Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem42 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stoweidlem42 37903
Description: This lemma is used to prove that  x built as in Lemma 2 of [BrosowskiDeutsh] p. 91, is such that x > 1 - ε on B. Here  X is used to represent  x in the paper, and E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem42.1  |-  F/ i
ph
stoweidlem42.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem42.3  |-  F/_ t Y
stoweidlem42.4  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
stoweidlem42.5  |-  X  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 M )
stoweidlem42.6  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
stoweidlem42.7  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
stoweidlem42.8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem42.9  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
stoweidlem42.10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  < 
( ( U `  i ) `  t
) )
stoweidlem42.11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem42.12  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
stoweidlem42.13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem42.14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
stoweidlem42.15  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
stoweidlem42.16  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem42  |-  ( ph  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) )
Distinct variable groups:    t, i    B, i    i, M    f,
g, t, T    f,
i, T    f, F, g    f, M, g    U, f, g, t    f, Y, g    ph, f, g    i, E    U, i
Allowed substitution hints:    ph( t, i)    B( t, f, g)    P( t, f, g, i)    E( t, f, g)    F( t, i)    M( t)    X( t, f, g, i)    Y( t, i)    Z( t, f, g, i)

Proof of Theorem stoweidlem42
Dummy variables  a 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem42.2 . 2  |-  F/ t
ph
2 1red 9658 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
3 stoweidlem42.11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
43rpred 11341 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
52, 4resubcld 10047 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  e.  RR )
65adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  e.  RR )
7 stoweidlem42.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
84, 7nndivred 10658 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  e.  RR )
92, 8resubcld 10047 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( E  /  M ) )  e.  RR )
109adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  ( E  /  M ) )  e.  RR )
117nnnn0d 10925 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
1211adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  M  e.  NN0 )
1310, 12reexpcld 12433 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M )  e.  RR )
14 elnnuz 11195 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
157, 14sylib 200 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
1615adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
17 stoweidlem42.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i
ph
18 nfv 1761 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i  t  e.  B
1917, 18nfan 2011 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ph  /\  t  e.  B )
20 nfv 1761 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  a  e.  ( 1 ... M )
2119, 20nfan 2011 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  a  e.  (
1 ... M ) )
22 stoweidlem42.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
23 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i T
24 nfmpt1 4492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )
2523, 24nfmpt 4491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
2622, 25nfcxfr 2590 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i F
27 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
t
2826, 27nffv 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
( F `  t
)
29 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
a
3028, 29nffv 5872 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i
( ( F `  t ) `  a
)
3130nfel1 2606 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ( F `  t ) `  a
)  e.  RR
3221, 31nfim 2003 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  a  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  a )  e.  RR )
33 eleq1 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  a  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  <->  a  e.  ( 1 ... M
) ) )
3433anbi2d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  (
1 ... M ) )  <-> 
( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  a  e.  (
1 ... M ) ) ) )
35 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  a  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( F `
 t ) `  a ) )
3635eleq1d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( F `  t ) `  i
)  e.  RR  <->  ( ( F `  t ) `  a )  e.  RR ) )
3734, 36imbi12d 322 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  i )  e.  RR ) 
<->  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  a  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  a )  e.  RR ) ) )
38 stoweidlem42.16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
3938sselda 3432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  t  e.  T )
40 ovex 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
41 mptexg 6135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... M )  e.  _V  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
)  e.  _V )
4240, 41mp1i 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
)  e.  _V )
4322fvmpt2 5957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )  e.  _V )  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) )
4439, 42, 43syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) ) )
45 stoweidlem42.9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
4645fnvinran 37335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i )  e.  Y )
