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Theorem stoweidlem43 29809
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function pt in the subalgebra, such that pt( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Hera Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem43.1  |-  F/ g
ph
stoweidlem43.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem43.3  |-  F/_ h Q
stoweidlem43.4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem43.5  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem43.6  |-  T  = 
U. J
stoweidlem43.7  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem43.8  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem43.9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( l `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem43.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( l `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem43.11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem43.12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  r
)  =/=  ( g `
 t ) )
stoweidlem43.13  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem43.14  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
stoweidlem43.15  |-  ( ph  ->  S  e.  ( T 
\  U ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem43  |-  ( ph  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
l, t, A    f, h, T, t    T, l   
f, r, g, t, A    x, f, g, t, A    Q, f    S, f, g, l, t   
f, Z, g, l, t    ph, f, l    A, h    S, h    h, Z    T, r    S, r    ph, r    x, T    x, S    x, Z    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t, g, h)    Q( x, t, g, h, r, l)    T( g)    U( x, t, f, g, h, r, l)    J( x, t, f, g, h, r, l)    K( x, t, f, g, h, r, l)    Z( r)

Proof of Theorem stoweidlem43
Dummy variables  s 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem43.1 . . 3  |-  F/ g
ph
2 nfv 1673 . . 3  |-  F/ g E. f ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 )
3 stoweidlem43.15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  ( T 
\  U ) )
43eldifad 3335 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  T )
5 stoweidlem43.14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
6 stoweidlem43.13 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
7 elunii 4091 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  U  /\  U  e.  J )  ->  Z  e.  U. J
)
85, 6, 7syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  U. J
)
9 stoweidlem43.6 . . . . . 6  |-  T  = 
U. J
108, 9syl6eleqr 2529 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
113eldifbd 3336 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  U
)
12 nelne2 2697 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  U  /\  -.  S  e.  U
)  ->  Z  =/=  S )
135, 11, 12syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  =/=  S )
1413necomd 2690 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  =/=  Z )
154, 10, 143jca 1168 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z
) )
16 simpr2 995 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/= 
Z ) )  ->  Z  e.  T )
17 stoweidlem43.2 . . . . . . . . 9  |-  F/ t
ph
18 nfv 1673 . . . . . . . . 9  |-  F/ t ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z
)
1917, 18nfan 1861 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z ) )
20 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ t E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z )
2119, 20nfim 1853 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ( ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z
) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  Z )
)
22 eleq1 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  Z  ->  (
t  e.  T  <->  Z  e.  T ) )
23 neeq2 2612 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  Z  ->  ( S  =/=  t  <->  S  =/=  Z ) )
2422, 233anbi23d 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  Z  ->  (
( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t
)  <->  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/= 
Z ) ) )
2524anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  Z  ->  (
( ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) )  <-> 
( ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z ) ) ) )
26 fveq2 5686 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  Z  ->  (
g `  t )  =  ( g `  Z ) )
2726neeq2d 2617 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  Z  ->  (
( g `  S
)  =/=  ( g `
 t )  <->  ( g `  S )  =/=  (
g `  Z )
) )
2827rexbidv 2731 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  Z  ->  ( E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 t )  <->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  Z )
) )
2925, 28imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( t  =  Z  ->  (
( ( ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t
) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  t )
)  <->  ( ( ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z
) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  Z )
) ) )
30 simpr1 994 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) )  ->  S  e.  T )
31 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  S  ->  (
r  e.  T  <->  S  e.  T ) )
32 neeq1 2611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  S  ->  (
r  =/=  t  <->  S  =/=  t ) )
3331, 323anbi13d 1291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  S  ->  (
( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t
)  <->  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) ) )
3433anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  S  ->  (
( ph  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  <-> 
( ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) ) ) )
35 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  S  ->  (
g `  r )  =  ( g `  S ) )
3635neeq1d 2616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  S  ->  (
( g `  r
)  =/=  ( g `
 t )  <->  ( g `  S )  =/=  (
g `  t )
