Theorem stoweidlem55 31371

Description: This lemma proves the existence of a function p as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Here Z is used to represent t₀ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem55.1	|- F/_ t U
stoweidlem55.2	|- F/ t ph
stoweidlem55.3	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem55.4	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem55.5	|- T = U. J
stoweidlem55.6	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem55.7	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem55.8	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem55.9	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem55.10	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem55.11	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem55.12	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem55.13	|- ( ph -> Z e. U )
stoweidlem55.14	|- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
stoweidlem55.15	|- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem55	|- ( ph -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, h, q, t, T   f, r, A, g, q, t   x, f, h, q, t, T   Q, f, g, q   U, f, g, h, q   f, Z, g, h, q, t   ph, f, g, h, q   w, g, h, t, T   g, W   A, h, x   h, J, t, w   q, p, t, T   A, p   U, p   Z, p   x, r, T   U, r, x   ph, r, x   t, K   x, w, Q   w, U   ph, w   x, Z

Allowed substitution hints:   ph( t, p)   A( w)   C( x, w, t, f, g, h, r, q, p)   Q( t, h, r, p)   U( t)   J( x, f, g, r, q, p)   K( x, w, f, g, h, r, q, p)   W( x, w, t, f, h, r, q, p)   Z( w, r)

Proof of Theorem stoweidlem55

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 9595	. . . . 5 |- 0 e. RR
2		stoweidlem55.10	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
3	2	stoweidlem4 31320	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 0 e. RR ) -> ( t e. T |-> 0 ) e. A )
4	1, 3	mpan2 671	. . . 4 |- ( ph -> ( t e. T |-> 0 ) e. A )
5	4	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> ( t e. T |-> 0 ) e. A )
6		stoweidlem55.2	. . . . 5 |- F/ t ph
7		nfcv 2629	. . . . . . 7 |- F/_ t T
8		stoweidlem55.1	. . . . . . 7 |- F/_ t U
9	7, 8	nfdif 3625	. . . . . 6 |- F/_ t ( T \ U )
10		nfcv 2629	. . . . . 6 |- F/_ t (/)
11	9, 10	nfeq 2640	. . . . 5 |- F/ t ( T \ U ) = (/)
12	6, 11	nfan 1875	. . . 4 |- F/ t ( ph /\ ( T \ U ) = (/) )
13		0le0 10624	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 0
14		0cn 9587	. . . . . . . . 9 |- 0 e. CC
15		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. T |-> 0 ) = ( t e. T |-> 0 )
16	15	fvmpt2 5956	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. T /\ 0 e. CC ) -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) = 0 )
17	14, 16	mpan2 671	. . . . . . . 8 |- ( t e. T -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) = 0 )
18	13, 17	syl5breqr 4483	. . . . . . 7 |- ( t e. T -> 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) )
19	18	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) )
20		0le1 10075	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 1
21	17, 20	syl6eqbr 4484	. . . . . . 7 |- ( t e. T -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 )
22	21	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) /\ t e. T ) -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 )
23	19, 22	jca 532	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) )
24	23	ex 434	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> ( t e. T -> ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) ) )
25	12, 24	ralrimi 2864	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) )
26		stoweidlem55.13	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. U )
27		stoweidlem55.12	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. J )
28	26, 27	jca 532	. . . . 5 |- ( ph -> ( Z e. U /\ U e. J ) )
29		elunii 4250	. . . . . 6 |- ( ( Z e. U /\ U e. J ) -> Z e. U. J )
30		stoweidlem55.5	. . . . . 6 |- T = U. J
31	29, 30	syl6eleqr 2566	. . . . 5 |- ( ( Z e. U /\ U e. J ) -> Z e. T )
32		eqidd 2468	. . . . . 6 |- ( t = Z -> 0 = 0 )
33		c0ex 9589	. . . . . 6 |- 0 e. _V
34	32, 15, 33	fvmpt 5949	. . . . 5 |- ( Z e. T -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 )
35	28, 31, 34	3syl 20	. . . 4 |- ( ph -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 )
36	35	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 )
37	11	rzalf 30986	. . . 4 |- ( ( T \ U ) = (/) -> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) )
38	37	adantl 466	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) )
39		nfcv 2629	. . . . . . 7 |- F/_ t p
40		nfmpt1 4536	. . . . . . 7 |- F/_ t ( t e. T |-> 0 )
41	39, 40	nfeq 2640	. . . . . 6 |- F/ t p = ( t e. T |-> 0 )
42		fveq1 5864	. . . . . . . 8 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( p ` t ) = ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) )
