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Theorem stoweidlem48 27467
Description: This lemma is used to prove that  x built as in Lemma 2 of [BrosowskiDeutsh] p. 91, is such that x < ε on  A. Here  X is used to represent  x in the paper,  E is used to represent ε in the paper, and  D is used to represent  A in the paper (because  A is always used to represent the subalgebra). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem48.1  |-  F/ i
ph
stoweidlem48.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem48.3  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
stoweidlem48.4  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
stoweidlem48.5  |-  X  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 M )
stoweidlem48.6  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
stoweidlem48.7  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
stoweidlem48.8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem48.9  |-  ( ph  ->  W : ( 1 ... M ) --> V )
stoweidlem48.10  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
stoweidlem48.11  |-  ( ph  ->  D  C_  U. ran  W
)
stoweidlem48.12  |-  ( ph  ->  D  C_  T )
stoweidlem48.13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( U `
 i ) `  t )  <  E
)
stoweidlem48.14  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
stoweidlem48.15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem48.16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem48.17  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem48  |-  ( ph  ->  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E )
Distinct variable groups:    f, g, h, t, A    f, i, T, h, t    f, F, g    f, M, g    U, f, g, h, t   
f, Y, g    ph, f,
g    T, g    D, i   
i, E    i, M    U, i    i, W
Allowed substitution hints:    ph( t, h, i)    A( i)    D( t, f, g, h)    P( t, f, g, h, i)    E( t, f, g, h)    F( t, h, i)    M( t, h)    V( t, f, g, h, i)    W( t, f, g, h)    X( t, f, g, h, i)    Y( t, h, i)    Z( t, f, g, h, i)

Proof of Theorem stoweidlem48
Dummy variables  j 
k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem48.2 . 2  |-  F/ t
ph
2 stoweidlem48.12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  C_  T )
32sselda 3293 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  t  e.  T )
4 stoweidlem48.1 . . . . . 6  |-  F/ i
ph
5 stoweidlem48.3 . . . . . . 7  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
6 nfra1 2701 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )
7 nfcv 2525 . . . . . . . 8  |-  F/_ t A
86, 7nfrab 2834 . . . . . . 7  |-  F/_ t { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
95, 8nfcxfr 2522 . . . . . 6  |-  F/_ t Y
10 stoweidlem48.4 . . . . . 6  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
11 stoweidlem48.5 . . . . . 6  |-  X  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 M )
12 stoweidlem48.6 . . . . . 6  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
13 stoweidlem48.7 . . . . . 6  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
14 stoweidlem48.14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
15 stoweidlem48.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
16 stoweidlem48.10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
175eleq2i 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  Y  <->  f  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) } )
1817biimpi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  Y  ->  f  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) } )
19 fveq1 5669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  f  ->  (
h `  t )  =  ( f `  t ) )
2019breq2d 4167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  f  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( f `  t ) ) )
2119breq1d 4165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  f  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( f `  t )  <_  1
) )
2220, 21anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  f  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
f `  t )  /\  ( f `  t
)  <_  1 ) ) )
2322ralbidv 2671 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  f  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
f `  t )  /\  ( f `  t
)  <_  1 ) ) )
2423elrab 3037 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  <->  ( f  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( f `  t )  /\  (
f `  t )  <_  1 ) ) )
2518, 24sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  Y  ->  (
f  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( f `  t )  /\  (
f `  t )  <_  1 ) ) )
2625simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  Y  ->  f  e.  A )
27 stoweidlem48.15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
2826, 27sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
29 eqid 2389 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )
30 stoweidlem48.16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
311, 5, 29, 27, 30stoweidlem16 27435 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
324, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 28, 31fmuldfeq 27383 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  =  ( Z `  t ) )
333, 32syldan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( X `  t )  =  ( Z `  t ) )
34 elnnuz 10456 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3515, 34sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
3635adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
37 nfv 1626 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i  t  e.  T
384, 37nfan 1836 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ph  /\  t  e.  T )
3916fnvinran 27355 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i )  e.  Y )
40 fveq1 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
h `  t )  =  ( ( U `
 i ) `  t ) )
4140breq2d 4167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( ( U `  i
) `  t )
) )
4240breq1d 4165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( ( U `  i ) `  t )  <_  1
) )
4341, 42anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
( U `  i
) `  t )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  <_  1 ) ) )
4443ralbidv 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  ( U `  i )  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( U `  i
