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Theorem stoweidlem55 27906
Description: This lemma proves the existence of a function p as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Here Z is used to represent t0 in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem55.1  |-  F/_ t U
stoweidlem55.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem55.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem55.4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem55.5  |-  T  = 
U. J
stoweidlem55.6  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem55.7  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem55.8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem55.9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem55.10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem55.11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem55.12  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem55.13  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
stoweidlem55.14  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem55.15  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
Assertion
Ref Expression
stoweidlem55  |-  ( ph  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
Distinct variable groups:    f, g, h, q, t, T    f,
r, A, g, q, t    x, f, h, q, t, T    Q, f, g, q    U, f, g, h, q    f, Z, g, h, q, t    ph, f, g, h, q   
w, g, h, t, T    g, W    A, h, x    h, J, t, w    q, p, t, T    A, p    U, p    Z, p    x, r, T    U, r, x    ph, r, x    t, K    x, w, Q    w, U    ph, w    x, Z
Allowed substitution hints:    ph( t, p)    A( w)    C( x, w, t, f, g, h, r, q, p)    Q( t, h, r, p)    U( t)    J( x, f, g, r, q, p)    K( x, w, f, g, h, r, q, p)    W( x, w, t, f, h, r, q, p)    Z( w, r)

Proof of Theorem stoweidlem55
StepHypRef Expression
1 0re 8854 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
21a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
32ancli 534 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  0  e.  RR ) )
4 stoweidlem55.10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
54stoweidlem4 27855 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  0 )  e.  A )
63, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  0 )  e.  A
)
76adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( t  e.  T  |->  0 )  e.  A )
8 stoweidlem55.2 . . . . . . 7  |-  F/ t
ph
9 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t T
10 stoweidlem55.1 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t U
119, 10nfdif 3310 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( T  \  U
)
12 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ t (/)
1311, 12nfeq 2439 . . . . . . 7  |-  F/ t ( T  \  U
)  =  (/)
148, 13nfan 1783 . . . . . 6  |-  F/ t ( ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )
15 leid 8932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  <_  0 )
161, 15ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  0
17 0cn 8847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
1817jctr 526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  T  ->  (
t  e.  T  /\  0  e.  CC )
)
19 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  T  |->  0 )  =  ( t  e.  T  |->  0 )
2019fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  T  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t )  =  0 )
2118, 20syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  T  ->  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  =  0 )
2221eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  T  ->  0  =  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t ) )
2316, 22syl5breq 4074 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  T  ->  0  <_  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t ) )
2423adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t ) )
25 0le1 9313 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  1
2622, 25syl6eqbrr 4077 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  T  ->  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  <_  1 )
2726adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  <_  1 )
2824, 27jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( (
t  e.  T  |->  0 ) `  t )  /\  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t )  <_ 
1 ) )
2928ex 423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t )  /\  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t )  <_  1
) ) )
3014, 29ralrimi 2637 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  /\  ( (
t  e.  T  |->  0 ) `  t )  <_  1 ) )
31 stoweidlem55.13 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
32 stoweidlem55.12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
3331, 32jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  U  /\  U  e.  J
) )
34 elunii 3848 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  e.  U  /\  U  e.  J )  ->  Z  e.  U. J
)
35 stoweidlem55.5 . . . . . . . . 9  |-  T  = 
U. J
3634, 35syl6eleqr 2387 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  e.  U  /\  U  e.  J )  ->  Z  e.  T )
3733, 36syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
38 eqidd 2297 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  Z  ->  0  =  0 )
39 elex 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  CC  ->  0  e.  _V )
4017, 39ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
4138, 19, 40fvmpt 5618 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  T  ->  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  Z
)  =  0 )
4237, 41syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  Z )  =  0 )
4342adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 Z )  =  0 )
4413rzalf 27790 . . . . . 6  |-  ( ( T  \  U )  =  (/)  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
) )
4544adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t ) )
4630, 43, 453jca 1132 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t )  /\  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t )  <_  1
