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Theorem stoweidlem42 31161
Description: This lemma is used to prove that  x built as in Lemma 2 of [BrosowskiDeutsh] p. 91, is such that x > 1 - ε on B. Here  X is used to represent  x in the paper, and E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem42.1  |-  F/ i
ph
stoweidlem42.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem42.3  |-  F/_ t Y
stoweidlem42.4  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
stoweidlem42.5  |-  X  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 M )
stoweidlem42.6  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
stoweidlem42.7  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
stoweidlem42.8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem42.9  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
stoweidlem42.10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  < 
( ( U `  i ) `  t
) )
stoweidlem42.11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem42.12  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
stoweidlem42.13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem42.14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
stoweidlem42.15  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
stoweidlem42.16  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem42  |-  ( ph  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) )
Distinct variable groups:    t, i    B, i    i, M    f,
g, t, T    f,
i, T    f, F, g    f, M, g    U, f, g, t    f, Y, g    ph, f, g    i, E    U, i
Allowed substitution hints:    ph( t, i)    B( t, f, g)    P( t, f, g, i)    E( t, f, g)    F( t, i)    M( t)    X( t, f, g, i)    Y( t, i)    Z( t, f, g, i)

Proof of Theorem stoweidlem42
Dummy variables  a 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem42.2 . 2  |-  F/ t
ph
2 1red 9600 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
3 stoweidlem42.11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
43rpred 11245 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
52, 4resubcld 9976 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  e.  RR )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  e.  RR )
7 stoweidlem42.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
84, 7nndivred 10573 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  e.  RR )
92, 8resubcld 9976 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( E  /  M ) )  e.  RR )
109adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  ( E  /  M ) )  e.  RR )
117nnnn0d 10841 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
1211adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  M  e.  NN0 )
1310, 12reexpcld 12282 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M )  e.  RR )
14 elnnuz 11107 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
157, 14sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
1615adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
17 stoweidlem42.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i
ph
18 nfv 1678 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i  t  e.  B
1917, 18nfan 1870 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ph  /\  t  e.  B )
20 nfv 1678 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  a  e.  ( 1 ... M )
2119, 20nfan 1870 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  a  e.  (
1 ... M ) )
22 stoweidlem42.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
23 nfcv 2622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i T
24 nfmpt1 4529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )
2523, 24nfmpt 4528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
2622, 25nfcxfr 2620 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i F
27 nfcv 2622 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
t
2826, 27nffv 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
( F `  t
)
29 nfcv 2622 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
a
3028, 29nffv 5864 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i
( ( F `  t ) `  a
)
3130nfel1 2638 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ( F `  t ) `  a
)  e.  RR
3221, 31nfim 1862 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  a  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  a )  e.  RR )
33 eleq1 2532 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  a  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  <->  a  e.  ( 1 ... M
) ) )
3433anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  (
1 ... M ) )  <-> 
( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  a  e.  (
1 ... M ) ) ) )
35 fveq2 5857 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  a  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( F `
 t ) `  a ) )
3635eleq1d 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( F `  t ) `  i
)  e.  RR  <->  ( ( F `  t ) `  a )  e.  RR ) )
3734, 36imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  i )  e.  RR ) 
<->  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  a  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  a )  e.  RR ) ) )
38 stoweidlem42.16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
3938sselda 3497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  t  e.  T )
40 ovex 6300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
41 mptexg 6121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... M )  e.  _V  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
)  e.  _V )
4240, 41mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
)  e.  _V )
4322fvmpt2 5948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )  e.  _V )  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) )
4439, 42, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) ) )
45 stoweidlem42.9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
4645fnvinran 30786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i )  e.  Y )
47 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
