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Theorem stoweidlem56 37911
Description: This theorem proves Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90. Here  Z is used to represent t0 in the paper,  v is used to represent  V in the paper, and  e is used to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem56.1  |-  F/_ t U
stoweidlem56.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem56.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem56.4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem56.5  |-  T  = 
U. J
stoweidlem56.6  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem56.7  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem56.8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem56.9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem56.10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  y )  e.  A )
stoweidlem56.11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem56.12  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem56.13  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem56  |-  ( ph  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
Distinct variable groups:    e, f,
g, t, A    v,
e, x, t, A   
y, e, f, t, A    g, J, t    T, e, f, g, t    U, e, f, g    e, Z, f, g, t    ph, e,
f, g    f, q,
g, t, A, r   
y, q, T    U, q, y    Z, q, y    ph, q, y, r    T, r    U, r    ph, r    t, K    v, J    v, T, x    v, U, x   
v, Z
Allowed substitution hints:    ph( x, v, t)    C( x, y, v, t, e, f, g, r, q)    U( t)    J( x, y, e, f, r, q)    K( x, y, v, e, f, g, r, q)    Z( x, r)

Proof of Theorem stoweidlem56
Dummy variables  d  p  h  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem56.1 . . . . 5  |-  F/_ t U
2 stoweidlem56.2 . . . . 5  |-  F/ t
ph
3 stoweidlem56.3 . . . . 5  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
4 stoweidlem56.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
5 stoweidlem56.5 . . . . 5  |-  T  = 
U. J
6 stoweidlem56.6 . . . . 5  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
7 stoweidlem56.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
8 stoweidlem56.8 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
9 stoweidlem56.9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
10 stoweidlem56.10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  y )  e.  A )
11 stoweidlem56.11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
12 stoweidlem56.12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
13 stoweidlem56.13 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
14 eqid 2450 . . . . 5  |-  { h  e.  A  |  (
( h `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) ) }  =  {
h  e.  A  | 
( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
) ) }
15 eqid 2450 . . . . 5  |-  { w  e.  J  |  E. h  e.  { h  e.  A  |  (
( h `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) ) } w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  =  {
w  e.  J  |  E. h  e.  { h  e.  A  |  (
( h `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) ) } w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15stoweidlem55 37910 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
17 df-rex 2742 . . . 4  |-  ( E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  <->  E. p ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )
1816, 17sylib 200 . . 3  |-  ( ph  ->  E. p ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )
19 simpl 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  ->  ph )
20 simprl 763 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  ->  p  e.  A )
21 simprr3 1057 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( p `  t ) )
22 nfv 1760 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  p  e.  A
23 nfra1 2768 . . . . . . . . 9  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( p `
 t )
242, 22, 23nf3an 2012 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( ph  /\  p  e.  A  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)
2543ad2ant1 1028 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  ->  J  e.  Comp )
267sselda 3431 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  C )
2726, 6syl6eleq 2538 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  ( J  Cn  K
) )
28273adant3 1027 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  ->  p  e.  ( J  Cn  K
) )
29 simp3 1009 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)
30123ad2ant1 1028 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  ->  U  e.  J )
311, 24, 3, 5, 25, 28, 29, 30stoweidlem28 37882 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )
3219, 20, 21, 31syl3anc 1267 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )
33 simpr1 1013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
34 simpr2 1014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  d  <  1
)
35 simplrl 769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  p  e.  A
)
36 simprr1 1055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 ) )
3736adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 ) )
38 simprr2 1056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  -> 
( p `  Z
)  =  0 )
3938adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  ( p `  Z )  =  0 )
40 simpr3 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) )
4137, 39, 403jca 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_ 
( p `  t
) ) )
4235, 41jca 535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_ 
( p `  t
) ) ) )
4333, 34, 423jca 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )
4443ex 436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  -> 
( ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) )  -> 
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) ) )
4544eximdv 1763 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  -> 
( E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
)  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) ) )
4632, 45mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )
4746ex 436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( p `  t
) ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) ) )
4847eximdv 1763 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. p ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )  ->  E. p E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) ) )
4918, 48mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. p E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )
50 nfv 1760 . . . . . . 7  |-  F/ t  d  e.  RR+
51 nfv 1760 . . . . . . 7  |-  F/ t  d  <  1
52 nfra1 2768 . . . . . . . . 9  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )
53 nfv 1760 . . . . . . . . 9  |-  F/ t ( p `  Z
)  =  0
54 nfra1 2768 . . . . . . . . 9  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t )
5552, 53, 54nf3an 2012 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
)
5622, 55nfan 2010 . . . . . . 7  |-  F/ t ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) )
5750, 51, 56nf3an 2012 . . . . . 6  |-  F/ t ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) )
582, 57nfan 2010 . . . . 5  |-  F/ t ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )
59 nfcv 2591 . . . . 5  |-  F/_ t
p
60 eqid 2450 . . . . 5  |-  { t  e.  T  |  ( p `  t )  <  ( d  / 
2 ) }  =  { t  e.  T  |  ( p `  t )  <  (
d  /  2 ) }
617adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  A  C_  C
)
6283adant1r 1260 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
6393adant1r 1260 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
6410adantlr 720 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  y )  e.  A )
65 simpr1 1013 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
66 simpr2 1014 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  d  <  1
)
6712adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  U  e.  J
)
6813adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  Z  e.  U
)
69 simpr3l 1068 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  p  e.  A
)
70 simp3r1 1115 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 ) )
7170adantl 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 ) )
72 simp3r2 1116 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) )  -> 
( p `  Z
)  =  0 )
7372adantl 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  ( p `  Z )  =  0 )
74 simp3r3 1117 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) )
7574adantl 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) )
761, 58, 59, 3, 60, 5, 6, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 71, 73, 75stoweidlem52 37907 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
7776ex 436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) )  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) ) )
7877exlimdvv 1779 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. p E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) )  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) ) )
7949, 78mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443   E.wex 1662   F/wnf 1666    e. wcel 1886   F/_wnfc 2578    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740    \ cdif 3400    C_ wss 3403   U.cuni 4197   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   ran crn 4834   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    x. cmul 9541    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857    / cdiv 10266   2c2 10656   RR+crp 11299   (,)cioo 11632   topGenctg 15329    Cn ccn 20233   Compccmp 20394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-cmp 20395  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330
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