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Theorem stoweidlem43 27453
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function pt in the subalgebra, such that pt( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Hera Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem43.1  |-  F/ g
ph
stoweidlem43.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem43.3  |-  F/_ h Q
stoweidlem43.4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem43.5  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem43.6  |-  T  = 
U. J
stoweidlem43.7  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem43.8  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem43.9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( l `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem43.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( l `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem43.11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem43.12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  r
)  =/=  ( g `
 t ) )
stoweidlem43.13  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem43.14  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
stoweidlem43.15  |-  ( ph  ->  S  e.  ( T 
\  U ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem43  |-  ( ph  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
l, t, A    f, h, T, t    T, l   
f, r, g, t, A    x, f, g, t, A    Q, f    S, f, g, l, t   
f, Z, g, l, t    ph, f, l    A, h    S, h    h, Z    T, r    S, r    ph, r    x, T    x, S    x, Z    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t, g, h)    Q( x, t, g, h, r, l)    T( g)    U( x, t, f, g, h, r, l)    J( x, t, f, g, h, r, l)    K( x, t, f, g, h, r, l)    Z( r)

Proof of Theorem stoweidlem43
Dummy variables  s 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem43.1 . . 3  |-  F/ g
ph
2 nfv 1626 . . 3  |-  F/ g E. f ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 )
3 stoweidlem43.15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  ( T 
\  U ) )
43eldifad 3268 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  T )
5 stoweidlem43.14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
6 stoweidlem43.13 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
7 elunii 3955 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  U  /\  U  e.  J )  ->  Z  e.  U. J
)
85, 6, 7syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  U. J
)
9 stoweidlem43.6 . . . . . 6  |-  T  = 
U. J
108, 9syl6eleqr 2471 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
113eldifbd 3269 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  U
)
12 nelne2 2633 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  U  /\  -.  S  e.  U
)  ->  Z  =/=  S )
135, 11, 12syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  =/=  S )
1413necomd 2626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  =/=  Z )
154, 10, 143jca 1134 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z
) )
16 simpr2 964 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/= 
Z ) )  ->  Z  e.  T )
17 nfcv 2516 . . . . . . 7  |-  F/_ t Z
18 stoweidlem43.2 . . . . . . . . 9  |-  F/ t
ph
19 nfv 1626 . . . . . . . . 9  |-  F/ t ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z
)
2018, 19nfan 1836 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z ) )
21 nfv 1626 . . . . . . . 8  |-  F/ t E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z )
2220, 21nfim 1822 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ( ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z
) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  Z )
)
23 eleq1 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  Z  ->  (
t  e.  T  <->  Z  e.  T ) )
24 neeq2 2552 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  Z  ->  ( S  =/=  t  <->  S  =/=  Z ) )
2523, 243anbi23d 1257 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  Z  ->  (
( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t
)  <->  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/= 
Z ) ) )
2625anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  Z  ->  (
( ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) )  <-> 
( ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z ) ) ) )
27 fveq2 5661 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  Z  ->  (
g `  t )  =  ( g `  Z ) )
2827neeq2d 2557 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  Z  ->  (
( g `  S
)  =/=  ( g `
 t )  <->  ( g `  S )  =/=  (
g `  Z )
) )
2928rexbidv 2663 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  Z  ->  ( E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 t )  <->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  Z )
) )
3026, 29imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( t  =  Z  ->  (
( ( ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t
) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  t )
)  <->  ( ( ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z
) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  Z )
) ) )
31 simpr1 963 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) )  ->  S  e.  T )
32 eleq1 2440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  S  ->  (
r  e.  T  <->  S  e.  T ) )
33 neeq1 2551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  S  ->  (
r  =/=  t  <->  S  =/=  t ) )
3432, 333anbi13d 1256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  S  ->  (
( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t
)  <->  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) ) )
3534anbi2d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  S  ->  (
( ph  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  <-> 
( ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) ) ) )
36 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  S  ->  (
g `  r )  =  ( g `  S ) )
3736neeq1d 2556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  S  ->  (
( g `  r
)  =/=  ( g `
 t )  <->  ( g `  S )  =/=  (
g `  t )
) )
3837rexbidv 2663 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  S  ->  ( E. g  e.  A  ( g `  r
)  =/=  ( g `
 t )  <->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  t )
) )
3935, 38imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  S  ->  (
( ( ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t
) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  r )  =/=  (
g `  t )
)  <->  ( ( ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t
) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  t )
) ) )
40 stoweidlem43.12 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  r
)  =/=  ( g `
 t ) )
4140a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  T  ->  (
( ph  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  r
)  =/=  ( g `
 t ) ) )
4239, 41vtoclga 2953 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  T  ->  (
( ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 t ) ) )
4331, 42mpcom 34 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 t ) )
4417, 22, 30, 43vtoclgf 2946 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  T  ->  (
( ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )
4516, 44mpcom 34 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/= 
Z ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) )
46 df-rex 2648 . . . . 5  |-  ( E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  ( g `  Z )  <->  E. g
( g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )
4745, 46sylib 189 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/= 
Z ) )  ->  E. g ( g  e.  A  /\  ( g `
 S )  =/=  ( g `  Z
) ) )
4815, 47mpdan 650 . . 3  |-  ( ph  ->  E. g ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )
49 nfv 1626 . . . . . 6  |-  F/ t ( g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) )
5018, 49nfan 1836 . . . . 5  |-  F/ t ( ph  /\  (
g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )
51 nfcv 2516 . . . . 5  |-  F/_ t
g
52 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )
53 stoweidlem43.4 . . . . . . 7  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
54 eqid 2380 . . . . . . 7  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
55 stoweidlem43.8 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
5655sselda 3284 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
5753, 9, 54, 56fcnre 27357 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
5857adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
59 stoweidlem43.9 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( l `  t ) ) )  e.  A )
60593adant1r 1177 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( l `
 t ) ) )  e.  A )
61 stoweidlem43.11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
6261adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  x )  e.  A )
634adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  ->  S  e.  T )
6410adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  ->  Z  e.  T )
65 simprl 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  -> 
g  e.  A )
66 simprr 734 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  -> 
( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) )
6750, 51, 52, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66stoweidlem23 27433 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  -> 
( ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  e.  A  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  S )  =/=  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) ) `
 Z )  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) ) `  Z )  =  0 ) )
68 eleq1 2440 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( f  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) )  e.  A ) )
69 fveq1 5660 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( f `  S
)  =  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  S ) )
70 fveq1 5660 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( f `  Z
)  =  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z ) )
7169, 70neeq12d 2558 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( ( f `  S )  =/=  (
f `  Z )  <->  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  S
)  =/=  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z ) ) )
7270eqeq1d 2388 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( ( f `  Z )  =  0  <-> 
( ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) ) `  Z )  =  0 ) )
7368, 71, 723anbi123d 1254 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( ( f  e.  A  /\  ( f `
 S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 )  <->  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) )  e.  A  /\  (
( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  S
)  =/=  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z )  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) ) `
 Z )  =  0 ) ) )
7473spcegv 2973 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) )  e.  A  -> 
( ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) )  e.  A  /\  (
( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  S
)  =/=  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z )  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) ) `
 Z )  =  0 )  ->  E. f
( f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 ) ) )
75743ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) )  e.  A  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) ) `  S )  =/=  (
( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  Z
)  /\  ( (
t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z )  =  0 )  -> 
( ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) )  e.  A  /\  (
( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  S
)  =/=  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z )  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) ) `
 Z )  =  0 )  ->  E. f
( f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 ) ) )
7675pm2.43i 45 . . . 4  |-  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) )  e.  A  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) ) `  S )  =/=  (
( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  Z
)  /\  ( (
t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z )  =  0 )  ->  E. f ( f  e.  A  /\  ( f `
 S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )
7767, 76syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  ->  E. f ( f  e.  A  /\  ( f `
 S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )
781, 2, 48, 77exlimdd 1901 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )
79 stoweidlem43.3 . . . . 5  |-  F/_ h Q
80 nfmpt1 4232 . . . . 5  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  ( f `  s ) ) ) `
