Theorem stoweidlem55 32040

Description: This lemma proves the existence of a function p as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Here Z is used to represent t₀ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem55.1	|- F/_ t U
stoweidlem55.2	|- F/ t ph
stoweidlem55.3	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem55.4	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem55.5	|- T = U. J
stoweidlem55.6	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem55.7	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem55.8	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem55.9	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem55.10	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem55.11	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem55.12	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem55.13	|- ( ph -> Z e. U )
stoweidlem55.14	|- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
stoweidlem55.15	|- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem55	|- ( ph -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, h, q, t, T   f, r, A, g, q, t   x, f, h, q, t, T   Q, f, g, q   U, f, g, h, q   f, Z, g, h, q, t   ph, f, g, h, q   w, g, h, t, T   g, W   A, h, x   h, J, t, w   q, p, t, T   A, p   U, p   Z, p   x, r, T   U, r, x   ph, r, x   t, K   x, w, Q   w, U   ph, w   x, Z

Allowed substitution hints:   ph( t, p)   A( w)   C( x, w, t, f, g, h, r, q, p)   Q( t, h, r, p)   U( t)   J( x, f, g, r, q, p)   K( x, w, f, g, h, r, q, p)   W( x, w, t, f, h, r, q, p)   Z( w, r)

Proof of Theorem stoweidlem55

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 9613	. . . . 5 |- 0 e. RR
2		stoweidlem55.10	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
3	2	stoweidlem4 31989	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 0 e. RR ) -> ( t e. T |-> 0 ) e. A )
4	1, 3	mpan2 671	. . . 4 |- ( ph -> ( t e. T |-> 0 ) e. A )
5	4	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> ( t e. T |-> 0 ) e. A )
6		stoweidlem55.2	. . . . 5 |- F/ t ph
7		nfcv 2619	. . . . . . 7 |- F/_ t T
8		stoweidlem55.1	. . . . . . 7 |- F/_ t U
9	7, 8	nfdif 3621	. . . . . 6 |- F/_ t ( T \ U )
10		nfcv 2619	. . . . . 6 |- F/_ t (/)
11	9, 10	nfeq 2630	. . . . 5 |- F/ t ( T \ U ) = (/)
12	6, 11	nfan 1929	. . . 4 |- F/ t ( ph /\ ( T \ U ) = (/) )
13		0le0 10646	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 0
14		0cn 9605	. . . . . . . . 9 |- 0 e. CC
15		eqid 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. T |-> 0 ) = ( t e. T |-> 0 )
16	15	fvmpt2 5964	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. T /\ 0 e. CC ) -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) = 0 )
17	14, 16	mpan2 671	. . . . . . . 8 |- ( t e. T -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) = 0 )
18	13, 17	syl5breqr 4492	. . . . . . 7 |- ( t e. T -> 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) )
19	18	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) )
20		0le1 10097	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 1
21	17, 20	syl6eqbr 4493	. . . . . . 7 |- ( t e. T -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 )
22	21	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) /\ t e. T ) -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 )
23	19, 22	jca 532	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) )
24	23	ex 434	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> ( t e. T -> ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) ) )
25	12, 24	ralrimi 2857	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) )
26		stoweidlem55.13	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. U )
27		stoweidlem55.12	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. J )
28	26, 27	jca 532	. . . . 5 |- ( ph -> ( Z e. U /\ U e. J ) )
29		elunii 4256	. . . . . 6 |- ( ( Z e. U /\ U e. J ) -> Z e. U. J )
30		stoweidlem55.5	. . . . . 6 |- T = U. J
31	29, 30	syl6eleqr 2556	. . . . 5 |- ( ( Z e. U /\ U e. J ) -> Z e. T )
32		eqidd 2458	. . . . . 6 |- ( t = Z -> 0 = 0 )
33		c0ex 9607	. . . . . 6 |- 0 e. _V
34	32, 15, 33	fvmpt 5956	. . . . 5 |- ( Z e. T -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 )
35	28, 31, 34	3syl 20	. . . 4 |- ( ph -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 )
36	35	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 )
37	11	rzalf 31595	. . . 4 |- ( ( T \ U ) = (/) -> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) )
38	37	adantl 466	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) )
39		nfcv 2619	. . . . . . 7 |- F/_ t p
40		nfmpt1 4546	. . . . . . 7 |- F/_ t ( t e. T |-> 0 )
41	39, 40	nfeq 2630	. . . . . 6 |- F/ t p = ( t e. T |-> 0 )
42		fveq1 5871	. . . . . . . 8 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( p ` t ) = ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) )
43	42	breq2d 4468	. . . . . . 7 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( 0 <_ ( p ` t ) <-> 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) ) )
44	42	breq1d 4466	. . . . . . 7 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( ( p ` t ) <_ 1 <-> ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) )
45	43, 44	anbi12d 710	. . . . . 6 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) ) )
46	41, 45	ralbid 2891	. . . . 5 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) ) )
47		fveq1 5871	. . . . . 6 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( p ` Z ) = ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) )
48	47	eqeq1d 2459	. . . . 5 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( ( p ` Z ) = 0 <-> ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 ) )
49	42	breq2d 4468	. . . . . 6 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( 0 < ( p ` t ) <-> 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) ) )
50	41, 49	ralbid 2891	. . . . 5 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) <-> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) ) )
51	46, 48, 50	3anbi123d 1299	. . . 4 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) ) ) )
52	51	rspcev 3210	. . 3 |- ( ( ( t e. T |-> 0 ) e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) ) ) -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )
53	5, 25, 36, 38, 52	syl13anc 1230	. 2 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )
54	11	nfn 1902	. . . 4 |- F/ t -. ( T \ U ) = (/)
55	6, 54	nfan 1929	. . 3 |- F/ t ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) )
56		stoweidlem55.3	. . 3 |- K = ( topGen ` ran (,) )
57		stoweidlem55.14	. . 3 |- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
58		stoweidlem55.15	. . 3 |- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
59		stoweidlem55.6	. . 3 |- C = ( J Cn K )
60		stoweidlem55.4	. . . 4 |- ( ph -> J e. Comp )
61	60	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> J e. Comp )
62		stoweidlem55.7	. . . 4 |- ( ph -> A C_ C )
63	62	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> A C_ C )
64		stoweidlem55.8	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
65	64	3adant1r 1221	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
66		stoweidlem55.9	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
67	66	3adant1r 1221	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
68	2	adantlr 714	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
69		stoweidlem55.11	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
70	69	adantlr 714	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
71	27	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> U e. J )
72		neqne 31637	. . . 4 |- ( -. ( T \ U ) = (/) -> ( T \ U ) =/= (/) )
73	72	adantl 466	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> ( T \ U ) =/= (/) )
74	26	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> Z e. U )
75	8, 55, 56, 57, 58, 30, 59, 61, 63, 65, 67, 68, 70, 71, 73, 74	stoweidlem53 32038	. 2 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )
76	53, 75	pm2.61dan 791	1 |- ( ph -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   F/wnf 1617   e. wcel 1819   F/_wnfc 2605   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   \ cdif 3468   C_ wss 3471   (/)c0 3793   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   < clt 9645   <_ cle 9646   (,)cioo 11554   topGenctg 14855   Cn ccn 19852   Compccmp 20013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951

This theorem is referenced by:  stoweidlem56  32041