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Theorem stoweidlem48 29984
Description: This lemma is used to prove that  x built as in Lemma 2 of [BrosowskiDeutsh] p. 91, is such that x < ε on  A. Here  X is used to represent  x in the paper,  E is used to represent ε in the paper, and  D is used to represent  A in the paper (because  A is always used to represent the subalgebra). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem48.1  |-  F/ i
ph
stoweidlem48.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem48.3  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
stoweidlem48.4  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
stoweidlem48.5  |-  X  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 M )
stoweidlem48.6  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
stoweidlem48.7  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
stoweidlem48.8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem48.9  |-  ( ph  ->  W : ( 1 ... M ) --> V )
stoweidlem48.10  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
stoweidlem48.11  |-  ( ph  ->  D  C_  U. ran  W
)
stoweidlem48.12  |-  ( ph  ->  D  C_  T )
stoweidlem48.13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( U `
 i ) `  t )  <  E
)
stoweidlem48.14  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
stoweidlem48.15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem48.16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem48.17  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem48  |-  ( ph  ->  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E )
Distinct variable groups:    f, g, h, t, A    f, i, T, h, t    f, F, g    f, M, g    U, f, g, h, t   
f, Y, g    ph, f,
g    T, g    D, i   
i, E    i, M    U, i    i, W
Allowed substitution hints:    ph( t, h, i)    A( i)    D( t, f, g, h)    P( t, f, g, h, i)    E( t, f, g, h)    F( t, h, i)    M( t, h)    V( t, f, g, h, i)    W( t, f, g, h)    X( t, f, g, h, i)    Y( t, h, i)    Z( t, f, g, h, i)

Proof of Theorem stoweidlem48
Dummy variables  j 
k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem48.2 . 2  |-  F/ t
ph
2 stoweidlem48.12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  C_  T )
32sselda 3457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  t  e.  T )
4 stoweidlem48.1 . . . . . 6  |-  F/ i
ph
5 stoweidlem48.3 . . . . . . 7  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
6 nfra1 2806 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )
7 nfcv 2613 . . . . . . . 8  |-  F/_ t A
86, 7nfrab 3001 . . . . . . 7  |-  F/_ t { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
95, 8nfcxfr 2611 . . . . . 6  |-  F/_ t Y
10 stoweidlem48.4 . . . . . 6  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
11 stoweidlem48.5 . . . . . 6  |-  X  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 M )
12 stoweidlem48.6 . . . . . 6  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
13 stoweidlem48.7 . . . . . 6  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
14 stoweidlem48.14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
15 stoweidlem48.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
16 stoweidlem48.10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
175eleq2i 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  Y  <->  f  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) } )
18 fveq1 5791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  f  ->  (
h `  t )  =  ( f `  t ) )
1918breq2d 4405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  f  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( f `  t ) ) )
2018breq1d 4403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  f  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( f `  t )  <_  1
) )
2119, 20anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  f  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
f `  t )  /\  ( f `  t
)  <_  1 ) ) )
2221ralbidv 2841 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  f  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
f `  t )  /\  ( f `  t
)  <_  1 ) ) )
2322elrab 3217 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  <->  ( f  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( f `  t )  /\  (
f `  t )  <_  1 ) ) )
2417, 23sylbb 197 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  Y  ->  (
f  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( f `  t )  /\  (
f `  t )  <_  1 ) ) )
2524simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  Y  ->  f  e.  A )
26 stoweidlem48.15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
2725, 26sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
28 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )
29 stoweidlem48.16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
301, 5, 28, 26, 29stoweidlem16 29952 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
314, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 27, 30fmuldfeq 29905 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  =  ( Z `  t ) )
323, 31syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( X `  t )  =  ( Z `  t ) )
33 elnnuz 11001 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3415, 33sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
3534adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
36 nfv 1674 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i  t  e.  T
374, 36nfan 1863 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ph  /\  t  e.  T )
3816fnvinran 29877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i )  e.  Y )
39 fveq1 5791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
h `  t )  =  ( ( U `
 i ) `  t ) )
4039breq2d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( ( U `  i
) `  t )
) )
4139breq1d 4403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( ( U `  i ) `  t )  <_  1
) )
4240, 41anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
( U `  i
) `  t )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  <_  1 ) ) )
4342ralbidv 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( U `  i
) `  t )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  <_  1 ) ) )
