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Theorem stoweidlem55 37910
Description: This lemma proves the existence of a function p as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Here Z is used to represent t0 in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem55.1  |-  F/_ t U
stoweidlem55.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem55.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem55.4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem55.5  |-  T  = 
U. J
stoweidlem55.6  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem55.7  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem55.8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem55.9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem55.10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem55.11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem55.12  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem55.13  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
stoweidlem55.14  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem55.15  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
Assertion
Ref Expression
stoweidlem55  |-  ( ph  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
Distinct variable groups:    f, g, h, q, t, T    f,
r, A, g, q, t    x, f, h, q, t, T    Q, f, g, q    U, f, g, h, q    f, Z, g, h, q, t    ph, f, g, h, q   
w, g, h, t, T    g, W    A, h, x    h, J, t, w    q, p, t, T    A, p    U, p    Z, p    x, r, T    U, r, x    ph, r, x    t, K    x, w, Q    w, U    ph, w    x, Z
Allowed substitution hints:    ph( t, p)    A( w)    C( x, w, t, f, g, h, r, q, p)    Q( t, h, r, p)    U( t)    J( x, f, g, r, q, p)    K( x, w, f, g, h, r, q, p)    W( x, w, t, f, h, r, q, p)    Z( w, r)

Proof of Theorem stoweidlem55
StepHypRef Expression
1 0re 9640 . . . . 5  |-  0  e.  RR
2 stoweidlem55.10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
32stoweidlem4 37858 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  0 )  e.  A )
41, 3mpan2 676 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  0 )  e.  A
)
54adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( t  e.  T  |->  0 )  e.  A )
6 stoweidlem55.2 . . . . 5  |-  F/ t
ph
7 nfcv 2591 . . . . . . 7  |-  F/_ t T
8 stoweidlem55.1 . . . . . . 7  |-  F/_ t U
97, 8nfdif 3553 . . . . . 6  |-  F/_ t
( T  \  U
)
10 nfcv 2591 . . . . . 6  |-  F/_ t (/)
119, 10nfeq 2602 . . . . 5  |-  F/ t ( T  \  U
)  =  (/)
126, 11nfan 2010 . . . 4  |-  F/ t ( ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )
13 0le0 10696 . . . . . . . 8  |-  0  <_  0
14 0cn 9632 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
15 eqid 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  T  |->  0 )  =  ( t  e.  T  |->  0 )
1615fvmpt2 5955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  T  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t )  =  0 )
1714, 16mpan2 676 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  T  ->  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  =  0 )
1813, 17syl5breqr 4438 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  T  ->  0  <_  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t ) )
1918adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t ) )
20 0le1 10134 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
2117, 20syl6eqbr 4439 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  T  ->  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  <_  1 )
2221adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  <_  1 )
2319, 22jca 535 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( (
t  e.  T  |->  0 ) `  t )  /\  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t )  <_ 
1 ) )
2423ex 436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t )  /\  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t )  <_  1
) ) )
2512, 24ralrimi 2787 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  /\  ( (
t  e.  T  |->  0 ) `  t )  <_  1 ) )
26 stoweidlem55.13 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
27 stoweidlem55.12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
2826, 27jca 535 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  U  /\  U  e.  J
) )
29 elunii 4202 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  U  /\  U  e.  J )  ->  Z  e.  U. J
)
30 stoweidlem55.5 . . . . . 6  |-  T  = 
U. J
3129, 30syl6eleqr 2539 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  U  /\  U  e.  J )  ->  Z  e.  T )
32 eqidd 2451 . . . . . 6  |-  ( t  =  Z  ->  0  =  0 )
33 c0ex 9634 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
3432, 15, 33fvmpt 5946 . . . . 5  |-  ( Z  e.  T  ->  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  Z
)  =  0 )
3528, 31, 343syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  Z )  =  0 )
3635adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 Z )  =  0 )
3711rzalf 37332 . . . 4  |-  ( ( T  \  U )  =  (/)  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
) )
3837adantl 468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t ) )
39 nfcv 2591 . . . . . . 7  |-  F/_ t
p
40 nfmpt1 4491 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  0 )
4139, 40nfeq 2602 . . . . . 6  |-  F/ t  p  =  ( t  e.  T  |->  0 )
42 fveq1 5862 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( p `  t
)  =  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t ) )
4342breq2d 4413 . . . . . . 7  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( 0  <_  (
p `  t )  <->  0  <_  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t ) ) )
4442breq1d 4411 . . . . . . 7  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( ( p `  t )  <_  1  <->  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  <_  1 ) )
4543, 44anbi12d 716 . . . . . 6  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  <->  ( 0  <_ 
( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t )  /\  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  <_  1 ) ) )
4641, 45ralbid 2821 . . . . 5  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  /\  ( (
t  e.  T  |->  0 ) `  t )  <_  1 ) ) )
47 fveq1 5862 . . . . . 6  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( p `  Z
)  =  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  Z ) )
4847eqeq1d 2452 . . . . 5  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( ( p `  Z )  =  0  <-> 
( ( t  e.  T  |->  0 ) `  Z )  =  0 ) )
4942breq2d 4413 . . . . . 6  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( 0  <  (
p `  t )  <->  0  <  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t ) ) )
5041, 49ralbid 2821 . . . . 5  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )  <->  A. t  e.  ( T 
\  U ) 0  <  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t ) ) )
5146, 48, 503anbi123d 1338 . . . 4  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( p `  t
) )  <->  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( (
t  e.  T  |->  0 ) `  t )  /\  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t )  <_ 
1 )  /\  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t ) ) ) )
5251rspcev 3149 . . 3  |-  ( ( ( t  e.  T  |->  0 )  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t )  /\  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  <_  1 )  /\  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
) ) )  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
535, 25, 36, 38, 52syl13anc 1269 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
5411nfn 1982 . . . 4  |-  F/ t  -.  ( T  \  U )  =  (/)
556, 54nfan 2010 . . 3  |-  F/ t ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )
56 stoweidlem55.3 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
57 stoweidlem55.14 . . 3  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
58 stoweidlem55.15 . . 3  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
59 stoweidlem55.6 . . 3  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
60 stoweidlem55.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
6160adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  J  e. 
Comp )
62 stoweidlem55.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
6362adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  A  C_  C )
64 stoweidlem55.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
65643adant1r 1260 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
66 stoweidlem55.9 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
67663adant1r 1260 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
682adantlr 720 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  x )  e.  A )
69 stoweidlem55.11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
7069adantlr 720 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
7127adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  U  e.  J )
72 neqne 37368 . . . 4  |-  ( -.  ( T  \  U
)  =  (/)  ->  ( T  \  U )  =/=  (/) )
7372adantl 468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( T 
\  U )  =/=  (/) )
7426adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  Z  e.  U )
758, 55, 56, 57, 58, 30, 59, 61, 63, 65, 67, 68, 70, 71, 73, 74stoweidlem53 37908 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( p `  t
) ) )
7653, 75pm2.61dan 799 1  |-  ( ph  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443   F/wnf 1666    e. wcel 1886   F/_wnfc 2578    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740    \ cdif 3400    C_ wss 3403   (/)c0 3730   U.cuni 4197   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   ran crn 4834   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    x. cmul 9541    < clt 9672    <_ cle 9673   (,)cioo 11632   topGenctg 15329    Cn ccn 20233   Compccmp 20394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-cmp 20395  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330
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