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Theorem stoweidlem57 29852
Description: There exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. In this theorem, it is proven the non-trivial case (the closed set D is nonempty). Here D is used to represent A in the paper, because the variable A is used for the subalgebra of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem57.1  |-  F/_ t D
stoweidlem57.2  |-  F/_ t U
stoweidlem57.3  |-  F/ t
ph
stoweidlem57.4  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
stoweidlem57.5  |-  V  =  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
stoweidlem57.6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem57.7  |-  T  = 
U. J
stoweidlem57.8  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem57.9  |-  U  =  ( T  \  B
)
stoweidlem57.10  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem57.11  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem57.12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem57.13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem57.14  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
stoweidlem57.15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem57.16  |-  ( ph  ->  B  e.  ( Clsd `  J ) )
stoweidlem57.17  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Clsd `  J ) )
stoweidlem57.18  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  D
)  =  (/) )
stoweidlem57.19  |-  ( ph  ->  D  =/=  (/) )
stoweidlem57.20  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem57.21  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem57  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
Distinct variable groups:    e, a,
f, t    q, a,
r, f, t, A    A, e, f, t    D, a, e, f    T, a, e, f, t    U, a, e, f    ph, a,
e, f    e, g, h, f, t, A    w, e, h, t, A    e, E, f, g, h, t   
g, r, h, A   
x, f, g, h, t, A    B, f,
g, r    f, V, g, r    f, Y, g, r    g, q, D    D, h, r    g, J, h, t    T, g, h, r    U, g, h, r    ph, g, h, r    w, r, E    A, q    D, q    T, q    U, q    ph, q    w, D    w, B    t, K    ph, w    w, J    w, T    w, U    w, Y    x, B    x, D    x, E    x, T
Allowed substitution hints:    ph( x, t)    B( t, e, h, q, a)    C( x, w, t, e, f, g, h, r, q, a)    D( t)    U( x, t)    E( q, a)    J( x, e, f, r, q, a)    K( x, w, e, f, g, h, r, q, a)    V( x, w, t, e, h, q, a)    Y( x, t, e, h, q, a)

Proof of Theorem stoweidlem57
Dummy variables  s  m  i  v  y  u  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem57.2 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t U
2 stoweidlem57.3 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t
ph
3 stoweidlem57.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t D
43nfcri 2573 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t  s  e.  D
52, 4nfan 1861 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( ph  /\  s  e.  D )
6 stoweidlem57.6 . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
7 stoweidlem57.10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
87adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  J  e.  Comp )
9 stoweidlem57.7 . . . . . . . . . 10  |-  T  = 
U. J
10 stoweidlem57.8 . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
11 stoweidlem57.11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
1211adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  A  C_  C )
13 stoweidlem57.12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
14133adant1r 1211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  D )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
15 stoweidlem57.13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
16153adant1r 1211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  D )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
17 stoweidlem57.14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
1817adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  D )  /\  a  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  a )  e.  A )
19 stoweidlem57.15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
2019adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  D )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
21 stoweidlem57.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  U  =  ( T  \  B
)
22 stoweidlem57.16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  ( Clsd `  J ) )
23 cmptop 18998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
249iscld 18631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Top  ->  ( B  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( B  C_  T  /\  ( T 
\  B )  e.  J ) ) )
257, 23, 243syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( B  C_  T  /\  ( T  \  B )  e.  J ) ) )
2622, 25mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  C_  T  /\  ( T  \  B
)  e.  J ) )
2726simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( T  \  B
)  e.  J )
2821, 27syl5eqel 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
2928adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  U  e.  J )
30 stoweidlem57.17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Clsd `  J ) )
319cldss 18633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( Clsd `  J
)  ->  D  C_  T
)
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  C_  T )
3332sselda 3356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  s  e.  T )
34 stoweidlem57.18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  D
)  =  (/) )
35 disjr 3720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  i^i  D )  =  (/)  <->  A. s  e.  D  -.  s  e.  B
)
3634, 35sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. s  e.  D  -.  s  e.  B
)
