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Theorem stoweidlem51 29820
Description: There exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. Here  D is used to represent  A in the paper, because here  A is used for the subalgebra of functions.  E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem51.1  |-  F/ i
ph
stoweidlem51.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem51.3  |-  F/ w ph
stoweidlem51.4  |-  F/_ w V
stoweidlem51.5  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
stoweidlem51.6  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
stoweidlem51.7  |-  X  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 M )
stoweidlem51.8  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
stoweidlem51.9  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
stoweidlem51.10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem51.11  |-  ( ph  ->  W : ( 1 ... M ) --> V )
stoweidlem51.12  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
stoweidlem51.13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  w  C_  T )
stoweidlem51.14  |-  ( ph  ->  D  C_  U. ran  W
)
stoweidlem51.15  |-  ( ph  ->  D  C_  T )
stoweidlem51.16  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
stoweidlem51.17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( U `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M ) )
stoweidlem51.18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  < 
( ( U `  i ) `  t
) )
stoweidlem51.19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem51.20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem51.21  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
stoweidlem51.22  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem51.23  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem51  |-  ( ph  ->  E. x ( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, h, t, A    f, i, M, h, t    f, F, g    T, f, g, h, t    U, f, g, h, t    f, Y, g    ph, f, g    g, M   
w, i, T    B, i    D, i    i, E    U, i    i, W, w   
x, t, A    x, B    x, D    x, E    x, T    x, X
Allowed substitution hints:    ph( x, w, t, h, i)    A( w, i)    B( w, t, f, g, h)    D( w, t, f, g, h)    P( x, w, t, f, g, h, i)    U( x, w)    E( w, t, f, g, h)    F( x, w, t, h, i)    M( x, w)    V( x, w, t, f, g, h, i)    W( x, t, f, g, h)    X( w, t, f, g, h, i)    Y( x, w, t, h, i)    Z( x, w, t, f, g, h, i)

Proof of Theorem stoweidlem51
StepHypRef Expression
1 stoweidlem51.5 . . . 4  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
2 ssrab2 3432 . . . 4  |-  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  C_  A
31, 2eqsstri 3381 . . 3  |-  Y  C_  A
4 stoweidlem51.6 . . . 4  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
5 stoweidlem51.7 . . . 4  |-  X  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 M )
6 1zzd 10669 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
7 stoweidlem51.10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
87nnzd 10738 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
96, 8, 83jca 1168 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)
107nnge1d 10356 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
117nnred 10329 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
1211leidd 9898 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  <_  M )
1310, 12jca 532 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  M  /\  M  <_  M ) )
14 elfz2 11436 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  M  /\  M  <_  M ) ) )
159, 13, 14sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 1 ... M ) )
16 stoweidlem51.12 . . . 4  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
17 stoweidlem51.2 . . . . 5  |-  F/ t
ph
18 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )
19 stoweidlem51.20 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
20 stoweidlem51.19 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
2117, 1, 18, 19, 20stoweidlem16 29785 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
22 stoweidlem51.21 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
234, 5, 15, 16, 21, 22fmulcl 29736 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
243, 23sseldi 3349 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  A )
251eleq2i 2502 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  Y  <->  X  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) } )
26 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h
1
27 nfrab1 2896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ h { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
281, 27nfcxfr 2571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ h Y
29 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ h
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
3028, 28, 29nfmpt2 6150 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ h
( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
314, 30nfcxfr 2571 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h P
32 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h U
3326, 31, 32nfseq 11808 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ h  seq 1 ( P ,  U )
34 nfcv 2574 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ h M
3533, 34nffv 5693 . . . . . . . . 9  |-  F/_ h
(  seq 1 ( P ,  U ) `  M )
365, 35nfcxfr 2571 . . . . . . . 8  |-  F/_ h X
37 nfcv 2574 . . . . . . . 8  |-  F/_ h A
38 nfcv 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ h T
39 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h
0
40 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h  <_
41 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ h
t
4236, 41nffv 5693 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h
( X `  t
)
4339, 40, 42nfbr 4331 . . . . . . . . . 10  |-  F/ h
0  <_  ( X `  t )
4442, 40, 26nfbr 4331 . . . . . . . . . 10  |-  F/ h
( X `  t
)  <_  1
4543, 44nfan 1861 . . . . . . . . 9  |-  F/ h
( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 )
4638, 45nfral 2764 . . . . . . . 8  |-  F/ h A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 )
