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Theorem stoweidlem51 27468
Description: There exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. Here  D is used to represent  A in the paper, because here  A is used for the subalgebra of functions.  E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem51.1  |-  F/ i
ph
stoweidlem51.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem51.3  |-  F/ w ph
stoweidlem51.4  |-  F/_ w V
stoweidlem51.5  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
stoweidlem51.6  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
stoweidlem51.7  |-  X  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 M )
stoweidlem51.8  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
stoweidlem51.9  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
stoweidlem51.10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem51.11  |-  ( ph  ->  W : ( 1 ... M ) --> V )
stoweidlem51.12  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
stoweidlem51.13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  w  C_  T )
stoweidlem51.14  |-  ( ph  ->  D  C_  U. ran  W
)
stoweidlem51.15  |-  ( ph  ->  D  C_  T )
stoweidlem51.16  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
stoweidlem51.17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( U `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M ) )
stoweidlem51.18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  < 
( ( U `  i ) `  t
) )
stoweidlem51.19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem51.20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem51.21  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
stoweidlem51.22  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem51.23  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem51  |-  ( ph  ->  E. x ( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, h, t, A    f, i, M, h, t    f, F, g    T, f, g, h, t    U, f, g, h, t    f, Y, g    ph, f, g    g, M   
w, i, T    B, i    D, i    i, E    U, i    i, W, w   
x, t, A    x, B    x, D    x, E    x, T    x, X
Allowed substitution hints:    ph( x, w, t, h, i)    A( w, i)    B( w, t, f, g, h)    D( w, t, f, g, h)    P( x, w, t, f, g, h, i)    U( x, w)    E( w, t, f, g, h)    F( x, w, t, h, i)    M( x, w)    V( x, w, t, f, g, h, i)    W( x, t, f, g, h)    X( w, t, f, g, h, i)    Y( x, w, t, h, i)    Z( x, w, t, f, g, h, i)

Proof of Theorem stoweidlem51
StepHypRef Expression
1 stoweidlem51.5 . . . 4  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
2 ssrab2 3371 . . . 4  |-  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  C_  A
31, 2eqsstri 3321 . . 3  |-  Y  C_  A
4 stoweidlem51.6 . . . 4  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
5 stoweidlem51.7 . . . 4  |-  X  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 M )
6 1z 10243 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
8 stoweidlem51.10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
98nnzd 10306 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
107, 9, 93jca 1134 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)
118nnge1d 9974 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
128nnred 9947 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
1312leidd 9525 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  <_  M )
1411, 13jca 519 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  M  /\  M  <_  M ) )
15 elfz2 10982 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  M  /\  M  <_  M ) ) )
1610, 14, 15sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 1 ... M ) )
17 stoweidlem51.12 . . . 4  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
18 stoweidlem51.2 . . . . 5  |-  F/ t
ph
19 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )
20 stoweidlem51.20 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
21 stoweidlem51.19 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
2218, 1, 19, 20, 21stoweidlem16 27433 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
23 stoweidlem51.21 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
244, 5, 16, 17, 22, 23fmulcl 27379 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
253, 24sseldi 3289 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  A )
261eleq2i 2451 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  Y  <->  X  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) } )
27 nfcv 2523 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h
1
28 nfrab1 2831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ h { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
291, 28nfcxfr 2520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ h Y
30 nfcv 2523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ h
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
3129, 29, 30nfmpt2 6081 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ h
( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
324, 31nfcxfr 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h P
33 nfcv 2523 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h U
3427, 32, 33nfseq 11260 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ h  seq  1 ( P ,  U )
35 nfcv 2523 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ h M
3634, 35nffv 5675 . . . . . . . . 9  |-  F/_ h
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 M )
375, 36nfcxfr 2520 . . . . . . . 8  |-  F/_ h X
38 nfcv 2523 . . . . . . . 8  |-  F/_ h A
39 nfcv 2523 . . . . . . . . 9  |-  F/_ h T
40 nfcv 2523 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h
0
41 nfcv 2523 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h  <_
42 nfcv 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ h
t
4337, 42nffv 5675 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h
( X `  t
)
4440, 41, 43nfbr 4197 . . . . . . . . . 10  |-  F/ h
0  <_  ( X `  t )
4543, 41, 27nfbr 4197 . . . . . . . . . 10  |-  F/ h
( X `  t
)  <_  1
4644, 45nfan 1836 . . . . . . . . 9  |-  F/ h
( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 )
4739, 46nfral 2702 . . . . . . . 8  |-  F/ h A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 )
48 nfcv 2523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t
1
