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Theorem stoweidlem44 29792
Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used to represent t0 in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem44.1  |-  F/ j
ph
stoweidlem44.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem44.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem44.4  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem44.5  |-  P  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  /  M )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  t )
) )
stoweidlem44.6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem44.7  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... M ) --> Q )
stoweidlem44.8  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) E. j  e.  ( 1 ... M ) 0  <  ( ( G `  j ) `
 t ) )
stoweidlem44.9  |-  T  = 
U. J
stoweidlem44.10  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem44.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem44.12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem44.13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem44.14  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem44  |-  ( ph  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
Distinct variable groups:    f, g,
i, t, G    f,
j, i, t, G    A, f, g    f, M, g, i, t    T, f, g, i, t    ph, f,
g, i    h, i,
j, t, G    A, h    T, h, j    h, Z, i, t    x, j, M, t    U, j   
t, p, T    A, p    P, p    U, p    Z, p    x, A    x, T    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t, h, j, p)    A( t,
i, j)    P( x, t, f, g, h, i, j)    Q( x, t, f, g, h, i, j, p)    U( x, t, f, g, h, i)    G( x, p)    J( x, t, f, g, h, i, j, p)    K( x, t, f, g, h, i, j, p)    M( h, p)    Z( x, f, g, j)

Proof of Theorem stoweidlem44
StepHypRef Expression
1 stoweidlem44.2 . . . 4  |-  F/ t
ph
2 stoweidlem44.5 . . . 4  |-  P  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  /  M )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  t )
) )
3 eqid 2438 . . . 4  |-  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t ) )  =  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
) )
4 eqid 2438 . . . 4  |-  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  M ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  M ) )
5 stoweidlem44.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
65nnrecred 10359 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  M
)  e.  RR )
7 stoweidlem44.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... M ) --> Q )
8 stoweidlem44.4 . . . . . 6  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
9 ssrab2 3432 . . . . . 6  |-  { h  e.  A  |  (
( h `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) ) }  C_  A
108, 9eqsstri 3381 . . . . 5  |-  Q  C_  A
11 fss 5562 . . . . 5  |-  ( ( G : ( 1 ... M ) --> Q  /\  Q  C_  A
)  ->  G :
( 1 ... M
) --> A )
127, 10, 11sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... M ) --> A )
13 stoweidlem44.11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
14 stoweidlem44.12 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
15 stoweidlem44.13 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
16 stoweidlem44.3 . . . . 5  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
17 stoweidlem44.9 . . . . 5  |-  T  = 
U. J
18 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
19 stoweidlem44.10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
2019sselda 3351 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
2116, 17, 18, 20fcnre 29700 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
221, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 13, 14, 15, 21stoweidlem32 29780 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
238, 2, 5, 7, 21stoweidlem38 29786 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
2423ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) ) )
251, 24ralrimi 2792 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
26 stoweidlem44.14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
278, 2, 5, 7, 21, 26stoweidlem37 29785 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P `  Z
)  =  0 )
28 stoweidlem44.1 . . . . . . . . 9  |-  F/ j
ph
29 nfv 1673 . . . . . . . . 9  |-  F/ j  t  e.  ( T 
\  U )
3028, 29nfan 1860 . . . . . . . 8  |-  F/ j ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )
31 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ j 0  <  ( ( 1  /  M )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
) )
32 stoweidlem44.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) E. j  e.  ( 1 ... M ) 0  <  ( ( G `  j ) `
 t ) )
3332r19.21bi 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M
) 0  <  (
( G `  j
) `  t )
)
34 df-rex 2716 . . . . . . . . 9  |-  ( E. j  e.  ( 1 ... M ) 0  <  ( ( G `
 j ) `  t )  <->  E. j
( j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  (
( G `  j
) `  t )
) )
3533, 34sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  E. j
( j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  (
( G `  j
) `  t )
) )
366ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( 1  /  M )  e.  RR )
37 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ph )
38 eldifi 3473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  t  e.  T )
3938ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  t  e.  T
)
40 fzfid 11787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1 ... M )  e. 
Fin )
418, 7, 21stoweidlem15 29763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( G `  i ) `  t
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( G `
 i ) `  t )  /\  (
( G `  i
) `  t )  <_  1 ) )
4241an32s 802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ( G `  i ) `  t
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( G `
 i ) `  t )  /\  (
( G `  i
) `  t )  <_  1 ) )
4342simp1d 1000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( G `  i
) `  t )  e.  RR )
4440, 43fsumrecl 13203 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t )  e.  RR )
4537, 39, 44syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
)  e.  RR )
465nnred 10329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
475nngt0d 10357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  M )
4846, 47recgt0d 10259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  /  M ) )
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  0  <  (
1  /  M ) )
50 0red 9379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  0  e.  RR )
51 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  j  e.  ( 1 ... M ) )
5237, 51, 393jca 1168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M )  /\  t  e.  T )
)
53 snfi 7382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { j }  e.  Fin
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  { j }  e.  Fin )
55 simpl1 991 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  { j } )  ->  ph )
56 simpl3 993 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  { j } )  ->  t  e.  T
)
57 elsni 3897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  { j }  ->  i  =  j )
5857adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  { j } )  ->  i  =  j )
59 simpl2 992 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  { j } )  ->  j  e.  ( 1 ... M ) )
6058, 59eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  { j } )  ->  i  e.  ( 1 ... M ) )
6155, 56, 60, 43syl21anc 1217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  { j } )  ->  ( ( G `
 i ) `  t )  e.  RR )
6254, 61fsumrecl 13203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )  e.  RR )
6352, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t )  e.  RR )
6450, 63readdcld 9405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( 0  + 
sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t ) )  e.  RR )
65 fzfi 11786 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... M )  e. 
