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Theorem stoweidlem41 27458
Description: This lemma is used to prove that there exists x as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 <= x(t) <= 1 for all t in T, x(t) < epsilon for all t in V, x(t) > 1 - epsilon for all t in T \ U. Here we prove the very last step of the proof of Lemma 1: "The result follows from taking x = 1 - qn";. Here  E is used to represent ε in the paper, and  y to represent qn in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem41.1  |-  F/ t
ph
stoweidlem41.2  |-  X  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  (
y `  t )
) )
stoweidlem41.3  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  1 )
stoweidlem41.4  |-  V  C_  T
stoweidlem41.5  |-  ( ph  ->  y  e.  A )
stoweidlem41.6  |-  ( ph  ->  y : T --> RR )
stoweidlem41.7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem41.8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem41.9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem41.10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  w )  e.  A )
stoweidlem41.11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem41.12  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 ) )
stoweidlem41.13  |-  ( ph  ->  A. t  e.  V  ( 1  -  E
)  <  ( y `  t ) )
stoweidlem41.14  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  E )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem41  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
t, y    A, f,
g, t    f, F, g    T, f, g, t    ph, f, g    w, t, A    x, t, A   
w, T    ph, w    x, E    x, T    x, U    x, V    x, X
Allowed substitution hints:    ph( x, y, t)    A( y)    T( y)    U( y, w, t, f, g)    E( y, w, t, f, g)    F( x, y, w, t)    V( y, w, t, f, g)    X( y, w, t, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem41
StepHypRef Expression
1 stoweidlem41.1 . . . . 5  |-  F/ t
ph
2 1re 9023 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
3 stoweidlem41.3 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  1 )
43fvmpt2 5751 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  T  /\  1  e.  RR )  ->  ( F `  t
)  =  1 )
52, 4mpan2 653 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  T  ->  ( F `  t )  =  1 )
65adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  =  1 )
76oveq1d 6035 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  -  ( y `
 t ) )  =  ( 1  -  ( y `  t
) ) )
81, 7mpteq2da 4235 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  (
y `  t )
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  ( y `
 t ) ) ) )
9 stoweidlem41.2 . . . 4  |-  X  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  (
y `  t )
) )
108, 9syl6eqr 2437 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  (
y `  t )
) )  =  X )
11 stoweidlem41.10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  w )  e.  A )
1211stoweidlem4 27421 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  1  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A )
132, 12mpan2 653 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A
)
143, 13syl5eqel 2471 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
15 stoweidlem41.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  y  e.  A )
16 nfmpt1 4239 . . . . . 6  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  1 )
173, 16nfcxfr 2520 . . . . 5  |-  F/_ t F
18 nfcv 2523 . . . . 5  |-  F/_ t
y
19 stoweidlem41.7 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
20 stoweidlem41.8 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
21 stoweidlem41.9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
2217, 18, 1, 19, 20, 21, 11stoweidlem33 27450 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  ( y `  t ) ) )  e.  A )
2314, 15, 22mpd3an23 1281 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  (
y `  t )
) )  e.  A
)
2410, 23eqeltrrd 2462 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  A )
25 stoweidlem41.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  y : T --> RR )
2625fnvinran 27353 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
y `  t )  e.  RR )
272a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  RR )
28 0re 9024 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2928a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  e.  RR )
30 stoweidlem41.12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 ) )
3130r19.21bi 2747 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 ) )
3231simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
y `  t )  <_  1 )
33 ax-1cn 8981 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
3433subid1i 9304 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  0 )  =  1
3532, 34syl6breqr 4193 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
y `  t )  <_  ( 1  -  0 ) )
3626, 27, 29, 35lesubd 9562 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( 1  -  (
y `  t )
) )
37 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
3827, 26resubcld 9397 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  ( y `
 t ) )  e.  RR )
399fvmpt2 5751 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( 1  -  (
y `  t )
)  e.  RR )  ->  ( X `  t )  =  ( 1  -  ( y `
 t ) ) )
4037, 38, 39syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  =  ( 1  -  ( y `  t
) ) )
4136, 40breqtrrd 4179 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( X `  t
) )
4231simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( y `  t
) )
4329, 26, 27, 42lesub2dd 9575 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  ( y `
 t ) )  <_  ( 1  -  0 ) )
4443, 34syl6breq 4192 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  ( y `
 t ) )  <_  1 )
4540, 44eqbrtrd 4173 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  <_  1 )
4641, 45jca 519 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t )  <_  1 ) )
4746ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
481, 47ralrimi 2730 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) )
49 stoweidlem41.4 . . . . . . 7  |-  V  C_  T
5049sseli 3287 . . . . . 6  |-  ( t  e.  V  ->  t  e.  T )
5150, 40sylan2 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( X `  t )  =  ( 1  -  ( y `  t
) ) )
522a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  1  e.  RR )
53 stoweidlem41.11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
5453rpred 10580 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
5554adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  E  e.  RR )
5650, 26sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
y `  t )  e.  RR )
57 stoweidlem41.13 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  V  ( 1  -  E
)  <  ( y `  t ) )
5857r19.21bi 2747 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( y `  t ) )
5952, 55, 56, 58ltsub23d 9563 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( y `
 t ) )  <  E )
6051, 59eqbrtrd 4173 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( X `  t )  <  E )
6160ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  V  ->  ( X `  t
)  <  E )
)
621, 61ralrimi 2730 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  V  ( X `  t )  <  E )
63 eldifi 3412 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  t  e.  T )
6463, 26sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( y `  t )  e.  RR )
6554adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  E  e.  RR )
662a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  1  e.  RR )
67 stoweidlem41.14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  E )
6867r19.21bi 2747 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( y `  t )  <  E
)
6964, 65, 66, 68ltsub2dd 9571 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( 1  -  E )  < 
( 1  -  (
y `  t )
) )
7063, 40sylan2 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( X `  t )  =  ( 1  -  ( y `
 t ) ) )
7169, 70breqtrrd 4179 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( 1  -  E )  < 
( X `  t
) )
7271ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  ( 1  -  E )  <  ( X `  t )
) )
731, 72ralrimi 2730 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) )
74 nfmpt1 4239 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( 1  -  (
y `  t )
) )
759, 74nfcxfr 2520 . . . . . 6  |-  F/_ t X
7675nfeq2 2534 . . . . 5  |-  F/ t  x  =  X
77 fveq1 5667 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
x `  t )  =  ( X `  t ) )
7877breq2d 4165 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  ( x `  t )  <->  0  <_  ( X `  t ) ) )
7977breq1d 4163 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( x `  t
)  <_  1  <->  ( X `  t )  <_  1
) )
8078, 79anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
8176, 80ralbid 2667 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
8277breq1d 4163 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( x `  t
)  <  E  <->  ( X `  t )  <  E
) )
8376, 82ralbid 2667 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  V  ( x `  t
)  <  E  <->  A. t  e.  V  ( X `  t )  <  E
) )
8477breq2d 4165 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( 1  -  E
)  <  ( x `  t )  <->  ( 1  -  E )  < 
( X `  t
) ) )
8576, 84ralbid 2667 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E )  <  ( x `  t )  <->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  E )  <  ( X `  t )
) )
8681, 83, 853anbi123d 1254 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  (
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) )  <->  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  E )  <  ( X `  t )
) ) )
8786rspcev 2995 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
8824, 48, 62, 73, 87syl13anc 1186 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   F/wnf 1550    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   E.wrex 2650    \ cdif 3260    C_ wss 3263   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223   RR+crp 10544
This theorem is referenced by:  stoweidlem52  27469
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-rp 10545
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