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Theorem stoweidlem43 31710
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function pt in the subalgebra, such that pt( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Hera Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem43.1  |-  F/ g
ph
stoweidlem43.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem43.3  |-  F/_ h Q
stoweidlem43.4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem43.5  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem43.6  |-  T  = 
U. J
stoweidlem43.7  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem43.8  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem43.9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( l `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem43.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( l `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem43.11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem43.12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  r
)  =/=  ( g `
 t ) )
stoweidlem43.13  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem43.14  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
stoweidlem43.15  |-  ( ph  ->  S  e.  ( T 
\  U ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem43  |-  ( ph  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
l, t, A    f, h, T, t    T, l   
f, r, g, t, A    x, f, g, t, A    Q, f    S, f, g, l, t   
f, Z, g, l, t    ph, f, l    A, h    S, h    h, Z    T, r    S, r    ph, r    x, T    x, S    x, Z    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t, g, h)    Q( x, t, g, h, r, l)    T( g)    U( x, t, f, g, h, r, l)    J( x, t, f, g, h, r, l)    K( x, t, f, g, h, r, l)    Z( r)

Proof of Theorem stoweidlem43
Dummy variables  s 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem43.1 . . 3  |-  F/ g
ph
2 nfv 1692 . . 3  |-  F/ g E. f ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 )
3 stoweidlem43.15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  ( T 
\  U ) )
43eldifad 3470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  T )
5 stoweidlem43.14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
6 stoweidlem43.13 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
7 elunii 4235 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  U  /\  U  e.  J )  ->  Z  e.  U. J
)
85, 6, 7syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  U. J
)
9 stoweidlem43.6 . . . . . 6  |-  T  = 
U. J
108, 9syl6eleqr 2540 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
113eldifbd 3471 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  U
)
12 nelne2 2771 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  U  /\  -.  S  e.  U
)  ->  Z  =/=  S )
135, 11, 12syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  =/=  S )
1413necomd 2712 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  =/=  Z )
154, 10, 143jca 1175 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z
) )
16 simpr2 1002 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/= 
Z ) )  ->  Z  e.  T )
17 stoweidlem43.2 . . . . . . . . 9  |-  F/ t
ph
18 nfv 1692 . . . . . . . . 9  |-  F/ t ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z
)
1917, 18nfan 1912 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z ) )
20 nfv 1692 . . . . . . . 8  |-  F/ t E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z )
2119, 20nfim 1904 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ( ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z
) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  Z )
)
22 eleq1 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  Z  ->  (
t  e.  T  <->  Z  e.  T ) )
23 neeq2 2724 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  Z  ->  ( S  =/=  t  <->  S  =/=  Z ) )
2422, 233anbi23d 1301 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  Z  ->  (
( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t
)  <->  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/= 
Z ) ) )
2524anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  Z  ->  (
( ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) )  <-> 
( ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z ) ) ) )
26 fveq2 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  Z  ->  (
g `  t )  =  ( g `  Z ) )
2726neeq2d 2719 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  Z  ->  (
( g `  S
)  =/=  ( g `
 t )  <->  ( g `  S )  =/=  (
g `  Z )
) )
2827rexbidv 2952 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  Z  ->  ( E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 t )  <->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  Z )
) )
2925, 28imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( t  =  Z  ->  (
( ( ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t
) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  t )
)  <->  ( ( ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z
) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  Z )
) ) )
30 simpr1 1001 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) )  ->  S  e.  T )
31 eleq1 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  S  ->  (
r  e.  T  <->  S  e.  T ) )
32 neeq1 2722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  S  ->  (
r  =/=  t  <->  S  =/=  t ) )
3331, 323anbi13d 1300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  S  ->  (
( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t
)  <->  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) ) )
3433anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  S  ->  (
( ph  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  <-> 
( ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) ) ) )
35 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  S  ->  (
g `  r )  =  ( g `  S ) )
3635neeq1d 2718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  S  ->  (
( g `  r
)  =/=  ( g `
 t )  <->  ( g `  S )  =/=  (
g `  t )
) )
3736rexbidv 2952 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  S  ->  ( E. g  e.  A  ( g `  r
)  =/=  ( g `
 t )  <->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  t )
