Theorem stoweidlem43 29684

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p_t as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p_t in the subalgebra, such that p_t( t₀ ) = 0 , p_t ( t ) > 0, and 0 <= p_t <= 1. Hera Z is used for t₀ , S is used for t e. T - U , h is used for p_t. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem43.1	|- F/ g ph
stoweidlem43.2	|- F/ t ph
stoweidlem43.3	|- F/_ h Q
stoweidlem43.4	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem43.5	|- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
stoweidlem43.6	|- T = U. J
stoweidlem43.7	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem43.8	|- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
stoweidlem43.9	|- ( ( ph /\ f e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( l ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem43.10	|- ( ( ph /\ f e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem43.11	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem43.12	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. g e. A ( g ` r ) =/= ( g ` t ) )
stoweidlem43.13	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem43.14	|- ( ph -> Z e. U )
stoweidlem43.15	|- ( ph -> S e. ( T \ U ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem43	|- ( ph -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, l, t, A   f, h, T, t   T, l   f, r, g, t, A   x, f, g, t, A   Q, f   S, f, g, l, t   f, Z, g, l, t   ph, f, l   A, h   S, h   h, Z   T, r   S, r   ph, r   x, T   x, S   x, Z   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( t, g, h)   Q( x, t, g, h, r, l)   T( g)   U( x, t, f, g, h, r, l)   J( x, t, f, g, h, r, l)   K( x, t, f, g, h, r, l)   Z( r)

