Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem51 Unicode version

Theorem stoweidlem51 27902
 Description: There exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. Here is used to represent in the paper, because here is used for the subalgebra of functions. is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem51.1
stoweidlem51.2
stoweidlem51.3
stoweidlem51.4
stoweidlem51.5
stoweidlem51.6
stoweidlem51.7
stoweidlem51.8
stoweidlem51.9
stoweidlem51.10
stoweidlem51.11
stoweidlem51.12
stoweidlem51.13
stoweidlem51.14
stoweidlem51.15
stoweidlem51.16
stoweidlem51.17
stoweidlem51.18
stoweidlem51.19
stoweidlem51.20
stoweidlem51.21
stoweidlem51.22
stoweidlem51.23
Assertion
Ref Expression
stoweidlem51
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,)   (,,,,)   (,,,,)   (,,,,,,)   (,)   (,,,,)   (,,,,)   (,)   (,,,,,,)   (,,,,)   (,,,,,)   (,,,,)   (,,,,,,)

Proof of Theorem stoweidlem51
StepHypRef Expression
1 stoweidlem51.5 . . . . 5
2 ssrab2 3271 . . . . 5
31, 2eqsstri 3221 . . . 4
43a1i 10 . . 3
5 stoweidlem51.6 . . . 4
6 stoweidlem51.7 . . . 4
7 1z 10069 . . . . . . . 8
87a1i 10 . . . . . . 7
9 stoweidlem51.10 . . . . . . . 8
10 nnz 10061 . . . . . . . 8
119, 10syl 15 . . . . . . 7
128, 11, 113jca 1132 . . . . . 6
13 nnge1 9788 . . . . . . . 8
149, 13syl 15 . . . . . . 7
15 nnre 9769 . . . . . . . . 9
169, 15syl 15 . . . . . . . 8
17 leid 8932 . . . . . . . 8
1816, 17syl 15 . . . . . . 7
1914, 18jca 518 . . . . . 6
2012, 19jca 518 . . . . 5
21 elfz2 10805 . . . . 5
2220, 21sylibr 203 . . . 4
23 stoweidlem51.12 . . . 4
24 simp1 955 . . . . . . . . 9
253a1i 10 . . . . . . . . . . 11
26 simp2 956 . . . . . . . . . . 11
2725, 26jca 518 . . . . . . . . . 10
28 ssel2 3188 . . . . . . . . . 10
2927, 28syl 15 . . . . . . . . 9
30 simp3 957 . . . . . . . . . . 11
3125, 30jca 518 . . . . . . . . . 10
32 ssel2 3188 . . . . . . . . . 10
3331, 32syl 15 . . . . . . . . 9
3424, 29, 333jca 1132 . . . . . . . 8
35 stoweidlem51.19 . . . . . . . 8
3634, 35syl 15 . . . . . . 7
37 stoweidlem51.2 . . . . . . . . 9
38 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10
39 nfra1 2606 . . . . . . . . . . . 12
40 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12
4139, 40nfrab 2734 . . . . . . . . . . 11
421, 41nfcxfr 2429 . . . . . . . . . 10
4338, 42nfel 2440 . . . . . . . . 9
44 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10
4544, 42nfel 2440 . . . . . . . . 9
4637, 43, 45nf3an 1786 . . . . . . . 8
47 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4829adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
49 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5047, 48, 493jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15
51 stoweidlem51.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
52513adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
53 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5452, 53jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
5750, 56syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
58 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5958, 49jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15
601eleq2i 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6160biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
62 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6362breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6462breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6563, 64anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6665ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6766elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6861, 67sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6968simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7069r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7170simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15
7259, 71syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
7357, 72jca 518 . . . . . . . . . . . . 13
7433adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
7547, 74, 493jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15
76 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
77763anbi2d 1257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
78 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7978eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8077, 79imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8156a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8280, 81vtoclga 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15
8374, 75, 82sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14
84 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . . 15
8584, 49jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15
86 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
87 biidd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8886, 87anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8978breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9088, 89imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9171a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9290, 91vtoclga 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15
9384, 85, 92sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14
9483, 93jca 518 . . . . . . . . . . . . 13
9573, 94jca 518 . . . . . . . . . . . 12
96 mulge0 9307 . . . . . . . . . . . 12
9795, 96syl 15 . . . . . . . . . . 11
9857, 83jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
