Theorem stoweidlem50 29845

Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, contain a finite subcover of T \ U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem50.1	|- F/_ t U
stoweidlem50.2	|- F/ t ph
stoweidlem50.3	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem50.4	|- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
stoweidlem50.5	|- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
stoweidlem50.6	|- T = U. J
stoweidlem50.7	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem50.8	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem50.9	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem50.10	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem50.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem50.12	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem50.13	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem50.14	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem50.15	|- ( ph -> Z e. U )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem50	|- ( ph -> E. u ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )

Distinct variable groups:   u, J   u, T   u, U   u, W   f, g, h, t, T   f, q, g, t, T   f, r, A, q, t   x, f, q, t, T   Q, f, g   U, f, g, q   f, Z, g, h, t   ph, f, g, q   w, g, h, t, T   A, g, h   g, W   Z, q, x   T, r   U, r   ph, r   t, J, w   t, K   ph, u   w, Q   x, A   x, U   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( w, t, h)   A( w, u)   C( x, w, u, t, f, g, h, r, q)   Q( x, u, t, h, r, q)   U( w, t, h)   J( x, f, g, h, r, q)   K( x, w, u, f, g, h, r, q)   W( x, w, t, f, h, r, q)   Z( w, u, r)

Proof of Theorem stoweidlem50

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem50.1	. . 3 |- F/_ t U
2		stoweidlem50.4	. . . 4 |- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
3		nfrab1 2901	. . . 4 |- F/_ h { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
4	2, 3	nfcxfr 2576	. . 3 |- F/_ h Q
5		nfv 1673	. . 3 |- F/ q ph
6		stoweidlem50.2	. . 3 |- F/ t ph
7		stoweidlem50.3	. . 3 |- K = ( topGen ` ran (,) )
8		stoweidlem50.5	. . 3 |- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
9		stoweidlem50.6	. . 3 |- T = U. J
10		stoweidlem50.8	. . 3 |- ( ph -> J e. Comp )
11		stoweidlem50.9	. . . 4 |- ( ph -> A C_ C )
12		stoweidlem50.7	. . . 4 |- C = ( J Cn K )
13	11, 12	syl6sseq 3402	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
14		stoweidlem50.10	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
15		stoweidlem50.11	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
16		stoweidlem50.12	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
17		stoweidlem50.13	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
18		stoweidlem50.14	. . 3 |- ( ph -> U e. J )
19		stoweidlem50.15	. . 3 |- ( ph -> Z e. U )
20		uniexg 6377	. . . . 5 |- ( J e. Comp -> U. J e. _V )
21	10, 20	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> U. J e. _V )
22	9, 21	syl5eqel 2527	. . 3 |- ( ph -> T e. _V )
23	1, 4, 5, 6, 7, 2, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22	stoweidlem46 29841	. 2 |- ( ph -> ( T \ U ) C_ U. W )
24		dfin4 3590	. . . . . . . . . . 11 |- ( T i^i U ) = ( T \ ( T \ U ) )
25		elssuni 4121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U e. J -> U C_ U. J )
26	18, 25	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U C_ U. J )
27	26, 9	syl6sseqr 3403	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U C_ T )
28		dfss1 3555	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U C_ T <-> ( T i^i U ) = U )
29	27, 28	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( T i^i U ) = U )
30	24, 29	syl5eqr 2489	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T \ ( T \ U ) ) = U )
31	30, 18	eqeltrd 2517	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T \ ( T \ U ) ) e. J )
32		cmptop 18998	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
33	10, 32	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. Top )
34		difssd 3484	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T \ U ) C_ T )
35	9	iscld2 18632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( T \ U ) C_ T ) -> ( ( T \ U ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( T \ ( T \ U ) ) e. J ) )
36	33, 34, 35	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( T \ U ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( T \ ( T \ U ) ) e. J ) )
37	31, 36	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T \ U ) e. ( Clsd ` J ) )
38		cmpcld 19005	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Comp /\ ( T \ U ) e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t ( T \ U ) ) e. Comp )
39	10, 37, 38	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J ↾t ( T \ U ) ) e. Comp )
40	9	cmpsub 19003	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( T \ U ) C_ T ) -> ( ( J ↾t ( T \ U ) ) e. Comp <-> A. c e. ~P J ( ( T \ U ) C_ U. c -> E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) ) )
