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Theorem stoweidlem49 27466
Description: There exists a function qn as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the top of page 91): 0 <= qn <= 1 , qn < ε on  T  \  U, and qn > 1 - ε on  V. Here y is used to represent the final qn in the paper (the one with n large enough),  N represents  n in the paper,  K represents  k,  D represents δ,  E represents ε, and  P represents  p. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem49.1  |-  F/_ t P
stoweidlem49.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem49.3  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
stoweidlem49.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem49.5  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
stoweidlem49.6  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
stoweidlem49.7  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
stoweidlem49.8  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
stoweidlem49.9  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
stoweidlem49.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem49.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem49.12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem49.13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem49.14  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem49  |-  ( ph  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  <  (
y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  E )
)
Distinct variable groups:    f, g,
t, A    D, f,
g, t    f, E, g, t    P, f, g    T, f, g, t    ph, f,
g    x, D    x, E    ph, x    y, t, A   
y, U    y, V    x, t, A    x, T    y, E    y, P    y, T
Allowed substitution hints:    ph( y, t)    D( y)    P( x, t)    U( x, t, f, g)    V( x, t, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem49
Dummy variables  k  n  i  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4157 . . . . 5  |-  ( j  =  i  ->  (
( 1  /  D
)  <  j  <->  ( 1  /  D )  < 
i ) )
21cbvrabv 2898 . . . 4  |-  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j }  =  { i  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  i }
3 stoweidlem49.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
4 stoweidlem49.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
52, 3, 4stoweidlem14 27431 . . 3  |-  ( ph  ->  E. k  e.  NN  ( 1  <  (
k  x.  D )  /\  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <  1
) )
6 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  ( k  x.  D ) ) ^ i ) )  =  ( i  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  ( k  x.  D ) ) ^
i ) )
7 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN0  |->  ( ( ( k  x.  D
)  /  2 ) ^ i ) )  =  ( i  e. 
NN0  |->  ( ( ( k  x.  D )  /  2 ) ^
i ) )
8 nnre 9939 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
98adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
103rpred 10580 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
1110adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  D  e.  RR )
129, 11remulcld 9049 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  x.  D )  e.  RR )
1312adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) )  ->  ( k  x.  D )  e.  RR )
14 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) )  ->  1  <  (
k  x.  D ) )
1512rehalfcld 10146 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  x.  D )  /  2 )  e.  RR )
16 nngt0 9961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  k )
1716adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
k )
183rpgt0d 10583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  D )
1918adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
D )
209, 11, 17, 19mulgt0d 9157 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( k  x.  D
) )
21 2re 10001 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
22 2pos 10014 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
2321, 22pm3.2i 442 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
2423a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
25 divgt0 9810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  x.  D )  e.  RR  /\  0  <  ( k  x.  D ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <  ( (
k  x.  D )  /  2 ) )
2612, 20, 24, 25syl21anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( ( k  x.  D )  /  2
) )
2715, 26elrpd 10578 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  x.  D )  /  2 )  e.  RR+ )
2827adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) )  ->  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  e.  RR+ )
29 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) )  ->  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <  1
)
30 stoweidlem49.14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
3130ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) )  ->  E  e.  RR+ )
326, 7, 13, 14, 28, 29, 31stoweidlem7 27424 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( ( ( k  x.  D
)  /  2 ) ^ n ) )  /\  ( 1  / 
( ( k  x.  D ) ^ n
) )  <  E
) )
3332ex 424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  <  ( k  x.  D )  /\  ( ( k  x.  D )  /  2
)  <  1 )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( ( ( k  x.  D
)  /  2 ) ^ n ) )  /\  ( 1  / 
( ( k  x.  D ) ^ n
) )  <  E
) ) )
3433reximdva 2761 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  NN  ( 1  < 
( k  x.  D
)  /\  ( (
k  x.  D )  /  2 )  <  1 )  ->  E. k  e.  NN  E. n  e.  NN  ( ( 1  -  E )  < 
( 1  -  (
( ( k  x.  D )  /  2
) ^ n ) )  /\  ( 1  /  ( ( k  x.  D ) ^
n ) )  < 
E ) ) )
355, 34mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. k  e.  NN  E. n  e.  NN  (
( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  /  2 ) ^
n ) )  /\  ( 1  /  (
( k  x.  D
) ^ n ) )  <  E ) )
36 stoweidlem49.1 . . . . 5  |-  F/_ t P
37 stoweidlem49.2 . . . . . . 7  |-  F/ t
ph
38 nfv 1626 . . . . . . 7  |-  F/ t ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
3937, 38nfan 1836 . . . . . 6  |-  F/ t ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)
40 nfv 1626 . . . . . 6  |-  F/ t ( ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( ( ( k  x.  D
)  /  2 ) ^ n ) )  /\  ( 1  / 
( ( k  x.  D ) ^ n
) )  <  E
)
4139, 40nfan 1836 . . . . 5  |-  F/ t ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )
42 stoweidlem49.3 . . . . 5  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
43 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ n ) ) ^ ( k ^
n ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^
n ) ) ^
( k ^ n
) ) )
44 simplrr 738 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  n  e.  NN )
45 simplrl 737 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  k  e.  NN )
463ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  D  e.  RR+ )
474ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  D  <  1
)
48 stoweidlem49.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
4948ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  P  e.  A
)
50 stoweidlem49.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
5150ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  P : T --> RR )
52 stoweidlem49.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
5352ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
54 stoweidlem49.9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
5554ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
56 simplll 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  f  e.  A
)  ->  ph )
57 stoweidlem49.10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
5856, 57sylancom 649 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  f  e.  A
)  ->  f : T
--> RR )
59 simp1ll 1020 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ph )
60 stoweidlem49.11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
6159, 60syld3an1 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
62 stoweidlem49.12 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
6359, 62syld3an1 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
64 simplll 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ph )
65 stoweidlem49.13 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
6664, 65sylancom 649 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
6730ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  E  e.  RR+ )
68 simprl 733 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( ( ( k  x.  D
)  /  2 ) ^ n ) ) )
69 simprr 734 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  ( 1  / 
( ( k  x.  D ) ^ n
) )  <  E
)
7036, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 53, 55, 58, 61, 63, 66, 67, 68, 69stoweidlem45 27462 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  <  (
y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  E )
)
7170ex 424 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( ( 1  -  E )  < 
( 1  -  (
( ( k  x.  D )  /  2
) ^ n ) )  /\  ( 1  /  ( ( k  x.  D ) ^
n ) )  < 
E )  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  E )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
E ) ) )
7271rexlimdvva 2780 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  NN  E. n  e.  NN  ( ( 1  -  E )  < 
( 1  -  (
( ( k  x.  D )  /  2
) ^ n ) )  /\  ( 1  /  ( ( k  x.  D ) ^
n ) )  < 
E )  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  E )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
E ) ) )
7335, 72mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  <  (
y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  E )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   F/wnf 1550    = wceq 1649    e. wcel 1717   F/_wnfc 2510   A.wral 2649   E.wrex 2650   {crab 2653    \ cdif 3260   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223    / cdiv 9609   NNcn 9932   2c2 9981   NN0cn0 10153   RR+crp 10544   ^cexp 11309
This theorem is referenced by:  stoweidlem52  27469
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-rlim 12210
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