Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem45 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem45 37479
Description: This lemma proves that, given an appropriate  K (in another theorem we prove such a  K exists), there exists a function qn as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91 ( at the top of page 91): 0 <= qn <= 1 , qn < ε on T \ U, and qn > 1 - ε on  V. We use y to represent the final qn in the paper (the one with n large enough),  N to represent  n in the paper,  K to represent  k,  D to represent δ,  E to represent ε, and  P to represent  p. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem45.1  |-  F/_ t P
stoweidlem45.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem45.3  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
stoweidlem45.4  |-  Q  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
stoweidlem45.5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
stoweidlem45.6  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
stoweidlem45.7  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem45.8  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
stoweidlem45.9  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
stoweidlem45.10  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
stoweidlem45.11  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
stoweidlem45.12  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
stoweidlem45.13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem45.14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem45.15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem45.16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem45.17  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem45.18  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N ) ) )
stoweidlem45.19  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( K  x.  D
) ^ N ) )  <  E )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem45  |-  ( ph  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  <  (
y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  E )
)
Distinct variable groups:    f, g,
t, A    f, N, g, t    P, f, g    T, f, g, t    ph, f,
g    x, t, A    y,
t, A    t, K    x, T    ph, x    y, E    y, Q    y, T    y, U    y, V
Allowed substitution hints:    ph( y, t)    D( x, y, t, f, g)    P( x, y, t)    Q( x, t, f, g)    U( x, t, f, g)    E( x, t, f, g)    K( x, y, f, g)    N( x, y)    V( x, t, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem45
StepHypRef Expression
1 stoweidlem45.1 . . 3  |-  F/_ t P
2 stoweidlem45.2 . . 3  |-  F/ t
ph
3 stoweidlem45.4 . . 3  |-  Q  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
4 eqid 2420 . . 3  |-  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) )
5 eqid 2420 . . 3  |-  ( t  e.  T  |->  1 )  =  ( t  e.  T  |->  1 )
6 eqid 2420 . . 3  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( P `  t ) ^ N ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( P `
 t ) ^ N ) )
7 stoweidlem45.9 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
8 stoweidlem45.10 . . 3  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
9 stoweidlem45.13 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
10 stoweidlem45.14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
11 stoweidlem45.15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
12 stoweidlem45.16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
13 stoweidlem45.5 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
14 stoweidlem45.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
1513nnnn0d 10914 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1614, 15nnexpcld 12423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  NN )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 16stoweidlem40 37474 . 2  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
18 1red 9647 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  RR )
198fnvinran 36979 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( P `  t )  e.  RR )
2015adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  N  e.  NN0 )
2119, 20reexpcld 12419 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  e.  RR )
2218, 21resubcld 10036 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) )  e.  RR )
2314nnnn0d 10914 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
2423, 15nn0expcld 12424 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  NN0 )
2524adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( K ^ N )  e. 
