Theorem stoweidlem54 29695

Description: There exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. Here D is used to represent A in the paper, because here A is used for the subalgebra of functions. E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem54.1	|- F/ i ph
stoweidlem54.2	|- F/ t ph
stoweidlem54.3	|- F/ y ph
stoweidlem54.4	|- F/ w ph
stoweidlem54.5	|- T = U. J
stoweidlem54.6	|- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
stoweidlem54.7	|- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
stoweidlem54.8	|- F = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( y ` i ) ` t ) ) )
stoweidlem54.9	|- Z = ( t e. T |-> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
stoweidlem54.10	|- V = { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
stoweidlem54.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem54.12	|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
stoweidlem54.13	|- ( ph -> M e. NN )
stoweidlem54.14	|- ( ph -> W : ( 1 ... M ) --> V )
stoweidlem54.15	|- ( ph -> B C_ T )
stoweidlem54.16	|- ( ph -> D C_ U. ran W )
stoweidlem54.17	|- ( ph -> D C_ T )
stoweidlem54.18	|- ( ph -> E. y ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
stoweidlem54.19	|- ( ph -> T e. _V )
stoweidlem54.20	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem54.21	|- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem54	|- ( ph -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, h, i, t, y, T   A, f, g, h, t, y   B, f, g, i, y   f, E, g, i, y   f, F, g   f, M, g, h, i, t   f, W, g, i   f, Y, g, i   ph, f, g   w, i, t, y, T   D, i, y   x, t, y, A   w, B   w, E   w, M   w, W   w, Y   x, B   x, D   x, E   x, M   x, P   x, T

Allowed substitution hints:   ph( x, y, w, t, e, h, i)   A( w, e, i)   B( t, e, h)   D( w, t, e, f, g, h)   P( y, w, t, e, f, g, h, i)   T( e)   U( x, y, w, t, e, f, g, h, i)   E( t, e, h)   F( x, y, w, t, e, h, i)   J( x, y, w, t, e, f, g, h, i)   M( y, e)   V( x, y, w, t, e, f, g, h, i)   W( x, y, t, e, h)   Y( x, y, t, e, h)   Z( x, y, w, t, e, f, g, h, i)

