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Theorem stoweidlem52 37913
Description: There exists a neighborood V as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90. Here Z is used to represent t0 in the paper, and v is used to represent V in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem52.1  |-  F/_ t U
stoweidlem52.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem52.3  |-  F/_ t P
stoweidlem52.4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem52.5  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
stoweidlem52.7  |-  T  = 
U. J
stoweidlem52.8  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem52.9  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem52.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem52.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem52.12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
stoweidlem52.13  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem52.14  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
stoweidlem52.15  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem52.16  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
stoweidlem52.17  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
stoweidlem52.18  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
stoweidlem52.19  |-  ( ph  ->  ( P `  Z
)  =  0 )
stoweidlem52.20  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem52  |-  ( ph  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
Distinct variable groups:    e, a,
t    A, a, t    D, a, t    T, a, t    U, a    V, a, e    ph, a, e    e, f, g, t    v, e, x, t    A, f, g    D, f, g    P, f, g    T, f, g    U, f, g    f, V, g    ph, f, g    t, Z, v    v, A    v, J    v, T, x    v, U, x    v, V, x   
x, A
Allowed substitution hints:    ph( x, v, t)    A( e)    C( x, v, t, e, f, g, a)    D( x, v, e)    P( x, v, t, e, a)    T( e)    U( t, e)    J( x, t, e, f, g, a)    K( x, v, t, e, f, g, a)    V( t)    Z( x, e, f, g, a)

Proof of Theorem stoweidlem52
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2592 . . 3  |-  F/_ t
( D  /  2
)
2 stoweidlem52.3 . . 3  |-  F/_ t P
3 stoweidlem52.2 . . 3  |-  F/ t
ph
4 stoweidlem52.4 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
5 stoweidlem52.7 . . 3  |-  T  = 
U. J
6 stoweidlem52.5 . . 3  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
7 stoweidlem52.13 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
87rpred 11341 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
98rehalfcld 10859 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  e.  RR )
109rexrd 9690 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  e.  RR* )
11 stoweidlem52.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
12 stoweidlem52.8 . . . . 5  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
1311, 12syl6sseq 3478 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
14 stoweidlem52.17 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
1513, 14sseldd 3433 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15rfcnpre2 37352 . 2  |-  ( ph  ->  V  e.  J )
17 stoweidlem52.15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
18 elssuni 4227 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_ 
U. J )
1917, 18syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  U. J )
2019, 5syl6sseqr 3479 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  C_  T )
21 stoweidlem52.16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
2220, 21sseldd 3433 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
23 stoweidlem52.19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P `  Z
)  =  0 )
24 2re 10679 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
267rpgt0d 11344 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  D )
27 2pos 10701 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
2827a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
298, 25, 26, 28divgt0d 10542 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( D  /  2 ) )
3023, 29eqbrtrd 4423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P `  Z
)  <  ( D  /  2 ) )
31 nfcv 2592 . . . . . 6  |-  F/_ t Z
32 nfcv 2592 . . . . . 6  |-  F/_ t T
332, 31nffv 5872 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( P `  Z
)
34 nfcv 2592 . . . . . . 7  |-  F/_ t  <
3533, 34, 1nfbr 4447 . . . . . 6  |-  F/ t ( P `  Z
)  <  ( D  /  2 )
36 fveq2 5865 . . . . . . 7  |-  ( t  =  Z  ->  ( P `  t )  =  ( P `  Z ) )
3736breq1d 4412 . . . . . 6  |-  ( t  =  Z  ->  (
( P `  t
)  <  ( D  /  2 )  <->  ( P `  Z )  <  ( D  /  2 ) ) )
3831, 32, 35, 37elrabf 3194 . . . . 5  |-  ( Z  e.  { t  e.  T  |  ( P `
 t )  < 
( D  /  2
) }  <->  ( Z  e.  T  /\  ( P `  Z )  <  ( D  /  2
) ) )
3922, 30, 38sylanbrc 670 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) } )
4039, 6syl6eleqr 2540 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
41 nfrab1 2971 . . . . 5  |-  F/_ t { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
426, 41nfcxfr 2590 . . . 4  |-  F/_ t V
43 stoweidlem52.1 . . . 4  |-  F/_ t U
4411, 14sseldd 3433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  C )
454, 5, 12, 44fcnre 37346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
4645adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  P : T --> RR )
476rabeq2i 3042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  V  <->  ( t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) ) )
4847biimpi 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  V  ->  (
t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) ) )
4948adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) ) )
5049simpld 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  t  e.  T )
5146, 50ffvelrnd 6023 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  e.  RR )
529adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( D  /  2 )  e.  RR )
538adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  D  e.  RR )
5449simprd 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) )
55 halfpos 10843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  RR  ->  (
0  <  D  <->  ( D  /  2 )  < 
D ) )
568, 55syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  <  D  <->  ( D  /  2 )  <  D ) )
5726, 56mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  <  D )
5857adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( D  /  2 )  < 
D )
5951, 52, 53, 54, 58lttrd 9796 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <  D )
6059adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( P `  t
)  <  D )
618ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  D  e.  RR )
6251adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( P `  t
)  e.  RR )
63 stoweidlem52.20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
6463ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
6550anim1i 572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( t  e.  T  /\  -.  t  e.  U
) )
