Theorem stoweidlem52 29852

Description: There exists a neighborood V as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90. Here Z is used to represent t₀ in the paper, and v is used to represent V in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem52.1	|- F/_ t U
stoweidlem52.2	|- F/ t ph
stoweidlem52.3	|- F/_ t P
stoweidlem52.4	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem52.5	|- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
stoweidlem52.7	|- T = U. J
stoweidlem52.8	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem52.9	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem52.10	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem52.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem52.12	|- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
stoweidlem52.13	|- ( ph -> D e. RR+ )
stoweidlem52.14	|- ( ph -> D < 1 )
stoweidlem52.15	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem52.16	|- ( ph -> Z e. U )
stoweidlem52.17	|- ( ph -> P e. A )
stoweidlem52.18	|- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
stoweidlem52.19	|- ( ph -> ( P ` Z ) = 0 )
stoweidlem52.20	|- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem52	|- ( ph -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )

Distinct variable groups:   e, a, t   A, a, t   D, a, t   T, a, t   U, a   V, a, e   ph, a, e   e, f, g, t   v, e, x, t   A, f, g   D, f, g   P, f, g   T, f, g   U, f, g   f, V, g   ph, f, g   t, Z, v   v, A   v, J   v, T, x   v, U, x   v, V, x   x, A

Allowed substitution hints:   ph( x, v, t)   A( e)   C( x, v, t, e, f, g, a)   D( x, v, e)   P( x, v, t, e, a)   T( e)   U( t, e)   J( x, t, e, f, g, a)   K( x, v, t, e, f, g, a)   V( t)   Z( x, e, f, g, a)

