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Theorem stoweidlem54 37909
Description: There exists a function  x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. Here  D is used to represent  A in the paper, because here  A is used for the subalgebra of functions.  E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem54.1  |-  F/ i
ph
stoweidlem54.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem54.3  |-  F/ y
ph
stoweidlem54.4  |-  F/ w ph
stoweidlem54.5  |-  T  = 
U. J
stoweidlem54.6  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
stoweidlem54.7  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
stoweidlem54.8  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( y `  i ) `  t
) ) )
stoweidlem54.9  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
stoweidlem54.10  |-  V  =  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
stoweidlem54.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem54.12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem54.13  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem54.14  |-  ( ph  ->  W : ( 1 ... M ) --> V )
stoweidlem54.15  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
stoweidlem54.16  |-  ( ph  ->  D  C_  U. ran  W
)
stoweidlem54.17  |-  ( ph  ->  D  C_  T )
stoweidlem54.18  |-  ( ph  ->  E. y ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
stoweidlem54.19  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
stoweidlem54.20  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem54.21  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem54  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, h, i, t, y, T    A, f, g, h, t, y    B, f, g, i, y    f, E, g, i, y    f, F, g    f, M, g, h, i, t    f, W, g, i    f, Y, g, i    ph, f,
g    w, i, t, y, T    D, i, y    x, t, y, A    w, B    w, E    w, M    w, W    w, Y    x, B    x, D    x, E    x, M    x, P    x, T
Allowed substitution hints:    ph( x, y, w, t, e, h, i)    A( w, e, i)    B( t, e, h)    D( w, t, e, f, g, h)    P( y, w, t, e, f, g, h, i)    T( e)    U( x, y, w, t, e, f, g, h, i)    E( t, e, h)    F( x, y, w, t, e, h, i)    J( x, y, w, t, e, f, g, h, i)    M( y, e)    V( x, y, w, t, e, f, g, h, i)    W( x, y, t, e, h)    Y( x, y, t, e, h)    Z( x, y, w, t, e, f, g, h, i)

Proof of Theorem stoweidlem54
StepHypRef Expression
1 stoweidlem54.3 . . 3  |-  F/ y
ph
2 nfv 1760 . . 3  |-  F/ y E. x ( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
3 stoweidlem54.18 . . 3  |-  ( ph  ->  E. y ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
4 stoweidlem54.1 . . . . 5  |-  F/ i
ph
5 nfv 1760 . . . . . 6  |-  F/ i  y : ( 1 ... M ) --> Y
6 nfra1 2768 . . . . . 6  |-  F/ i A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )
75, 6nfan 2010 . . . . 5  |-  F/ i ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
84, 7nfan 2010 . . . 4  |-  F/ i ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
9 stoweidlem54.2 . . . . 5  |-  F/ t
ph
10 nfcv 2591 . . . . . . 7  |-  F/_ t
y
11 nfcv 2591 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( 1 ... M
)
12 stoweidlem54.6 . . . . . . . 8  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
13 nfra1 2768 . . . . . . . . 9  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )
14 nfcv 2591 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t A
1513, 14nfrab 2971 . . . . . . . 8  |-  F/_ t { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
1612, 15nfcxfr 2589 . . . . . . 7  |-  F/_ t Y
1710, 11, 16nff 5722 . . . . . 6  |-  F/ t  y : ( 1 ... M ) --> Y
18 nfra1 2768 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )
19 nfra1 2768 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t )
2018, 19nfan 2010 . . . . . . 7  |-  F/ t ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )
2111, 20nfral 2773 . . . . . 6  |-  F/ t A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )
2217, 21nfan 2010 . . . . 5  |-  F/ t ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
239, 22nfan 2010 . . . 4  |-  F/ t ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
24 stoweidlem54.4 . . . . 5  |-  F/ w ph
25 nfv 1760 . . . . 5  |-  F/ w
( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) )
2624, 25nfan 2010 . . . 4  |-  F/ w
( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )
27 stoweidlem54.10 . . . . 5  |-  V  =  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
28 nfrab1 2970 . . . . 5  |-  F/_ w { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
2927, 28nfcxfr 2589 . . . 4  |-  F/_ w V
30 stoweidlem54.7 . . . 4  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
31 eqid 2450 . . . 4  |-  (  seq 1 ( P , 
y ) `  M
)  =  (  seq 1 ( P , 
y ) `  M
)
32 stoweidlem54.8 . . . 4  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( y `  i ) `  t
) ) )
33 stoweidlem54.9 . . . 4  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
