Theorem stoweidlem50 31378

Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, contain a finite subcover of T \ U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem50.1	|- F/_ t U
stoweidlem50.2	|- F/ t ph
stoweidlem50.3	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem50.4	|- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
stoweidlem50.5	|- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
stoweidlem50.6	|- T = U. J
stoweidlem50.7	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem50.8	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem50.9	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem50.10	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem50.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem50.12	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem50.13	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem50.14	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem50.15	|- ( ph -> Z e. U )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem50	|- ( ph -> E. u ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )

Distinct variable groups:   u, J   u, T   u, U   u, W   f, g, h, t, T   f, q, g, t, T   f, r, A, q, t   x, f, q, t, T   Q, f, g   U, f, g, q   f, Z, g, h, t   ph, f, g, q   w, g, h, t, T   A, g, h   g, W   Z, q, x   T, r   U, r   ph, r   t, J, w   t, K   ph, u   w, Q   x, A   x, U   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( w, t, h)   A( w, u)   C( x, w, u, t, f, g, h, r, q)   Q( x, u, t, h, r, q)   U( w, t, h)   J( x, f, g, h, r, q)   K( x, w, u, f, g, h, r, q)   W( x, w, t, f, h, r, q)   Z( w, u, r)

Proof of Theorem stoweidlem50

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem50.1	. . 3 |- F/_ t U
2		stoweidlem50.4	. . . 4 |- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
3		nfrab1 3042	. . . 4 |- F/_ h { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
4	2, 3	nfcxfr 2627	. . 3 |- F/_ h Q
5		nfv 1683	. . 3 |- F/ q ph
6		stoweidlem50.2	. . 3 |- F/ t ph
7		stoweidlem50.3	. . 3 |- K = ( topGen ` ran (,) )
8		stoweidlem50.5	. . 3 |- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
9		stoweidlem50.6	. . 3 |- T = U. J
10		stoweidlem50.8	. . 3 |- ( ph -> J e. Comp )
11		stoweidlem50.9	. . . 4 |- ( ph -> A C_ C )
12		stoweidlem50.7	. . . 4 |- C = ( J Cn K )
13	11, 12	syl6sseq 3550	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
14		stoweidlem50.10	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
15		stoweidlem50.11	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
16		stoweidlem50.12	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
17		stoweidlem50.13	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
18		stoweidlem50.14	. . 3 |- ( ph -> U e. J )
19		stoweidlem50.15	. . 3 |- ( ph -> Z e. U )
20		uniexg 6581	. . . . 5 |- ( J e. Comp -> U. J e. _V )
21	10, 20	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> U. J e. _V )
22	9, 21	syl5eqel 2559	. . 3 |- ( ph -> T e. _V )
23	1, 4, 5, 6, 7, 2, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22	stoweidlem46 31374	. 2 |- ( ph -> ( T \ U ) C_ U. W )
24		dfin4 3738	. . . . . . . . . . 11 |- ( T i^i U ) = ( T \ ( T \ U ) )
25		elssuni 4275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U e. J -> U C_ U. J )
26	18, 25	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U C_ U. J )
27	26, 9	syl6sseqr 3551	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U C_ T )
28		dfss1 3703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U C_ T <-> ( T i^i U ) = U )
29	27, 28	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( T i^i U ) = U )
30	24, 29	syl5eqr 2522	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T \ ( T \ U ) ) = U )
31	30, 18	eqeltrd 2555	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T \ ( T \ U ) ) e. J )
32		cmptop 19689	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
33	10, 32	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. Top )
34		difssd 3632	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T \ U ) C_ T )
35	9	iscld2 19323	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( T \ U ) C_ T ) -> ( ( T \ U ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( T \ ( T \ U ) ) e. J ) )
36	33, 34, 35	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( T \ U ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( T \ ( T \ U ) ) e. J ) )
37	31, 36	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T \ U ) e. ( Clsd ` J ) )
38		cmpcld 19696	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Comp /\ ( T \ U ) e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t ( T \ U ) ) e. Comp )
39	10, 37, 38	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J ↾t ( T \ U ) ) e. Comp )
