Theorem stoweidlem43 27659

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p_t as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p_t in the subalgebra, such that p_t( t₀ ) = 0 , p_t ( t ) > 0, and 0 <= p_t <= 1. Hera Z is used for t₀ , S is used for t e. T - U , h is used for p_t. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem43.1	|- F/ g ph
stoweidlem43.2	|- F/ t ph
stoweidlem43.3	|- F/_ h Q
stoweidlem43.4	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem43.5	|- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
stoweidlem43.6	|- T = U. J
stoweidlem43.7	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem43.8	|- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
stoweidlem43.9	|- ( ( ph /\ f e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( l ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem43.10	|- ( ( ph /\ f e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem43.11	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem43.12	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. g e. A ( g ` r ) =/= ( g ` t ) )
stoweidlem43.13	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem43.14	|- ( ph -> Z e. U )
stoweidlem43.15	|- ( ph -> S e. ( T \ U ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem43	|- ( ph -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, l, t, A   f, h, T, t   T, l   f, r, g, t, A   x, f, g, t, A   Q, f   S, f, g, l, t   f, Z, g, l, t   ph, f, l   A, h   S, h   h, Z   T, r   S, r   ph, r   x, T   x, S   x, Z   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( t, g, h)   Q( x, t, g, h, r, l)   T( g)   U( x, t, f, g, h, r, l)   J( x, t, f, g, h, r, l)   K( x, t, f, g, h, r, l)   Z( r)

