Theorem stoweidlem49 27665

Description: There exists a function q_n as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the top of page 91): 0 <= q_n <= 1 , q_n < ε on T \ U, and q_n > 1 - ε on V. Here y is used to represent the final q_n in the paper (the one with n large enough), N represents n in the paper, K represents k, D represents δ, E represents ε, and P represents p. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem49.1	|- F/_ t P
stoweidlem49.2	|- F/ t ph
stoweidlem49.3	|- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
stoweidlem49.4	|- ( ph -> D e. RR+ )
stoweidlem49.5	|- ( ph -> D < 1 )
stoweidlem49.6	|- ( ph -> P e. A )
stoweidlem49.7	|- ( ph -> P : T --> RR )
stoweidlem49.8	|- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
stoweidlem49.9	|- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
stoweidlem49.10	|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
stoweidlem49.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem49.12	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem49.13	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem49.14	|- ( ph -> E e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem49	|- ( ph -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) )

Distinct variable groups:   f, g, t, A   D, f, g, t   f, E, g, t   P, f, g   T, f, g, t   ph, f, g   x, D   x, E   ph, x   y, t, A   y, U   y, V   x, t, A   x, T   y, E   y, P   y, T

Allowed substitution hints:   ph( y, t)   D( y)   P( x, t)   U( x, t, f, g)   V( x, t, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem49

Dummy variables k n i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4176	. . . . 5 |- ( j = i -> ( ( 1 / D ) < j <-> ( 1 / D ) < i ) )
2	1	cbvrabv 2915	. . . 4 |- { j e. NN | ( 1 / D ) < j } = { i e. NN | ( 1 / D ) < i }
3		stoweidlem49.4	. . . 4 |- ( ph -> D e. RR+ )
4		stoweidlem49.5	. . . 4 |- ( ph -> D < 1 )
5	2, 3, 4	stoweidlem14 27630	. . 3 |- ( ph -> E. k e. NN ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) )
6		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( i e. NN0 |-> ( ( 1 / ( k x. D ) ) ^ i ) ) = ( i e. NN0 |-> ( ( 1 / ( k x. D ) ) ^ i ) )
7		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( i e. NN0 |-> ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ i ) ) = ( i e. NN0 |-> ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ i ) )
8		nnre 9963	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> k e. RR )
9	8	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. RR )
10	3	rpred 10604	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. RR )
11	10	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> D e. RR )
12	9, 11	remulcld 9072	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k x. D ) e. RR )
13	12	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> ( k x. D ) e. RR )
14		simprl 733	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> 1 < ( k x. D ) )
15	12	rehalfcld 10170	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) e. RR )
16		nngt0 9985	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> 0 < k )
17	16	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < k )
18	3	rpgt0d 10607	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < D )
19	18	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < D )
20	9, 11, 17, 19	mulgt0d 9181	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < ( k x. D ) )
21		2re 10025	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
22		2pos 10038	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 2
23	21, 22	pm3.2i 442	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
25		divgt0 9834	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( k x. D ) e. RR /\ 0 < ( k x. D ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 < ( ( k x. D ) / 2 ) )
26	12, 20, 24, 25	syl21anc 1183	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < ( ( k x. D ) / 2 ) )
27	15, 26	elrpd 10602	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) e. RR+ )
28	27	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) e. RR+ )
29		simprr 734	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 )
30		stoweidlem49.14	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR+ )
31	30	ad2antrr 707	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> E e. RR+ )
32	6, 7, 13, 14, 28, 29, 31	stoweidlem7 27623	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) )
33	32	ex 424	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) -> E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) )
34	33	reximdva 2778	. . 3 |- ( ph -> ( E. k e. NN ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) -> E. k e. NN E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) )
35	5, 34	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. k e. NN E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) )
36		stoweidlem49.1	. . . . 5 |- F/_ t P
37		stoweidlem49.2	. . . . . . 7 |- F/ t ph
38		nfv 1626	. . . . . . 7 |- F/ t ( k e. NN /\ n e. NN )
39	37, 38	nfan 1842	. . . . . 6 |- F/ t ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) )
40		nfv 1626	. . . . . 6 |- F/ t ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E )
41	39, 40	nfan 1842	. . . . 5 |- F/ t ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) )
42		stoweidlem49.3	. . . . 5 |- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
43		eqid 2404	. . . . 5 |- ( t e. T |-> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ n ) ) ^ ( k ^ n ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ n ) ) ^ ( k ^ n ) ) )
44		simplrr 738	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> n e. NN )
45		simplrl 737	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> k e. NN )
46	3	ad2antrr 707	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> D e. RR+ )
47	4	ad2antrr 707	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> D < 1 )
48		stoweidlem49.6	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. A )
49	48	ad2antrr 707	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> P e. A )
50		stoweidlem49.7	. . . . . 6 |- ( ph -> P : T --> RR )
51	50	ad2antrr 707	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> P : T --> RR )
52		stoweidlem49.8	. . . . . 6 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
53	52	ad2antrr 707	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
54		stoweidlem49.9	. . . . . 6 |- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
55	54	ad2antrr 707	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
56		simplll 735	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ f e. A ) -> ph )
57		stoweidlem49.10	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
58	56, 57	sylancom 649	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
59		simp1ll 1020	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ph )
60		stoweidlem49.11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
61	59, 60	syld3an1 1230	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
62		stoweidlem49.12	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
63	59, 62	syld3an1 1230	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
64		simplll 735	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ x e. RR ) -> ph )
65		stoweidlem49.13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
66	64, 65	sylancom 649	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
67	30	ad2antrr 707	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> E e. RR+ )
68		simprl 733	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) )
69		simprr 734	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E )
70	36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 53, 55, 58, 61, 63, 66, 67, 68, 69	stoweidlem45 27661	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) )
71	70	ex 424	. . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) ) )
72	71	rexlimdvva 2797	. 2 |- ( ph -> ( E. k e. NN E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) ) )
73	35, 72	mpd 15	1 |- ( ph -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   /\ w3a 936   F/wnf 1550   = wceq 1649   e. wcel 1721   F/_wnfc 2527   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   \ cdif 3277   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   RR+crp 10568   ^cexp 11337

This theorem is referenced by:  stoweidlem52  27668

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238