Proof of Theorem stoweidlem52

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2584	. . 3 |- F/_ t ( D / 2 )
2		stoweidlem52.3	. . 3 |- F/_ t P
3		stoweidlem52.2	. . 3 |- F/ t ph
4		stoweidlem52.4	. . 3 |- K = ( topGen ` ran (,) )
5		stoweidlem52.7	. . 3 |- T = U. J
6		stoweidlem52.5	. . 3 |- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
7		stoweidlem52.13	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. RR+ )
8	7	rpred 11032	. . . . 5 |- ( ph -> D e. RR )
9	8	rehalfcld 10576	. . . 4 |- ( ph -> ( D / 2 ) e. RR )
10	9	rexrd 9438	. . 3 |- ( ph -> ( D / 2 ) e. RR* )
11		stoweidlem52.9	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ C )
12		stoweidlem52.8	. . . . 5 |- C = ( J Cn K )
13	11, 12	syl6sseq 3407	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
14		stoweidlem52.17	. . . 4 |- ( ph -> P e. A )
15	13, 14	sseldd 3362	. . 3 |- ( ph -> P e. ( J Cn K ) )
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15	rfcnpre2 29758	. 2 |- ( ph -> V e. J )
17		stoweidlem52.15	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. J )
18		elssuni 4126	. . . . . . . 8 |- ( U e. J -> U C_ U. J )
19	17, 18	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> U C_ U. J )
20	19, 5	syl6sseqr 3408	. . . . . 6 |- ( ph -> U C_ T )
21		stoweidlem52.16	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. U )
22	20, 21	sseldd 3362	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. T )
23		stoweidlem52.19	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P ` Z ) = 0 )
24		2re 10396	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. RR )
26	7	rpgt0d 11035	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < D )
27		2pos 10418	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < 2 )
29	8, 25, 26, 28	divgt0d 10273	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < ( D / 2 ) )
30	23, 29	eqbrtrd 4317	. . . . 5 |- ( ph -> ( P ` Z ) < ( D / 2 ) )
31		nfcv 2584	. . . . . 6 |- F/_ t Z
32		nfcv 2584	. . . . . 6 |- F/_ t T
33	2, 31	nffv 5703	. . . . . . 7 |- F/_ t ( P ` Z )
34		nfcv 2584	. . . . . . 7 |- F/_ t <
35	33, 34, 1	nfbr 4341	. . . . . 6 |- F/ t ( P ` Z ) < ( D / 2 )
36		fveq2 5696	. . . . . . 7 |- ( t = Z -> ( P ` t ) = ( P ` Z ) )
37	36	breq1d 4307	. . . . . 6 |- ( t = Z -> ( ( P ` t ) < ( D / 2 ) <-> ( P ` Z ) < ( D / 2 ) ) )
38	31, 32, 35, 37	elrabf 3120	. . . . 5 |- ( Z e. { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) } <-> ( Z e. T /\ ( P ` Z ) < ( D / 2 ) ) )
39	22, 30, 38	sylanbrc 664	. . . 4 |- ( ph -> Z e. { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) } )
40	39, 6	syl6eleqr 2534	. . 3 |- ( ph -> Z e. V )
41		nfrab1 2906	. . . . 5 |- F/_ t { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
42	6, 41	nfcxfr 2581	. . . 4 |- F/_ t V
43		stoweidlem52.1	. . . 4 |- F/_ t U
44	11, 14	sseldd 3362	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. C )
45	4, 5, 12, 44	fcnre 29752	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P : T --> RR )
46	45	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> P : T --> RR )
47	6	rabeq2i 2974	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. V <-> ( t e. T /\ ( P ` t ) < ( D / 2 ) ) )
48	47	biimpi 194	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. V -> ( t e. T /\ ( P ` t ) < ( D / 2 ) ) )
49	48	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( t e. T /\ ( P ` t ) < ( D / 2 ) ) )
50	49	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> t e. T )
51	46, 50	ffvelrnd 5849	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) e. RR )
52	9	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( D / 2 ) e. RR )
53	8	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> D e. RR )
54	49	simprd 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) < ( D / 2 ) )
55		halfpos 10560	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. RR -> ( 0 < D <-> ( D / 2 ) < D ) )
56	8, 55	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 < D <-> ( D / 2 ) < D ) )
57	26, 56	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D / 2 ) < D )
58	57	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( D / 2 ) < D )
59	51, 52, 53, 54, 58	lttrd 9537	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) < D )
60	59	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> ( P ` t ) < D )
61		stoweidlem52.20	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
62	61	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
63	50	anim1i 568	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> ( t e. T /\ -. t e. U ) )
64		eldif 3343	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( T \ U ) <-> ( t e. T /\ -. t e. U ) )
65	63, 64	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> t e. ( T \ U ) )
66		rsp 2781	. . . . . . . 8 |- ( A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) -> ( t e. ( T \ U ) -> D <_ ( P ` t ) ) )
67	62, 65, 66	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> D <_ ( P ` t ) )
68	8	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> D e. RR )
69	51	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> ( P ` t ) e. RR )
70	68, 69	lenltd 9525	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> ( D <_ ( P ` t ) <-> -. ( P ` t ) < D ) )
71	67, 70	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> -. ( P ` t ) < D )
72	60, 71	condan 792	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> t e. U )
73	72	ex 434	. . . 4 |- ( ph -> ( t e. V -> t e. U ) )
74	3, 42, 43, 73	ssrd 3366	. . 3 |- ( ph -> V C_ U )
75		nfv 1673	. . . . . . . . 9 |- F/ t e e. RR+
76	3, 75	nfan 1861	. . . . . . . 8 |- F/ t ( ph /\ e e. RR+ )
77		nfv 1673	. . . . . . . 8 |- F/ t y e. A
78	76, 77	nfan 1861	. . . . . . 7 |- F/ t ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A )
