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Theorem stoweidlem43 31162
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function pt in the subalgebra, such that pt( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Hera Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem43.1  |-  F/ g
ph
stoweidlem43.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem43.3  |-  F/_ h Q
stoweidlem43.4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem43.5  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem43.6  |-  T  = 
U. J
stoweidlem43.7  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem43.8  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem43.9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( l `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem43.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( l `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem43.11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem43.12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  r
)  =/=  ( g `
 t ) )
stoweidlem43.13  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem43.14  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
stoweidlem43.15  |-  ( ph  ->  S  e.  ( T 
\  U ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem43  |-  ( ph  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
l, t, A    f, h, T, t    T, l   
f, r, g, t, A    x, f, g, t, A    Q, f    S, f, g, l, t   
f, Z, g, l, t    ph, f, l    A, h    S, h    h, Z    T, r    S, r    ph, r    x, T    x, S    x, Z    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t, g, h)    Q( x, t, g, h, r, l)    T( g)    U( x, t, f, g, h, r, l)    J( x, t, f, g, h, r, l)    K( x, t, f, g, h, r, l)    Z( r)

Proof of Theorem stoweidlem43
Dummy variables  s 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem43.1 . . 3  |-  F/ g
ph
2 nfv 1678 . . 3  |-  F/ g E. f ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 )
3 stoweidlem43.15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  ( T 
\  U ) )
43eldifad 3481 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  T )
5 stoweidlem43.14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
6 stoweidlem43.13 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
7 elunii 4243 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  U  /\  U  e.  J )  ->  Z  e.  U. J
)
85, 6, 7syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  U. J
)
9 stoweidlem43.6 . . . . . 6  |-  T  = 
U. J
108, 9syl6eleqr 2559 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
113eldifbd 3482 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  U
)
12 nelne2 2790 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  U  /\  -.  S  e.  U
)  ->  Z  =/=  S )
135, 11, 12syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  =/=  S )
1413necomd 2731 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  =/=  Z )
154, 10, 143jca 1171 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z
) )
16 simpr2 998 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/= 
Z ) )  ->  Z  e.  T )
17 stoweidlem43.2 . . . . . . . . 9  |-  F/ t
ph
18 nfv 1678 . . . . . . . . 9  |-  F/ t ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z
)
1917, 18nfan 1870 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z ) )
20 nfv 1678 . . . . . . . 8  |-  F/ t E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z )
2119, 20nfim 1862 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ( ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z
) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  Z )
)
22 eleq1 2532 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  Z  ->  (
t  e.  T  <->  Z  e.  T ) )
23 neeq2 2743 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  Z  ->  ( S  =/=  t  <->  S  =/=  Z ) )
2422, 233anbi23d 1297 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  Z  ->  (
( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t
)  <->  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/= 
Z ) ) )
2524anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  Z  ->  (
( ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) )  <-> 
( ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z ) ) ) )
26 fveq2 5857 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  Z  ->  (
g `  t )  =  ( g `  Z ) )
2726neeq2d 2738 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  Z  ->  (
( g `  S
)  =/=  ( g `
 t )  <->  ( g `  S )  =/=  (
g `  Z )
) )
2827rexbidv 2966 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  Z  ->  ( E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 t )  <->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  Z )
) )
2925, 28imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( t  =  Z  ->  (
( ( ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t
) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  t )
)  <->  ( ( ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z
) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  Z )
) ) )
30 simpr1 997 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) )  ->  S  e.  T )
31 eleq1 2532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  S  ->  (
r  e.  T  <->  S  e.  T ) )
32 neeq1 2741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  S  ->  (
r  =/=  t  <->  S  =/=  t ) )
3331, 323anbi13d 1296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  S  ->  (
( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t
)  <->  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) ) )
3433anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  S  ->  (
( ph  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  <-> 
( ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) ) ) )
35 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  S  ->  (
g `  r )  =  ( g `  S ) )
3635neeq1d 2737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  S  ->  (
( g `  r
)  =/=  ( g `
 t )  <->  ( g `  S )  =/=  (
g `  t )
) )
3736rexbidv 2966 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  S  ->  ( E. g  e.  A  ( g `  r
)  =/=  ( g `