) )
3834, 37imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  S  ->  (
( ( ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t
) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  r )  =/=  (
g `  t )
)  <->  ( ( ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t
) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  t )
) ) )
39 stoweidlem43.12 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  r
)  =/=  ( g `
 t ) )
4039a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  T  ->  (
( ph  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  r
)  =/=  ( g `
 t ) ) )
4138, 40vtoclga 3157 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  T  ->  (
( ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 t ) ) )
4230, 41mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 t ) )
4321, 29, 42vtoclg1f 3150 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  T  ->  (
( ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )
4416, 43mpcom 36 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/= 
Z ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) )
45 df-rex 2797 . . . . 5  |-  ( E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  ( g `  Z )  <->  E. g
( g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )
4644, 45sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/= 
Z ) )  ->  E. g ( g  e.  A  /\  ( g `
 S )  =/=  ( g `  Z
) ) )
4715, 46mpdan 668 . . 3  |-  ( ph  ->  E. g ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )
48 nfv 1692 . . . . . 6  |-  F/ t ( g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) )
4917, 48nfan 1912 . . . . 5  |-  F/ t ( ph  /\  (
g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )
50 nfcv 2603 . . . . 5  |-  F/_ t
g
51 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )
52 stoweidlem43.4 . . . . . . 7  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
53 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
54 stoweidlem43.8 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
5554sselda 3486 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
5652, 9, 53, 55fcnre 31347 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
5756adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
58 stoweidlem43.9 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( l `  t ) ) )  e.  A )
59583adant1r 1220 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( l `
 t ) ) )  e.  A )
60 stoweidlem43.11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
6160adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  x )  e.  A )
624adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  ->  S  e.  T )
6310adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  ->  Z  e.  T )
64 simprl 755 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  -> 
g  e.  A )
65 simprr 756 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  -> 
( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) )
6649, 50, 51, 57, 59, 61, 62, 63, 64, 65stoweidlem23 31690 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  -> 
( ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  e.  A  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  S )  =/=  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) ) `
 Z )  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) ) `  Z )  =  0 ) )
67 eleq1 2513 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( f  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) )  e.  A ) )
68 fveq1 5851 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( f `  S
)  =  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  S ) )
69 fveq1 5851 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( f `  Z
)  =  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z ) )
7068, 69neeq12d 2720 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( ( f `  S )  =/=  (
f `  Z )  <->  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  S
)  =/=  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z ) ) )
7169eqeq1d 2443 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( ( f `  Z )  =  0  <-> 
( ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) ) `  Z )  =  0 ) )
7267, 70, 713anbi123d 1298 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( ( f  e.  A  /\  ( f `
 S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 )  <->  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) )  e.  A  /\  (
( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  S
)  =/=  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z )  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) ) `
 Z )  =  0 ) ) )
7372spcegv 3179 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) )  e.  A  -> 
( ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) )  e.  A  /\  (
( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  S
)  =/=  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z )  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) ) `
 Z )  =  0 )  ->  E. f
( f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 ) ) )
74733ad2ant1 1016 . . . . 5  |-  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) )  e.  A  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) ) `  S )  =/=  (
( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  Z
)  /\  ( (
t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z )  =  0 )  -> 
( ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) )  e.  A  /\  (
( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  S
)  =/=  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z )  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) ) `
 Z )  =  0 )  ->  E. f
( f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 ) ) )
7574pm2.43i 47 . . . 4  |-  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) )  e.  A  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) ) `  S )  =/=  (
( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  Z
)  /\  ( (
t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z )  =  0 )  ->  E. f ( f  e.  A  /\  ( f `
 S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )
