Theorem stoweidlem52 29772

Description: There exists a neighborood V as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90. Here Z is used to represent t₀ in the paper, and v is used to represent V in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem52.1	|- F/_ t U
stoweidlem52.2	|- F/ t ph
stoweidlem52.3	|- F/_ t P
stoweidlem52.4	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem52.5	|- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
stoweidlem52.7	|- T = U. J
stoweidlem52.8	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem52.9	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem52.10	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem52.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem52.12	|- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
stoweidlem52.13	|- ( ph -> D e. RR+ )
stoweidlem52.14	|- ( ph -> D < 1 )
stoweidlem52.15	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem52.16	|- ( ph -> Z e. U )
stoweidlem52.17	|- ( ph -> P e. A )
stoweidlem52.18	|- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
stoweidlem52.19	|- ( ph -> ( P ` Z ) = 0 )
stoweidlem52.20	|- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem52	|- ( ph -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )

Distinct variable groups:   e, a, t   A, a, t   D, a, t   T, a, t   U, a   V, a, e   ph, a, e   e, f, g, t   v, e, x, t   A, f, g   D, f, g   P, f, g   T, f, g   U, f, g   f, V, g   ph, f, g   t, Z, v   v, A   v, J   v, T, x   v, U, x   v, V, x   x, A

Allowed substitution hints:   ph( x, v, t)   A( e)   C( x, v, t, e, f, g, a)   D( x, v, e)   P( x, v, t, e, a)   T( e)   U( t, e)   J( x, t, e, f, g, a)   K( x, v, t, e, f, g, a)   V( t)   Z( x, e, f, g, a)

