Theorem stoweidlem49 37199

Description: There exists a function q_n as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the top of page 91): 0 <= q_n <= 1 , q_n < ε on T \ U, and q_n > 1 - ε on V. Here y is used to represent the final q_n in the paper (the one with n large enough), N represents n in the paper, K represents k, D represents δ, E represents ε, and P represents p. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem49.1	|- F/_ t P
stoweidlem49.2	|- F/ t ph
stoweidlem49.3	|- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
stoweidlem49.4	|- ( ph -> D e. RR+ )
stoweidlem49.5	|- ( ph -> D < 1 )
stoweidlem49.6	|- ( ph -> P e. A )
stoweidlem49.7	|- ( ph -> P : T --> RR )
stoweidlem49.8	|- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
stoweidlem49.9	|- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
stoweidlem49.10	|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
stoweidlem49.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem49.12	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem49.13	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem49.14	|- ( ph -> E e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem49	|- ( ph -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) )

Distinct variable groups:   f, g, t, A   D, f, g, t   f, E, g, t   P, f, g   T, f, g, t   ph, f, g   x, D   x, E   ph, x   y, t, A   y, U   y, V   x, t, A   x, T   y, E   y, P   y, T

Allowed substitution hints:   ph( y, t)   D( y)   P( x, t)   U( x, t, f, g)   V( x, t, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem49

Dummy variables k n i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4399	. . . . 5 |- ( j = i -> ( ( 1 / D ) < j <-> ( 1 / D ) < i ) )
2	1	cbvrabv 3058	. . . 4 |- { j e. NN | ( 1 / D ) < j } = { i e. NN | ( 1 / D ) < i }
3		stoweidlem49.4	. . . 4 |- ( ph -> D e. RR+ )
4		stoweidlem49.5	. . . 4 |- ( ph -> D < 1 )
5	2, 3, 4	stoweidlem14 37164	. . 3 |- ( ph -> E. k e. NN ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) )
6		eqid 2402	. . . . . 6 |- ( i e. NN0 |-> ( ( 1 / ( k x. D ) ) ^ i ) ) = ( i e. NN0 |-> ( ( 1 / ( k x. D ) ) ^ i ) )
7		eqid 2402	. . . . . 6 |- ( i e. NN0 |-> ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ i ) ) = ( i e. NN0 |-> ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ i ) )
8		nnre 10583	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> k e. RR )
9	8	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. RR )
10	3	rpred 11304	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. RR )
11	10	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> D e. RR )
12	9, 11	remulcld 9654	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k x. D ) e. RR )
13	12	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> ( k x. D ) e. RR )
14		simprl 756	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> 1 < ( k x. D ) )
15	12	rehalfcld 10826	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) e. RR )
16		nngt0 10605	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> 0 < k )
17	16	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < k )
18	3	rpgt0d 11307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < D )
19	18	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < D )
20	9, 11, 17, 19	mulgt0d 9771	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < ( k x. D ) )
21		2re 10646	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
22		2pos 10668	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 2
23	21, 22	pm3.2i 453	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
25		divgt0 10451	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( k x. D ) e. RR /\ 0 < ( k x. D ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 < ( ( k x. D ) / 2 ) )
26	12, 20, 24, 25	syl21anc 1229	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < ( ( k x. D ) / 2 ) )
27	15, 26	elrpd 11301	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) e. RR+ )
28	27	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) e. RR+ )
29		simprr 758	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 )
30		stoweidlem49.14	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR+ )
31	30	ad2antrr 724	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> E e. RR+ )
32	6, 7, 13, 14, 28, 29, 31	stoweidlem7 37157	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) )
33	32	ex 432	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) -> E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) )
34	33	reximdva 2879	. . 3 |- ( ph -> ( E. k e. NN ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) -> E. k e. NN E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) )
35	5, 34	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. k e. NN E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) )
36		stoweidlem49.1	. . . . 5 |- F/_ t P
37		stoweidlem49.2	. . . . . . 7 |- F/ t ph
38		nfv 1728	. . . . . . 7 |- F/ t ( k e. NN /\ n e. NN )
39	37, 38	nfan 1956	. . . . . 6 |- F/ t ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) )
40		nfv 1728	. . . . . 6 |- F/ t ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E )
41	39, 40	nfan 1956	. . . . 5 |- F/ t ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) )
42		stoweidlem49.3	. . . . 5 |- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
43		eqid 2402	. . . . 5 |- ( t e. T |-> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ n ) ) ^ ( k ^ n ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ n ) ) ^ ( k ^ n ) ) )
44		simplrr 763	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> n e. NN )
45		simplrl 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> k e. NN )
46	3	ad2antrr 724	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> D e. RR+ )
47	4	ad2antrr 724	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> D < 1 )
48		stoweidlem49.6	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. A )
49	48	ad2antrr 724	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> P e. A )
50		stoweidlem49.7	. . . . . 6 |- ( ph -> P : T --> RR )
51	50	ad2antrr 724	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> P : T --> RR )
52		stoweidlem49.8	. . . . . 6 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
53	52	ad2antrr 724	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
54		stoweidlem49.9	. . . . . 6 |- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
55	54	ad2antrr 724	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
56		stoweidlem49.10	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
57	56	adant423 36802	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
58		simp1ll 1060	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ph )
59		stoweidlem49.11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
60	58, 59	syld3an1 1276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
61		stoweidlem49.12	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
62	58, 61	syld3an1 1276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
63		stoweidlem49.13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
64	63	adant423 36802	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
65	30	ad2antrr 724	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> E e. RR+ )
66		simprl 756	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) )
67		simprr 758	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E )
68	36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 60, 62, 64, 65, 66, 67	stoweidlem45 37195	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) )
69	68	ex 432	. . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) ) )
70	69	rexlimdvva 2903	. 2 |- ( ph -> ( E. k e. NN E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) ) )
71	35, 70	mpd 15	1 |- ( ph -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   F/wnf 1637   e. wcel 1842   F/_wnfc 2550   A.wral 2754   E.wrex 2755   {crab 2758   \ cdif 3411   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4453   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523   + caddc 9525   x. cmul 9527   < clt 9658   <_ cle 9659   - cmin 9841   / cdiv 10247   NNcn 10576   2c2 10626   NN0cn0 10836   RR+crp 11265   ^cexp 12210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-rlim 13461

This theorem is referenced by:  stoweidlem52  37202