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Theorem stoweidlem52 29852
Description: There exists a neighborood V as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90. Here Z is used to represent t0 in the paper, and v is used to represent V in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem52.1  |-  F/_ t U
stoweidlem52.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem52.3  |-  F/_ t P
stoweidlem52.4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem52.5  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
stoweidlem52.7  |-  T  = 
U. J
stoweidlem52.8  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem52.9  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem52.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem52.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem52.12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
stoweidlem52.13  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem52.14  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
stoweidlem52.15  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem52.16  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
stoweidlem52.17  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
stoweidlem52.18  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
stoweidlem52.19  |-  ( ph  ->  ( P `  Z
)  =  0 )
stoweidlem52.20  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem52  |-  ( ph  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
Distinct variable groups:    e, a,
t    A, a, t    D, a, t    T, a, t    U, a    V, a, e    ph, a, e    e, f, g, t    v, e, x, t    A, f, g    D, f, g    P, f, g    T, f, g    U, f, g    f, V, g    ph, f, g    t, Z, v    v, A    v, J    v, T, x    v, U, x    v, V, x   
x, A
Allowed substitution hints:    ph( x, v, t)    A( e)    C( x, v, t, e, f, g, a)    D( x, v, e)    P( x, v, t, e, a)    T( e)    U( t, e)    J( x, t, e, f, g, a)    K( x, v, t, e, f, g, a)    V( t)    Z( x, e, f, g, a)

Proof of Theorem stoweidlem52
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2584 . . 3  |-  F/_ t
( D  /  2
)
2 stoweidlem52.3 . . 3  |-  F/_ t P
3 stoweidlem52.2 . . 3  |-  F/ t
ph
4 stoweidlem52.4 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
5 stoweidlem52.7 . . 3  |-  T  = 
U. J
6 stoweidlem52.5 . . 3  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
7 stoweidlem52.13 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
87rpred 11032 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
98rehalfcld 10576 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  e.  RR )
109rexrd 9438 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  e.  RR* )
11 stoweidlem52.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
12 stoweidlem52.8 . . . . 5  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
1311, 12syl6sseq 3407 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
14 stoweidlem52.17 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
1513, 14sseldd 3362 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15rfcnpre2 29758 . 2  |-  ( ph  ->  V  e.  J )
17 stoweidlem52.15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
18 elssuni 4126 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_ 
U. J )
1917, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  U. J )
2019, 5syl6sseqr 3408 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  C_  T )
21 stoweidlem52.16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
2220, 21sseldd 3362 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
23 stoweidlem52.19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P `  Z
)  =  0 )
24 2re 10396 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
267rpgt0d 11035 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  D )
27 2pos 10418 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
2827a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
298, 25, 26, 28divgt0d 10273 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( D  /  2 ) )
3023, 29eqbrtrd 4317 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P `  Z
)  <  ( D  /  2 ) )
31 nfcv 2584 . . . . . 6  |-  F/_ t Z
32 nfcv 2584 . . . . . 6  |-  F/_ t T
332, 31nffv 5703 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( P `  Z
)
34 nfcv 2584 . . . . . . 7  |-  F/_ t  <
3533, 34, 1nfbr 4341 . . . . . 6  |-  F/ t ( P `  Z
)  <  ( D  /  2 )
36 fveq2 5696 . . . . . . 7  |-  ( t  =  Z  ->  ( P `  t )  =  ( P `  Z ) )
3736breq1d 4307 . . . . . 6  |-  ( t  =  Z  ->  (
( P `  t
)  <  ( D  /  2 )  <->  ( P `  Z )  <  ( D  /  2 ) ) )
3831, 32, 35, 37elrabf 3120 . . . . 5  |-  ( Z  e.  { t  e.  T  |  ( P `
 t )  < 
( D  /  2
) }  <->  ( Z  e.  T  /\  ( P `  Z )  <  ( D  /  2
) ) )
3922, 30, 38sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) } )
4039, 6syl6eleqr 2534 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
41 nfrab1 2906 . . . . 5  |-  F/_ t { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
426, 41nfcxfr 2581 . . . 4  |-  F/_ t V
43 stoweidlem52.1 . . . 4  |-  F/_ t U
4411, 14sseldd 3362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  C )
454, 5, 12, 44fcnre 29752 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
4645adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  P : T --> RR )
476rabeq2i 2974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  V  <->  ( t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) ) )
4847biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  V  ->  (
t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) ) )
4948adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) ) )
5049simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  t  e.  T )
5146, 50ffvelrnd 5849 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  e.  RR )
529adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( D  /  2 )  e.  RR )
538adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  D  e.  RR )
5449simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) )
55 halfpos 10560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  RR  ->  (
0  <  D  <->  ( D  /  2 )  < 
D ) )
568, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  <  D  <->  ( D  /  2 )  <  D ) )
5726, 56mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  <  D )
5857adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( D  /  2 )  < 
D )
5951, 52, 53, 54, 58lttrd 9537 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <  D )
6059adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( P `  t
)  <  D )
61 stoweidlem52.20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
6261ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
6350anim1i 568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( t  e.  T  /\  -.  t  e.  U
) )
64 eldif 3343 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( T  \  U )  <->  ( t  e.  T  /\  -.  t  e.  U ) )
6563, 64sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  t  e.  ( T 
\  U ) )