Proof of Theorem stoweidlem43

Dummy variables s k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem43.1	. . 3 |- F/ g ph
2		nfv 1672	. . 3 |- F/ g E. f ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 )
3		stoweidlem43.15	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. ( T \ U ) )
4	3	eldifad 3328	. . . . 5 |- ( ph -> S e. T )
5		stoweidlem43.14	. . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. U )
6		stoweidlem43.13	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. J )
7		elunii 4084	. . . . . . 7 |- ( ( Z e. U /\ U e. J ) -> Z e. U. J )
8	5, 6, 7	syl2anc 654	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. U. J )
9		stoweidlem43.6	. . . . . 6 |- T = U. J
10	8, 9	syl6eleqr 2524	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. T )
11	3	eldifbd 3329	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. S e. U )
12		nelne2 2692	. . . . . . 7 |- ( ( Z e. U /\ -. S e. U ) -> Z =/= S )
13	5, 11, 12	syl2anc 654	. . . . . 6 |- ( ph -> Z =/= S )
14	13	necomd 2685	. . . . 5 |- ( ph -> S =/= Z )
15	4, 10, 14	3jca 1161	. . . 4 |- ( ph -> ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) )
16		simpr2 988	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) ) -> Z e. T )
17		stoweidlem43.2	. . . . . . . . 9 |- F/ t ph
18		nfv 1672	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z )
19	17, 18	nfan 1859	. . . . . . . 8 |- F/ t ( ph /\ ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) )
20		nfv 1672	. . . . . . . 8 |- F/ t E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` Z )
21	19, 20	nfim 1851	. . . . . . 7 |- F/ t ( ( ph /\ ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) ) -> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) )
22		eleq1 2493	. . . . . . . . . 10 |- ( t = Z -> ( t e. T <-> Z e. T ) )
23		neeq2 2607	. . . . . . . . . 10 |- ( t = Z -> ( S =/= t <-> S =/= Z ) )
24	22, 23	3anbi23d 1285	. . . . . . . . 9 |- ( t = Z -> ( ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) <-> ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) ) )
25	24	anbi2d 696	. . . . . . . 8 |- ( t = Z -> ( ( ph /\ ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) ) <-> ( ph /\ ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) ) ) )
26		fveq2 5679	. . . . . . . . . 10 |- ( t = Z -> ( g ` t ) = ( g ` Z ) )
27	26	neeq2d 2612	. . . . . . . . 9 |- ( t = Z -> ( ( g ` S ) =/= ( g ` t ) <-> ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) )
28	27	rexbidv 2726	. . . . . . . 8 |- ( t = Z -> ( E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` t ) <-> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) )
29	25, 28	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( t = Z -> ( ( ( ph /\ ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) ) -> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` t ) ) <-> ( ( ph /\ ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) ) -> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) )
30		simpr1 987	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) ) -> S e. T )
31		eleq1 2493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = S -> ( r e. T <-> S e. T ) )
32		neeq1 2606	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = S -> ( r =/= t <-> S =/= t ) )
33	31, 32	3anbi13d 1284	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = S -> ( ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) <-> ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) ) )
34	33	anbi2d 696	. . . . . . . . . 10 |- ( r = S -> ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) <-> ( ph /\ ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) ) ) )
35		fveq2 5679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = S -> ( g ` r ) = ( g ` S ) )
36	35	neeq1d 2611	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = S -> ( ( g ` r ) =/= ( g ` t ) <-> ( g ` S ) =/= ( g ` t ) ) )
37	36	rexbidv 2726	. . . . . . . . . 10 |- ( r = S -> ( E. g e. A ( g ` r ) =/= ( g ` t ) <-> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` t ) ) )
38	34, 37	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( r = S -> ( ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. g e. A ( g ` r ) =/= ( g ` t ) ) <-> ( ( ph /\ ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) ) -> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` t ) ) ) )
39		stoweidlem43.12	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. g e. A ( g ` r ) =/= ( g ` t ) )
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( r e. T -> ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. g e. A ( g ` r ) =/= ( g ` t ) ) )
41	38, 40	vtoclga 3025	. . . . . . . 8 |- ( S e. T -> ( ( ph /\ ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) ) -> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` t ) ) )
42	30, 41	mpcom 36	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) ) -> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` t ) )
43	21, 29, 42	vtoclg1f 3018	. . . . . 6 |- ( Z e. T -> ( ( ph /\ ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) ) -> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) )
44	16, 43	mpcom 36	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) ) -> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) )
45		df-rex 2711	. . . . 5 |- ( E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) <-> E. g ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) )
46	44, 45	sylib 196	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) ) -> E. g ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) )
47	15, 46	mpdan 661	. . 3 |- ( ph -> E. g ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) )
48		nfv 1672	. . . . . 6 |- F/ t ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) )
49	17, 48	nfan 1859	. . . . 5 |- F/ t ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) )
50		nfcv 2569	. . . . 5 |- F/_ t g
51		eqid 2433	. . . . 5 |- ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) )
52		stoweidlem43.4	. . . . . . 7 |- K = ( topGen ` ran (,) )
53		eqid 2433	. . . . . . 7 |- ( J Cn K ) = ( J Cn K )
54		stoweidlem43.8	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
55	54	sselda 3344	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f e. ( J Cn K ) )
56	52, 9, 53, 55	fcnre 29592	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
57	56	adantlr 707	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
58		stoweidlem43.9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( l ` t ) ) ) e. A )
59	58	3adant1r 1204	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) /\ f e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( l ` t ) ) ) e. A )
60		stoweidlem43.11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
61	60	adantlr 707	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
62	4	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) -> S e. T )
63	10	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) -> Z e. T )
64		simprl 748	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) -> g e. A )
65		simprr 749	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) -> ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) )
66	49, 50, 51, 57, 59, 61, 62, 63, 64, 65	stoweidlem23 29664	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) -> ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) e. A /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` S ) =/= ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) = 0 ) )
