Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem41 Unicode version

Theorem stoweidlem41 27892
 Description: This lemma is used to prove that there exists x as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 <= x(t) <= 1 for all t in T, x(t) < epsilon for all t in V, x(t) > 1 - epsilon for all t in T \ U. Here we prove the very last step of the proof of Lemma 1: "The result follows from taking x = 1 - qn";. Here is used to represent ε in the paper, and to represent qn in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem41.1
stoweidlem41.2
stoweidlem41.3
stoweidlem41.4
stoweidlem41.5
stoweidlem41.6
stoweidlem41.7
stoweidlem41.8
stoweidlem41.9
stoweidlem41.10
stoweidlem41.11
stoweidlem41.12
stoweidlem41.13
stoweidlem41.14
Assertion
Ref Expression
stoweidlem41
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   ()   (,,,,)   (,,,,)   (,,,)   (,,,,)   (,,,,)

Proof of Theorem stoweidlem41
StepHypRef Expression
1 stoweidlem41.1 . . . . . 6
2 1re 8853 . . . . . . . . 9
3 stoweidlem41.3 . . . . . . . . . 10
43fvmpt2 5624 . . . . . . . . 9
52, 4mpan2 652 . . . . . . . 8
65adantl 452 . . . . . . 7
76oveq1d 5889 . . . . . 6
81, 7mpteq2da 4121 . . . . 5
9 stoweidlem41.2 . . . . 5
108, 9syl6eqr 2346 . . . 4
11 id 19 . . . . . 6
12 stoweidlem41.10 . . . . . . . . 9
1312stoweidlem4 27855 . . . . . . . 8
142, 13mpan2 652 . . . . . . 7
153, 14syl5eqel 2380 . . . . . 6
16 stoweidlem41.5 . . . . . 6
1711, 15, 163jca 1132 . . . . 5
18 nfmpt1 4125 . . . . . . 7
193, 18nfcxfr 2429 . . . . . 6
20 nfcv 2432 . . . . . 6
21 stoweidlem41.7 . . . . . 6
22 stoweidlem41.8 . . . . . 6
23 stoweidlem41.9 . . . . . 6
2419, 20, 1, 21, 22, 23, 12stoweidlem33 27884 . . . . 5
2517, 24syl 15 . . . 4
2610, 25eqeltrrd 2371 . . 3
27 stoweidlem41.12 . . . . . . . . . . . 12
2827r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . 11
2928simprd 449 . . . . . . . . . 10
30 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . 11
31 subid1 9084 . . . . . . . . . . 11
3230, 31ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
3329, 32syl6breqr 4079 . . . . . . . . 9
34 0re 8854 . . . . . . . . . . . 12
3534a1i 10 . . . . . . . . . . 11
362a1i 10 . . . . . . . . . . 11
37 stoweidlem41.6 . . . . . . . . . . . . . 14
3837adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
39 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13
4038, 39jca 518 . . . . . . . . . . . 12
41 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12
4240, 41syl 15 . . . . . . . . . . 11
4335, 36, 423jca 1132 . . . . . . . . . 10
44 lesub 9269 . . . . . . . . . 10
4543, 44syl 15 . . . . . . . . 9
4633, 45mpbird 223 . . . . . . . 8
4736, 42jca 518 . . . . . . . . . . 11
48 resubcl 9127 . . . . . . . . . . 11
4947, 48syl 15 . . . . . . . . . 10
5039, 49jca 518 . . . . . . . . 9
519fvmpt2 5624 . . . . . . . . 9
5250, 51syl 15 . . . . . . . 8
5346, 52breqtrrd 4065 . . . . . . 7
5428simpld 445 . . . . . . . . . 10
5535, 42, 363jca 1132 . . . . . . . . . . 11
56 lesub2 9285 . . . . . . . . . . 11
5755, 56syl 15 . . . . . . . . . 10
5854, 57mpbid 201 . . . . . . . . 9
5958, 32syl6breq 4078 . . . . . . . 8
6052, 59eqbrtrd 4059 . . . . . . 7
6153, 60jca 518 . . . . . 6
6261ex 423 . . . . 5
631, 62ralrimi 2637 . . . 4
64 simpl 443 . . . . . . . . 9
65 stoweidlem41.4 . . . . . . . . . . 11
66 ssel 3187 . . . . . . . . . . 11
6765, 66ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
6867adantl 452 . . . . . . . . 9
6964, 68jca 518 . . . . . . . 8
7069, 52syl 15 . . . . . . 7
71 stoweidlem41.13 . . . . . . . . 9
7271r19.21bi 2654 . . . . . . . 8
732a1i 10 . . . . . . . . . 10
7469, 42syl 15 . . . . . . . . . 10
75 stoweidlem41.11 . . . . . . . . . . . 12
76 rpre 10376 . . . . . . . . . . . 12
7775, 76syl 15 . . . . . . . . . . 11
7877adantr 451 . . . . . . . . . 10
7973, 74, 783jca 1132 . . . . . . . . 9
80 ltsub23 9270 . . . . . . . . 9
8179, 80syl 15 . . . . . . . 8
8272, 81mpbird 223 . . . . . . 7
8370, 82eqbrtrd 4059 . . . . . 6
8483ex 423 . . . . 5
851, 84ralrimi 2637 . . . 4
86 stoweidlem41.14 . . . . . . . . 9
8786r19.21bi 2654 . . . . . . . 8
88 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12
89 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . 13
9089adantl 452 . . . . . . . . . . . 12
9188, 90jca 518 . . . . . . . . . . 11
9291, 42syl 15 . . . . . . . . . 10
9377adantr 451 . . . . . . . . . 10
942a1i 10 . . . . . . . . . 10
9592, 93, 943jca 1132 . . . . . . . . 9
96 ltsub2 9287 . . . . . . . . 9
9795, 96syl 15 . . . . . . . 8
9887, 97mpbid 201 . . . . . . 7
9991, 52syl 15 . . . . . . 7
10098, 99breqtrrd 4065 . . . . . 6
101100ex 423 . . . . 5
1021, 101ralrimi 2637 . . . 4
10363, 85, 1023jca 1132 . . 3
10426, 103jca 518 . 2
105 nfcv 2432 . . . . . 6
106 nfmpt1 4125 . . . . . . 7
1079, 106nfcxfr 2429 . . . . . 6
108105, 107nfeq 2439 . . . . 5
109 fveq1 5540 . . . . . . 7
110109breq2d 4051 . . . . . 6
111109breq1d 4049 . . . . . 6
112110, 111anbi12d 691 . . . . 5
113108, 112ralbid 2574 . . . 4
114109breq1d 4049 . . . . 5
115108, 114ralbid 2574 . . . 4
116109breq2d 4051 . . . . 5
117108, 116ralbid 2574 . . . 4
118113, 115, 1173anbi123d 1252 . . 3
119118rspcev 2897 . 2
120104, 119syl 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wnf 1534   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  wrex 2557   cdif 3162   wss 3165   class class class wbr 4039   cmpt 4093  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758   clt 8883   cle 8884   cmin 9053  crp 10370 This theorem is referenced by:  stoweidlem52  27903 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-rp 10371
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