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Theorem stoweidlem45 29989
Description: This lemma proves that, given an appropriate  K (in another theorem we prove such a  K exists), there exists a function qn as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91 ( at the top of page 91): 0 <= qn <= 1 , qn < ε on T \ U, and qn > 1 - ε on  V. We use y to represent the final qn in the paper (the one with n large enough),  N to represent  n in the paper,  K to represent  k,  D to represent δ,  E to represent ε, and  P to represent  p. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem45.1  |-  F/_ t P
stoweidlem45.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem45.3  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
stoweidlem45.4  |-  Q  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
stoweidlem45.5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
stoweidlem45.6  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
stoweidlem45.7  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem45.8  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
stoweidlem45.9  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
stoweidlem45.10  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
stoweidlem45.11  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
stoweidlem45.12  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
stoweidlem45.13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem45.14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem45.15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem45.16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem45.17  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem45.18  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N ) ) )
stoweidlem45.19  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( K  x.  D
) ^ N ) )  <  E )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem45  |-  ( ph  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  <  (
y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  E )
)
Distinct variable groups:    f, g,
t, A    f, N, g, t    P, f, g    T, f, g, t    ph, f,
g    x, t, A    y,
t, A    t, K    x, T    ph, x    y, E    y, Q    y, T    y, U    y, V
Allowed substitution hints:    ph( y, t)    D( x, y, t, f, g)    P( x, y, t)    Q( x, t, f, g)    U( x, t, f, g)    E( x, t, f, g)    K( x, y, f, g)    N( x, y)    V( x, t, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem45
StepHypRef Expression
1 stoweidlem45.1 . . 3  |-  F/_ t P
2 stoweidlem45.2 . . 3  |-  F/ t
ph
3 stoweidlem45.4 . . 3  |-  Q  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
4 eqid 2454 . . 3  |-  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) )
5 eqid 2454 . . 3  |-  ( t  e.  T  |->  1 )  =  ( t  e.  T  |->  1 )
6 eqid 2454 . . 3  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( P `  t ) ^ N ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( P `
 t ) ^ N ) )
7 stoweidlem45.9 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
8 stoweidlem45.10 . . 3  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
9 stoweidlem45.13 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
10 stoweidlem45.14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
11 stoweidlem45.15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
12 stoweidlem45.16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
13 stoweidlem45.5 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
14 stoweidlem45.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
1513nnnn0d 10748 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1614, 15nnexpcld 12147 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  NN )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 16stoweidlem40 29984 . 2  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
18 1red 9513 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  RR )
198fnvinran 29885 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( P `  t )  e.  RR )
2015adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  N  e.  NN0 )
2119, 20reexpcld 12143 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  e.  RR )
2218, 21resubcld 9888 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) )  e.  RR )
2314nnnn0d 10748 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
2423, 15nn0expcld 12148 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  NN0 )
2524adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( K ^ N )  e. 
NN0 )
26 1m1e0 10502 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  1 )  =  0
27 stoweidlem45.11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
2827r19.21bi 2920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
2928simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( P `  t
) )
3028simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( P `  t )  <_  1 )
31 exple1 12041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  <_  1 )
3219, 29, 30, 20, 31syl31anc 1222 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  <_  1 )
3321, 18, 18, 32lesub2dd 10068 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  1 )  <_  ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) )
3426, 33syl5eqbrr 4435 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) ) )
3522, 25, 34expge0d 12144 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
363, 8, 15, 23stoweidlem12 29956 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( Q `  t )  =  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
3735, 36breqtrrd 4427 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( Q `  t
) )
38 0red 9499 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  e.  RR )
3919, 20, 29expge0d 12144 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( P `  t ) ^ N
) )
4038, 21, 18, 39lesub2dd 10068 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) )  <_  ( 1  -  0 ) )
41 1m0e1 10544 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  0 )  =  1
4240, 41syl6breq 4440 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) )  <_  1 )
43 exple1 12041 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) )  /\  ( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) )  <_  1 )  /\  ( K ^ N )  e.  NN0 )  ->  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  <_  1
)
4422, 34, 42, 25, 43syl31anc 1222 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  1 )
4536, 44eqbrtrd 4421 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( Q `  t )  <_  1 )
4637, 45jca 532 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t )  <_  1 ) )
4746ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t
)  <_  1 ) ) )
482, 47ralrimi 2823 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t
)  <_  1 ) )
49 stoweidlem45.3 . . . . 5  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
50 stoweidlem45.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
51 stoweidlem45.17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
52 stoweidlem45.18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N ) ) )
5349, 3, 8, 15, 23, 50, 51, 52, 27stoweidlem24 29968 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( Q `  t ) )
5453ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  V  ->  ( 1  -  E
)  <  ( Q `  t ) ) )
552, 54ralrimi 2823 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  V  ( 1  -  E
)  <  ( Q `  t ) )
56 stoweidlem45.12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
57 stoweidlem45.19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( K  x.  D
) ^ N ) )  <  E )
583, 13, 14, 50, 8, 27, 56, 51, 57stoweidlem25 29969 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( Q `  t )  <  E
)
5958ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  ( Q `  t )  <  E
) )
602, 59ralrimi 2823 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( Q `  t
)  <  E )
61 nfmpt1 4490 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
623, 61nfcxfr 2614 . . . . . 6  |-  F/_ t Q
6362nfeq2 2633 . . . . 5  |-  F/ t  y  =  Q
64 fveq1 5799 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Q  ->  (
y `  t )  =  ( Q `  t ) )
6564breq2d 4413 . . . . . 6  |-  ( y  =  Q  ->  (
0  <_  ( y `  t )  <->  0  <_  ( Q `  t ) ) )
6664breq1d 4411 . . . . . 6  |-  ( y  =  Q  ->  (
( y `  t
)  <_  1  <->  ( Q `  t )  <_  1
) )
6765, 66anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( y  =  Q  ->  (
( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t
)  <_  1 ) ) )
6863, 67ralbid 2843 . . . 4  |-  ( y  =  Q  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t
)  <_  1 ) ) )
6964breq2d 4413 . . . . 5  |-  ( y  =  Q  ->  (
( 1  -  E
)  <  ( y `  t )  <->  ( 1  -  E )  < 
( Q `  t
) ) )
7063, 69ralbid 2843 . . . 4  |-  ( y  =  Q  ->  ( A. t  e.  V  ( 1  -  E
)  <  ( y `  t )  <->  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  < 
( Q `  t
) ) )
7164breq1d 4411 . . . . 5  |-  ( y  =  Q  ->  (
( y `  t
)  <  E  <->  ( Q `  t )  <  E
) )
7263, 71ralbid 2843 . . . 4  |-  ( y  =  Q  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t )  <  E  <->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( Q `  t )  <  E
) )
7368, 70, 723anbi123d 1290 . . 3  |-  ( y  =  Q  ->  (
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  E
)  <->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  E )  <  ( Q `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( Q `
 t )  < 
E ) ) )
7473rspcev 3179 . 2  |-  ( ( Q  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  <  ( Q `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( Q `  t
)  <  E )
)  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  E )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
E ) )
7517, 48, 55, 60, 74syl13anc 1221 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  <  (
y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  E )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   F/wnf 1590    e. wcel 1758   F/_wnfc 2602   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803    \ cdif 3434   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4459   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   RRcr 9393   0cc0 9394   1c1 9395    + caddc 9397    x. cmul 9399    < clt 9530    <_ cle 9531    - cmin 9707    / cdiv 10105   NNcn 10434   2c2 10483   NN0cn0 10691   RR+crp 11103   ^cexp 11983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-rp 11104  df-seq 11925  df-exp 11984
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