) ) `  t ) ) `  m ) )
217 simp1ll 1046 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ph )
218217, 15syld3an1 1259 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
219 simplll 752 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  /\  f  e.  A )  ->  ph )
22011sselda 3353 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  C )
2216, 9, 10, 220fcnre 29656 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
222219, 221sylancom 662 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
223 simplr 749 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
224 simpr1 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  v : ( 1 ... m ) --> V )
2259cldss 18533 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  B  C_  T
)
22622, 225syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
227226ad2antrr 720 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  B  C_  T )
228 simpr2 990 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  D  C_ 
U. ran  v )
22932ad2antrr 720 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  D  C_  T )
230 feq3 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  ->  ( y : ( 1 ... m ) --> Y  <-> 
y : ( 1 ... m ) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) } ) )
231151, 230ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y : ( 1 ... m ) --> Y  <->  y :
( 1 ... m
) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) } )
232231biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( y : ( 1 ... m ) --> Y  -> 
y : ( 1 ... m ) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) } )
233232anim1i 565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )  ->  ( y : ( 1 ... m
) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
234233eximi 1630 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )  ->  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
2352343ad2ant3 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  E. y
( y : ( 1 ... m ) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
236235adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  E. y
( y : ( 1 ... m ) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
237 uniexg 6376 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Comp  ->  U. J  e.  _V )
2387, 237syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. J  e.  _V )
2399, 238syl5eqel 2525 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
240239ad2antrr 720 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  T  e.  _V )
241156ad2antrr 720 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  E  e.  RR+ )
242 stoweidlem57.21 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
243242ad2antrr 720 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364   E.wex 1591   F/wnf 1594    e. wcel 1761   F/_wnfc 2564    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   {csn 3874   U.cuni 4088   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   ran crn 4837   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   Fincfn 7306   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   NNcn 10318   3c3 10368   RR+crp 10987   (,)cioo 11296   ...cfz 11433    seqcseq 11802   ↾t crest 14355   topGenctg 14372   Topctop 18398   Clsdccld 18520    Cn ccn 18728   Compccmp 18889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-cnfld 17719  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-cld 18523  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-cmp 18890  df-tx 19035  df-hmeo 19228  df-xms 19795  df-ms 19796  df-tms 19797
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