)  /\  ( (
t  e.  T  |->  0 ) `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t ) ) )
477, 46jca 518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( ( t  e.  T  |->  0 )  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  /\  ( (
t  e.  T  |->  0 ) `  t )  <_  1 )  /\  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
) ) ) )
48 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ t
p
49 nfmpt1 4125 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  0 )
5048, 49nfeq 2439 . . . . . 6  |-  F/ t  p  =  ( t  e.  T  |->  0 )
51 fveq1 5540 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( p `  t
)  =  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t ) )
5251breq2d 4051 . . . . . . 7  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( 0  <_  (
p `  t )  <->  0  <_  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t ) ) )
5351breq1d 4049 . . . . . . 7  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( ( p `  t )  <_  1  <->  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  <_  1 ) )
5452, 53anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  <->  ( 0  <_ 
( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t )  /\  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  <_  1 ) ) )
5550, 54ralbid 2574 . . . . 5  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  /\  ( (
t  e.  T  |->  0 ) `  t )  <_  1 ) ) )
56 fveq1 5540 . . . . . 6  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( p `  Z
)  =  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  Z ) )
5756eqeq1d 2304 . . . . 5  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( ( p `  Z )  =  0  <-> 
( ( t  e.  T  |->  0 ) `  Z )  =  0 ) )
5851breq2d 4051 . . . . . 6  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( 0  <  (
p `  t )  <->  0  <  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t ) ) )
5950, 58ralbid 2574 . . . . 5  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )  <->  A. t  e.  ( T 
\  U ) 0  <  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t ) ) )
6055, 57, 593anbi123d 1252 . . . 4  |-  ( p  =  ( t  e.  T  |->  0 )  -> 
( ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( p `  t
) )  <->  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( (
t  e.  T  |->  0 ) `  t )  /\  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 t )  <_ 
1 )  /\  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t ) ) ) )
6160rspcev 2897 . . 3  |-  ( ( ( t  e.  T  |->  0 )  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( ( t  e.  T  |->  0 ) `  t )  /\  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
)  <_  1 )  /\  ( ( t  e.  T  |->  0 ) `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
( t  e.  T  |->  0 ) `  t
) ) )  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
6247, 61syl 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
6313nfn 1777 . . . 4  |-  F/ t  -.  ( T  \  U )  =  (/)
648, 63nfan 1783 . . 3  |-  F/ t ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )
65 stoweidlem55.3 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
66 stoweidlem55.14 . . 3  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
67 stoweidlem55.15 . . 3  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
68 stoweidlem55.6 . . 3  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
69 stoweidlem55.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
7069adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  J  e. 
Comp )
71 stoweidlem55.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
7271adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  A  C_  C )
73 simp1l 979 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ph )
74 simp2 956 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  f  e.  A )
75 simp3 957 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  g  e.  A )
7673, 74, 753jca 1132 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
) )
77 stoweidlem55.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
7876, 77syl 15 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
79 stoweidlem55.9 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
8076, 79syl 15 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
81 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  x  e.  RR )  ->  ph )
82 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
8381, 82jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ph  /\  x  e.  RR ) )
8483, 4syl 15 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  x )  e.  A )
85 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  ph )
86 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )
8785, 86jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  ( ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t
) ) )
88 stoweidlem55.11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
8987, 88syl 15 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
9032adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  U  e.  J )
91 df-ne 2461 . . . . 5  |-  ( ( T  \  U )  =/=  (/)  <->  -.  ( T  \  U )  =  (/) )
9291biimpri 197 . . . 4  |-  ( -.  ( T  \  U
)  =  (/)  ->  ( T  \  U )  =/=  (/) )
9392adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( T 
\  U )  =/=  (/) )
9431adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  Z  e.  U )
9510, 64, 65, 66, 67, 35, 68, 70, 72, 78, 80, 84, 89, 90, 93, 94stoweidlem53 27904 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( p `  t
) ) )
9662, 95pm2.61dan 766 1  |-  ( ph  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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p `  t )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1534    = wceq 1632    e. wcel 1696   F/_wnfc 2419    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884   (,)cioo 10672   topGenctg 13358    Cn ccn 16970   Compccmp 17129
This theorem is referenced by:  stoweidlem56  27907
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903
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