Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem43 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stoweidlem43 38016
 Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function pt in the subalgebra, such that pt( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Hera Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem43.1
stoweidlem43.2
stoweidlem43.3
stoweidlem43.4
stoweidlem43.5
stoweidlem43.6
stoweidlem43.7
stoweidlem43.8
stoweidlem43.9
stoweidlem43.10
stoweidlem43.11
stoweidlem43.12
stoweidlem43.13
stoweidlem43.14
stoweidlem43.15
Assertion
Ref Expression
stoweidlem43
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,   ,   ,,,,   ,,,,   ,   ,,,,   ,,,,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,,,,)   ()   (,,,,,,)   (,,,,,,)   (,,,,,,)   ()

Proof of Theorem stoweidlem43
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem43.1 . . 3
2 nfv 1769 . . 3
3 stoweidlem43.15 . . . . . 6
43eldifad 3402 . . . . 5
5 stoweidlem43.14 . . . . . . 7
6 stoweidlem43.13 . . . . . . 7
7 elunii 4195 . . . . . . 7
85, 6, 7syl2anc 673 . . . . . 6
9 stoweidlem43.6 . . . . . 6
108, 9syl6eleqr 2560 . . . . 5
113eldifbd 3403 . . . . . . 7
12 nelne2 2740 . . . . . . 7
135, 11, 12syl2anc 673 . . . . . 6
1413necomd 2698 . . . . 5
154, 10, 143jca 1210 . . . 4
16 simpr2 1037 . . . . . 6
17 stoweidlem43.2 . . . . . . . . 9
18 nfv 1769 . . . . . . . . 9
1917, 18nfan 2031 . . . . . . . 8
20 nfv 1769 . . . . . . . 8
2119, 20nfim 2023 . . . . . . 7
22 eleq1 2537 . . . . . . . . . 10
23 neeq2 2706 . . . . . . . . . 10
2422, 233anbi23d 1368 . . . . . . . . 9
2524anbi2d 718 . . . . . . . 8
26 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10
2726neeq2d 2703 . . . . . . . . 9
2827rexbidv 2892 . . . . . . . 8
2925, 28imbi12d 327 . . . . . . 7
30 simpr1 1036 . . . . . . . 8
31 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . 12
32 neeq1 2705 . . . . . . . . . . . 12
3331, 323anbi13d 1367 . . . . . . . . . . 11
3433anbi2d 718 . . . . . . . . . 10
35 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
3635neeq1d 2702 . . . . . . . . . . 11
3736rexbidv 2892 . . . . . . . . . 10
3834, 37imbi12d 327 . . . . . . . . 9
39 stoweidlem43.12 . . . . . . . . . 10
4039a1i 11 . . . . . . . . 9
4138, 40vtoclga 3099 . . . . . . . 8
4230, 41mpcom 36 . . . . . . 7
4321, 29, 42vtoclg1f 3092 . . . . . 6
4416, 43mpcom 36 . . . . 5
45 df-rex 2762 . . . . 5
4644, 45sylib 201 . . . 4
4715, 46mpdan 681 . . 3
48 nfv 1769 . . . . . 6
4917, 48nfan 2031 . . . . 5
50 nfcv 2612 . . . . 5
51 eqid 2471 . . . . 5
52 stoweidlem43.4 . . . . . . 7
53 eqid 2471 . . . . . . 7
54 stoweidlem43.8 . . . . . . . 8
5554sselda 3418 . . . . . . 7
5652, 9, 53, 55fcnre 37409 . . . . . 6
5756adantlr 729 . . . . 5
58 stoweidlem43.9 . . . . . 6
59583adant1r 1285 . . . . 5
60 stoweidlem43.11 . . . . . 6
6160adantlr 729 . . . . 5
624adantr 472 . . . . 5
6310adantr 472 . . . . 5
64 simprl 772 . . . . 5
65 simprr 774 . . . . 5
6649, 50, 51, 57, 59, 61, 62, 63, 64, 65stoweidlem23 37995 . . . 4
67 eleq1 2537 . . . . . . . 8
68 fveq1 5878 . . . . . . . . 9
69 fveq1 5878 . . . . . . . . 9
7068, 69neeq12d 2704 . . . . . . . 8
7169eqeq1d 2473 . . . . . . . 8
7267, 70, 713anbi123d 1365 . . . . . . 7
7372spcegv 3121 . . . . . 6
74733ad2ant1 1051 . . . . 5
7574pm2.43i 48 . . . 4
7666, 75syl 17 . . 3
771, 2, 47, 76exlimdd 2089 . 2
78 stoweidlem43.3 . . . . 5
79 nfmpt1 4485 . . . . 5
80 nfcv 2612 . . . . 5
81 nfcv 2612 . . . . 5
82 nfv 1769 . . . . . 6
8317, 82nfan 2031 . . . . 5
84 stoweidlem43.5 . . . . 5
85 fveq2 5879 . . . . . . 7
8685, 85oveq12d 6326 . . . . . 6
8786cbvmptv 4488 . . . . 5
88 eqid 2471 . . . . 5
89 eqid 2471 . . . . 5
90 stoweidlem43.7 . . . . . 6
9190adantr 472 . . . . 5
9254adantr 472 . . . . 5
93 eleq1 2537 . . . . . . . . 9
94933anbi2d 1370 . . . . . . . 8
95 fveq1 5878 . . . . . . . . . . 11
9695oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
9796mpteq2dv 4483 . . . . . . . . 9
9897eleq1d 2533 . . . . . . . 8
9994, 98imbi12d 327 . . . . . . 7
100 stoweidlem43.10 . . . . . . 7
10199, 100chvarv 2120 . . . . . 6
1021013adant1r 1285 . . . . 5
10360adantlr 729 . . . . 5
1044adantr 472 . . . . 5
10510adantr 472 . . . . 5
106 simpr1 1036 . . . . 5
107 simpr2 1037 . . . . 5
108 simpr3 1038 . . . . 5
10978, 79, 80, 81, 83, 52, 84, 9, 87, 88, 89, 91, 92, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108stoweidlem36 38009 . . . 4
110109ex 441 . . 3
111110exlimdv 1787 . 2
11277, 111mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wex 1671  wnf 1675   wcel 1904  wnfc 2599   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760   cdif 3387   wss 3390  cuni 4190   class class class wbr 4395   cmpt 4454   crn 4840  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  csup 7972  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cmin 9880   cdiv 10291  cioo 11660  ctg 15414   ccn 20317  ccmp 20478 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415 This theorem is referenced by:  stoweidlem46  38019
 Copyright terms: Public domain W3C validator