47 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
4847, 46jca 535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y
) )
49 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f  e.  Y  <->  ( U `  i )  e.  Y
) )
5049anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y )  <->  ( ph  /\  ( U `  i
)  e.  Y ) ) )
51 feq1 5710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
5250, 51imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y )  -> 
( U `  i
) : T --> RR ) ) )
53 stoweidlem42.13 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
5452, 53vtoclg 3107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U `  i )  e.  Y  ->  (
( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y )  ->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
5546, 48, 54sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
5655adantlr 721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
5739adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  t  e.  T )
5856, 57ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  e.  RR )
5944, 58fvmpt2d 5959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( U `
 i ) `  t ) )
6059, 58eqeltrd 2529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  e.  RR )
6132, 37, 60chvar 2106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  a  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  a )  e.  RR )
62 remulcl 9624 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  ( a  x.  j
)  e.  RR )
6362adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  (
a  e.  RR  /\  j  e.  RR )
)  ->  ( a  x.  j )  e.  RR )
6416, 61, 63seqcl 12233 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  M
)  e.  RR )
653rpcnd 11343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
667nncnd 10625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
677nnne0d 10654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
6865, 66, 67divcan1d 10384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( E  /  M )  x.  M
)  =  E )
6968eqcomd 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  =  ( ( E  /  M )  x.  M ) )
7069oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  =  ( 1  -  ( ( E  /  M )  x.  M ) ) )
71 1cnd 9659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
7265, 66, 67divcld 10383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  e.  CC )
7372, 66mulcld 9663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( E  /  M )  x.  M
)  e.  CC )
7471, 73negsubd 9992 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  +  -u ( ( E  /  M )  x.  M
) )  =  ( 1  -  ( ( E  /  M )  x.  M ) ) )
7572, 66mulneg1d 10071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( E  /  M )  x.  M )  =  -u ( ( E  /  M )  x.  M
) )
7675eqcomd 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( ( E  /  M )  x.  M )  =  (
-u ( E  /  M )  x.  M
) )
7776oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  +  -u ( ( E  /  M )  x.  M
) )  =  ( 1  +  ( -u ( E  /  M
)  x.  M ) ) )
7870, 74, 773eqtr2d 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  =  ( 1  +  ( -u ( E  /  M )  x.  M ) ) )
798renegcld 10046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( E  /  M )  e.  RR )
807nnred 10624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
81 3re 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  e.  RR
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
83 3ne0 10704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  =/=  0
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
8582, 84rereccld 10434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
86 stoweidlem42.12 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
87 1lt3 10778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  <  3
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  1  <  3 )
89 0lt1 10136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <  1
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
91 3pos 10703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <  3
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <  3 )
93 ltdiv2 10492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )  /\  (
1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )  ->  ( 1  <  3  <->  ( 1  / 
3 )  <  (
1  /  1 ) ) )
942, 90, 82, 92, 2, 90, 93syl222anc 1284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  ( 1  / 
1 ) ) )
9588, 94mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  <  ( 1  /  1 ) )
96 1div1e1 10300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  /  1 )  =  1
9795, 96syl6breq 4442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  <  1 )
984, 85, 2, 86, 97lttrd 9796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  E  <  1 )
997nnge1d 10652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
1004, 2, 80, 98, 99ltletrd 9795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E  <  M )
1014, 80, 100ltled 9783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E  <_  M )
1023rpregt0d 11347 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )
1037nngt0d 10653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  M )
104 lediv2 10496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E  e.  RR  /\  0  <  E )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  < 
M )  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  -> 
( E  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  /  E ) ) )
105102, 80, 103, 102, 104syl121anc 1273 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  /  E ) ) )
106101, 105mpbid 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  ( E  /  E ) )
1073rpcnne0d 11350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )
108 divid 10297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 )  -> 
( E  /  E
)  =  1 )
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  /  E
)  =  1 )
110106, 109breqtrd 4427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  1 )
1118, 2lenegd 10192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( E  /  M )  <_  1  <->  -u 1  <_  -u ( E  /  M ) ) )
