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Theorem stoweidlem51 31379
Description: There exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. Here  D is used to represent  A in the paper, because here  A is used for the subalgebra of functions.  E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem51.1  |-  F/ i
ph
stoweidlem51.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem51.3  |-  F/ w ph
stoweidlem51.4  |-  F/_ w V
stoweidlem51.5  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
stoweidlem51.6  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
stoweidlem51.7  |-  X  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 M )
stoweidlem51.8  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
stoweidlem51.9  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
stoweidlem51.10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem51.11  |-  ( ph  ->  W : ( 1 ... M ) --> V )
stoweidlem51.12  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
stoweidlem51.13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  w  C_  T )
stoweidlem51.14  |-  ( ph  ->  D  C_  U. ran  W
)
stoweidlem51.15  |-  ( ph  ->  D  C_  T )
stoweidlem51.16  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
stoweidlem51.17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( U `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M ) )
stoweidlem51.18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  < 
( ( U `  i ) `  t
) )
stoweidlem51.19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem51.20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem51.21  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
stoweidlem51.22  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem51.23  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem51  |-  ( ph  ->  E. x ( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, h, t, A    f, i, M, h, t    f, F, g    T, f, g, h, t    U, f, g, h, t    f, Y, g    ph, f, g    g, M   
w, i, T    B, i    D, i    i, E    U, i    i, W, w   
x, t, A    x, B    x, D    x, E    x, T    x, X
Allowed substitution hints:    ph( x, w, t, h, i)    A( w, i)    B( w, t, f, g, h)    D( w, t, f, g, h)    P( x, w, t, f, g, h, i)    U( x, w)    E( w, t, f, g, h)    F( x, w, t, h, i)    M( x, w)    V( x, w, t, f, g, h, i)    W( x, t, f, g, h)    X( w, t, f, g, h, i)    Y( x, w, t, h, i)    Z( x, w, t, f, g, h, i)

Proof of Theorem stoweidlem51
StepHypRef Expression
1 stoweidlem51.5 . . . 4  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
2 ssrab2 3585 . . . 4  |-  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  C_  A
31, 2eqsstri 3534 . . 3  |-  Y  C_  A
4 stoweidlem51.6 . . . 4  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
5 stoweidlem51.7 . . . 4  |-  X  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 M )
6 1zzd 10895 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
7 stoweidlem51.10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
87nnzd 10965 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
96, 8, 83jca 1176 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)
107nnge1d 10578 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
117nnred 10551 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
1211leidd 10119 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  <_  M )
1310, 12jca 532 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  M  /\  M  <_  M ) )
14 elfz2 11679 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  M  /\  M  <_  M ) ) )
159, 13, 14sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 1 ... M ) )
16 stoweidlem51.12 . . . 4  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
17 stoweidlem51.2 . . . . 5  |-  F/ t
ph
18 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )
19 stoweidlem51.20 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
20 stoweidlem51.19 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
2117, 1, 18, 19, 20stoweidlem16 31344 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
22 stoweidlem51.21 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
234, 5, 15, 16, 21, 22fmulcl 31159 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
243, 23sseldi 3502 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  A )
251eleq2i 2545 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  Y  <->  X  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) } )
26 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h
1
27 nfrab1 3042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ h { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
281, 27nfcxfr 2627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ h Y
29 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ h
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
3028, 28, 29nfmpt2 6350 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ h
( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
314, 30nfcxfr 2627 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h P
32 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h U
3326, 31, 32nfseq 12085 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ h  seq 1 ( P ,  U )
34 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ h M
3533, 34nffv 5873 . . . . . . . . 9  |-  F/_ h
(  seq 1 ( P ,  U ) `  M )
365, 35nfcxfr 2627 . . . . . . . 8  |-  F/_ h X
37 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ h A
38 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ h T
39 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h
0
40 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h  <_
41 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ h
t
4236, 41nffv 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h
( X `  t
)
4339, 40, 42nfbr 4491 . . . . . . . . . 10  |-  F/ h
0  <_  ( X `  t )
4442, 40, 26nfbr 4491 . . . . . . . . . 10  |-  F/ h
( X `  t
)  <_  1
4543, 44nfan 1875 . . . . . . . . 9  |-  F/ h
( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 )
4638, 45nfral 2850 . . . . . . . 8  |-  F/ h A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 )
