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Theorem stoweidlem55 27671
Description: This lemma proves the existence of a function p as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Here Z is used to represent t0 in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem55.1  |-  F/_ t U
stoweidlem55.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem55.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem55.4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem55.5  |-  T  = 
U. J
stoweidlem55.6  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem55.7  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem55.8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem55.9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem55.10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem55.11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem55.12  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem55.13  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
stoweidlem55.14  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem55.15  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
Assertion
Ref Expression
stoweidlem55  |-  ( ph  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
Distinct variable groups:    f, g, h, q, t, T    f,
r, A, g, q, t    x, f, h, q, t, T    Q, f, g, q    U, f, g, h, q    f, Z, g, h, q, t    ph, f, g, h, q   
w, g, h, t, T    g, W    A, h, x    h, J, t, w    q, p, t, T    A, p    U, p    Z, p    x, r, T    U, r, x    ph, r, x    t, K    x, w, Q    w, U    ph, w    x, Z
Allowed substitution hints:    ph( t, p)    A( w)    C( x, w, t, f, g, h, r, q, p)    Q( t, h, r, p)    U( t)    J( x, f, g, r, q, p)    K( x, w, f, g, h, r, q, p)    W( x, w, t, f, h, r, q, p)    Z( w, r)

Proof of Theorem stoweidlem55
StepHypRef Expression
1 0re 9047 . . . . 5  |-  0  e.  RR
2 stoweidlem55.10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
32stoweidlem4 27620 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  0 )  e.  A )
41, 3mpan2 653 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  0 )  e.  A
)
54adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( t  e.  T  |->  0 )  e.  A )
6 stoweidlem55.2 . . . . 5  |-  F/ t
ph
7 nfcv 2540 . . . . . . 7  |-  F/_ t T
8 stoweidlem55.1 . . . . . . 7  |-  F/_ t U
97, 8nfdif 3428 . . . . . 6  |-  F/_ t
( T  \  U
)
10 nfcv 2540 . . . . . 6  |-  F/_ t (/)
119, 10nfeq 2547 . . . . 5  |-  F/ t ( T  \  U
)  =  (/)
126, 11nfan 1842 . . . 4  |-  F/ t ( ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )
13 0le0 10037 . . . . . . . 8  |-  0  <_  0
14 0cn 9040 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
15 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  T  |->  0 )  =  ( t  e.  T  |->  0 )
1615fvmpt2 5771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  T  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t )  =  0 )
1714, 16mpan2 653 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  T  ->  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  =  0 )
1813, 17syl5breqr 4208 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  T  ->  0  <_  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t ) )
1918adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t ) )
20 0le1 9507 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
2117, 20syl6eqbr 4209 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  T  ->  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  <_  1 )
2221adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  <_  1 )
2319, 22jca 519 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( (
t  e.  T  |->  0 ) `  t )  /\  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t )  <_ 
1 ) )
2423ex 424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t )  /\  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t )  <_  1
) ) )
2512, 24ralrimi 2747 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  /\  ( (
t  e.  T  |->  0 ) `  t )  <_  1 ) )
26 stoweidlem55.13 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
27 stoweidlem55.12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
2826, 27jca 519 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  U  /\  U  e.  J
) )
29 elunii 3980 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  U  /\  U  e.  J )  ->  Z  e.  U. J
)
30 stoweidlem55.5 . . . . . 6  |-  T  = 
U. J
3129, 30syl6eleqr 2495 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  U  /\  U  e.  J )  ->  Z  e.  T )
32 eqidd 2405 . . . . . 6  |-  ( t  =  Z  ->  0  =  0 )
33 c0ex 9041 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
3432, 15, 33fvmpt 5765 . . . . 5  |-  ( Z  e.  T  ->  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  Z
)  =  0 )
3528, 31, 343syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  Z )  =  0 )
3635adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 Z )  =  0 )
3711rzalf 27555 . . . 4  |-  ( ( T  \  U )  =  (/)  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
) )
3837adantl 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t ) )
39 nfcv 2540 . . . . . . 7  |-  F/_ t
p
40 nfmpt1 4258 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  0 )
4139, 40nfeq 2547 . . . . . 6  |-  F/ t  p  =  ( t  e.  T  |->  0 )
42 fveq1 5686 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( p `  t
)  =  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t ) )
4342breq2d 4184 . . . . . . 7  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( 0  <_  (
p `  t )  <->  0  <_  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t ) ) )
4442breq1d 4182 . . . . . . 7  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( ( p `  t )  <_  1  <->  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  <_  1 ) )
4543, 44anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  <->  ( 0  <_ 
( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t )  /\  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  <_  1 ) ) )
4641, 45ralbid 2684 . . . . 5  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  /\  ( (
t  e.  T  |->  0 ) `  t )  <_  1 ) ) )
47 fveq1 5686 . . . . . 6  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( p `  Z
)  =  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  Z ) )
4847eqeq1d 2412 . . . . 5  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( ( p `  Z )  =  0  <-> 
( ( t  e.  T  |->  0 ) `  Z )  =  0 ) )
4942breq2d 4184 . . . . . 6  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( 0  <  (
p `  t )  <->  0  <  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t ) ) )
5041, 49ralbid 2684 . . . . 5  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )  <->  A. t  e.  ( T 
\  U ) 0  <  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t ) ) )
5146, 48, 503anbi123d 1254 . . . 4  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( p `  t
) )  <->  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( (
t  e.  T  |->  0 ) `  t )  /\  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t )  <_ 
1 )  /\  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t ) ) ) )
5251rspcev 3012 . . 3  |-  ( ( ( t  e.  T  |->  0 )  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t )  /\  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  <_  1 )  /\  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
) ) )  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
535, 25, 36, 38, 52syl13anc 1186 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
5411nfn 1807 . . . 4  |-  F/ t  -.  ( T  \  U )  =  (/)
556, 54nfan 1842 . . 3  |-  F/ t ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )
56 stoweidlem55.3 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
57 stoweidlem55.14 . . 3  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
58 stoweidlem55.15 . . 3  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
59 stoweidlem55.6 . . 3  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
60 stoweidlem55.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
6160adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  J  e. 
Comp )
62 stoweidlem55.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
6362adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  A  C_  C )
64 stoweidlem55.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
65643adant1r 1177 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
66 stoweidlem55.9 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
67663adant1r 1177 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
682adantlr 696 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  x )  e.  A )
69 stoweidlem55.11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
7069adantlr 696 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
7127adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  U  e.  J )
72 df-ne 2569 . . . . 5  |-  ( ( T  \  U )  =/=  (/)  <->  -.  ( T  \  U )  =  (/) )
7372biimpri 198 . . . 4  |-  ( -.  ( T  \  U
)  =  (/)  ->  ( T  \  U )  =/=  (/) )
7473adantl 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( T 
\  U )  =/=  (/) )
7526adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  Z  e.  U )
768, 55, 56, 57, 58, 30, 59, 61, 63, 65, 67, 68, 70, 71, 74, 75stoweidlem53 27669 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( p `  t
) ) )
7753, 76pm2.61dan 767 1  |-  ( ph  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   F/wnf 1550    = wceq 1649    e. wcel 1721   F/_wnfc 2527    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670    \ cdif 3277    C_ wss 3280   (/)c0 3588   U.cuni 3975   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ran crn 4838   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077   (,)cioo 10872   topGenctg 13620    Cn ccn 17242   Compccmp 17403
This theorem is referenced by:  stoweidlem56  27672
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305
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