Theorem stoweidlem55 29775

Description: This lemma proves the existence of a function p as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Here Z is used to represent t₀ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem55.1	|- F/_ t U
stoweidlem55.2	|- F/ t ph
stoweidlem55.3	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem55.4	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem55.5	|- T = U. J
stoweidlem55.6	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem55.7	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem55.8	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem55.9	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem55.10	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem55.11	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem55.12	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem55.13	|- ( ph -> Z e. U )
stoweidlem55.14	|- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
stoweidlem55.15	|- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem55	|- ( ph -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, h, q, t, T   f, r, A, g, q, t   x, f, h, q, t, T   Q, f, g, q   U, f, g, h, q   f, Z, g, h, q, t   ph, f, g, h, q   w, g, h, t, T   g, W   A, h, x   h, J, t, w   q, p, t, T   A, p   U, p   Z, p   x, r, T   U, r, x   ph, r, x   t, K   x, w, Q   w, U   ph, w   x, Z

Allowed substitution hints:   ph( t, p)   A( w)   C( x, w, t, f, g, h, r, q, p)   Q( t, h, r, p)   U( t)   J( x, f, g, r, q, p)   K( x, w, f, g, h, r, q, p)   W( x, w, t, f, h, r, q, p)   Z( w, r)

Proof of Theorem stoweidlem55

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 9382	. . . . 5 |- 0 e. RR
2		stoweidlem55.10	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
3	2	stoweidlem4 29724	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 0 e. RR ) -> ( t e. T |-> 0 ) e. A )
4	1, 3	mpan2 666	. . . 4 |- ( ph -> ( t e. T |-> 0 ) e. A )
5	4	adantr 462	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> ( t e. T |-> 0 ) e. A )
6		stoweidlem55.2	. . . . 5 |- F/ t ph
7		nfcv 2577	. . . . . . 7 |- F/_ t T
8		stoweidlem55.1	. . . . . . 7 |- F/_ t U
9	7, 8	nfdif 3474	. . . . . 6 |- F/_ t ( T \ U )
10		nfcv 2577	. . . . . 6 |- F/_ t (/)
11	9, 10	nfeq 2584	. . . . 5 |- F/ t ( T \ U ) = (/)
12	6, 11	nfan 1865	. . . 4 |- F/ t ( ph /\ ( T \ U ) = (/) )
13		0le0 10407	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 0
14		0cn 9374	. . . . . . . . 9 |- 0 e. CC
15		eqid 2441	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. T |-> 0 ) = ( t e. T |-> 0 )
16	15	fvmpt2 5778	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. T /\ 0 e. CC ) -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) = 0 )
17	14, 16	mpan2 666	. . . . . . . 8 |- ( t e. T -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) = 0 )
18	13, 17	syl5breqr 4325	. . . . . . 7 |- ( t e. T -> 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) )
19	18	adantl 463	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) )
20		0le1 9859	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 1
21	17, 20	syl6eqbr 4326	. . . . . . 7 |- ( t e. T -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 )
22	21	adantl 463	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) /\ t e. T ) -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 )
23	19, 22	jca 529	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) )
24	23	ex 434	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> ( t e. T -> ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) ) )
25	12, 24	ralrimi 2795	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) )
26		stoweidlem55.13	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. U )
27		stoweidlem55.12	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. J )
28	26, 27	jca 529	. . . . 5 |- ( ph -> ( Z e. U /\ U e. J ) )
29		elunii 4093	. . . . . 6 |- ( ( Z e. U /\ U e. J ) -> Z e. U. J )
30		stoweidlem55.5	. . . . . 6 |- T = U. J
31	29, 30	syl6eleqr 2532	. . . . 5 |- ( ( Z e. U /\ U e. J ) -> Z e. T )
32		eqidd 2442	. . . . . 6 |- ( t = Z -> 0 = 0 )
33		c0ex 9376	. . . . . 6 |- 0 e. _V
34	32, 15, 33	fvmpt 5771	. . . . 5 |- ( Z e. T -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 )
35	28, 31, 34	3syl 20	. . . 4 |- ( ph -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 )
36	35	adantr 462	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 )
37	11	rzalf 29664	. . . 4 |- ( ( T \ U ) = (/) -> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) )
38	37	adantl 463	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) )
39		nfcv 2577	. . . . . . 7 |- F/_ t p
40		nfmpt1 4378	. . . . . . 7 |- F/_ t ( t e. T |-> 0 )
41	39, 40	nfeq 2584	. . . . . 6 |- F/ t p = ( t e. T |-> 0 )
42		fveq1 5687	. . . . . . . 8 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( p ` t ) = ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) )
43	42	breq2d 4301	. . . . . . 7 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( 0 <_ ( p ` t ) <-> 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) ) )
44	42	breq1d 4299	. . . . . . 7 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( ( p ` t ) <_ 1 <-> ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) )
45	43, 44	anbi12d 705	. . . . . 6 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) ) )
46	41, 45	ralbid 2731	. . . . 5 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) ) )
47		fveq1 5687	. . . . . 6 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( p ` Z ) = ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) )
48	47	eqeq1d 2449	. . . . 5 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( ( p ` Z ) = 0 <-> ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 ) )
49	42	breq2d 4301	. . . . . 6 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( 0 < ( p ` t ) <-> 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) ) )
50	41, 49	ralbid 2731	. . . . 5 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) <-> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) ) )
51	46, 48, 50	3anbi123d 1284	. . . 4 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) ) ) )
52	51	rspcev 3070	. . 3 |- ( ( ( t e. T |-> 0 ) e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) ) ) -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )
53	5, 25, 36, 38, 52	syl13anc 1215	. 2 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )
54	11	nfn 1840	. . . 4 |- F/ t -. ( T \ U ) = (/)
55	6, 54	nfan 1865	. . 3 |- F/ t ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) )
56		stoweidlem55.3	. . 3 |- K = ( topGen ` ran (,) )
57		stoweidlem55.14	. . 3 |- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
58		stoweidlem55.15	. . 3 |- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
59		stoweidlem55.6	. . 3 |- C = ( J Cn K )
60		stoweidlem55.4	. . . 4 |- ( ph -> J e. Comp )
61	60	adantr 462	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> J e. Comp )
62		stoweidlem55.7	. . . 4 |- ( ph -> A C_ C )
63	62	adantr 462	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> A C_ C )
64		stoweidlem55.8	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
65	64	3adant1r 1206	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
66		stoweidlem55.9	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
67	66	3adant1r 1206	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
68	2	adantlr 709	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
69		stoweidlem55.11	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
70	69	adantlr 709	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
71	27	adantr 462	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> U e. J )
72		df-ne 2606	. . . . 5 |- ( ( T \ U ) =/= (/) <-> -. ( T \ U ) = (/) )
73	72	biimpri 206	. . . 4 |- ( -. ( T \ U ) = (/) -> ( T \ U ) =/= (/) )
74	73	adantl 463	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> ( T \ U ) =/= (/) )
75	26	adantr 462	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> Z e. U )
76	8, 55, 56, 57, 58, 30, 59, 61, 63, 65, 67, 68, 70, 71, 74, 75	stoweidlem53 29773	. 2 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )
77	53, 76	pm2.61dan 784	1 |- ( ph -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   F/wnf 1594   e. wcel 1761   F/_wnfc 2564   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   \ cdif 3322   C_ wss 3325   (/)c0 3634   U.cuni 4088   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   ran crn 4837   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   + caddc 9281   x. cmul 9283   < clt 9414   <_ cle 9415   (,)cioo 11296   topGenctg 14372   Cn ccn 18787   Compccmp 18948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-mulf 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856

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