112110, 111mpbid 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u 1  <_  -u ( E  /  M ) )
113 bernneq 12398 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( E  /  M )  e.  RR  /\  M  e.  NN0  /\  -u 1  <_  -u ( E  /  M ) )  ->  ( 1  +  ( -u ( E  /  M )  x.  M ) )  <_ 
( ( 1  + 
-u ( E  /  M ) ) ^ M ) )
11479, 11, 112, 113syl3anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  +  (
-u ( E  /  M )  x.  M
) )  <_  (
( 1  +  -u ( E  /  M
) ) ^ M
) )
11571, 72negsubd 9992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  +  -u ( E  /  M
) )  =  ( 1  -  ( E  /  M ) ) )
116115oveq1d 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  + 
-u ( E  /  M ) ) ^ M )  =  ( ( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M ) )
117114, 116breqtrd 4427 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  +  (
-u ( E  /  M )  x.  M
) )  <_  (
( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M ) )
11878, 117eqbrtrd 4423 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <_  ( (
1  -  ( E  /  M ) ) ^ M ) )
119118adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <_  ( ( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M ) )
120 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) )  =  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) )
1217adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  M  e.  NN )
122 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) )
12319, 58, 122fmptdf 6048 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) : ( 1 ... M ) --> RR )
12444feq1d 5714 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
( F `  t
) : ( 1 ... M ) --> RR  <->  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) : ( 1 ... M ) --> RR ) )
125123, 124mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( F `  t ) : ( 1 ... M ) --> RR )
126 stoweidlem42.10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  < 
( ( U `  i ) `  t
) )
127126r19.21bi 2757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( U `
 i ) `  t ) )
128127an32s 813 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( U `
 i ) `  t ) )
129128, 59breqtrrd 4429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( F `
 t ) `  i ) )
13072addid2d 9834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( E  /  M ) )  =  ( E  /  M ) )
131 lediv2 10496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  < 
M )  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  -> 
( 1  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  / 
1 ) ) )
1322, 90, 80, 103, 102, 131syl221anc 1279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  / 
1 ) ) )
13399, 132mpbid 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  ( E  /  1 ) )
13465div1d 10375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  /  1
)  =  E )
135133, 134breqtrd 4427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  E )
1368, 4, 2, 135, 98lelttrd 9793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <  1 )
137130, 136eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( E  /  M ) )  <  1 )
138 0red 9644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
139138, 8, 2ltaddsubd 10213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  ( E  /  M
) )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( E  /  M
) ) ) )
140137, 139mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  -  ( E  /  M ) ) )
1419, 140elrpd 11338 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( E  /  M ) )  e.  RR+ )
142141adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  ( E  /  M ) )  e.  RR+ )
14328, 19, 120, 121, 125, 129, 142stoweidlem3 37863 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M )  < 
(  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
1446, 13, 64, 119, 143lelttrd 9793 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
145 stoweidlem42.7 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
146145fvmpt2 5957 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  T  /\  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M )  e.  RR )  ->  ( Z `  t )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
14739, 64, 146syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( Z `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
148144, 147breqtrrd 4429 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <  ( Z `  t ) )
149 simpl 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ph )
150 stoweidlem42.3 . . . . . 6  |-  F/_ t Y
151 stoweidlem42.4 . . . . . 6  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
152 stoweidlem42.5 . . . . . 6  |-  X  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 M )
153 stoweidlem42.15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
154 stoweidlem42.14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
15517, 150, 151, 152, 22, 145, 153, 7, 45, 53, 154fmuldfeq 37661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  =  ( Z `  t ) )
156149, 39, 155syl2anc 667 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( X `  t )  =  ( Z `  t ) )
157148, 156breqtrrd 4429 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <  ( X `  t ) )
158157ex 436 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  B  ->  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) )
1591, 158ralrimi 2788 1  |-  ( ph  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444   F/wnf 1667    e. wcel 1887   F/_wnfc 2579    =/= wne 2622   A.wral 2737   _Vcvv 3045    C_ wss 3404   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    |-> cmpt2 6292   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   -ucneg 9861    / cdiv 10269   NNcn 10609   3c3 10660   NN0cn0 10869   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   ...cfz 11784    seqcseq 12213   ^cexp 12272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273
This theorem is referenced by:  stoweidlem51  37912
  Copyright terms: Public domain W3C validator