NN0 )
26 1m1e0 10667 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  1 )  =  0
27 stoweidlem45.11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
2827r19.21bi 2792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
2928simpld 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( P `  t
) )
3028simprd 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( P `  t )  <_  1 )
31 exple1 12318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  <_  1 )
3219, 29, 30, 20, 31syl31anc 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  <_  1 )
3321, 18, 18, 32lesub2dd 10219 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  1 )  <_  ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) )
3426, 33syl5eqbrr 4451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) ) )
3522, 25, 34expge0d 12420 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
363, 8, 15, 23stoweidlem12 37445 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( Q `  t )  =  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
3735, 36breqtrrd 4443 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( Q `  t
) )
38 0red 9633 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  e.  RR )
3919, 20, 29expge0d 12420 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( P `  t ) ^ N
) )
4038, 21, 18, 39lesub2dd 10219 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) )  <_  ( 1  -  0 ) )
41 1m0e1 10709 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  0 )  =  1
4240, 41syl6breq 4456 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) )  <_  1 )
43 exple1 12318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) )  /\  ( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) )  <_  1 )  /\  ( K ^ N )  e.  NN0 )  ->  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  <_  1
)
4422, 34, 42, 25, 43syl31anc 1267 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  1 )
4536, 44eqbrtrd 4437 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( Q `  t )  <_  1 )
4637, 45jca 534 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t )  <_  1 ) )
4746ex 435 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t
)  <_  1 ) ) )
482, 47ralrimi 2823 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t
)  <_  1 ) )
49 stoweidlem45.3 . . . . 5  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
50 stoweidlem45.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
51 stoweidlem45.17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
52 stoweidlem45.18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N ) ) )
5349, 3, 8, 15, 23, 50, 51, 52, 27stoweidlem24 37457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( Q `  t ) )
5453ex 435 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  V  ->  ( 1  -  E
)  <  ( Q `  t ) ) )
552, 54ralrimi 2823 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  V  ( 1  -  E
)  <  ( Q `  t ) )
56 stoweidlem45.12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
57 stoweidlem45.19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( K  x.  D
) ^ N ) )  <  E )
583, 13, 14, 50, 8, 27, 56, 51, 57stoweidlem25 37458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( Q `  t )  <  E
)
5958ex 435 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  ( Q `  t )  <  E
) )
602, 59ralrimi 2823 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( Q `  t
)  <  E )
61 nfmpt1 4506 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
623, 61nfcxfr 2580 . . . . . 6  |-  F/_ t Q
6362nfeq2 2599 . . . . 5  |-  F/ t  y  =  Q
64 fveq1 5871 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Q  ->  (
y `  t )  =  ( Q `  t ) )
6564breq2d 4429 . . . . . 6  |-  ( y  =  Q  ->  (
0  <_  ( y `  t )  <->  0  <_  ( Q `  t ) ) )
6664breq1d 4427 . . . . . 6  |-  ( y  =  Q  ->  (
( y `  t
)  <_  1  <->  ( Q `  t )  <_  1
) )
6765, 66anbi12d 715 . . . . 5  |-  ( y  =  Q  ->  (
( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t
)  <_  1 ) ) )
6863, 67ralbid 2857 . . . 4  |-  ( y  =  Q  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t
)  <_  1 ) ) )
6964breq2d 4429 . . . . 5  |-  ( y  =  Q  ->  (
( 1  -  E
)  <  ( y `  t )  <->  ( 1  -  E )  < 
( Q `  t
) ) )
7063, 69ralbid 2857 . . . 4  |-  ( y  =  Q  ->  ( A. t  e.  V  ( 1  -  E
)  <  ( y `  t )  <->  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  < 
( Q `  t
) ) )
7164breq1d 4427 . . . . 5  |-  ( y  =  Q  ->  (
( y `  t
)  <  E  <->  ( Q `  t )  <  E
) )
7263, 71ralbid 2857 . . . 4  |-  ( y  =  Q  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t )  <  E  <->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( Q `  t )  <  E
) )
7368, 70, 723anbi123d 1335 . . 3  |-  ( y  =  Q  ->  (
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  E
)  <->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  E )  <  ( Q `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( Q `
 t )  < 
E ) ) )
7473rspcev 3179 . 2  |-  ( ( Q  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  <  ( Q `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( Q `  t
)  <  E )
)  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  E )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
E ) )
7517, 48, 55, 60, 74syl13anc 1266 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  <  (
y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  E )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   F/wnf 1663    e. wcel 1867   F/_wnfc 2568   A.wral 2773   E.wrex 2774   {crab 2777    \ cdif 3430   class class class wbr 4417    |-> cmpt 4475   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   RRcr 9527   0cc0 9528   1c1 9529    + caddc 9531    x. cmul 9533    < clt 9664    <_ cle 9665    - cmin 9849    / cdiv 10258   NNcn 10598   2c2 10648   NN0cn0 10858   RR+crp 11291   ^cexp 12258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-rp 11292  df-seq 12200  df-exp 12259
This theorem is referenced by:  stoweidlem49  37483
  Copyright terms: Public domain W3C validator