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Theorem stoweidlem49 29984
Description: There exists a function qn as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the top of page 91): 0 <= qn <= 1 , qn < ε on  T  \  U, and qn > 1 - ε on  V. Here y is used to represent the final qn in the paper (the one with n large enough),  N represents  n in the paper,  K represents  k,  D represents δ,  E represents ε, and  P represents  p. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem49.1  |-  F/_ t P
stoweidlem49.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem49.3  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
stoweidlem49.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem49.5  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
stoweidlem49.6  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
stoweidlem49.7  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
stoweidlem49.8  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
stoweidlem49.9  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
stoweidlem49.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem49.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem49.12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem49.13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem49.14  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem49  |-  ( ph  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  <  (
y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  E )
)
Distinct variable groups:    f, g,
t, A    D, f,
g, t    f, E, g, t    P, f, g    T, f, g, t    ph, f,
g    x, D    x, E    ph, x    y, t, A   
y, U    y, V    x, t, A    x, T    y, E    y, P    y, T
Allowed substitution hints:    ph( y, t)    D( y)    P( x, t)    U( x, t, f, g)    V( x, t, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem49
Dummy variables  k  n  i  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4396 . . . . 5  |-  ( j  =  i  ->  (
( 1  /  D
)  <  j  <->  ( 1  /  D )  < 
i ) )
21cbvrabv 3069 . . . 4  |-  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j }  =  { i  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  i }
3 stoweidlem49.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
4 stoweidlem49.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
52, 3, 4stoweidlem14 29949 . . 3  |-  ( ph  ->  E. k  e.  NN  ( 1  <  (
k  x.  D )  /\  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <  1
) )
6 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  ( k  x.  D ) ) ^ i ) )  =  ( i  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  ( k  x.  D ) ) ^
i ) )
7 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN0  |->  ( ( ( k  x.  D
)  /  2 ) ^ i ) )  =  ( i  e. 
NN0  |->  ( ( ( k  x.  D )  /  2 ) ^
i ) )
8 nnre 10432 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
98adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
103rpred 11130 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
1110adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  D  e.  RR )
129, 11remulcld 9517 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  x.  D )  e.  RR )
1312adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) )  ->  ( k  x.  D )  e.  RR )
14 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) )  ->  1  <  (
k  x.  D ) )
1512rehalfcld 10674 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  x.  D )  /  2 )  e.  RR )
16 nngt0 10454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  k )
1716adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
k )
183rpgt0d 11133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  D )
1918adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
D )
209, 11, 17, 19mulgt0d 9629 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( k  x.  D
) )
21 2re 10494 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
22 2pos 10516 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
2321, 22pm3.2i 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
2423a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
25 divgt0 10300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  x.  D )  e.  RR  /\  0  <  ( k  x.  D ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <  ( (
k  x.  D )  /  2 ) )
2612, 20, 24, 25syl21anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( ( k  x.  D )  /  2
) )
2715, 26elrpd 11128 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  x.  D )  /  2 )  e.  RR+ )
2827adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) )  ->  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  e.  RR+ )
29 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) )  ->  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <  1
)
30 stoweidlem49.14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
3130ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) )  ->  E  e.  RR+ )
326, 7, 13, 14, 28, 29, 31stoweidlem7 29942 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( ( ( k  x.  D
)  /  2 ) ^ n ) )  /\  ( 1  / 
( ( k  x.  D ) ^ n
) )  <  E
) )
3332ex 434 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  <  ( k  x.  D )  /\  ( ( k  x.  D )  /  2
)  <  1 )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( ( ( k  x.  D
