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Theorem stoweidlem52 31352
Description: There exists a neighborood V as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90. Here Z is used to represent t0 in the paper, and v is used to represent V in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem52.1  |-  F/_ t U
stoweidlem52.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem52.3  |-  F/_ t P
stoweidlem52.4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem52.5  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
stoweidlem52.7  |-  T  = 
U. J
stoweidlem52.8  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem52.9  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem52.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem52.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem52.12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
stoweidlem52.13  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem52.14  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
stoweidlem52.15  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem52.16  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
stoweidlem52.17  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
stoweidlem52.18  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
stoweidlem52.19  |-  ( ph  ->  ( P `  Z
)  =  0 )
stoweidlem52.20  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem52  |-  ( ph  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
Distinct variable groups:    e, a,
t    A, a, t    D, a, t    T, a, t    U, a    V, a, e    ph, a, e    e, f, g, t    v, e, x, t    A, f, g    D, f, g    P, f, g    T, f, g    U, f, g    f, V, g    ph, f, g    t, Z, v    v, A    v, J    v, T, x    v, U, x    v, V, x   
x, A
Allowed substitution hints:    ph( x, v, t)    A( e)    C( x, v, t, e, f, g, a)    D( x, v, e)    P( x, v, t, e, a)    T( e)    U( t, e)    J( x, t, e, f, g, a)    K( x, v, t, e, f, g, a)    V( t)    Z( x, e, f, g, a)

Proof of Theorem stoweidlem52
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2629 . . 3  |-  F/_ t
( D  /  2
)
2 stoweidlem52.3 . . 3  |-  F/_ t P
3 stoweidlem52.2 . . 3  |-  F/ t
ph
4 stoweidlem52.4 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
5 stoweidlem52.7 . . 3  |-  T  = 
U. J
6 stoweidlem52.5 . . 3  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
7 stoweidlem52.13 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
87rpred 11252 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
98rehalfcld 10781 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  e.  RR )
109rexrd 9639 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  e.  RR* )
11 stoweidlem52.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
12 stoweidlem52.8 . . . . 5  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
1311, 12syl6sseq 3550 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
14 stoweidlem52.17 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
1513, 14sseldd 3505 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15rfcnpre2 30984 . 2  |-  ( ph  ->  V  e.  J )
17 stoweidlem52.15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
18 elssuni 4275 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_ 
U. J )
1917, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  U. J )
2019, 5syl6sseqr 3551 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  C_  T )
21 stoweidlem52.16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
2220, 21sseldd 3505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
23 stoweidlem52.19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P `  Z
)  =  0 )
24 2re 10601 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
267rpgt0d 11255 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  D )
27 2pos 10623 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
2827a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
298, 25, 26, 28divgt0d 10477 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( D  /  2 ) )
3023, 29eqbrtrd 4467 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P `  Z
)  <  ( D  /  2 ) )
31 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ t Z
32 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ t T
332, 31nffv 5871 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( P `  Z
)
34 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ t  <
3533, 34, 1nfbr 4491 . . . . . 6  |-  F/ t ( P `  Z
)  <  ( D  /  2 )
36 fveq2 5864 . . . . . . 7  |-  ( t  =  Z  ->  ( P `  t )  =  ( P `  Z ) )
3736breq1d 4457 . . . . . 6  |-  ( t  =  Z  ->  (
( P `  t
)  <  ( D  /  2 )  <->  ( P `  Z )  <  ( D  /  2 ) ) )
3831, 32, 35, 37elrabf 3259 . . . . 5  |-  ( Z  e.  { t  e.  T  |  ( P `
 t )  < 
( D  /  2
) }  <->  ( Z  e.  T  /\  ( P `  Z )  <  ( D  /  2
) ) )
3922, 30, 38sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) } )
4039, 6syl6eleqr 2566 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
41 nfrab1 3042 . . . . 5  |-  F/_ t { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
426, 41nfcxfr 2627 . . . 4  |-  F/_ t V
43 stoweidlem52.1 . . . 4  |-  F/_ t U
4411, 14sseldd 3505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  C )
454, 5, 12, 44fcnre 30978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
4645adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  P : T --> RR )
476rabeq2i 3110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  V  <->  ( t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) ) )
4847biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  V  ->  (
t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) ) )
4948adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) ) )
5049simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  t  e.  T )
5146, 50ffvelrnd 6020 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  e.  RR )
529adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( D  /  2 )  e.  RR )
538adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  D  e.  RR )
5449simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) )
55 halfpos 10765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  RR  ->  (
0  <  D  <->  ( D  /  2 )  < 
D ) )
568, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  <  D  <->  ( D  /  2 )  <  D ) )
5726, 56mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  <  D )
5857adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( D  /  2 )  < 
D )
5951, 52, 53, 54, 58lttrd 9738 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <  D )
6059adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( P `  t
)  <  D )
61 stoweidlem52.20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
6261ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
6350anim1i 568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( t  e.  T  /\  -.  t  e.  U
) )
64 eldif 3486 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( T  \  U )  <->  ( t  e.  T  /\  -.  t  e.  U ) )
6563, 64sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  t  e.  ( T 
