Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem44 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stoweidlem44 38017
 Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used to represent t0 in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem44.1
stoweidlem44.2
stoweidlem44.3
stoweidlem44.4
stoweidlem44.5
stoweidlem44.6
stoweidlem44.7
stoweidlem44.8
stoweidlem44.9
stoweidlem44.10
stoweidlem44.11
stoweidlem44.12
stoweidlem44.13
stoweidlem44.14
Assertion
Ref Expression
stoweidlem44
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,,,,   ,   ,,   ,,,   ,,,   ,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,)   (,,,,,,)   (,,,,,,,)   (,,,,,)   (,)   (,,,,,,,)   (,,,,,,,)   (,)   (,,,)

Proof of Theorem stoweidlem44
StepHypRef Expression
1 stoweidlem44.2 . . . 4
2 stoweidlem44.5 . . . 4
3 eqid 2471 . . . 4
4 eqid 2471 . . . 4
5 stoweidlem44.6 . . . 4
65nnrecred 10677 . . . 4
7 stoweidlem44.7 . . . . 5
8 stoweidlem44.4 . . . . . 6
9 ssrab2 3500 . . . . . 6
108, 9eqsstri 3448 . . . . 5
11 fss 5749 . . . . 5
127, 10, 11sylancl 675 . . . 4
13 stoweidlem44.11 . . . 4
14 stoweidlem44.12 . . . 4
15 stoweidlem44.13 . . . 4
16 stoweidlem44.3 . . . . 5
17 stoweidlem44.9 . . . . 5
18 eqid 2471 . . . . 5
19 stoweidlem44.10 . . . . . 6
2019sselda 3418 . . . . 5
2116, 17, 18, 20fcnre 37409 . . . 4
221, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 13, 14, 15, 21stoweidlem32 38005 . . 3
238, 2, 5, 7, 21stoweidlem38 38011 . . . . . 6
2423ex 441 . . . . 5
251, 24ralrimi 2800 . . . 4
26 stoweidlem44.14 . . . . 5
278, 2, 5, 7, 21, 26stoweidlem37 38010 . . . 4
28 stoweidlem44.1 . . . . . . . . 9
29 nfv 1769 . . . . . . . . 9
3028, 29nfan 2031 . . . . . . . 8
31 nfv 1769 . . . . . . . 8
32 stoweidlem44.8 . . . . . . . . . 10
3332r19.21bi 2776 . . . . . . . . 9
34 df-rex 2762 . . . . . . . . 9
3533, 34sylib 201 . . . . . . . 8
366ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
37 simpll 768 . . . . . . . . . 10
38 eldifi 3544 . . . . . . . . . . 11
3938ad2antlr 741 . . . . . . . . . 10
40 fzfid 12224 . . . . . . . . . . 11
418, 7, 21stoweidlem15 37987 . . . . . . . . . . . . 13
4241an32s 821 . . . . . . . . . . . 12
4342simp1d 1042 . . . . . . . . . . 11
4440, 43fsumrecl 13877 . . . . . . . . . 10
4537, 39, 44syl2anc 673 . . . . . . . . 9
465nnred 10646 . . . . . . . . . . 11
475nngt0d 10675 . . . . . . . . . . 11
4846, 47recgt0d 10563 . . . . . . . . . 10
4948ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
50 0red 9662 . . . . . . . . . . 11
51 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . 14
5237, 51, 393jca 1210 . . . . . . . . . . . . 13
53 snfi 7668 . . . . . . . . . . . . . . 15
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
55 simpl1 1033 . . . . . . . . . . . . . . 15
56 simpl3 1035 . . . . . . . . . . . . . . 15
57 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5857adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
59 simpl2 1034 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6058, 59eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15
6155, 56, 60, 43syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . 14
6254, 61fsumrecl 13877 . . . . . . . . . . . . 13
6352, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12
6450, 63readdcld 9688 . . . . . . . . . . 11
65 fzfi 12223 . . . . . . . . . . . . . . 15
66 diffi 7821 . . . . . . . . . . . . . . 15
6765, 66mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14
68 eldifi 3544 . . . . . . . . . . . . . . 15
6968, 43sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . 14
7067, 69fsumrecl 13877 . . . . . . . . . . . . 13
7137, 39, 70syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
7271, 63readdcld 9688 . . . . . . . . . . 11
73 00id 9826 . . . . . . . . . . . 12
74 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . 14
