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Theorem stoweidlem42 38015
Description: This lemma is used to prove that  x built as in Lemma 2 of [BrosowskiDeutsh] p. 91, is such that x > 1 - ε on B. Here  X is used to represent  x in the paper, and E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem42.1  |-  F/ i
ph
stoweidlem42.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem42.3  |-  F/_ t Y
stoweidlem42.4  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
stoweidlem42.5  |-  X  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 M )
stoweidlem42.6  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
stoweidlem42.7  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
stoweidlem42.8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem42.9  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
stoweidlem42.10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  < 
( ( U `  i ) `  t
) )
stoweidlem42.11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem42.12  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
stoweidlem42.13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem42.14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
stoweidlem42.15  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
stoweidlem42.16  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem42  |-  ( ph  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) )
Distinct variable groups:    t, i    B, i    i, M    f,
g, t, T    f,
i, T    f, F, g    f, M, g    U, f, g, t    f, Y, g    ph, f, g    i, E    U, i
Allowed substitution hints:    ph( t, i)    B( t, f, g)    P( t, f, g, i)    E( t, f, g)    F( t, i)    M( t)    X( t, f, g, i)    Y( t, i)    Z( t, f, g, i)

Proof of Theorem stoweidlem42
Dummy variables  a 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem42.2 . 2  |-  F/ t
ph
2 1red 9676 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
3 stoweidlem42.11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
43rpred 11364 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
52, 4resubcld 10068 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  e.  RR )
65adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  e.  RR )
7 stoweidlem42.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
84, 7nndivred 10680 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  e.  RR )
92, 8resubcld 10068 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( E  /  M ) )  e.  RR )
109adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  ( E  /  M ) )  e.  RR )
117nnnn0d 10949 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
1211adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  M  e.  NN0 )
1310, 12reexpcld 12471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M )  e.  RR )
14 elnnuz 11219 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
157, 14sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
1615adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
17 stoweidlem42.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i
ph
18 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i  t  e.  B
1917, 18nfan 2031 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ph  /\  t  e.  B )
20 nfv 1769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  a  e.  ( 1 ... M )
2119, 20nfan 2031 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  a  e.  (
1 ... M ) )
22 stoweidlem42.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
23 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i T
24 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )
2523, 24nfmpt 4484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
2622, 25nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i F
27 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
t
2826, 27nffv 5886 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
( F `  t
)
29 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
a
3028, 29nffv 5886 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i
( ( F `  t ) `  a
)
3130nfel1 2626 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ( F `  t ) `  a
)  e.  RR
3221, 31nfim 2023 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  a  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  a )  e.  RR )
33 eleq1 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  a  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  <->  a  e.  ( 1 ... M
) ) )
3433anbi2d 718 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  (
1 ... M ) )  <-> 
( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  a  e.  (
1 ... M ) ) ) )
35 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  a  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( F `
 t ) `  a ) )
3635eleq1d 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( F `  t ) `  i
)  e.  RR  <->  ( ( F `  t ) `  a )  e.  RR ) )
3734, 36imbi12d 327 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  i )  e.  RR ) 
<->  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  a  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  a )  e.  RR ) ) )
38 stoweidlem42.16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
3938sselda 3418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  t  e.  T )
40 ovex 6336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
41 mptexg 6151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... M )  e.  _V  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
)  e.  _V )
4240, 41mp1i 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
)  e.  _V )
4322fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )  e.  _V )  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) )
4439, 42, 43syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) ) )
45 stoweidlem42.9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
4645fnvinran 37398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i )  e.  Y )
47 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
4847, 46jca 541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y
) )
49 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f  e.  Y  <->  ( U `  i )  e.  Y
) )
5049anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y )  <->  ( ph  /\  ( U `  i
)  e.  Y ) ) )
51 feq1 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
5250, 51imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y )  -> 
( U `  i
) : T --> RR ) ) )
53 stoweidlem42.13 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
5452, 53vtoclg 3093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U `  i )  e.  Y  ->  (
( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y )  ->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
5546, 48, 54sylc 61 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
5655adantlr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
5739adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  t  e.  T )
5856, 57ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  e.  RR )
5944, 58fvmpt2d 5974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( U `
 i ) `  t ) )
6059, 58eqeltrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  e.  RR )
6132, 37, 60chvar 2119 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  a  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  a )  e.  RR )
62 remulcl 9642 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  ( a  x.  j
)  e.  RR )
6362adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  (
a  e.  RR  /\  j  e.  RR )
)  ->  ( a  x.  j )  e.  RR )
6416, 61, 63seqcl 12271 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  M
)  e.  RR )
653rpcnd 11366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
667nncnd 10647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
677nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
6865, 66, 67divcan1d 10406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( E  /  M )  x.  M
)  =  E )
6968eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  =  ( ( E  /  M )  x.  M ) )
7069oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  =  ( 1  -  ( ( E  /  M )  x.  M ) ) )
71 1cnd 9677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
7265, 66, 67divcld 10405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  e.  CC )
7372, 66mulcld 9681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( E  /  M )  x.  M
)  e.  CC )
7471, 73negsubd 10011 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  +  -u ( ( E  /  M )  x.  M
) )  =  ( 1  -  ( ( E  /  M )  x.  M ) ) )
7572, 66mulneg1d 10092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( E  /  M )  x.  M )  =  -u ( ( E  /  M )  x.  M
) )
7675eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( ( E  /  M )  x.  M )  =  (
-u ( E  /  M )  x.  M
) )
7776oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  +  -u ( ( E  /  M )  x.  M
