Theorem stoweidlem49 31168

Description: There exists a function q_n as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the top of page 91): 0 <= q_n <= 1 , q_n < ε on T \ U, and q_n > 1 - ε on V. Here y is used to represent the final q_n in the paper (the one with n large enough), N represents n in the paper, K represents k, D represents δ, E represents ε, and P represents p. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem49.1	|- F/_ t P
stoweidlem49.2	|- F/ t ph
stoweidlem49.3	|- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
stoweidlem49.4	|- ( ph -> D e. RR+ )
stoweidlem49.5	|- ( ph -> D < 1 )
stoweidlem49.6	|- ( ph -> P e. A )
stoweidlem49.7	|- ( ph -> P : T --> RR )
stoweidlem49.8	|- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
stoweidlem49.9	|- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
stoweidlem49.10	|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
stoweidlem49.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem49.12	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem49.13	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem49.14	|- ( ph -> E e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem49	|- ( ph -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) )

Distinct variable groups:   f, g, t, A   D, f, g, t   f, E, g, t   P, f, g   T, f, g, t   ph, f, g   x, D   x, E   ph, x   y, t, A   y, U   y, V   x, t, A   x, T   y, E   y, P   y, T

Allowed substitution hints:   ph( y, t)   D( y)   P( x, t)   U( x, t, f, g)   V( x, t, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem49

Dummy variables k n i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4444	. . . . 5 |- ( j = i -> ( ( 1 / D ) < j <-> ( 1 / D ) < i ) )
2	1	cbvrabv 3105	. . . 4 |- { j e. NN | ( 1 / D ) < j } = { i e. NN | ( 1 / D ) < i }
3		stoweidlem49.4	. . . 4 |- ( ph -> D e. RR+ )
4		stoweidlem49.5	. . . 4 |- ( ph -> D < 1 )
5	2, 3, 4	stoweidlem14 31133	. . 3 |- ( ph -> E. k e. NN ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) )
6		eqid 2460	. . . . . 6 |- ( i e. NN0 |-> ( ( 1 / ( k x. D ) ) ^ i ) ) = ( i e. NN0 |-> ( ( 1 / ( k x. D ) ) ^ i ) )
7		eqid 2460	. . . . . 6 |- ( i e. NN0 |-> ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ i ) ) = ( i e. NN0 |-> ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ i ) )
8		nnre 10532	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> k e. RR )
9	8	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. RR )
10	3	rpred 11245	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. RR )
11	10	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> D e. RR )
12	9, 11	remulcld 9613	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k x. D ) e. RR )
13	12	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> ( k x. D ) e. RR )
14		simprl 755	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> 1 < ( k x. D ) )
15	12	rehalfcld 10774	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) e. RR )
16		nngt0 10554	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> 0 < k )
17	16	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < k )
18	3	rpgt0d 11248	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < D )
19	18	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < D )
20	9, 11, 17, 19	mulgt0d 9725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < ( k x. D ) )
21		2re 10594	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
22		2pos 10616	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 2
23	21, 22	pm3.2i 455	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
25		divgt0 10399	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( k x. D ) e. RR /\ 0 < ( k x. D ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 < ( ( k x. D ) / 2 ) )
26	12, 20, 24, 25	syl21anc 1222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < ( ( k x. D ) / 2 ) )
27	15, 26	elrpd 11243	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) e. RR+ )
28	27	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) e. RR+ )
29		simprr 756	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 )
30		stoweidlem49.14	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR+ )
31	30	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> E e. RR+ )
32	6, 7, 13, 14, 28, 29, 31	stoweidlem7 31126	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) )
33	32	ex 434	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) -> E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) )
34	33	reximdva 2931	. . 3 |- ( ph -> ( E. k e. NN ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) -> E. k e. NN E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) )
35	5, 34	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. k e. NN E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) )
36		stoweidlem49.1	. . . . 5 |- F/_ t P
37		stoweidlem49.2	. . . . . . 7 |- F/ t ph
38		nfv 1678	. . . . . . 7 |- F/ t ( k e. NN /\ n e. NN )
39	37, 38	nfan 1870	. . . . . 6 |- F/ t ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) )
40		nfv 1678	. . . . . 6 |- F/ t ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E )
41	39, 40	nfan 1870	. . . . 5 |- F/ t ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) )
42		stoweidlem49.3	. . . . 5 |- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
43		eqid 2460	. . . . 5 |- ( t e. T |-> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ n ) ) ^ ( k ^ n ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ n ) ) ^ ( k ^ n ) ) )
44		simplrr 760	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> n e. NN )
45		simplrl 759	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> k e. NN )
46	3	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> D e. RR+ )
47	4	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> D < 1 )
48		stoweidlem49.6	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. A )
49	48	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> P e. A )
50		stoweidlem49.7	. . . . . 6 |- ( ph -> P : T --> RR )
51	50	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> P : T --> RR )
52		stoweidlem49.8	. . . . . 6 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
53	52	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
54		stoweidlem49.9	. . . . . 6 |- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
55	54	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
56		simplll 757	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ f e. A ) -> ph )
57		stoweidlem49.10	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
58	56, 57	sylancom 667	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
59		simp1ll 1054	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ph )
60		stoweidlem49.11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
61	59, 60	syld3an1 1269	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
62		stoweidlem49.12	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
63	59, 62	syld3an1 1269	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
64		simplll 757	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ x e. RR ) -> ph )
65		stoweidlem49.13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
66	64, 65	sylancom 667	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
67	30	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> E e. RR+ )
68		simprl 755	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) )
69		simprr 756	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E )
70	36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 53, 55, 58, 61, 63, 66, 67, 68, 69	stoweidlem45 31164	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) )
71	70	ex 434	. . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) ) )
72	71	rexlimdvva 2955	. 2 |- ( ph -> ( E. k e. NN E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) ) )
73	35, 72	mpd 15	1 |- ( ph -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   F/wnf 1594   e. wcel 1762   F/_wnfc 2608   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   \ cdif 3466   class class class wbr 4440   |-> cmpt 4498   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   + caddc 9484   x. cmul 9486   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9794   / cdiv 10195   NNcn 10525   2c2 10574   NN0cn0 10784   RR+crp 11209   ^cexp 12122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-rlim 13261

This theorem is referenced by:  stoweidlem52  31171