) `  t )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  <_  1 ) ) )
4544, 5elrab2 3039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U `  i )  e.  Y  <->  ( ( U `  i )  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( ( U `
 i ) `  t )  /\  (
( U `  i
) `  t )  <_  1 ) ) )
4639, 45sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( U `  i
)  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( ( U `  i ) `  t )  /\  (
( U `  i
) `  t )  <_  1 ) ) )
4746simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i )  e.  A )
48 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
4948, 47jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  /\  ( U `  i )  e.  A
) )
50 eleq1 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f  e.  A  <->  ( U `  i )  e.  A
) )
5150anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  ( U `  i
)  e.  A ) ) )
52 feq1 5518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
5351, 52imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( U `  i )  e.  A )  -> 
( U `  i
) : T --> RR ) ) )
5427a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  A  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR ) )
5553, 54vtoclga 2962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U `  i )  e.  A  ->  (
( ph  /\  ( U `  i )  e.  A )  ->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
5647, 49, 55sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
5756adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
58 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  t  e.  T )
5957, 58ffvelrnd 5812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  e.  RR )
60 eqid 2389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) )
6138, 59, 60fmptdf 27388 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) : ( 1 ... M ) --> RR )
62 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
63 ovex 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
64 mptexg 5906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... M )  e.  _V  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
)  e.  _V )
6563, 64mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
)  e.  _V )
6612fvmpt2 5753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )  e.  _V )  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) )
6762, 65, 66syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) ) )
6867feq1d 5522 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
) : ( 1 ... M ) --> RR  <->  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) : ( 1 ... M ) --> RR ) )
6961, 68mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t ) : ( 1 ... M ) --> RR )
703, 69syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t ) : ( 1 ... M ) --> RR )
7170fnvinran 27355 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  k )  e.  RR )
72 remulcl 9010 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  ( k  x.  j
)  e.  RR )
7372adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  (
k  e.  RR  /\  j  e.  RR )
)  ->  ( k  x.  j )  e.  RR )
7436, 71, 73seqcl 11272 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  M
)  e.  RR )
7513fvmpt2 5753 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  T  /\  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M )  e.  RR )  ->  ( Z `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
763, 74, 75syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( Z `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
77 nfcv 2525 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i T
78 nfmpt1 4241 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )
7977, 78nfmpt 4240 . . . . . . . 8  |-  F/_ i
( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
8012, 79nfcxfr 2522 . . . . . . 7  |-  F/_ i F
81 nfcv 2525 . . . . . . 7  |-  F/_ i
t
8280, 81nffv 5677 . . . . . 6  |-  F/_ i
( F `  t
)
83 nfv 1626 . . . . . . 7  |-  F/ i  t  e.  D
844, 83nfan 1836 . . . . . 6  |-  F/ i ( ph  /\  t  e.  D )
85 nfcv 2525 . . . . . 6  |-  F/_ j  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) )
86 eqid 2389 . . . . . 6  |-  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) )  =  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) )
8715adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  M  e.  NN )
88 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
89 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
903adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  t  e.  T )
9146simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( ( U `
 i ) `  t )  /\  (
( U `  i
) `  t )  <_  1 ) )
9291r19.21bi 2749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( ( U `  i ) `  t )  /\  (
( U `  i
) `  t )  <_  1 ) )
9392simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( U `  i ) `  t
) )
9488, 89, 90, 93syl21anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  0  <_  ( ( U `  i ) `  t
) )
9567fveq1d 5672 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i ) )
9688, 90, 95syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i ) )
9788, 90, 89, 59syl21anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  e.  RR )
9860fvmpt2 5753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  e.  RR )  ->  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i )  =  ( ( U `  i ) `  t
) )
9989, 97, 98syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) `  i
)  =  ( ( U `  i ) `
 t ) )
10096, 99eqtrd 2421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( U `
 i ) `  t ) )
10194, 100breqtrrd 4181 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  0  <_  ( ( F `  t ) `  i
) )
10292simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( U `  i
) `  t )  <_  1 )
10388, 89, 90, 102syl21anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  <_  1 )
104100, 103eqbrtrd 4175 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  <_  1 )
105 stoweidlem48.17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
106105adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  E  e.  RR+ )
107 stoweidlem48.11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  C_  U. ran  W
)
108107sselda 3293 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  t  e.  U. ran  W )
109 eluni 3962 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  U. ran  W  <->  E. w ( t  e.  w  /\  w  e. 
