Theorem stoweidlem54 29989

Description: There exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. Here D is used to represent A in the paper, because here A is used for the subalgebra of functions. E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem54.1	|- F/ i ph
stoweidlem54.2	|- F/ t ph
stoweidlem54.3	|- F/ y ph
stoweidlem54.4	|- F/ w ph
stoweidlem54.5	|- T = U. J
stoweidlem54.6	|- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
stoweidlem54.7	|- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
stoweidlem54.8	|- F = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( y ` i ) ` t ) ) )
stoweidlem54.9	|- Z = ( t e. T |-> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
stoweidlem54.10	|- V = { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
stoweidlem54.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem54.12	|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
stoweidlem54.13	|- ( ph -> M e. NN )
stoweidlem54.14	|- ( ph -> W : ( 1 ... M ) --> V )
stoweidlem54.15	|- ( ph -> B C_ T )
stoweidlem54.16	|- ( ph -> D C_ U. ran W )
stoweidlem54.17	|- ( ph -> D C_ T )
stoweidlem54.18	|- ( ph -> E. y ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
stoweidlem54.19	|- ( ph -> T e. _V )
stoweidlem54.20	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem54.21	|- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem54	|- ( ph -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, h, i, t, y, T   A, f, g, h, t, y   B, f, g, i, y   f, E, g, i, y   f, F, g   f, M, g, h, i, t   f, W, g, i   f, Y, g, i   ph, f, g   w, i, t, y, T   D, i, y   x, t, y, A   w, B   w, E   w, M   w, W   w, Y   x, B   x, D   x, E   x, M   x, P   x, T

Allowed substitution hints:   ph( x, y, w, t, e, h, i)   A( w, e, i)   B( t, e, h)   D( w, t, e, f, g, h)   P( y, w, t, e, f, g, h, i)   T( e)   U( x, y, w, t, e, f, g, h, i)   E( t, e, h)   F( x, y, w, t, e, h, i)   J( x, y, w, t, e, f, g, h, i)   M( y, e)   V( x, y, w, t, e, f, g, h, i)   W( x, y, t, e, h)   Y( x, y, t, e, h)   Z( x, y, w, t, e, f, g, h, i)