66 rsp 2781 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_ 
( P `  t
)  ->  ( t  e.  ( T  \  U
)  ->  D  <_  ( P `  t ) ) )
6762, 65, 66sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  D  <_  ( P `  t ) )
688ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  D  e.  RR )
6951adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( P `  t
)  e.  RR )
7068, 69lenltd 9525 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( D  <_  ( P `  t )  <->  -.  ( P `  t
)  <  D )
)
7167, 70mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  -.  ( P `  t )  <  D
)
7260, 71condan 792 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  t  e.  U )
7372ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  V  ->  t  e.  U ) )
743, 42, 43, 73ssrd 3366 . . 3  |-  ( ph  ->  V  C_  U )
75 nfv 1673 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  e  e.  RR+
763, 75nfan 1861 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( ph  /\  e  e.  RR+ )
77 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ t  y  e.  A
7876, 77nfan 1861 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )
79 nfra1 2771 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )
80 nfra1 2771 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  V  ( 1  -  e
)  <  ( y `  t )
81 nfra1 2771 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  e
8279, 80, 81nf3an 1863 . . . . . . 7  |-  F/ t ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
)
8378, 82nfan 1861 . . . . . 6  |-  F/ t ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )
84 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  ( y `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  ( y `  t
) ) )
85 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( t  e.  T  |->  1 )  =  ( t  e.  T  |->  1 )
86 ssrab2 3442 . . . . . . 7  |-  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) }  C_  T
876, 86eqsstri 3391 . . . . . 6  |-  V  C_  T
88 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  y  e.  A )
89 simplll 757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  ph )
9011sselda 3361 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  C )
914, 5, 12, 90fcnre 29752 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y : T --> RR )
9289, 88, 91syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  y : T --> RR )
9311sselda 3361 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  C )
944, 5, 12, 93fcnre 29752 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
9589, 94sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
96 stoweidlem52.10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
9789, 96syl3an1 1251 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A
)
98 stoweidlem52.11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
9989, 98syl3an1 1251 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  A
)
100 stoweidlem52.12 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
10189, 100sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A
)
102 simpllr 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  e  e.  RR+ )
103 simpr1 994 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 ) )
104 simpr2 995 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
) )
105 simpr3 996 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
)
10683, 84, 85, 87, 88, 92, 95, 97, 99, 101, 102, 103, 104, 105stoweidlem41 29841 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) )
1077adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  D  e.  RR+ )
108 stoweidlem52.14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
109108adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  D  <  1 )
11014adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  P  e.  A )
11145adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  P : T
--> RR )
112 stoweidlem52.18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
113112adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
11461adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) D  <_  ( P `  t )
)
11594adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
116963adant1r 1211 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
117983adant1r 1211 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
118100adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  a )  e.  A )
119 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  e  e.  RR+ )
1202, 76, 6, 107, 109, 110, 111, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119stoweidlem49 29849 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )
121106, 120r19.29a 2867 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) )
122121ralrimiva 2804 . . 3  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) ) )
12340, 74, 122jca31 534 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Z  e.  V  /\  V  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
124 eleq2 2504 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  ( Z  e.  v  <->  Z  e.  V ) )
125 sseq1 3382 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  (
v  C_  U  <->  V  C_  U
) )
126124, 125anbi12d 710 . . . 4  |-  ( v  =  V  ->  (
( Z  e.  v  /\  v  C_  U
)  <->  ( Z  e.  V  /\  V  C_  U ) ) )
127 nfcv 2584 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
v
128127, 42raleqf 2918 . . . . . . 7  |-  ( v  =  V  ->  ( A. t  e.  v 
( x `  t
)  <  e  <->  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e
) )
1291283anbi2d 1294 . . . . . 6  |-  ( v  =  V  ->  (
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  v  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) )  <->  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
130129rexbidv 2741 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  ( E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) )  <->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
131130ralbidv 2740 . . . 4  |-  ( v  =  V  ->  ( A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
)  <->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) ) ) )
132126, 131anbi12d 710 . . 3  |-  ( v  =  V  ->  (
( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) )  <->  ( ( Z  e.  V  /\  V  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) ) )
133132rspcev 3078 . 2  |-  ( ( V  e.  J  /\  ( ( Z  e.  V  /\  V  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
13416, 123, 133syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   F/wnf 1589    e. wcel 1756   F/_wnfc 2571   A.wral 2720   E.wrex 2721   {crab 2724    \ cdif 3330    C_ wss 3333   U.cuni 4096   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   ran crn 4846   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600    / cdiv 9998   2c2 10376   RR+crp 10996   (,)cioo 11305   topGenctg 14381    Cn ccn 18833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-ioo 11309  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-topgen 14387  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-cn 18836
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