Proof of Theorem stoweidlem43

Dummy variables s k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem43.1	. . 3 |- F/ g ph
2		nfv 1626	. . 3 |- F/ g E. f ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 )
3		stoweidlem43.15	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. ( T \ U ) )
4	3	eldifad 3292	. . . . 5 |- ( ph -> S e. T )
5		stoweidlem43.14	. . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. U )
6		stoweidlem43.13	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. J )
7		elunii 3980	. . . . . . 7 |- ( ( Z e. U /\ U e. J ) -> Z e. U. J )
8	5, 6, 7	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. U. J )
9		stoweidlem43.6	. . . . . 6 |- T = U. J
10	8, 9	syl6eleqr 2495	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. T )
11	3	eldifbd 3293	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. S e. U )
12		nelne2 2657	. . . . . . 7 |- ( ( Z e. U /\ -. S e. U ) -> Z =/= S )
13	5, 11, 12	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ph -> Z =/= S )
14	13	necomd 2650	. . . . 5 |- ( ph -> S =/= Z )
15	4, 10, 14	3jca 1134	. . . 4 |- ( ph -> ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) )
16		simpr2 964	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) ) -> Z e. T )
17		nfcv 2540	. . . . . . 7 |- F/_ t Z
18		stoweidlem43.2	. . . . . . . . 9 |- F/ t ph
19		nfv 1626	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z )
20	18, 19	nfan 1842	. . . . . . . 8 |- F/ t ( ph /\ ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) )
21		nfv 1626	. . . . . . . 8 |- F/ t E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` Z )
22	20, 21	nfim 1828	. . . . . . 7 |- F/ t ( ( ph /\ ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) ) -> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) )
23		eleq1 2464	. . . . . . . . . 10 |- ( t = Z -> ( t e. T <-> Z e. T ) )
24		neeq2 2576	. . . . . . . . . 10 |- ( t = Z -> ( S =/= t <-> S =/= Z ) )
25	23, 24	3anbi23d 1257	. . . . . . . . 9 |- ( t = Z -> ( ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) <-> ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) ) )
26	25	anbi2d 685	. . . . . . . 8 |- ( t = Z -> ( ( ph /\ ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) ) <-> ( ph /\ ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) ) ) )
27		fveq2 5687	. . . . . . . . . 10 |- ( t = Z -> ( g ` t ) = ( g ` Z ) )
28	27	neeq2d 2581	. . . . . . . . 9 |- ( t = Z -> ( ( g ` S ) =/= ( g ` t ) <-> ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) )
29	28	rexbidv 2687	. . . . . . . 8 |- ( t = Z -> ( E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` t ) <-> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) )
30	26, 29	imbi12d 312	. . . . . . 7 |- ( t = Z -> ( ( ( ph /\ ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) ) -> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` t ) ) <-> ( ( ph /\ ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) ) -> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) )
31		simpr1 963	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) ) -> S e. T )
32		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = S -> ( r e. T <-> S e. T ) )
33		neeq1 2575	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = S -> ( r =/= t <-> S =/= t ) )
34	32, 33	3anbi13d 1256	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = S -> ( ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) <-> ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) ) )
35	34	anbi2d 685	. . . . . . . . . 10 |- ( r = S -> ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) <-> ( ph /\ ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) ) ) )
36		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = S -> ( g ` r ) = ( g ` S ) )
37	36	neeq1d 2580	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = S -> ( ( g ` r ) =/= ( g ` t ) <-> ( g ` S ) =/= ( g ` t ) ) )
38	37	rexbidv 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( r = S -> ( E. g e. A ( g ` r ) =/= ( g ` t ) <-> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` t ) ) )
39	35, 38	imbi12d 312	. . . . . . . . 9 |- ( r = S -> ( ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. g e. A ( g ` r ) =/= ( g ` t ) ) <-> ( ( ph /\ ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) ) -> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` t ) ) ) )
40		stoweidlem43.12	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. g e. A ( g ` r ) =/= ( g ` t ) )
41	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( r e. T -> ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. g e. A ( g ` r ) =/= ( g ` t ) ) )
42	39, 41	vtoclga 2977	. . . . . . . 8 |- ( S e. T -> ( ( ph /\ ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) ) -> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` t ) ) )
43	31, 42	mpcom 34	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) ) -> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` t ) )
44	17, 22, 30, 43	vtoclgf 2970	. . . . . 6 |- ( Z e. T -> ( ( ph /\ ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) ) -> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) )
45	16, 44	mpcom 34	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) ) -> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) )
46		df-rex 2672	. . . . 5 |- ( E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) <-> E. g ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) )
47	45, 46	sylib 189	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) ) -> E. g ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) )
48	15, 47	mpdan 650	. . 3 |- ( ph -> E. g ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) )
49		nfv 1626	. . . . . 6 |- F/ t ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) )
50	18, 49	nfan 1842	. . . . 5 |- F/ t ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) )
51		nfcv 2540	. . . . 5 |- F/_ t g
52		eqid 2404	. . . . 5 |- ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) )
53		stoweidlem43.4	. . . . . . 7 |- K = ( topGen ` ran (,) )
54		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( J Cn K ) = ( J Cn K )
55		stoweidlem43.8	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
56	55	sselda 3308	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f e. ( J Cn K ) )
57	53, 9, 54, 56	fcnre 27563	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
58	57	adantlr 696	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
59		stoweidlem43.9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( l ` t ) ) ) e. A )
60	59	3adant1r 1177	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) /\ f e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( l ` t ) ) ) e. A )
61		stoweidlem43.11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
62	61	adantlr 696	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
63	4	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) -> S e. T )
64	10	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) -> Z e. T )
65		simprl 733	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) -> g e. A )
66		simprr 734	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) -> ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) )
67	50, 51, 52, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66	stoweidlem23 27639	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) -> ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) e. A /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` S ) =/= ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) = 0 ) )