41	33, 34, 40	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( J ↾t ( T \ U ) ) e. Comp <-> A. c e. ~P J ( ( T \ U ) C_ U. c -> E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) ) )
42	39, 41	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ph -> A. c e. ~P J ( ( T \ U ) C_ U. c -> E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) )
43		ssrab2 3437	. . . . . . . 8 |- { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } C_ J
44	8, 43	eqsstri 3386	. . . . . . 7 |- W C_ J
45	8, 10	rabexd 4444	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. _V )
46		elpwg 3868	. . . . . . . 8 |- ( W e. _V -> ( W e. ~P J <-> W C_ J ) )
47	45, 46	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( W e. ~P J <-> W C_ J ) )
48	44, 47	mpbiri 233	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. ~P J )
49		unieq 4099	. . . . . . . . 9 |- ( c = W -> U. c = U. W )
50	49	sseq2d 3384	. . . . . . . 8 |- ( c = W -> ( ( T \ U ) C_ U. c <-> ( T \ U ) C_ U. W ) )
51		pweq 3863	. . . . . . . . . 10 |- ( c = W -> ~P c = ~P W )
52	51	ineq1d 3551	. . . . . . . . 9 |- ( c = W -> ( ~P c i^i Fin ) = ( ~P W i^i Fin ) )
53	52	rexeqdv 2924	. . . . . . . 8 |- ( c = W -> ( E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u <-> E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) )
54	50, 53	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( c = W -> ( ( ( T \ U ) C_ U. c -> E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) <-> ( ( T \ U ) C_ U. W -> E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) ) )
55	54	rspccva 3072	. . . . . 6 |- ( ( A. c e. ~P J ( ( T \ U ) C_ U. c -> E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) /\ W e. ~P J ) -> ( ( T \ U ) C_ U. W -> E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) )
56	42, 48, 55	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( T \ U ) C_ U. W -> E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) )
57	56	imp 429	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) -> E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u )
58		df-rex 2721	. . . 4 |- ( E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u <-> E. u ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )
59	57, 58	sylib 196	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) -> E. u ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )
60		elin 3539	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( ~P W i^i Fin ) <-> ( u e. ~P W /\ u e. Fin ) )
61	60	simprbi 464	. . . . . . 7 |- ( u e. ( ~P W i^i Fin ) -> u e. Fin )
62	61	ad2antrl 727	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) /\ ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> u e. Fin )
63	60	simplbi 460	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( ~P W i^i Fin ) -> u e. ~P W )
64	63	ad2antrl 727	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) /\ ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> u e. ~P W )
65	64	elpwid 3870	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) /\ ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> u C_ W )
66		simprr 756	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) /\ ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> ( T \ U ) C_ U. u )
67	62, 65, 66	3jca 1168	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) /\ ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )
68	67	ex 434	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) -> ( ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) -> ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) )
69	68	eximdv 1676	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) -> ( E. u ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) -> E. u ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) )
70	59, 69	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) -> E. u ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )
71	23, 70	mpdan 668	1 |- ( ph -> E. u ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   E.wex 1586   F/wnf 1589   e. wcel 1756   F/_wnfc 2566   =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719   _Vcvv 2972   \ cdif 3325   i^i cin 3327   C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   U.cuni 4091   class class class wbr 4292   e. cmpt 4350   ran crn 4841   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283   + caddc 9285   x. cmul 9287   < clt 9418   <_ cle 9419   (,)cioo 11300   ↾_t crest 14359   topGenctg 14376   Topctop 18498   Clsdccld 18620   Cn ccn 18828   Compccmp 18989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-mulf 9362

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-cmp 18990  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897

This theorem is referenced by:  stoweidlem53  29848