) )  =  ( 1  +  ( -u ( E  /  M
)  x.  M ) ) )
7870, 74, 773eqtr2d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  =  ( 1  +  ( -u ( E  /  M )  x.  M ) ) )
798renegcld 10067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( E  /  M )  e.  RR )
807nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
81 3re 10705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  e.  RR
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
83 3ne0 10726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  =/=  0
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
8582, 84rereccld 10456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
86 stoweidlem42.12 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
87 1lt3 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  <  3
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  1  <  3 )
89 0lt1 10157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <  1
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
91 3pos 10725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <  3
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <  3 )
93 ltdiv2 10514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )  /\  (
1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )  ->  ( 1  <  3  <->  ( 1  / 
3 )  <  (
1  /  1 ) ) )
942, 90, 82, 92, 2, 90, 93syl222anc 1308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  ( 1  / 
1 ) ) )
9588, 94mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  <  ( 1  /  1 ) )
96 1div1e1 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  /  1 )  =  1
9795, 96syl6breq 4435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  <  1 )
984, 85, 2, 86, 97lttrd 9813 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  E  <  1 )
997nnge1d 10674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
1004, 2, 80, 98, 99ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E  <  M )
1014, 80, 100ltled 9800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E  <_  M )
1023rpregt0d 11370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )
1037nngt0d 10675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  M )
104 lediv2 10518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E  e.  RR  /\  0  <  E )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  < 
M )  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  -> 
( E  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  /  E ) ) )
105102, 80, 103, 102, 104syl121anc 1297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  /  E ) ) )
106101, 105mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  ( E  /  E ) )
1073rpcnne0d 11373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )
108 divid 10319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 )  -> 
( E  /  E
)  =  1 )
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  /  E
)  =  1 )
110106, 109breqtrd 4420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  1 )
1118, 2lenegd 10213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( E  /  M )  <_  1  <->  -u 1  <_  -u ( E  /  M ) ) )
112110, 111mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u 1  <_  -u ( E  /  M ) )
113 bernneq 12436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( E  /  M )  e.  RR  /\  M  e.  NN0  /\  -u 1  <_  -u ( E  /  M ) )  ->  ( 1  +  ( -u ( E  /  M )  x.  M ) )  <_ 
( ( 1  + 
-u ( E  /  M ) ) ^ M ) )
11479, 11, 112, 113syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  +  (
-u ( E  /  M )  x.  M
) )  <_  (
( 1  +  -u ( E  /  M
) ) ^ M
) )
11571, 72negsubd 10011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  +  -u ( E  /  M
) )  =  ( 1  -  ( E  /  M ) ) )
116115oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  + 
-u ( E  /  M ) ) ^ M )  =  ( ( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M ) )
117114, 116breqtrd 4420 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  +  (
-u ( E  /  M )  x.  M
) )  <_  (
( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M ) )
11878, 117eqbrtrd 4416 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <_  ( (
1  -  ( E  /  M ) ) ^ M ) )
119118adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <_  ( ( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M ) )
120 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) )  =  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) )
1217adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  M  e.  NN )
122 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) )
12319, 58, 122fmptdf 6063 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) : ( 1 ... M ) --> RR )
12444feq1d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
( F `  t
) : ( 1 ... M ) --> RR  <->  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) : ( 1 ... M ) --> RR ) )
125123, 124mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( F `  t ) : ( 1 ... M ) --> RR )
126 stoweidlem42.10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  < 
( ( U `  i ) `  t
) )
127126r19.21bi 2776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( U `
 i ) `  t ) )
128127an32s 821 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( U `
 i ) `  t ) )
129128, 59breqtrrd 4422 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( F `
 t ) `  i ) )
13072addid2d 9852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( E  /  M ) )  =  ( E  /  M ) )
131 lediv2 10518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  < 
M )  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  -> 
( 1  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  / 
1 ) ) )
1322, 90, 80, 103, 102, 131syl221anc 1303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  / 
1 ) ) )
13399, 132mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  ( E  /  1 ) )
13465div1d 10397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  /  1
)  =  E )
135133, 134breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  E )
1368, 4, 2, 135, 98lelttrd 9810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <  1 )
137130, 136eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( E  /  M ) )  <  1 )
138 0red 9662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
139138, 8, 2ltaddsubd 10234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  ( E  /  M
) )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( E  /  M
) ) ) )
140137, 139mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  -  ( E  /  M ) ) )
1419, 140elrpd 11361 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( E  /  M ) )  e.  RR+ )
142141adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  ( E  /  M ) )  e.  RR+ )
14328, 19, 120, 121, 125, 129, 142stoweidlem3 37975 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M )  < 
(  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
1446, 13, 64, 119, 143lelttrd 9810 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
145 stoweidlem42.7 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
146145fvmpt2 5972 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  T  /\  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M )  e.  RR )  ->  ( Z `  t )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
14739, 64, 146syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( Z `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
148144, 147breqtrrd 4422 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <  ( Z `  t ) )
149 simpl 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ph )
150 stoweidlem42.3 . . . . . 6  |-  F/_ t Y
151 stoweidlem42.4 . . . . . 6  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
152 stoweidlem42.5 . . . . . 6  |-  X  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 M )
153 stoweidlem42.15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
154 stoweidlem42.14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
15517, 150, 151, 152, 22, 145, 153, 7, 45, 53, 154fmuldfeq 37758 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  =  ( Z `  t ) )
156149, 39, 155syl2anc 673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( X `  t )  =  ( Z `  t ) )
157148, 156breqtrrd 4422 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <  ( X `  t ) )
158157ex 441 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  B  ->  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) )
1591, 158ralrimi 2800 1  |-  ( ph  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   F/wnf 1675    e. wcel 1904   F/_wnfc 2599    =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   NNcn 10631   3c3 10682   NN0cn0 10893   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810    seqcseq 12251   ^cexp 12310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311
This theorem is referenced by:  stoweidlem51  38024
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