Theorem stoweidlem50 37905

Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, contain a finite subcover of T \ U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem50.1	|- F/_ t U
stoweidlem50.2	|- F/ t ph
stoweidlem50.3	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem50.4	|- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
stoweidlem50.5	|- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
stoweidlem50.6	|- T = U. J
stoweidlem50.7	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem50.8	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem50.9	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem50.10	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem50.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem50.12	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem50.13	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem50.14	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem50.15	|- ( ph -> Z e. U )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem50	|- ( ph -> E. u ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )

Distinct variable groups:   u, J   u, T   u, U   u, W   f, g, h, t, T   f, q, g, t, T   f, r, A, q, t   x, f, q, t, T   Q, f, g   U, f, g, q   f, Z, g, h, t   ph, f, g, q   w, g, h, t, T   A, g, h   g, W   Z, q, x   T, r   U, r   ph, r   t, J, w   t, K   ph, u   w, Q   x, A   x, U   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( w, t, h)   A( w, u)   C( x, w, u, t, f, g, h, r, q)   Q( x, u, t, h, r, q)   U( w, t, h)   J( x, f, g, h, r, q)   K( x, w, u, f, g, h, r, q)   W( x, w, t, f, h, r, q)   Z( w, u, r)

Proof of Theorem stoweidlem50

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem50.1	. . 3 |- F/_ t U
2		stoweidlem50.4	. . . 4 |- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
3		nfrab1 2970	. . . 4 |- F/_ h { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
4	2, 3	nfcxfr 2589	. . 3 |- F/_ h Q
5		nfv 1760	. . 3 |- F/ q ph
6		stoweidlem50.2	. . 3 |- F/ t ph
7		stoweidlem50.3	. . 3 |- K = ( topGen ` ran (,) )
8		stoweidlem50.5	. . 3 |- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
9		stoweidlem50.6	. . 3 |- T = U. J
10		stoweidlem50.8	. . 3 |- ( ph -> J e. Comp )
11		stoweidlem50.9	. . . 4 |- ( ph -> A C_ C )
12		stoweidlem50.7	. . . 4 |- C = ( J Cn K )
13	11, 12	syl6sseq 3477	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
14		stoweidlem50.10	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
15		stoweidlem50.11	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
16		stoweidlem50.12	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
17		stoweidlem50.13	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
18		stoweidlem50.14	. . 3 |- ( ph -> U e. J )
19		stoweidlem50.15	. . 3 |- ( ph -> Z e. U )
20		uniexg 6585	. . . . 5 |- ( J e. Comp -> U. J e. _V )
21	10, 20	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> U. J e. _V )
22	9, 21	syl5eqel 2532	. . 3 |- ( ph -> T e. _V )
23	1, 4, 5, 6, 7, 2, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22	stoweidlem46 37901	. 2 |- ( ph -> ( T \ U ) C_ U. W )
24		dfin4 3682	. . . . . . . . . . 11 |- ( T i^i U ) = ( T \ ( T \ U ) )
25		elssuni 4226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U e. J -> U C_ U. J )
26	18, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U C_ U. J )
27	26, 9	syl6sseqr 3478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U C_ T )
28		dfss1 3636	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U C_ T <-> ( T i^i U ) = U )
29	27, 28	sylib 200	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( T i^i U ) = U )
30	24, 29	syl5eqr 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T \ ( T \ U ) ) = U )
31	30, 18	eqeltrd 2528	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T \ ( T \ U ) ) e. J )
32		cmptop 20403	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
33	10, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. Top )
34		difssd 3560	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T \ U ) C_ T )
35	9	iscld2 20036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( T \ U ) C_ T ) -> ( ( T \ U ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( T \ ( T \ U ) ) e. J ) )
36	33, 34, 35	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( T \ U ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( T \ ( T \ U ) ) e. J ) )
37	31, 36	mpbird 236	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T \ U ) e. ( Clsd ` J ) )
38		cmpcld 20410	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Comp /\ ( T \ U ) e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t ( T \ U ) ) e. Comp )
39	10, 37, 38	syl2anc 666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J ↾t ( T \ U ) ) e. Comp )
