Theorem stoweidlem52 37913

Description: There exists a neighborood V as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90. Here Z is used to represent t₀ in the paper, and v is used to represent V in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem52.1	|- F/_ t U
stoweidlem52.2	|- F/ t ph
stoweidlem52.3	|- F/_ t P
stoweidlem52.4	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem52.5	|- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
stoweidlem52.7	|- T = U. J
stoweidlem52.8	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem52.9	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem52.10	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem52.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem52.12	|- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
stoweidlem52.13	|- ( ph -> D e. RR+ )
stoweidlem52.14	|- ( ph -> D < 1 )
stoweidlem52.15	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem52.16	|- ( ph -> Z e. U )
stoweidlem52.17	|- ( ph -> P e. A )
stoweidlem52.18	|- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
stoweidlem52.19	|- ( ph -> ( P ` Z ) = 0 )
stoweidlem52.20	|- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem52	|- ( ph -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )

Distinct variable groups:   e, a, t   A, a, t   D, a, t   T, a, t   U, a   V, a, e   ph, a, e   e, f, g, t   v, e, x, t   A, f, g   D, f, g   P, f, g   T, f, g   U, f, g   f, V, g   ph, f, g   t, Z, v   v, A   v, J   v, T, x   v, U, x   v, V, x   x, A

Allowed substitution hints:   ph( x, v, t)   A( e)   C( x, v, t, e, f, g, a)   D( x, v, e)   P( x, v, t, e, a)   T( e)   U( t, e)   J( x, t, e, f, g, a)   K( x, v, t, e, f, g, a)   V( t)   Z( x, e, f, g, a)