3736r19.21bi 2814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  -.  s  e.  B )
3833, 37eldifd 3339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  s  e.  ( T  \  B
) )
3938, 21syl6eleqr 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  s  e.  U )
401, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 29, 39stoweidlem56 29851 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  E. w  e.  J  ( (
s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )
41 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  J  /\  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )  ->  w  e.  J )
42 simprll 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  J  /\  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )  -> 
s  e.  w )
43 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  J  /\  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )  ->  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) )
44 stoweidlem57.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  V  =  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
4544rabeq2i 2969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  V  <->  ( w  e.  J  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )
4641, 43, 45sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  J  /\  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )  ->  w  e.  V )
4741, 42, 46jca32 535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  J  /\  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )  -> 
( w  e.  J  /\  ( s  e.  w  /\  w  e.  V
) ) )
4847reximi2 2822 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  J  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) )  ->  E. w  e.  J  ( s  e.  w  /\  w  e.  V
) )
49 rexex 2775 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  J  ( s  e.  w  /\  w  e.  V )  ->  E. w ( s  e.  w  /\  w  e.  V ) )
5040, 48, 493syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  E. w
( s  e.  w  /\  w  e.  V
) )
51 nfcv 2579 . . . . . . . . 9  |-  F/_ w
s
52 nfrab1 2901 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ w { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
5344, 52nfcxfr 2576 . . . . . . . . 9  |-  F/_ w V
5451, 53elunif 29738 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  U. V  <->  E. w
( s  e.  w  /\  w  e.  V
) )
5550, 54sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  D )  ->  s  e.  U. V )
5655ex 434 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  D  ->  s  e.  U. V
) )
5756ssrdv 3362 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  C_  U. V )
58 cmpcld 19005 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  D  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  D )  e.  Comp )
597, 30, 58syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Jt  D )  e.  Comp )
607, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
619cmpsub 19003 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  D  C_  T )  -> 
( ( Jt  D )  e.  Comp  <->  A. k  e.  ~P  J ( D  C_  U. k  ->  E. u  e.  ( ~P k  i^i 
Fin ) D  C_  U. u ) ) )
6260, 32, 61syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  D )  e.  Comp  <->  A. k  e.  ~P  J ( D  C_  U. k  ->  E. u  e.  ( ~P k  i^i 
Fin ) D  C_  U. u ) ) )
6359, 62mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ~P  J ( D  C_  U. k  ->  E. u  e.  ( ~P k  i^i 
Fin ) D  C_  U. u ) )
64 ssrab2 3437 . . . . . . . 8  |-  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) }  C_  J
6544, 64eqsstri 3386 . . . . . . 7  |-  V  C_  J
6644, 7rabexd 4444 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
67 elpwg 3868 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  e.  ~P J  <->  V 
C_  J ) )
6866, 67syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( V  e.  ~P J 
<->  V  C_  J )
)
6965, 68mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  e.  ~P J
)
70 unieq 4099 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  V  ->  U. k  =  U. V )
7170sseq2d 3384 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  V  ->  ( D  C_  U. k  <->  D  C_  U. V
) )
72 pweq 3863 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  V  ->  ~P k  =  ~P V
)
7372ineq1d 3551 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  V  ->  ( ~P k  i^i  Fin )  =  ( ~P V  i^i  Fin ) )
7473rexeqdv 2924 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  V  ->  ( E. u  e.  ( ~P k  i^i  Fin ) D  C_  U. u  <->  E. u  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) D  C_  U. u
) )
7571, 74imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( k  =  V  ->  (
( D  C_  U. k  ->  E. u  e.  ( ~P k  i^i  Fin ) D  C_  U. u
)  <->  ( D  C_  U. V  ->  E. u  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) D  C_  U. u
) ) )
7675rspccva 3072 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  ~P  J ( D  C_  U. k  ->  E. u  e.  ( ~P k  i^i 
Fin ) D  C_  U. u )  /\  V  e.  ~P J )  -> 
( D  C_  U. V  ->  E. u  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) D  C_  U. u
) )
7763, 69, 76syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  C_  U. V  ->  E. u  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) D  C_  U. u
) )
7857, 77mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. u  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) D  C_  U. u
)
79 elin 3539 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  <->  ( u  e.  ~P V  /\  u  e.  Fin ) )
8079simplbi 460 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  u  e.  ~P V )
81 elpwi 3869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ~P V  ->  u  C_  V )
8281ssdifssd 3494 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ~P V  -> 
( u  \  { (/)
} )  C_  V
)
83 vex 2975 . . . . . . . . . . . 12  |-  u  e. 
