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Theorem stoweidlem43 37904
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function pt in the subalgebra, such that pt( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Hera Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem43.1  |-  F/ g
ph
stoweidlem43.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem43.3  |-  F/_ h Q
stoweidlem43.4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem43.5  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem43.6  |-  T  = 
U. J
stoweidlem43.7  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem43.8  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem43.9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( l `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem43.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( l `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem43.11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem43.12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  r
)  =/=  ( g `
 t ) )
stoweidlem43.13  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem43.14  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
stoweidlem43.15  |-  ( ph  ->  S  e.  ( T 
\  U ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem43  |-  ( ph  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
l, t, A    f, h, T, t    T, l   
f, r, g, t, A    x, f, g, t, A    Q, f    S, f, g, l, t   
f, Z, g, l, t    ph, f, l    A, h    S, h    h, Z    T, r    S, r    ph, r    x, T    x, S    x, Z    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t, g, h)    Q( x, t, g, h, r, l)    T( g)    U( x, t, f, g, h, r, l)    J( x, t, f, g, h, r, l)    K( x, t, f, g, h, r, l)    Z( r)

Proof of Theorem stoweidlem43
Dummy variables  s 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem43.1 . . 3  |-  F/ g
ph
2 nfv 1761 . . 3  |-  F/ g E. f ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 )
3 stoweidlem43.15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  ( T 
\  U ) )
43eldifad 3416 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  T )
5 stoweidlem43.14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
6 stoweidlem43.13 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
7 elunii 4203 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  U  /\  U  e.  J )  ->  Z  e.  U. J
)
85, 6, 7syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  U. J
)
9 stoweidlem43.6 . . . . . 6  |-  T  = 
U. J
108, 9syl6eleqr 2540 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
113eldifbd 3417 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  U
)
12 nelne2 2721 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  U  /\  -.  S  e.  U
)  ->  Z  =/=  S )
135, 11, 12syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  =/=  S )
1413necomd 2679 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  =/=  Z )
154, 10, 143jca 1188 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z
) )
16 simpr2 1015 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/= 
Z ) )  ->  Z  e.  T )
17 stoweidlem43.2 . . . . . . . . 9  |-  F/ t
ph
18 nfv 1761 . . . . . . . . 9  |-  F/ t ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z
)
1917, 18nfan 2011 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z ) )
20 nfv 1761 . . . . . . . 8  |-  F/ t E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z )
2119, 20nfim 2003 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ( ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z
) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  Z )
)
22 eleq1 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  Z  ->  (
t  e.  T  <->  Z  e.  T ) )
23 neeq2 2687 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  Z  ->  ( S  =/=  t  <->  S  =/=  Z ) )
2422, 233anbi23d 1342 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  Z  ->  (
( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t
)  <->  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/= 
Z ) ) )
2524anbi2d 710 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  Z  ->  (
( ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) )  <-> 
( ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z ) ) ) )
26 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  Z  ->  (
g `  t )  =  ( g `  Z ) )
2726neeq2d 2684 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  Z  ->  (
( g `  S
)  =/=  ( g `
 t )  <->  ( g `  S )  =/=  (
g `  Z )
) )
2827rexbidv 2901 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  Z  ->  ( E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 t )  <->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  Z )
) )
2925, 28imbi12d 322 . . . . . . 7  |-  ( t  =  Z  ->  (
( ( ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t
) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  t )
)  <->  ( ( ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z
) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  Z )
) ) )
30 simpr1 1014 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) )  ->  S  e.  T )
31 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  S  ->  (
r  e.  T  <->  S  e.  T ) )
32 neeq1 2686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  S  ->  (
r  =/=  t  <->  S  =/=  t ) )
3331, 323anbi13d 1341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  S  ->  (
( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t
)  <->  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) ) )
3433anbi2d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  S  ->  (
( ph  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  <-> 
( ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) ) ) )
35 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  S  ->  (
g `  r )  =  ( g `  S ) )
3635neeq1d 2683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  S  ->  (
( g `  r
)  =/=  ( g `
 t )  <->  ( g `  S )  =/=  (