47 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t
1
48 nfra1 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )
49 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ t A
5048, 49nfrab 3043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ t { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
511, 50nfcxfr 2627 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ t Y
52 nfmpt1 4536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
5351, 51, 52nfmpt2 6350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t
( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
544, 53nfcxfr 2627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t P
55 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t U
5647, 54, 55nfseq 12085 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t  seq 1 ( P ,  U )
57 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t M
5856, 57nffv 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
(  seq 1 ( P ,  U ) `  M )
595, 58nfcxfr 2627 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t X
6059nfeq2 2646 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  h  =  X
61 fveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  X  ->  (
h `  t )  =  ( X `  t ) )
6261breq2d 4459 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  X  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( X `  t ) ) )
6361breq1d 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  X  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( X `  t )  <_  1
) )
6462, 63anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  X  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
6560, 64ralbid 2898 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  X  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
6636, 37, 46, 65elrabf 3259 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  <->  ( X  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t )  <_  1 ) ) )
6725, 66bitri 249 . . . . . 6  |-  ( X  e.  Y  <->  ( X  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t )  <_  1 ) ) )
6823, 67sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
6968simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) )
70 stoweidlem51.1 . . . . 5  |-  F/ i
ph
71 stoweidlem51.8 . . . . 5  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
72 stoweidlem51.9 . . . . 5  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
73 stoweidlem51.11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W : ( 1 ... M ) --> V )
74 stoweidlem51.14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  C_  U. ran  W
)
75 stoweidlem51.15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  C_  T )
76 nfv 1683 . . . . . . 7  |-  F/ t  i  e.  ( 1 ... M )
7717, 76nfan 1875 . . . . . 6  |-  F/ t ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )
7816fnvinran 30995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i )  e.  Y )
79 fveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
h `  t )  =  ( ( U `
 i ) `  t ) )
8079breq2d 4459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( ( U `  i
) `  t )
) )
8179breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( ( U `  i ) `  t )  <_  1
) )
8280, 81anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
( U `  i
) `  t )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  <_  1 ) ) )
8382ralbidv 2903 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( U `  i
) `  t )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  <_  1 ) ) )
8483, 1elrab2 3263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U `  i )  e.  Y  <->  ( ( U `  i )  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( ( U `
 i ) `  t )  /\  (
( U `  i
) `  t )  <_  1 ) ) )
8584simplbi 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U `  i )  e.  Y  ->  ( U `  i )  e.  A )
8678, 85syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i )  e.  A )
87 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f  e.  A  <->  ( U `  i )  e.  A
) )
8887anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  ( U `  i
)  e.  A ) ) )
89 feq1 5713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
9088, 89imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( U `  i )  e.  A )  -> 
( U `  i
) : T --> RR ) ) )
9119a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  A  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR ) )
9290, 91vtoclga 3177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U `  i )  e.  A  ->  (
( ph  /\  ( U `  i )  e.  A )  ->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
9392anabsi7 817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( U `  i )  e.  A
)  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
9486, 93syldan 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
9594adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
9673fnvinran 30995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( W `  i )  e.  V )
97 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
9897, 96jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  /\  ( W `  i )  e.  V
) )
99 stoweidlem51.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ w ph
100 stoweidlem51.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ w V
101100nfel2 2647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ w
( W `  i
)  e.  V
10299, 101nfan 1875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ w
( ph  /\  ( W `  i )  e.  V )
103 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ w
( W `  i
)  C_  T
104102, 103nfim 1867 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ w
( ( ph  /\  ( W `  i )  e.  V )  -> 
( W `  i
)  C_  T )
105 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( W `  i )  ->  (
w  e.  V  <->  ( W `  i )  e.  V
) )
106105anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( W `  i )  ->  (
( ph  /\  w  e.  V )  <->  ( ph  /\  ( W `  i
)  e.  V ) ) )
107 sseq1 3525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( W `  i )  ->  (
w  C_  T  <->  ( W `  i )  C_  T
) )
108106, 107imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( W `  i )  ->  (
