Theorem stoweidlem50 38023

Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, contain a finite subcover of T \ U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem50.1	|- F/_ t U
stoweidlem50.2	|- F/ t ph
stoweidlem50.3	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem50.4	|- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
stoweidlem50.5	|- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
stoweidlem50.6	|- T = U. J
stoweidlem50.7	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem50.8	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem50.9	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem50.10	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem50.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem50.12	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem50.13	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem50.14	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem50.15	|- ( ph -> Z e. U )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem50	|- ( ph -> E. u ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )

Distinct variable groups:   u, J   u, T   u, U   u, W   f, g, h, t, T   f, q, g, t, T   f, r, A, q, t   x, f, q, t, T   Q, f, g   U, f, g, q   f, Z, g, h, t   ph, f, g, q   w, g, h, t, T   A, g, h   g, W   Z, q, x   T, r   U, r   ph, r   t, J, w   t, K   ph, u   w, Q   x, A   x, U   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( w, t, h)   A( w, u)   C( x, w, u, t, f, g, h, r, q)   Q( x, u, t, h, r, q)   U( w, t, h)   J( x, f, g, h, r, q)   K( x, w, u, f, g, h, r, q)   W( x, w, t, f, h, r, q)   Z( w, u, r)

Proof of Theorem stoweidlem50

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem50.1	. . 3 |- F/_ t U
2		stoweidlem50.4	. . . 4 |- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
3		nfrab1 2957	. . . 4 |- F/_ h { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
4	2, 3	nfcxfr 2610	. . 3 |- F/_ h Q
5		nfv 1769	. . 3 |- F/ q ph
6		stoweidlem50.2	. . 3 |- F/ t ph
7		stoweidlem50.3	. . 3 |- K = ( topGen ` ran (,) )
8		stoweidlem50.5	. . 3 |- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
9		stoweidlem50.6	. . 3 |- T = U. J
10		stoweidlem50.8	. . 3 |- ( ph -> J e. Comp )
11		stoweidlem50.9	. . . 4 |- ( ph -> A C_ C )
12		stoweidlem50.7	. . . 4 |- C = ( J Cn K )
13	11, 12	syl6sseq 3464	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
14		stoweidlem50.10	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
15		stoweidlem50.11	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
16		stoweidlem50.12	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
17		stoweidlem50.13	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
18		stoweidlem50.14	. . 3 |- ( ph -> U e. J )
19		stoweidlem50.15	. . 3 |- ( ph -> Z e. U )
20		uniexg 6607	. . . . 5 |- ( J e. Comp -> U. J e. _V )
21	10, 20	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> U. J e. _V )
22	9, 21	syl5eqel 2553	. . 3 |- ( ph -> T e. _V )
23	1, 4, 5, 6, 7, 2, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22	stoweidlem46 38019	. 2 |- ( ph -> ( T \ U ) C_ U. W )
24		dfin4 3674	. . . . . . . . . . 11 |- ( T i^i U ) = ( T \ ( T \ U ) )
25		elssuni 4219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U e. J -> U C_ U. J )
26	18, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U C_ U. J )
27	26, 9	syl6sseqr 3465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U C_ T )
28		dfss1 3628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U C_ T <-> ( T i^i U ) = U )
29	27, 28	sylib 201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( T i^i U ) = U )
30	24, 29	syl5eqr 2519	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T \ ( T \ U ) ) = U )
31	30, 18	eqeltrd 2549	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T \ ( T \ U ) ) e. J )
32		cmptop 20487	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
33	10, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. Top )
34		difssd 3550	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T \ U ) C_ T )
35	9	iscld2 20120	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( T \ U ) C_ T ) -> ( ( T \ U ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( T \ ( T \ U ) ) e. J ) )
36	33, 34, 35	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( T \ U ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( T \ ( T \ U ) ) e. J ) )
37	31, 36	mpbird 240	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T \ U ) e. ( Clsd ` J ) )
38		cmpcld 20494	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Comp /\ ( T \ U ) e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t ( T \ U ) ) e. Comp )
