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Mathbox for Glauco Siliprandi |
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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > stoweidlem43 | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function pt in the subalgebra, such that pt( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Hera Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) |
Ref | Expression |
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stoweidlem43.1 |
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stoweidlem43.2 |
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stoweidlem43.3 |
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stoweidlem43.4 |
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stoweidlem43.5 |
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stoweidlem43.6 |
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stoweidlem43.7 |
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stoweidlem43.8 |
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stoweidlem43.9 |
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stoweidlem43.10 |
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stoweidlem43.11 |
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stoweidlem43.12 |
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stoweidlem43.13 |
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stoweidlem43.14 |
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stoweidlem43.15 |
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Ref | Expression |
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stoweidlem43 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | stoweidlem43.1 |
. . 3
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2 | nfv 1769 |
. . 3
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3 | stoweidlem43.15 |
. . . . . 6
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4 | 3 | eldifad 3402 |
. . . . 5
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5 | stoweidlem43.14 |
. . . . . . 7
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6 | stoweidlem43.13 |
. . . . . . 7
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7 | elunii 4195 |
. . . . . . 7
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8 | 5, 6, 7 | syl2anc 673 |
. . . . . 6
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9 | stoweidlem43.6 |
. . . . . 6
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10 | 8, 9 | syl6eleqr 2560 |
. . . . 5
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11 | 3 | eldifbd 3403 |
. . . . . . 7
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12 | nelne2 2740 |
. . . . . . 7
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13 | 5, 11, 12 | syl2anc 673 |
. . . . . 6
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14 | 13 | necomd 2698 |
. . . . 5
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15 | 4, 10, 14 | 3jca 1210 |
. . . 4
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16 | simpr2 1037 |
. . . . . 6
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17 | stoweidlem43.2 |
. . . . . . . . 9
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18 | nfv 1769 |
. . . . . . . . 9
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19 | 17, 18 | nfan 2031 |
. . . . . . . 8
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20 | nfv 1769 |
. . . . . . . 8
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21 | 19, 20 | nfim 2023 |
. . . . . . 7
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22 | eleq1 2537 |
. . . . . . . . . 10
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23 | neeq2 2706 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 22, 23 | 3anbi23d 1368 |
. . . . . . . . 9
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25 | 24 | anbi2d 718 |
. . . . . . . 8
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26 | fveq2 5879 |
. . . . . . . . . 10
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27 | 26 | neeq2d 2703 |
. . . . . . . . 9
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28 | 27 | rexbidv 2892 |
. . . . . . . 8
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29 | 25, 28 | imbi12d 327 |
. . . . . . 7
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30 | simpr1 1036 |
. . . . . . . 8
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31 | eleq1 2537 |
. . . . . . . . . . . 12
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32 | neeq1 2705 |
. . . . . . . . . . . 12
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33 | 31, 32 | 3anbi13d 1367 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 33 | anbi2d 718 |
. . . . . . . . . 10
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35 | fveq2 5879 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | 35 | neeq1d 2702 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | 36 | rexbidv 2892 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 34, 37 | imbi12d 327 |
. . . . . . . . 9
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39 | stoweidlem43.12 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 39 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
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41 | 38, 40 | vtoclga 3099 |
. . . . . . . 8
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42 | 30, 41 | mpcom 36 |
. . . . . . 7
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43 | 21, 29, 42 | vtoclg1f 3092 |
. . . . . 6
