Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem51 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem51 29689
Description: There exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. Here  D is used to represent  A in the paper, because here  A is used for the subalgebra of functions.  E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem51.1  |-  F/ i
ph
stoweidlem51.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem51.3  |-  F/ w ph
stoweidlem51.4  |-  F/_ w V
stoweidlem51.5  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
stoweidlem51.6  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
stoweidlem51.7  |-  X  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 M )
stoweidlem51.8  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
stoweidlem51.9  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
stoweidlem51.10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem51.11  |-  ( ph  ->  W : ( 1 ... M ) --> V )
stoweidlem51.12  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
stoweidlem51.13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  w  C_  T )
stoweidlem51.14  |-  ( ph  ->  D  C_  U. ran  W
)
stoweidlem51.15  |-  ( ph  ->  D  C_  T )
stoweidlem51.16  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
stoweidlem51.17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( U `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M ) )
stoweidlem51.18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  < 
( ( U `  i ) `  t
) )
stoweidlem51.19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem51.20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem51.21  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
stoweidlem51.22  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem51.23  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem51  |-  ( ph  ->  E. x ( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, h, t, A    f, i, M, h, t    f, F, g    T, f, g, h, t    U, f, g, h, t    f, Y, g    ph, f, g    g, M   
w, i, T    B, i    D, i    i, E    U, i    i, W, w   
x, t, A    x, B    x, D    x, E    x, T    x, X
Allowed substitution hints:    ph( x, w, t, h, i)    A( w, i)    B( w, t, f, g, h)    D( w, t, f, g, h)    P( x, w, t, f, g, h, i)    U( x, w)    E( w, t, f, g, h)    F( x, w, t, h, i)    M( x, w)    V( x, w, t, f, g, h, i)    W( x, t, f, g, h)    X( w, t, f, g, h, i)    Y( x, w, t, h, i)    Z( x, w, t, f, g, h, i)

Proof of Theorem stoweidlem51
StepHypRef Expression
1 stoweidlem51.5 . . . 4  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
2 ssrab2 3425 . . . 4  |-  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  C_  A
31, 2eqsstri 3374 . . 3  |-  Y  C_  A
4 stoweidlem51.6 . . . 4  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
5 stoweidlem51.7 . . . 4  |-  X  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 M )
6 1z 10663 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
8 stoweidlem51.10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
98nnzd 10733 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
107, 9, 93jca 1161 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)
118nnge1d 10351 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
128nnred 10324 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
1312leidd 9893 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  <_  M )
1411, 13jca 529 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  M  /\  M  <_  M ) )
15 elfz2 11430 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  M  /\  M  <_  M ) ) )
1610, 14, 15sylanbrc 657 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 1 ... M ) )
17 stoweidlem51.12 . . . 4  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
18 stoweidlem51.2 . . . . 5  |-  F/ t
ph
19 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )
20 stoweidlem51.20 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
21 stoweidlem51.19 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
2218, 1, 19, 20, 21stoweidlem16 29654 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
23 stoweidlem51.21 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
244, 5, 16, 17, 22, 23fmulcl 29604 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
253, 24sseldi 3342 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  A )
261eleq2i 2497 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  Y  <->  X  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) } )
27 nfcv 2569 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h
1
28 nfrab1 2891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ h { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
291, 28nfcxfr 2566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ h Y
30 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ h
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
3129, 29, 30nfmpt2 6144 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ h
( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
324, 31nfcxfr 2566 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h P
33 nfcv 2569 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h U
3427, 32, 33nfseq 11799 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ h  seq 1 ( P ,  U )
35 nfcv 2569 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ h M
3634, 35nffv 5686 . . . . . . . . 9  |-  F/_ h
(  seq 1 ( P ,  U ) `  M )
375, 36nfcxfr 2566 . . . . . . . 8  |-  F/_ h X
38 nfcv 2569 . . . . . . . 8  |-  F/_ h A
39 nfcv 2569 . . . . . . . . 9  |-  F/_ h T
40 nfcv 2569 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h
0
41 nfcv 2569 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h  <_
42 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ h
t
4337, 42nffv 5686 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h
( X `  t
)
4440, 41, 43nfbr 4324 . . . . . . . . . 10  |-  F/ h
0  <_  ( X `  t )
4543, 41, 27nfbr 4324 . . . . . . . . . 10  |-  F/ h
( X `  t
)  <_  1
4644, 45nfan 1859 . . . . . . . . 9  |-  F/ h
( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 )
4739, 46nfral 2759 . . . . . . . 8  |-  F/ h A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 )
48 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t
1
49 nfra1 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )
