Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem47 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem47 31302
Description: Subtracting a constant from a real continuous function gives another continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem47.1  |-  F/_ t F
stoweidlem47.2  |-  F/_ t S
stoweidlem47.3  |-  F/ t
ph
stoweidlem47.4  |-  T  = 
U. J
stoweidlem47.5  |-  G  =  ( T  X.  { -u S } )
stoweidlem47.6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem47.7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
stoweidlem47.8  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem47.9  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
stoweidlem47.10  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem47  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  S
) )  e.  C
)
Distinct variable groups:    t, J    t, K    t, T
Allowed substitution hints:    ph( t)    C( t)    S( t)    F( t)    G( t)

Proof of Theorem stoweidlem47
StepHypRef Expression
1 stoweidlem47.3 . . 3  |-  F/ t
ph
2 stoweidlem47.5 . . . . . . 7  |-  G  =  ( T  X.  { -u S } )
32fveq1i 5858 . . . . . 6  |-  ( G `
 t )  =  ( ( T  X.  { -u S } ) `
 t )
4 stoweidlem47.10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
54renegcld 9975 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u S  e.  RR )
6 fvconst2g 6105 . . . . . . 7  |-  ( (
-u S  e.  RR  /\  t  e.  T )  ->  ( ( T  X.  { -u S } ) `  t
)  =  -u S
)
75, 6sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( T  X.  { -u S } ) `  t )  =  -u S )
83, 7syl5eq 2513 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  =  -u S )
98oveq2d 6291 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  +  ( G `
 t ) )  =  ( ( F `
 t )  + 
-u S ) )
10 stoweidlem47.6 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
11 stoweidlem47.4 . . . . . . . 8  |-  T  = 
U. J
12 stoweidlem47.8 . . . . . . . 8  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
13 stoweidlem47.9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
1410, 11, 12, 13fcnre 30933 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
1514fnvinran 30922 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
1615recnd 9611 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
174recnd 9611 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
1817adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  S  e.  CC )
1916, 18negsubd 9925 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  +  -u S
)  =  ( ( F `  t )  -  S ) )
209, 19eqtrd 2501 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  +  ( G `
 t ) )  =  ( ( F `
 t )  -  S ) )
211, 20mpteq2da 4525 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
)  -  S ) ) )
22 stoweidlem47.1 . . . 4  |-  F/_ t F
23 nfcv 2622 . . . . . 6  |-  F/_ t T
24 stoweidlem47.2 . . . . . . . 8  |-  F/_ t S
2524nfneg 9805 . . . . . . 7  |-  F/_ t -u S
2625nfsn 4078 . . . . . 6  |-  F/_ t { -u S }
2723, 26nfxp 5018 . . . . 5  |-  F/_ t
( T  X.  { -u S } )
282, 27nfcxfr 2620 . . . 4  |-  F/_ t G
29 stoweidlem47.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
3011a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  =  U. J
)
31 istopon 19186 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  T
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  T  =  U. J ) )
3229, 30, 31sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  T ) )
3313, 12syl6eleq 2558 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
34 retopon 20998 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
3510, 34eqeltri 2544 . . . . . . 7  |-  K  e.  (TopOn `  RR )
3635a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  RR ) )
37 cnconst2 19543 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  T )  /\  K  e.  (TopOn `  RR )  /\  -u S  e.  RR )  ->  ( T  X.  { -u S } )  e.  ( J  Cn  K ) )
3832, 36, 5, 37syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  X.  { -u S } )  e.  ( J  Cn  K
) )
392, 38syl5eqel 2552 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
4022, 28, 1, 10, 32, 33, 39refsum2cn 30946 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
4140, 12syl6eleqr 2559 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )  e.  C
)
4221, 41eqeltrrd 2549 1  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  S
) )  e.  C
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374   F/wnf 1594    e. wcel 1762   F/_wnfc 2608   {csn 4020   U.cuni 4238    |-> cmpt 4498    X. cxp 4990   ran crn 4993   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480    + caddc 9484    - cmin 9794   -ucneg 9795   (,)cioo 11518   topGenctg 14682   Topctop 19154  TopOnctopon 19155    Cn ccn 19484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  31317
  Copyright terms: Public domain W3C validator