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Theorem stoweidlem44 37905
Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used to represent t0 in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem44.1  |-  F/ j
ph
stoweidlem44.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem44.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem44.4  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem44.5  |-  P  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  /  M )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  t )
) )
stoweidlem44.6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem44.7  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... M ) --> Q )
stoweidlem44.8  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) E. j  e.  ( 1 ... M ) 0  <  ( ( G `  j ) `
 t ) )
stoweidlem44.9  |-  T  = 
U. J
stoweidlem44.10  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem44.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem44.12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem44.13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem44.14  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem44  |-  ( ph  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
Distinct variable groups:    f, g,
i, t, G    f,
j, i, t, G    A, f, g    f, M, g, i, t    T, f, g, i, t    ph, f,
g, i    h, i,
j, t, G    A, h    T, h, j    h, Z, i, t    x, j, M, t    U, j   
t, p, T    A, p    P, p    U, p    Z, p    x, A    x, T    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t, h, j, p)    A( t,
i, j)    P( x, t, f, g, h, i, j)    Q( x, t, f, g, h, i, j, p)    U( x, t, f, g, h, i)    G( x, p)    J( x, t, f, g, h, i, j, p)    K( x, t, f, g, h, i, j, p)    M( h, p)    Z( x, f, g, j)

Proof of Theorem stoweidlem44
StepHypRef Expression
1 stoweidlem44.2 . . . 4  |-  F/ t
ph
2 stoweidlem44.5 . . . 4  |-  P  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  /  M )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  t )
) )
3 eqid 2451 . . . 4  |-  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t ) )  =  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
) )
4 eqid 2451 . . . 4  |-  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  M ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  M ) )
5 stoweidlem44.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
65nnrecred 10655 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  M
)  e.  RR )
7 stoweidlem44.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... M ) --> Q )
8 stoweidlem44.4 . . . . . 6  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
9 ssrab2 3514 . . . . . 6  |-  { h  e.  A  |  (
( h `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) ) }  C_  A
108, 9eqsstri 3462 . . . . 5  |-  Q  C_  A
11 fss 5737 . . . . 5  |-  ( ( G : ( 1 ... M ) --> Q  /\  Q  C_  A
)  ->  G :
( 1 ... M
) --> A )
127, 10, 11sylancl 668 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... M ) --> A )
13 stoweidlem44.11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
14 stoweidlem44.12 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
15 stoweidlem44.13 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
16 stoweidlem44.3 . . . . 5  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
17 stoweidlem44.9 . . . . 5  |-  T  = 
U. J
18 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
19 stoweidlem44.10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
2019sselda 3432 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
2116, 17, 18, 20fcnre 37346 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
221, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 13, 14, 15, 21stoweidlem32 37893 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
238, 2, 5, 7, 21stoweidlem38 37899 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
2423ex 436 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) ) )
251, 24ralrimi 2788 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
26 stoweidlem44.14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
278, 2, 5, 7, 21, 26stoweidlem37 37898 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P `  Z
)  =  0 )
28 stoweidlem44.1 . . . . . . . . 9  |-  F/ j
ph
29 nfv 1761 . . . . . . . . 9  |-  F/ j  t  e.  ( T 
\  U )
3028, 29nfan 2011 . . . . . . . 8  |-  F/ j ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )
31 nfv 1761 . . . . . . . 8  |-  F/ j 0  <  ( ( 1  /  M )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
) )
32 stoweidlem44.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) E. j  e.  ( 1 ... M ) 0  <  ( ( G `  j ) `
 t ) )
3332r19.21bi 2757 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M
) 0  <  (
( G `  j
) `  t )
)
34 df-rex 2743 . . . . . . . . 9  |-  ( E. j  e.  ( 1 ... M ) 0  <  ( ( G `
 j ) `  t )  <->  E. j
( j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  (
( G `  j
) `  t )
) )
3533, 34sylib 200 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  E. j
( j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  (
( G `  j
) `  t )
) )
366ad2antrr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( 1  /  M )  e.  RR )
37 simpll 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ph )
38 eldifi 3555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  t  e.  T )
3938ad2antlr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  t  e.  T
)
40 fzfid 12186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1 ... M )  e. 
Fin )
418, 7, 21stoweidlem15 37875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( G `  i ) `  t
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( G `
 i ) `  t )  /\  (
( G `  i
) `  t )  <_  1 ) )
4241an32s 813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ( G `  i ) `  t
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( G `
 i ) `  t )  /\  (
( G `  i
) `  t )  <_  1 ) )
4342simp1d 1020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( G `  i
) `  t )  e.  RR )
4440, 43fsumrecl 13800 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t )  e.  RR )
4537, 39, 44syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
)  e.  RR )
465nnred 10624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
475nngt0d 10653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  M )
4846, 47recgt0d 10541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  /  M ) )
4948ad2antrr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  0  <  (
1  /  M ) )
50 0red 9644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  0  e.  RR )
51 simprl 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  j  e.  ( 1 ... M ) )
5237, 51, 393jca 1188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M )  /\  t  e.  T )
)
53 snfi 7650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { j }  e.  Fin
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  { j }  e.  Fin )
55 simpl1 1011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  { j } )  ->  ph )
56 simpl3 1013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  { j } )  ->  t  e.  T
)
57 elsni 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  { j }  ->  i  =  j )
5857adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  { j } )  ->  i  =  j )
59 simpl2 1012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  { j } )  ->  j  e.  ( 1 ... M ) )
6058, 59eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  { j } )  ->  i  e.  ( 1 ... M ) )
6155, 56, 60, 43syl21anc 1267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  { j } )  ->  ( ( G `
 i ) `  t )  e.  RR )
6254, 61fsumrecl 13800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )  e.  RR )
6352, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t )  e.  RR )
6450, 63readdcld 9670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( 0  + 
sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t ) )  e.  RR )
65 fzfi 12185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... M )  e. 