99 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . . 14
10098, 99syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
10149, 100jca 518 . . . . . . . . . . . 12
102 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13
103102fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . 12
104101, 103syl 15 . . . . . . . . . . 11
10597, 104breqtrrd 4065 . . . . . . . . . 10
106 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . 16
107106a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
10873, 107jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
109 0le1 9313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110109a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
111107, 110jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15
11283, 111jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
113108, 112jca 518 . . . . . . . . . . . . 13
11470simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15
11559, 114syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
11678breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11788, 116imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118114a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119117, 118vtoclga 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15
12084, 85, 119sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14
121115, 120jca 518 . . . . . . . . . . . . 13
122 lemul12b 9629 . . . . . . . . . . . . 13
123113, 121, 122sylc 56 . . . . . . . . . . . 12
124 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . 13
125124mulid1i 8855 . . . . . . . . . . . 12
126123, 125syl6breq 4078 . . . . . . . . . . 11
127104, 126eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . 10
128105, 127jca 518 . . . . . . . . 9
129128ex 423 . . . . . . . 8
13046, 129ralrimi 2637 . . . . . . 7
13136, 130jca 518 . . . . . 6
132 nfcv 2432 . . . . . . . . 9
133 nfmpt1 4125 . . . . . . . . 9
134132, 133nfeq 2439 . . . . . . . 8
135 fveq1 5540 . . . . . . . . . 10
136135breq2d 4051 . . . . . . . . 9
137135breq1d 4049 . . . . . . . . 9
138136, 137anbi12d 691 . . . . . . . 8
139134, 138ralbid 2574 . . . . . . 7
140139elrab 2936 . . . . . 6
141131, 140sylibr 203 . . . . 5
142141, 1syl6eleqr 2387 . . . 4
143 stoweidlem51.21 . . . 4
1445, 6, 22, 23, 142, 143fmulcl 27813 . . 3
145 ssel 3187 . . 3
1464, 144, 145sylc 56 . 2
1471eleq2i 2360 . . . . . . 7
148 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11
149 nfrab1 2733 . . . . . . . . . . . . . 14
1501, 149nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . 13
151 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13
152150, 150, 151nfmpt2 5932 . . . . . . . . . . . 12
1535, 152nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . 11
154 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11
155148, 153, 154nfseq 11072 . . . . . . . . . 10
156 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10
157155, 156nffv 5548 . . . . . . . . 9
1586, 157nfcxfr 2429 . . . . . . . 8
159 nfcv 2432 . . . . . . . 8
160 nfcv 2432 . . . . . . . . 9
161 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11
162 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11
163 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12
164158, 163nffv 5548 . . . . . . . . . . 11
165161, 162, 164nfbr 4083 . . . . . . . . . 10
166164, 162, 148nfbr 4083 . . . . . . . . . 10
167165, 166nfan 1783 . . . . . . . . 9
168160, 167nfral 2609 . . . . . . . 8
169 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13
17042, 42, 133nfmpt2 5932 . . . . . . . . . . . . . 14
1715, 170nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . 13
172 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13
173169, 171, 172nfseq 11072 . . . . . . . . . . . 12
174 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12
175173, 174nffv 5548 . . . . . . . . . . 11
1766, 175nfcxfr 2429 . . . . . . . . . 10
177132, 176nfeq 2439 . . . . . . . . 9
178 fveq1 5540 . . . . . . . . . . 11
179178breq2d 4051 . . . . . . . . . 10
180178breq1d 4049 . . . . . . . . . 10
181179, 180anbi12d 691 . . . . . . . . 9
182177, 181ralbid 2574 . . . . . . . 8
183158, 159, 168, 182elrabf 2935 . . . . . . 7
184147, 183bitri 240 . . . . . 6
185144, 184sylib 188 . . . . 5
186185simprd 449 . . . 4
187 stoweidlem51.1 . . . . 5
188 stoweidlem51.8 . . . . 5
189 stoweidlem51.9 . . . . 5
190 stoweidlem51.11 . . . . 5
191 stoweidlem51.14 . . . . 5
192 stoweidlem51.15 . . . . 5
193 nfv 1609 . . . . . . 7
19437, 193nfan 1783 . . . . . 6
195 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14
19623adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
197 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
198196, 197jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16
199 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16
200198, 199syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
201 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
202201breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
203201breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
204202, 203anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
205204ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
206205, 1elrab2 2938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
207206biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . 16
208207simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15
209200, 208syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
