Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem5 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem5 31953
Description: There exists a δ as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 < δ < 1 , p >= δ on  T  \  U. Here  D is used to represent δ in the paper and  Q to represent  T 
\  U in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem5.1  |-  F/ t
ph
stoweidlem5.2  |-  D  =  if ( C  <_ 
( 1  /  2
) ,  C , 
( 1  /  2
) )
stoweidlem5.3  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
stoweidlem5.4  |-  ( ph  ->  Q  C_  T )
stoweidlem5.5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
stoweidlem5.6  |-  ( ph  ->  A. t  e.  Q  C  <_  ( P `  t ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem5  |-  ( ph  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  Q  d  <_  ( P `  t ) ) )
Distinct variable groups:    t, d, D    P, d    Q, d
Allowed substitution hints:    ph( t, d)    C( t, d)    P( t)    Q( t)    T( t, d)

Proof of Theorem stoweidlem5
StepHypRef Expression
1 stoweidlem5.2 . . 3  |-  D  =  if ( C  <_ 
( 1  /  2
) ,  C , 
( 1  /  2
) )
2 stoweidlem5.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
3 halfre 10671 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
4 halfgt0 10673 . . . . 5  |-  0  <  ( 1  /  2
)
53, 4elrpii 11142 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
6 ifcl 3899 . . . 4  |-  ( ( C  e.  RR+  /\  (
1  /  2 )  e.  RR+ )  ->  if ( C  <_  ( 1  /  2 ) ,  C ,  ( 1  /  2 ) )  e.  RR+ )
72, 5, 6sylancl 660 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( C  <_ 
( 1  /  2
) ,  C , 
( 1  /  2
) )  e.  RR+ )
81, 7syl5eqel 2474 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
98rpred 11177 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
103a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
11 1red 9522 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
122rpred 11177 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
13 min2 11311 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  if ( C  <_  ( 1  / 
2 ) ,  C ,  ( 1  / 
2 ) )  <_ 
( 1  /  2
) )
1412, 3, 13sylancl 660 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( C  <_ 
( 1  /  2
) ,  C , 
( 1  /  2
) )  <_  (
1  /  2 ) )
151, 14syl5eqbr 4400 . . 3  |-  ( ph  ->  D  <_  ( 1  /  2 ) )
16 halflt1 10674 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  <  1
1716a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  <  1 )
189, 10, 11, 15, 17lelttrd 9651 . 2  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
19 stoweidlem5.1 . . 3  |-  F/ t
ph
207rpred 11177 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( C  <_ 
( 1  /  2
) ,  C , 
( 1  /  2
) )  e.  RR )
2120adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  if ( C  <_  ( 1  /  2 ) ,  C ,  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
2212adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  C  e.  RR )
23 stoweidlem5.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
2423adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  P : T --> RR )
25 stoweidlem5.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  C_  T )
2625sselda 3417 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  t  e.  T )
2724, 26ffvelrnd 5934 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  ( P `  t )  e.  RR )
28 min1 11310 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  if ( C  <_  ( 1  / 
2 ) ,  C ,  ( 1  / 
2 ) )  <_  C )
2912, 3, 28sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( C  <_ 
( 1  /  2
) ,  C , 
( 1  /  2
) )  <_  C
)
3029adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  if ( C  <_  ( 1  /  2 ) ,  C ,  ( 1  /  2 ) )  <_  C )
31 stoweidlem5.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  Q  C  <_  ( P `  t ) )
3231r19.21bi 2751 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  C  <_  ( P `  t
) )
3321, 22, 27, 30, 32letrd 9650 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  if ( C  <_  ( 1  /  2 ) ,  C ,  ( 1  /  2 ) )  <_  ( P `  t ) )
341, 33syl5eqbr 4400 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  Q )  ->  D  <_  ( P `  t
) )
3534ex 432 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  Q  ->  D  <_  ( P `  t ) ) )
3619, 35ralrimi 2782 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  Q  D  <_  ( P `  t ) )
37 eleq1 2454 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  (
d  e.  RR+  <->  D  e.  RR+ ) )
38 breq1 4370 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  (
d  <  1  <->  D  <  1 ) )
39 breq1 4370 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  (
d  <_  ( P `  t )  <->  D  <_  ( P `  t ) ) )
4039ralbidv 2821 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  ( A. t  e.  Q  d  <_  ( P `  t )  <->  A. t  e.  Q  D  <_  ( P `  t ) ) )
4137, 38, 403anbi123d 1297 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  (
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  Q  d  <_  ( P `  t ) )  <->  ( D  e.  RR+  /\  D  <  1  /\  A. t  e.  Q  D  <_  ( P `  t ) ) ) )
4241spcegv 3120 . . 3  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( D  e.  RR+  /\  D  <  1  /\  A. t  e.  Q  D  <_  ( P `  t ) )  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  Q  d  <_  ( P `  t ) ) ) )
438, 42syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D  e.  RR+  /\  D  <  1  /\  A. t  e.  Q  D  <_  ( P `  t ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  Q  d  <_  ( P `  t ) ) ) )
448, 18, 36, 43mp3and 1325 1  |-  ( ph  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  Q  d  <_  ( P `  t ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399   E.wex 1620   F/wnf 1624    e. wcel 1826   A.wral 2732    C_ wss 3389   ifcif 3857   class class class wbr 4367   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   RRcr 9402   1c1 9404    < clt 9539    <_ cle 9540    / cdiv 10123   2c2 10502   RR+crp 11139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-2 10511  df-rp 11140
This theorem is referenced by:  stoweidlem28  31976
  Copyright terms: Public domain W3C validator