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Theorem stoweidlem50 38023
Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, contain a finite subcover of T \ U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem50.1  |-  F/_ t U
stoweidlem50.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem50.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem50.4  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem50.5  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
stoweidlem50.6  |-  T  = 
U. J
stoweidlem50.7  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem50.8  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem50.9  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem50.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem50.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem50.12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem50.13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem50.14  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem50.15  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem50  |-  ( ph  ->  E. u ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T 
\  U )  C_  U. u ) )
Distinct variable groups:    u, J    u, T    u, U    u, W    f, g, h, t, T    f, q, g, t, T    f, r, A, q, t    x, f, q, t, T    Q, f, g    U, f, g, q    f, Z, g, h, t    ph, f,
g, q    w, g, h, t, T    A, g, h    g, W    Z, q, x    T, r    U, r    ph, r    t, J, w   
t, K    ph, u    w, Q    x, A    x, U    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( w, t, h)    A( w, u)    C( x, w, u, t, f, g, h, r, q)    Q( x, u, t, h, r, q)    U( w, t, h)    J( x, f, g, h, r, q)    K( x, w, u, f, g, h, r, q)    W( x, w, t, f, h, r, q)    Z( w, u, r)

Proof of Theorem stoweidlem50
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem50.1 . . 3  |-  F/_ t U
2 stoweidlem50.4 . . . 4  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
3 nfrab1 2957 . . . 4  |-  F/_ h { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
42, 3nfcxfr 2610 . . 3  |-  F/_ h Q
5 nfv 1769 . . 3  |-  F/ q
ph
6 stoweidlem50.2 . . 3  |-  F/ t
ph
7 stoweidlem50.3 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
8 stoweidlem50.5 . . 3  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
9 stoweidlem50.6 . . 3  |-  T  = 
U. J
10 stoweidlem50.8 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
11 stoweidlem50.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
12 stoweidlem50.7 . . . 4  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
1311, 12syl6sseq 3464 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
14 stoweidlem50.10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
15 stoweidlem50.11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
16 stoweidlem50.12 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
17 stoweidlem50.13 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
18 stoweidlem50.14 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
19 stoweidlem50.15 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
20 uniexg 6607 . . . . 5  |-  ( J  e.  Comp  ->  U. J  e.  _V )
2110, 20syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. J  e.  _V )
229, 21syl5eqel 2553 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
231, 4, 5, 6, 7, 2, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22stoweidlem46 38019 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  U. W )
24 dfin4 3674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  i^i  U )  =  ( T  \  ( T  \  U ) )
25 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_ 
U. J )
2618, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  C_  U. J )
2726, 9syl6sseqr 3465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  C_  T )
28 dfss1 3628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U 
C_  T  <->  ( T  i^i  U )  =  U )
2927, 28sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  U )
3024, 29syl5eqr 2519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T  \  ( T  \  U ) )  =  U )
3130, 18eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T  \  ( T  \  U ) )  e.  J )
32 cmptop 20487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
3310, 32syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
34 difssd 3550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  T )
359iscld2 20120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( T  \  U ) 
C_  T )  -> 
( ( T  \  U )  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( T  \  ( T 
\  U ) )  e.  J ) )
3633, 34, 35syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( T  \  U )  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( T  \  ( T 
\  U ) )  e.  J ) )
3731, 36mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  e.  ( Clsd `  J ) )
38 cmpcld 20494 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  ( T  \  U )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  ( T  \  U ) )  e.  Comp )
3910, 37, 38syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( T  \  U ) )  e. 
