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Theorem stoweidlem50 27469
Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, contain a finite subcover of T \ U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem50.1  |-  F/_ t U
stoweidlem50.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem50.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem50.4  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem50.5  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
stoweidlem50.6  |-  T  = 
U. J
stoweidlem50.7  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem50.8  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem50.9  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem50.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem50.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem50.12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem50.13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem50.14  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem50.15  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem50  |-  ( ph  ->  E. u ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T 
\  U )  C_  U. u ) )
Distinct variable groups:    u, J    u, T    u, U    u, W    f, g, h, t, T    f, q, g, t, T    f, r, A, q, t    x, f, q, t, T    Q, f, g    U, f, g, q    f, Z, g, h, t    ph, f,
g, q    w, g, h, t, T    A, g, h    g, W    Z, q, x    T, r    U, r    ph, r    t, J, w   
t, K    ph, u    w, Q    x, A    x, U    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( w, t, h)    A( w, u)    C( x, w, u, t, f, g, h, r, q)    Q( x, u, t, h, r, q)    U( w, t, h)    J( x, f, g, h, r, q)    K( x, w, u, f, g, h, r, q)    W( x, w, t, f, h, r, q)    Z( w, u, r)

Proof of Theorem stoweidlem50
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem50.1 . . 3  |-  F/_ t U
2 stoweidlem50.4 . . . 4  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
3 nfrab1 2833 . . . 4  |-  F/_ h { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
42, 3nfcxfr 2522 . . 3  |-  F/_ h Q
5 nfv 1626 . . 3  |-  F/ q
ph
6 stoweidlem50.2 . . 3  |-  F/ t
ph
7 stoweidlem50.3 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
8 stoweidlem50.5 . . 3  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
9 stoweidlem50.6 . . 3  |-  T  = 
U. J
10 stoweidlem50.8 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
11 stoweidlem50.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
12 stoweidlem50.7 . . . 4  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
1311, 12syl6sseq 3339 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
14 stoweidlem50.10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
15 stoweidlem50.11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
16 stoweidlem50.12 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
17 stoweidlem50.13 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
18 stoweidlem50.14 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
19 stoweidlem50.15 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
20 uniexg 4648 . . . . 5  |-  ( J  e.  Comp  ->  U. J  e.  _V )
2110, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. J  e.  _V )
229, 21syl5eqel 2473 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
231, 4, 5, 6, 7, 2, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22stoweidlem46 27465 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  U. W )
24 dfin4 3526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  i^i  U )  =  ( T  \  ( T  \  U ) )
25 elssuni 3987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_ 
U. J )
2618, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  C_  U. J )
2726, 9syl6sseqr 3340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  C_  T )
28 dfss1 3490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U 
C_  T  <->  ( T  i^i  U )  =  U )
2927, 28sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  U )
3024, 29syl5eqr 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T  \  ( T  \  U ) )  =  U )
3130, 18eqeltrd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T  \  ( T  \  U ) )  e.  J )
32 cmptop 17382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
3310, 32syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
34 difssd 3420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  T )
359iscld2 17017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( T  \  U ) 
C_  T )  -> 
( ( T  \  U )  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( T  \  ( T 
\  U ) )  e.  J ) )
3633, 34, 35syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( T  \  U )  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( T  \  ( T 
\  U ) )  e.  J ) )
3731, 36mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  e.  ( Clsd `  J ) )
38 cmpcld 17389 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  ( T  \  U )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  ( T  \  U ) )  e.  Comp )
3910, 37, 38syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( T  \  U ) )  e. 