_V
84 difexg 4440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  \  { (/) } )  e.  _V )
8583, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u 
\  { (/) } )  e.  _V
8685elpw 3866 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  \  { (/) } )  e.  ~P V  <->  ( u  \  { (/) } )  C_  V )
8782, 86sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ~P V  -> 
( u  \  { (/)
} )  e.  ~P V )
8880, 87syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  (
u  \  { (/) } )  e.  ~P V )
8979simprbi 464 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  u  e.  Fin )
90 diffi 7543 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  Fin  ->  (
u  \  { (/) } )  e.  Fin )
9189, 90syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  (
u  \  { (/) } )  e.  Fin )
9288, 91elind 3540 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  (
u  \  { (/) } )  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) )
93923ad2ant2 1010 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  D  C_  U. u
)  ->  ( u  \  { (/) } )  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) )
94 unidif0 4465 . . . . . . . . 9  |-  U. (
u  \  { (/) } )  =  U. u
9594sseq2i 3381 . . . . . . . 8  |-  ( D 
C_  U. ( u  \  { (/) } )  <->  D  C_  U. u
)
9695biimpri 206 . . . . . . 7  |-  ( D 
C_  U. u  ->  D  C_ 
U. ( u  \  { (/) } ) )
97963ad2ant3 1011 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  D  C_  U. u
)  ->  D  C_  U. (
u  \  { (/) } ) )
98 eldifsni 4001 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ( u  \  { (/) } )  ->  w  =/=  (/) )
9998rgen 2781 . . . . . . 7  |-  A. w  e.  ( u  \  { (/)
} ) w  =/=  (/)
10099a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  D  C_  U. u
)  ->  A. w  e.  ( u  \  { (/)
} ) w  =/=  (/) )
101 unieq 4099 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( u  \  { (/) } )  ->  U. r  =  U. ( u  \  { (/) } ) )
102101sseq2d 3384 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( u  \  { (/) } )  -> 
( D  C_  U. r  <->  D 
C_  U. ( u  \  { (/) } ) ) )
103 raleq 2917 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( u  \  { (/) } )  -> 
( A. w  e.  r  w  =/=  (/)  <->  A. w  e.  ( u  \  { (/)
} ) w  =/=  (/) ) )
104102, 103anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( u  \  { (/) } )  -> 
( ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) )  <->  ( D  C_  U. ( u  \  { (/)
} )  /\  A. w  e.  ( u  \  { (/) } ) w  =/=  (/) ) ) )
105104rspcev 3073 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  \  { (/)
} )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. ( u  \  { (/)
} )  /\  A. w  e.  ( u  \  { (/) } ) w  =/=  (/) ) )  ->  E. r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )
( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )
10693, 97, 100, 105syl12anc 1216 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  D  C_  U. u
)  ->  E. r  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )
107106rexlimdv3a 2843 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) D  C_  U. u  ->  E. r  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) ) )
10878, 107mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  E. r  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )
109 nfv 1673 . . . . . 6  |-  F/ h ph
110 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ h RR+
111 nfre1 2772 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ h E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) )
112110, 111nfral 2769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ h A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
)
113 nfcv 2579 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h J
114112, 113nfrab 2902 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ h { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
11544, 114nfcxfr 2576 . . . . . . . . 9  |-  F/_ h V
116115nfpw 3872 . . . . . . . 8  |-  F/_ h ~P V
117 nfcv 2579 . . . . . . . 8  |-  F/_ h Fin
118116, 117nfin 3557 . . . . . . 7  |-  F/_ h
( ~P V  i^i  Fin )
119118nfcri 2573 . . . . . 6  |-  F/ h  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )
120 nfv 1673 . . . . . 6  |-  F/ h
( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) )
121109, 119, 120nf3an 1863 . . . . 5  |-  F/ h
( ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D 
C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )
122 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t RR+
123 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t A
124 nfra1 2766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )
125 nfra1 2766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ t A. t  e.  w  ( h `  t
)  <  e
126 nfra1 2766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t )
127124, 125, 126nf3an 1863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ t ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) )
128123, 127nfrex 2771 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) )
129122, 128nfral 2769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) )
130 nfcv 2579 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t J
131129, 130nfrab 2902 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
13244, 131nfcxfr 2576 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t V
133132nfpw 3872 . . . . . . . 8  |-  F/_ t ~P V
134 nfcv 2579 . . . . . . . 8  |-  F/_ t Fin
135133, 134nfin 3557 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( ~P V  i^i  Fin )
136135nfcri 2573 . . . . . 6  |-  F/ t  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )
137 nfcv 2579 . . . . . . . 8  |-  F/_ t U. r
1383, 137nfss 3349 . . . . . . 7  |-  F/ t  D  C_  U. r
139 nfv 1673 . . . . . . 7  |-  F/ t A. w  e.  r  w  =/=  (/)
140138, 139nfan 1861 . . . . . 6  |-  F/ t ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) )
1412, 136, 140nf3an 1863 . . . . 5  |-  F/ t ( ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D 
C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )
142 nfv 1673 . . . . . 6  |-  F/ w ph
14353nfpw 3872 . . . . . . . 8  |-  F/_ w ~P V
144 nfcv 2579 . . . . . . . 8  |-  F/_ w Fin
145143, 144nfin 3557 . . . . . . 7  |-  F/_ w
( ~P V  i^i  Fin )
146145nfcri 2573 . . . . . 6  |-  F/ w  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )
147 nfv 1673 . . . . . . 7  |-  F/ w  D  C_  U. r
148 nfra1 2766 . . . . . . 7  |-  F/ w A. w  e.  r  w  =/=  (/)
149147, 148nfan 1861 . . . . . 6  |-  F/ w
( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) )
150142, 146, 149nf3an 1863 . . . . 5  |-  F/ w
( ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D 
C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )
151 stoweidlem57.4 . . . . 5  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
152 simp2 989 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) )
153 simp3l 1016 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  D  C_ 
U. r )
154 stoweidlem57.19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  =/=  (/) )
1551543ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  D  =/=  (/) )
156 stoweidlem57.20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
1571563ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  E  e.  RR+ )
15826simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
1591583ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  B  C_  T )
160663ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  V  e.  _V )
161 retop 20340 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
1626, 161eqeltri 2513 . . . . . . . 8  |-  K  e. 
Top
163 cnfex 29750 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K
)  e.  _V )
16460, 162, 163sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J  Cn  K
)  e.  _V )
16511, 10syl6sseq 3402 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
166164, 165ssexd 4439 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
1671663ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  A  e.  _V )
168121, 141, 150, 21, 151, 44, 152, 153, 155, 157, 159, 160, 167stoweidlem39 29834 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) ) )  ->  E. m  e.  NN  E. v ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )
169168rexlimdv3a 2843 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ( D  C_  U. r  /\  A. w  e.  r  w  =/=  (/) )  ->  E. m  e.  NN  E. v ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) ) )
170108, 169mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  E. v ( v : ( 1 ... m
) --> V  /\  D  C_ 
U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )
171 nfv 1673 . . . . . . 7  |-  F/ i ( ph  /\  m  e.  NN )
172 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ i  v : ( 1 ... m ) --> V
173 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ i  D  C_  U. ran  v
174 nfv 1673 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  y : ( 1 ... m ) --> Y
175 nfra1 2766 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )
176174, 175nfan 1861 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
177176nfex 1874 . . . . . . . 8  |-  F/ i E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
178172, 173, 177nf3an 1863 . . . . . . 7  |-  F/ i ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
179171, 178nfan 1861 . . . . . 6  |-  F/ i ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )
180 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ t  m  e.  NN
1812, 180nfan 1861 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ph  /\  m  e.  NN )
182 nfcv 2579 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
v
183 nfcv 2579 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( 1 ... m
)
184182, 183, 132nff 5555 . . . . . . . 8  |-  F/ t  v : ( 1 ... m ) --> V
185 nfcv 2579 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t U. ran  v
1863, 185nfss 3349 . . . . . . . 8  |-  F/ t  D  C_  U. ran  v
187 nfcv 2579 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
y
188124, 123nfrab 2902 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
189151, 188nfcxfr 2576 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t Y
190187, 183, 189nff 5555 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t  y : ( 1 ... m ) --> Y
191 nfra1 2766 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )
192 nfra1 2766 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t )
193191, 192nfan 1861 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )
194183, 193nfral 2769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )
195190, 194nfan 1861 . . . . . . . . 9  |-  F/ t ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
196195nfex 1874 . . . . . . . 8  |-  F/ t E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
197184, 186, 196nf3an 1863 . . . . . . 7  |-  F/ t ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
198181, 197nfan 1861 . . . . . 6  |-  F/ t ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )
199 nfv 1673 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ph  /\  m  e.  NN )
200 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ y  v : ( 1 ... m ) --> V
201 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ y  D  C_  U. ran  v
