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Theorem stoweidlem56 29877
Description: This theorem proves Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90. Here  Z is used to represent t0 in the paper,  v is used to represent  V in the paper, and  e is used to represent ε (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem56.1  |-  F/_ t U
stoweidlem56.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem56.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem56.4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem56.5  |-  T  = 
U. J
stoweidlem56.6  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem56.7  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem56.8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem56.9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem56.10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  y )  e.  A )
stoweidlem56.11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem56.12  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem56.13  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem56  |-  ( ph  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
Distinct variable groups:    e, f,
g, t, A    v,
e, x, t, A   
y, e, f, t, A    g, J, t    T, e, f, g, t    U, e, f, g    e, Z, f, g, t    ph, e,
f, g    f, q,
g, t, A, r   
y, q, T    U, q, y    Z, q, y    ph, q, y, r    T, r    U, r    ph, r    t, K    v, J    v, T, x    v, U, x   
v, Z
Allowed substitution hints:    ph( x, v, t)    C( x, y, v, t, e, f, g, r, q)    U( t)    J( x, y, e, f, r, q)    K( x, y, v, e, f, g, r, q)    Z( x, r)

Proof of Theorem stoweidlem56
Dummy variables  d  p  h  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem56.1 . . . . 5  |-  F/_ t U
2 stoweidlem56.2 . . . . 5  |-  F/ t
ph
3 stoweidlem56.3 . . . . 5  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
4 stoweidlem56.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
5 stoweidlem56.5 . . . . 5  |-  T  = 
U. J
6 stoweidlem56.6 . . . . 5  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
7 stoweidlem56.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
8 stoweidlem56.8 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
9 stoweidlem56.9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
10 stoweidlem56.10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  y )  e.  A )
11 stoweidlem56.11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
12 stoweidlem56.12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
13 stoweidlem56.13 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
14 eqid 2443 . . . . 5  |-  { h  e.  A  |  (
( h `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) ) }  =  {
h  e.  A  | 
( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
) ) }
15 eqid 2443 . . . . 5  |-  { w  e.  J  |  E. h  e.  { h  e.  A  |  (
( h `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) ) } w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  =  {
w  e.  J  |  E. h  e.  { h  e.  A  |  (
( h `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) ) } w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15stoweidlem55 29876 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
17 df-rex 2742 . . . 4  |-  ( E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  <->  E. p ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )
1816, 17sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  E. p ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )
19 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  ->  ph )
20 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  ->  p  e.  A )
21 simprr3 1038 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( p `  t ) )
22 nfv 1673 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  p  e.  A
23 nfra1 2787 . . . . . . . . 9  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( p `
 t )
242, 22, 23nf3an 1863 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( ph  /\  p  e.  A  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)
2543ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  ->  J  e.  Comp )
267sselda 3377 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  C )
2726, 6syl6eleq 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  ( J  Cn  K
) )
28273adant3 1008 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  ->  p  e.  ( J  Cn  K
) )
29 simp3 990 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)
30123ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  ->  U  e.  J )
311, 24, 3, 5, 25, 28, 29, 30stoweidlem28 29849 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )
3219, 20, 21, 31syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )
33 simpr1 994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
34 simpr2 995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  d  <  1
)
35 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  p  e.  A
)
36 simprr1 1036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 ) )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 ) )
38 simprr2 1037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  -> 
( p `  Z
)  =  0 )
3938adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  ( p `  Z )  =  0 )
40 simpr3 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) )
4137, 39, 403jca 1168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_ 
( p `  t
) ) )
4235, 41jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_ 
( p `  t
) ) ) )
4333, 34, 423jca 1168 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) ) )  ->  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )
4443ex 434 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  -> 
( ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) )  -> 
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) ) )
4544eximdv 1676 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  -> 
( E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
)  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) ) )
4632, 45mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )
4746ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( p `  t
) ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) ) )
4847eximdv 1676 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. p ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )  ->  E. p E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) ) )
4918, 48mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. p E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )
50 nfv 1673 . . . . . . 7  |-  F/ t  d  e.  RR+
51 nfv 1673 . . . . . . 7  |-  F/ t  d  <  1
52 nfra1 2787 . . . . . . . . 9  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )
53 nfv 1673 . . . . . . . . 9  |-  F/ t ( p `  Z
)  =  0
54 nfra1 2787 . . . . . . . . 9  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t )
5552, 53, 54nf3an 1863 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
)
5622, 55nfan 1861 . . . . . . 7  |-  F/ t ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) )
5750, 51, 56nf3an 1863 . . . . . 6  |-  F/ t ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) )
582, 57nfan 1861 . . . . 5  |-  F/ t ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )
59 nfcv 2589 . . . . 5  |-  F/_ t
p
60 eqid 2443 . . . . 5  |-  { t  e.  T  |  ( p `  t )  <  ( d  / 
2 ) }  =  { t  e.  T  |  ( p `  t )  <  (
d  /  2 ) }
617adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  A  C_  C
)
6283adant1r 1211 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
6393adant1r 1211 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
6410adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  y )  e.  A )
65 simpr1 994 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
66 simpr2 995 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  d  <  1
)
6712adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  U  e.  J
)
6813adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  Z  e.  U
)
69 simpr3l 1049 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  p  e.  A
)
70 simp3r1 1096 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 ) )
7170adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 ) )
72 simp3r2 1097 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) )  -> 
( p `  Z
)  =  0 )
7372adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  ( p `  Z )  =  0 )
74 simp3r3 1098 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) )
7574adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( p `  t ) )
761, 58, 59, 3, 60, 5, 6, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 71, 73, 75stoweidlem52 29873 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) ) )  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
7776ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) )  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) ) )
7877exlimdvv 1691 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. p E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  (
p `  t )
) ) )  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) ) )
7949, 78mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586   F/wnf 1589    e. wcel 1756   F/_wnfc 2575    =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740    \ cdif 3346    C_ wss 3349   U.cuni 4112   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371   ran crn 4862   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306    x. cmul 9308    < clt 9439    <_ cle 9440    - cmin 9616    / cdiv 10014   2c2 10392   RR+crp 11012   (,)cioo 11321   topGenctg 14397    Cn ccn 18850   Compccmp 19011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-cmp 19012  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919
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