Theorem stoweidlem52 27668

Description: There exists a neighborood V as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90. Here Z is used to represent t₀ in the paper, and v is used to represent V in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem52.1	|- F/_ t U
stoweidlem52.2	|- F/ t ph
stoweidlem52.3	|- F/_ t P
stoweidlem52.4	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem52.5	|- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
stoweidlem52.7	|- T = U. J
stoweidlem52.8	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem52.9	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem52.10	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem52.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem52.12	|- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
stoweidlem52.13	|- ( ph -> D e. RR+ )
stoweidlem52.14	|- ( ph -> D < 1 )
stoweidlem52.15	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem52.16	|- ( ph -> Z e. U )
stoweidlem52.17	|- ( ph -> P e. A )
stoweidlem52.18	|- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
stoweidlem52.19	|- ( ph -> ( P ` Z ) = 0 )
stoweidlem52.20	|- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem52	|- ( ph -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )

Distinct variable groups:   e, a, t   A, a, t   D, a, t   T, a, t   U, a   V, a, e   ph, a, e   e, f, g, t   v, e, x, t   A, f, g   D, f, g   P, f, g   T, f, g   U, f, g   f, V, g   ph, f, g   t, Z, v   v, A   v, J   v, T, x   v, U, x   v, V, x   x, A

Allowed substitution hints:   ph( x, v, t)   A( e)   C( x, v, t, e, f, g, a)   D( x, v, e)   P( x, v, t, e, a)   T( e)   U( t, e)   J( x, t, e, f, g, a)   K( x, v, t, e, f, g, a)   V( t)   Z( x, e, f, g, a)

