Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem47 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem47 29983
Description: Subtracting a constant from a real continuous function gives another continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem47.1  |-  F/_ t F
stoweidlem47.2  |-  F/_ t S
stoweidlem47.3  |-  F/ t
ph
stoweidlem47.4  |-  T  = 
U. J
stoweidlem47.5  |-  G  =  ( T  X.  { -u S } )
stoweidlem47.6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem47.7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
stoweidlem47.8  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem47.9  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
stoweidlem47.10  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem47  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  S
) )  e.  C
)
Distinct variable groups:    t, J    t, K    t, T
Allowed substitution hints:    ph( t)    C( t)    S( t)    F( t)    G( t)

Proof of Theorem stoweidlem47
StepHypRef Expression
1 stoweidlem47.3 . . 3  |-  F/ t
ph
2 stoweidlem47.5 . . . . . . 7  |-  G  =  ( T  X.  { -u S } )
32fveq1i 5793 . . . . . 6  |-  ( G `
 t )  =  ( ( T  X.  { -u S } ) `
 t )
4 stoweidlem47.10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
54renegcld 9879 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u S  e.  RR )
6 fvconst2g 6033 . . . . . . 7  |-  ( (
-u S  e.  RR  /\  t  e.  T )  ->  ( ( T  X.  { -u S } ) `  t
)  =  -u S
)
75, 6sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( T  X.  { -u S } ) `  t )  =  -u S )
83, 7syl5eq 2504 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  =  -u S )
98oveq2d 6209 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  +  ( G `
 t ) )  =  ( ( F `
 t )  + 
-u S ) )
10 stoweidlem47.6 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
11 stoweidlem47.4 . . . . . . . 8  |-  T  = 
U. J
12 stoweidlem47.8 . . . . . . . 8  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
13 stoweidlem47.9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
1410, 11, 12, 13fcnre 29888 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
1514fnvinran 29877 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
1615recnd 9516 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
174recnd 9516 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
1817adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  S  e.  CC )
1916, 18negsubd 9829 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  +  -u S
)  =  ( ( F `  t )  -  S ) )
209, 19eqtrd 2492 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  +  ( G `
 t ) )  =  ( ( F `
 t )  -  S ) )
211, 20mpteq2da 4478 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
)  -  S ) ) )
22 stoweidlem47.1 . . . 4  |-  F/_ t F
23 nfcv 2613 . . . . . 6  |-  F/_ t T
24 stoweidlem47.2 . . . . . . . 8  |-  F/_ t S
2524nfneg 9710 . . . . . . 7  |-  F/_ t -u S
2625nfsn 4035 . . . . . 6  |-  F/_ t { -u S }
2723, 26nfxp 4967 . . . . 5  |-  F/_ t
( T  X.  { -u S } )
282, 27nfcxfr 2611 . . . 4  |-  F/_ t G
29 stoweidlem47.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
3011a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  =  U. J
)
31 istopon 18655 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  T
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  T  =  U. J ) )
3229, 30, 31sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  T ) )
3313, 12syl6eleq 2549 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
34 retopon 20467 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
3510, 34eqeltri 2535 . . . . . . 7  |-  K  e.  (TopOn `  RR )
3635a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  RR ) )
37 cnconst2 19012 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  T )  /\  K  e.  (TopOn `  RR )  /\  -u S  e.  RR )  ->  ( T  X.  { -u S } )  e.  ( J  Cn  K ) )
3832, 36, 5, 37syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  X.  { -u S } )  e.  ( J  Cn  K
) )
392, 38syl5eqel 2543 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
4022, 28, 1, 10, 32, 33, 39refsum2cn 29901 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
4140, 12syl6eleqr 2550 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )  e.  C
)
4221, 41eqeltrrd 2540 1  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  S
) )  e.  C
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370   F/wnf 1590    e. wcel 1758   F/_wnfc 2599   {csn 3978   U.cuni 4192    |-> cmpt 4451    X. cxp 4939   ran crn 4942   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   RRcr 9385    + caddc 9389    - cmin 9699   -ucneg 9700   (,)cioo 11404   topGenctg 14487   Topctop 18623  TopOnctopon 18624    Cn ccn 18953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077  df-sum 13275  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-xrs 14551  df-qtop 14556  df-imas 14557  df-xps 14559  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-cnfld 17937  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cn 18956  df-cnp 18957  df-tx 19260  df-hmeo 19453  df-xms 20020  df-ms 20021  df-tms 20022
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  29998
  Copyright terms: Public domain W3C validator