Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem47 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem47 37197
Description: Subtracting a constant from a real continuous function gives another continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem47.1  |-  F/_ t F
stoweidlem47.2  |-  F/_ t S
stoweidlem47.3  |-  F/ t
ph
stoweidlem47.4  |-  T  = 
U. J
stoweidlem47.5  |-  G  =  ( T  X.  { -u S } )
stoweidlem47.6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem47.7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
stoweidlem47.8  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem47.9  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
stoweidlem47.10  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem47  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  S
) )  e.  C
)
Distinct variable groups:    t, J    t, K    t, T
Allowed substitution hints:    ph( t)    C( t)    S( t)    F( t)    G( t)

Proof of Theorem stoweidlem47
StepHypRef Expression
1 stoweidlem47.3 . . 3  |-  F/ t
ph
2 stoweidlem47.5 . . . . . . 7  |-  G  =  ( T  X.  { -u S } )
32fveq1i 5850 . . . . . 6  |-  ( G `
 t )  =  ( ( T  X.  { -u S } ) `
 t )
4 stoweidlem47.10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
54renegcld 10027 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u S  e.  RR )
6 fvconst2g 6105 . . . . . . 7  |-  ( (
-u S  e.  RR  /\  t  e.  T )  ->  ( ( T  X.  { -u S } ) `  t
)  =  -u S
)
75, 6sylan 469 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( T  X.  { -u S } ) `  t )  =  -u S )
83, 7syl5eq 2455 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  =  -u S )
98oveq2d 6294 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  +  ( G `
 t ) )  =  ( ( F `
 t )  + 
-u S ) )
10 stoweidlem47.6 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
11 stoweidlem47.4 . . . . . . . 8  |-  T  = 
U. J
12 stoweidlem47.8 . . . . . . . 8  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
13 stoweidlem47.9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
1410, 11, 12, 13fcnre 36780 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
1514fnvinran 36769 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
1615recnd 9652 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
174recnd 9652 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
1817adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  S  e.  CC )
1916, 18negsubd 9973 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  +  -u S
)  =  ( ( F `  t )  -  S ) )
209, 19eqtrd 2443 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  +  ( G `
 t ) )  =  ( ( F `
 t )  -  S ) )
211, 20mpteq2da 4480 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
)  -  S ) ) )
22 stoweidlem47.1 . . . 4  |-  F/_ t F
23 nfcv 2564 . . . . . 6  |-  F/_ t T
24 stoweidlem47.2 . . . . . . . 8  |-  F/_ t S
2524nfneg 9852 . . . . . . 7  |-  F/_ t -u S
2625nfsn 4029 . . . . . 6  |-  F/_ t { -u S }
2723, 26nfxp 4850 . . . . 5  |-  F/_ t
( T  X.  { -u S } )
282, 27nfcxfr 2562 . . . 4  |-  F/_ t G
29 stoweidlem47.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
3011a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  =  U. J
)
31 istopon 19718 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  T
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  T  =  U. J ) )
3229, 30, 31sylanbrc 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  T ) )
3313, 12syl6eleq 2500 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
34 retopon 21562 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
3510, 34eqeltri 2486 . . . . . . 7  |-  K  e.  (TopOn `  RR )
3635a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  RR ) )
37 cnconst2 20077 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  T )  /\  K  e.  (TopOn `  RR )  /\  -u S  e.  RR )  ->  ( T  X.  { -u S } )  e.  ( J  Cn  K ) )
3832, 36, 5, 37syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  X.  { -u S } )  e.  ( J  Cn  K
) )
392, 38syl5eqel 2494 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
4022, 28, 1, 10, 32, 33, 39refsum2cn 36793 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
4140, 12syl6eleqr 2501 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )  e.  C
)
4221, 41eqeltrrd 2491 1  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  S
) )  e.  C
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405   F/wnf 1637    e. wcel 1842   F/_wnfc 2550   {csn 3972   U.cuni 4191    |-> cmpt 4453    X. cxp 4821   ran crn 4824   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521    + caddc 9525    - cmin 9841   -ucneg 9842   (,)cioo 11582   topGenctg 15052   Topctop 19686  TopOnctopon 19687    Cn ccn 20018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  37212
  Copyright terms: Public domain W3C validator