Fin
66 diffi 7535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1 ... M )  e.  Fin  ->  (
( 1 ... M
)  \  { j } )  e.  Fin )
6765, 66mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( 1 ... M
)  \  { j } )  e.  Fin )
68 eldifi 3473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( ( 1 ... M )  \  { j } )  ->  i  e.  ( 1 ... M ) )
6968, 43sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  ->  ( ( G `
 i ) `  t )  e.  RR )
7067, 69fsumrecl 13203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) ( ( G `  i
) `  t )  e.  RR )
7137, 39, 70syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( 1 ... M
)  \  { j } ) ( ( G `  i ) `
 t )  e.  RR )
7271, 63readdcld 9405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) ( ( G `  i
) `  t )  +  sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t ) )  e.  RR )
73 00id 9536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  +  0 )  =  0
74 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  0  <  (
( G `  j
) `  t )
)
758, 7, 21stoweidlem15 29763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( G `  j ) `  t
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( G `
 j ) `  t )  /\  (
( G `  j
) `  t )  <_  1 ) )
7675simp1d 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  j
) `  t )  e.  RR )
7737, 51, 39, 76syl21anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( ( G `
 j ) `  t )  e.  RR )
7877recnd 9404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( ( G `
 j ) `  t )  e.  CC )
79 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  j  ->  ( G `  i )  =  ( G `  j ) )
8079fveq1d 5688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  j  ->  (
( G `  i
) `  t )  =  ( ( G `
 j ) `  t ) )
8180sumsn 13209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  ( 1 ... M )  /\  ( ( G `  j ) `  t
)  e.  CC )  ->  sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t )  =  ( ( G `  j ) `  t
) )
8251, 78, 81syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t )  =  ( ( G `  j ) `  t
) )
8374, 82breqtrrd 4313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  0  <  sum_ i  e.  { j }  ( ( G `
 i ) `  t ) )
8450, 63, 50, 83ltadd2dd 9522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( 0  +  0 )  <  (
0  +  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )
) )
8573, 84syl5eqbrr 4321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  0  <  (
0  +  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )
) )
86 0red 9379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  0  e.  RR )
87703adant2 1007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) ( ( G `  i
) `  t )  e.  RR )
88 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  ->  ph )
8968adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  ->  i  e.  ( 1 ... M ) )
90 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  ->  t  e.  T
)
9188, 89, 90, 41syl21anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  ->  ( ( ( G `  i ) `
 t )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( G `  i ) `  t
)  /\  ( ( G `  i ) `  t )  <_  1
) )
9291simp2d 1001 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  ->  0  <_  (
( G `  i
) `  t )
)
9367, 69, 92fsumge0 13250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_ 
sum_ i  e.  ( ( 1 ... M
)  \  { j } ) ( ( G `  i ) `
 t ) )
94933adant2 1007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  0  <_ 
sum_ i  e.  ( ( 1 ... M
)  \  { j } ) ( ( G `  i ) `
 t ) )
9586, 87, 62, 94leadd1dd 9945 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  (
0  +  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )
)  <_  ( sum_ i  e.  ( (
1 ... M )  \  { j } ) ( ( G `  i ) `  t
)  +  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )
) )
9652, 95syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( 0  + 
sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t ) )  <_  ( sum_ i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) ( ( G `  i
) `  t )  +  sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t ) ) )
9750, 64, 72, 85, 96ltletrd 9523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  0  <  ( sum_ i  e.  ( ( 1 ... M ) 
\  { j } ) ( ( G `
 i ) `  t )  +  sum_ i  e.  { j }  ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
98 eq0 3647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( 1 ... M )  \  {
j } )  i^i 
{ j } )  =  (/)  <->  A. x  -.  x  e.  ( ( ( 1 ... M )  \  { j } )  i^i  { j } ) )
99 eldifn 3474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( 1 ... M )  \  { j } )  ->  -.  x  e.  { j } )
100 imnan 422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( ( 1 ... M ) 
\  { j } )  ->  -.  x  e.  { j } )  <->  -.  ( x  e.  ( ( 1 ... M
)  \  { j } )  /\  x  e.  { j } ) )
10199, 100mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  (
x  e.  ( ( 1 ... M ) 
\  { j } )  /\  x  e. 
