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Theorem stoweidlem48 37792
 Description: This lemma is used to prove that built as in Lemma 2 of [BrosowskiDeutsh] p. 91, is such that x < ε on . Here is used to represent in the paper, is used to represent ε in the paper, and is used to represent in the paper (because is always used to represent the subalgebra). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem48.1
stoweidlem48.2
stoweidlem48.3
stoweidlem48.4
stoweidlem48.5
stoweidlem48.6
stoweidlem48.7
stoweidlem48.8
stoweidlem48.9
stoweidlem48.10
stoweidlem48.11
stoweidlem48.12
stoweidlem48.13
stoweidlem48.14
stoweidlem48.15
stoweidlem48.16
stoweidlem48.17
Assertion
Ref Expression
stoweidlem48
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,   ,,   ,,,,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   (,,,)   (,,,,)   (,,,)   (,,)   (,)   (,,,,)   (,,,)   (,,,,)   (,,)   (,,,,)

Proof of Theorem stoweidlem48
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem48.2 . 2
2 stoweidlem48.12 . . . . . 6
32sselda 3407 . . . . 5
4 stoweidlem48.1 . . . . . 6
5 stoweidlem48.3 . . . . . . 7
6 nfra1 2746 . . . . . . . 8
7 nfcv 2569 . . . . . . . 8
86, 7nfrab 2949 . . . . . . 7
95, 8nfcxfr 2567 . . . . . 6
10 stoweidlem48.4 . . . . . 6
11 stoweidlem48.5 . . . . . 6
12 stoweidlem48.6 . . . . . 6
13 stoweidlem48.7 . . . . . 6
14 stoweidlem48.14 . . . . . 6
15 stoweidlem48.8 . . . . . 6
16 stoweidlem48.10 . . . . . 6
175eleq2i 2498 . . . . . . . . 9
18 fveq1 5824 . . . . . . . . . . . . 13
1918breq2d 4378 . . . . . . . . . . . 12
2018breq1d 4376 . . . . . . . . . . . 12
2119, 20anbi12d 715 . . . . . . . . . . 11
2221ralbidv 2804 . . . . . . . . . 10
2322elrab 3171 . . . . . . . . 9
2417, 23sylbb 200 . . . . . . . 8
2524simpld 460 . . . . . . 7
26 stoweidlem48.15 . . . . . . 7
2725, 26sylan2 476 . . . . . 6
28 eqid 2428 . . . . . . 7
29 stoweidlem48.16 . . . . . . 7
301, 5, 28, 26, 29stoweidlem16 37759 . . . . . 6
314, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 27, 30fmuldfeq 37544 . . . . 5
323, 31syldan 472 . . . 4
33 elnnuz 11146 . . . . . . . . 9
3415, 33sylib 199 . . . . . . . 8
3534adantr 466 . . . . . . 7
36 nfv 1755 . . . . . . . . . . . 12
374, 36nfan 1988 . . . . . . . . . . 11
3816fnvinran 37251 . . . . . . . . . . . . . . . 16
39 fveq1 5824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4039breq2d 4378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4139breq1d 4376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4240, 41anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4342ralbidv 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4443, 5elrab2 3173 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4538, 44sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . 15
4645simpld 460 . . . . . . . . . . . . . 14
47 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847, 46jca 534 . . . . . . . . . . . . . 14
49 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5049anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16
51 feq1 5671 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5250, 51imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . 15
5352, 26vtoclg 3082 . . . . . . . . . . . . . 14
5446, 48, 53sylc 62 . . . . . . . . . . . . 13
5554adantlr 719 . . . . . . . . . . . 12
56 simplr 760 . . . . . . . . . . . 12
5755, 56ffvelrnd 5982 . . . . . . . . . . 11
58 eqid 2428 . . . . . . . . . . 11
5937, 57, 58fmptdf 6007 . . . . . . . . . 10
60 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12
61 ovex 6277 . . . . . . . . . . . . 13
62 mptexg 6094 . . . . . . . . . . . . 13
6361, 62mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12
6412fvmpt2 5917 . . . . . . . . . . . 12
6560, 63, 64syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11
6665feq1d 5675 . . . . . . . . . 10
6759, 66mpbird 235 . . . . . . . . 9
683, 67syldan 472 . . . . . . . 8
6968fnvinran 37251 . . . . . . 7
70 remulcl 9575 . . . . . . . 8
7170adantl 467 . . . . . . 7
7235, 69, 71seqcl 12183 . . . . . 6
7313fvmpt2 5917 . . . . . 6
743, 72, 73syl2anc 665 . . . . 5
75 nfcv 2569 . . . . . . . . 9
76 nfmpt1 4456 . . . . . . . . 9
7775, 76nfmpt 4455 . . . . . . . 8
7812, 77nfcxfr 2567 . . . . . . 7
79 nfcv 2569 . . . . . . 7
8078, 79nffv 5832 . . . . . 6
81 nfv 1755 . . . . . . 7
824, 81nfan 1988 . . . . . 6
