Theorem stoweidlem56 29877

Description: This theorem proves Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90. Here Z is used to represent t₀ in the paper, v is used to represent V in the paper, and e is used to represent ε (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem56.1	|- F/_ t U
stoweidlem56.2	|- F/ t ph
stoweidlem56.3	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem56.4	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem56.5	|- T = U. J
stoweidlem56.6	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem56.7	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem56.8	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem56.9	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem56.10	|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A )
stoweidlem56.11	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem56.12	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem56.13	|- ( ph -> Z e. U )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem56	|- ( ph -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )

Distinct variable groups:   e, f, g, t, A   v, e, x, t, A   y, e, f, t, A   g, J, t   T, e, f, g, t   U, e, f, g   e, Z, f, g, t   ph, e, f, g   f, q, g, t, A, r   y, q, T   U, q, y   Z, q, y   ph, q, y, r   T, r   U, r   ph, r   t, K   v, J   v, T, x   v, U, x   v, Z

Allowed substitution hints:   ph( x, v, t)   C( x, y, v, t, e, f, g, r, q)   U( t)   J( x, y, e, f, r, q)   K( x, y, v, e, f, g, r, q)   Z( x, r)

Proof of Theorem stoweidlem56

Dummy variables d p h w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem56.1	. . . . 5 |- F/_ t U
2		stoweidlem56.2	. . . . 5 |- F/ t ph
3		stoweidlem56.3	. . . . 5 |- K = ( topGen ` ran (,) )
4		stoweidlem56.4	. . . . 5 |- ( ph -> J e. Comp )
5		stoweidlem56.5	. . . . 5 |- T = U. J
6		stoweidlem56.6	. . . . 5 |- C = ( J Cn K )
7		stoweidlem56.7	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ C )
8		stoweidlem56.8	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
9		stoweidlem56.9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
10		stoweidlem56.10	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A )
11		stoweidlem56.11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
12		stoweidlem56.12	. . . . 5 |- ( ph -> U e. J )
13		stoweidlem56.13	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. U )
14		eqid 2443	. . . . 5 |- { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
15		eqid 2443	. . . . 5 |- { w e. J | E. h e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } = { w e. J | E. h e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	stoweidlem55 29876	. . . 4 |- ( ph -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )
17		df-rex 2742	. . . 4 |- ( E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) <-> E. p ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) )
18	16, 17	sylib 196	. . 3 |- ( ph -> E. p ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) )
19		simpl 457	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> ph )
20		simprl 755	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> p e. A )
21		simprr3 1038	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) )
22		nfv 1673	. . . . . . . . 9 |- F/ t p e. A
23		nfra1 2787	. . . . . . . . 9 |- F/ t A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t )
24	2, 22, 23	nf3an 1863	. . . . . . . 8 |- F/ t ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) )
25	4	3ad2ant1 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) -> J e. Comp )
26	7	sselda 3377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> p e. C )
27	26, 6	syl6eleq 2533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> p e. ( J Cn K ) )
28	27	3adant3 1008	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) -> p e. ( J Cn K ) )
29		simp3 990	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) -> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) )
30	12	3ad2ant1 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) -> U e. J )
31	1, 24, 3, 5, 25, 28, 29, 30	stoweidlem28 29849	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) )
32	19, 20, 21, 31	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) )
33		simpr1 994	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> d e. RR+ )
34		simpr2 995	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> d < 1 )
35		simplrl 759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> p e. A )
36		simprr1 1036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) )
37	36	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) )
38		simprr2 1037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> ( p ` Z ) = 0 )
39	38	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> ( p ` Z ) = 0 )
40		simpr3 996	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) )
41	37, 39, 40	3jca 1168	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) )
42	35, 41	jca 532	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) )
43	33, 34, 42	3jca 1168	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) )
44	43	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> ( ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) -> ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) )
45	44	eximdv 1676	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> ( E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) )
46	32, 45	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) )
47	46	ex 434	. . . 4 |- ( ph -> ( ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) )
48	47	eximdv 1676	. . 3 |- ( ph -> ( E. p ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) -> E. p E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) )
49	18, 48	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. p E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) )
50		nfv 1673	. . . . . . 7 |- F/ t d e. RR+
51		nfv 1673	. . . . . . 7 |- F/ t d < 1
52		nfra1 2787	. . . . . . . . 9 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 )
53		nfv 1673	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( p ` Z ) = 0
54		nfra1 2787	. . . . . . . . 9 |- F/ t A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t )
55	52, 53, 54	nf3an 1863	. . . . . . . 8 |- F/ t ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) )
56	22, 55	nfan 1861	. . . . . . 7 |- F/ t ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) )
57	50, 51, 56	nf3an 1863	. . . . . 6 |- F/ t ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) )
58	2, 57	nfan 1861	. . . . 5 |- F/ t ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) )
59		nfcv 2589	. . . . 5 |- F/_ t p
60		eqid 2443	. . . . 5 |- { t e. T | ( p ` t ) < ( d / 2 ) } = { t e. T | ( p ` t ) < ( d / 2 ) }
61	7	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> A C_ C )
62	8	3adant1r 1211	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
63	9	3adant1r 1211	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
64	10	adantlr 714	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A )
65		simpr1 994	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> d e. RR+ )
66		simpr2 995	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> d < 1 )
67	12	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> U e. J )
68	13	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> Z e. U )
69		simpr3l 1049	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> p e. A )
70		simp3r1 1096	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) )
71	70	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) )
72		simp3r2 1097	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) -> ( p ` Z ) = 0 )
73	72	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> ( p ` Z ) = 0 )
74		simp3r3 1098	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) -> A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) )
75	74	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) )
76	1, 58, 59, 3, 60, 5, 6, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 71, 73, 75	stoweidlem52 29873	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
77	76	ex 434	. . 3 |- ( ph -> ( ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) ) )
78	77	exlimdvv 1691	. 2 |- ( ph -> ( E. p E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) ) )
79	49, 78	mpd 15	1 |- ( ph -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   E.wex 1586   F/wnf 1589   e. wcel 1756   F/_wnfc 2575   =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   \ cdif 3346   C_ wss 3349   U.cuni 4112   class class class wbr 4313   e. cmpt 4371   ran crn 4862   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304   + caddc 9306   x. cmul 9308   < clt 9439   <_ cle 9440   - cmin 9616   / cdiv 10014   2c2 10392   RR+crp 11012   (,)cioo 11321   topGenctg 14397   Cn ccn 18850   Compccmp 19011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-mulf 9383

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-cmp 19012  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919

This theorem is referenced by:  stoweidlem57  29878