Fin
66 diffi 7803 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1 ... M )  e.  Fin  ->  (
( 1 ... M
)  \  { j } )  e.  Fin )
6765, 66mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( 1 ... M
)  \  { j } )  e.  Fin )
68 eldifi 3555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( ( 1 ... M )  \  { j } )  ->  i  e.  ( 1 ... M ) )
6968, 43sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  ->  ( ( G `
 i ) `  t )  e.  RR )
7067, 69fsumrecl 13800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) ( ( G `  i
) `  t )  e.  RR )
7137, 39, 70syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( 1 ... M
)  \  { j } ) ( ( G `  i ) `
 t )  e.  RR )
7271, 63readdcld 9670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) ( ( G `  i
) `  t )  +  sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t ) )  e.  RR )
73 00id 9808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  +  0 )  =  0
74 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  0  <  (
( G `  j
) `  t )
)
758, 7, 21stoweidlem15 37875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( G `  j ) `  t
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( G `
 j ) `  t )  /\  (
( G `  j
) `  t )  <_  1 ) )
7675simp1d 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  j
) `  t )  e.  RR )
7737, 51, 39, 76syl21anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( ( G `
 j ) `  t )  e.  RR )
7877recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( ( G `
 j ) `  t )  e.  CC )
79 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  j  ->  ( G `  i )  =  ( G `  j ) )
8079fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  j  ->  (
( G `  i
) `  t )  =  ( ( G `
 j ) `  t ) )
8180sumsn 13807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  ( 1 ... M )  /\  ( ( G `  j ) `  t
)  e.  CC )  ->  sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t )  =  ( ( G `  j ) `  t
) )
8251, 78, 81syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t )  =  ( ( G `  j ) `  t
) )
8374, 82breqtrrd 4429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  0  <  sum_ i  e.  { j }  ( ( G `
 i ) `  t ) )
8450, 63, 50, 83ltadd2dd 9794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( 0  +  0 )  <  (
0  +  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )
) )
8573, 84syl5eqbrr 4437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  0  <  (
0  +  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )
) )
86 0red 9644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  0  e.  RR )
87703adant2 1027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) ( ( G `  i
) `  t )  e.  RR )
88 simpll 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  ->  ph )
8968adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  ->  i  e.  ( 1 ... M ) )
90 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  ->  t  e.  T
)
9188, 89, 90, 41syl21anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  ->  ( ( ( G `  i ) `
 t )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( G `  i ) `  t
)  /\  ( ( G `  i ) `  t )  <_  1
) )
9291simp2d 1021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  ->  0  <_  (
( G `  i
) `  t )
)
9367, 69, 92fsumge0 13855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_ 
sum_ i  e.  ( ( 1 ... M
)  \  { j } ) ( ( G `  i ) `
 t ) )
94933adant2 1027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  0  <_ 
sum_ i  e.  ( ( 1 ... M
)  \  { j } ) ( ( G `  i ) `
 t ) )
9586, 87, 62, 94leadd1dd 10227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  (
0  +  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )
)  <_  ( sum_ i  e.  ( (
1 ... M )  \  { j } ) ( ( G `  i ) `  t
)  +  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )
) )
9652, 95syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( 0  + 
sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t ) )  <_  ( sum_ i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) ( ( G `  i
) `  t )  +  sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t ) ) )
9750, 64, 72, 85, 96ltletrd 9795 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  0  <  ( sum_ i  e.  ( ( 1 ... M ) 
\  { j } ) ( ( G `
 i ) `  t )  +  sum_ i  e.  { j }  ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
98 eq0 3747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( 1 ... M )  \  {
j } )  i^i 
{ j } )  =  (/)  <->  A. x  -.  x  e.  ( ( ( 1 ... M )  \  { j } )  i^i  { j } ) )
99 eldifn 3556 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( 1 ... M )  \  { j } )  ->  -.  x  e.  { j } )
100 imnan 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( ( 1 ... M ) 
\  { j } )  ->  -.  x  e.  { j } )  <->  -.  ( x  e.  ( ( 1 ... M
)  \  { j } )  /\  x  e.  { j } ) )
10199, 100mpbi 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  (
x  e.  ( ( 1 ... M ) 
\  { j } )  /\  x  e. 
