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Theorem stoweidlem50 31993
Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, contain a finite subcover of T \ U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem50.1  |-  F/_ t U
stoweidlem50.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem50.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem50.4  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem50.5  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
stoweidlem50.6  |-  T  = 
U. J
stoweidlem50.7  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem50.8  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem50.9  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem50.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem50.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem50.12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem50.13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem50.14  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem50.15  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem50  |-  ( ph  ->  E. u ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T 
\  U )  C_  U. u ) )
Distinct variable groups:    u, J    u, T    u, U    u, W    f, g, h, t, T    f, q, g, t, T    f, r, A, q, t    x, f, q, t, T    Q, f, g    U, f, g, q    f, Z, g, h, t    ph, f,
g, q    w, g, h, t, T    A, g, h    g, W    Z, q, x    T, r    U, r    ph, r    t, J, w   
t, K    ph, u    w, Q    x, A    x, U    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( w, t, h)    A( w, u)    C( x, w, u, t, f, g, h, r, q)    Q( x, u, t, h, r, q)    U( w, t, h)    J( x, f, g, h, r, q)    K( x, w, u, f, g, h, r, q)    W( x, w, t, f, h, r, q)    Z( w, u, r)

Proof of Theorem stoweidlem50
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem50.1 . . 3  |-  F/_ t U
2 stoweidlem50.4 . . . 4  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
3 nfrab1 3038 . . . 4  |-  F/_ h { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
42, 3nfcxfr 2617 . . 3  |-  F/_ h Q
5 nfv 1708 . . 3  |-  F/ q
ph
6 stoweidlem50.2 . . 3  |-  F/ t
ph
7 stoweidlem50.3 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
8 stoweidlem50.5 . . 3  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
9 stoweidlem50.6 . . 3  |-  T  = 
U. J
10 stoweidlem50.8 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
11 stoweidlem50.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
12 stoweidlem50.7 . . . 4  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
1311, 12syl6sseq 3545 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
14 stoweidlem50.10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
15 stoweidlem50.11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
16 stoweidlem50.12 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
17 stoweidlem50.13 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
18 stoweidlem50.14 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
19 stoweidlem50.15 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
20 uniexg 6596 . . . . 5  |-  ( J  e.  Comp  ->  U. J  e.  _V )
2110, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. J  e.  _V )
229, 21syl5eqel 2549 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
231, 4, 5, 6, 7, 2, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22stoweidlem46 31989 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  U. W )
24 dfin4 3745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  i^i  U )  =  ( T  \  ( T  \  U ) )
25 elssuni 4281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_ 
U. J )
2618, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  C_  U. J )
2726, 9syl6sseqr 3546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  C_  T )
28 dfss1 3699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U 
C_  T  <->  ( T  i^i  U )  =  U )
2927, 28sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  U )
3024, 29syl5eqr 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T  \  ( T  \  U ) )  =  U )
3130, 18eqeltrd 2545 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T  \  ( T  \  U ) )  e.  J )
32 cmptop 20021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
3310, 32syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
34 difssd 3628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  T )
359iscld2 19655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( T  \  U ) 
C_  T )  -> 
( ( T  \  U )  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( T  \  ( T 
\  U ) )  e.  J ) )
3633, 34, 35syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( T  \  U )  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( T  \  ( T 
\  U ) )  e.  J ) )
3731, 36mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  e.  ( Clsd `  J ) )
38 cmpcld 20028 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  ( T  \  U )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  ( T  \  U ) )  e.  Comp )
3910, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( T  \  U ) )  e. 