( ( ph  /\  w  e.  V )  ->  w  C_  T )  <->  ( ( ph  /\  ( W `  i )  e.  V )  ->  ( W `  i )  C_  T ) ) )
109 stoweidlem51.13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  w  C_  T )
110104, 108, 109vtoclg1f 3170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W `  i )  e.  V  ->  (
( ph  /\  ( W `  i )  e.  V )  ->  ( W `  i )  C_  T ) )
11196, 98, 110sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( W `  i )  C_  T )
112111sselda 3504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  t  e.  T )
11395, 112ffvelrnd 6022 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  e.  RR )
114 stoweidlem51.22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
115114rpred 11256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
116115ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  E  e.  RR )
11711ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  M  e.  RR )
1187nnne0d 10580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
119118ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  M  =/=  0 )
120116, 117, 119redivcld 10372 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  ( E  /  M )  e.  RR )
121 stoweidlem51.17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( U `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M ) )
122121r19.21bi 2833 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  <  ( E  /  M
) )
123 1red 9611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
124 0lt1 10075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
1267nngt0d 10579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  M )
127114rpregt0d 11262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )
128 lediv2 10435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  < 
M )  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  -> 
( 1  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  / 
1 ) ) )
129123, 125, 11, 126, 127, 128syl221anc 1239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  / 
1 ) ) )
13010, 129mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  ( E  /  1 ) )
131114rpcnd 11258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
132131div1d 10312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  /  1
)  =  E )
133130, 132breqtrd 4471 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  E )
134133ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  ( E  /  M )  <_  E )
135113, 120, 116, 122, 134ltletrd 9741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  <  E )
136135ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
t  e.  ( W `
 i )  -> 
( ( U `  i ) `  t
)  <  E )
)
13777, 136ralrimi 2864 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( U `
 i ) `  t )  <  E
)
13870, 17, 1, 4, 5, 71, 72, 7, 73, 16, 74, 75, 137, 22, 19, 20, 114stoweidlem48 31376 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E )
139 stoweidlem51.18 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  < 
( ( U `  i ) `  t
) )
140 stoweidlem51.23 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
1413sseli 3500 . . . . . 6  |-  ( f  e.  Y  ->  f  e.  A )
142141, 19sylan2 474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
143 stoweidlem51.16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
14470, 17, 51, 4, 5, 71, 72, 7, 16, 139, 114, 140, 142, 21, 22, 143stoweidlem42 31370 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) )
14569, 138, 1443jca 1176 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( X `  t
)  /\  ( X `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) )
14624, 145jca 532 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( X `  t
)  /\  ( X `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) ) )
147 eleq1 2539 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  A  <->  X  e.  A ) )
14859nfeq2 2646 . . . . . 6  |-  F/ t  x  =  X
149 fveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x `  t )  =  ( X `  t ) )
150149breq2d 4459 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  ( x `  t )  <->  0  <_  ( X `  t ) ) )
151149breq1d 4457 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( x `  t
)  <_  1  <->  ( X `  t )  <_  1
) )
152150, 151anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
153148, 152ralbid 2898 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
154149breq1d 4457 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( x `  t
)  <  E  <->  ( X `  t )  <  E
) )
155148, 154ralbid 2898 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  D  ( x `  t
)  <  E  <->  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E
) )
156149breq2d 4459 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( 1  -  E
)  <  ( x `  t )  <->  ( 1  -  E )  < 
( X `  t
) ) )
157148, 156ralbid 2898 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t )  <->  A. t  e.  B  ( 1  -  E )  < 
( X `  t
) ) )
158153, 155, 1573anbi123d 1299 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) )  <->  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E )  < 
( X `  t
) ) ) )
159147, 158anbi12d 710 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )  <-> 
( X  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( X `  t
)  /\  ( X `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) ) ) )
160159spcegv 3199 . 2  |-  ( X  e.  A  ->  (
( X  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( X `  t
)  /\  ( X `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) )  ->  E. x ( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) ) ) )
16124, 146, 160sylc 60 1  |-  ( ph  ->  E. x ( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596   F/wnf 1599    e. wcel 1767   F/_wnfc 2615    =/= wne 2662   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ran crn 5000   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    |-> cmpt2 6286   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805    / cdiv 10206   NNcn 10536   3c3 10586   ZZcz 10864   RR+crp 11220   ...cfz 11672    seqcseq 12075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-exp 12135
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