 t )  /  sup ( ran  ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  ( f `  s ) ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
81 nfcv 2516 . . . . 5  |-  F/_ t
f
82 nfcv 2516 . . . . 5  |-  F/_ t
( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  (
f `  s )
) )
83 nfv 1626 . . . . . 6  |-  F/ t ( f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 )
8418, 83nfan 1836 . . . . 5  |-  F/ t ( ph  /\  (
f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 ) )
85 stoweidlem43.5 . . . . 5  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
86 fveq2 5661 . . . . . . 7  |-  ( s  =  t  ->  (
f `  s )  =  ( f `  t ) )
8786, 86oveq12d 6031 . . . . . 6  |-  ( s  =  t  ->  (
( f `  s
)  x.  ( f `
 s ) )  =  ( ( f `
 t )  x.  ( f `  t
) ) )
8887cbvmptv 4234 . . . . 5  |-  ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  ( f `  s ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( f `  t
) ) )
89 eqid 2380 . . . . 5  |-  sup ( ran  ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  (
f `  s )
) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( s  e.  T  |->  ( ( f `
 s )  x.  ( f `  s
) ) ) ,  RR ,  <  )
90 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  (
f `  s )
) ) `  t
)  /  sup ( ran  ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  (
f `  s )
) ) ,  RR ,  <  ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s
)  x.  ( f `
 s ) ) ) `  t )  /  sup ( ran  ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  (
f `  s )
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
91 stoweidlem43.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
9291adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  J  e.  Comp )
9355adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  A  C_  ( J  Cn  K
) )
94 eleq1 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  k  ->  (
f  e.  A  <->  k  e.  A ) )
95943anbi2d 1259 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  k  ->  (
( ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A )  <->  ( ph  /\  k  e.  A  /\  l  e.  A )
) )
96 fveq1 5660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  k  ->  (
f `  t )  =  ( k `  t ) )
9796oveq1d 6028 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  k  ->  (
( f `  t
)  x.  ( l `
 t ) )  =  ( ( k `
 t )  x.  ( l `  t
) ) )
9897mpteq2dv 4230 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  k  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( k `  t )  x.  ( l `  t ) ) ) )
9998eleq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  k  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( k `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  e.  A ) )
10095, 99imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( f  =  k  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  k  e.  A  /\  l  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( k `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  A
) ) )
101 stoweidlem43.10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( l `  t ) ) )  e.  A )
102100, 101chvarv 2039 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A  /\  l  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( k `  t )  x.  ( l `  t ) ) )  e.  A )
1031023adant1r 1177 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 ) )  /\  k  e.  A  /\  l  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( k `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  e.  A )
10461adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  x )  e.  A )
1054adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  S  e.  T )
10610adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
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107 simpr1 963 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
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108 simpr2 964 . . . . 5  |-  ( (
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f `  S )  =/=  ( f `  Z
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f `  S )  =/=  ( f `  Z
) )
109 simpr3 965 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  (
f `  Z )  =  0 )
11079, 80, 81, 82, 84, 53, 85, 9, 88, 89, 90, 92, 93, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109stoweidlem36 27446 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  E. h
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 S ) ) )
111110ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  A  /\  ( f `
 S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 )  ->  E. h
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 S ) ) ) )
112111exlimdv 1643 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. f ( f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 )  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) ) )
11378, 112mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547   F/wnf 1550    = wceq 1649    e. wcel 1717   F/_wnfc 2503    =/= wne 2543   A.wral 2642   E.wrex 2643   {crab 2646    \ cdif 3253    C_ wss 3256   U.cuni 3950   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200   ran crn 4812   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   supcsup 7373   RRcr 8915   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919    x. cmul 8921    < clt 9046    <_ cle 9047    - cmin 9216    / cdiv 9602   (,)cioo 10841   topGenctg 13585    Cn ccn 17203   Compccmp 17364
This theorem is referenced by:  stoweidlem46  27456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-mulf 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-fi 7344  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-ioo 10845  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-starv 13464  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-unif 13472  df-hom 13473  df-cco 13474  df-rest 13570  df-topn 13571  df-topgen 13587  df-pt 13588  df-prds 13591  df-xrs 13646  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-qtop 13653  df-imas 13654  df-xps 13656  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-mnd 14610  df-submnd 14659  df-mulg 14735  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-cnfld 16620  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-topsp 16883  df-cn 17206  df-cnp 17207  df-cmp 17365  df-tx 17508  df-hmeo 17701  df-xms 18252  df-ms 18253  df-tms 18254
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