Theorem stoweidlem55 37910

Description: This lemma proves the existence of a function p as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Here Z is used to represent t₀ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem55.1	|- F/_ t U
stoweidlem55.2	|- F/ t ph
stoweidlem55.3	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem55.4	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem55.5	|- T = U. J
stoweidlem55.6	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem55.7	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem55.8	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem55.9	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem55.10	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem55.11	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem55.12	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem55.13	|- ( ph -> Z e. U )
stoweidlem55.14	|- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
stoweidlem55.15	|- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem55	|- ( ph -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, h, q, t, T   f, r, A, g, q, t   x, f, h, q, t, T   Q, f, g, q   U, f, g, h, q   f, Z, g, h, q, t   ph, f, g, h, q   w, g, h, t, T   g, W   A, h, x   h, J, t, w   q, p, t, T   A, p   U, p   Z, p   x, r, T   U, r, x   ph, r, x   t, K   x, w, Q   w, U   ph, w   x, Z

Allowed substitution hints:   ph( t, p)   A( w)   C( x, w, t, f, g, h, r, q, p)   Q( t, h, r, p)   U( t)   J( x, f, g, r, q, p)   K( x, w, f, g, h, r, q, p)   W( x, w, t, f, h, r, q, p)   Z( w, r)

Proof of Theorem stoweidlem55

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 9640	. . . . 5 |- 0 e. RR
2		stoweidlem55.10	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
3	2	stoweidlem4 37858	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 0 e. RR ) -> ( t e. T |-> 0 ) e. A )
4	1, 3	mpan2 676	. . . 4 |- ( ph -> ( t e. T |-> 0 ) e. A )
5	4	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> ( t e. T |-> 0 ) e. A )
6		stoweidlem55.2	. . . . 5 |- F/ t ph
7		nfcv 2591	. . . . . . 7 |- F/_ t T
8		stoweidlem55.1	. . . . . . 7 |- F/_ t U
9	7, 8	nfdif 3553	. . . . . 6 |- F/_ t ( T \ U )
10		nfcv 2591	. . . . . 6 |- F/_ t (/)
11	9, 10	nfeq 2602	. . . . 5 |- F/ t ( T \ U ) = (/)
12	6, 11	nfan 2010	. . . 4 |- F/ t ( ph /\ ( T \ U ) = (/) )
13		0le0 10696	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 0
14		0cn 9632	. . . . . . . . 9 |- 0 e. CC
15		eqid 2450	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. T |-> 0 ) = ( t e. T |-> 0 )
16	15	fvmpt2 5955	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. T /\ 0 e. CC ) -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) = 0 )
17	14, 16	mpan2 676	. . . . . . . 8 |- ( t e. T -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) = 0 )
18	13, 17	syl5breqr 4438	. . . . . . 7 |- ( t e. T -> 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) )
19	18	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) )
20		0le1 10134	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 1
21	17, 20	syl6eqbr 4439	. . . . . . 7 |- ( t e. T -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 )
22	21	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) /\ t e. T ) -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 )
23	19, 22	jca 535	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) )
24	23	ex 436	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> ( t e. T -> ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) ) )
25	12, 24	ralrimi 2787	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) )
26		stoweidlem55.13	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. U )
27		stoweidlem55.12	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. J )
28	26, 27	jca 535	. . . . 5 |- ( ph -> ( Z e. U /\ U e. J ) )
29		elunii 4202	. . . . . 6 |- ( ( Z e. U /\ U e. J ) -> Z e. U. J )
30		stoweidlem55.5	. . . . . 6 |- T = U. J
31	29, 30	syl6eleqr 2539	. . . . 5 |- ( ( Z e. U /\ U e. J ) -> Z e. T )
32		eqidd 2451	. . . . . 6 |- ( t = Z -> 0 = 0 )
33		c0ex 9634	. . . . . 6 |- 0 e. _V
34	32, 15, 33	fvmpt 5946	. . . . 5 |- ( Z e. T -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 )
35	28, 31, 34	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 )
36	35	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 )
37	11	rzalf 37332	. . . 4 |- ( ( T \ U ) = (/) -> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) )
38	37	adantl 468	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) )
39		nfcv 2591	. . . . . . 7 |- F/_ t p
40		nfmpt1 4491	. . . . . . 7 |- F/_ t ( t e. T |-> 0 )
41	39, 40	nfeq 2602	. . . . . 6 |- F/ t p = ( t e. T |-> 0 )
42		fveq1 5862	. . . . . . . 8 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( p ` t ) = ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) )
43	42	breq2d 4413	. . . . . . 7 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( 0 <_ ( p ` t ) <-> 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) ) )
44	42	breq1d 4411	. . . . . . 7 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( ( p ` t ) <_ 1 <-> ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) )
45	43, 44	anbi12d 716	. . . . . 6 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) ) )
46	41, 45	ralbid 2821	. . . . 5 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) ) )
47		fveq1 5862	. . . . . 6 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( p ` Z ) = ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) )
48	47	eqeq1d 2452	. . . . 5 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( ( p ` Z ) = 0 <-> ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 ) )
49	42	breq2d 4413	. . . . . 6 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( 0 < ( p ` t ) <-> 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) ) )
50	41, 49	ralbid 2821	. . . . 5 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) <-> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) ) )
51	46, 48, 50	3anbi123d 1338	. . . 4 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) ) ) )
52	51	rspcev 3149	. . 3 |- ( ( ( t e. T |-> 0 ) e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) ) ) -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )
53	5, 25, 36, 38, 52	syl13anc 1269	. 2 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )
54	11	nfn 1982	. . . 4 |- F/ t -. ( T \ U ) = (/)
55	6, 54	nfan 2010	. . 3 |- F/ t ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) )
56		stoweidlem55.3	. . 3 |- K = ( topGen ` ran (,) )
57		stoweidlem55.14	. . 3 |- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
58		stoweidlem55.15	. . 3 |- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
59		stoweidlem55.6	. . 3 |- C = ( J Cn K )
60		stoweidlem55.4	. . . 4 |- ( ph -> J e. Comp )
61	60	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> J e. Comp )
62		stoweidlem55.7	. . . 4 |- ( ph -> A C_ C )
63	62	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> A C_ C )
64		stoweidlem55.8	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
65	64	3adant1r 1260	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
66		stoweidlem55.9	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
67	66	3adant1r 1260	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
68	2	adantlr 720	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
69		stoweidlem55.11	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
70	69	adantlr 720	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
71	27	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> U e. J )
72		neqne 37368	. . . 4 |- ( -. ( T \ U ) = (/) -> ( T \ U ) =/= (/) )
73	72	adantl 468	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> ( T \ U ) =/= (/) )
74	26	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> Z e. U )
75	8, 55, 56, 57, 58, 30, 59, 61, 63, 65, 67, 68, 70, 71, 73, 74	stoweidlem53 37908	. 2 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )
76	53, 75	pm2.61dan 799	1 |- ( ph -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   F/wnf 1666   e. wcel 1886   F/_wnfc 2578   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   \ cdif 3400   C_ wss 3403   (/)c0 3730   U.cuni 4197   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   ran crn 4834   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   x. cmul 9541   < clt 9672   <_ cle 9673   (,)cioo 11632   topGenctg 15329   Cn ccn 20233   Compccmp 20394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-cmp 20395  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330

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