Proof of Theorem stoweidlem52

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2592	. . 3 |- F/_ t ( D / 2 )
2		stoweidlem52.3	. . 3 |- F/_ t P
3		stoweidlem52.2	. . 3 |- F/ t ph
4		stoweidlem52.4	. . 3 |- K = ( topGen ` ran (,) )
5		stoweidlem52.7	. . 3 |- T = U. J
6		stoweidlem52.5	. . 3 |- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
7		stoweidlem52.13	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. RR+ )
8	7	rpred 11341	. . . . 5 |- ( ph -> D e. RR )
9	8	rehalfcld 10859	. . . 4 |- ( ph -> ( D / 2 ) e. RR )
10	9	rexrd 9690	. . 3 |- ( ph -> ( D / 2 ) e. RR* )
11		stoweidlem52.9	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ C )
12		stoweidlem52.8	. . . . 5 |- C = ( J Cn K )
13	11, 12	syl6sseq 3478	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
14		stoweidlem52.17	. . . 4 |- ( ph -> P e. A )
15	13, 14	sseldd 3433	. . 3 |- ( ph -> P e. ( J Cn K ) )
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15	rfcnpre2 37352	. 2 |- ( ph -> V e. J )
17		stoweidlem52.15	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. J )
18		elssuni 4227	. . . . . . . 8 |- ( U e. J -> U C_ U. J )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> U C_ U. J )
20	19, 5	syl6sseqr 3479	. . . . . 6 |- ( ph -> U C_ T )
21		stoweidlem52.16	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. U )
22	20, 21	sseldd 3433	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. T )
23		stoweidlem52.19	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P ` Z ) = 0 )
24		2re 10679	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. RR )
26	7	rpgt0d 11344	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < D )
27		2pos 10701	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < 2 )
29	8, 25, 26, 28	divgt0d 10542	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < ( D / 2 ) )
30	23, 29	eqbrtrd 4423	. . . . 5 |- ( ph -> ( P ` Z ) < ( D / 2 ) )
31		nfcv 2592	. . . . . 6 |- F/_ t Z
32		nfcv 2592	. . . . . 6 |- F/_ t T
33	2, 31	nffv 5872	. . . . . . 7 |- F/_ t ( P ` Z )
34		nfcv 2592	. . . . . . 7 |- F/_ t <
35	33, 34, 1	nfbr 4447	. . . . . 6 |- F/ t ( P ` Z ) < ( D / 2 )
36		fveq2 5865	. . . . . . 7 |- ( t = Z -> ( P ` t ) = ( P ` Z ) )
37	36	breq1d 4412	. . . . . 6 |- ( t = Z -> ( ( P ` t ) < ( D / 2 ) <-> ( P ` Z ) < ( D / 2 ) ) )
38	31, 32, 35, 37	elrabf 3194	. . . . 5 |- ( Z e. { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) } <-> ( Z e. T /\ ( P ` Z ) < ( D / 2 ) ) )
39	22, 30, 38	sylanbrc 670	. . . 4 |- ( ph -> Z e. { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) } )
40	39, 6	syl6eleqr 2540	. . 3 |- ( ph -> Z e. V )
41		nfrab1 2971	. . . . 5 |- F/_ t { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
42	6, 41	nfcxfr 2590	. . . 4 |- F/_ t V
43		stoweidlem52.1	. . . 4 |- F/_ t U
44	11, 14	sseldd 3433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. C )
45	4, 5, 12, 44	fcnre 37346	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P : T --> RR )
46	45	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> P : T --> RR )
47	6	rabeq2i 3042	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. V <-> ( t e. T /\ ( P ` t ) < ( D / 2 ) ) )
48	47	biimpi 198	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. V -> ( t e. T /\ ( P ` t ) < ( D / 2 ) ) )
49	48	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( t e. T /\ ( P ` t ) < ( D / 2 ) ) )
50	49	simpld 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> t e. T )
51	46, 50	ffvelrnd 6023	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) e. RR )
52	9	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( D / 2 ) e. RR )
53	8	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> D e. RR )
54	49	simprd 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) < ( D / 2 ) )
55		halfpos 10843	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. RR -> ( 0 < D <-> ( D / 2 ) < D ) )
56	8, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 < D <-> ( D / 2 ) < D ) )
57	26, 56	mpbid 214	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D / 2 ) < D )
58	57	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( D / 2 ) < D )
59	51, 52, 53, 54, 58	lttrd 9796	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) < D )
60	59	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> ( P ` t ) < D )
61	8	ad2antrr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> D e. RR )
62	51	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> ( P ` t ) e. RR )
63		stoweidlem52.20	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
64	63	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
65	50	anim1i 572	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> ( t e. T /\ -. t e. U ) )
66		eldif 3414	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( T \ U ) <-> ( t e. T /\ -. t e. U ) )
67	65, 66	sylibr 216	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> t e. ( T \ U ) )
68		rsp 2754	. . . . . . . 8 |- ( A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) -> ( t e. ( T \ U ) -> D <_ ( P ` t ) ) )
69	64, 67, 68	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> D <_ ( P ` t ) )
70	61, 62, 69	lensymd 9786	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. V ) /\ -. t e. U ) -> -. ( P ` t ) < D )
71	60, 70	condan 803	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> t e. U )
72	71	ex 436	. . . 4 |- ( ph -> ( t e. V -> t e. U ) )
73	3, 42, 43, 72	ssrd 3437	. . 3 |- ( ph -> V C_ U )
74		nfv 1761	. . . . . . . . 9 |- F/ t e e. RR+
75	3, 74	nfan 2011	. . . . . . . 8 |- F/ t ( ph /\ e e. RR+ )
76		nfv 1761	. . . . . . . 8 |- F/ t y e. A
77	75, 76	nfan 2011	. . . . . . 7 |- F/ t ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A )
78		nfra1 2769	. . . . . . . 8 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 )
79		nfra1 2769	. . . . . . . 8 |- F/ t A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t )
80		nfra1 2769	. . . . . . . 8 |- F/ t A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e
81	78, 79, 80	nf3an 2013	. . . . . . 7 |- F/ t ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e )
82	77, 81	nfan 2011	. . . . . 6 |- F/ t ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) )
83		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( t e. T |-> ( 1 - ( y ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( 1 - ( y ` t ) ) )
84		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( t e. T |-> 1 ) = ( t e. T |-> 1 )
85		ssrab2 3514	. . . . . . 7 |- { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) } C_ T
86	6, 85	eqsstri 3462	. . . . . 6 |- V C_ T
87		simplr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> y e. A )
88		simplll 768	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> ph )
89	11	sselda 3432	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. C )
90	4, 5, 12, 89	fcnre 37346	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y : T --> RR )
91	88, 87, 90	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> y : T --> RR )
92	11	sselda 3432	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f e. C )
93	4, 5, 12, 92	fcnre 37346	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
94	88, 93	sylan 474	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
95		stoweidlem52.10	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
96	88, 95	syl3an1 1301	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
97		stoweidlem52.11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
98	88, 97	syl3an1 1301	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
99		stoweidlem52.12	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
100	88, 99	sylan 474	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
101		simpllr 769	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> e e. RR+ )
102		simpr1 1014	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) )
103		simpr2 1015	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) )
104		simpr3 1016	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e )
105	82, 83, 84, 86, 87, 91, 94, 96, 98, 100, 101, 102, 103, 104	stoweidlem41 37902	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) ) -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) )
106	7	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> D e. RR+ )
107		stoweidlem52.14	. . . . . . 7 |- ( ph -> D < 1 )
108	107	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> D < 1 )
109	14	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> P e. A )
110	45	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> P : T --> RR )
111		stoweidlem52.18	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
112	111	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
113	63	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
114	93	adantlr 721	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
115	95	3adant1r 1261	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
116	97	3adant1r 1261	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
117	99	adantlr 721	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
118		simpr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> e e. RR+ )
119	2, 75, 6, 106, 108, 109, 110, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118	stoweidlem49 37910	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - e ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < e ) )
120	105, 119	r19.29a 2932	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) )
121	120	ralrimiva 2802	. . 3 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) )
122	40, 73, 121	jca31 537	. 2 |- ( ph -> ( ( Z e. V /\ V C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
123		eleq2 2518	. . . . 5 |- ( v = V -> ( Z e. v <-> Z e. V ) )
124		sseq1 3453	. . . . 5 |- ( v = V -> ( v C_ U <-> V C_ U ) )
125	123, 124	anbi12d 717	. . . 4 |- ( v = V -> ( ( Z e. v /\ v C_ U ) <-> ( Z e. V /\ V C_ U ) ) )
126		nfcv 2592	. . . . . . . 8 |- F/_ t v
127	126, 42	raleqf 2983	. . . . . . 7 |- ( v = V -> ( A. t e. v ( x ` t ) < e <-> A. t e. V ( x ` t ) < e ) )
128	127	3anbi2d 1344	. . . . . 6 |- ( v = V -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
129	128	rexbidv 2901	. . . . 5 |- ( v = V -> ( E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) <-> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
130	129	ralbidv 2827	. . . 4 |- ( v = V -> ( A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) <-> A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
131	125, 130	anbi12d 717	. . 3 |- ( v = V -> ( ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) <-> ( ( Z e. V /\ V C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) ) )
132	131	rspcev 3150	. 2 |- ( ( V e. J /\ ( ( Z e. V /\ V C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) ) -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
133	16, 122, 132	syl2anc 667	1 |- ( ph -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   F/wnf 1667   e. wcel 1887   F/_wnfc 2579   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   \ cdif 3401   C_ wss 3404   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   ran crn 4835   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   / cdiv 10269   2c2 10659   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   topGenctg 15336   Cn ccn 20240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-ioo 11639  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-topgen 15342  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cn 20243

This theorem is referenced by:  stoweidlem56  37917