Proof of Theorem stoweidlem54

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem54.3	. . 3 |- F/ y ph
2		nfv 1672	. . 3 |- F/ y E. x ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )
3		stoweidlem54.18	. . 3 |- ( ph -> E. y ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
4		stoweidlem54.1	. . . . 5 |- F/ i ph
5		nfv 1672	. . . . . 6 |- F/ i y : ( 1 ... M ) --> Y
6		nfra1 2756	. . . . . 6 |- F/ i A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
7	5, 6	nfan 1859	. . . . 5 |- F/ i ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) )
8	4, 7	nfan 1859	. . . 4 |- F/ i ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
9		stoweidlem54.2	. . . . 5 |- F/ t ph
10		nfcv 2569	. . . . . . 7 |- F/_ t y
11		nfcv 2569	. . . . . . 7 |- F/_ t ( 1 ... M )
12		stoweidlem54.6	. . . . . . . 8 |- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
13		nfra1 2756	. . . . . . . . 9 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 )
14		nfcv 2569	. . . . . . . . 9 |- F/_ t A
15	13, 14	nfrab 2892	. . . . . . . 8 |- F/_ t { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
16	12, 15	nfcxfr 2566	. . . . . . 7 |- F/_ t Y
17	10, 11, 16	nff 5543	. . . . . 6 |- F/ t y : ( 1 ... M ) --> Y
18		nfra1 2756	. . . . . . . 8 |- F/ t A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M )
19		nfra1 2756	. . . . . . . 8 |- F/ t A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t )
20	18, 19	nfan 1859	. . . . . . 7 |- F/ t ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
21	11, 20	nfral 2759	. . . . . 6 |- F/ t A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
22	17, 21	nfan 1859	. . . . 5 |- F/ t ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) )
23	9, 22	nfan 1859	. . . 4 |- F/ t ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
24		stoweidlem54.4	. . . . 5 |- F/ w ph
25		nfv 1672	. . . . 5 |- F/ w ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) )
26	24, 25	nfan 1859	. . . 4 |- F/ w ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
27		stoweidlem54.10	. . . . 5 |- V = { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
28		nfrab1 2891	. . . . 5 |- F/_ w { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
29	27, 28	nfcxfr 2566	. . . 4 |- F/_ w V
30		stoweidlem54.7	. . . 4 |- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
31		eqid 2433	. . . 4 |- ( seq 1 ( P , y ) ` M ) = ( seq 1 ( P , y ) ` M )
32		stoweidlem54.8	. . . 4 |- F = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( y ` i ) ` t ) ) )
33		stoweidlem54.9	. . . 4 |- Z = ( t e. T |-> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
34		stoweidlem54.13	. . . . 5 |- ( ph -> M e. NN )
35	34	adantr 462	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> M e. NN )
36		stoweidlem54.14	. . . . 5 |- ( ph -> W : ( 1 ... M ) --> V )
37	36	adantr 462	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> W : ( 1 ... M ) --> V )
38		simprl 748	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> y : ( 1 ... M ) --> Y )
39		simpr 458	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) /\ w e. V ) -> w e. V )
40	27	rabeq2i 2959	. . . . . 6 |- ( w e. V <-> ( w e. J /\ A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) ) )
41	40	simplbi 457	. . . . 5 |- ( w e. V -> w e. J )
42		elssuni 4109	. . . . . 6 |- ( w e. J -> w C_ U. J )
43		stoweidlem54.5	. . . . . 6 |- T = U. J
44	42, 43	syl6sseqr 3391	. . . . 5 |- ( w e. J -> w C_ T )
45	39, 41, 44	3syl 20	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) /\ w e. V ) -> w C_ T )
46		stoweidlem54.16	. . . . 5 |- ( ph -> D C_ U. ran W )
47	46	adantr 462	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> D C_ U. ran W )
48		stoweidlem54.17	. . . . 5 |- ( ph -> D C_ T )
49	48	adantr 462	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> D C_ T )
50		stoweidlem54.15	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ T )
51	50	adantr 462	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> B C_ T )
52		r19.26 2839	. . . . . . 7 |- ( A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) <-> ( A. i e. ( 1 ... M ) A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. i e. ( 1 ... M ) A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) )
53	52	simplbi 457	. . . . . 6 |- ( A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) -> A. i e. ( 1 ... M ) A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) )
54	53	ad2antll 721	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... M ) A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) )
55	54	r19.21bi 2804	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) )
56	52	simprbi 461	. . . . . 6 |- ( A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) -> A. i e. ( 1 ... M ) A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
57	56	ad2antll 721	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... M ) A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
58	57	r19.21bi 2804	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
59		stoweidlem54.11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
60	59	3adant1r 1204	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
61		stoweidlem54.12	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
62	61	adantlr 707	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
63		stoweidlem54.19	. . . . 5 |- ( ph -> T e. _V )
64	63	adantr 462	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> T e. _V )
65		stoweidlem54.20	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR+ )
66	65	adantr 462	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> E e. RR+ )
67		stoweidlem54.21	. . . . 5 |- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )
68	67	adantr 462	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> E < ( 1 / 3 ) )
69	8, 23, 26, 29, 12, 30, 31, 32, 33, 35, 37, 38, 45, 47, 49, 51, 55, 58, 60, 62, 64, 66, 68	stoweidlem51 29692	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> E. x ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) ) )
70	1, 2, 3, 69	exlimdd 1906	. 2 |- ( ph -> E. x ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) ) )
71		df-rex 2711	. 2 |- ( E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) <-> E. x ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) ) )
72	70, 71	sylibr 212	1 |- ( ph -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 958   = wceq 1362   E.wex 1589   F/wnf 1592   e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2962   \ cdif 3313   C_ wss 3316   U.cuni 4079   class class class wbr 4280   e. cmpt 4338   ran crn 4828   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   e. cmpt2 6082   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271   x. cmul 9275   < clt 9406   <_ cle 9407   - cmin 9583   / cdiv 9981   NNcn 10310   3c3 10360   RR+crp 10979   ...cfz 11424   seqcseq 11790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-exp 11850

This theorem is referenced by:  stoweidlem57  29698