Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem41 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stoweidlem41 37902
 Description: This lemma is used to prove that there exists x as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 <= x(t) <= 1 for all t in T, x(t) < epsilon for all t in V, x(t) > 1 - epsilon for all t in T \ U. Here we prove the very last step of the proof of Lemma 1: "The result follows from taking x = 1 - qn";. Here is used to represent ε in the paper, and to represent qn in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem41.1
stoweidlem41.2
stoweidlem41.3
stoweidlem41.4
stoweidlem41.5
stoweidlem41.6
stoweidlem41.7
stoweidlem41.8
stoweidlem41.9
stoweidlem41.10
stoweidlem41.11
stoweidlem41.12
stoweidlem41.13
stoweidlem41.14
Assertion
Ref Expression
stoweidlem41
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   ()   (,,,,)   (,,,,)   (,,,)   (,,,,)   (,,,,)

Proof of Theorem stoweidlem41
StepHypRef Expression
1 stoweidlem41.1 . . . . 5
2 1re 9642 . . . . . . . 8
3 stoweidlem41.3 . . . . . . . . 9
43fvmpt2 5957 . . . . . . . 8
52, 4mpan2 677 . . . . . . 7
65adantl 468 . . . . . 6
76oveq1d 6305 . . . . 5
81, 7mpteq2da 4488 . . . 4
9 stoweidlem41.2 . . . 4
108, 9syl6eqr 2503 . . 3
11 stoweidlem41.10 . . . . . . 7
1211stoweidlem4 37864 . . . . . 6
132, 12mpan2 677 . . . . 5
143, 13syl5eqel 2533 . . . 4
15 stoweidlem41.5 . . . 4
16 nfmpt1 4492 . . . . . 6
173, 16nfcxfr 2590 . . . . 5
18 nfcv 2592 . . . . 5
19 stoweidlem41.7 . . . . 5
20 stoweidlem41.8 . . . . 5
21 stoweidlem41.9 . . . . 5
2217, 18, 1, 19, 20, 21, 11stoweidlem33 37894 . . . 4
2314, 15, 22mpd3an23 1366 . . 3
2410, 23eqeltrrd 2530 . 2
25 stoweidlem41.6 . . . . . . . 8
2625fnvinran 37335 . . . . . . 7
27 1red 9658 . . . . . . 7
28 0red 9644 . . . . . . 7
29 stoweidlem41.12 . . . . . . . . . 10
3029r19.21bi 2757 . . . . . . . . 9
3130simprd 465 . . . . . . . 8
32 1m0e1 10720 . . . . . . . 8
3331, 32syl6breqr 4443 . . . . . . 7
3426, 27, 28, 33lesubd 10217 . . . . . 6
35 simpr 463 . . . . . . 7
3627, 26resubcld 10047 . . . . . . 7
379fvmpt2 5957 . . . . . . 7
3835, 36, 37syl2anc 667 . . . . . 6
3934, 38breqtrrd 4429 . . . . 5
4030simpld 461 . . . . . . . 8
4128, 26, 27, 40lesub2dd 10230 . . . . . . 7
4241, 32syl6breq 4442 . . . . . 6
4338, 42eqbrtrd 4423 . . . . 5
4439, 43jca 535 . . . 4
4544ex 436 . . 3
461, 45ralrimi 2788 . 2
47 stoweidlem41.4 . . . . . . 7
4847sseli 3428 . . . . . 6
4948, 38sylan2 477 . . . . 5
50 1red 9658 . . . . . 6
51 stoweidlem41.11 . . . . . . . 8
5251rpred 11341 . . . . . . 7
5352adantr 467 . . . . . 6
5448, 26sylan2 477 . . . . . 6
55 stoweidlem41.13 . . . . . . 7
5655r19.21bi 2757 . . . . . 6
5750, 53, 54, 56ltsub23d 10218 . . . . 5
5849, 57eqbrtrd 4423 . . . 4
5958ex 436 . . 3
601, 59ralrimi 2788 . 2
61 eldifi 3555 . . . . . . 7
6261, 26sylan2 477 . . . . . 6
6352adantr 467 . . . . . 6
64 1red 9658 . . . . . 6
65 stoweidlem41.14 . . . . . . 7
6665r19.21bi 2757 . . . . . 6
6762, 63, 64, 66ltsub2dd 10226 . . . . 5
6861, 38sylan2 477 . . . . 5
6967, 68breqtrrd 4429 . . . 4
7069ex 436 . . 3
711, 70ralrimi 2788 . 2
72 nfmpt1 4492 . . . . . . 7
739, 72nfcxfr 2590 . . . . . 6
7473nfeq2 2607 . . . . 5
75 fveq1 5864 . . . . . . 7
7675breq2d 4414 . . . . . 6
7775breq1d 4412 . . . . . 6
7876, 77anbi12d 717 . . . . 5
7974, 78ralbid 2822 . . . 4
8075breq1d 4412 . . . . 5
8174, 80ralbid 2822 . . . 4
8275breq2d 4414 . . . . 5
8374, 82ralbid 2822 . . . 4
8479, 81, 833anbi123d 1339 . . 3
8584rspcev 3150 . 2
8624, 46, 60, 71, 85syl13anc 1270 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   w3a 985   wceq 1444  wnf 1667   wcel 1887  wral 2737  wrex 2738   cdif 3401   wss 3404   class class class wbr 4402   cmpt 4461  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   cmul 9544   clt 9675   cle 9676   cmin 9860  crp 11302 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-rp 11303 This theorem is referenced by:  stoweidlem52  37913
 Copyright terms: Public domain W3C validator