4443, 5elrab2 3219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U `  i )  e.  Y  <->  ( ( U `  i )  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( ( U `
 i ) `  t )  /\  (
( U `  i
) `  t )  <_  1 ) ) )
4538, 44sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( U `  i
)  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( ( U `  i ) `  t )  /\  (
( U `  i
) `  t )  <_  1 ) ) )
4645simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i )  e.  A )
47 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
4847, 46jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  /\  ( U `  i )  e.  A
) )
49 eleq1 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f  e.  A  <->  ( U `  i )  e.  A
) )
5049anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  ( U `  i
)  e.  A ) ) )
51 feq1 5643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
5250, 51imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( U `  i )  e.  A )  -> 
( U `  i
) : T --> RR ) ) )
5352, 26vtoclg 3129 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U `  i )  e.  A  ->  (
( ph  /\  ( U `  i )  e.  A )  ->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
5446, 48, 53sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
5554adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
56 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  t  e.  T )
5755, 56ffvelrnd 5946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  e.  RR )
58 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) )
5937, 57, 58fmptdf 5970 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) : ( 1 ... M ) --> RR )
60 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
61 ovex 6218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
62 mptexg 6049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... M )  e.  _V  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
)  e.  _V )
6361, 62mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
)  e.  _V )
6412fvmpt2 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )  e.  _V )  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) )
6560, 63, 64syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) ) )
6665feq1d 5647 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
) : ( 1 ... M ) --> RR  <->  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) : ( 1 ... M ) --> RR ) )
6759, 66mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t ) : ( 1 ... M ) --> RR )
683, 67syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t ) : ( 1 ... M ) --> RR )
6968fnvinran 29877 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  k )  e.  RR )
70 remulcl 9471 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  ( k  x.  j
)  e.  RR )
7170adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  (
k  e.  RR  /\  j  e.  RR )
)  ->  ( k  x.  j )  e.  RR )
7235, 69, 71seqcl 11936 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  M
)  e.  RR )
7313fvmpt2 5883 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  T  /\  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M )  e.  RR )  ->  ( Z `  t )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
743, 72, 73syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( Z `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
75 nfcv 2613 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i T
76 nfmpt1 4482 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )
7775, 76nfmpt 4481 . . . . . . . 8  |-  F/_ i
( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
7812, 77nfcxfr 2611 . . . . . . 7  |-  F/_ i F
79 nfcv 2613 . . . . . . 7  |-  F/_ i
t
8078, 79nffv 5799 . . . . . 6  |-  F/_ i
( F `  t
)
81 nfv 1674 . . . . . . 7  |-  F/ i  t  e.  D
824, 81nfan 1863 . . . . . 6  |-  F/ i ( ph  /\  t  e.  D )
83 nfcv 2613 . . . . . 6  |-  F/_ j  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) )
84 eqid 2451 . . . . . 6  |-  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) )  =  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) )
8515adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  M  e.  NN )
86 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
87 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
883adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  t  e.  T )
8945simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( ( U `
 i ) `  t )  /\  (
( U `  i
) `  t )  <_  1 ) )
9089r19.21bi 2913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( ( U `  i ) `  t )  /\  (
( U `  i
) `  t )  <_  1 ) )
9190simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( U `  i ) `  t
) )
9286, 87, 88, 91syl21anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  0  <_  ( ( U `  i ) `  t
) )
9365fveq1d 5794 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i ) )
9486, 88, 93syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i ) )
9586, 88, 87, 57syl21anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  e.  RR )
9658fvmpt2 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  e.  RR )  ->  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i )  =  ( ( U `  i ) `  t
) )
9787, 95, 96syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) `  i
)  =  ( ( U `  i ) `
 t ) )
9894, 97eqtrd 2492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( U `
 i ) `  t ) )
9992, 98breqtrrd 4419 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  0  <_  ( ( F `  t ) `  i
) )
10090simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( U `  i
) `  t )  <_  1 )
10186, 87, 88, 100syl21anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  <_  1 )
10298, 101eqbrtrd 4413 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  <_  1 )
103 stoweidlem48.17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
104103adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  E  e.  RR+ )
105 stoweidlem48.11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  C_  U. ran  W
)
106105sselda 3457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  t  e.  U. ran  W )
107 eluni 4195 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  U. ran  W  <->  E. w ( t  e.  w  /\  w  e. 
