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Theorem stoweidlem56 31583
Description: This theorem proves Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90. Here  Z is used to represent t0 in the paper,  v is used to represent  V in the paper, and  e is used to represent ε (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem56.1  |-  F/_ t U
stoweidlem56.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem56.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem56.4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem56.5  |-  T  = 
U. J
stoweidlem56.6  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem56.7  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem56.8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem56.9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem56.10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  y )  e.  A )
stoweidlem56.11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem56.12  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem56.13  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem56  |-  ( ph  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
Distinct variable groups:    e, f,
g, t, A    v,
e, x, t, A   
y, e, f, t, A    g, J, t    T, e, f, g, t    U, e, f, g    e, Z, f, g, t    ph, e,
f, g    f, q,
g, t, A, r   
y, q, T    U, q, y    Z, q, y    ph, q, y, r    T, r    U, r    ph, r    t, K    v, J    v, T, x    v, U, x   
v, Z
Allowed substitution hints:    ph( x, v, t)    C( x, y, v, t, e, f, g, r, q)    U( t)    J( x, y, e, f, r, q)    K( x, y, v, e, f, g, r, q)    Z( x, r)

Proof of Theorem stoweidlem56
Dummy variables  d  p  h  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem56.1 . . . . 5  |-  F/_ t U
2 stoweidlem56.2 . . . . 5  |-  F/ t
ph
3 stoweidlem56.3 . . . . 5  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
4 stoweidlem56.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
5 stoweidlem56.5 . . . . 5  |-  T  = 
U. J
6 stoweidlem56.6 . . . . 5  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
7 stoweidlem56.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
8 stoweidlem56.8 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
9 stoweidlem56.9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
10 stoweidlem56.10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  y )  e.  A )
11 stoweidlem56.11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
12 stoweidlem56.12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
13 stoweidlem56.13 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
14 eqid 2467 . . . . 5  |-  { h  e.  A  |  (
( h `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) ) }  =  {
h  e.  A  | 
( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
) ) }
15 eqid 2467 . . . . 5  |-  { w  e.  J  |  E. h  e.  { h  e.  A  |  (
( h `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) ) } w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  =  {
w  e.  J  |  E. h  e.  { h  e.  A  |  (
( h `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) ) } w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15stoweidlem55 31582 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
17 df-rex 2820 . . . 4  |-  ( E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  <->  E. p ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )
1816, 17sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  E. p ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )
19 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  ->  ph )
20 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  ->  p  e.  A )
21 simprr3 1046 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( p `  t ) )
22 nfv 1683 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  p  e.  A
23 nfra1 2845 . . . . . . . . 9  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( p `
 t )
242, 22, 23nf3an 1877 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( ph  /\  p  e.  A  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)
2543ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  ->  J  e.  Comp )
267sselda 3504 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  C )
2726, 6syl6eleq 2565 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  ( J  Cn  K
) )
28273adant3 1016 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  ->  p  e.  ( J  Cn  K
) )
29 simp3 998 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)
30123ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  ->  U  e.  J )
311, 24, 3, 5, 25, 28, 29, 30stoweidlem28 31555 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )
3219, 20, 21, 31syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )
33 simpr1 1002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
34 simpr2 1003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  d  <  1
)
35 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  p  e.  A
)
36 simprr1 1044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 ) )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 ) )
38 simprr2 1045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  -> 
( p `  Z
)  =  0 )
3938adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  ( p `  Z )  =  0 )
40 simpr3 1004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) )
4137, 39, 403jca 1176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_ 
( p `  t
) ) )
4235, 41jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_ 
( p `  t
) ) ) )
4333, 34, 423jca 1176 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )
4443ex 434 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  -> 
( ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) )  -> 
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) ) )
4544eximdv 1686 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  -> 
( E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
)  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) ) )
4632, 45mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )
4746ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( p `  t
) ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) ) )
4847eximdv 1686 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. p ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )  ->  E. p E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) ) )
4918, 48mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. p E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )
50 nfv 1683 . . . . . . 7  |-  F/ t  d  e.  RR+
51 nfv 1683 . . . . . . 7  |-  F/ t  d  <  1
52 nfra1 2845 . . . . . . . . 9  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )
53 nfv 1683 . . . . . . . . 9  |-  F/ t ( p `  Z
)  =  0
54 nfra1 2845 . . . . . . . . 9  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t )
5552, 53, 54nf3an 1877 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
)
5622, 55nfan 1875 . . . . . . 7  |-  F/ t ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) )
5750, 51, 56nf3an 1877 . . . . . 6  |-  F/ t ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) )
582, 57nfan 1875 . . . . 5  |-  F/ t ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )
59 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ t
p
60 eqid 2467 . . . . 5  |-  { t  e.  T  |  ( p `  t )  <  ( d  / 
2 ) }  =  { t  e.  T  |  ( p `  t )  <  (
d  /  2 ) }
617adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  A  C_  C
)
6283adant1r 1221 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
6393adant1r 1221 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
6410adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  y )  e.  A )
65 simpr1 1002 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
66 simpr2 1003 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  d  <  1
)
6712adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  U  e.  J
)
6813adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  Z  e.  U
)
69 simpr3l 1057 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  p  e.  A
)
70 simp3r1 1104 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 ) )
7170adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 ) )
72 simp3r2 1105 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) )  -> 
( p `  Z
)  =  0 )
7372adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  ( p `  Z )  =  0 )
74 simp3r3 1106 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) )
7574adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) )
761, 58, 59, 3, 60, 5, 6, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 71, 73, 75stoweidlem52 31579 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
7776ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) )  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) ) )
7877exlimdvv 1701 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. p E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) )  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) ) )
7949, 78mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596   F/wnf 1599    e. wcel 1767   F/_wnfc 2615    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818    \ cdif 3473    C_ wss 3476   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   RRcr 9492   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    x. cmul 9498    < clt 9629    <_ cle 9630    - cmin 9806    / cdiv 10207   2c2 10586   RR+crp 11221   (,)cioo 11530   topGenctg 14696    Cn ccn 19531   Compccmp 19692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-fi 7872  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ioo 11534  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-rlim 13278  df-sum 13475  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-hom 14582  df-cco 14583  df-rest 14681  df-topn 14682  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-topgen 14702  df-pt 14703  df-prds 14706  df-xrs 14760  df-qtop 14765  df-imas 14766  df-xps 14768  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-submnd 15790  df-mulg 15874  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-cnfld 18232  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-cld 19326  df-cn 19534  df-cnp 19535  df-cmp 19693  df-tx 19890  df-hmeo 20083  df-xms 20650  df-ms 20651  df-tms 20652
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