Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem42 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stoweidlem42 38015
 Description: This lemma is used to prove that built as in Lemma 2 of [BrosowskiDeutsh] p. 91, is such that x > 1 - ε on B. Here is used to represent in the paper, and E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem42.1
stoweidlem42.2
stoweidlem42.3
stoweidlem42.4
stoweidlem42.5
stoweidlem42.6
stoweidlem42.7
stoweidlem42.8
stoweidlem42.9
stoweidlem42.10
stoweidlem42.11
stoweidlem42.12
stoweidlem42.13
stoweidlem42.14
stoweidlem42.15
stoweidlem42.16
Assertion
Ref Expression
stoweidlem42
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,,,)   (,,)   (,)   ()   (,,,)   (,)   (,,,)

Proof of Theorem stoweidlem42
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem42.2 . 2
2 1red 9676 . . . . . . . 8
3 stoweidlem42.11 . . . . . . . . 9
43rpred 11364 . . . . . . . 8
52, 4resubcld 10068 . . . . . . 7
65adantr 472 . . . . . 6
7 stoweidlem42.8 . . . . . . . . . 10
84, 7nndivred 10680 . . . . . . . . 9
92, 8resubcld 10068 . . . . . . . 8
109adantr 472 . . . . . . 7
117nnnn0d 10949 . . . . . . . 8
1211adantr 472 . . . . . . 7
1310, 12reexpcld 12471 . . . . . 6
14 elnnuz 11219 . . . . . . . . 9
157, 14sylib 201 . . . . . . . 8
1615adantr 472 . . . . . . 7
17 stoweidlem42.1 . . . . . . . . . . 11
18 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11
1917, 18nfan 2031 . . . . . . . . . 10
20 nfv 1769 . . . . . . . . . 10
2119, 20nfan 2031 . . . . . . . . 9
22 stoweidlem42.6 . . . . . . . . . . . . 13
23 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
24 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . 14
2523, 24nfmpt 4484 . . . . . . . . . . . . 13
2622, 25nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . 12
27 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12
2826, 27nffv 5886 . . . . . . . . . . 11
29 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11
3028, 29nffv 5886 . . . . . . . . . 10
3130nfel1 2626 . . . . . . . . 9
3221, 31nfim 2023 . . . . . . . 8
33 eleq1 2537 . . . . . . . . . 10
3433anbi2d 718 . . . . . . . . 9
35 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10
3635eleq1d 2533 . . . . . . . . 9
3734, 36imbi12d 327 . . . . . . . 8
38 stoweidlem42.16 . . . . . . . . . . . 12
3938sselda 3418 . . . . . . . . . . 11
40 ovex 6336 . . . . . . . . . . . 12
41 mptexg 6151 . . . . . . . . . . . 12
4240, 41mp1i 13 . . . . . . . . . . 11
4322fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . 11
4439, 42, 43syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
45 stoweidlem42.9 . . . . . . . . . . . . . 14
4645fnvinran 37398 . . . . . . . . . . . . 13
47 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . 14
4847, 46jca 541 . . . . . . . . . . . . 13
49 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5049anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . 15
51 feq1 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15
5250, 51imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . 14
53 stoweidlem42.13 . . . . . . . . . . . . . 14
5452, 53vtoclg 3093 . . . . . . . . . . . . 13
5546, 48, 54sylc 61 . . . . . . . . . . . 12
5655adantlr 729 . . . . . . . . . . 11
5739adantr 472 . . . . . . . . . . 11
5856, 57ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10
5944, 58fvmpt2d 5974 . . . . . . . . 9
6059, 58eqeltrd 2549 . . . . . . . 8
6132, 37, 60chvar 2119 . . . . . . 7
62 remulcl 9642 . . . . . . . 8
6362adantl 473 . . . . . . 7
6416, 61, 63seqcl 12271 . . . . . 6
653rpcnd 11366 . . . . . . . . . . . 12
667nncnd 10647 . . . . . . . . . . . 12
677nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . 12
6865, 66, 67divcan1d 10406 . . . . . . . . . . 11
6968eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10
7069oveq2d 6324 . . . . . . . . 9
71 1cnd 9677 . . . . . . . . . 10
7265, 66, 67divcld 10405 . . . . . . . . . . 11
7372, 66mulcld 9681 . . . . . . . . . 10
7471, 73negsubd 10011 . . . . . . . . 9
7572, 66mulneg1d 10092 . . . . . . . . . . 11
7675eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10
7776oveq2d 6324 . . . . . . . . 9