68		eleq1 2464	. . . . . . . 8 |- ( f = ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) -> ( f e. A <-> ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) e. A ) )
69		fveq1 5686	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) -> ( f ` S ) = ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` S ) )
70		fveq1 5686	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) -> ( f ` Z ) = ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) )
71	69, 70	neeq12d 2582	. . . . . . . 8 |- ( f = ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) -> ( ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) <-> ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` S ) =/= ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) ) )
72	70	eqeq1d 2412	. . . . . . . 8 |- ( f = ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) -> ( ( f ` Z ) = 0 <-> ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) = 0 ) )
73	68, 71, 72	3anbi123d 1254	. . . . . . 7 |- ( f = ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) -> ( ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) <-> ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) e. A /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` S ) =/= ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) = 0 ) ) )
74	73	spcegv 2997	. . . . . 6 |- ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) e. A -> ( ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) e. A /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` S ) =/= ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) = 0 ) -> E. f ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) )
75	74	3ad2ant1 978	. . . . 5 |- ( ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) e. A /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` S ) =/= ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) = 0 ) -> ( ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) e. A /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` S ) =/= ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) = 0 ) -> E. f ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) )
76	75	pm2.43i 45	. . . 4 |- ( ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) e. A /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` S ) =/= ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) = 0 ) -> E. f ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) )
77	67, 76	syl 16	. . 3 |- ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) -> E. f ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) )
78	1, 2, 48, 77	exlimdd 1908	. 2 |- ( ph -> E. f ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) )
79		stoweidlem43.3	. . . . 5 |- F/_ h Q
80		nfmpt1 4258	. . . . 5 |- F/_ t ( t e. T |-> ( ( ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) ` t ) / sup ( ran ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) , RR , < ) ) )
81		nfcv 2540	. . . . 5 |- F/_ t f
82		nfcv 2540	. . . . 5 |- F/_ t ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) )
83		nfv 1626	. . . . . 6 |- F/ t ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 )
84	18, 83	nfan 1842	. . . . 5 |- F/ t ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) )
85		stoweidlem43.5	. . . . 5 |- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
86		fveq2 5687	. . . . . . 7 |- ( s = t -> ( f ` s ) = ( f ` t ) )
87	86, 86	oveq12d 6058	. . . . . 6 |- ( s = t -> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) = ( ( f ` t ) x. ( f ` t ) ) )
88	87	cbvmptv 4260	. . . . 5 |- ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( f ` t ) ) )
89		eqid 2404	. . . . 5 |- sup ( ran ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) , RR , < )
90		eqid 2404	. . . . 5 |- ( t e. T |-> ( ( ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) ` t ) / sup ( ran ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) , RR , < ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) ` t ) / sup ( ran ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) , RR , < ) ) )
91		stoweidlem43.7	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. Comp )
92	91	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) -> J e. Comp )
93	55	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) -> A C_ ( J Cn K ) )
94		eleq1 2464	. . . . . . . . 9 |- ( f = k -> ( f e. A <-> k e. A ) )
95	94	3anbi2d 1259	. . . . . . . 8 |- ( f = k -> ( ( ph /\ f e. A /\ l e. A ) <-> ( ph /\ k e. A /\ l e. A ) ) )
96		fveq1 5686	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = k -> ( f ` t ) = ( k ` t ) )
97	96	oveq1d 6055	. . . . . . . . . 10 |- ( f = k -> ( ( f ` t ) x. ( l ` t ) ) = ( ( k ` t ) x. ( l ` t ) ) )
98	97	mpteq2dv 4256	. . . . . . . . 9 |- ( f = k -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( l ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( k ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
99	98	eleq1d 2470	. . . . . . . 8 |- ( f = k -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( k ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. A ) )
100	95, 99	imbi12d 312	. . . . . . 7 |- ( f = k -> ( ( ( ph /\ f e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ k e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( k ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. A ) ) )
101		stoweidlem43.10	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. A )
102	100, 101	chvarv 2063	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( k ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. A )
103	102	3adant1r 1177	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) /\ k e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( k ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. A )
104	61	adantlr 696	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
105	4	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) -> S e. T )
106	10	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) -> Z e. T )
107		simpr1 963	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) -> f e. A )
108		simpr2 964	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) -> ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) )
109		simpr3 965	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) -> ( f ` Z ) = 0 )
110	79, 80, 81, 82, 84, 53, 85, 9, 88, 89, 90, 92, 93, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109	stoweidlem36 27652	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) )
111	110	ex 424	. . 3 |- ( ph -> ( ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) ) )
112	111	exlimdv 1643	. 2 |- ( ph -> ( E. f ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) ) )
113	78, 112	mpd 15	1 |- ( ph -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 359   /\ w3a 936   E.wex 1547   F/wnf 1550   = wceq 1649   e. wcel 1721   F/_wnfc 2527   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   \ cdif 3277   C_ wss 3280   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   ran crn 4838   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   (,)cioo 10872   topGenctg 13620   Cn ccn 17242   Compccmp 17403

This theorem is referenced by:  stoweidlem46  27662

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305