Proof of Theorem stoweidlem52

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2540	. . 3 |- F/_ t ( D / 2 )
2		stoweidlem52.3	. . 3 |- F/_ t P
3		stoweidlem52.2	. . 3 |- F/ t ph
4		stoweidlem52.4	. . 3 |- K = ( topGen ` ran (,) )
5		stoweidlem52.7	. . 3 |- T = U. J
6		stoweidlem52.5	. . 3 |- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
7		stoweidlem52.13	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. RR+ )
8	7	rpred 10604	. . . . 5 |- ( ph -> D e. RR )
9	8	rehalfcld 10170	. . . 4 |- ( ph -> ( D / 2 ) e. RR )
10	9	rexrd 9090	. . 3 |- ( ph -> ( D / 2 ) e. RR* )
11		stoweidlem52.9	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ C )
12		stoweidlem52.8	. . . . 5 |- C = ( J Cn K )
13	11, 12	syl6sseq 3354	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
14		stoweidlem52.17	. . . 4 |- ( ph -> P e. A )
15	13, 14	sseldd 3309	. . 3 |- ( ph -> P e. ( J Cn K ) )
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15	rfcnpre2 27569	. 2 |- ( ph -> V e. J )
17		stoweidlem52.15	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. J )
18		elssuni 4003	. . . . . . . 8 |- ( U e. J -> U C_ U. J )
19	17, 18	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> U C_ U. J )
20	19, 5	syl6sseqr 3355	. . . . . 6 |- ( ph -> U C_ T )
21		stoweidlem52.16	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. U )
22	20, 21	sseldd 3309	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. T )
23		stoweidlem52.19	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P ` Z ) = 0 )
24		2re 10025	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. RR )
26	7	rpgt0d 10607	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < D )
27		2pos 10038	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < 2 )
29	8, 25, 26, 28	divgt0d 9902	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < ( D / 2 ) )
30	23, 29	eqbrtrd 4192	. . . . 5 |- ( ph -> ( P ` Z ) < ( D / 2 ) )
31		nfcv 2540	. . . . . 6 |- F/_ t Z
32		nfcv 2540	. . . . . 6 |- F/_ t T
33	2, 31	nffv 5694	. . . . . . 7 |- F/_ t ( P ` Z )
34		nfcv 2540	. . . . . . 7 |- F/_ t <
35	33, 34, 1	nfbr 4216	. . . . . 6 |- F/ t ( P ` Z ) < ( D / 2 )
36		fveq2 5687	. . . . . . 7 |- ( t = Z -> ( P ` t ) = ( P ` Z ) )
37	36	breq1d 4182	. . . . . 6 |- ( t = Z -> ( ( P ` t ) < ( D / 2 ) <-> ( P ` Z ) < ( D / 2 ) ) )
38	31, 32, 35, 37	elrabf 3051	. . . . 5 |- ( Z e. { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) } <-> ( Z e. T /\ ( P ` Z ) < ( D / 2 ) ) )
39	22, 30, 38	sylanbrc 646	. . . 4 |- ( ph -> Z e. { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) } )
40	39, 6	syl6eleqr 2495	. . 3 |- ( ph -> Z e. V )
41	11, 14	sseldd 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. C )
42	4, 5, 12, 41	fcnre 27563	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P : T --> RR )
43	42	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> P : T --> RR )
44	6	rabeq2i 2913	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. V <-> ( t e. T /\ ( P ` t ) < ( D / 2 ) ) )
45	44	biimpi 187	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. V -> ( t e. T /\ ( P ` t ) < ( D / 2 ) ) )
46	45	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( t e. T /\ ( P ` t ) < ( D / 2 ) ) )
47	46	simpld 446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> t e. T )
48	43, 47	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) e. RR )
49	9	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( D / 2 ) e. RR )
50	8	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> D e. RR )
51	46	simprd 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) < ( D / 2 ) )
52		halfpos 10154	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. RR -> ( 0 < D <-> ( D / 2 ) < D ) )
53	8, 52	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 < D <-> ( D / 2 ) < D ) )
54	26, 53	mpbid 202	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( D / 2 ) < D )
55	54	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( D / 2 ) < D )
56	48, 49, 50, 51, 55	lttrd 9187	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) < D )
57	56	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> ( P ` t ) < D )
58		stoweidlem52.20	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
59	58	ad2antrr 707	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
60	47	anim1i 552	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> ( t e. T /\ -. t e. U ) )
61		eldif 3290	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. ( T \ U ) <-> ( t e. T /\ -. t e. U ) )
62	60, 61	sylibr 204	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> t e. ( T \ U ) )
63		rsp 2726	. . . . . . . . 9 |- ( A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) -> ( t e. ( T \ U ) -> D <_ ( P ` t ) ) )
64	59, 62, 63	sylc 58	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> D <_ ( P ` t ) )
65	8	ad2antrr 707	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> D e. RR )
66	48	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> ( P ` t ) e. RR )
67	65, 66	lenltd 9175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> ( D <_ ( P ` t ) <-> -. ( P ` t ) < D ) )
68	64, 67	mpbid 202	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> -. ( P ` t ) < D )
69	57, 68	condan 770	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> t e. U )
70	69	ex 424	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. V -> t e. U ) )
71	3, 70	ralrimi 2747	. . . 4 |- ( ph -> A. t e. V t e. U )
72		nfrab1 2848	. . . . . 6 |- F/_ t { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
73	6, 72	nfcxfr 2537	. . . . 5 |- F/_ t V
74		stoweidlem52.1	. . . . 5 |- F/_ t U
75	73, 74	dfss3f 3300	. . . 4 |- ( V C_ U <-> A. t e. V t e. U )
76	71, 75	sylibr 204	. . 3 |- ( ph -> V C_ U )
77		nfv 1626	. . . 4 |- F/ e ph
78		nfv 1626	. . . . . . . 8 |- F/ t e e. RR+
79	3, 78	nfan 1842	. . . . . . 7 |- F/ t ( ph /\ e e. RR+ )
80	7	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> D e. RR+ )
