Theorem stoweidlem56 27672

Description: This theorem proves Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90. Here Z is used to represent t₀ in the paper, v is used to represent V in the paper, and e is used to represent ε (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem56.1	|- F/_ t U
stoweidlem56.2	|- F/ t ph
stoweidlem56.3	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem56.4	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem56.5	|- T = U. J
stoweidlem56.6	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem56.7	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem56.8	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem56.9	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem56.10	|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A )
stoweidlem56.11	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem56.12	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem56.13	|- ( ph -> Z e. U )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem56	|- ( ph -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )

Distinct variable groups:   e, f, g, t, A   v, e, x, t, A   y, e, f, t, A   g, J, t   T, e, f, g, t   U, e, f, g   e, Z, f, g, t   ph, e, f, g   f, q, g, t, A, r   y, q, T   U, q, y   Z, q, y   ph, q, y, r   T, r   U, r   ph, r   t, K   v, J   v, T, x   v, U, x   v, Z

Allowed substitution hints:   ph( x, v, t)   C( x, y, v, t, e, f, g, r, q)   U( t)   J( x, y, e, f, r, q)   K( x, y, v, e, f, g, r, q)   Z( x, r)

Proof of Theorem stoweidlem56

Dummy variables d p h w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem56.1	. . . . 5 |- F/_ t U
2		stoweidlem56.2	. . . . 5 |- F/ t ph
3		stoweidlem56.3	. . . . 5 |- K = ( topGen ` ran (,) )
4		stoweidlem56.4	. . . . 5 |- ( ph -> J e. Comp )
5		stoweidlem56.5	. . . . 5 |- T = U. J
6		stoweidlem56.6	. . . . 5 |- C = ( J Cn K )
7		stoweidlem56.7	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ C )
8		stoweidlem56.8	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
9		stoweidlem56.9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
10		stoweidlem56.10	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A )
11		stoweidlem56.11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
12		stoweidlem56.12	. . . . 5 |- ( ph -> U e. J )
13		stoweidlem56.13	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. U )
14		eqid 2404	. . . . 5 |- { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
15		eqid 2404	. . . . 5 |- { w e. J | E. h e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } = { w e. J | E. h e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	stoweidlem55 27671	. . . 4 |- ( ph -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )
17		df-rex 2672	. . . 4 |- ( E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) <-> E. p ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) )
18	16, 17	sylib 189	. . 3 |- ( ph -> E. p ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) )
19		simpl 444	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> ph )
20		simprl 733	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> p e. A )
21		simprr3 1007	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) )
22		nfv 1626	. . . . . . . . 9 |- F/ t p e. A
23		nfra1 2716	. . . . . . . . 9 |- F/ t A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t )
24	2, 22, 23	nf3an 1845	. . . . . . . 8 |- F/ t ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) )
25	4	3ad2ant1 978	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) -> J e. Comp )
26	7	sselda 3308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> p e. C )
27	26, 6	syl6eleq 2494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> p e. ( J Cn K ) )
28	27	3adant3 977	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) -> p e. ( J Cn K ) )
29		simp3 959	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) -> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) )
30	12	3ad2ant1 978	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) -> U e. J )
31	1, 24, 3, 5, 25, 28, 29, 30	stoweidlem28 27644	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) )
32	19, 20, 21, 31	syl3anc 1184	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) )
33		simpr1 963	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> d e. RR+ )
34		simpr2 964	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> d < 1 )
35		simplrl 737	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> p e. A )
36		simprr1 1005	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) )
37	36	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) )
38		simprr2 1006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> ( p ` Z ) = 0 )
39	38	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> ( p ` Z ) = 0 )
40		simpr3 965	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) )
41	37, 39, 40	3jca 1134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) )
42	35, 41	jca 519	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) )
43	33, 34, 42	3jca 1134	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) )
44	43	ex 424	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> ( ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) -> ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) )
45	44	eximdv 1629	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> ( E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) )
46	32, 45	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) )
47	46	ex 424	. . . 4 |- ( ph -> ( ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) )
48	47	eximdv 1629	. . 3 |- ( ph -> ( E. p ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) -> E. p E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) )
49	18, 48	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. p E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) )
50		nfv 1626	. . . . . . 7 |- F/ t d e. RR+
51		nfv 1626	. . . . . . 7 |- F/ t d < 1
52		nfra1 2716	. . . . . . . . 9 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 )
53		nfv 1626	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( p ` Z ) = 0
54		nfra1 2716	. . . . . . . . 9 |- F/ t A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t )
55	52, 53, 54	nf3an 1845	. . . . . . . 8 |- F/ t ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) )
56	22, 55	nfan 1842	. . . . . . 7 |- F/ t ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) )
57	50, 51, 56	nf3an 1845	. . . . . 6 |- F/ t ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) )
58	2, 57	nfan 1842	. . . . 5 |- F/ t ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) )
59		nfcv 2540	. . . . 5 |- F/_ t p
60		eqid 2404	. . . . 5 |- { t e. T | ( p ` t ) < ( d / 2 ) } = { t e. T | ( p ` t ) < ( d / 2 ) }
61	7	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> A C_ C )
62	8	3adant1r 1177	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
63	9	3adant1r 1177	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
64	10	adantlr 696	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A )
65		simpr1 963	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> d e. RR+ )
66		simpr2 964	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> d < 1 )
67	12	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> U e. J )
68	13	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> Z e. U )
69		simpr3l 1018	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> p e. A )
70		simp3r1 1065	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) )
71	70	adantl 453	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) )
72		simp3r2 1066	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) -> ( p ` Z ) = 0 )
73	72	adantl 453	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> ( p ` Z ) = 0 )
74		simp3r3 1067	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) -> A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) )
75	74	adantl 453	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) )
76	1, 58, 59, 3, 60, 5, 6, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 71, 73, 75	stoweidlem52 27668	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
77	76	ex 424	. . 3 |- ( ph -> ( ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) ) )
78	77	exlimdvv 1644	. 2 |- ( ph -> ( E. p E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) ) )
79	49, 78	mpd 15	1 |- ( ph -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   /\ w3a 936   E.wex 1547   F/wnf 1550   = wceq 1649   e. wcel 1721   F/_wnfc 2527   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   \ cdif 3277   C_ wss 3280   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   ran crn 4838   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   2c2 10005   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   topGenctg 13620   Cn ccn 17242   Compccmp 17403

This theorem is referenced by:  stoweidlem57  27673

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305