50 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ t A
5149, 50nfrab 2892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ t { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
521, 51nfcxfr 2566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ t Y
53 nfmpt1 4369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
5452, 52, 53nfmpt2 6144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t
( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
554, 54nfcxfr 2566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t P
56 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t U
5748, 55, 56nfseq 11799 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t  seq 1 ( P ,  U )
58 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t M
5957, 58nffv 5686 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
(  seq 1 ( P ,  U ) `  M )
605, 59nfcxfr 2566 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t X
6160nfeq2 2580 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  h  =  X
62 fveq1 5678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  X  ->  (
h `  t )  =  ( X `  t ) )
6362breq2d 4292 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  X  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( X `  t ) ) )
6462breq1d 4290 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  X  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( X `  t )  <_  1
) )
6563, 64anbi12d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  X  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
6661, 65ralbid 2723 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  X  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
6737, 38, 47, 66elrabf 3104 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  <->  ( X  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t )  <_  1 ) ) )
6826, 67bitri 249 . . . . . 6  |-  ( X  e.  Y  <->  ( X  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t )  <_  1 ) ) )
6924, 68sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
7069simprd 460 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) )
71 stoweidlem51.1 . . . . 5  |-  F/ i
ph
72 stoweidlem51.8 . . . . 5  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
73 stoweidlem51.9 . . . . 5  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
74 stoweidlem51.11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W : ( 1 ... M ) --> V )
75 stoweidlem51.14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  C_  U. ran  W
)
76 stoweidlem51.15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  C_  T )
77 nfv 1672 . . . . . . 7  |-  F/ t  i  e.  ( 1 ... M )
7818, 77nfan 1859 . . . . . 6  |-  F/ t ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )
7917fnvinran 29578 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i )  e.  Y )
80 fveq1 5678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
h `  t )  =  ( ( U `
 i ) `  t ) )
8180breq2d 4292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( ( U `  i
) `  t )
) )
8280breq1d 4290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( ( U `  i ) `  t )  <_  1
) )
8381, 82anbi12d 703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
( U `  i
) `  t )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  <_  1 ) ) )
8483ralbidv 2725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( U `  i
) `  t )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  <_  1 ) ) )
8584, 1elrab2 3108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U `  i )  e.  Y  <->  ( ( U `  i )  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( ( U `
 i ) `  t )  /\  (
( U `  i
) `  t )  <_  1 ) ) )
8685simplbi 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U `  i )  e.  Y  ->  ( U `  i )  e.  A )
8779, 86syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i )  e.  A )
88 eleq1 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f  e.  A  <->  ( U `  i )  e.  A
) )
8988anbi2d 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  ( U `  i
)  e.  A ) ) )
90 feq1 5530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
9189, 90imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( U `  i )  e.  A )  -> 
( U `  i
) : T --> RR ) ) )
9220a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  A  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR ) )
9391, 92vtoclga 3025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U `  i )  e.  A  ->  (
( ph  /\  ( U `  i )  e.  A )  ->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
9493anabsi7 808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( U `  i )  e.  A
)  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
9587, 94syldan 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
9695adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
9774fnvinran 29578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( W `  i )  e.  V )
98 simpl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
9998, 97jca 529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  /\  ( W `  i )  e.  V
) )
100 stoweidlem51.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ w ph
101 stoweidlem51.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ w V
102101nfel2 2581 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ w
( W `  i
)  e.  V
103100, 102nfan 1859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ w
( ph  /\  ( W `  i )  e.  V )
104 nfv 1672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ w
( W `  i
)  C_  T
105103, 104nfim 1851 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ w
( ( ph  /\  ( W `  i )  e.  V )  -> 
( W `  i
)  C_  T )
106 eleq1 2493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( W `  i )  ->  (
w  e.  V  <->  ( W `  i )  e.  V
) )
107106anbi2d 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( W `  i )  ->  (
( ph  /\  w  e.  V )  <->  ( ph  /\  ( W `  i
)  e.  V ) ) )
108 sseq1 3365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( W `  i )  ->  (
w  C_  T  <->  ( W `  i )  C_  T
) )
109107, 108imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( W `  i )  ->  (
( ( ph  /\  w  e.  V )  ->  w  C_  T )  <->  ( ( ph  /\  ( W `  i )  e.  V )  ->  ( W `  i )  C_  T ) ) )