g `  t )
) )
3736rexbidv 2901 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  S  ->  ( E. g  e.  A  ( g `  r
)  =/=  ( g `
 t )  <->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  t )
) )
3834, 37imbi12d 322 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  S  ->  (
( ( ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t
) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  r )  =/=  (
g `  t )
)  <->  ( ( ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t
) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  t )
) ) )
39 stoweidlem43.12 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  r
)  =/=  ( g `
 t ) )
4039a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  T  ->  (
( ph  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  r
)  =/=  ( g `
 t ) ) )
4138, 40vtoclga 3113 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  T  ->  (
( ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 t ) ) )
4230, 41mpcom 37 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 t ) )
4321, 29, 42vtoclg1f 3106 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  T  ->  (
( ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )
4416, 43mpcom 37 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/= 
Z ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) )
45 df-rex 2743 . . . . 5  |-  ( E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  ( g `  Z )  <->  E. g
( g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )
4644, 45sylib 200 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/= 
Z ) )  ->  E. g ( g  e.  A  /\  ( g `
 S )  =/=  ( g `  Z
) ) )
4715, 46mpdan 674 . . 3  |-  ( ph  ->  E. g ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )
48 nfv 1761 . . . . . 6  |-  F/ t ( g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) )
4917, 48nfan 2011 . . . . 5  |-  F/ t ( ph  /\  (
g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )
50 nfcv 2592 . . . . 5  |-  F/_ t
g
51 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )
52 stoweidlem43.4 . . . . . . 7  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
53 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
54 stoweidlem43.8 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
5554sselda 3432 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
5652, 9, 53, 55fcnre 37346 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
5756adantlr 721 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
58 stoweidlem43.9 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( l `  t ) ) )  e.  A )
59583adant1r 1261 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( l `
 t ) ) )  e.  A )
60 stoweidlem43.11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
6160adantlr 721 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  x )  e.  A )
624adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  ->  S  e.  T )
6310adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  ->  Z  e.  T )
64 simprl 764 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  -> 
g  e.  A )
65 simprr 766 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  -> 
( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) )
6649, 50, 51, 57, 59, 61, 62, 63, 64, 65stoweidlem23 37883 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  -> 
( ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  e.  A  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  S )  =/=  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) ) `
 Z )  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) ) `  Z )  =  0 ) )
67 eleq1 2517 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( f  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) )  e.  A ) )
68 fveq1 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( f `  S
)  =  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  S ) )
69 fveq1 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( f `  Z
)  =  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z ) )
7068, 69neeq12d 2685 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( ( f `  S )  =/=  (
f `  Z )  <->  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  S
)  =/=  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z ) ) )
7169eqeq1d 2453 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( ( f `  Z )  =  0  <-> 
( ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) ) `  Z )  =  0 ) )
7267, 70, 713anbi123d 1339 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( ( f  e.  A  /\  ( f `
 S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 )  <->  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) )  e.  A  /\  (
( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  S
)  =/=  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z )  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) ) `
 Z )  =  0 ) ) )
7372spcegv 3135 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) )  e.  A  -> 
( ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) )  e.  A  /\  (
( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  S
)  =/=  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z )  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) ) `
 Z )  =  0 )  ->  E. f
( f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 ) ) )
74733ad2ant1 1029 . . . . 5  |-  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) )  e.  A  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) ) `  S )  =/=  (
( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  Z
)  /\  ( (
t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z )  =  0 )  -> 
( ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) )  e.  A  /\  (
( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  S
)  =/=  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z )  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) ) `
 Z )  =  0 )  ->  E. f
( f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 ) ) )