79		nfra1 2771	. . . . . . . 8 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 )
80		nfra1 2771	. . . . . . . 8 |- F/ t A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t )
81		nfra1 2771	. . . . . . . 8 |- F/ t A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e
82	79, 80, 81	nf3an 1863	. . . . . . 7 |- F/ t ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e )
83	78, 82	nfan 1861	. . . . . 6 |- F/ t ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) )
84		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( t e. T |-> ( 1 - ( y ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( 1 - ( y ` t ) ) )
85		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( t e. T |-> 1 ) = ( t e. T |-> 1 )
86		ssrab2 3442	. . . . . . 7 |- { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) } C_ T
87	6, 86	eqsstri 3391	. . . . . 6 |- V C_ T
88		simplr 754	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> y e. A )
89		simplll 757	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> ph )
90	11	sselda 3361	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. C )
91	4, 5, 12, 90	fcnre 29752	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y : T --> RR )
92	89, 88, 91	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> y : T --> RR )
93	11	sselda 3361	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f e. C )
94	4, 5, 12, 93	fcnre 29752	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
95	89, 94	sylan 471	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
96		stoweidlem52.10	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
97	89, 96	syl3an1 1251	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
98		stoweidlem52.11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
99	89, 98	syl3an1 1251	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
100		stoweidlem52.12	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
101	89, 100	sylan 471	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
102		simpllr 758	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> e e. RR+ )
103		simpr1 994	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) )
104		simpr2 995	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) )
105		simpr3 996	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e )
106	83, 84, 85, 87, 88, 92, 95, 97, 99, 101, 102, 103, 104, 105	stoweidlem41 29841	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) )
107	7	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> D e. RR+ )
108		stoweidlem52.14	. . . . . . 7 |- ( ph -> D < 1 )
109	108	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> D < 1 )
110	14	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> P e. A )
111	45	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> P : T --> RR )
112		stoweidlem52.18	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
113	112	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
114	61	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
115	94	adantlr 714	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
116	96	3adant1r 1211	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
117	98	3adant1r 1211	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
118	100	adantlr 714	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
119		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> e e. RR+ )
120	2, 76, 6, 107, 109, 110, 111, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119	stoweidlem49 29849	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) )
121	106, 120	r19.29a 2867	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) )
122	121	ralrimiva 2804	. . 3 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) )
123	40, 74, 122	jca31 534	. 2 |- ( ph -> ( ( Z e. V /\ V C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
124		eleq2 2504	. . . . 5 |- ( v = V -> ( Z e. v <-> Z e. V ) )
125		sseq1 3382	. . . . 5 |- ( v = V -> ( v C_ U <-> V C_ U ) )
126	124, 125	anbi12d 710	. . . 4 |- ( v = V -> ( ( Z e. v /\ v C_ U ) <-> ( Z e. V /\ V C_ U ) ) )
127		nfcv 2584	. . . . . . . 8 |- F/_ t v
128	127, 42	raleqf 2918	. . . . . . 7 |- ( v = V -> ( A. t e. v ( x ` t ) < e <-> A. t e. V ( x ` t ) < e ) )
129	128	3anbi2d 1294	. . . . . 6 |- ( v = V -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
130	129	rexbidv 2741	. . . . 5 |- ( v = V -> ( E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) <-> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
131	130	ralbidv 2740	. . . 4 |- ( v = V -> ( A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) <-> A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
132	126, 131	anbi12d 710	. . 3 |- ( v = V -> ( ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) <-> ( ( Z e. V /\ V C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) ) )
133	132	rspcev 3078	. 2 |- ( ( V e. J /\ ( ( Z e. V /\ V C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) ) -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
134	16, 123, 133	syl2anc 661	1 |- ( ph -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   F/wnf 1589   e. wcel 1756   F/_wnfc 2571   A.wral 2720   E.wrex 2721   {crab 2724   \ cdif 3330   C_ wss 3333   U.cuni 4096   class class class wbr 4297   e. cmpt 4355   ran crn 4846   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288   + caddc 9290   x. cmul 9292   < clt 9423   <_ cle 9424   - cmin 9600   / cdiv 9998   2c2 10376   RR+crp 10996   (,)cioo 11305   topGenctg 14381   Cn ccn 18833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-ioo 11309  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-topgen 14387  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-cn 18836

This theorem is referenced by:  stoweidlem56  29856