ran  W ) )
108106, 107sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  E. w
( t  e.  w  /\  w  e.  ran  W ) )
109 stoweidlem48.9 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  W : ( 1 ... M ) --> V )
110 ffn 5660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W : ( 1 ... M ) --> V  ->  W  Fn  ( 1 ... M ) )
111 fvelrnb 5841 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  Fn  ( 1 ... M )  ->  (
w  e.  ran  W  <->  E. j  e.  ( 1 ... M ) ( W `  j )  =  w ) )
112109, 110, 1113syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ran  W  <->  E. j  e.  (
1 ... M ) ( W `  j )  =  w ) )
113112biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ran  W )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M
) ( W `  j )  =  w )
114113adantrl 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  w  /\  w  e.  ran  W ) )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M ) ( W `  j
)  =  w )
115 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  w )  /\  ( W `  j )  =  w )  ->  t  e.  w )
116 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  w )  /\  ( W `  j )  =  w )  ->  ( W `  j )  =  w )
117115, 116eleqtrrd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  w )  /\  ( W `  j )  =  w )  ->  t  e.  ( W `  j
) )
118117ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  w )  ->  (
( W `  j
)  =  w  -> 
t  e.  ( W `
 j ) ) )
119118reximdv 2926 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  w )  ->  ( E. j  e.  (
1 ... M ) ( W `  j )  =  w  ->  E. j  e.  ( 1 ... M
) t  e.  ( W `  j ) ) )
120119adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  w  /\  w  e.  ran  W ) )  ->  ( E. j  e.  ( 1 ... M
) ( W `  j )  =  w  ->  E. j  e.  ( 1 ... M ) t  e.  ( W `
 j ) ) )
121114, 120mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  w  /\  w  e.  ran  W ) )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M ) t  e.  ( W `
 j ) )
122121ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  w  /\  w  e. 
ran  W )  ->  E. j  e.  (
1 ... M ) t  e.  ( W `  j ) ) )
123122exlimdv 1691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. w ( t  e.  w  /\  w  e.  ran  W )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M ) t  e.  ( W `
 j ) ) )
124123adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( E. w ( t  e.  w  /\  w  e. 
ran  W )  ->  E. j  e.  (
1 ... M ) t  e.  ( W `  j ) ) )
125108, 124mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M
) t  e.  ( W `  j ) )
126 simplll 757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  (
1 ... M ) )  /\  t  e.  ( W `  j ) )  ->  ph )
127 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  (
1 ... M ) )  /\  t  e.  ( W `  j ) )  ->  j  e.  ( 1 ... M
) )
128 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  (
1 ... M ) )  /\  t  e.  ( W `  j ) )  ->  t  e.  ( W `  j ) )
129 nfv 1674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i  j  e.  ( 1 ... M )
130 nfv 1674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i  t  e.  ( W `
 j )
1314, 129, 130nf3an 1865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  ( W `  j ) )
132 nfv 1674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i ( ( U `  j ) `  t
)  <  E
133131, 132nfim 1855 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M )  /\  t  e.  ( W `  j ) )  -> 
( ( U `  j ) `  t
)  <  E )
134 eleq1 2523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  j  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  <->  j  e.  ( 1 ... M
) ) )
135 fveq2 5792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  j  ->  ( W `  i )  =  ( W `  j ) )
136135eleq2d 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  j  ->  (
t  e.  ( W `
 i )  <->  t  e.  ( W `  j ) ) )
137134, 1363anbi23d 1293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  j  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  ( W `  i ) )  <->  ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M )  /\  t  e.  ( W `  j ) ) ) )
138 fveq2 5792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  j  ->  ( U `  i )  =  ( U `  j ) )
139138fveq1d 5794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  j  ->  (
( U `  i
) `  t )  =  ( ( U `
 j ) `  t ) )
140139breq1d 4403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( U `  i ) `  t