67		eleq1 2493	. . . . . . . 8 |- ( f = ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) -> ( f e. A <-> ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) e. A ) )
68		fveq1 5678	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) -> ( f ` S ) = ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` S ) )
69		fveq1 5678	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) -> ( f ` Z ) = ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) )
70	68, 69	neeq12d 2613	. . . . . . . 8 |- ( f = ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) -> ( ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) <-> ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` S ) =/= ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) ) )
71	69	eqeq1d 2441	. . . . . . . 8 |- ( f = ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) -> ( ( f ` Z ) = 0 <-> ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) = 0 ) )
72	67, 70, 71	3anbi123d 1282	. . . . . . 7 |- ( f = ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) -> ( ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) <-> ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) e. A /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` S ) =/= ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) = 0 ) ) )
73	72	spcegv 3047	. . . . . 6 |- ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) e. A -> ( ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) e. A /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` S ) =/= ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) = 0 ) -> E. f ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) )
74	73	3ad2ant1 1002	. . . . 5 |- ( ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) e. A /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` S ) =/= ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) = 0 ) -> ( ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) e. A /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` S ) =/= ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) = 0 ) -> E. f ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) )
75	74	pm2.43i 47	. . . 4 |- ( ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) e. A /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` S ) =/= ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) = 0 ) -> E. f ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) )
76	66, 75	syl 16	. . 3 |- ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) -> E. f ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) )
77	1, 2, 47, 76	exlimdd 1906	. 2 |- ( ph -> E. f ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) )
78		stoweidlem43.3	. . . . 5 |- F/_ h Q
79		nfmpt1 4369	. . . . 5 |- F/_ t ( t e. T |-> ( ( ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) ` t ) / sup ( ran ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) , RR , < ) ) )
80		nfcv 2569	. . . . 5 |- F/_ t f
81		nfcv 2569	. . . . 5 |- F/_ t ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) )
82		nfv 1672	. . . . . 6 |- F/ t ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 )
83	17, 82	nfan 1859	. . . . 5 |- F/ t ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) )
84		stoweidlem43.5	. . . . 5 |- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
85		fveq2 5679	. . . . . . 7 |- ( s = t -> ( f ` s ) = ( f ` t ) )
86	85, 85	oveq12d 6098	. . . . . 6 |- ( s = t -> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) = ( ( f ` t ) x. ( f ` t ) ) )
87	86	cbvmptv 4371	. . . . 5 |- ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( f ` t ) ) )
88		eqid 2433	. . . . 5 |- sup ( ran ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) , RR , < )
89		eqid 2433	. . . . 5 |- ( t e. T |-> ( ( ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) ` t ) / sup ( ran ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) , RR , < ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) ` t ) / sup ( ran ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) , RR , < ) ) )
90		stoweidlem43.7	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. Comp )
91	90	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) -> J e. Comp )
92	54	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) -> A C_ ( J Cn K ) )
93		eleq1 2493	. . . . . . . . 9 |- ( f = k -> ( f e. A <-> k e. A ) )
94	93	3anbi2d 1287	. . . . . . . 8 |- ( f = k -> ( ( ph /\ f e. A /\ l e. A ) <-> ( ph /\ k e. A /\ l e. A ) ) )
95		fveq1 5678	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = k -> ( f ` t ) = ( k ` t ) )
96	95	oveq1d 6095	. . . . . . . . . 10 |- ( f = k -> ( ( f ` t ) x. ( l ` t ) ) = ( ( k ` t ) x. ( l ` t ) ) )
97	96	mpteq2dv 4367	. . . . . . . . 9 |- ( f = k -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( l ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( k ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
98	97	eleq1d 2499	. . . . . . . 8 |- ( f = k -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( k ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. A ) )
99	94, 98	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( f = k -> ( ( ( ph /\ f e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ k e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( k ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. A ) ) )
100		stoweidlem43.10	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. A )
101	99, 100	chvarv 1957	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( k ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. A )
102	101	3adant1r 1204	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) /\ k e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( k ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. A )
103	60	adantlr 707	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
104	4	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) -> S e. T )
105	10	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) -> Z e. T )
106		simpr1 987	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) -> f e. A )
107		simpr2 988	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) -> ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) )
108		simpr3 989	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) -> ( f ` Z ) = 0 )
109	78, 79, 80, 81, 83, 52, 84, 9, 87, 88, 89, 91, 92, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108	stoweidlem36 29677	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) )
110	109	ex 434	. . 3 |- ( ph -> ( ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) ) )
111	110	exlimdv 1689	. 2 |- ( ph -> ( E. f ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) ) )
112	77, 111	mpd 15	1 |- ( ph -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 958   = wceq 1362   E.wex 1589   F/wnf 1592   e. wcel 1755   F/_wnfc 2556   =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   \ cdif 3313   C_ wss 3316   U.cuni 4079   class class class wbr 4280   e. cmpt 4338   ran crn 4828   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   supcsup 7678   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271   + caddc 9273   x. cmul 9275   < clt 9406   <_ cle 9407   - cmin 9583   / cdiv 9981   (,)cioo 11288   topGenctg 14359   Cn ccn 18670   Compccmp 18831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-mulf 9350

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-cmp 18832  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739

This theorem is referenced by:  stoweidlem46  29687