43	42	breq2d 4459	. . . . . . 7 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( 0 <_ ( p ` t ) <-> 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) ) )
44	42	breq1d 4457	. . . . . . 7 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( ( p ` t ) <_ 1 <-> ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) )
45	43, 44	anbi12d 710	. . . . . 6 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) ) )
46	41, 45	ralbid 2898	. . . . 5 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) ) )
47		fveq1 5864	. . . . . 6 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( p ` Z ) = ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) )
48	47	eqeq1d 2469	. . . . 5 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( ( p ` Z ) = 0 <-> ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 ) )
49	42	breq2d 4459	. . . . . 6 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( 0 < ( p ` t ) <-> 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) ) )
50	41, 49	ralbid 2898	. . . . 5 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) <-> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) ) )
51	46, 48, 50	3anbi123d 1299	. . . 4 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) ) ) )
52	51	rspcev 3214	. . 3 |- ( ( ( t e. T |-> 0 ) e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) ) ) -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )
53	5, 25, 36, 38, 52	syl13anc 1230	. 2 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )
54	11	nfn 1849	. . . 4 |- F/ t -. ( T \ U ) = (/)
55	6, 54	nfan 1875	. . 3 |- F/ t ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) )
56		stoweidlem55.3	. . 3 |- K = ( topGen ` ran (,) )
57		stoweidlem55.14	. . 3 |- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
58		stoweidlem55.15	. . 3 |- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
59		stoweidlem55.6	. . 3 |- C = ( J Cn K )
60		stoweidlem55.4	. . . 4 |- ( ph -> J e. Comp )
61	60	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> J e. Comp )
62		stoweidlem55.7	. . . 4 |- ( ph -> A C_ C )
63	62	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> A C_ C )
64		stoweidlem55.8	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
65	64	3adant1r 1221	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
66		stoweidlem55.9	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
67	66	3adant1r 1221	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
68	2	adantlr 714	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
69		stoweidlem55.11	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
70	69	adantlr 714	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
71	27	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> U e. J )
72		df-ne 2664	. . . . 5 |- ( ( T \ U ) =/= (/) <-> -. ( T \ U ) = (/) )
73	72	biimpri 206	. . . 4 |- ( -. ( T \ U ) = (/) -> ( T \ U ) =/= (/) )
74	73	adantl 466	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> ( T \ U ) =/= (/) )
75	26	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> Z e. U )
76	8, 55, 56, 57, 58, 30, 59, 61, 63, 65, 67, 68, 70, 71, 74, 75	stoweidlem53 31369	. 2 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )
77	53, 76	pm2.61dan 789	1 |- ( ph -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   F/wnf 1599   e. wcel 1767   F/_wnfc 2615   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   \ cdif 3473   C_ wss 3476   (/)c0 3785   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   ran crn 5000   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   CCcc 9489   RRcr 9490   0cc0 9491   1c1 9492   + caddc 9494   x. cmul 9496   < clt 9627   <_ cle 9628   (,)cioo 11528   topGenctg 14692   Cn ccn 19507   Compccmp 19668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569  ax-mulf 9571

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-fi 7870  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-ioo 11532  df-ico 11534  df-icc 11535  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-exp 12134  df-hash 12373  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-clim 13273  df-sum 13471  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-starv 14569  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-unif 14577  df-hom 14578  df-cco 14579  df-rest 14677  df-topn 14678  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-topgen 14698  df-pt 14699  df-prds 14702  df-xrs 14756  df-qtop 14761  df-imas 14762  df-xps 14764  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-mulg 15867  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-cnfld 18208  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-topsp 19186  df-cld 19302  df-cn 19510  df-cnp 19511  df-cmp 19669  df-tx 19814  df-hmeo 20007  df-xms 20574  df-ms 20575  df-tms 20576

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