) )
3736rexbidv 2731 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  S  ->  ( E. g  e.  A  ( g `  r
)  =/=  ( g `
 t )  <->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  t )
) )
3834, 37imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  S  ->  (
( ( ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t
) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  r )  =/=  (
g `  t )
)  <->  ( ( ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t
) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  t )
) ) )
39 stoweidlem43.12 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  r
)  =/=  ( g `
 t ) )
4039a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  T  ->  (
( ph  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  r
)  =/=  ( g `
 t ) ) )
4138, 40vtoclga 3031 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  T  ->  (
( ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 t ) ) )
4230, 41mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 t ) )
4321, 29, 42vtoclg1f 3024 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  T  ->  (
( ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )
4416, 43mpcom 36 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/= 
Z ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) )
45 df-rex 2716 . . . . 5  |-  ( E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  ( g `  Z )  <->  E. g
( g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )
4644, 45sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/= 
Z ) )  ->  E. g ( g  e.  A  /\  ( g `
 S )  =/=  ( g `  Z
) ) )
4715, 46mpdan 668 . . 3  |-  ( ph  ->  E. g ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )
48 nfv 1673 . . . . . 6  |-  F/ t ( g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) )
4917, 48nfan 1861 . . . . 5  |-  F/ t ( ph  /\  (
g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )
50 nfcv 2574 . . . . 5  |-  F/_ t
g
51 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )
52 stoweidlem43.4 . . . . . . 7  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
53 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
54 stoweidlem43.8 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
5554sselda 3351 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
5652, 9, 53, 55fcnre 29718 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
5756adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
58 stoweidlem43.9 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( l `  t ) ) )  e.  A )
59583adant1r 1211 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( l `
 t ) ) )  e.  A )
60 stoweidlem43.11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
6160adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  x )  e.  A )
624adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  ->  S  e.  T )
6310adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  ->  Z  e.  T )
64 simprl 755 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  -> 
g  e.  A )
65 simprr 756 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  -> 
( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) )
6649, 50, 51, 57, 59, 61, 62, 63, 64, 65stoweidlem23 29789 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  -> 
( ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  e.  A  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  S )  =/=  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) ) `
 Z )  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) ) `  Z )  =  0 ) )
67 eleq1 2498 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( f  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) )  e.  A ) )
68 fveq1 5685 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( f `  S
)  =  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  S ) )
69 fveq1 5685 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( f `  Z
)  =  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z ) )
7068, 69neeq12d 2618 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( ( f `  S )  =/=  (
f `  Z )  <->  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  S
)  =/=  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z ) ) )
7169eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( ( f `  Z )  =  0  <-> 
( ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) ) `  Z )  =  0 ) )
7267, 70, 713anbi123d 1289 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( ( f  e.  A  /\  ( f `
 S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 )  <->  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) )  e.  A  /\  (
( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  S
)  =/=  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z )  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) ) `
 Z )  =  0 ) ) )
7372spcegv 3053 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) )  e.  A  -> 
( ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) )  e.  A  /\  (
( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  S
)  =/=  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z )  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) ) `
 Z )  =  0 )  ->  E. f
( f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 ) ) )
74733ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) )  e.  A  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) ) `  S )  =/=  (
( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  Z
)  /\  ( (
t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z )  =  0 )  -> 
( ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) )  e.  A  /\  (
( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  S
)  =/=  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z )  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) ) `
 Z )  =  0 )  ->  E. f
( f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 ) ) )
7574pm2.43i 47 . . . 4  |-  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) )  e.  A  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) ) `  S )  =/=  (
( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  Z
)  /\  ( (
t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z )  =  0 )  ->  E. f ( f  e.  A  /\  ( f `
 S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )
7666, 75syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  ->  E. f ( f  e.  A  /\  ( f `
 S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )
771, 2, 47, 76exlimdd 1908 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )
78 stoweidlem43.3 . . . . 5  |-  F/_ h Q
79 nfmpt1 4376 . . . . 5  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  ( f `  s ) ) ) `
 t )  /  sup ( ran  ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  ( f `  s ) ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
80 nfcv 2574 . . . . 5  |-  F/_ t
f
81 nfcv 2574 . . . . 5  |-  F/_ t
( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  (
f `  s )
) )
82 nfv 1673 . . . . . 6  |-  F/ t ( f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 )
8317, 82nfan 1861 . . . . 5  |-  F/ t ( ph  /\  (
f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 ) )
84 stoweidlem43.5 . . . . 5  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
85 fveq2 5686 . . . . . . 7  |-  ( s  =  t  ->  (
f `  s )  =  ( f `  t ) )
8685, 85oveq12d 6104 . . . . . 6  |-  ( s  =  t  ->  (
( f `  s
)  x.  ( f `
 s ) )  =  ( ( f `
 t )  x.  ( f `  t
) ) )
8786cbvmptv 4378 . . . . 5  |-  ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  ( f `  s ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( f `  t
) ) )
88 eqid 2438 . . . . 5  |-  sup ( ran  ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  (
f `  s )
) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( s  e.  T  |->  ( ( f `
 s )  x.  ( f `  s
) ) ) ,  RR ,  <  )
89 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  (
f `  s )
) ) `  t
)  /  sup ( ran  ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  (
f `  s )
) ) ,  RR ,  <  ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s
)  x.  ( f `
 s ) ) ) `  t )  /  sup ( ran  ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  (
f `  s )
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
90 stoweidlem43.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
9190adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  J  e.  Comp )
9254adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  A  C_  ( J  Cn  K
) )
93 eleq1 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  k  ->  (
f  e.  A  <->  k  e.  A ) )
94933anbi2d 1294 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  k  ->  (
( ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A )  <->  ( ph  /\  k  e.  A  /\  l  e.  A )
) )
95 fveq1 5685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  k  ->  (
f `  t )  =  ( k `  t ) )
9695oveq1d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  k  ->  (
( f `  t
)  x.  ( l `
 t ) )  =  ( ( k `
 t )  x.  ( l `  t
) ) )
9796mpteq2dv 4374 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  k  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( k `  t )  x.  ( l `  t ) ) ) )
9897eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  k  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( k `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  e.  A ) )
9994, 98imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( f  =  k  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  k  e.  A  /\  l  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( k `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  A
) ) )
100 stoweidlem43.10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( l `  t ) ) )  e.  A )
10199, 100chvarv 1958 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A  /\  l  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( k `  t )  x.  ( l `  t ) ) )  e.  A )
1021013adant1r 1211 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 ) )  /\  k  e.  A  /\  l  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( k `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  e.  A )
10360adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  x )  e.  A )
1044adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  S  e.  T )
10510adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  Z  e.  T )
106 simpr1 994 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  f  e.  A )
107 simpr2 995 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
) )
108 simpr3 996 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  (
f `  Z )  =  0 )
10978, 79, 80, 81, 83, 52, 84, 9, 87, 88, 89, 91, 92, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108stoweidlem36 29802 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  E. h
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 S ) ) )
110109ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  A  /\  ( f `
 S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 )  ->  E. h
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 S ) ) ) )
111110exlimdv 1690 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. f ( f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 )  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) ) )
11277, 111mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586   F/wnf 1589    e. wcel 1756   F/_wnfc 2561    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   {crab 2714    \ cdif 3320    C_ wss 3323   U.cuni 4086   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   ran crn 4836   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   supcsup 7682   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   (,)cioo 11292   topGenctg 14368    Cn ccn 18808   Compccmp 18969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-cnfld 17799  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-cn 18811  df-cnp 18812  df-cmp 18970  df-tx 19115  df-hmeo 19308  df-xms 19875  df-ms 19876  df-tms 19877
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