Theorem stoweidlem56 31999

Description: This theorem proves Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90. Here Z is used to represent t₀ in the paper, v is used to represent V in the paper, and e is used to represent ε (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem56.1	|- F/_ t U
stoweidlem56.2	|- F/ t ph
stoweidlem56.3	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem56.4	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem56.5	|- T = U. J
stoweidlem56.6	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem56.7	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem56.8	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem56.9	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem56.10	|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A )
stoweidlem56.11	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem56.12	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem56.13	|- ( ph -> Z e. U )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem56	|- ( ph -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )

Distinct variable groups:   e, f, g, t, A   v, e, x, t, A   y, e, f, t, A   g, J, t   T, e, f, g, t   U, e, f, g   e, Z, f, g, t   ph, e, f, g   f, q, g, t, A, r   y, q, T   U, q, y   Z, q, y   ph, q, y, r   T, r   U, r   ph, r   t, K   v, J   v, T, x   v, U, x   v, Z

Allowed substitution hints:   ph( x, v, t)   C( x, y, v, t, e, f, g, r, q)   U( t)   J( x, y, e, f, r, q)   K( x, y, v, e, f, g, r, q)   Z( x, r)

Proof of Theorem stoweidlem56

Dummy variables d p h w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem56.1	. . . . 5 |- F/_ t U
2		stoweidlem56.2	. . . . 5 |- F/ t ph
3		stoweidlem56.3	. . . . 5 |- K = ( topGen ` ran (,) )
4		stoweidlem56.4	. . . . 5 |- ( ph -> J e. Comp )
5		stoweidlem56.5	. . . . 5 |- T = U. J
6		stoweidlem56.6	. . . . 5 |- C = ( J Cn K )
7		stoweidlem56.7	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ C )
8		stoweidlem56.8	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
9		stoweidlem56.9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
10		stoweidlem56.10	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A )
11		stoweidlem56.11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
12		stoweidlem56.12	. . . . 5 |- ( ph -> U e. J )
13		stoweidlem56.13	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. U )
14		eqid 2457	. . . . 5 |- { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
15		eqid 2457	. . . . 5 |- { w e. J | E. h e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } = { w e. J | E. h e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	stoweidlem55 31998	. . . 4 |- ( ph -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )
17		df-rex 2813	. . . 4 |- ( E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) <-> E. p ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) )
18	16, 17	sylib 196	. . 3 |- ( ph -> E. p ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) )
19		simpl 457	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> ph )
20		simprl 756	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> p e. A )
21		simprr3 1046	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) )
22		nfv 1708	. . . . . . . . 9 |- F/ t p e. A
23		nfra1 2838	. . . . . . . . 9 |- F/ t A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t )
24	2, 22, 23	nf3an 1931	. . . . . . . 8 |- F/ t ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) )
25	4	3ad2ant1 1017	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) -> J e. Comp )
26	7	sselda 3499	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> p e. C )
27	26, 6	syl6eleq 2555	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> p e. ( J Cn K ) )
28	27	3adant3 1016	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) -> p e. ( J Cn K ) )
29		simp3 998	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) -> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) )
30	12	3ad2ant1 1017	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) -> U e. J )
31	1, 24, 3, 5, 25, 28, 29, 30	stoweidlem28 31971	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) )
32	19, 20, 21, 31	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) )
33		simpr1 1002	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> d e. RR+ )
34		simpr2 1003	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> d < 1 )
35		simplrl 761	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> p e. A )
36		simprr1 1044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) )
37	36	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) )
38		simprr2 1045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> ( p ` Z ) = 0 )
39	38	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> ( p ` Z ) = 0 )
40		simpr3 1004	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) )
41	37, 39, 40	3jca 1176	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) )
42	35, 41	jca 532	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) )
43	33, 34, 42	3jca 1176	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) )
44	43	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> ( ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) -> ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) )
45	44	eximdv 1711	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> ( E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) )
46	32, 45	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) )
47	46	ex 434	. . . 4 |- ( ph -> ( ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) )
48	47	eximdv 1711	. . 3 |- ( ph -> ( E. p ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) -> E. p E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) )
49	18, 48	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. p E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) )
50		nfv 1708	. . . . . . 7 |- F/ t d e. RR+
51		nfv 1708	. . . . . . 7 |- F/ t d < 1
52		nfra1 2838	. . . . . . . . 9 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 )
53		nfv 1708	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( p ` Z ) = 0
54		nfra1 2838	. . . . . . . . 9 |- F/ t A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t )
55	52, 53, 54	nf3an 1931	. . . . . . . 8 |- F/ t ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) )
56	22, 55	nfan 1929	. . . . . . 7 |- F/ t ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) )
57	50, 51, 56	nf3an 1931	. . . . . 6 |- F/ t ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) )
58	2, 57	nfan 1929	. . . . 5 |- F/ t ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) )
59		nfcv 2619	. . . . 5 |- F/_ t p
60		eqid 2457	. . . . 5 |- { t e. T | ( p ` t ) < ( d / 2 ) } = { t e. T | ( p ` t ) < ( d / 2 ) }
61	7	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> A C_ C )
62	8	3adant1r 1221	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
63	9	3adant1r 1221	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
64	10	adantlr 714	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A )
65		simpr1 1002	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> d e. RR+ )
66		simpr2 1003	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> d < 1 )
67	12	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> U e. J )
68	13	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> Z e. U )
69		simpr3l 1057	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> p e. A )
70		simp3r1 1104	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) )
71	70	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) )
72		simp3r2 1105	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) -> ( p ` Z ) = 0 )
73	72	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> ( p ` Z ) = 0 )
74		simp3r3 1106	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) -> A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) )
75	74	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) )
76	1, 58, 59, 3, 60, 5, 6, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 71, 73, 75	stoweidlem52 31995	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
77	76	ex 434	. . 3 |- ( ph -> ( ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) ) )
78	77	exlimdvv 1726	. 2 |- ( ph -> ( E. p E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) ) )
79	49, 78	mpd 15	1 |- ( ph -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   E.wex 1613   F/wnf 1617   e. wcel 1819   F/_wnfc 2605   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   \ cdif 3468   C_ wss 3471   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   / cdiv 10227   2c2 10606   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   topGenctg 14854   Cn ccn 19851   Compccmp 20012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-cmp 20013  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950

This theorem is referenced by:  stoweidlem57  32000