 t )  <->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  t )
) )
3834, 37imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  S  ->  (
( ( ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t
) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  r )  =/=  (
g `  t )
)  <->  ( ( ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t
) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  (
g `  t )
) ) )
39 stoweidlem43.12 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  r
)  =/=  ( g `
 t ) )
4039a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  T  ->  (
( ph  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  r
)  =/=  ( g `
 t ) ) )
4138, 40vtoclga 3170 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  T  ->  (
( ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 t ) ) )
4230, 41mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  T  /\  t  e.  T  /\  S  =/=  t ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 t ) )
4321, 29, 42vtoclg1f 3163 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  T  ->  (
( ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/=  Z ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )
4416, 43mpcom 36 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/= 
Z ) )  ->  E. g  e.  A  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) )
45 df-rex 2813 . . . . 5  |-  ( E. g  e.  A  ( g `  S )  =/=  ( g `  Z )  <->  E. g
( g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )
4644, 45sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  T  /\  Z  e.  T  /\  S  =/= 
Z ) )  ->  E. g ( g  e.  A  /\  ( g `
 S )  =/=  ( g `  Z
) ) )
4715, 46mpdan 668 . . 3  |-  ( ph  ->  E. g ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )
48 nfv 1678 . . . . . 6  |-  F/ t ( g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) )
4917, 48nfan 1870 . . . . 5  |-  F/ t ( ph  /\  (
g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )
50 nfcv 2622 . . . . 5  |-  F/_ t
g
51 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )
52 stoweidlem43.4 . . . . . . 7  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
53 eqid 2460 . . . . . . 7  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
54 stoweidlem43.8 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
5554sselda 3497 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
5652, 9, 53, 55fcnre 30797 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
5756adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
58 stoweidlem43.9 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( l `  t ) ) )  e.  A )
59583adant1r 1216 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( l `
 t ) ) )  e.  A )
60 stoweidlem43.11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
6160adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  A  /\  ( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  x )  e.  A )
624adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  ->  S  e.  T )
6310adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  ->  Z  e.  T )
64 simprl 755 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  -> 
g  e.  A )
65 simprr 756 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  -> 
( g `  S
)  =/=  ( g `
 Z ) )
6649, 50, 51, 57, 59, 61, 62, 63, 64, 65stoweidlem23 31142 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  -> 
( ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  e.  A  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  S )  =/=  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) ) `
 Z )  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) ) `  Z )  =  0 ) )
67 eleq1 2532 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( f  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) )  e.  A ) )
68 fveq1 5856 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( f `  S
)  =  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  S ) )
69 fveq1 5856 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( f `  Z
)  =  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z ) )
7068, 69neeq12d 2739 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( ( f `  S )  =/=  (
f `  Z )  <->  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  S
)  =/=  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z ) ) )
7169eqeq1d 2462 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( ( f `  Z )  =  0  <-> 
( ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) ) `  Z )  =  0 ) )
7267, 70, 713anbi123d 1294 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) )  -> 
( ( f  e.  A  /\  ( f `
 S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 )  <->  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) )  e.  A  /\  (
( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  S
)  =/=  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z )  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) ) `
 Z )  =  0 ) ) )
7372spcegv 3192 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) )  e.  A  -> 
( ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) )  e.  A  /\  (
( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  S
)  =/=  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z )  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) ) `
 Z )  =  0 )  ->  E. f
( f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 ) ) )
74733ad2ant1 1012 . . . . 5  |-  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) )  e.  A  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) ) `  S )  =/=  (
( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  Z
)  /\  ( (
t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z )  =  0 )  -> 
( ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) )  e.  A  /\  (
( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  S
)  =/=  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z )  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  ( g `  Z ) ) ) `
 Z )  =  0 )  ->  E. f
( f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 ) ) )
7574pm2.43i 47 . . . 4  |-  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) )  e.  A  /\  ( ( t  e.  T  |->  ( ( g `