\  U ) )
66 rsp 2830 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_ 
( P `  t
)  ->  ( t  e.  ( T  \  U
)  ->  D  <_  ( P `  t ) ) )
6762, 65, 66sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  D  <_  ( P `  t ) )
688ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  D  e.  RR )
6951adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( P `  t
)  e.  RR )
7068, 69lenltd 9726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( D  <_  ( P `  t )  <->  -.  ( P `  t
)  <  D )
)
7167, 70mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  -.  ( P `  t )  <  D
)
7260, 71condan 792 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  t  e.  U )
7372ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  V  ->  t  e.  U ) )
743, 42, 43, 73ssrd 3509 . . 3  |-  ( ph  ->  V  C_  U )
75 nfv 1683 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  e  e.  RR+
763, 75nfan 1875 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( ph  /\  e  e.  RR+ )
77 nfv 1683 . . . . . . . 8  |-  F/ t  y  e.  A
7876, 77nfan 1875 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )
79 nfra1 2845 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )
80 nfra1 2845 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  V  ( 1  -  e
)  <  ( y `  t )
81 nfra1 2845 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  e
8279, 80, 81nf3an 1877 . . . . . . 7  |-  F/ t ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
)
8378, 82nfan 1875 . . . . . 6  |-  F/ t ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )
84 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  ( y `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  ( y `  t
) ) )
85 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( t  e.  T  |->  1 )  =  ( t  e.  T  |->  1 )
86 ssrab2 3585 . . . . . . 7  |-  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) }  C_  T
876, 86eqsstri 3534 . . . . . 6  |-  V  C_  T
88 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  y  e.  A )
89 simplll 757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  ph )
9011sselda 3504 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  C )
914, 5, 12, 90fcnre 30978 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y : T --> RR )
9289, 88, 91syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  y : T --> RR )
9311sselda 3504 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  C )
944, 5, 12, 93fcnre 30978 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
9589, 94sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
96 stoweidlem52.10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
9789, 96syl3an1 1261 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A
)
98 stoweidlem52.11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
9989, 98syl3an1 1261 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  A
)
100 stoweidlem52.12 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
10189, 100sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A
)
102 simpllr 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  e  e.  RR+ )
103 simpr1 1002 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 ) )
104 simpr2 1003 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
) )
105 simpr3 1004 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
)
10683, 84, 85, 87, 88, 92, 95, 97, 99, 101, 102, 103, 104, 105stoweidlem41 31341 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) )
1077adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  D  e.  RR+ )
108 stoweidlem52.14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
109108adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  D  <  1 )
11014adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  P  e.  A )
11145adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  P : T
--> RR )
112 stoweidlem52.18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
113112adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
11461adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) D  <_  ( P `  t )
)
11594adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
116963adant1r 1221 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
117983adant1r 1221 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
118100adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  a )  e.  A )
119 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  e  e.  RR+ )
1202, 76, 6, 107, 109, 110, 111, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119stoweidlem49 31349 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )
121106, 120r19.29a 3003 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) )
122121ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) ) )
12340, 74, 122jca31 534 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Z  e.  V  /\  V  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
124 eleq2 2540 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  ( Z  e.  v  <->  Z  e.  V ) )
125 sseq1 3525 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  (
v  C_  U  <->  V  C_  U
) )
126124, 125anbi12d 710 . . . 4  |-  ( v  =  V  ->  (
( Z  e.  v  /\  v  C_  U
)  <->  ( Z  e.  V  /\  V  C_  U ) ) )
127 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
v
128127, 42raleqf 3054 . . . . . . 7  |-  ( v  =  V  ->  ( A. t  e.  v 
( x `  t
)  <  e  <->  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e
) )
1291283anbi2d 1304 . . . . . 6  |-  ( v  =  V  ->  (
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  v  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) )  <->  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
130129rexbidv 2973 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  ( E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) )  <->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
131130ralbidv 2903 . . . 4  |-  ( v  =  V  ->  ( A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
)  <->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) ) ) )
132126, 131anbi12d 710 . . 3  |-  ( v  =  V  ->  (
( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) )  <->  ( ( Z  e.  V  /\  V  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) ) )
133132rspcev 3214 . 2  |-  ( ( V  e.  J  /\  ( ( Z  e.  V  /\  V  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
13416, 123, 133syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   F/wnf 1599    e. wcel 1767   F/_wnfc 2615   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818    \ cdif 3473    C_ wss 3476   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ran crn 5000   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801    / cdiv 10202   2c2 10581   RR+crp 11216   (,)cioo 11525   topGenctg 14689    Cn ccn 19491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-ioo 11529  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-topgen 14695  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cn 19494
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