47 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t
1
48 nfra1 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )
49 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ t A
5048, 49nfrab 2897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ t { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
511, 50nfcxfr 2571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ t Y
52 nfmpt1 4376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
5351, 51, 52nfmpt2 6150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t
( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
544, 53nfcxfr 2571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t P
55 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t U
5647, 54, 55nfseq 11808 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t  seq 1 ( P ,  U )
57 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t M
5856, 57nffv 5693 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
(  seq 1 ( P ,  U ) `  M )
595, 58nfcxfr 2571 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t X
6059nfeq2 2585 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  h  =  X
61 fveq1 5685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  X  ->  (
h `  t )  =  ( X `  t ) )
6261breq2d 4299 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  X  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( X `  t ) ) )
6361breq1d 4297 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  X  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( X `  t )  <_  1
) )
6462, 63anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  X  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
6560, 64ralbid 2728 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  X  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
6636, 37, 46, 65elrabf 3110 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  <->  ( X  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t )  <_  1 ) ) )
6725, 66bitri 249 . . . . . 6  |-  ( X  e.  Y  <->  ( X  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t )  <_  1 ) ) )
6823, 67sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
6968simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) )
70 stoweidlem51.1 . . . . 5  |-  F/ i
ph
71 stoweidlem51.8 . . . . 5  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
72 stoweidlem51.9 . . . . 5  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
73 stoweidlem51.11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W : ( 1 ... M ) --> V )
74 stoweidlem51.14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  C_  U. ran  W
)
75 stoweidlem51.15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  C_  T )
76 nfv 1673 . . . . . . 7  |-  F/ t  i  e.  ( 1 ... M )
7717, 76nfan 1861 . . . . . 6  |-  F/ t ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )
7816fnvinran 29710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i )  e.  Y )
79 fveq1 5685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
h `  t )  =  ( ( U `
 i ) `  t ) )
8079breq2d 4299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( ( U `  i
) `  t )
) )
8179breq1d 4297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( ( U `  i ) `  t )  <_  1
) )
8280, 81anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
( U `  i
) `  t )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  <_  1 ) ) )
8382ralbidv 2730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( U `  i
) `  t )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  <_  1 ) ) )
8483, 1elrab2 3114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U `  i )  e.  Y  <->  ( ( U `  i )  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( ( U `
 i ) `  t )  /\  (
( U `  i
) `  t )  <_  1 ) ) )
8584simplbi 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U `  i )  e.  Y  ->  ( U `  i )  e.  A )
8678, 85syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i )  e.  A )
87 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f  e.  A  <->  ( U `  i )  e.  A
) )
8887anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  ( U `  i
)  e.  A ) ) )
89 feq1 5537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
9088, 89imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( U `  i )  e.  A )  -> 
( U `  i
) : T --> RR ) ) )
9119a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  A  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR ) )
9290, 91vtoclga 3031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U `  i )  e.  A  ->  (
( ph  /\  ( U `  i )  e.  A )  ->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
9392anabsi7 815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( U `  i )  e.  A
)  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
9486, 93syldan 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
9594adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
9673fnvinran 29710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( W `  i )  e.  V )
97 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
9897, 96jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  /\  ( W `  i )  e.  V
) )
99 stoweidlem51.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ w ph
100 stoweidlem51.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ w V
101100nfel2 2586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ w
( W `  i
)  e.  V
10299, 101nfan 1861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ w
( ph  /\  ( W `  i )  e.  V )
103 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ w
( W `  i
)  C_  T
104102, 103nfim 1853 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ w
( ( ph  /\  ( W `  i )  e.  V )  -> 
( W `  i
)  C_  T )
105 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( W `  i )  ->  (
w  e.  V  <->  ( W `  i )  e.  V
) )
106105anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( W `  i )  ->  (
( ph  /\  w  e.  V )  <->  ( ph  /\  ( W `  i
)  e.  V ) ) )
107 sseq1 3372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( W `  i )  ->  (
w  C_  T  <->  ( W `  i )  C_  T
) )
108106, 107imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( W `  i )  ->  (