7666, 75syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  ->  E. f ( f  e.  A  /\  ( f `
 S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )
771, 2, 47, 76exlimdd 1964 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )
78 stoweidlem43.3 . . . . 5  |-  F/_ h Q
79 nfmpt1 4522 . . . . 5  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  ( f `  s ) ) ) `
 t )  /  sup ( ran  ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  ( f `  s ) ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
80 nfcv 2603 . . . . 5  |-  F/_ t
f
81 nfcv 2603 . . . . 5  |-  F/_ t
( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  (
f `  s )
) )
82 nfv 1692 . . . . . 6  |-  F/ t ( f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 )
8317, 82nfan 1912 . . . . 5  |-  F/ t ( ph  /\  (
f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 ) )
84 stoweidlem43.5 . . . . 5  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
85 fveq2 5852 . . . . . . 7  |-  ( s  =  t  ->  (
f `  s )  =  ( f `  t ) )
8685, 85oveq12d 6295 . . . . . 6  |-  ( s  =  t  ->  (
( f `  s
)  x.  ( f `
 s ) )  =  ( ( f `
 t )  x.  ( f `  t
) ) )
8786cbvmptv 4524 . . . . 5  |-  ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  ( f `  s ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( f `  t
) ) )
88 eqid 2441 . . . . 5  |-  sup ( ran  ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  (
f `  s )
) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( s  e.  T  |->  ( ( f `
 s )  x.  ( f `  s
) ) ) ,  RR ,  <  )
89 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  (
f `  s )
) ) `  t
)  /  sup ( ran  ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  (
f `  s )
) ) ,  RR ,  <  ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s
)  x.  ( f `
 s ) ) ) `  t )  /  sup ( ran  ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  (
f `  s )
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
90 stoweidlem43.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
9190adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  J  e.  Comp )
9254adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  A  C_  ( J  Cn  K
) )
93 eleq1 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  k  ->  (
f  e.  A  <->  k  e.  A ) )
94933anbi2d 1303 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  k  ->  (
( ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A )  <->  ( ph  /\  k  e.  A  /\  l  e.  A )
) )
95 fveq1 5851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  k  ->  (
f `  t )  =  ( k `  t ) )
9695oveq1d 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  k  ->  (
( f `  t
)  x.  ( l `
 t ) )  =  ( ( k `
 t )  x.  ( l `  t
) ) )
9796mpteq2dv 4520 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  k  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( k `  t )  x.  ( l `  t ) ) ) )
9897eleq1d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  k  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( k `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  e.  A ) )
9994, 98imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( f  =  k  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  k  e.  A  /\  l  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( k `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  A
) ) )
100 stoweidlem43.10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( l `  t ) ) )  e.  A )
10199, 100chvarv 1998 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A  /\  l  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( k `  t )  x.  ( l `  t ) ) )  e.  A )
1021013adant1r 1220 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 ) )  /\  k  e.  A  /\  l  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( k `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  e.  A )
10360adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  x )  e.  A )
1044adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  S  e.  T )
10510adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  Z  e.  T )
106 simpr1 1001 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  f  e.  A )
107 simpr2 1002 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
) )
108 simpr3 1003 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  (
f `  Z )  =  0 )
10978, 79, 80, 81, 83, 52, 84, 9, 87, 88, 89, 91, 92, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108stoweidlem36 31703 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  E. h
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 S ) ) )
110109ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  A  /\  ( f `
 S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 )  ->  E. h
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 S ) ) ) )
111110exlimdv 1709 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. f ( f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 )  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) ) )
11277, 111mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381   E.wex 1597   F/wnf 1601    e. wcel 1802   F/_wnfc 2589    =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792   {crab 2795    \ cdif 3455    C_ wss 3458   U.cuni 4230   class class class wbr 4433    |-> cmpt 4491   ran crn 4986   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   supcsup 7898   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495    < clt 9626    <_ cle 9627    - cmin 9805    / cdiv 10207   (,)cioo 11533   topGenctg 14707    Cn ccn 19591   Compccmp 19752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ioo 11537  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-seq 12082  df-exp 12141  df-hash 12380  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-rest 14692  df-topn 14693  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-topgen 14713  df-pt 14714  df-prds 14717  df-xrs 14771  df-qtop 14776  df-imas 14777  df-xps 14779  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-mulg 15929  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-cmp 19753  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691
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