Proof of Theorem stoweidlem52

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2577	. . 3 |- F/_ t ( D / 2 )
2		stoweidlem52.3	. . 3 |- F/_ t P
3		stoweidlem52.2	. . 3 |- F/ t ph
4		stoweidlem52.4	. . 3 |- K = ( topGen ` ran (,) )
5		stoweidlem52.7	. . 3 |- T = U. J
6		stoweidlem52.5	. . 3 |- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
7		stoweidlem52.13	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. RR+ )
8	7	rpred 11023	. . . . 5 |- ( ph -> D e. RR )
9	8	rehalfcld 10567	. . . 4 |- ( ph -> ( D / 2 ) e. RR )
10	9	rexrd 9429	. . 3 |- ( ph -> ( D / 2 ) e. RR* )
11		stoweidlem52.9	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ C )
12		stoweidlem52.8	. . . . 5 |- C = ( J Cn K )
13	11, 12	syl6sseq 3399	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
14		stoweidlem52.17	. . . 4 |- ( ph -> P e. A )
15	13, 14	sseldd 3354	. . 3 |- ( ph -> P e. ( J Cn K ) )
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15	rfcnpre2 29678	. 2 |- ( ph -> V e. J )
17		stoweidlem52.15	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. J )
18		elssuni 4118	. . . . . . . 8 |- ( U e. J -> U C_ U. J )
19	17, 18	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> U C_ U. J )
20	19, 5	syl6sseqr 3400	. . . . . 6 |- ( ph -> U C_ T )
21		stoweidlem52.16	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. U )
22	20, 21	sseldd 3354	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. T )
23		stoweidlem52.19	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P ` Z ) = 0 )
24		2re 10387	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. RR )
26	7	rpgt0d 11026	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < D )
27		2pos 10409	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < 2 )
29	8, 25, 26, 28	divgt0d 10264	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < ( D / 2 ) )
30	23, 29	eqbrtrd 4309	. . . . 5 |- ( ph -> ( P ` Z ) < ( D / 2 ) )
31		nfcv 2577	. . . . . 6 |- F/_ t Z
32		nfcv 2577	. . . . . 6 |- F/_ t T
33	2, 31	nffv 5695	. . . . . . 7 |- F/_ t ( P ` Z )
34		nfcv 2577	. . . . . . 7 |- F/_ t <
35	33, 34, 1	nfbr 4333	. . . . . 6 |- F/ t ( P ` Z ) < ( D / 2 )
36		fveq2 5688	. . . . . . 7 |- ( t = Z -> ( P ` t ) = ( P ` Z ) )
37	36	breq1d 4299	. . . . . 6 |- ( t = Z -> ( ( P ` t ) < ( D / 2 ) <-> ( P ` Z ) < ( D / 2 ) ) )
38	31, 32, 35, 37	elrabf 3112	. . . . 5 |- ( Z e. { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) } <-> ( Z e. T /\ ( P ` Z ) < ( D / 2 ) ) )
39	22, 30, 38	sylanbrc 659	. . . 4 |- ( ph -> Z e. { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) } )
40	39, 6	syl6eleqr 2532	. . 3 |- ( ph -> Z e. V )
41		nfrab1 2899	. . . . 5 |- F/_ t { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
42	6, 41	nfcxfr 2574	. . . 4 |- F/_ t V
43		stoweidlem52.1	. . . 4 |- F/_ t U
44	11, 14	sseldd 3354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. C )
45	4, 5, 12, 44	fcnre 29672	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P : T --> RR )
46	45	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> P : T --> RR )
47	6	rabeq2i 2967	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. V <-> ( t e. T /\ ( P ` t ) < ( D / 2 ) ) )
48	47	biimpi 194	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. V -> ( t e. T /\ ( P ` t ) < ( D / 2 ) ) )
49	48	adantl 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( t e. T /\ ( P ` t ) < ( D / 2 ) ) )
50	49	simpld 456	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> t e. T )
51	46, 50	ffvelrnd 5841	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) e. RR )
52	9	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( D / 2 ) e. RR )
53	8	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> D e. RR )
54	49	simprd 460	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) < ( D / 2 ) )
55		halfpos 10551	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. RR -> ( 0 < D <-> ( D / 2 ) < D ) )
56	8, 55	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 < D <-> ( D / 2 ) < D ) )
57	26, 56	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D / 2 ) < D )
58	57	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( D / 2 ) < D )
59	51, 52, 53, 54, 58	lttrd 9528	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) < D )
60	59	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> ( P ` t ) < D )
61		stoweidlem52.20	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
62	61	ad2antrr 720	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
63	50	anim1i 565	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> ( t e. T /\ -. t e. U ) )
64		eldif 3335	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( T \ U ) <-> ( t e. T /\ -. t e. U ) )
65	63, 64	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> t e. ( T \ U ) )
66		rsp 2774	. . . . . . . 8 |- ( A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) -> ( t e. ( T \ U ) -> D <_ ( P ` t ) ) )
67	62, 65, 66	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> D <_ ( P ` t ) )
68	8	ad2antrr 720	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> D e. RR )
69	51	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> ( P ` t ) e. RR )
70	68, 69	lenltd 9516	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> ( D <_ ( P ` t ) <-> -. ( P ` t ) < D ) )
71	67, 70	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> -. ( P ` t ) < D )
72	60, 71	condan 787	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> t e. U )
73	72	ex 434	. . . 4 |- ( ph -> ( t e. V -> t e. U ) )
74	3, 42, 43, 73	ssrd 3358	. . 3 |- ( ph -> V C_ U )
75		nfv 1678	. . . . . . . . 9 |- F/ t e e. RR+
76	3, 75	nfan 1865	. . . . . . . 8 |- F/ t ( ph /\ e e. RR+ )
77		nfv 1678	. . . . . . . 8 |- F/ t y e. A
78	76, 77	nfan 1865	. . . . . . 7 |- F/ t ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A )