39	10, 37, 38	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J ↾t ( T \ U ) ) e. Comp )
40	9	cmpsub 20492	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( T \ U ) C_ T ) -> ( ( J ↾t ( T \ U ) ) e. Comp <-> A. c e. ~P J ( ( T \ U ) C_ U. c -> E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) ) )
41	33, 34, 40	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( J ↾t ( T \ U ) ) e. Comp <-> A. c e. ~P J ( ( T \ U ) C_ U. c -> E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) ) )
42	39, 41	mpbid 215	. . . . . 6 |- ( ph -> A. c e. ~P J ( ( T \ U ) C_ U. c -> E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) )
43		ssrab2 3500	. . . . . . . 8 |- { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } C_ J
44	8, 43	eqsstri 3448	. . . . . . 7 |- W C_ J
45	8, 10	rabexd 4551	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. _V )
46		elpwg 3950	. . . . . . . 8 |- ( W e. _V -> ( W e. ~P J <-> W C_ J ) )
47	45, 46	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( W e. ~P J <-> W C_ J ) )
48	44, 47	mpbiri 241	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. ~P J )
49		unieq 4198	. . . . . . . . 9 |- ( c = W -> U. c = U. W )
50	49	sseq2d 3446	. . . . . . . 8 |- ( c = W -> ( ( T \ U ) C_ U. c <-> ( T \ U ) C_ U. W ) )
51		pweq 3945	. . . . . . . . . 10 |- ( c = W -> ~P c = ~P W )
52	51	ineq1d 3624	. . . . . . . . 9 |- ( c = W -> ( ~P c i^i Fin ) = ( ~P W i^i Fin ) )
53	52	rexeqdv 2980	. . . . . . . 8 |- ( c = W -> ( E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u <-> E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) )
54	50, 53	imbi12d 327	. . . . . . 7 |- ( c = W -> ( ( ( T \ U ) C_ U. c -> E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) <-> ( ( T \ U ) C_ U. W -> E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) ) )
55	54	rspccva 3135	. . . . . 6 |- ( ( A. c e. ~P J ( ( T \ U ) C_ U. c -> E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) /\ W e. ~P J ) -> ( ( T \ U ) C_ U. W -> E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) )
56	42, 48, 55	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( T \ U ) C_ U. W -> E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) )
57	56	imp 436	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) -> E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u )
58		df-rex 2762	. . . 4 |- ( E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u <-> E. u ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )
59	57, 58	sylib 201	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) -> E. u ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )
60		elinel2 3611	. . . . . . 7 |- ( u e. ( ~P W i^i Fin ) -> u e. Fin )
61	60	ad2antrl 742	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) /\ ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> u e. Fin )
62		elinel1 3610	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( ~P W i^i Fin ) -> u e. ~P W )
63	62	ad2antrl 742	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) /\ ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> u e. ~P W )
64	63	elpwid 3952	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) /\ ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> u C_ W )
65		simprr 774	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) /\ ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> ( T \ U ) C_ U. u )
66	61, 64, 65	3jca 1210	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) /\ ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )
67	66	ex 441	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) -> ( ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) -> ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) )
68	67	eximdv 1772	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) -> ( E. u ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) -> E. u ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) )
69	59, 68	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) -> E. u ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )
70	23, 69	mpdan 681	1 |- ( ph -> E. u ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   E.wex 1671   F/wnf 1675   e. wcel 1904   F/_wnfc 2599   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   ran crn 4840   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   < clt 9693   <_ cle 9694   (,)cioo 11660   ↾_t crest 15397   topGenctg 15414   Topctop 19994   Clsdccld 20108   Cn ccn 20317   Compccmp 20478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415

This theorem is referenced by:  stoweidlem53  38026