Comp )
409cmpsub 20492 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( T  \  U ) 
C_  T )  -> 
( ( Jt  ( T 
\  U ) )  e.  Comp  <->  A. c  e.  ~P  J ( ( T 
\  U )  C_  U. c  ->  E. u  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) ( T 
\  U )  C_  U. u ) ) )
4133, 34, 40syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  ( T 
\  U ) )  e.  Comp  <->  A. c  e.  ~P  J ( ( T 
\  U )  C_  U. c  ->  E. u  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) ( T 
\  U )  C_  U. u ) ) )
4239, 41mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. c  e.  ~P  J ( ( T 
\  U )  C_  U. c  ->  E. u  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) ( T 
\  U )  C_  U. u ) )
43 ssrab2 3500 . . . . . . . 8  |-  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  C_  J
448, 43eqsstri 3448 . . . . . . 7  |-  W  C_  J
458, 10rabexd 4551 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  _V )
46 elpwg 3950 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  _V  ->  ( W  e.  ~P J  <->  W 
C_  J ) )
4745, 46syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( W  e.  ~P J 
<->  W  C_  J )
)
4844, 47mpbiri 241 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  ~P J
)
49 unieq 4198 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  W  ->  U. c  =  U. W )
5049sseq2d 3446 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  W  ->  (
( T  \  U
)  C_  U. c  <->  ( T  \  U ) 
C_  U. W ) )
51 pweq 3945 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  W  ->  ~P c  =  ~P W
)
5251ineq1d 3624 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  W  ->  ( ~P c  i^i  Fin )  =  ( ~P W  i^i  Fin ) )
5352rexeqdv 2980 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  W  ->  ( E. u  e.  ( ~P c  i^i  Fin )
( T  \  U
)  C_  U. u  <->  E. u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
( T  \  U
)  C_  U. u
) )
5450, 53imbi12d 327 . . . . . . 7  |-  ( c  =  W  ->  (
( ( T  \  U )  C_  U. c  ->  E. u  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) ( T  \  U )  C_  U. u
)  <->  ( ( T 
\  U )  C_  U. W  ->  E. u  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( T  \  U )  C_  U. u
) ) )
5554rspccva 3135 . . . . . 6  |-  ( ( A. c  e.  ~P  J ( ( T 
\  U )  C_  U. c  ->  E. u  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) ( T 
\  U )  C_  U. u )  /\  W  e.  ~P J )  -> 
( ( T  \  U )  C_  U. W  ->  E. u  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( T  \  U )  C_  U. u
) )
5642, 48, 55syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( T  \  U )  C_  U. W  ->  E. u  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( T  \  U )  C_  U. u
) )
5756imp 436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W
)  ->  E. u  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( T  \  U )  C_  U. u
)
58 df-rex 2762 . . . 4  |-  ( E. u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
( T  \  U
)  C_  U. u  <->  E. u ( u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T 
\  U )  C_  U. u ) )
5957, 58sylib 201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W
)  ->  E. u
( u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )
60 elinel2 3611 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  ->  u  e.  Fin )
6160ad2antrl 742 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W )  /\  (
u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
) )  ->  u  e.  Fin )
62 elinel1 3610 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  ->  u  e.  ~P W )
6362ad2antrl 742 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W )  /\  (
u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
) )  ->  u  e.  ~P W )
6463elpwid 3952 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W )  /\  (
u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
) )  ->  u  C_  W )
65 simprr 774 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W )  /\  (
u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
) )  ->  ( T  \  U )  C_  U. u )
6661, 64, 653jca 1210 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W )  /\  (
u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
) )  ->  (
u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u ) )
6766ex 441 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W
)  ->  ( (
u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
)  ->  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) ) )
6867eximdv 1772 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W
)  ->  ( E. u ( u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T 
\  U )  C_  U. u )  ->  E. u
( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U ) 
C_  U. u ) ) )
6959, 68mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W
)  ->  E. u
( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U ) 
C_  U. u ) )
7023, 69mpdan 681 1  |-  ( ph  ->  E. u ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T 
\  U )  C_  U. u ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671   F/wnf 1675    e. wcel 1904   F/_wnfc 2599    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694   (,)cioo 11660   ↾t crest 15397   topGenctg 15414   Topctop 19994   Clsdccld 20108    Cn ccn 20317   Compccmp 20478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415
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