34 stoweidlem54.13 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3534adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  M  e.  NN )
36 stoweidlem54.14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W : ( 1 ... M ) --> V )
3736adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  W :
( 1 ... M
) --> V )
38 simprl 763 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  y :
( 1 ... M
) --> Y )
39 simpr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  w  e.  V )  ->  w  e.  V )
4027rabeq2i 3041 . . . . . 6  |-  ( w  e.  V  <->  ( w  e.  J  /\  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
h `  t )
) ) )
4140simplbi 462 . . . . 5  |-  ( w  e.  V  ->  w  e.  J )
42 elssuni 4226 . . . . . 6  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_ 
U. J )
43 stoweidlem54.5 . . . . . 6  |-  T  = 
U. J
4442, 43syl6sseqr 3478 . . . . 5  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_  T )
4539, 41, 443syl 18 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  w  e.  V )  ->  w  C_  T )
46 stoweidlem54.16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  C_  U. ran  W
)
4746adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  D  C_  U. ran  W )
48 stoweidlem54.17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  C_  T )
4948adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  D  C_  T
)
50 stoweidlem54.15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
5150adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  B  C_  T
)
52 r19.26 2916 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )  <->  ( A. i  e.  ( 1 ... M ) A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `
 t )  < 
( E  /  M
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M
) )  <  (
( y `  i
) `  t )
) )
5352simplbi 462 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )  ->  A. i  e.  (
1 ... M ) A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `
 t )  < 
( E  /  M
) )
5453ad2antll 734 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... M
) A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M ) )
5554r19.21bi 2756 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M ) )
5652simprbi 466 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )  ->  A. i  e.  (
1 ... M ) A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) )
5756ad2antll 734 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... M
) A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M
) )  <  (
( y `  i
) `  t )
)
5857r19.21bi 2756 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  < 
( ( y `  i ) `  t
) )
59 stoweidlem54.11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
60593adant1r 1260 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
61 stoweidlem54.12 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
6261adantlr 720 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( A. t  e.  ( W `  i
) ( ( y `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
63 stoweidlem54.19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
6463adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  T  e.  _V )
65 stoweidlem54.20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
6665adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  E  e.  RR+ )
67 stoweidlem54.21 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
6867adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
698, 23, 26, 29, 12, 30, 31, 32, 33, 35, 37, 38, 45, 47, 49, 51, 55, 58, 60, 62, 64, 66, 68stoweidlem51 37906 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y : ( 1 ... M ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... M ) ( A. t  e.  ( W `  i ) ( ( y `  i ) `  t
)  <  ( E  /  M )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( y `
 i ) `  t ) ) ) )  ->  E. x
( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
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701, 2, 3, 69exlimdd 2069 . 2  |-  ( ph  ->  E. x ( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) ) )
71 df-rex 2742 . 2  |-  ( E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) ) )
7270, 71sylibr 216 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443   E.wex 1662   F/wnf 1666    e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 3044    \ cdif 3400    C_ wss 3403   U.cuni 4197   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   ran crn 4834   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288    |-> cmpt2 6290   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    x. cmul 9541    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857    / cdiv 10266   NNcn 10606   3c3 10657   RR+crp 11299   ...cfz 11781    seqcseq 12210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270
This theorem is referenced by:  stoweidlem57  37912
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