{ j } )
102 elin 3617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( ( 1 ... M ) 
\  { j } )  i^i  { j } )  <->  ( x  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } )  /\  x  e.  { j } ) )
103101, 102mtbir 301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  x  e.  ( ( ( 1 ... M )  \  { j } )  i^i  { j } )
10498, 103mpgbir 1673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... M
)  \  { j } )  i^i  {
j } )  =  (/)
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( 1 ... M )  \  {
j } )  i^i 
{ j } )  =  (/) )
106 undif1 3842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... M
)  \  { j } )  u.  {
j } )  =  ( ( 1 ... M )  u.  {
j } )
107 snssi 4116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  { j }  C_  ( 1 ... M ) )
1081073ad2ant2 1030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  { j }  C_  ( 1 ... M ) )
109 ssequn2 3607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { j }  C_  (
1 ... M )  <->  ( (
1 ... M )  u. 
{ j } )  =  ( 1 ... M ) )
110108, 109sylib 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( 1 ... M
)  u.  { j } )  =  ( 1 ... M ) )
111106, 110syl5req 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  (
1 ... M )  =  ( ( ( 1 ... M )  \  { j } )  u.  { j } ) )
112 fzfid 12186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  (
1 ... M )  e. 
Fin )
113433adantl2 1165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( G `  i
) `  t )  e.  RR )
114113recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( G `  i
) `  t )  e.  CC )
115105, 111, 112, 114fsumsplit 13806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t )  =  (
sum_ i  e.  ( ( 1 ... M
)  \  { j } ) ( ( G `  i ) `
 t )  + 
sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t ) ) )
11652, 115syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
)  =  ( sum_ i  e.  ( (
1 ... M )  \  { j } ) ( ( G `  i ) `  t
)  +  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )
) )
11797, 116breqtrrd 4429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  0  <  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  t )
)
11836, 45, 49, 117mulgt0d 9790 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  0  <  (
( 1  /  M
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
11930, 31, 35, 118exlimdd 2070 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  0  <  ( ( 1  /  M
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
1208, 2, 5, 7, 21stoweidlem30 37891 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( P `  t )  =  ( ( 1  /  M )  x. 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
) ) )
12138, 120sylan2 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( P `  t )  =  ( ( 1  /  M
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
122119, 121breqtrrd 4429 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  0  <  ( P `  t ) )
123122ex 436 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  0  <  ( P `  t )
) )
1241, 123ralrimi 2788 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 t ) )
12525, 27, 1243jca 1188 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( P `  t
)  /\  ( P `  t )  <_  1
)  /\  ( P `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  ( P `  t )
) )
126 eleq1 2517 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  (
p  e.  A  <->  P  e.  A ) )
127 nfmpt1 4492 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( 1  /  M )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  t )
) )
1282, 127nfcxfr 2590 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t P
129128nfeq2 2607 . . . . . . . 8  |-  F/ t  p  =  P
130 fveq1 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  P  ->  (
p `  t )  =  ( P `  t ) )
131130breq2d 4414 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  P  ->  (
0  <_  ( p `  t )  <->  0  <_  ( P `  t ) ) )
132130breq1d 4412 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  P  ->  (
( p `  t
)  <_  1  <->  ( P `  t )  <_  1
) )
133131, 132anbi12d 717 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  P  ->  (
( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) ) )
134129, 133ralbid 2822 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) ) )
135 fveq1 5864 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  P  ->  (
p `  Z )  =  ( P `  Z ) )
136135eqeq1d 2453 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  (
( p `  Z
)  =  0  <->  ( P `  Z )  =  0 ) )
137130breq2d 4414 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  P  ->  (
0  <  ( p `  t )  <->  0  <  ( P `  t ) ) )
138129, 137ralbid 2822 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( p `  t )  <->  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  ( P `  t )
) )
139134, 136, 1383anbi123d 1339 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  (
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  <->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 )  /\  ( P `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( P `  t
) ) ) )
140126, 139anbi12d 717 . . . . 5  |-  ( p  =  P  ->  (
( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )  <->  ( P  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 )  /\  ( P `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  ( P `  t )
) ) ) )
141140spcegv 3135 . . . 4  |-  ( P  e.  A  ->  (
( P  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( P `  t
)  /\  ( P `  t )  <_  1
)  /\  ( P `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  ( P `  t )
) )  ->  E. p
( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) ) )
14222, 141syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( P  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 )  /\  ( P `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( P `  t
) ) )  ->  E. p ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( p `  t
) ) ) ) )
14322, 125, 142mp2and 685 . 2  |-  ( ph  ->  E. p ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )
144 df-rex 2743 . 2  |-  ( E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  <->  E. p ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )
145143, 144sylibr 216 1  |-  ( ph  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444   E.wex 1663   F/wnf 1667    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741    \ cdif 3401    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   U.cuni 4198   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   ran crn 4835   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    <_ cle 9676    / cdiv 10269   NNcn 10609   (,)cioo 11635   ...cfz 11784   sum_csu 13752   topGenctg 15336    Cn ccn 20240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-topgen 15342  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cn 20243
This theorem is referenced by:  stoweidlem53  37914
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