49 nfra1 2699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )
50 nfcv 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ t A
5149, 50nfrab 2832 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ t { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
521, 51nfcxfr 2520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ t Y
53 nfmpt1 4239 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
5452, 52, 53nfmpt2 6081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t
( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
554, 54nfcxfr 2520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t P
56 nfcv 2523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t U
5748, 55, 56nfseq 11260 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t  seq  1 ( P ,  U )
58 nfcv 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t M
5957, 58nffv 5675 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 M )
605, 59nfcxfr 2520 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t X
6160nfeq2 2534 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  h  =  X
62 fveq1 5667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  X  ->  (
h `  t )  =  ( X `  t ) )
6362breq2d 4165 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  X  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( X `  t ) ) )
6462breq1d 4163 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  X  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( X `  t )  <_  1
) )
6563, 64anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  X  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
6661, 65ralbid 2667 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  X  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
6737, 38, 47, 66elrabf 3034 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  <->  ( X  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t )  <_  1 ) ) )
6826, 67bitri 241 . . . . . 6  |-  ( X  e.  Y  <->  ( X  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t )  <_  1 ) ) )
6924, 68sylib 189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
7069simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) )
71 stoweidlem51.1 . . . . 5  |-  F/ i
ph
72 stoweidlem51.8 . . . . 5  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
73 stoweidlem51.9 . . . . 5  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
74 stoweidlem51.11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W : ( 1 ... M ) --> V )
75 stoweidlem51.14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  C_  U. ran  W
)
76 stoweidlem51.15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  C_  T )
77 nfv 1626 . . . . . . 7  |-  F/ t  i  e.  ( 1 ... M )
7818, 77nfan 1836 . . . . . 6  |-  F/ t ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )
7917fnvinran 27353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i )  e.  Y )
80 fveq1 5667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
h `  t )  =  ( ( U `
 i ) `  t ) )
8180breq2d 4165 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( ( U `  i
) `  t )
) )
8280breq1d 4163 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( ( U `  i ) `  t )  <_  1
) )
8381, 82anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
( U `  i
) `  t )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  <_  1 ) ) )
8483ralbidv 2669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( U `  i
) `  t )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  <_  1 ) ) )
8584, 1elrab2 3037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U `  i )  e.  Y  <->  ( ( U `  i )  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( ( U `
 i ) `  t )  /\  (
( U `  i
) `  t )  <_  1 ) ) )
8685simplbi 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U `  i )  e.  Y  ->  ( U `  i )  e.  A )
8779, 86syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i )  e.  A )
88 eleq1 2447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f  e.  A  <->  ( U `  i )  e.  A
) )
8988anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  ( U `  i
)  e.  A ) ) )
90 feq1 5516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
9189, 90imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( U `  i )  e.  A )  -> 
( U `  i
) : T --> RR ) ) )
9220a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  A  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR ) )
9391, 92vtoclga 2960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U `  i )  e.  A  ->  (
( ph  /\  ( U `  i )  e.  A )  ->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
9493anabsi7 793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( U `  i )  e.  A
)  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
9587, 94syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
9695adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
9774fnvinran 27353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( W `  i )  e.  V )
98 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
9998, 97jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  /\  ( W `  i )  e.  V
) )
100 nfcv 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ w
( W `  i
)
101 stoweidlem51.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ w ph
102 stoweidlem51.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ w V
103102nfel2 2535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ w
( W `  i
)  e.  V
104101, 103nfan 1836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ w
( ph  /\  ( W `  i )  e.  V )
105 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ w
( W `  i
)  C_  T
106104, 105nfim 1822 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ w
( ( ph  /\  ( W `  i )  e.  V )  -> 
( W `  i
)  C_  T )
107 eleq1 2447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( W `  i )  ->  (
w  e.  V  <->  ( W `  i )  e.  V
) )
108107anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( W `  i )  ->  (
( ph  /\  w  e.  V )  <->  ( ph  /\  ( W `  i
)  e.  V ) ) )
109 sseq1 3312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( W `  i )  ->  (
w  C_  T  <->  ( W `  i )  C_  T
) )
110108, 109imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( W `  i )  ->  (
( ( ph  /\  w  e.  V )  ->  w  C_  T )  <->  ( ( ph  /\  ( W `  i )  e.  V )  ->  ( W `  i )  C_  T ) ) )
