Theorem stoweidlem54 37909

Description: There exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. Here D is used to represent A in the paper, because here A is used for the subalgebra of functions. E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem54.1	|- F/ i ph
stoweidlem54.2	|- F/ t ph
stoweidlem54.3	|- F/ y ph
stoweidlem54.4	|- F/ w ph
stoweidlem54.5	|- T = U. J
stoweidlem54.6	|- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
stoweidlem54.7	|- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
stoweidlem54.8	|- F = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( y ` i ) ` t ) ) )
stoweidlem54.9	|- Z = ( t e. T |-> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
stoweidlem54.10	|- V = { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
stoweidlem54.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem54.12	|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
stoweidlem54.13	|- ( ph -> M e. NN )
stoweidlem54.14	|- ( ph -> W : ( 1 ... M ) --> V )
stoweidlem54.15	|- ( ph -> B C_ T )
stoweidlem54.16	|- ( ph -> D C_ U. ran W )
stoweidlem54.17	|- ( ph -> D C_ T )
stoweidlem54.18	|- ( ph -> E. y ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
stoweidlem54.19	|- ( ph -> T e. _V )
stoweidlem54.20	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem54.21	|- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem54	|- ( ph -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, h, i, t, y, T   A, f, g, h, t, y   B, f, g, i, y   f, E, g, i, y   f, F, g   f, M, g, h, i, t   f, W, g, i   f, Y, g, i   ph, f, g   w, i, t, y, T   D, i, y   x, t, y, A   w, B   w, E   w, M   w, W   w, Y   x, B   x, D   x, E   x, M   x, P   x, T

Allowed substitution hints:   ph( x, y, w, t, e, h, i)   A( w, e, i)   B( t, e, h)   D( w, t, e, f, g, h)   P( y, w, t, e, f, g, h, i)   T( e)   U( x, y, w, t, e, f, g, h, i)   E( t, e, h)   F( x, y, w, t, e, h, i)   J( x, y, w, t, e, f, g, h, i)   M( y, e)   V( x, y, w, t, e, f, g, h, i)   W( x, y, t, e, h)   Y( x, y, t, e, h)   Z( x, y, w, t, e, f, g, h, i)