4847, 46jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y
) )
49 eleq1 2532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f  e.  Y  <->  ( U `  i )  e.  Y
) )
5049anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y )  <->  ( ph  /\  ( U `  i
)  e.  Y ) ) )
51 feq1 5704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
5250, 51imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y )  -> 
( U `  i
) : T --> RR ) ) )
53 stoweidlem42.13 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
5452, 53vtoclg 3164 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U `  i )  e.  Y  ->  (
( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y )  ->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
5546, 48, 54sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
5655adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
5739adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  t  e.  T )
5856, 57ffvelrnd 6013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  e.  RR )
5944, 58fvmpt2d 5950 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( U `
 i ) `  t ) )
6059, 58eqeltrd 2548 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  e.  RR )
6132, 37, 60chvar 1975 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  a  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  a )  e.  RR )
62 remulcl 9566 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  ( a  x.  j
)  e.  RR )
6362adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  (
a  e.  RR  /\  j  e.  RR )
)  ->  ( a  x.  j )  e.  RR )
6416, 61, 63seqcl 12083 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  M
)  e.  RR )
653rpcnd 11247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
667nncnd 10541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
677nnne0d 10569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
6865, 66, 67divcan1d 10310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( E  /  M )  x.  M
)  =  E )
6968eqcomd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  =  ( ( E  /  M )  x.  M ) )
7069oveq2d 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  =  ( 1  -  ( ( E  /  M )  x.  M ) ) )
71 1cnd 9601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
7265, 66, 67divcld 10309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  e.  CC )
7372, 66mulcld 9605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( E  /  M )  x.  M
)  e.  CC )
7471, 73negsubd 9925 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  +  -u ( ( E  /  M )  x.  M
) )  =  ( 1  -  ( ( E  /  M )  x.  M ) ) )
7572, 66mulneg1d 9998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( E  /  M )  x.  M )  =  -u ( ( E  /  M )  x.  M
) )
7675eqcomd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( ( E  /  M )  x.  M )  =  (
-u ( E  /  M )  x.  M
) )
7776oveq2d 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  +  -u ( ( E  /  M )  x.  M
) )  =  ( 1  +  ( -u ( E  /  M
)  x.  M ) ) )
7870, 74, 773eqtr2d 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  =  ( 1  +  ( -u ( E  /  M )  x.  M ) ) )
798renegcld 9975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( E  /  M )  e.  RR )
807nnred 10540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
81 3re 10598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  e.  RR
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
83 3ne0 10619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  =/=  0
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
8582, 84rereccld 10360 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
86 stoweidlem42.12 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
87 1lt3 10693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  <  3
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  1  <  3 )
89 0lt1 10064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <  1
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
91 3pos 10618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <  3
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <  3 )
93 ltdiv2 10419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )  /\  (
1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )  ->  ( 1  <  3  <->  ( 1  / 
3 )  <  (
1  /  1 ) ) )
942, 90, 82, 92, 2, 90, 93syl222anc 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  ( 1  / 
1 ) ) )
9588, 94mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  <  ( 1  /  1 ) )
96 1div1e1 10226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  /  1 )  =  1
9795, 96syl6breq 4479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  <  1 )
984, 85, 2, 86, 97lttrd 9731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  E  <  1 )
997nnge1d 10567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
1004, 2, 80, 98, 99ltletrd 9730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E  <  M )
1014, 80, 100ltled 9721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E  <_  M )
1023rpregt0d 11251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )
1037nngt0d 10568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  M )
104 lediv2 10424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E  e.  RR  /\  0  <  E )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  < 
M )  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  -> 
( E  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  /  E ) ) )
105102, 80, 103, 102, 104syl121anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  /  E ) ) )
106101, 105mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  ( E  /  E ) )
1073rpcnne0d 11254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )
108 divid 10223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 )  -> 
( E  /  E
)  =  1 )
109107, 108syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  /  E
)  =  1 )
110106, 109breqtrd 4464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  1 )
1118, 2lenegd 10120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( E  /  M )  <_  1  <->  -u 1  <_  -u ( E  /  M ) ) )
