Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem5 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stoweidlem5 37875
Description: There exists a δ as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 < δ < 1 , p >= δ on  T  \  U. Here  D is used to represent δ in the paper and  Q to represent  T 
\  U in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem5.1  |-  F/ t
ph
stoweidlem5.2  |-  D  =  if ( C  <_ 
( 1  /  2
) ,  C , 
( 1  /  2
) )
stoweidlem5.3  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
stoweidlem5.4  |-  ( ph  ->  Q  C_  T )
stoweidlem5.5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
stoweidlem5.6  |-  ( ph  ->  A. t  e.  Q  C  <_  ( P `  t ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem5  |-  ( ph  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  Q  d  <_  ( P `  t ) ) )
Distinct variable groups:    t, d, D    P, d    Q, d
Allowed substitution hints:    ph( t, d)    C( t, d)    P( t)    Q( t)    T( t, d)

Proof of Theorem stoweidlem5
StepHypRef Expression
1 stoweidlem5.2 . . 3  |-  D  =  if ( C  <_ 
( 1  /  2
) ,  C , 
( 1  /  2
) )
2 stoweidlem5.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
3 halfre 10835 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
4 halfgt0 10837 . . . . 5  |-  0  <  ( 1  /  2
)
53, 4elrpii 11312 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
6 ifcl 3925 . . . 4  |-  ( ( C  e.  RR+  /\  (
1  /  2 )  e.  RR+ )  ->  if ( C  <_  ( 1  /  2 ) ,  C ,  ( 1  /  2 ) )  e.  RR+ )
72, 5, 6sylancl 669 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( C  <_ 
( 1  /  2
) ,  C , 
( 1  /  2
) )  e.  RR+ )
81, 7syl5eqel 2535 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
98rpred 11348 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
103a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
11 1red 9663 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
122rpred 11348 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
13 min2 11491 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  if ( C  <_  ( 1  / 
2 ) ,  C ,  ( 1  / 
2 ) )  <_ 
( 1  /  2
) )
1412, 3, 13sylancl 669 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( C  <_ 
( 1  /  2
) ,  C , 
( 1  /  2
) )  <_  (
1  /  2 ) )
151, 14syl5eqbr 4439 . . 3  |-  ( ph  ->  D  <_  ( 1  /  2 ) )
16 halflt1 10838 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  <  1
1716a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  <  1 )
189, 10, 11, 15, 17lelttrd 9798 . 2  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
19 stoweidlem5.1 . . 3  |-  F/ t
ph
207rpred 11348 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( C  <_ 
( 1  /  2
) ,  C , 
( 1  /  2
) )  e.  RR )
2120adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  if ( C  <_  ( 1  /  2 ) ,  C ,  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
2212adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  C  e.  RR )
23 stoweidlem5.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
2423adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  P : T --> RR )
25 stoweidlem5.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  C_  T )
2625sselda 3434 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  t  e.  T )
2724, 26ffvelrnd 6028 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  ( P `  t )  e.  RR )
28 min1 11490 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  if ( C  <_  ( 1  / 
2 ) ,  C ,  ( 1  / 
2 ) )  <_  C )
2912, 3, 28sylancl 669 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( C  <_ 
( 1  /  2
) ,  C , 
( 1  /  2
) )  <_  C
)
3029adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  if ( C  <_  ( 1  /  2 ) ,  C ,  ( 1  /  2 ) )  <_  C )
31 stoweidlem5.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  Q  C  <_  ( P `  t ) )
3231r19.21bi 2759 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  C  <_  ( P `  t
) )
3321, 22, 27, 30, 32letrd 9797 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  if ( C  <_  ( 1  /  2 ) ,  C ,  ( 1  /  2 ) )  <_  ( P `  t ) )
341, 33syl5eqbr 4439 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  D  <_  ( P `  t
) )
3534ex 436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  Q  ->  D  <_  ( P `  t ) ) )
3619, 35ralrimi 2790 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  Q  D  <_  ( P `  t ) )
37 eleq1 2519 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  (
d  e.  RR+  <->  D  e.  RR+ ) )
38 breq1 4408 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  (
d  <  1  <->  D  <  1 ) )
39 breq1 4408 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  (
d  <_  ( P `  t )  <->  D  <_  ( P `  t ) ) )
4039ralbidv 2829 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  ( A. t  e.  Q  d  <_  ( P `  t )  <->  A. t  e.  Q  D  <_  ( P `  t ) ) )
4137, 38, 403anbi123d 1341 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  (
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  Q  d  <_  ( P `  t ) )  <->  ( D  e.  RR+  /\  D  <  1  /\  A. t  e.  Q  D  <_  ( P `  t ) ) ) )
4241spcegv 3137 . . 3  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( D  e.  RR+  /\  D  <  1  /\  A. t  e.  Q  D  <_  ( P `  t ) )  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  Q  d  <_  ( P `  t ) ) ) )
438, 42syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D  e.  RR+  /\  D  <  1  /\  A. t  e.  Q  D  <_  ( P `  t ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  Q  d  <_  ( P `  t ) ) ) )
448, 18, 36, 43mp3and 1369 1  |-  ( ph  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  Q  d  <_  ( P `  t ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446   E.wex 1665   F/wnf 1669    e. wcel 1889   A.wral 2739    C_ wss 3406   ifcif 3883   class class class wbr 4405   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   RRcr 9543   1c1 9545    < clt 9680    <_ cle 9681    / cdiv 10276   2c2 10666   RR+crp 11309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-2 10675  df-rp 11310
This theorem is referenced by:  stoweidlem28  37898
  Copyright terms: Public domain W3C validator