81		stoweidlem52.14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D < 1 )
82	81	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> D < 1 )
83	14	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> P e. A )
84	42	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> P : T --> RR )
85		stoweidlem52.18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
86	85	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
87	58	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
88	11	sselda 3308	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f e. C )
89	4, 5, 12, 88	fcnre 27563	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
90	89	adantlr 696	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
91		stoweidlem52.10	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
92	91	3adant1r 1177	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
93		stoweidlem52.11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
94	93	3adant1r 1177	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
95		stoweidlem52.12	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
96	95	adantlr 696	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
97		simpr 448	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> e e. RR+ )
98	2, 79, 6, 80, 82, 83, 84, 86, 87, 90, 92, 94, 96, 97	stoweidlem49 27665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) )
99		nfv 1626	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t y e. A
100	79, 99	nfan 1842	. . . . . . . . . 10 |- F/ t ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A )
101		nfra1 2716	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 )
102		nfra1 2716	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t )
103		nfra1 2716	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e
104	101, 102, 103	nf3an 1845	. . . . . . . . . 10 |- F/ t ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e )
105	100, 104	nfan 1842	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) )
106		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- ( t e. T |-> ( 1 - ( y ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( 1 - ( y ` t ) ) )
107		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- ( t e. T |-> 1 ) = ( t e. T |-> 1 )
108		ssrab2 3388	. . . . . . . . . 10 |- { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) } C_ T
109	6, 108	eqsstri 3338	. . . . . . . . 9 |- V C_ T
110		simplr 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> y e. A )
111		simplll 735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> ph )
112	11	sselda 3308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. C )
113	4, 5, 12, 112	fcnre 27563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y : T --> RR )
114	111, 110, 113	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> y : T --> RR )
115	111, 89	sylan 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
116	111, 91	syl3an1 1217	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
117	111, 93	syl3an1 1217	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
118	111, 95	sylan 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
119		simpllr 736	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> e e. RR+ )
120		simpr1 963	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) )
121		simpr2 964	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) )
122		simpr3 965	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e )
123	105, 106, 107, 109, 110, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122	stoweidlem41 27657	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) )
124	123	exp31 588	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( y e. A -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) ) )
125	124	rexlimdv 2789	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
126	98, 125	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) )
127	126	ex 424	. . . 4 |- ( ph -> ( e e. RR+ -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
128	77, 127	ralrimi 2747	. . 3 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) )
129	40, 76, 128	jca31 521	. 2 |- ( ph -> ( ( Z e. V /\ V C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
130		eleq2 2465	. . . . 5 |- ( v = V -> ( Z e. v <-> Z e. V ) )
131		sseq1 3329	. . . . 5 |- ( v = V -> ( v C_ U <-> V C_ U ) )
132	130, 131	anbi12d 692	. . . 4 |- ( v = V -> ( ( Z e. v /\ v C_ U ) <-> ( Z e. V /\ V C_ U ) ) )
133		nfcv 2540	. . . . . . . 8 |- F/_ t v
134	133, 73	raleqf 2860	. . . . . . 7 |- ( v = V -> ( A. t e. v ( x ` t ) < e <-> A. t e. V ( x ` t ) < e ) )
135	134	3anbi2d 1259	. . . . . 6 |- ( v = V -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
136	135	rexbidv 2687	. . . . 5 |- ( v = V -> ( E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) <-> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
137	136	ralbidv 2686	. . . 4 |- ( v = V -> ( A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) <-> A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
138	132, 137	anbi12d 692	. . 3 |- ( v = V -> ( ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) <-> ( ( Z e. V /\ V C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) ) )
139	138	rspcev 3012	. 2 |- ( ( V e. J /\ ( ( Z e. V /\ V C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) ) -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
140	16, 129, 139	syl2anc 643	1 |- ( ph -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   F/wnf 1550   = wceq 1649   e. wcel 1721   F/_wnfc 2527   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   \ cdif 3277   C_ wss 3280   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   ran crn 4838   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   2c2 10005   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   topGenctg 13620   Cn ccn 17242

This theorem is referenced by:  stoweidlem56  27672

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-ioo 10876  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cn 17245