)  <  E  <->  ( ( U `  j ) `  t )  <  E
) )
141137, 140imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M )  /\  t  e.  ( W `  i ) )  -> 
( ( U `  i ) `  t
)  <  E )  <->  ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  ( W `  j ) )  ->  ( ( U `  j ) `  t )  <  E
) ) )
142 stoweidlem48.13 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( U `
 i ) `  t )  <  E
)
143142r19.21bi 2913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  <  E )
1441433impa 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  ( W `  i ) )  ->  ( ( U `  i ) `  t )  <  E
)
145133, 141, 144chvar 1966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  ( W `  j ) )  ->  ( ( U `  j ) `  t )  <  E
)
146126, 127, 128, 145syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  (
1 ... M ) )  /\  t  e.  ( W `  j ) )  ->  ( ( U `  j ) `  t )  <  E
)
147146ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
t  e.  ( W `
 j )  -> 
( ( U `  j ) `  t
)  <  E )
)
148147reximdva 2927 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( E. j  e.  (
1 ... M ) t  e.  ( W `  j )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M
) ( ( U `
 j ) `  t )  <  E
) )
149125, 148mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M
) ( ( U `
 j ) `  t )  <  E
)
15082, 129nfan 1863 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  (
1 ... M ) )
151 nfcv 2613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
j
15280, 151nffv 5799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( ( F `  t ) `  j
)
153152nfeq1 2627 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ( F `  t ) `  j
)  =  ( ( U `  j ) `
 t )
154150, 153nfim 1855 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  j )  =  ( ( U `  j
) `  t )
)
155134anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  (
1 ... M ) )  <-> 
( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  (
1 ... M ) ) ) )
156 fveq2 5792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  j  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( F `
 t ) `  j ) )
157156, 139eqeq12d 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( F `  t ) `  i
)  =  ( ( U `  i ) `
 t )  <->  ( ( F `  t ) `  j )  =  ( ( U `  j
) `  t )
) )
158155, 157imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  i )  =  ( ( U `  i
) `  t )
)  <->  ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  j )  =  ( ( U `
 j ) `  t ) ) ) )
159154, 158, 98chvar 1966 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  j )  =  ( ( U `
 j ) `  t ) )
160159breq1d 4403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ( F `  t ) `  j
)  <  E  <->  ( ( U `  j ) `  t )  <  E
) )
161160biimprd 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ( U `  j ) `  t
)  <  E  ->  ( ( F `  t
) `  j )  <  E ) )
162161reximdva 2927 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( E. j  e.  (
1 ... M ) ( ( U `  j
) `  t )  <  E  ->  E. j  e.  ( 1 ... M
) ( ( F `
 t ) `  j )  <  E
) )
163149, 162mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M
) ( ( F `
 t ) `  j )  <  E
)
16480, 82, 83, 84, 85, 68, 99, 102, 104, 163fmul01lt1 29908 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  M
)  <  E )
16574, 164eqbrtrd 4413 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( Z `  t )  <  E )
16632, 165eqbrtrd 4413 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( X `  t )  <  E )
167166ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  D  ->  ( X `  t
)  <  E )
)
1681, 167ralrimi 2818 1  |-  ( ph  ->  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587   F/wnf 1590    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   {crab 2799   _Vcvv 3071    C_ wss 3429   U.cuni 4192   class class class wbr 4393    |-> cmpt 4451   ran crn 4942    Fn wfn 5514   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    |-> cmpt2 6195   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387    x. cmul 9391    < clt 9522    <_ cle 9523   NNcn 10426   ZZ>=cuz 10965   RR+crp 11095   ...cfz 11547    seqcseq 11916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-rp 11096  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917
This theorem is referenced by:  stoweidlem51  29987
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