40	9	cmpsub 19694	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( T \ U ) C_ T ) -> ( ( J ↾t ( T \ U ) ) e. Comp <-> A. c e. ~P J ( ( T \ U ) C_ U. c -> E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) ) )
41	33, 34, 40	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( J ↾t ( T \ U ) ) e. Comp <-> A. c e. ~P J ( ( T \ U ) C_ U. c -> E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) ) )
42	39, 41	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ph -> A. c e. ~P J ( ( T \ U ) C_ U. c -> E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) )
43		ssrab2 3585	. . . . . . . 8 |- { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } C_ J
44	8, 43	eqsstri 3534	. . . . . . 7 |- W C_ J
45	8, 10	rabexd 4599	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. _V )
46		elpwg 4018	. . . . . . . 8 |- ( W e. _V -> ( W e. ~P J <-> W C_ J ) )
47	45, 46	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( W e. ~P J <-> W C_ J ) )
48	44, 47	mpbiri 233	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. ~P J )
49		unieq 4253	. . . . . . . . 9 |- ( c = W -> U. c = U. W )
50	49	sseq2d 3532	. . . . . . . 8 |- ( c = W -> ( ( T \ U ) C_ U. c <-> ( T \ U ) C_ U. W ) )
51		pweq 4013	. . . . . . . . . 10 |- ( c = W -> ~P c = ~P W )
52	51	ineq1d 3699	. . . . . . . . 9 |- ( c = W -> ( ~P c i^i Fin ) = ( ~P W i^i Fin ) )
53	52	rexeqdv 3065	. . . . . . . 8 |- ( c = W -> ( E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u <-> E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) )
54	50, 53	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( c = W -> ( ( ( T \ U ) C_ U. c -> E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) <-> ( ( T \ U ) C_ U. W -> E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) ) )
55	54	rspccva 3213	. . . . . 6 |- ( ( A. c e. ~P J ( ( T \ U ) C_ U. c -> E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) /\ W e. ~P J ) -> ( ( T \ U ) C_ U. W -> E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) )
56	42, 48, 55	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( T \ U ) C_ U. W -> E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) )
57	56	imp 429	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) -> E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u )
58		df-rex 2820	. . . 4 |- ( E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u <-> E. u ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )
59	57, 58	sylib 196	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) -> E. u ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )
60		elin 3687	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( ~P W i^i Fin ) <-> ( u e. ~P W /\ u e. Fin ) )
61	60	simprbi 464	. . . . . . 7 |- ( u e. ( ~P W i^i Fin ) -> u e. Fin )
62	61	ad2antrl 727	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) /\ ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> u e. Fin )
63	60	simplbi 460	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( ~P W i^i Fin ) -> u e. ~P W )
64	63	ad2antrl 727	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) /\ ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> u e. ~P W )
65	64	elpwid 4020	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) /\ ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> u C_ W )
66		simprr 756	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) /\ ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> ( T \ U ) C_ U. u )
67	62, 65, 66	3jca 1176	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) /\ ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )
68	67	ex 434	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) -> ( ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) -> ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) )
69	68	eximdv 1686	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) -> ( E. u ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) -> E. u ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) )
70	59, 69	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) -> E. u ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )
71	23, 70	mpdan 668	1 |- ( ph -> E. u ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   F/wnf 1599   e. wcel 1767   F/_wnfc 2615   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   i^i cin 3475   C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Fincfn 7516   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493   + caddc 9495   x. cmul 9497   < clt 9628   <_ cle 9629   (,)cioo 11529   ↾_t crest 14676   topGenctg 14693   Topctop 19189   Clsdccld 19311   Cn ccn 19519   Compccmp 19680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-mulf 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-cmp 19681  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588

This theorem is referenced by:  stoweidlem53  31381