Proof of Theorem stoweidlem54

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem54.3	. . 3 |- F/ y ph
2		nfv 1760	. . 3 |- F/ y E. x ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )
3		stoweidlem54.18	. . 3 |- ( ph -> E. y ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
4		stoweidlem54.1	. . . . 5 |- F/ i ph
5		nfv 1760	. . . . . 6 |- F/ i y : ( 1 ... M ) --> Y
6		nfra1 2768	. . . . . 6 |- F/ i A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
7	5, 6	nfan 2010	. . . . 5 |- F/ i ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) )
8	4, 7	nfan 2010	. . . 4 |- F/ i ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
9		stoweidlem54.2	. . . . 5 |- F/ t ph
10		nfcv 2591	. . . . . . 7 |- F/_ t y
11		nfcv 2591	. . . . . . 7 |- F/_ t ( 1 ... M )
12		stoweidlem54.6	. . . . . . . 8 |- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
13		nfra1 2768	. . . . . . . . 9 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 )
14		nfcv 2591	. . . . . . . . 9 |- F/_ t A
15	13, 14	nfrab 2971	. . . . . . . 8 |- F/_ t { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
16	12, 15	nfcxfr 2589	. . . . . . 7 |- F/_ t Y
17	10, 11, 16	nff 5722	. . . . . 6 |- F/ t y : ( 1 ... M ) --> Y
18		nfra1 2768	. . . . . . . 8 |- F/ t A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M )
19		nfra1 2768	. . . . . . . 8 |- F/ t A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t )
20	18, 19	nfan 2010	. . . . . . 7 |- F/ t ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
21	11, 20	nfral 2773	. . . . . 6 |- F/ t A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
22	17, 21	nfan 2010	. . . . 5 |- F/ t ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) )
23	9, 22	nfan 2010	. . . 4 |- F/ t ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
24		stoweidlem54.4	. . . . 5 |- F/ w ph
25		nfv 1760	. . . . 5 |- F/ w ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) )
26	24, 25	nfan 2010	. . . 4 |- F/ w ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
27		stoweidlem54.10	. . . . 5 |- V = { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
28		nfrab1 2970	. . . . 5 |- F/_ w { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
29	27, 28	nfcxfr 2589	. . . 4 |- F/_ w V
30		stoweidlem54.7	. . . 4 |- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
31		eqid 2450	. . . 4 |- ( seq 1 ( P , y ) ` M ) = ( seq 1 ( P , y ) ` M )
32		stoweidlem54.8	. . . 4 |- F = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( y ` i ) ` t ) ) )
33		stoweidlem54.9	. . . 4 |- Z = ( t e. T |-> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
34		stoweidlem54.13	. . . . 5 |- ( ph -> M e. NN )
35	34	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> M e. NN )
36		stoweidlem54.14	. . . . 5 |- ( ph -> W : ( 1 ... M ) --> V )
37	36	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> W : ( 1 ... M ) --> V )
38		simprl 763	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> y : ( 1 ... M ) --> Y )
39		simpr 463	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) /\ w e. V ) -> w e. V )
40	27	rabeq2i 3041	. . . . . 6 |- ( w e. V <-> ( w e. J /\ A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) ) )
41	40	simplbi 462	. . . . 5 |- ( w e. V -> w e. J )
42		elssuni 4226	. . . . . 6 |- ( w e. J -> w C_ U. J )
43		stoweidlem54.5	. . . . . 6 |- T = U. J
44	42, 43	syl6sseqr 3478	. . . . 5 |- ( w e. J -> w C_ T )
45	39, 41, 44	3syl 18	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) /\ w e. V ) -> w C_ T )
46		stoweidlem54.16	. . . . 5 |- ( ph -> D C_ U. ran W )
47	46	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> D C_ U. ran W )
48		stoweidlem54.17	. . . . 5 |- ( ph -> D C_ T )
49	48	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> D C_ T )
50		stoweidlem54.15	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ T )
51	50	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> B C_ T )
52		r19.26 2916	. . . . . . 7 |- ( A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) <-> ( A. i e. ( 1 ... M ) A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. i e. ( 1 ... M ) A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) )
53	52	simplbi 462	. . . . . 6 |- ( A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) -> A. i e. ( 1 ... M ) A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) )
54	53	ad2antll 734	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... M ) A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) )
55	54	r19.21bi 2756	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) )
56	52	simprbi 466	. . . . . 6 |- ( A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) -> A. i e. ( 1 ... M ) A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
57	56	ad2antll 734	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... M ) A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
58	57	r19.21bi 2756	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
59		stoweidlem54.11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
60	59	3adant1r 1260	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
61		stoweidlem54.12	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
62	61	adantlr 720	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
63		stoweidlem54.19	. . . . 5 |- ( ph -> T e. _V )
64	63	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> T e. _V )
65		stoweidlem54.20	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR+ )
66	65	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> E e. RR+ )
67		stoweidlem54.21	. . . . 5 |- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )
68	67	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> E < ( 1 / 3 ) )
69	8, 23, 26, 29, 12, 30, 31, 32, 33, 35, 37, 38, 45, 47, 49, 51, 55, 58, 60, 62, 64, 66, 68	stoweidlem51 37906	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> E. x ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) ) )
70	1, 2, 3, 69	exlimdd 2069	. 2 |- ( ph -> E. x ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) ) )
71		df-rex 2742	. 2 |- ( E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) <-> E. x ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) ) )
72	70, 71	sylibr 216	1 |- ( ph -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   E.wex 1662   F/wnf 1666   e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 3044   \ cdif 3400   C_ wss 3403   U.cuni 4197   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   ran crn 4834   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   |-> cmpt2 6290   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   x. cmul 9541   < clt 9672   <_ cle 9673   - cmin 9857   / cdiv 10266   NNcn 10606   3c3 10657   RR+crp 11299   ...cfz 11781   seqcseq 12210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270

This theorem is referenced by:  stoweidlem57  37912