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44 | 16, 43 | mpcom 36 |
. . . . 5
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45 | df-rex 2762 |
. . . . 5
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46 | 44, 45 | sylib 201 |
. . . 4
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47 | 15, 46 | mpdan 681 |
. . 3
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48 | nfv 1769 |
. . . . . 6
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49 | 17, 48 | nfan 2031 |
. . . . 5
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50 | nfcv 2612 |
. . . . 5
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51 | eqid 2471 |
. . . . 5
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52 | stoweidlem43.4 |
. . . . . . 7
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53 | eqid 2471 |
. . . . . . 7
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54 | stoweidlem43.8 |
. . . . . . . 8
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55 | 54 | sselda 3418 |
. . . . . . 7
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56 | 52, 9, 53, 55 | fcnre 37409 |
. . . . . 6
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57 | 56 | adantlr 729 |
. . . . 5
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58 | stoweidlem43.9 |
. . . . . 6
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59 | 58 | 3adant1r 1285 |
. . . . 5
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60 | stoweidlem43.11 |
. . . . . 6
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61 | 60 | adantlr 729 |
. . . . 5
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62 | 4 | adantr 472 |
. . . . 5
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63 | 10 | adantr 472 |
. . . . 5
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64 | simprl 772 |
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98 | 97 | eleq1d 2533 |
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105 | 10 | adantr 472 |
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106 | simpr1 1036 |
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107 | simpr2 1037 |
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108 | simpr3 1038 |
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109 | 78, 79, 80, 81, 83, 52, 84, 9, 87, 88, 89, 91, 92, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108 | stoweidlem36 38009 |
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110 | 109 | ex 441 |
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111 | 110 | exlimdv 1787 |
. 2
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112 | 77, 111 | mpd 15 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-rep 4508 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 ax-inf2 8164 ax-cnex 9613 ax-resscn 9614 ax-1cn 9615 ax-icn 9616 ax-addcl 9617 ax-addrcl 9618 ax-mulcl 9619 ax-mulrcl 9620 ax-mulcom 9621 ax-addass 9622 ax-mulass 9623 ax-distr 9624 ax-i2m1 9625 ax-1ne0 9626 ax-1rid 9627 ax-rnegex 9628 ax-rrecex 9629 ax-cnre 9630 ax-pre-lttri 9631 ax-pre-lttrn 9632 ax-pre-ltadd 9633 ax-pre-mulgt0 9634 ax-pre-sup 9635 ax-mulf 9637 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-nel 2644 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rmo 2764 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-pss 3406 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-tp 3964 df-op 3966 df-uni 4191 df-int 4227 df-iun 4271 df-iin 4272 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-tr 4491 df-eprel 4750 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-fr 4798 df-se 4799 df-we 4800 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-pred 5387 df-ord 5433 df-on 5434 df-lim 5435 df-suc 5436 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-isom 5598 df-riota 6270 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-of 6550 df-om 6712 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-supp 6934 df-wrecs 7046 df-recs 7108 df-rdg 7146 df-1o 7200 df-2o 7201 df-oadd 7204 df-er 7381 df-map 7492 df-ixp 7541 df-en 7588 df-dom 7589 df-sdom 7590 df-fin 7591 df-fsupp 7902 df-fi 7943 df-sup 7974 df-inf 7975 df-oi 8043 df-card 8391 df-cda 8616 df-pnf 9695 df-mnf 9696 df-xr 9697 df-ltxr 9698 df-le 9699 df-sub 9882 df-neg 9883 df-div 10292 df-nn 10632 df-2 10690 df-3 10691 df-4 10692 df-5 10693 df-6 10694 df-7 10695 df-8 10696 df-9 10697 df-10 10698 df-n0 10894 df-z 10962 df-dec 11075 df-uz 11183 df-q 11288 df-rp 11326 df-xneg 11432 df-xadd 11433 df-xmul 11434 df-ioo 11664 df-icc 11667 df-fz 11811 df-fzo 11943 df-seq 12252 df-exp 12311 df-hash 12554 df-cj 13239 df-re 13240 df-im 13241 df-sqrt 13375 df-abs 13376 df-struct 15201 df-ndx 15202 df-slot 15203 df-base 15204 df-sets 15205 df-ress 15206 df-plusg 15281 df-mulr 15282 df-starv 15283 df-sca 15284 df-vsca 15285 df-ip 15286 df-tset 15287 df-ple 15288 df-ds 15290 df-unif 15291 df-hom 15292 df-cco 15293 df-rest 15399 df-topn 15400 df-0g 15418 df-gsum 15419 df-topgen 15420 df-pt 15421 df-prds 15424 df-xrs 15478 df-qtop 15484 df-imas 15485 df-xps 15488 df-mre 15570 df-mrc 15571 df-acs 15573 df-mgm 16566 df-sgrp 16605 df-mnd 16615 df-submnd 16661 df-mulg 16754 df-cntz 17049 df-cmn 17510 df-psmet 19039 df-xmet 19040 df-met 19041 df-bl 19042 df-mopn 19043 df-cnfld 19048 df-top 19998 df-bases 19999 df-topon 20000 df-topsp 20001 df-cn 20320 df-cnp 20321 df-cmp 20479 df-tx 20654 df-hmeo 20847 df-xms 21413 df-ms 21414 df-tms 21415 |
This theorem is referenced by: stoweidlem46 38019 |
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