110 stoweidlem51.13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  w  C_  T )
111105, 109, 110vtoclg1f 3018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W `  i )  e.  V  ->  (
( ph  /\  ( W `  i )  e.  V )  ->  ( W `  i )  C_  T ) )
11297, 99, 111sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( W `  i )  C_  T )
113112sselda 3344 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  t  e.  T )
11496, 113ffvelrnd 5832 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  e.  RR )
115 stoweidlem51.22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
116115rpred 11014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
117116ad2antrr 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  E  e.  RR )
11812ad2antrr 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  M  e.  RR )
1198nnne0d 10353 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
120119ad2antrr 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  M  =/=  0 )
121117, 118, 120redivcld 10146 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  ( E  /  M )  e.  RR )
122 stoweidlem51.17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( U `
 i ) `  t )  <  ( E  /  M ) )
123122r19.21bi 2804 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  <  ( E  /  M
) )
124 1re 9372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
126 0lt1 9849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
1288nngt0d 10352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  M )
129115rpregt0d 11020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )
130 lediv2 10209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  < 
M )  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  -> 
( 1  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  / 
1 ) ) )
131125, 127, 12, 128, 129, 130syl221anc 1222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  / 
1 ) ) )
13211, 131mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  ( E  /  1 ) )
133115rpcnd 11016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
134133div1d 10086 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  /  1
)  =  E )
135132, 134breqtrd 4304 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  E )
136135ad2antrr 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  ( E  /  M )  <_  E )
137114, 121, 117, 123, 136ltletrd 9518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  <  E )
138137ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
t  e.  ( W `
 i )  -> 
( ( U `  i ) `  t
)  <  E )
)
13978, 138ralrimi 2787 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( U `
 i ) `  t )  <  E
)
14071, 18, 1, 4, 5, 72, 73, 8, 74, 17, 75, 76, 139, 23, 20, 21, 115stoweidlem48 29686 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E )
141 stoweidlem51.18 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  < 
( ( U `  i ) `  t
) )
142 stoweidlem51.23 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
1433sseli 3340 . . . . . 6  |-  ( f  e.  Y  ->  f  e.  A )
144143, 20sylan2 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
145 stoweidlem51.16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
14671, 18, 52, 4, 5, 72, 73, 8, 17, 141, 115, 142, 144, 22, 23, 145stoweidlem42 29680 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) )
14770, 140, 1463jca 1161 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( X `  t
)  /\  ( X `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) )
14825, 147jca 529 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( X `  t
)  /\  ( X `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) ) )
149 eleq1 2493 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  A  <->  X  e.  A ) )
15060nfeq2 2580 . . . . . 6  |-  F/ t  x  =  X
151 fveq1 5678 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x `  t )  =  ( X `  t ) )
152151breq2d 4292 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  ( x `  t )  <->  0  <_  ( X `  t ) ) )
153151breq1d 4290 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( x `  t
)  <_  1  <->  ( X `  t )  <_  1
) )
154152, 153anbi12d 703 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
155150, 154ralbid 2723 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
156151breq1d 4290 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( x `  t
)  <  E  <->  ( X `  t )  <  E
) )
157150, 156ralbid 2723 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  D  ( x `  t
)  <  E  <->  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E
) )
158151breq2d 4292 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( 1  -  E
)  <  ( x `  t )  <->  ( 1  -  E )  < 
( X `  t
) ) )
159150, 158ralbid 2723 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t )  <->  A. t  e.  B  ( 1  -  E )  < 
( X `  t
) ) )
160155, 157, 1593anbi123d 1282 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) )  <->  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E )  < 
( X `  t
) ) ) )
161149, 160anbi12d 703 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )  <-> 
( X  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( X `  t
)  /\  ( X `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) ) ) )
162161spcegv 3047 . 2  |-  ( X  e.  A  ->  (
( X  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( X `  t
)  /\  ( X `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) )  ->  E. x ( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) ) ) )
16325, 148, 162sylc 60 1  |-  ( ph  ->  E. x ( x  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362   E.wex 1589   F/wnf 1592    e. wcel 1755   F/_wnfc 2556    =/= wne 2596   A.wral 2705   {crab 2709   _Vcvv 2962    C_ wss 3316   U.cuni 4079   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   ran crn 4828   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    e. cmpt2 6082   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270    x. cmul 9274    < clt 9405    <_ cle 9406    - cmin 9582    / cdiv 9980   NNcn 10309   3c3 10359   ZZcz 10633   RR+crp 10978   ...cfz 11423    seqcseq 11789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-rp 10979  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-seq 11790  df-exp 11849
This theorem is referenced by:  stoweidlem54  29692
  Copyright terms: Public domain W3C validator