79		nfra1 2764	. . . . . . . 8 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 )
80		nfra1 2764	. . . . . . . 8 |- F/ t A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t )
81		nfra1 2764	. . . . . . . 8 |- F/ t A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e
82	79, 80, 81	nf3an 1867	. . . . . . 7 |- F/ t ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e )
83	78, 82	nfan 1865	. . . . . 6 |- F/ t ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) )
84		eqid 2441	. . . . . 6 |- ( t e. T |-> ( 1 - ( y ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( 1 - ( y ` t ) ) )
85		eqid 2441	. . . . . 6 |- ( t e. T |-> 1 ) = ( t e. T |-> 1 )
86		ssrab2 3434	. . . . . . 7 |- { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) } C_ T
87	6, 86	eqsstri 3383	. . . . . 6 |- V C_ T
88		simplr 749	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> y e. A )
89		simplll 752	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> ph )
90	11	sselda 3353	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. C )
91	4, 5, 12, 90	fcnre 29672	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y : T --> RR )
92	89, 88, 91	syl2anc 656	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> y : T --> RR )
93	11	sselda 3353	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f e. C )
94	4, 5, 12, 93	fcnre 29672	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
95	89, 94	sylan 468	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
96		stoweidlem52.10	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
97	89, 96	syl3an1 1246	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
98		stoweidlem52.11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
99	89, 98	syl3an1 1246	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
100		stoweidlem52.12	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
101	89, 100	sylan 468	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
102		simpllr 753	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> e e. RR+ )
103		simpr1 989	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) )
104		simpr2 990	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) )
105		simpr3 991	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e )
106	83, 84, 85, 87, 88, 92, 95, 97, 99, 101, 102, 103, 104, 105	stoweidlem41 29761	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) )
107	7	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> D e. RR+ )
108		stoweidlem52.14	. . . . . . 7 |- ( ph -> D < 1 )
109	108	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> D < 1 )
110	14	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> P e. A )
111	45	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> P : T --> RR )
112		stoweidlem52.18	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
113	112	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
114	61	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
115	94	adantlr 709	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
116	96	3adant1r 1206	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
117	98	3adant1r 1206	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
118	100	adantlr 709	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
119		simpr 458	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> e e. RR+ )
120	2, 76, 6, 107, 109, 110, 111, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119	stoweidlem49 29769	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) )
121	106, 120	r19.29a 2860	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) )
122	121	ralrimiva 2797	. . 3 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) )
123	40, 74, 122	jca31 531	. 2 |- ( ph -> ( ( Z e. V /\ V C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
124		eleq2 2502	. . . . 5 |- ( v = V -> ( Z e. v <-> Z e. V ) )
125		sseq1 3374	. . . . 5 |- ( v = V -> ( v C_ U <-> V C_ U ) )
126	124, 125	anbi12d 705	. . . 4 |- ( v = V -> ( ( Z e. v /\ v C_ U ) <-> ( Z e. V /\ V C_ U ) ) )
127		nfcv 2577	. . . . . . . 8 |- F/_ t v
128	127, 42	raleqf 2911	. . . . . . 7 |- ( v = V -> ( A. t e. v ( x ` t ) < e <-> A. t e. V ( x ` t ) < e ) )
129	128	3anbi2d 1289	. . . . . 6 |- ( v = V -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
130	129	rexbidv 2734	. . . . 5 |- ( v = V -> ( E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) <-> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
131	130	ralbidv 2733	. . . 4 |- ( v = V -> ( A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) <-> A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
132	126, 131	anbi12d 705	. . 3 |- ( v = V -> ( ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) <-> ( ( Z e. V /\ V C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) ) )
133	132	rspcev 3070	. 2 |- ( ( V e. J /\ ( ( Z e. V /\ V C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) ) -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
134	16, 123, 133	syl2anc 656	1 |- ( ph -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   F/wnf 1594   e. wcel 1761   F/_wnfc 2564   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   \ cdif 3322   C_ wss 3325   U.cuni 4088   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   ran crn 4837   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   + caddc 9281   x. cmul 9283   < clt 9414   <_ cle 9415   - cmin 9591   / cdiv 9989   2c2 10367   RR+crp 10987   (,)cioo 11296   topGenctg 14372   Cn ccn 18787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-ioo 11300  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-topgen 14378  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-cn 18790

This theorem is referenced by:  stoweidlem56  29776