Proof of Theorem stoweidlem54

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem54.3	. . 3 |- F/ y ph
2		nfv 1674	. . 3 |- F/ y E. x ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )
3		stoweidlem54.18	. . 3 |- ( ph -> E. y ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
4		stoweidlem54.1	. . . . 5 |- F/ i ph
5		nfv 1674	. . . . . 6 |- F/ i y : ( 1 ... M ) --> Y
6		nfra1 2877	. . . . . 6 |- F/ i A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
7	5, 6	nfan 1863	. . . . 5 |- F/ i ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) )
8	4, 7	nfan 1863	. . . 4 |- F/ i ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
9		stoweidlem54.2	. . . . 5 |- F/ t ph
10		nfcv 2613	. . . . . . 7 |- F/_ t y
11		nfcv 2613	. . . . . . 7 |- F/_ t ( 1 ... M )
12		stoweidlem54.6	. . . . . . . 8 |- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
13		nfra1 2877	. . . . . . . . 9 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 )
14		nfcv 2613	. . . . . . . . 9 |- F/_ t A
15	13, 14	nfrab 3000	. . . . . . . 8 |- F/_ t { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
16	12, 15	nfcxfr 2611	. . . . . . 7 |- F/_ t Y
17	10, 11, 16	nff 5655	. . . . . 6 |- F/ t y : ( 1 ... M ) --> Y
18		nfra1 2877	. . . . . . . 8 |- F/ t A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M )
19		nfra1 2877	. . . . . . . 8 |- F/ t A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t )
20	18, 19	nfan 1863	. . . . . . 7 |- F/ t ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
21	11, 20	nfral 2880	. . . . . 6 |- F/ t A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
22	17, 21	nfan 1863	. . . . 5 |- F/ t ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) )
23	9, 22	nfan 1863	. . . 4 |- F/ t ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
24		stoweidlem54.4	. . . . 5 |- F/ w ph
25		nfv 1674	. . . . 5 |- F/ w ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) )
26	24, 25	nfan 1863	. . . 4 |- F/ w ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
27		stoweidlem54.10	. . . . 5 |- V = { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
28		nfrab1 2999	. . . . 5 |- F/_ w { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
29	27, 28	nfcxfr 2611	. . . 4 |- F/_ w V
30		stoweidlem54.7	. . . 4 |- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
31		eqid 2451	. . . 4 |- ( seq 1 ( P , y ) ` M ) = ( seq 1 ( P , y ) ` M )
32		stoweidlem54.8	. . . 4 |- F = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( y ` i ) ` t ) ) )
33		stoweidlem54.9	. . . 4 |- Z = ( t e. T |-> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
34		stoweidlem54.13	. . . . 5 |- ( ph -> M e. NN )
35	34	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> M e. NN )
36		stoweidlem54.14	. . . . 5 |- ( ph -> W : ( 1 ... M ) --> V )
37	36	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> W : ( 1 ... M ) --> V )
38		simprl 755	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> y : ( 1 ... M ) --> Y )
39		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) /\ w e. V ) -> w e. V )
40	27	rabeq2i 3067	. . . . . 6 |- ( w e. V <-> ( w e. J /\ A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) ) )
41	40	simplbi 460	. . . . 5 |- ( w e. V -> w e. J )
42		elssuni 4221	. . . . . 6 |- ( w e. J -> w C_ U. J )
43		stoweidlem54.5	. . . . . 6 |- T = U. J
44	42, 43	syl6sseqr 3503	. . . . 5 |- ( w e. J -> w C_ T )
45	39, 41, 44	3syl 20	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) /\ w e. V ) -> w C_ T )
46		stoweidlem54.16	. . . . 5 |- ( ph -> D C_ U. ran W )
47	46	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> D C_ U. ran W )
48		stoweidlem54.17	. . . . 5 |- ( ph -> D C_ T )
49	48	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> D C_ T )
50		stoweidlem54.15	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ T )
51	50	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> B C_ T )
52		r19.26 2947	. . . . . . 7 |- ( A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) <-> ( A. i e. ( 1 ... M ) A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. i e. ( 1 ... M ) A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) )
53	52	simplbi 460	. . . . . 6 |- ( A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) -> A. i e. ( 1 ... M ) A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) )
54	53	ad2antll 728	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... M ) A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) )
55	54	r19.21bi 2912	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) )
56	52	simprbi 464	. . . . . 6 |- ( A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) -> A. i e. ( 1 ... M ) A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
57	56	ad2antll 728	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... M ) A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
58	57	r19.21bi 2912	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
59		stoweidlem54.11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
60	59	3adant1r 1212	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
61		stoweidlem54.12	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
62	61	adantlr 714	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
63		stoweidlem54.19	. . . . 5 |- ( ph -> T e. _V )
64	63	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> T e. _V )
65		stoweidlem54.20	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR+ )
66	65	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> E e. RR+ )
67		stoweidlem54.21	. . . . 5 |- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )
68	67	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> E < ( 1 / 3 ) )
69	8, 23, 26, 29, 12, 30, 31, 32, 33, 35, 37, 38, 45, 47, 49, 51, 55, 58, 60, 62, 64, 66, 68	stoweidlem51 29986	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> E. x ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) ) )
70	1, 2, 3, 69	exlimdd 1917	. 2 |- ( ph -> E. x ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) ) )
71		df-rex 2801	. 2 |- ( E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) <-> E. x ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) ) )
72	70, 71	sylibr 212	1 |- ( ph -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   E.wex 1587   F/wnf 1590   e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   {crab 2799   _Vcvv 3070   \ cdif 3425   C_ wss 3428   U.cuni 4191   class class class wbr 4392   |-> cmpt 4450   ran crn 4941   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   |-> cmpt2 6194   RRcr 9384   0cc0 9385   1c1 9386   x. cmul 9390   < clt 9521   <_ cle 9522   - cmin 9698   / cdiv 10096   NNcn 10425   3c3 10475   RR+crp 11094   ...cfz 11540   seqcseq 11909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-rp 11095  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-seq 11910  df-exp 11969

This theorem is referenced by:  stoweidlem57  29992