{ j } )
102 elin 3534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( ( 1 ... M ) 
\  { j } )  i^i  { j } )  <->  ( x  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } )  /\  x  e.  { j } ) )
103101, 102mtbir 299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  x  e.  ( ( ( 1 ... M )  \  { j } )  i^i  { j } )
10498, 103mpgbir 1595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... M
)  \  { j } )  i^i  {
j } )  =  (/)
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( 1 ... M )  \  {
j } )  i^i 
{ j } )  =  (/) )
106 undif1 3749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... M
)  \  { j } )  u.  {
j } )  =  ( ( 1 ... M )  u.  {
j } )
107 snssi 4012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  { j }  C_  ( 1 ... M ) )
1081073ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  { j }  C_  ( 1 ... M ) )
109 ssequn2 3524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { j }  C_  (
1 ... M )  <->  ( (
1 ... M )  u. 
{ j } )  =  ( 1 ... M ) )
110108, 109sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( 1 ... M
)  u.  { j } )  =  ( 1 ... M ) )
111106, 110syl5req 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  (
1 ... M )  =  ( ( ( 1 ... M )  \  { j } )  u.  { j } ) )
112 fzfid 11787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  (
1 ... M )  e. 
Fin )
113433adantl2 1145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( G `  i
) `  t )  e.  RR )
114113recnd 9404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( G `  i
) `  t )  e.  CC )
115105, 111, 112, 114fsumsplit 13208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t )  =  (
sum_ i  e.  ( ( 1 ... M
)  \  { j } ) ( ( G `  i ) `
 t )  + 
sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t ) ) )
11652, 115syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
)  =  ( sum_ i  e.  ( (
1 ... M )  \  { j } ) ( ( G `  i ) `  t
)  +  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )
) )
11797, 116breqtrrd 4313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  0  <  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  t )
)
11836, 45, 49, 117mulgt0d 9518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  0  <  (
( 1  /  M
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
11930, 31, 35, 118exlimdd 1907 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  0  <  ( ( 1  /  M
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
1208, 2, 5, 7, 21stoweidlem30 29778 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( P `  t )  =  ( ( 1  /  M )  x. 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
) ) )
12138, 120sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( P `  t )  =  ( ( 1  /  M
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
122119, 121breqtrrd 4313 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  0  <  ( P `  t ) )
123122ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  0  <  ( P `  t )
) )
1241, 123ralrimi 2792 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 t ) )
12525, 27, 1243jca 1168 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( P `  t
)  /\  ( P `  t )  <_  1
)  /\  ( P `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  ( P `  t )
) )
126 eleq1 2498 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  (
p  e.  A  <->  P  e.  A ) )
127 nfmpt1 4376 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( 1  /  M )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  t )
) )
1282, 127nfcxfr 2571 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t P
129128nfeq2 2585 . . . . . . . 8  |-  F/ t  p  =  P
130 fveq1 5685 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  P  ->  (
p `  t )  =  ( P `  t ) )
131130breq2d 4299 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  P  ->  (
0  <_  ( p `  t )  <->  0  <_  ( P `  t ) ) )
132130breq1d 4297 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  P  ->  (
( p `  t
)  <_  1  <->  ( P `  t )  <_  1
) )
133131, 132anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  P  ->  (
( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) ) )
134129, 133ralbid 2728 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) ) )
135 fveq1 5685 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  P  ->  (
p `  Z )  =  ( P `  Z ) )
136135eqeq1d 2446 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  (
( p `  Z
)  =  0  <->  ( P `  Z )  =  0 ) )
137130breq2d 4299 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  P  ->  (
0  <  ( p `  t )  <->  0  <  ( P `  t ) ) )
138129, 137ralbid 2728 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( p `  t )  <->  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  ( P `  t )
) )
139134, 136, 1383anbi123d 1289 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  (
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  <->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 )  /\  ( P `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( P `  t
) ) ) )
140126, 139anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( p  =  P  ->  (
( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )  <->  ( P  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 )  /\  ( P `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  ( P `  t )
) ) ) )
141140spcegv 3053 . . . 4  |-  ( P  e.  A  ->  (
( P  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( P `  t
)  /\  ( P `  t )  <_  1
)  /\  ( P `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  ( P `  t )
) )  ->  E. p
( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) ) )
14222, 141syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( P  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 )  /\  ( P `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( P `  t
) ) )  ->  E. p ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( p `  t
) ) ) ) )
14322, 125, 142mp2and 679 . 2  |-  ( ph  ->  E. p ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )
144 df-rex 2716 . 2  |-  ( E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  <->  E. p ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )
145143, 144sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586   F/wnf 1589    e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711   {crab 2714    \ cdif 3320    u. cun 3321    i^i cin 3322    C_ wss 3323   (/)c0 3632   {csn 3872   U.cuni 4086   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   ran crn 4836   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Fincfn 7302   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    / cdiv 9985   NNcn 10314   (,)cioo 11292   ...cfz 11429   sum_csu 13155   topGenctg 14368    Cn ccn 18803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-ioo 11296  df-ico 11298  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156  df-topgen 14374  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-cn 18806
This theorem is referenced by:  stoweidlem53  29801
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