7574pm2.43i 49 . . . 4  |-  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) )  e.  A  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) ) `  S )  =/=  (
( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  Z
)  /\  ( (
t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z )  =  0 )  ->  E. f ( f  e.  A  /\  ( f `
 S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )
7666, 75syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  ->  E. f ( f  e.  A  /\  ( f `
 S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )
771, 2, 47, 76exlimdd 2070 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )
78 stoweidlem43.3 . . . . 5  |-  F/_ h Q
79 nfmpt1 4492 . . . . 5  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  ( f `  s ) ) ) `
 t )  /  sup ( ran  ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  ( f `  s ) ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
80 nfcv 2592 . . . . 5  |-  F/_ t
f
81 nfcv 2592 . . . . 5  |-  F/_ t
( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  (
f `  s )
) )
82 nfv 1761 . . . . . 6  |-  F/ t ( f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 )
8317, 82nfan 2011 . . . . 5  |-  F/ t ( ph  /\  (
f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 ) )
84 stoweidlem43.5 . . . . 5  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
85 fveq2 5865 . . . . . . 7  |-  ( s  =  t  ->  (
f `  s )  =  ( f `  t ) )
8685, 85oveq12d 6308 . . . . . 6  |-  ( s  =  t  ->  (
( f `  s
)  x.  ( f `
 s ) )  =  ( ( f `
 t )  x.  ( f `  t
) ) )
8786cbvmptv 4495 . . . . 5  |-  ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  ( f `  s ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( f `  t
) ) )
88 eqid 2451 . . . . 5  |-  sup ( ran  ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  (
f `  s )
) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( s  e.  T  |->  ( ( f `
 s )  x.  ( f `  s
) ) ) ,  RR ,  <  )
89 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  (
f `  s )
) ) `  t
)  /  sup ( ran  ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  (
f `  s )
) ) ,  RR ,  <  ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s
)  x.  ( f `
 s ) ) ) `  t )  /  sup ( ran  ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  (
f `  s )
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
90 stoweidlem43.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
9190adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  J  e.  Comp )
9254adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  A  C_  ( J  Cn  K
) )
93 eleq1 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  k  ->  (
f  e.  A  <->  k  e.  A ) )
94933anbi2d 1344 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  k  ->  (
( ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A )  <->  ( ph  /\  k  e.  A  /\  l  e.  A )
) )
95 fveq1 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  k  ->  (
f `  t )  =  ( k `  t ) )
9695oveq1d 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  k  ->  (
( f `  t
)  x.  ( l `
 t ) )  =  ( ( k `
 t )  x.  ( l `  t
) ) )
9796mpteq2dv 4490 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  k  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( k `  t )  x.  ( l `  t ) ) ) )
9897eleq1d 2513 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  k  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( k `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  e.  A ) )
9994, 98imbi12d 322 . . . . . . 7  |-  ( f  =  k  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  k  e.  A  /\  l  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( k `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  A
) ) )
100 stoweidlem43.10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( l `  t ) ) )  e.  A )
10199, 100chvarv 2107 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A  /\  l  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( k `  t )  x.  ( l `  t ) ) )  e.  A )
1021013adant1r 1261 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 ) )  /\  k  e.  A  /\  l  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( k `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  e.  A )
10360adantlr 721 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  x )  e.  A )
1044adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  S  e.  T )
10510adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  Z  e.  T )
106 simpr1 1014 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  f  e.  A )
107 simpr2 1015 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
) )
108 simpr3 1016 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  (
f `  Z )  =  0 )
10978, 79, 80, 81, 83, 52, 84, 9, 87, 88, 89, 91, 92, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108stoweidlem36 37897 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  E. h
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 S ) ) )
110109ex 436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  A  /\  ( f `
 S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 )  ->  E. h
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 S ) ) ) )
111110exlimdv 1779 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. f ( f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 )  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) ) )
11277, 111mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444   E.wex 1663   F/wnf 1667    e. wcel 1887   F/_wnfc 2579    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741    \ cdif 3401    C_ wss 3404   U.cuni 4198   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   ran crn 4835   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   supcsup 7954   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   (,)cioo 11635   topGenctg 15336    Cn ccn 20240   Compccmp 20401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337
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