 t )  -  ( g `  Z
) ) ) `  S )  =/=  (
( t  e.  T  |->  ( ( g `  t )  -  (
g `  Z )
) ) `  Z
)  /\  ( (
t  e.  T  |->  ( ( g `  t
)  -  ( g `
 Z ) ) ) `  Z )  =  0 )  ->  E. f ( f  e.  A  /\  ( f `
 S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )
7666, 75syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  A  /\  (
g `  S )  =/=  ( g `  Z
) ) )  ->  E. f ( f  e.  A  /\  ( f `
 S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )
771, 2, 47, 76exlimdd 1924 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )
78 stoweidlem43.3 . . . . 5  |-  F/_ h Q
79 nfmpt1 4529 . . . . 5  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  ( f `  s ) ) ) `
 t )  /  sup ( ran  ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  ( f `  s ) ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
80 nfcv 2622 . . . . 5  |-  F/_ t
f
81 nfcv 2622 . . . . 5  |-  F/_ t
( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  (
f `  s )
) )
82 nfv 1678 . . . . . 6  |-  F/ t ( f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 )
8317, 82nfan 1870 . . . . 5  |-  F/ t ( ph  /\  (
f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 ) )
84 stoweidlem43.5 . . . . 5  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
85 fveq2 5857 . . . . . . 7  |-  ( s  =  t  ->  (
f `  s )  =  ( f `  t ) )
8685, 85oveq12d 6293 . . . . . 6  |-  ( s  =  t  ->  (
( f `  s
)  x.  ( f `
 s ) )  =  ( ( f `
 t )  x.  ( f `  t
) ) )
8786cbvmptv 4531 . . . . 5  |-  ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  ( f `  s ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( f `  t
) ) )
88 eqid 2460 . . . . 5  |-  sup ( ran  ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  (
f `  s )
) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( s  e.  T  |->  ( ( f `
 s )  x.  ( f `  s
) ) ) ,  RR ,  <  )
89 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  (
f `  s )
) ) `  t
)  /  sup ( ran  ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  (
f `  s )
) ) ,  RR ,  <  ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s
)  x.  ( f `
 s ) ) ) `  t )  /  sup ( ran  ( s  e.  T  |->  ( ( f `  s )  x.  (
f `  s )
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
90 stoweidlem43.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
9190adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  J  e.  Comp )
9254adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  A  C_  ( J  Cn  K
) )
93 eleq1 2532 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  k  ->  (
f  e.  A  <->  k  e.  A ) )
94933anbi2d 1299 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  k  ->  (
( ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A )  <->  ( ph  /\  k  e.  A  /\  l  e.  A )
) )
95 fveq1 5856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  k  ->  (
f `  t )  =  ( k `  t ) )
9695oveq1d 6290 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  k  ->  (
( f `  t
)  x.  ( l `
 t ) )  =  ( ( k `
 t )  x.  ( l `  t
) ) )
9796mpteq2dv 4527 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  k  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( k `  t )  x.  ( l `  t ) ) ) )
9897eleq1d 2529 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  k  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( k `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  e.  A ) )
9994, 98imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( f  =  k  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  k  e.  A  /\  l  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( k `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  A
) ) )
100 stoweidlem43.10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  l  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( l `  t ) ) )  e.  A )
10199, 100chvarv 1976 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A  /\  l  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( k `  t )  x.  ( l `  t ) ) )  e.  A )
1021013adant1r 1216 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 ) )  /\  k  e.  A  /\  l  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( k `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  e.  A )
10360adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  x )  e.  A )
1044adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  S  e.  T )
10510adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  Z  e.  T )
106 simpr1 997 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  f  e.  A )
107 simpr2 998 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
) )
108 simpr3 999 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  (
f `  Z )  =  0 )
10978, 79, 80, 81, 83, 52, 84, 9, 87, 88, 89, 91, 92, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108stoweidlem36 31155 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  A  /\  (
f `  S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 ) )  ->  E. h
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 S ) ) )
110109ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  A  /\  ( f `
 S )  =/=  ( f `  Z
)  /\  ( f `  Z )  =  0 )  ->  E. h
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 S ) ) ) )
111110exlimdv 1695 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. f ( f  e.  A  /\  ( f `  S
)  =/=  ( f `
 Z )  /\  ( f `  Z
)  =  0 )  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) ) )
11277, 111mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374   E.wex 1591   F/wnf 1594    e. wcel 1762   F/_wnfc 2608    =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    \ cdif 3466    C_ wss 3469   U.cuni 4238   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   ran crn 4993   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   supcsup 7889   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9794    / cdiv 10195   (,)cioo 11518   topGenctg 14682    Cn ccn 19484   Compccmp 19645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-cmp 19646  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553
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