40	9	cmpsub 20408	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( T \ U ) C_ T ) -> ( ( J ↾t ( T \ U ) ) e. Comp <-> A. c e. ~P J ( ( T \ U ) C_ U. c -> E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) ) )
41	33, 34, 40	syl2anc 666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( J ↾t ( T \ U ) ) e. Comp <-> A. c e. ~P J ( ( T \ U ) C_ U. c -> E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) ) )
42	39, 41	mpbid 214	. . . . . 6 |- ( ph -> A. c e. ~P J ( ( T \ U ) C_ U. c -> E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) )
43		ssrab2 3513	. . . . . . . 8 |- { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } C_ J
44	8, 43	eqsstri 3461	. . . . . . 7 |- W C_ J
45	8, 10	rabexd 4554	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. _V )
46		elpwg 3958	. . . . . . . 8 |- ( W e. _V -> ( W e. ~P J <-> W C_ J ) )
47	45, 46	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( W e. ~P J <-> W C_ J ) )
48	44, 47	mpbiri 237	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. ~P J )
49		unieq 4205	. . . . . . . . 9 |- ( c = W -> U. c = U. W )
50	49	sseq2d 3459	. . . . . . . 8 |- ( c = W -> ( ( T \ U ) C_ U. c <-> ( T \ U ) C_ U. W ) )
51		pweq 3953	. . . . . . . . . 10 |- ( c = W -> ~P c = ~P W )
52	51	ineq1d 3632	. . . . . . . . 9 |- ( c = W -> ( ~P c i^i Fin ) = ( ~P W i^i Fin ) )
53	52	rexeqdv 2993	. . . . . . . 8 |- ( c = W -> ( E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u <-> E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) )
54	50, 53	imbi12d 322	. . . . . . 7 |- ( c = W -> ( ( ( T \ U ) C_ U. c -> E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) <-> ( ( T \ U ) C_ U. W -> E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) ) )
55	54	rspccva 3148	. . . . . 6 |- ( ( A. c e. ~P J ( ( T \ U ) C_ U. c -> E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) /\ W e. ~P J ) -> ( ( T \ U ) C_ U. W -> E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) )
56	42, 48, 55	syl2anc 666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( T \ U ) C_ U. W -> E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) )
57	56	imp 431	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) -> E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u )
58		df-rex 2742	. . . 4 |- ( E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u <-> E. u ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )
59	57, 58	sylib 200	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) -> E. u ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )
60		elinel2 3619	. . . . . . 7 |- ( u e. ( ~P W i^i Fin ) -> u e. Fin )
61	60	ad2antrl 733	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) /\ ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> u e. Fin )
62		elinel1 3618	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( ~P W i^i Fin ) -> u e. ~P W )
63	62	ad2antrl 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) /\ ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> u e. ~P W )
64	63	elpwid 3960	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) /\ ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> u C_ W )
65		simprr 765	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) /\ ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> ( T \ U ) C_ U. u )
66	61, 64, 65	3jca 1187	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) /\ ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )
67	66	ex 436	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) -> ( ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) -> ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) )
68	67	eximdv 1763	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) -> ( E. u ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) -> E. u ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) )
69	59, 68	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) -> E. u ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )
70	23, 69	mpdan 673	1 |- ( ph -> E. u ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   E.wex 1662   F/wnf 1666   e. wcel 1886   F/_wnfc 2578   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 3044   \ cdif 3400   i^i cin 3402   C_ wss 3403   ~Pcpw 3950   U.cuni 4197   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   ran crn 4834   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Fincfn 7566   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   x. cmul 9541   < clt 9672   <_ cle 9673   (,)cioo 11632   ↾_t crest 15312   topGenctg 15329   Topctop 19910   Clsdccld 20024   Cn ccn 20233   Compccmp 20394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-cmp 20395  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330

This theorem is referenced by:  stoweidlem53  37908