( ( ph  /\  w  e.  V )  ->  w  C_  T )  <->  ( ( ph  /\  ( W `  i )  e.  V )  ->  ( W `  i )  C_  T ) ) )
109 stoweidlem51.13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  w  C_  T )
110104, 108, 109vtoclg1f 3024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W `  i )  e.  V  ->  (
( ph  /\  ( W `  i )  e.  V )  ->  ( W `  i )  C_  T ) )
11196, 98, 110sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( W `  i )  C_  T )
112111sselda 3351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  t  e.  T )
11395, 112ffvelrnd 5839 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  e.  RR )
114 stoweidlem51.22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
115114rpred 11019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
116115ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  E  e.  RR )
11711ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  M  e.  RR )
1187nnne0d 10358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
119118ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  M  =/=  0 )
120116, 117, 119redivcld 10151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  ( E  /  M )  e.  RR )
121 stoweidlem51.17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( U `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M ) )
122121r19.21bi 2809 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  <  ( E  /  M
) )
123 1red 9393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
124 0lt1 9854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
1267nngt0d 10357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  M )
127114rpregt0d 11025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )
128 lediv2 10214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  < 
M )  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  -> 
( 1  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  / 
1 ) ) )
129123, 125, 11, 126, 127, 128syl221anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  / 
1 ) ) )
13010, 129mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  ( E  /  1 ) )
131114rpcnd 11021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
132131div1d 10091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  /  1
)  =  E )
133130, 132breqtrd 4311 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  E )
134133ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  ( E  /  M )  <_  E )
135113, 120, 116, 122, 134ltletrd 9523 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  <  E )
136135ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
t  e.  ( W `
 i )  -> 
( ( U `  i ) `  t
)  <  E )
)
13777, 136ralrimi 2792 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( U `
 i ) `  t )  <  E
)
13870, 17, 1, 4, 5, 71, 72, 7, 73, 16, 74, 75, 137, 22, 19, 20, 114stoweidlem48 29817 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E )
139 stoweidlem51.18 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  < 
( ( U `  i ) `  t
) )
140 stoweidlem51.23 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
1413sseli 3347 . . . . . 6  |-  ( f  e.  Y  ->  f  e.  A )
142141, 19sylan2 474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
143 stoweidlem51.16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
14470, 17, 51, 4, 5, 71, 72, 7, 16, 139, 114, 140, 142, 21, 22, 143stoweidlem42 29811 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) )
14569, 138, 1443jca 1168 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( X `  t
)  /\  ( X `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) )
14624, 145jca 532 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( X `  t
)  /\  ( X `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) ) )
147 eleq1 2498 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  A  <->  X  e.  A ) )
14859nfeq2 2585 . . . . . 6  |-  F/ t  x  =  X
149 fveq1 5685 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x `  t )  =  ( X `  t ) )
150149breq2d 4299 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  ( x `  t )  <->  0  <_  ( X `  t ) ) )
151149breq1d 4297 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( x `  t
)  <_  1  <->  ( X `  t )  <_  1
) )
152150, 151anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
153148, 152ralbid 2728 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
154149breq1d 4297 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( x `  t
)  <  E  <->  ( X `  t )  <  E
) )
155148, 154ralbid 2728 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  D  ( x `  t
)  <  E  <->  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E
) )
156149breq2d 4299 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( 1  -  E
)  <  ( x `  t )  <->  ( 1  -  E )  < 
( X `  t
) ) )
157148, 156ralbid 2728 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t )  <->  A. t  e.  B  ( 1  -  E )  < 
( X `  t
) ) )
158153, 155, 1573anbi123d 1289 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) )  <->  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E )  < 
( X `  t
) ) ) )
159147, 158anbi12d 710 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )  <-> 
( X  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( X `  t
)  /\  ( X `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) ) ) )
160159spcegv 3053 . 2  |-  ( X  e.  A  ->  (
( X  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( X `  t
)  /\  ( X `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) )  ->  E. x ( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) ) ) )
16124, 146, 160sylc 60 1  |-  ( ph  ->  E. x ( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586   F/wnf 1589    e. wcel 1756   F/_wnfc 2561    =/= wne 2601   A.wral 2710   {crab 2714   _Vcvv 2967    C_ wss 3323   U.cuni 4086   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   ran crn 4836   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   3c3 10364   ZZcz 10638   RR+crp 10983   ...cfz 11429    seqcseq 11798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858
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