202 nfe1 1778 . . . . . . . 8  |-  F/ y E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
203200, 201, 202nf3an 1863 . . . . . . 7  |-  F/ y ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
204199, 203nfan 1861 . . . . . 6  |-  F/ y ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )
205 nfv 1673 . . . . . . 7  |-  F/ w
( ph  /\  m  e.  NN )
206 nfcv 2579 . . . . . . . . 9  |-  F/_ w
v
207 nfcv 2579 . . . . . . . . 9  |-  F/_ w
( 1 ... m
)
208206, 207, 53nff 5555 . . . . . . . 8  |-  F/ w  v : ( 1 ... m ) --> V
209 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ w  D  C_  U. ran  v
210 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ w E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
211208, 209, 210nf3an 1863 . . . . . . 7  |-  F/ w
( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
212205, 211nfan 1861 . . . . . 6  |-  F/ w
( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )
213 eqid 2443 . . . . . 6  |-  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
214 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( f  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) } , 
g  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) ) )  =  ( f  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) } , 
g  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) ) )
215 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... m )  |->  ( ( y `  i ) `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... m )  |->  ( ( y `  i ) `
 t ) ) )
216 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( t  e.  T  |->  (  seq 1 (  x.  , 
( ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... m
)  |->  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) `
 t ) ) `
 m ) )  =  ( t  e.  T  |->  (  seq 1
(  x.  ,  ( ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... m ) 
|->  ( ( y `  i ) `  t
) ) ) `  t ) ) `  m ) )
217 simp1ll 1051 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ph )
218217, 15syld3an1 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
219 simplll 757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  /\  f  e.  A )  ->  ph )
22011sselda 3356 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  C )
2216, 9, 10, 220fcnre 29747 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
222219, 221sylancom 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U.
ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
223 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
224 simpr1 994 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  v : ( 1 ... m ) --> V )
2259cldss 18633 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  B  C_  T
)
22622, 225syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
227226ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  B  C_  T )
228 simpr2 995 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  D  C_ 
U. ran  v )
22932ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  D  C_  T )
230 feq3 5544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  ->  ( y : ( 1 ... m ) --> Y  <-> 
y : ( 1 ... m ) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) } ) )
231151, 230ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y : ( 1 ... m ) --> Y  <->  y :
( 1 ... m
) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) } )
232231biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( y : ( 1 ... m ) --> Y  -> 
y : ( 1 ... m ) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) } )
233232anim1i 568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )  ->  ( y : ( 1 ... m
) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
234233eximi 1625 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( y : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )  ->  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
2352343ad2ant3 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  E. y
( y : ( 1 ... m ) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
236235adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  E. y
( y : ( 1 ... m ) --> { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
237 uniexg 6377 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Comp  ->  U. J  e.  _V )
2387, 237syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. J  e.  _V )
2399, 238syl5eqel 2527 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
240239ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  T  e.  _V )
241156ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) ) )  ->  E  e.  RR+ )
242 stoweidlem57.21 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
243242ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
v : ( 1 ... m ) --> V  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( y `
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586   F/wnf 1589    e. wcel 1756   F/_wnfc 2566    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   ~Pcpw 3860   {csn 3877   U.cuni 4091   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   ran crn 4841   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    e. cmpt2 6093   Fincfn 7310   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287    < clt 9418    <_ cle 9419    - cmin 9595    / cdiv 9993   NNcn 10322   3c3 10372   RR+crp 10991   (,)cioo 11300   ...cfz 11437    seqcseq 11806   ↾t crest 14359   topGenctg 14376   Topctop 18498   Clsdccld 18620    Cn ccn 18828   Compccmp 18989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-cmp 18990  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897
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