ran  W ) )
110108, 109sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  E. w
( t  e.  w  /\  w  e.  ran  W ) )
111 stoweidlem48.9 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  W : ( 1 ... M ) --> V )
112 ffn 5533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W : ( 1 ... M ) --> V  ->  W  Fn  ( 1 ... M ) )
113 fvelrnb 5715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  Fn  ( 1 ... M )  ->  (
w  e.  ran  W  <->  E. j  e.  ( 1 ... M ) ( W `  j )  =  w ) )
114111, 112, 1133syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ran  W  <->  E. j  e.  (
1 ... M ) ( W `  j )  =  w ) )
115114biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ran  W )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M
) ( W `  j )  =  w )
116115adantrl 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  w  /\  w  e.  ran  W ) )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M ) ( W `  j
)  =  w )
117 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  w )  /\  ( W `  j )  =  w )  ->  t  e.  w )
118 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  w )  /\  ( W `  j )  =  w )  ->  ( W `  j )  =  w )
119117, 118eleqtrrd 2466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  w )  /\  ( W `  j )  =  w )  ->  t  e.  ( W `  j
) )
120119ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  w )  ->  (
( W `  j
)  =  w  -> 
t  e.  ( W `
 j ) ) )
121120reximdv 2762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  w )  ->  ( E. j  e.  (
1 ... M ) ( W `  j )  =  w  ->  E. j  e.  ( 1 ... M
) t  e.  ( W `  j ) ) )
122121adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  w  /\  w  e.  ran  W ) )  ->  ( E. j  e.  ( 1 ... M
) ( W `  j )  =  w  ->  E. j  e.  ( 1 ... M ) t  e.  ( W `
 j ) ) )
123116, 122mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  w  /\  w  e.  ran  W ) )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M ) t  e.  ( W `
 j ) )
124123ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  w  /\  w  e. 
ran  W )  ->  E. j  e.  (
1 ... M ) t  e.  ( W `  j ) ) )
125124exlimdv 1643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. w ( t  e.  w  /\  w  e.  ran  W )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M ) t  e.  ( W `
 j ) ) )
126125adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( E. w ( t  e.  w  /\  w  e. 
ran  W )  ->  E. j  e.  (
1 ... M ) t  e.  ( W `  j ) ) )
127110, 126mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M
) t  e.  ( W `  j ) )
128 simplll 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  (
1 ... M ) )  /\  t  e.  ( W `  j ) )  ->  ph )
129 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  (
1 ... M ) )  /\  t  e.  ( W `  j ) )  ->  j  e.  ( 1 ... M
) )
130 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  (
1 ... M ) )  /\  t  e.  ( W `  j ) )  ->  t  e.  ( W `  j ) )
131 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i  j  e.  ( 1 ... M )
132 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i  t  e.  ( W `
 j )
1334, 131, 132nf3an 1839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  ( W `  j ) )
134 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i ( ( U `  j ) `  t
)  <  E
135133, 134nfim 1822 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M )  /\  t  e.  ( W `  j ) )  -> 
( ( U `  j ) `  t
)  <  E )
136 eleq1 2449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  j  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  <->  j  e.  ( 1 ... M
) ) )
137 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  j  ->  ( W `  i )  =  ( W `  j ) )
138137eleq2d 2456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  j  ->  (
t  e.  ( W `
 i )  <->  t  e.  ( W `  j ) ) )
139136, 1383anbi23d 1257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  j  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  ( W `  i ) )  <->  ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M )  /\  t  e.  ( W `  j ) ) ) )
140 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  j  ->  ( U `  i )  =  ( U `  j ) )
141140fveq1d 5672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  j  ->  (
( U `  i
) `  t )  =  ( ( U `
 j ) `  t ) )
142141breq1d 4165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( U `  i ) `  t
)  <  E  <->  ( ( U `  j ) `  t )  <  E