66 eldif 3414 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( T  \  U )  <->  ( t  e.  T  /\  -.  t  e.  U ) )
6765, 66sylibr 216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  t  e.  ( T 
\  U ) )
68 rsp 2754 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_ 
( P `  t
)  ->  ( t  e.  ( T  \  U
)  ->  D  <_  ( P `  t ) ) )
6964, 67, 68sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  D  <_  ( P `  t ) )
7061, 62, 69lensymd 9786 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  -.  ( P `  t )  <  D
)
7160, 70condan 803 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  t  e.  U )
7271ex 436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  V  ->  t  e.  U ) )
733, 42, 43, 72ssrd 3437 . . 3  |-  ( ph  ->  V  C_  U )
74 nfv 1761 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  e  e.  RR+
753, 74nfan 2011 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( ph  /\  e  e.  RR+ )
76 nfv 1761 . . . . . . . 8  |-  F/ t  y  e.  A
7775, 76nfan 2011 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )
78 nfra1 2769 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )
79 nfra1 2769 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  V  ( 1  -  e
)  <  ( y `  t )
80 nfra1 2769 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  e
8178, 79, 80nf3an 2013 . . . . . . 7  |-  F/ t ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
)
8277, 81nfan 2011 . . . . . 6  |-  F/ t ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )
83 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  ( y `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  ( y `  t
) ) )
84 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( t  e.  T  |->  1 )  =  ( t  e.  T  |->  1 )
85 ssrab2 3514 . . . . . . 7  |-  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) }  C_  T
866, 85eqsstri 3462 . . . . . 6  |-  V  C_  T
87 simplr 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  y  e.  A )
88 simplll 768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  ph )
8911sselda 3432 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  C )
904, 5, 12, 89fcnre 37346 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y : T --> RR )
9188, 87, 90syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  y : T --> RR )
9211sselda 3432 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  C )
934, 5, 12, 92fcnre 37346 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
9488, 93sylan 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
95 stoweidlem52.10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
9688, 95syl3an1 1301 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A
)
97 stoweidlem52.11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
9888, 97syl3an1 1301 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  A
)
99 stoweidlem52.12 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
10088, 99sylan 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A
)
101 simpllr 769 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  e  e.  RR+ )
102 simpr1 1014 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 ) )
103 simpr2 1015 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
) )
104 simpr3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
)
10582, 83, 84, 86, 87, 91, 94, 96, 98, 100, 101, 102, 103, 104stoweidlem41 37902 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) )
1067adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  D  e.  RR+ )
107 stoweidlem52.14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
108107adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  D  <  1 )
10914adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  P  e.  A )
11045adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  P : T
--> RR )
111 stoweidlem52.18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
112111adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
11363adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) D  <_  ( P `  t )
)
11493adantlr 721 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
115953adant1r 1261 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
116973adant1r 1261 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
11799adantlr 721 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  a )  e.  A )
118 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  e  e.  RR+ )
1192, 75, 6, 106, 108, 109, 110, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118stoweidlem49 37910 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )
120105, 119r19.29a 2932 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) )
121120ralrimiva 2802 . . 3  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) ) )
12240, 73, 121jca31 537 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Z  e.  V  /\  V  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
123 eleq2 2518 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  ( Z  e.  v  <->  Z  e.  V ) )
124 sseq1 3453 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  (
v  C_  U  <->  V  C_  U
) )
125123, 124anbi12d 717 . . . 4  |-  ( v  =  V  ->  (
( Z  e.  v  /\  v  C_  U
)  <->  ( Z  e.  V  /\  V  C_  U ) ) )
126 nfcv 2592 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
v
127126, 42raleqf 2983 . . . . . . 7  |-  ( v  =  V  ->  ( A. t  e.  v 
( x `  t
)  <  e  <->  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e
) )
1281273anbi2d 1344 . . . . . 6  |-  ( v  =  V  ->  (
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  v  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) )  <->  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
129128rexbidv 2901 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  ( E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) )  <->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
130129ralbidv 2827 . . . 4  |-  ( v  =  V  ->  ( A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
)  <->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) ) ) )
131125, 130anbi12d 717 . . 3  |-  ( v  =  V  ->  (
( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) )  <->  ( ( Z  e.  V  /\  V  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) ) )
132131rspcev 3150 . 2  |-  ( ( V  e.  J  /\  ( ( Z  e.  V  /\  V  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
13316, 122, 132syl2anc 667 1  |-  ( ph  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444   F/wnf 1667    e. wcel 1887   F/_wnfc 2579   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741    \ cdif 3401    C_ wss 3404   U.cuni 4198   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   ran crn 4835   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   2c2 10659   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   topGenctg 15336    Cn ccn 20240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-ioo 11639  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-topgen 15342  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cn 20243
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