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Theorem stoweidlem41 31664
Description: This lemma is used to prove that there exists x as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 <= x(t) <= 1 for all t in T, x(t) < epsilon for all t in V, x(t) > 1 - epsilon for all t in T \ U. Here we prove the very last step of the proof of Lemma 1: "The result follows from taking x = 1 - qn";. Here  E is used to represent ε in the paper, and  y to represent qn in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem41.1  |-  F/ t
ph
stoweidlem41.2  |-  X  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  (
y `  t )
) )
stoweidlem41.3  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  1 )
stoweidlem41.4  |-  V  C_  T
stoweidlem41.5  |-  ( ph  ->  y  e.  A )
stoweidlem41.6  |-  ( ph  ->  y : T --> RR )
stoweidlem41.7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem41.8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem41.9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem41.10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  w )  e.  A )
stoweidlem41.11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem41.12  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 ) )
stoweidlem41.13  |-  ( ph  ->  A. t  e.  V  ( 1  -  E
)  <  ( y `  t ) )
stoweidlem41.14  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  E )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem41  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
t, y    A, f,
g, t    f, F, g    T, f, g, t    ph, f, g    w, t, A    x, t, A   
w, T    ph, w    x, E    x, T    x, U    x, V    x, X
Allowed substitution hints:    ph( x, y, t)    A( y)    T( y)    U( y, w, t, f, g)    E( y, w, t, f, g)    F( x, y, w, t)    V( y, w, t, f, g)    X( y, w, t, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem41
StepHypRef Expression
1 stoweidlem41.1 . . . . 5  |-  F/ t
ph
2 1re 9607 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
3 stoweidlem41.3 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  1 )
43fvmpt2 5964 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  T  /\  1  e.  RR )  ->  ( F `  t
)  =  1 )
52, 4mpan2 671 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  T  ->  ( F `  t )  =  1 )
65adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  =  1 )
76oveq1d 6310 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  -  ( y `
 t ) )  =  ( 1  -  ( y `  t
) ) )
81, 7mpteq2da 4538 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  (
y `  t )
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  ( y `
 t ) ) ) )
9 stoweidlem41.2 . . . 4  |-  X  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  (
y `  t )
) )
108, 9syl6eqr 2526 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  (
y `  t )
) )  =  X )
11 stoweidlem41.10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  w )  e.  A )
1211stoweidlem4 31627 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  1  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A )
132, 12mpan2 671 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A
)
143, 13syl5eqel 2559 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
15 stoweidlem41.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  y  e.  A )
16 nfmpt1 4542 . . . . . 6  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  1 )
173, 16nfcxfr 2627 . . . . 5  |-  F/_ t F
18 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ t
y
19 stoweidlem41.7 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
20 stoweidlem41.8 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
21 stoweidlem41.9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
2217, 18, 1, 19, 20, 21, 11stoweidlem33 31656 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  ( y `  t ) ) )  e.  A )
2314, 15, 22mpd3an23 1326 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  (
y `  t )
) )  e.  A
)
2410, 23eqeltrrd 2556 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  A )
25 stoweidlem41.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  y : T --> RR )
2625fnvinran 31291 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
y `  t )  e.  RR )
27 1red 9623 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  RR )
28 0red 9609 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  e.  RR )
29 stoweidlem41.12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 ) )
3029r19.21bi 2836 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 ) )
3130simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
y `  t )  <_  1 )
32 1m0e1 10658 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  0 )  =  1
3331, 32syl6breqr 4493 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
y `  t )  <_  ( 1  -  0 ) )
3426, 27, 28, 33lesubd 10168 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( 1  -  (
y `  t )
) )
35 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
3627, 26resubcld 9999 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  ( y `
 t ) )  e.  RR )
379fvmpt2 5964 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( 1  -  (
y `  t )
)  e.  RR )  ->  ( X `  t )  =  ( 1  -  ( y `
 t ) ) )
3835, 36, 37syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  =  ( 1  -  ( y `  t
) ) )
3934, 38breqtrrd 4479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( X `  t
) )
4030simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( y `  t
) )
4128, 26, 27, 40lesub2dd 10181 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  ( y `
 t ) )  <_  ( 1  -  0 ) )
4241, 32syl6breq 4492 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  ( y `
 t ) )  <_  1 )
4338, 42eqbrtrd 4473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  <_  1 )
4439, 43jca 532 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t )  <_  1 ) )
4544ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
461, 45ralrimi 2867 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) )
47 stoweidlem41.4 . . . . . . 7  |-  V  C_  T
4847sseli 3505 . . . . . 6  |-  ( t  e.  V  ->  t  e.  T )
4948, 38sylan2 474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( X `  t )  =  ( 1  -  ( y `  t
) ) )
50 1red 9623 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  1  e.  RR )
51 stoweidlem41.11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
5251rpred 11268 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
5352adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  E  e.  RR )
5448, 26sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
y `  t )  e.  RR )
55 stoweidlem41.13 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  V  ( 1  -  E
)  <  ( y `  t ) )
5655r19.21bi 2836 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( y `  t ) )
5750, 53, 54, 56ltsub23d 10169 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( y `
 t ) )  <  E )
5849, 57eqbrtrd 4473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( X `  t )  <  E )
5958ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  V  ->  ( X `  t
)  <  E )
)
601, 59ralrimi 2867 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  V  ( X `  t )  <  E )
61 eldifi 3631 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  t  e.  T )
6261, 26sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( y `  t )  e.  RR )
6352adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  E  e.  RR )
64 1red 9623 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  1  e.  RR )
65 stoweidlem41.14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  E )
6665r19.21bi 2836 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( y `  t )  <  E
)
6762, 63, 64, 66ltsub2dd 10177 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( 1  -  E )  < 
( 1  -  (
y `  t )
) )
6861, 38sylan2 474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( X `  t )  =  ( 1  -  ( y `
 t ) ) )
6967, 68breqtrrd 4479 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( 1  -  E )  < 
( X `  t
) )
7069ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  ( 1  -  E )  <  ( X `  t )
) )
711, 70ralrimi 2867 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) )
72 nfmpt1 4542 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( 1  -  (
y `  t )
) )
739, 72nfcxfr 2627 . . . . . 6  |-  F/_ t X
7473nfeq2 2646 . . . . 5  |-  F/ t  x  =  X
75 fveq1 5871 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
x `  t )  =  ( X `  t ) )
7675breq2d 4465 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  ( x `  t )  <->  0  <_  ( X `  t ) ) )
7775breq1d 4463 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( x `  t
)  <_  1  <->  ( X `  t )  <_  1
) )
7876, 77anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
7974, 78ralbid 2901 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
8075breq1d 4463 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( x `  t
)  <  E  <->  ( X `  t )  <  E
) )
8174, 80ralbid 2901 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  V  ( x `  t
)  <  E  <->  A. t  e.  V  ( X `  t )  <  E
) )
8275breq2d 4465 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( 1  -  E
)  <  ( x `  t )  <->  ( 1  -  E )  < 
( X `  t
) ) )
8374, 82ralbid 2901 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E )  <  ( x `  t )  <->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  E )  <  ( X `  t )
) )
8479, 81, 833anbi123d 1299 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  (
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) )  <->  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  E )  <  ( X `  t )
) ) )
8584rspcev 3219 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
8624, 46, 60, 71, 85syl13anc 1230 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   F/wnf 1599    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818    \ cdif 3478    C_ wss 3481   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817   RR+crp 11232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-rp 11233
This theorem is referenced by:  stoweidlem52  31675
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