7870, 74, 773eqtr2d 2511 . . . . . . . 8
798renegcld 10067 . . . . . . . . . 10
807nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . 14
81 3re 10705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
83 3ne0 10726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8582, 84rereccld 10456 . . . . . . . . . . . . . . . 16
86 stoweidlem42.12 . . . . . . . . . . . . . . . 16
87 1lt3 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
89 0lt1 10157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
91 3pos 10725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93 ltdiv2 10514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
942, 90, 82, 92, 2, 90, 93syl222anc 1308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9588, 94mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
96 1div1e1 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9795, 96syl6breq 4435 . . . . . . . . . . . . . . . 16
984, 85, 2, 86, 97lttrd 9813 . . . . . . . . . . . . . . 15
997nnge1d 10674 . . . . . . . . . . . . . . 15
1004, 2, 80, 98, 99ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . . . 14
1014, 80, 100ltled 9800 . . . . . . . . . . . . 13
1023rpregt0d 11370 . . . . . . . . . . . . . 14
1037nngt0d 10675 . . . . . . . . . . . . . 14
104 lediv2 10518 . . . . . . . . . . . . . 14
105102, 80, 103, 102, 104syl121anc 1297 . . . . . . . . . . . . 13
106101, 105mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12
1073rpcnne0d 11373 . . . . . . . . . . . . 13
108 divid 10319 . . . . . . . . . . . . 13
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . 12
110106, 109breqtrd 4420 . . . . . . . . . . 11
1118, 2lenegd 10213 . . . . . . . . . . 11
112110, 111mpbid 215 . . . . . . . . . 10
113 bernneq 12436 . . . . . . . . . 10
11479, 11, 112, 113syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
11571, 72negsubd 10011 . . . . . . . . . 10
116115oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
117114, 116breqtrd 4420 . . . . . . . 8
11878, 117eqbrtrd 4416 . . . . . . 7
119118adantr 472 . . . . . 6
120 eqid 2471 . . . . . . 7
1217adantr 472 . . . . . . 7
122 eqid 2471 . . . . . . . . 9
12319, 58, 122fmptdf 6063 . . . . . . . 8
12444feq1d 5724 . . . . . . . 8
125123, 124mpbird 240 . . . . . . 7
126 stoweidlem42.10 . . . . . . . . . 10
127126r19.21bi 2776 . . . . . . . . 9
128127an32s 821 . . . . . . . 8
129128, 59breqtrrd 4422 . . . . . . 7
13072addid2d 9852 . . . . . . . . . . 11
131 lediv2 10518 . . . . . . . . . . . . . . 15
1322, 90, 80, 103, 102, 131syl221anc 1303 . . . . . . . . . . . . . 14
13399, 132mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13
13465div1d 10397 . . . . . . . . . . . . 13
135133, 134breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . 12
1368, 4, 2, 135, 98lelttrd 9810 . . . . . . . . . . 11
137130, 136eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . 10
138 0red 9662 . . . . . . . . . . 11
139138, 8, 2ltaddsubd 10234 . . . . . . . . . 10
140137, 139mpbid 215 . . . . . . . . 9
1419, 140elrpd 11361 . . . . . . . 8
142141adantr 472 . . . . . . 7
14328, 19, 120, 121, 125, 129, 142stoweidlem3 37975 . . . . . 6
1446, 13, 64, 119, 143lelttrd 9810 . . . . 5
145 stoweidlem42.7 . . . . . . 7
146145fvmpt2 5972 . . . . . 6
14739, 64, 146syl2anc 673 . . . . 5
148144, 147breqtrrd 4422 . . . 4
149 simpl 464 . . . . 5
150 stoweidlem42.3 . . . . . 6
151 stoweidlem42.4 . . . . . 6
152 stoweidlem42.5 . . . . . 6
153 stoweidlem42.15 . . . . . 6
154 stoweidlem42.14 . . . . . 6
15517, 150, 151, 152, 22, 145, 153, 7, 45, 53, 154fmuldfeq 37758 . . . . 5
156149, 39, 155syl2anc 673 . . . 4
157148, 156breqtrrd 4422 . . 3
158157ex 441 . 2
1591, 158ralrimi 2800 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wnf 1675   wcel 1904  wnfc 2599   wne 2641  wral 2756  cvv 3031   wss 3390   class class class wbr 4395   cmpt 4454  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cneg 9881   cdiv 10291  cn 10631  c3 10682  cn0 10893  cuz 11182  crp 11325  cfz 11810   cseq 12251  cexp 12310 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311 This theorem is referenced by:  stoweidlem51  38024
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