)  /  2 ) ^ n ) )  /\  ( 1  / 
( ( k  x.  D ) ^ n
) )  <  E
) ) )
3433reximdva 2926 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  NN  ( 1  < 
( k  x.  D
)  /\  ( (
k  x.  D )  /  2 )  <  1 )  ->  E. k  e.  NN  E. n  e.  NN  ( ( 1  -  E )  < 
( 1  -  (
( ( k  x.  D )  /  2
) ^ n ) )  /\  ( 1  /  ( ( k  x.  D ) ^
n ) )  < 
E ) ) )
355, 34mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. k  e.  NN  E. n  e.  NN  (
( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  /  2 ) ^
n ) )  /\  ( 1  /  (
( k  x.  D
) ^ n ) )  <  E ) )
36 stoweidlem49.1 . . . . 5  |-  F/_ t P
37 stoweidlem49.2 . . . . . . 7  |-  F/ t
ph
38 nfv 1674 . . . . . . 7  |-  F/ t ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
3937, 38nfan 1863 . . . . . 6  |-  F/ t ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)
40 nfv 1674 . . . . . 6  |-  F/ t ( ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( ( ( k  x.  D
)  /  2 ) ^ n ) )  /\  ( 1  / 
( ( k  x.  D ) ^ n
) )  <  E
)
4139, 40nfan 1863 . . . . 5  |-  F/ t ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )
42 stoweidlem49.3 . . . . 5  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
43 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ n ) ) ^ ( k ^
n ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^
n ) ) ^
( k ^ n
) ) )
44 simplrr 760 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  n  e.  NN )
45 simplrl 759 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  k  e.  NN )
463ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  D  e.  RR+ )
474ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  D  <  1
)
48 stoweidlem49.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
4948ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  P  e.  A
)
50 stoweidlem49.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
5150ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  P : T --> RR )
52 stoweidlem49.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
5352ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
54 stoweidlem49.9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
5554ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
56 simplll 757 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  f  e.  A
)  ->  ph )
57 stoweidlem49.10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
5856, 57sylancom 667 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  f  e.  A
)  ->  f : T
--> RR )
59 simp1ll 1051 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ph )
60 stoweidlem49.11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
6159, 60syld3an1 1265 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
62 stoweidlem49.12 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
6359, 62syld3an1 1265 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
64 simplll 757 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ph )
65 stoweidlem49.13 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
6664, 65sylancom 667 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
6730ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  E  e.  RR+ )
68 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( ( ( k  x.  D
)  /  2 ) ^ n ) ) )
69 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  ( 1  / 
( ( k  x.  D ) ^ n
) )  <  E
)
7036, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 53, 55, 58, 61, 63, 66, 67, 68, 69stoweidlem45 29980 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( k  x.  D )  / 
2 ) ^ n
) )  /\  (
1  /  ( ( k  x.  D ) ^ n ) )  <  E ) )  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  <  (
y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  E )
)
7170ex 434 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( ( 1  -  E )  < 
( 1  -  (
( ( k  x.  D )  /  2
) ^ n ) )  /\  ( 1  /  ( ( k  x.  D ) ^
n ) )  < 
E )  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  E )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
E ) ) )
7271rexlimdvva 2946 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  NN  E. n  e.  NN  ( ( 1  -  E )  < 
( 1  -  (
( ( k  x.  D )  /  2
) ^ n ) )  /\  ( 1  /  ( ( k  x.  D ) ^
n ) )  < 
E )  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  E )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
E ) ) )
7335, 72mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  <  (
y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  E )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   F/wnf 1590    e. wcel 1758   F/_wnfc 2599   A.wral 2795   E.wrex 2796   {crab 2799    \ cdif 3425   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   RRcr 9384   0cc0 9385   1c1 9386    + caddc 9388    x. cmul 9390    < clt 9521    <_ cle 9522    - cmin 9698    / cdiv 10096   NNcn 10425   2c2 10474   NN0cn0 10682   RR+crp 11094   ^cexp 11968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-pm 7319  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-sup 7794  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-rp 11095  df-fl 11745  df-seq 11910  df-exp 11969  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-clim 13070  df-rlim 13071
This theorem is referenced by:  stoweidlem52  29987
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