758, 7, 21stoweidlem15 37987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7675simp1d 1042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7737, 51, 39, 76syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7877recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15
79 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8079fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8180sumsn 13884 . . . . . . . . . . . . . . 15
8251, 78, 81syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
8374, 82breqtrrd 4422 . . . . . . . . . . . . 13
8450, 63, 50, 83ltadd2dd 9811 . . . . . . . . . . . 12
8573, 84syl5eqbrr 4430 . . . . . . . . . . 11
86 0red 9662 . . . . . . . . . . . . 13
87703adant2 1049 . . . . . . . . . . . . 13
88 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8968adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
90 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9188, 89, 90, 41syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9291simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . . 15
9367, 69, 92fsumge0 13932 . . . . . . . . . . . . . 14
94933adant2 1049 . . . . . . . . . . . . 13
9586, 87, 62, 94leadd1dd 10248 . . . . . . . . . . . 12
9652, 95syl 17 . . . . . . . . . . 11
9750, 64, 72, 85, 96ltletrd 9812 . . . . . . . . . 10
98 eq0 3738 . . . . . . . . . . . . . 14
99 eldifn 3545 . . . . . . . . . . . . . . . 16
100 imnan 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10199, 100mpbi 213 . . . . . . . . . . . . . . 15
102 elin 3608 . . . . . . . . . . . . . . 15
103101, 102mtbir 306 . . . . . . . . . . . . . 14
10498, 103mpgbir 1681 . . . . . . . . . . . . 13
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
106 undif1 3833 . . . . . . . . . . . . 13
107 snssi 4107 . . . . . . . . . . . . . . 15
1081073ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . 14
109 ssequn2 3598 . . . . . . . . . . . . . 14
110108, 109sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13
111106, 110syl5req 2518 . . . . . . . . . . . 12
112 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . 12
113433adantl2 1187 . . . . . . . . . . . . 13
114113recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12
115105, 111, 112, 114fsumsplit 13883 . . . . . . . . . . 11
11652, 115syl 17 . . . . . . . . . 10
11797, 116breqtrrd 4422 . . . . . . . . 9
11836, 45, 49, 117mulgt0d 9807 . . . . . . . 8
11930, 31, 35, 118exlimdd 2089 . . . . . . 7
1208, 2, 5, 7, 21stoweidlem30 38003 . . . . . . . 8
12138, 120sylan2 482 . . . . . . 7
122119, 121breqtrrd 4422 . . . . . 6
123122ex 441 . . . . 5
1241, 123ralrimi 2800 . . . 4
12525, 27, 1243jca 1210 . . 3
126 eleq1 2537 . . . . . 6
127 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . 10
1282, 127nfcxfr 2610 . . . . . . . . 9
129128nfeq2 2627 . . . . . . . 8
130 fveq1 5878 . . . . . . . . . 10
131130breq2d 4407 . . . . . . . . 9
132130breq1d 4405 . . . . . . . . 9
133131, 132anbi12d 725 . . . . . . . 8
134129, 133ralbid 2826 . . . . . . 7
135 fveq1 5878 . . . . . . . 8
136135eqeq1d 2473 . . . . . . 7
137130breq2d 4407 . . . . . . . 8
138129, 137ralbid 2826 . . . . . . 7
139134, 136, 1383anbi123d 1365 . . . . . 6
140126, 139anbi12d 725 . . . . 5
141140spcegv 3121 . . . 4
14222, 141syl 17 . . 3
14322, 125, 142mp2and 693 . 2
144 df-rex 2762 . 2
145143, 144sylibr 217 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wex 1671  wnf 1675   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  crab 2760   cdif 3387   cun 3388   cin 3389   wss 3390  c0 3722  csn 3959  cuni 4190   class class class wbr 4395   cmpt 4454   crn 4840  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cdiv 10291  cn 10631  cioo 11660  cfz 11810  csu 13829  ctg 15414   ccn 20317 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320 This theorem is referenced by:  stoweidlem53  38026
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