Theorem stoweidlem56 29694

Description: This theorem proves Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90. Here Z is used to represent t₀ in the paper, v is used to represent V in the paper, and e is used to represent ε (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem56.1	|- F/_ t U
stoweidlem56.2	|- F/ t ph
stoweidlem56.3	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem56.4	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem56.5	|- T = U. J
stoweidlem56.6	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem56.7	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem56.8	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem56.9	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem56.10	|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A )
stoweidlem56.11	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem56.12	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem56.13	|- ( ph -> Z e. U )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem56	|- ( ph -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )

Distinct variable groups:   e, f, g, t, A   v, e, x, t, A   y, e, f, t, A   g, J, t   T, e, f, g, t   U, e, f, g   e, Z, f, g, t   ph, e, f, g   f, q, g, t, A, r   y, q, T   U, q, y   Z, q, y   ph, q, y, r   T, r   U, r   ph, r   t, K   v, J   v, T, x   v, U, x   v, Z

Allowed substitution hints:   ph( x, v, t)   C( x, y, v, t, e, f, g, r, q)   U( t)   J( x, y, e, f, r, q)   K( x, y, v, e, f, g, r, q)   Z( x, r)

Proof of Theorem stoweidlem56

Dummy variables d p h w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem56.1	. . . . 5 |- F/_ t U
2		stoweidlem56.2	. . . . 5 |- F/ t ph
3		stoweidlem56.3	. . . . 5 |- K = ( topGen ` ran (,) )
4		stoweidlem56.4	. . . . 5 |- ( ph -> J e. Comp )
5		stoweidlem56.5	. . . . 5 |- T = U. J
6		stoweidlem56.6	. . . . 5 |- C = ( J Cn K )
7		stoweidlem56.7	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ C )
8		stoweidlem56.8	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
9		stoweidlem56.9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
10		stoweidlem56.10	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A )
11		stoweidlem56.11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
12		stoweidlem56.12	. . . . 5 |- ( ph -> U e. J )
13		stoweidlem56.13	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. U )
14		eqid 2433	. . . . 5 |- { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
15		eqid 2433	. . . . 5 |- { w e. J | E. h e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } = { w e. J | E. h e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	stoweidlem55 29693	. . . 4 |- ( ph -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )
17		df-rex 2711	. . . 4 |- ( E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) <-> E. p ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) )
18	16, 17	sylib 196	. . 3 |- ( ph -> E. p ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) )
19		simpl 454	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> ph )
20		simprl 748	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> p e. A )
21		simprr3 1031	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) )
22		nfv 1672	. . . . . . . . 9 |- F/ t p e. A
23		nfra1 2756	. . . . . . . . 9 |- F/ t A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t )
24	2, 22, 23	nf3an 1861	. . . . . . . 8 |- F/ t ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) )
25	4	3ad2ant1 1002	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) -> J e. Comp )
26	7	sselda 3344	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> p e. C )
27	26, 6	syl6eleq 2523	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> p e. ( J Cn K ) )
28	27	3adant3 1001	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) -> p e. ( J Cn K ) )
29		simp3 983	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) -> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) )
30	12	3ad2ant1 1002	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) -> U e. J )
31	1, 24, 3, 5, 25, 28, 29, 30	stoweidlem28 29666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) )
32	19, 20, 21, 31	syl3anc 1211	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) )
33		simpr1 987	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> d e. RR+ )
34		simpr2 988	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> d < 1 )
35		simplrl 752	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> p e. A )
36		simprr1 1029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) )
37	36	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) )
38		simprr2 1030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> ( p ` Z ) = 0 )
39	38	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> ( p ` Z ) = 0 )
40		simpr3 989	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) )
41	37, 39, 40	3jca 1161	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) )
42	35, 41	jca 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) )
