Theorem stoweidlem49 29984

Description: There exists a function q_n as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the top of page 91): 0 <= q_n <= 1 , q_n < ε on T \ U, and q_n > 1 - ε on V. Here y is used to represent the final q_n in the paper (the one with n large enough), N represents n in the paper, K represents k, D represents δ, E represents ε, and P represents p. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem49.1	|- F/_ t P
stoweidlem49.2	|- F/ t ph
stoweidlem49.3	|- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
stoweidlem49.4	|- ( ph -> D e. RR+ )
stoweidlem49.5	|- ( ph -> D < 1 )
stoweidlem49.6	|- ( ph -> P e. A )
stoweidlem49.7	|- ( ph -> P : T --> RR )
stoweidlem49.8	|- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
stoweidlem49.9	|- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
stoweidlem49.10	|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
stoweidlem49.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem49.12	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem49.13	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem49.14	|- ( ph -> E e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem49	|- ( ph -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) )

Distinct variable groups:   f, g, t, A   D, f, g, t   f, E, g, t   P, f, g   T, f, g, t   ph, f, g   x, D   x, E   ph, x   y, t, A   y, U   y, V   x, t, A   x, T   y, E   y, P   y, T

Allowed substitution hints:   ph( y, t)   D( y)   P( x, t)   U( x, t, f, g)   V( x, t, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem49

Dummy variables k n i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4396	. . . . 5 |- ( j = i -> ( ( 1 / D ) < j <-> ( 1 / D ) < i ) )
2	1	cbvrabv 3069	. . . 4 |- { j e. NN | ( 1 / D ) < j } = { i e. NN | ( 1 / D ) < i }
3		stoweidlem49.4	. . . 4 |- ( ph -> D e. RR+ )
4		stoweidlem49.5	. . . 4 |- ( ph -> D < 1 )
5	2, 3, 4	stoweidlem14 29949	. . 3 |- ( ph -> E. k e. NN ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) )
6		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( i e. NN0 |-> ( ( 1 / ( k x. D ) ) ^ i ) ) = ( i e. NN0 |-> ( ( 1 / ( k x. D ) ) ^ i ) )
7		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( i e. NN0 |-> ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ i ) ) = ( i e. NN0 |-> ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ i ) )
8		nnre 10432	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> k e. RR )
9	8	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. RR )
10	3	rpred 11130	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. RR )
11	10	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> D e. RR )
12	9, 11	remulcld 9517	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k x. D ) e. RR )
13	12	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> ( k x. D ) e. RR )
14		simprl 755	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> 1 < ( k x. D ) )
15	12	rehalfcld 10674	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) e. RR )
16		nngt0 10454	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> 0 < k )
17	16	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < k )
18	3	rpgt0d 11133	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < D )
19	18	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < D )
20	9, 11, 17, 19	mulgt0d 9629	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < ( k x. D ) )
21		2re 10494	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
22		2pos 10516	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 2
23	21, 22	pm3.2i 455	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
25		divgt0 10300	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( k x. D ) e. RR /\ 0 < ( k x. D ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 < ( ( k x. D ) / 2 ) )
26	12, 20, 24, 25	syl21anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < ( ( k x. D ) / 2 ) )
27	15, 26	elrpd 11128	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) e. RR+ )
28	27	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) e. RR+ )
29		simprr 756	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 )
30		stoweidlem49.14	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR+ )
31	30	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> E e. RR+ )
32	6, 7, 13, 14, 28, 29, 31	stoweidlem7 29942	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) )
33	32	ex 434	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) -> E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) )
34	33	reximdva 2926	. . 3 |- ( ph -> ( E. k e. NN ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) -> E. k e. NN E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) )
35	5, 34	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. k e. NN E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) )
36		stoweidlem49.1	. . . . 5 |- F/_ t P
37		stoweidlem49.2	. . . . . . 7 |- F/ t ph
38		nfv 1674	. . . . . . 7 |- F/ t ( k e. NN /\ n e. NN )
39	37, 38	nfan 1863	. . . . . 6 |- F/ t ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) )
40		nfv 1674	. . . . . 6 |- F/ t ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E )
41	39, 40	nfan 1863	. . . . 5 |- F/ t ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) )
42		stoweidlem49.3	. . . . 5 |- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
43		eqid 2451	. . . . 5 |- ( t e. T |-> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ n ) ) ^ ( k ^ n ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ n ) ) ^ ( k ^ n ) ) )
44		simplrr 760	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> n e. NN )
45		simplrl 759	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> k e. NN )
46	3	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> D e. RR+ )
47	4	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> D < 1 )
48		stoweidlem49.6	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. A )
49	48	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> P e. A )
50		stoweidlem49.7	. . . . . 6 |- ( ph -> P : T --> RR )
51	50	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> P : T --> RR )
52		stoweidlem49.8	. . . . . 6 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
53	52	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
54		stoweidlem49.9	. . . . . 6 |- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
55	54	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
56		simplll 757	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ f e. A ) -> ph )
57		stoweidlem49.10	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
58	56, 57	sylancom 667	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
59		simp1ll 1051	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ph )
60		stoweidlem49.11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
61	59, 60	syld3an1 1265	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
62		stoweidlem49.12	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
63	59, 62	syld3an1 1265	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
64		simplll 757	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ x e. RR ) -> ph )
65		stoweidlem49.13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
66	64, 65	sylancom 667	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
67	30	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> E e. RR+ )
68		simprl 755	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) )
69		simprr 756	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E )
70	36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 53, 55, 58, 61, 63, 66, 67, 68, 69	stoweidlem45 29980	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) )
71	70	ex 434	. . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) ) )
72	71	rexlimdvva 2946	. 2 |- ( ph -> ( E. k e. NN E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) ) )
73	35, 72	mpd 15	1 |- ( ph -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   F/wnf 1590   e. wcel 1758   F/_wnfc 2599   A.wral 2795   E.wrex 2796   {crab 2799   \ cdif 3425   class class class wbr 4392   |-> cmpt 4450   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   RRcr 9384   0cc0 9385   1c1 9386   + caddc 9388   x. cmul 9390   < clt 9521   <_ cle 9522   - cmin 9698   / cdiv 10096   NNcn 10425   2c2 10474   NN0cn0 10682   RR+crp 11094   ^cexp 11968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-pm 7319  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-sup 7794  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-rp 11095  df-fl 11745  df-seq 11910  df-exp 11969  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-clim 13070  df-rlim 13071

This theorem is referenced by:  stoweidlem52  29987