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Theorem stoweidlem52 27469
Description: There exists a neighborood V as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90. Here Z is used to represent t0 in the paper, and v is used to represent V in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem52.1  |-  F/_ t U
stoweidlem52.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem52.3  |-  F/_ t P
stoweidlem52.4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem52.5  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
stoweidlem52.7  |-  T  = 
U. J
stoweidlem52.8  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem52.9  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem52.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem52.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem52.12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
stoweidlem52.13  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem52.14  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
stoweidlem52.15  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem52.16  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
stoweidlem52.17  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
stoweidlem52.18  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
stoweidlem52.19  |-  ( ph  ->  ( P `  Z
)  =  0 )
stoweidlem52.20  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem52  |-  ( ph  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
Distinct variable groups:    e, a,
t    A, a, t    D, a, t    T, a, t    U, a    V, a, e    ph, a, e    e, f, g, t    v, e, x, t    A, f, g    D, f, g    P, f, g    T, f, g    U, f, g    f, V, g    ph, f, g    t, Z, v    v, A    v, J    v, T, x    v, U, x    v, V, x   
x, A
Allowed substitution hints:    ph( x, v, t)    A( e)    C( x, v, t, e, f, g, a)    D( x, v, e)    P( x, v, t, e, a)    T( e)    U( t, e)    J( x, t, e, f, g, a)    K( x, v, t, e, f, g, a)    V( t)    Z( x, e, f, g, a)

Proof of Theorem stoweidlem52
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2523 . . 3  |-  F/_ t
( D  /  2
)
2 stoweidlem52.3 . . 3  |-  F/_ t P
3 stoweidlem52.2 . . 3  |-  F/ t
ph
4 stoweidlem52.4 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
5 stoweidlem52.7 . . 3  |-  T  = 
U. J
6 stoweidlem52.5 . . 3  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
7 stoweidlem52.13 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
87rpred 10580 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
98rehalfcld 10146 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  e.  RR )
109rexrd 9067 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  e.  RR* )
11 stoweidlem52.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
12 stoweidlem52.8 . . . . 5  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
1311, 12syl6sseq 3337 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
14 stoweidlem52.17 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
1513, 14sseldd 3292 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15rfcnpre2 27370 . 2  |-  ( ph  ->  V  e.  J )
17 stoweidlem52.15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
18 elssuni 3985 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_ 
U. J )
1917, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  U. J )
2019, 5syl6sseqr 3338 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  C_  T )
21 stoweidlem52.16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
2220, 21sseldd 3292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
23 stoweidlem52.19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P `  Z
)  =  0 )
24 2re 10001 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
267rpgt0d 10583 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  D )
27 2pos 10014 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
2827a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
298, 25, 26, 28divgt0d 9878 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( D  /  2 ) )
3023, 29eqbrtrd 4173 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P `  Z
)  <  ( D  /  2 ) )
31 nfcv 2523 . . . . . 6  |-  F/_ t Z
32 nfcv 2523 . . . . . 6  |-  F/_ t T
332, 31nffv 5675 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( P `  Z
)
34 nfcv 2523 . . . . . . 7  |-  F/_ t  <
3533, 34, 1nfbr 4197 . . . . . 6  |-  F/ t ( P `  Z
)  <  ( D  /  2 )
36 fveq2 5668 . . . . . . 7  |-  ( t  =  Z  ->  ( P `  t )  =  ( P `  Z ) )
3736breq1d 4163 . . . . . 6  |-  ( t  =  Z  ->  (
( P `  t
)  <  ( D  /  2 )  <->  ( P `  Z )  <  ( D  /  2 ) ) )
3831, 32, 35, 37elrabf 3034 . . . . 5  |-  ( Z  e.  { t  e.  T  |  ( P `
 t )  < 
( D  /  2
) }  <->  ( Z  e.  T  /\  ( P `  Z )  <  ( D  /  2
) ) )
3922, 30, 38sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) } )
4039, 6syl6eleqr 2478 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
4111, 14sseldd 3292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  C )
424, 5, 12, 41fcnre 27364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
4342adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  P : T --> RR )
446rabeq2i 2896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  V  <->  ( t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) ) )
4544biimpi 187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  V  ->  (
t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) ) )
4645adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) ) )
4746simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  t  e.  T )
4843, 47ffvelrnd 5810 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  e.  RR )
499adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( D  /  2 )  e.  RR )
508adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  D  e.  RR )
5146simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) )
52 halfpos 10130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  RR  ->  (
0  <  D  <->  ( D  /  2 )  < 
D ) )
538, 52syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  <  D  <->  ( D  /  2 )  <  D ) )
5426, 53mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  <  D )
5554adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( D  /  2 )  < 
D )
5648, 49, 50, 51, 55lttrd 9163 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <  D )
5756adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( P `  t
)  <  D )
58 stoweidlem52.20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
5958ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
6047anim1i 552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( t  e.  T  /\  -.  t  e.  U
) )
61 eldif 3273 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( T  \  U )  <->  ( t  e.  T  /\  -.  t  e.  U ) )
6260, 61sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  t  e.  ( T 
\  U ) )
63 rsp 2709 . . . . . . . . 9  |-  ( A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_ 
( P `  t
)  ->  ( t  e.  ( T  \  U
)  ->  D  <_  ( P `  t ) ) )
6459, 62, 63sylc 58 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  D  <_  ( P `  t ) )
658ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  D  e.  RR )
6648adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( P `  t
)  e.  RR )
6765, 66lenltd 9151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  ( D  <_  ( P `  t )  <->  -.  ( P `  t
)  <  D )
)
6864, 67mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  V )  /\  -.  t  e.  U )  ->  -.  ( P `  t )  <  D
)
6957, 68condan 770 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  t  e.  U )
7069ex 424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  V  ->  t  e.  U ) )
713, 70ralrimi 2730 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  V  t  e.  U )
72 nfrab1 2831 . . . . . 6  |-  F/_ t { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
736, 72nfcxfr 2520 . . . . 5  |-  F/_ t V
74 stoweidlem52.1 . . . . 5  |-  F/_ t U
7573, 74dfss3f 3283 . . . 4  |-  ( V 
C_  U  <->  A. t  e.  V  t  e.  U )
7671, 75sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  V  C_  U )
77 nfv 1626 . . . 4  |-  F/ e
ph
78 nfv 1626 . . . . . . . 8  |-  F/ t  e  e.  RR+
793, 78nfan 1836 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ph  /\  e  e.  RR+ )
807adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  D  e.  RR+ )
81 stoweidlem52.14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
8281adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  D  <  1 )
8314adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  P  e.  A )
8442adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  P : T
--> RR )
85 stoweidlem52.18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
8685adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
8758adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) D  <_  ( P `  t )
)
8811sselda 3291 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  C )
894, 5, 12, 88fcnre 27364 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
9089adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
91 stoweidlem52.10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
92913adant1r 1177 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
93 stoweidlem52.11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
94933adant1r 1177 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
95 stoweidlem52.12 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
9695adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  a )  e.  A )
97 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  e  e.  RR+ )
982, 79, 6, 80, 82, 83, 84, 86, 87, 90, 92, 94, 96, 97stoweidlem49 27466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )
99 nfv 1626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t  y  e.  A
10079, 99nfan 1836 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )
101 nfra1 2699 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )
102 nfra1 2699 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t A. t  e.  V  ( 1  -  e
)  <  ( y `  t )
103 nfra1 2699 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  e
104101, 102, 103nf3an 1839 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
)
105100, 104nfan 1836 . . . . . . . . 9  |-  F/ t ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )
106 eqid 2387 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  ( y `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  ( y `  t
) ) )
107 eqid 2387 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  T  |->  1 )  =  ( t  e.  T  |->  1 )
108 ssrab2 3371 . . . . . . . . . 10  |-  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  / 
2 ) }  C_  T
1096, 108eqsstri 3321 . . . . . . . . 9  |-  V  C_  T
110 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  y  e.  A )
111 simplll 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  ph )
11211sselda 3291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  C )
1134, 5, 12, 112fcnre 27364 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y : T --> RR )
114111, 110, 113syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  y : T --> RR )
115111, 89sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
116111, 91syl3an1 1217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A
)
117111, 93syl3an1 1217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  A
)
118111, 95sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A
)  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  e )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
e ) )  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A
)
119 simpllr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  e  e.  RR+ )
120 simpr1 963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
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( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 ) )
121 simpr2 964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
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)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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) )  ->  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
) )
122 simpr3 965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
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)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
)
123105, 106, 107, 109, 110, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122stoweidlem41 27458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  A )  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
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)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  e
) )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) )
124123exp31 588 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( y  e.  A  ->  ( ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  <  (
y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  e )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) ) ) ) )
125124rexlimdv 2772 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  e )  <  (
y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  e )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) ) ) )
12698, 125mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) )
127126ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( e  e.  RR+  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) ) ) )
12877, 127ralrimi 2730 . . 3  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) ) )
12940, 76, 128jca31 521 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Z  e.  V  /\  V  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
130 eleq2 2448 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  ( Z  e.  v  <->  Z  e.  V ) )
131 sseq1 3312 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  (
v  C_  U  <->  V  C_  U
) )
132130, 131anbi12d 692 . . . 4  |-  ( v  =  V  ->  (
( Z  e.  v  /\  v  C_  U
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133 nfcv 2523 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
v
134133, 73raleqf 2843 . . . . . . 7  |-  ( v  =  V  ->  ( A. t  e.  v 
( x `  t
)  <  e  <->  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e
) )
1351343anbi2d 1259 . . . . . 6  |-  ( v  =  V  ->  (
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  v  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) )  <->  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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x `  t )
) ) )
136135rexbidv 2670 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  ( E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) )  <->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
137136ralbidv 2669 . . . 4  |-  ( v  =  V  ->  ( A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
)  <->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( x `  t ) ) ) )
138132, 137anbi12d 692 . . 3  |-  ( v  =  V  ->  (
( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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x `  t )
) )  <->  ( ( Z  e.  V  /\  V  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
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x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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x `  t )
) ) ) )
139138rspcev 2995 . 2  |-  ( ( V  e.  J  /\  ( ( Z  e.  V  /\  V  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
14016, 129, 139syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  E. v  e.  J  ( ( Z  e.  v  /\  v  C_  U )  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( x `  t )  /\  (
x `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  v  (
x `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  e )  <  (
x `  t )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   F/wnf 1550    = wceq 1649    e. wcel 1717   F/_wnfc 2510   A.wral 2649   E.wrex 2650   {crab 2653    \ cdif 3260    C_ wss 3263   U.cuni 3957   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   ran crn 4819   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223    / cdiv 9609   2c2 9981   RR+crp 10544   (,)cioo 10848   topGenctg 13592    Cn ccn 17210
This theorem is referenced by:  stoweidlem56  27473
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-ioo 10852  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-topgen 13594  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-cn 17213
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