111 stoweidlem51.13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  w  C_  T )
112100, 106, 110, 111vtoclgf 2953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W `  i )  e.  V  ->  (
( ph  /\  ( W `  i )  e.  V )  ->  ( W `  i )  C_  T ) )
11397, 99, 112sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( W `  i )  C_  T )
114113sselda 3291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  t  e.  T )
11596, 114ffvelrnd 5810 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  e.  RR )
116 stoweidlem51.22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
117116rpred 10580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
118117ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  E  e.  RR )
11912ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  M  e.  RR )
1208nnne0d 9976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
121120ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  M  =/=  0 )
122118, 119, 121redivcld 9774 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  ( E  /  M )  e.  RR )
123 stoweidlem51.17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( U `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M ) )
124123r19.21bi 2747 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  <  ( E  /  M
) )
125 1re 9023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
127 0lt1 9482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
1298nngt0d 9975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  M )
130116rpregt0d 10586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )
131 lediv2 9832 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  < 
M )  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  -> 
( 1  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  / 
1 ) ) )
132126, 128, 12, 129, 130, 131syl221anc 1195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  / 
1 ) ) )
13311, 132mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  ( E  /  1 ) )
134116rpcnd 10582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
135134div1d 9714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  /  1
)  =  E )
136133, 135breqtrd 4177 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  E )
137136ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  ( E  /  M )  <_  E )
138115, 122, 118, 124, 137ltletrd 9162 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  <  E )
139138ex 424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
t  e.  ( W `
 i )  -> 
( ( U `  i ) `  t
)  <  E )
)
14078, 139ralrimi 2730 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( U `
 i ) `  t )  <  E
)
14171, 18, 1, 4, 5, 72, 73, 8, 74, 17, 75, 76, 140, 23, 20, 21, 116stoweidlem48 27465 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E )
142 stoweidlem51.18 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  < 
( ( U `  i ) `  t
) )
143 stoweidlem51.23 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
1443sseli 3287 . . . . . 6  |-  ( f  e.  Y  ->  f  e.  A )
145144, 20sylan2 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
146 stoweidlem51.16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
14771, 18, 52, 4, 5, 72, 73, 8, 17, 142, 116, 143, 145, 22, 23, 146stoweidlem42 27459 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) )
14870, 141, 1473jca 1134 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( X `  t
)  /\  ( X `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) )
14925, 148jca 519 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( X `  t
)  /\  ( X `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) ) )
150 eleq1 2447 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  A  <->  X  e.  A ) )
15160nfeq2 2534 . . . . . 6  |-  F/ t  x  =  X
152 fveq1 5667 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x `  t )  =  ( X `  t ) )
153152breq2d 4165 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  ( x `  t )  <->  0  <_  ( X `  t ) ) )
154152breq1d 4163 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( x `  t
)  <_  1  <->  ( X `  t )  <_  1
) )
155153, 154anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
156151, 155ralbid 2667 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
157152breq1d 4163 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( x `  t
)  <  E  <->  ( X `  t )  <  E
) )
158151, 157ralbid 2667 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  D  ( x `  t
)  <  E  <->  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E
) )
159152breq2d 4165 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( 1  -  E
)  <  ( x `  t )  <->  ( 1  -  E )  < 
( X `  t
) ) )
160151, 159ralbid 2667 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t )  <->  A. t  e.  B  ( 1  -  E )  < 
( X `  t
) ) )
161156, 158, 1603anbi123d 1254 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) )  <->  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E )  < 
( X `  t
) ) ) )
162150, 161anbi12d 692 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )  <-> 
( X  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( X `  t
)  /\  ( X `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) ) ) )
163162spcegv 2980 . 2  |-  ( X  e.  A  ->  (
( X  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( X `  t
)  /\  ( X `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) )  ->  E. x ( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) ) ) )
16425, 149, 163sylc 58 1  |-  ( ph  ->  E. x ( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547   F/wnf 1550    = wceq 1649    e. wcel 1717   F/_wnfc 2510    =/= wne 2550   A.wral 2649   {crab 2653   _Vcvv 2899    C_ wss 3263   U.cuni 3957   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   ran crn 4819   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    e. cmpt2 6022   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    x. cmul 8928    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223    / cdiv 9609   NNcn 9932   3c3 9982   ZZcz 10214   RR+crp 10544   ...cfz 10975    seq cseq 11250
This theorem is referenced by:  stoweidlem54  27471
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-seq 11251  df-exp 11310
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