Comp )
409cmpsub 20026 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( T  \  U ) 
C_  T )  -> 
( ( Jt  ( T 
\  U ) )  e.  Comp  <->  A. c  e.  ~P  J ( ( T 
\  U )  C_  U. c  ->  E. u  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) ( T 
\  U )  C_  U. u ) ) )
4133, 34, 40syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  ( T 
\  U ) )  e.  Comp  <->  A. c  e.  ~P  J ( ( T 
\  U )  C_  U. c  ->  E. u  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) ( T 
\  U )  C_  U. u ) ) )
4239, 41mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. c  e.  ~P  J ( ( T 
\  U )  C_  U. c  ->  E. u  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) ( T 
\  U )  C_  U. u ) )
43 ssrab2 3581 . . . . . . . 8  |-  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  C_  J
448, 43eqsstri 3529 . . . . . . 7  |-  W  C_  J
458, 10rabexd 4608 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  _V )
46 elpwg 4023 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  _V  ->  ( W  e.  ~P J  <->  W 
C_  J ) )
4745, 46syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( W  e.  ~P J 
<->  W  C_  J )
)
4844, 47mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  ~P J
)
49 unieq 4259 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  W  ->  U. c  =  U. W )
5049sseq2d 3527 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  W  ->  (
( T  \  U
)  C_  U. c  <->  ( T  \  U ) 
C_  U. W ) )
51 pweq 4018 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  W  ->  ~P c  =  ~P W
)
5251ineq1d 3695 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  W  ->  ( ~P c  i^i  Fin )  =  ( ~P W  i^i  Fin ) )
5352rexeqdv 3061 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  W  ->  ( E. u  e.  ( ~P c  i^i  Fin )
( T  \  U
)  C_  U. u  <->  E. u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
( T  \  U
)  C_  U. u
) )
5450, 53imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( c  =  W  ->  (
( ( T  \  U )  C_  U. c  ->  E. u  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) ( T  \  U )  C_  U. u
)  <->  ( ( T 
\  U )  C_  U. W  ->  E. u  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( T  \  U )  C_  U. u
) ) )
5554rspccva 3209 . . . . . 6  |-  ( ( A. c  e.  ~P  J ( ( T 
\  U )  C_  U. c  ->  E. u  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) ( T 
\  U )  C_  U. u )  /\  W  e.  ~P J )  -> 
( ( T  \  U )  C_  U. W  ->  E. u  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( T  \  U )  C_  U. u
) )
5642, 48, 55syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( T  \  U )  C_  U. W  ->  E. u  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( T  \  U )  C_  U. u
) )
5756imp 429 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W
)  ->  E. u  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( T  \  U )  C_  U. u
)
58 df-rex 2813 . . . 4  |-  ( E. u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
( T  \  U
)  C_  U. u  <->  E. u ( u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T 
\  U )  C_  U. u ) )
5957, 58sylib 196 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W
)  ->  E. u
( u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) )
60 elinel2 31584 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  ->  u  e.  Fin )
6160ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W )  /\  (
u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
) )  ->  u  e.  Fin )
62 elinel1 31585 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  ->  u  e.  ~P W )
6362ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W )  /\  (
u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
) )  ->  u  e.  ~P W )
6463elpwid 4025 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W )  /\  (
u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
) )  ->  u  C_  W )
65 simprr 757 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W )  /\  (
u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
) )  ->  ( T  \  U )  C_  U. u )
6661, 64, 653jca 1176 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W )  /\  (
u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
) )  ->  (
u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u ) )
6766ex 434 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W
)  ->  ( (
u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T  \  U
)  C_  U. u
)  ->  ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U )  C_  U. u
) ) )
6867eximdv 1711 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W
)  ->  ( E. u ( u  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( T 
\  U )  C_  U. u )  ->  E. u
( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U ) 
C_  U. u ) ) )
6959, 68mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  C_  U. W
)  ->  E. u
( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T  \  U ) 
C_  U. u ) )
7023, 69mpdan 668 1  |-  ( ph  ->  E. u ( u  e.  Fin  /\  u  C_  W  /\  ( T 
\  U )  C_  U. u ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613   F/wnf 1617    e. wcel 1819   F/_wnfc 2605    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646   (,)cioo 11554   ↾t crest 14837   topGenctg 14854   Topctop 19520   Clsdccld 19643    Cn ccn 19851   Compccmp 20012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-cmp 20013  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950
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