83 nfcv 2569 . . . . . 6
84 eqid 2428 . . . . . 6
8515adantr 466 . . . . . 6
86 simpll 758 . . . . . . . 8
87 simpr 462 . . . . . . . 8
883adantr 466 . . . . . . . 8
8945simprd 464 . . . . . . . . . 10
9089r19.21bi 2734 . . . . . . . . 9
9190simpld 460 . . . . . . . 8
9286, 87, 88, 91syl21anc 1263 . . . . . . 7
9365fveq1d 5827 . . . . . . . . 9
9486, 88, 93syl2anc 665 . . . . . . . 8
9586, 88, 87, 57syl21anc 1263 . . . . . . . . 9
9658fvmpt2 5917 . . . . . . . . 9
9787, 95, 96syl2anc 665 . . . . . . . 8
9894, 97eqtrd 2462 . . . . . . 7
9992, 98breqtrrd 4393 . . . . . 6
10090simprd 464 . . . . . . . 8
10186, 87, 88, 100syl21anc 1263 . . . . . . 7
10298, 101eqbrtrd 4387 . . . . . 6
103 stoweidlem48.17 . . . . . . 7
104103adantr 466 . . . . . 6
105 stoweidlem48.11 . . . . . . . . . . 11
106105sselda 3407 . . . . . . . . . 10
107 eluni 4165 . . . . . . . . . 10
108106, 107sylib 199 . . . . . . . . 9
109 stoweidlem48.9 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110 ffn 5689 . . . . . . . . . . . . . . . 16
111 fvelrnb 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16
112109, 110, 1113syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15
113112biimpa 486 . . . . . . . . . . . . . 14
114113adantrl 720 . . . . . . . . . . . . 13
115 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117115, 116eleqtrrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118117ex 435 . . . . . . . . . . . . . . 15
119118reximdv 2838 . . . . . . . . . . . . . 14
120119adantrr 721 . . . . . . . . . . . . 13
121114, 120mpd 15 . . . . . . . . . . . 12
122121ex 435 . . . . . . . . . . 11
123122exlimdv 1772 . . . . . . . . . 10
124123adantr 466 . . . . . . . . 9
125108, 124mpd 15 . . . . . . . 8
126 simplll 766 . . . . . . . . . . 11
127 simplr 760 . . . . . . . . . . 11
128 simpr 462 . . . . . . . . . . 11
129 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . . 14
130 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . . 14
1314, 129, 130nf3an 1990 . . . . . . . . . . . . 13
132 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . 13
133131, 132nfim 1980 . . . . . . . . . . . 12
134 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . . 14
135 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . . 15
136135eleq2d 2491 . . . . . . . . . . . . . 14
137134, 1363anbi23d 1338 . . . . . . . . . . . . 13
138 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . . 15
139138fveq1d 5827 . . . . . . . . . . . . . 14
140139breq1d 4376 . . . . . . . . . . . . 13
141137, 140imbi12d 321 . . . . . . . . . . . 12
142 stoweidlem48.13 . . . . . . . . . . . . . 14
143142r19.21bi 2734 . . . . . . . . . . . . 13
1441433impa 1200 . . . . . . . . . . . 12
145133, 141, 144chvar 2078 . . . . . . . . . . 11
146126, 127, 128, 145syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10
147146ex 435 . . . . . . . . 9
148147reximdva 2839 . . . . . . . 8
149125, 148mpd 15 . . . . . . 7
15082, 129nfan 1988 . . . . . . . . . . . 12
151 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . . 14
15280, 151nffv 5832 . . . . . . . . . . . . 13
153152nfeq1 2582 . . . . . . . . . . . 12
154150, 153nfim 1980 . . . . . . . . . . 11
155134anbi2d 708 . . . . . . . . . . . 12
156 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . 13
157156, 139eqeq12d 2443 . . . . . . . . . . . 12
158155, 157imbi12d 321 . . . . . . . . . . 11
159154, 158, 98chvar 2078 . . . . . . . . . 10
160159breq1d 4376 . . . . . . . . 9
161160biimprd 226 . . . . . . . 8
162161reximdva 2839 . . . . . . 7
163149, 162mpd 15 . . . . . 6
16480, 82, 83, 84, 85, 68, 99, 102, 104, 163fmul01lt1 37547 . . . . 5
16574, 164eqbrtrd 4387 . . . 4
16632, 165eqbrtrd 4387 . . 3
167166ex 435 . 2
1681, 167ralrimi 2765 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437  wex 1657  wnf 1661   wcel 1872  wral 2714  wrex 2715  crab 2718  cvv 3022   wss 3379  cuni 4162   class class class wbr 4366   cmpt 4425   crn 4797   wfn 5539  wf 5540  cfv 5544  (class class class)co 6249   cmpt2 6251  cr 9489  cc0 9490  c1 9491   cmul 9495   clt 9626   cle 9627  cn 10560  cuz 11110  crp 11253  cfz 11735   cseq 12163 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-rp 11254  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-seq 12164 This theorem is referenced by:  stoweidlem51  37795
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