112110, 111mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u 1  <_  -u ( E  /  M ) )
113 bernneq 12247 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( E  /  M )  e.  RR  /\  M  e.  NN0  /\  -u 1  <_  -u ( E  /  M ) )  ->  ( 1  +  ( -u ( E  /  M )  x.  M ) )  <_ 
( ( 1  + 
-u ( E  /  M ) ) ^ M ) )
11479, 11, 112, 113syl3anc 1223 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  +  (
-u ( E  /  M )  x.  M
) )  <_  (
( 1  +  -u ( E  /  M
) ) ^ M
) )
11571, 72negsubd 9925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  +  -u ( E  /  M
) )  =  ( 1  -  ( E  /  M ) ) )
116115oveq1d 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  + 
-u ( E  /  M ) ) ^ M )  =  ( ( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M ) )
117114, 116breqtrd 4464 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  +  (
-u ( E  /  M )  x.  M
) )  <_  (
( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M ) )
11878, 117eqbrtrd 4460 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <_  ( (
1  -  ( E  /  M ) ) ^ M ) )
119118adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <_  ( ( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M ) )
120 eqid 2460 . . . . . . 7  |-  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) )  =  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) )
1217adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  M  e.  NN )
122 eqid 2460 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) )
12319, 58, 122fmptdf 6037 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) : ( 1 ... M ) --> RR )
12444feq1d 5708 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
( F `  t
) : ( 1 ... M ) --> RR  <->  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) : ( 1 ... M ) --> RR ) )
125123, 124mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( F `  t ) : ( 1 ... M ) --> RR )
126 stoweidlem42.10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  < 
( ( U `  i ) `  t
) )
127126r19.21bi 2826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( U `
 i ) `  t ) )
128127an32s 802 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( U `
 i ) `  t ) )
129128, 59breqtrrd 4466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( F `
 t ) `  i ) )
13072addid2d 9769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( E  /  M ) )  =  ( E  /  M ) )
131 lediv2 10424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  < 
M )  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  -> 
( 1  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  / 
1 ) ) )
1322, 90, 80, 103, 102, 131syl221anc 1234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  / 
1 ) ) )
13399, 132mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  ( E  /  1 ) )
13465div1d 10301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  /  1
)  =  E )
135133, 134breqtrd 4464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  E )
1368, 4, 2, 135, 98lelttrd 9728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <  1 )
137130, 136eqbrtrd 4460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( E  /  M ) )  <  1 )
138 0red 9586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
139138, 8, 2ltaddsubd 10141 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  ( E  /  M
) )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( E  /  M
) ) ) )
140137, 139mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  -  ( E  /  M ) ) )
1419, 140elrpd 11243 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( E  /  M ) )  e.  RR+ )
142141adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  ( E  /  M ) )  e.  RR+ )
14328, 19, 120, 121, 125, 129, 142stoweidlem3 31122 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M )  < 
(  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
1446, 13, 64, 119, 143lelttrd 9728 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
145 stoweidlem42.7 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
146145fvmpt2 5948 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  T  /\  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M )  e.  RR )  ->  ( Z `  t )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
14739, 64, 146syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( Z `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
148144, 147breqtrrd 4466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <  ( Z `  t ) )
149 simpl 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ph )
150 stoweidlem42.3 . . . . . 6  |-  F/_ t Y
151 stoweidlem42.4 . . . . . 6  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
152 stoweidlem42.5 . . . . . 6  |-  X  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 M )
153 stoweidlem42.15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
154 stoweidlem42.14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
15517, 150, 151, 152, 22, 145, 153, 7, 45, 53, 154fmuldfeq 30952 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  =  ( Z `  t ) )
156149, 39, 155syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( X `  t )  =  ( Z `  t ) )
157148, 156breqtrrd 4466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <  ( X `  t ) )
158157ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  B  ->  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) )
1591, 158ralrimi 2857 1  |-  ( ph  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374   F/wnf 1594    e. wcel 1762   F/_wnfc 2608    =/= wne 2655   A.wral 2807   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    |-> cmpt2 6277   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9794   -ucneg 9795    / cdiv 10195   NNcn 10525   3c3 10575   NN0cn0 10784   ZZ>=cuz 11071   RR+crp 11209   ...cfz 11661    seqcseq 12063   ^cexp 12122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-exp 12123
This theorem is referenced by:  stoweidlem51  31170
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