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Theorem stoweidlem41 27657
Description: This lemma is used to prove that there exists x as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 <= x(t) <= 1 for all t in T, x(t) < epsilon for all t in V, x(t) > 1 - epsilon for all t in T \ U. Here we prove the very last step of the proof of Lemma 1: "The result follows from taking x = 1 - qn";. Here  E is used to represent ε in the paper, and  y to represent qn in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem41.1  |-  F/ t
ph
stoweidlem41.2  |-  X  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  (
y `  t )
) )
stoweidlem41.3  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  1 )
stoweidlem41.4  |-  V  C_  T
stoweidlem41.5  |-  ( ph  ->  y  e.  A )
stoweidlem41.6  |-  ( ph  ->  y : T --> RR )
stoweidlem41.7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem41.8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem41.9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem41.10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  w )  e.  A )
stoweidlem41.11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem41.12  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 ) )
stoweidlem41.13  |-  ( ph  ->  A. t  e.  V  ( 1  -  E
)  <  ( y `  t ) )
stoweidlem41.14  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  E )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem41  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
t, y    A, f,
g, t    f, F, g    T, f, g, t    ph, f, g    w, t, A    x, t, A   
w, T    ph, w    x, E    x, T    x, U    x, V    x, X
Allowed substitution hints:    ph( x, y, t)    A( y)    T( y)    U( y, w, t, f, g)    E( y, w, t, f, g)    F( x, y, w, t)    V( y, w, t, f, g)    X( y, w, t, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem41
StepHypRef Expression
1 stoweidlem41.1 . . . . 5  |-  F/ t
ph
2 1re 9046 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
3 stoweidlem41.3 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  1 )
43fvmpt2 5771 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  T  /\  1  e.  RR )  ->  ( F `  t
)  =  1 )
52, 4mpan2 653 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  T  ->  ( F `  t )  =  1 )
65adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  =  1 )
76oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  -  ( y `
 t ) )  =  ( 1  -  ( y `  t
) ) )
81, 7mpteq2da 4254 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  (
y `  t )
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  ( y `
 t ) ) ) )
9 stoweidlem41.2 . . . 4  |-  X  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  (
y `  t )
) )
108, 9syl6eqr 2454 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  (
y `  t )
) )  =  X )
11 stoweidlem41.10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  w )  e.  A )
1211stoweidlem4 27620 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  1  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A )
132, 12mpan2 653 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A
)
143, 13syl5eqel 2488 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
15 stoweidlem41.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  y  e.  A )
16 nfmpt1 4258 . . . . . 6  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  1 )
173, 16nfcxfr 2537 . . . . 5  |-  F/_ t F
18 nfcv 2540 . . . . 5  |-  F/_ t
y
19 stoweidlem41.7 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
20 stoweidlem41.8 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
21 stoweidlem41.9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
2217, 18, 1, 19, 20, 21, 11stoweidlem33 27649 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  ( y `  t ) ) )  e.  A )
2314, 15, 22mpd3an23 1281 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  (
y `  t )
) )  e.  A
)
2410, 23eqeltrrd 2479 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  A )
25 stoweidlem41.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  y : T --> RR )
2625fnvinran 27552 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
y `  t )  e.  RR )
272a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  RR )
28 0re 9047 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2928a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  e.  RR )
30 stoweidlem41.12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 ) )
3130r19.21bi 2764 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 ) )
3231simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
y `  t )  <_  1 )
33 ax-1cn 9004 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
3433subid1i 9328 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  0 )  =  1
3532, 34syl6breqr 4212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
y `  t )  <_  ( 1  -  0 ) )
3626, 27, 29, 35lesubd 9586 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( 1  -  (
y `  t )
) )
37 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
3827, 26resubcld 9421 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  ( y `
 t ) )  e.  RR )
399fvmpt2 5771 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( 1  -  (
y `  t )
)  e.  RR )  ->  ( X `  t )  =  ( 1  -  ( y `
 t ) ) )
4037, 38, 39syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  =  ( 1  -  ( y `  t
) ) )
4136, 40breqtrrd 4198 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( X `  t
) )
4231simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( y `  t
) )
4329, 26, 27, 42lesub2dd 9599 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  ( y `
 t ) )  <_  ( 1  -  0 ) )
4443, 34syl6breq 4211 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  ( y `
 t ) )  <_  1 )
4540, 44eqbrtrd 4192 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  <_  1 )
4641, 45jca 519 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t )  <_  1 ) )
4746ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
481, 47ralrimi 2747 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) )
49 stoweidlem41.4 . . . . . . 7  |-  V  C_  T
5049sseli 3304 . . . . . 6  |-  ( t  e.  V  ->  t  e.  T )
5150, 40sylan2 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( X `  t )  =  ( 1  -  ( y `  t
) ) )
522a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  1  e.  RR )
53 stoweidlem41.11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
5453rpred 10604 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
5554adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  E  e.  RR )
5650, 26sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
y `  t )  e.  RR )
57 stoweidlem41.13 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  V  ( 1  -  E
)  <  ( y `  t ) )
5857r19.21bi 2764 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( y `  t ) )
5952, 55, 56, 58ltsub23d 9587 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( y `
 t ) )  <  E )
6051, 59eqbrtrd 4192 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( X `  t )  <  E )
6160ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  V  ->  ( X `  t
)  <  E )
)
621, 61ralrimi 2747 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  V  ( X `  t )  <  E )
63 eldifi 3429 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  t  e.  T )
6463, 26sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( y `  t )  e.  RR )
6554adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  E  e.  RR )
662a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  1  e.  RR )
67 stoweidlem41.14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  E )
6867r19.21bi 2764 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( y `  t )  <  E
)
6964, 65, 66, 68ltsub2dd 9595 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( 1  -  E )  < 
( 1  -  (
y `  t )
) )
7063, 40sylan2 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( X `  t )  =  ( 1  -  ( y `
 t ) ) )
7169, 70breqtrrd 4198 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( 1  -  E )  < 
( X `  t
) )
7271ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  ( 1  -  E )  <  ( X `  t )
) )
731, 72ralrimi 2747 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) )
74 nfmpt1 4258 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( 1  -  (
y `  t )
) )
759, 74nfcxfr 2537 . . . . . 6  |-  F/_ t X
7675nfeq2 2551 . . . . 5  |-  F/ t  x  =  X
77 fveq1 5686 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
x `  t )  =  ( X `  t ) )
7877breq2d 4184 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  ( x `  t )  <->  0  <_  ( X `  t ) ) )
7977breq1d 4182 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( x `  t
)  <_  1  <->  ( X `  t )  <_  1
) )
8078, 79anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
8176, 80ralbid 2684 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
8277breq1d 4182 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( x `  t
)  <  E  <->  ( X `  t )  <  E
) )
8376, 82ralbid 2684 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  V  ( x `  t
)  <  E  <->  A. t  e.  V  ( X `  t )  <  E
) )
8477breq2d 4184 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( 1  -  E
)  <  ( x `  t )  <->  ( 1  -  E )  < 
( X `  t
) ) )
8576, 84ralbid 2684 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E )  <  ( x `  t )  <->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  E )  <  ( X `  t )
) )
8681, 83, 853anbi123d 1254 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  (
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) )  <->  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  E )  <  ( X `  t )
) ) )
8786rspcev 3012 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
8824, 48, 62, 73, 87syl13anc 1186 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   F/wnf 1550    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    \ cdif 3277    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   RR+crp 10568
This theorem is referenced by:  stoweidlem52  27668
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-rp 10569
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