210195, 209jca 518 . . . . . . . . . . . . 13
211 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14
212 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14
213 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
214213anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . 16
215 feq1 5391 . . . . . . . . . . . . . . . 16
216214, 215imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . 15
21751a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
218216, 217vtoclga 2862 . . . . . . . . . . . . . 14
219211, 212, 218sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13
220210, 219syl 15 . . . . . . . . . . . 12
221220adantr 451 . . . . . . . . . . 11
222190adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
223222, 197jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
224 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14
225223, 224syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
226195, 225jca 518 . . . . . . . . . . . . 13
227 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14
228 stoweidlem51.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16
229 stoweidlem51.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
230227, 229nfel 2440 . . . . . . . . . . . . . . . 16
231228, 230nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . . 15
232 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . 15
233231, 232nfim 1781 . . . . . . . . . . . . . 14
234 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . 16
235234anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . 15
236 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . . . . 15
237235, 236imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14
238 stoweidlem51.13 . . . . . . . . . . . . . 14
239227, 233, 237, 238vtoclgf 2855 . . . . . . . . . . . . 13
240225, 226, 239sylc 56 . . . . . . . . . . . 12
241240sselda 3193 . . . . . . . . . . 11
242221, 241jca 518 . . . . . . . . . 10
243 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10
244242, 243syl 15 . . . . . . . . 9
245 stoweidlem51.22 . . . . . . . . . . . . 13
246 rpre 10376 . . . . . . . . . . . . 13
247245, 246syl 15 . . . . . . . . . . . 12
248247ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
24916ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
250 nnne0 9794 . . . . . . . . . . . . 13
2519, 250syl 15 . . . . . . . . . . . 12
252251ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
253248, 249, 2523jca 1132 . . . . . . . . . 10
254 redivcl 9495 . . . . . . . . . 10
255253, 254syl 15 . . . . . . . . 9
256244, 255, 2483jca 1132 . . . . . . . 8
257 stoweidlem51.17 . . . . . . . . . 10
258257r19.21bi 2654 . . . . . . . . 9
259106a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
260 0lt1 9312 . . . . . . . . . . . . . . . 16
261260a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
262259, 261jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
263 nngt0 9791 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2649, 263syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
26516, 264jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
266 rpgt0 10381 . . . . . . . . . . . . . . . 16
267245, 266syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
268247, 267jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
269262, 265, 2683jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13
270 lediv2 9662 . . . . . . . . . . . . 13
271269, 270syl 15 . . . . . . . . . . . 12
27214, 271mpbid 201 . . . . . . . . . . 11
273 rpcn 10378 . . . . . . . . . . . . 13
274245, 273syl 15 . . . . . . . . . . . 12
275 div1 9469 . . . . . . . . . . . 12
276274, 275syl 15 . . . . . . . . . . 11
277272, 276breqtrd 4063 . . . . . . . . . 10
278277ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
279258, 278jca 518 . . . . . . . 8
280 ltletr 8929 . . . . . . . 8
281256, 279, 280sylc 56 . . . . . . 7
282281ex 423 . . . . . 6
283194, 282ralrimi 2637 . . . . 5
284187, 37, 1, 5, 6, 188, 189, 9, 190, 23, 191, 192, 283, 143, 51, 35, 245stoweidlem48 27899 . . . 4
285 stoweidlem51.18 . . . . 5
286 stoweidlem51.23 . . . . 5
2873sseli 3189 . . . . . . 7
288287anim2i 552 . . . . . 6
289288, 51syl 15 . . . . 5
29037, 1, 102, 51, 35stoweidlem16 27867 . . . . 5
291 stoweidlem51.16 . . . . 5
292187, 37, 42, 5, 6, 188, 189, 9, 23, 285, 245, 286, 289, 290, 143, 291stoweidlem42 27893 . . . 4
293186, 284, 2923jca 1132 . . 3
294146, 293jca 518 . 2
295 eleq1 2356 . . . 4
296 nfcv 2432 . . . . . . 7
297296, 176nfeq 2439 . . . . . 6
298 fveq1 5540 . . . . . . . 8
299298breq2d 4051 . . . . . . 7
300298breq1d 4049 . . . . . . 7
301299, 300anbi12d 691 . . . . . 6
302297, 301ralbid 2574 . . . . 5
303298breq1d 4049 . . . . . 6
304297, 303ralbid 2574 . . . . 5
305298breq2d 4051 . . . . . 6
306297, 305ralbid 2574 . . . . 5
307302, 304, 3063anbi123d 1252 . . . 4
308295, 307anbi12d 691 . . 3
309308spcegv 2882 . 2
310146, 294, 309sylc 56 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wex 1531  wnf 1534   wceq 1632   wcel 1696  wnfc 2419   wne 2459  wral 2556  crab 2560  cvv 2801   wss 3165  cuni 3843   class class class wbr 4039   cmpt 4093   crn 4706  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   cmul 8758   clt 8883   cle 8884   cmin 9053   cdiv 9439  cn 9762  c3 9812  cz 10040  crp 10370  cfz 10798   cseq 11062 This theorem is referenced by:  stoweidlem54  27905 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121
 Copyright terms: Public domain W3C validator