) )
143139, 142imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M )  /\  t  e.  ( W `  i ) )  -> 
( ( U `  i ) `  t
)  <  E )  <->  ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  ( W `  j ) )  ->  ( ( U `  j ) `  t )  <  E
) ) )
144 stoweidlem48.13 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  ( W `  i
) ( ( U `
 i ) `  t )  <  E
)
145144r19.21bi 2749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  ( W `  i
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  <  E )
1461453impa 1148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  ( W `  i ) )  ->  ( ( U `  i ) `  t )  <  E
)
147135, 143, 146chvar 2026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  ( W `  j ) )  ->  ( ( U `  j ) `  t )  <  E
)
148128, 129, 130, 147syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  (
1 ... M ) )  /\  t  e.  ( W `  j ) )  ->  ( ( U `  j ) `  t )  <  E
)
149148ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
t  e.  ( W `
 j )  -> 
( ( U `  j ) `  t
)  <  E )
)
150149reximdva 2763 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( E. j  e.  (
1 ... M ) t  e.  ( W `  j )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M
) ( ( U `
 j ) `  t )  <  E
) )
151127, 150mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M
) ( ( U `
 j ) `  t )  <  E
)
15284, 131nfan 1836 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  (
1 ... M ) )
153 nfcv 2525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
j
15482, 153nffv 5677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( ( F `  t ) `  j
)
155154nfeq1 2534 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ( F `  t ) `  j
)  =  ( ( U `  j ) `
 t )
156152, 155nfim 1822 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  j )  =  ( ( U `  j
) `  t )
)
157136anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  (
1 ... M ) )  <-> 
( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  (
1 ... M ) ) ) )
158 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  j  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( F `
 t ) `  j ) )
159158, 141eqeq12d 2403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( F `  t ) `  i
)  =  ( ( U `  i ) `
 t )  <->  ( ( F `  t ) `  j )  =  ( ( U `  j
) `  t )
) )
160157, 159imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  i )  =  ( ( U `  i
) `  t )
)  <->  ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  j )  =  ( ( U `
 j ) `  t ) ) ) )
161156, 160, 100chvar 2026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  j )  =  ( ( U `
 j ) `  t ) )
162161breq1d 4165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ( F `  t ) `  j
)  <  E  <->  ( ( U `  j ) `  t )  <  E
) )
163162biimprd 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ( U `  j ) `  t
)  <  E  ->  ( ( F `  t
) `  j )  <  E ) )
164163reximdva 2763 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( E. j  e.  (
1 ... M ) ( ( U `  j
) `  t )  <  E  ->  E. j  e.  ( 1 ... M
) ( ( F `
 t ) `  j )  <  E
) )
165151, 164mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M
) ( ( F `
 t ) `  j )  <  E
)
16682, 84, 85, 86, 87, 70, 101, 104, 106, 165fmul01lt1 27386 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  M
)  <  E )
16776, 166eqbrtrd 4175 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( Z `  t )  <  E )
16833, 167eqbrtrd 4175 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( X `  t )  <  E )
169168ex 424 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  D  ->  ( X `  t
)  <  E )
)
1701, 169ralrimi 2732 1  |-  ( ph  ->  A. t  e.  D  ( X `  t )  <  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547   F/wnf 1550    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   E.wrex 2652   {crab 2655   _Vcvv 2901    C_ wss 3265   U.cuni 3959   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   ran crn 4821    Fn wfn 5391   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022    e. cmpt2 6024   RRcr 8924   0cc0 8925   1c1 8926    x. cmul 8930    < clt 9055    <_ cle 9056   NNcn 9934   ZZ>=cuz 10422   RR+crp 10546   ...cfz 10977    seq cseq 11252
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-rp 10547  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-seq 11253
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