Comp )
409cmpsub 17387 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( T  \  U ) 
C_  T )  -> 
( ( Jt  ( T 
\  U ) )  e.  Comp  <->  A. c  e.  ~P  J ( ( T 
\  U )  C_  U. c  ->  E. u  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) ( T 
\  U )  C_  U. u ) ) )
4133, 34, 40syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  ( T 
\  U ) )  e.  Comp  <->  A. c  e.  ~P  J ( ( T 
\  U )  C_  U. c  ->  E. u  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) ( T 
\  U )  C_  U. u ) ) )
4239, 41mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. c  e.  ~P  J ( ( T 
\  U )  C_  U. c  ->  E. u  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) ( T 
\  U )  C_  U. u ) )
43 ssrab2 3373 . . . . . . . 8  |-  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  C_  J
448, 43eqsstri 3323 . . . . . . 7  |-  W  C_  J
45 rabexg 4296 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Comp  ->  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  e.  _V )
4610, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }  e.  _V )
478, 46syl5eqel 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  _V )
48 elpwg 3751 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  _V  ->  ( W  e.  ~P J  <->  W 
C_  J ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( W  e.  ~P J 
<->  W  C_  J )
)
5044, 49mpbiri 225 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  ~P J
)
51 unieq 3968 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  W  ->  U. c  =  U. W )
5251sseq2d 3321 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  W  ->  (
( T  \  U
)  C_  U. c  <->  ( T  \  U ) 
C_  U. W ) )
53 pweq 3747 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  W  ->  ~P c  =  ~P W
)
5453ineq1d 3486 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  W  ->  ( ~P c  i^i  Fin )  =  ( ~P W  i^i  Fin ) )
5554rexeqdv 2856 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  W  ->  ( E. u  e.  ( ~P c  i^i  Fin )
( T  \  U
)  C_  U. u  <->  E. u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
( T  \  U
)  C_  U. u
) )
5652, 55imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( c  =  W  ->  (
( ( T  \  U )  C_  U. c  ->  E. u  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) ( T  \  U )  C_  U. u
)  <->  ( ( T 
\  U )  C_  U. W  ->  E. u  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( T  \  U )  C_  U. u
) ) )
5756rspccva 2996 . . . . . 6  |-  ( ( A. c  e.  ~P  J ( ( T 
\  U )  C_  U. c  ->  E. u  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) ( T 
\  U )  C_  U. u )  /\  W  e.  ~P J )  -> 
( ( T  \  U )  C_  U. W  ->  E. u  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( T  \  U )  C_  U. u
) )
5842, 50, 57syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( T  \  U )  C_  U. W  ->  E. u  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( T  \  U )  C_  U. u
) )
5958imp 419 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W
)  ->  E. u  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( T  \  U )  C_  U. u
)
60 df-rex 2657 . . . 4  |-  ( E. u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
( T  \  U
)  C_  U. u  <->  E. u ( u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T 
\  U )  C_  U. u ) )
6159, 60sylib 189 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W
)  ->  E. u
( u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )
62 elin 3475 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  <->  ( u  e.  ~P W  /\  u  e.  Fin ) )
6362simprbi 451 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  ->  u  e.  Fin )
6463ad2antrl 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W )  /\  (
u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
) )  ->  u  e.  Fin )
6562simplbi 447 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  ->  u  e.  ~P W )
6665ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W )  /\  (
u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
) )  ->  u  e.  ~P W )
6766elpwid 3753 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W )  /\  (
u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
) )  ->  u  C_  W )
68 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W )  /\  (
u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
) )  ->  ( T  \  U )  C_  U. u )
6964, 67, 683jca 1134 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W )  /\  (
u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
) )  ->  (
u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u ) )
7069ex 424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W
)  ->  ( (
u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
)  ->  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) ) )
7170eximdv 1629 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W
)  ->  ( E. u ( u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T 
\  U )  C_  U. u )  ->  E. u
( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U ) 
C_  U. u ) ) )
7261, 71mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W
)  ->  E. u
( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U ) 
C_  U. u ) )
7323, 72mpdan 650 1  |-  ( ph  ->  E. u ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T 
\  U )  C_  U. u ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547   F/wnf 1550    = wceq 1649    e. wcel 1717   F/_wnfc 2512    =/= wne 2552   A.wral 2651   E.wrex 2652   {crab 2655   _Vcvv 2901    \ cdif 3262    i^i cin 3264    C_ wss 3265   ~Pcpw 3744   U.cuni 3959   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   ran crn 4821   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Fincfn 7047   RRcr 8924   0cc0 8925   1c1 8926    + caddc 8928    x. cmul 8930    < clt 9055    <_ cle 9056   (,)cioo 10850   ↾t crest 13577   topGenctg 13594   Topctop 16883   Clsdccld 17005    Cn ccn 17212   Compccmp 17373
This theorem is referenced by:  stoweidlem53  27472
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ioo 10854  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-prds 13600  df-xrs 13655  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-qtop 13662  df-imas 13663  df-xps 13665  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-mulg 14744  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cld 17008  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-cmp 17374  df-tx 17517  df-hmeo 17710  df-xms 18261  df-ms 18262  df-tms 18263
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