Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem47 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stoweidlem47 37902
Description: Subtracting a constant from a real continuous function gives another continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem47.1  |-  F/_ t F
stoweidlem47.2  |-  F/_ t S
stoweidlem47.3  |-  F/ t
ph
stoweidlem47.4  |-  T  = 
U. J
stoweidlem47.5  |-  G  =  ( T  X.  { -u S } )
stoweidlem47.6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem47.7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
stoweidlem47.8  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem47.9  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
stoweidlem47.10  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem47  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  S
) )  e.  C
)
Distinct variable groups:    t, J    t, K    t, T
Allowed substitution hints:    ph( t)    C( t)    S( t)    F( t)    G( t)

Proof of Theorem stoweidlem47
StepHypRef Expression
1 stoweidlem47.3 . . 3  |-  F/ t
ph
2 stoweidlem47.5 . . . . . . 7  |-  G  =  ( T  X.  { -u S } )
32fveq1i 5864 . . . . . 6  |-  ( G `
 t )  =  ( ( T  X.  { -u S } ) `
 t )
4 stoweidlem47.10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
54renegcld 10043 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u S  e.  RR )
6 fvconst2g 6116 . . . . . . 7  |-  ( (
-u S  e.  RR  /\  t  e.  T )  ->  ( ( T  X.  { -u S } ) `  t
)  =  -u S
)
75, 6sylan 474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( T  X.  { -u S } ) `  t )  =  -u S )
83, 7syl5eq 2496 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  =  -u S )
98oveq2d 6304 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  +  ( G `
 t ) )  =  ( ( F `
 t )  + 
-u S ) )
10 stoweidlem47.6 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
11 stoweidlem47.4 . . . . . . . 8  |-  T  = 
U. J
12 stoweidlem47.8 . . . . . . . 8  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
13 stoweidlem47.9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
1410, 11, 12, 13fcnre 37340 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
1514fnvinran 37329 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
1615recnd 9666 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
174recnd 9666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
1817adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  S  e.  CC )
1916, 18negsubd 9989 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  +  -u S
)  =  ( ( F `  t )  -  S ) )
209, 19eqtrd 2484 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  +  ( G `
 t ) )  =  ( ( F `
 t )  -  S ) )
211, 20mpteq2da 4487 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
)  -  S ) ) )
22 stoweidlem47.1 . . . 4  |-  F/_ t F
23 nfcv 2591 . . . . . 6  |-  F/_ t T
24 stoweidlem47.2 . . . . . . . 8  |-  F/_ t S
2524nfneg 9868 . . . . . . 7  |-  F/_ t -u S
2625nfsn 4028 . . . . . 6  |-  F/_ t { -u S }
2723, 26nfxp 4860 . . . . 5  |-  F/_ t
( T  X.  { -u S } )
282, 27nfcxfr 2589 . . . 4  |-  F/_ t G
29 stoweidlem47.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
3011a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  =  U. J
)
31 istopon 19933 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  T
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  T  =  U. J ) )
3229, 30, 31sylanbrc 669 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  T ) )
3313, 12syl6eleq 2538 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
34 retopon 21777 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
3510, 34eqeltri 2524 . . . . . . 7  |-  K  e.  (TopOn `  RR )
3635a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  RR ) )
37 cnconst2 20292 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  T )  /\  K  e.  (TopOn `  RR )  /\  -u S  e.  RR )  ->  ( T  X.  { -u S } )  e.  ( J  Cn  K ) )
3832, 36, 5, 37syl3anc 1267 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  X.  { -u S } )  e.  ( J  Cn  K
) )
392, 38syl5eqel 2532 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
4022, 28, 1, 10, 32, 33, 39refsum2cn 37353 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
4140, 12syl6eleqr 2539 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )  e.  C
)
4221, 41eqeltrrd 2529 1  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  S
) )  e.  C
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1443   F/wnf 1666    e. wcel 1886   F/_wnfc 2578   {csn 3967   U.cuni 4197    |-> cmpt 4460    X. cxp 4831   ran crn 4834   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535    + caddc 9539    - cmin 9857   -ucneg 9858   (,)cioo 11632   topGenctg 15329   Topctop 19910  TopOnctopon 19911    Cn ccn 20233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  37917  stoweidlem62OLD  37918
  Copyright terms: Public domain W3C validator