43	33, 34, 42	3jca 1161	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) )
44	43	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> ( ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) -> ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) )
45	44	eximdv 1675	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> ( E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) )
46	32, 45	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) )
47	46	ex 434	. . . 4 |- ( ph -> ( ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) )
48	47	eximdv 1675	. . 3 |- ( ph -> ( E. p ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) -> E. p E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) )
49	18, 48	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. p E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) )
50		nfv 1672	. . . . . . 7 |- F/ t d e. RR+
51		nfv 1672	. . . . . . 7 |- F/ t d < 1
52		nfra1 2756	. . . . . . . . 9 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 )
53		nfv 1672	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( p ` Z ) = 0
54		nfra1 2756	. . . . . . . . 9 |- F/ t A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t )
55	52, 53, 54	nf3an 1861	. . . . . . . 8 |- F/ t ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) )
56	22, 55	nfan 1859	. . . . . . 7 |- F/ t ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) )
57	50, 51, 56	nf3an 1861	. . . . . 6 |- F/ t ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) )
58	2, 57	nfan 1859	. . . . 5 |- F/ t ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) )
59		nfcv 2569	. . . . 5 |- F/_ t p
60		eqid 2433	. . . . 5 |- { t e. T | ( p ` t ) < ( d / 2 ) } = { t e. T | ( p ` t ) < ( d / 2 ) }
61	7	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> A C_ C )
62	8	3adant1r 1204	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
63	9	3adant1r 1204	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
64	10	adantlr 707	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A )
65		simpr1 987	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> d e. RR+ )
66		simpr2 988	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> d < 1 )
67	12	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> U e. J )
68	13	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> Z e. U )
69		simpr3l 1042	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> p e. A )
70		simp3r1 1089	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) )
71	70	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) )
72		simp3r2 1090	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) -> ( p ` Z ) = 0 )
73	72	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> ( p ` Z ) = 0 )
74		simp3r3 1091	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) -> A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) )
75	74	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) )
76	1, 58, 59, 3, 60, 5, 6, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 71, 73, 75	stoweidlem52 29690	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
77	76	ex 434	. . 3 |- ( ph -> ( ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) ) )
78	77	exlimdvv 1690	. 2 |- ( ph -> ( E. p E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) ) )
79	49, 78	mpd 15	1 |- ( ph -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 958   = wceq 1362   E.wex 1589   F/wnf 1592   e. wcel 1755   F/_wnfc 2556   =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   \ cdif 3313   C_ wss 3316   U.cuni 4079   class class class wbr 4280   e. cmpt 4338   ran crn 4828   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270   + caddc 9272   x. cmul 9274   < clt 9405   <_ cle 9406   - cmin 9582   / cdiv 9980   2c2 10358   RR+crp 10978   (,)cioo 11287   topGenctg 14358   Cn ccn 18669   Compccmp 18830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-mulf 9349

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-xneg 11076  df-xadd 11077  df-xmul 11078  df-ioo 11291  df-ico 11293  df-icc 11294  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-fl 11625  df-seq 11790  df-exp 11849  df-hash 12087  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-clim 12949  df-rlim 12950  df-sum 13147  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-ip 14238  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-hom 14244  df-cco 14245  df-rest 14343  df-topn 14344  df-0g 14362  df-gsum 14363  df-topgen 14364  df-pt 14365  df-prds 14368  df-xrs 14422  df-qtop 14427  df-imas 14428  df-xps 14430  df-mre 14506  df-mrc 14507  df-acs 14509  df-mnd 15397  df-submnd 15447  df-mulg 15527  df-cntz 15814  df-cmn 16258  df-psmet 17652  df-xmet 17653  df-met 17654  df-bl 17655  df-mopn 17656  df-cnfld 17662  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-topsp 18348  df-cld 18464  df-cn 18672  df-cnp 18673  df-cmp 18831  df-tx 18976  df-hmeo 19169  df-xms 19736  df-ms 19737  df-tms 19738

This theorem is referenced by:  stoweidlem57  29695