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Theorem stoweidlem39 32060
Description: This lemma is used to prove that there exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91: assuming that  r is a finite subset of  W,  x indexes a finite set of functions in the subalgebra (of the Stone Weierstrass theorem), such that for all i ranging in the finite indexing set, 0 ≤ xi ≤ 1, xi < ε / m on V(ti), and xi > 1 - ε / m on  B. Here  D is used to represent A in the paper's Lemma 2 (because  A is used for the subalgebra),  M is used to represent m in the paper,  E is used to represent ε, and vi is used to represent V(ti).  W is just a local definition, used to shorten statements. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem39.1  |-  F/ h ph
stoweidlem39.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem39.3  |-  F/ w ph
stoweidlem39.4  |-  U  =  ( T  \  B
)
stoweidlem39.5  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
stoweidlem39.6  |-  W  =  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
stoweidlem39.7  |-  ( ph  ->  r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
)
stoweidlem39.8  |-  ( ph  ->  D  C_  U. r
)
stoweidlem39.9  |-  ( ph  ->  D  =/=  (/) )
stoweidlem39.10  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem39.11  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
stoweidlem39.12  |-  ( ph  ->  W  e.  _V )
stoweidlem39.13  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem39  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  E. v ( v : ( 1 ... m
) --> W  /\  D  C_ 
U. ran  v  /\  E. x ( x : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( x `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    e, h, m, t, w    A, e, h, t, w    e, E, h, t, w    T, e, h, w    U, e, h, w    h, i, r, v, x, m, t, w    A, i, x    i, E, x    T, i, x    U, i, x    ph, i, m, v   
w, Y, x    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x, w, t, e, h, r)    A( v, m, r)    B( w, v, t, e, h, i, m, r)    D( x, w, v, t, e, h, i, m, r)    T( v, t, m, r)    U( v, t, m, r)    E( v, m, r)    J( x, w, v, t, e, h, i, m, r)    W( x, w, v, t, e, h, i, m, r)    Y( v, t, e, h, i, m, r)

Proof of Theorem stoweidlem39
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem39.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  C_  U. r
)
2 stoweidlem39.9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  =/=  (/) )
31, 2jca 530 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D  C_  U. r  /\  D  =/=  (/) ) )
4 ssn0 3817 . . . . . 6  |-  ( ( D  C_  U. r  /\  D  =/=  (/) )  ->  U. r  =/=  (/) )
5 unieq 4243 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  (/)  ->  U. r  =  U. (/) )
6 uni0 4262 . . . . . . . 8  |-  U. (/)  =  (/)
75, 6syl6eq 2511 . . . . . . 7  |-  ( r  =  (/)  ->  U. r  =  (/) )
87necon3i 2694 . . . . . 6  |-  ( U. r  =/=  (/)  ->  r  =/=  (/) )
93, 4, 83syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  r  =/=  (/) )
109neneqd 2656 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  r  =  (/) )
11 stoweidlem39.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
)
12 elinel2 31663 . . . . . 6  |-  ( r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  ->  r  e.  Fin )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  r  e.  Fin )
14 fz1f1o 13614 . . . . 5  |-  ( r  e.  Fin  ->  (
r  =  (/)  \/  (
( # `  r )  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
15 pm2.53 371 . . . . 5  |-  ( ( r  =  (/)  \/  (
( # `  r )  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) )  ->  ( -.  r  =  (/)  ->  (
( # `  r )  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
1613, 14, 153syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -.  r  =  (/)  ->  ( ( # `  r )  e.  NN  /\ 
E. v  v : ( 1 ... ( # `
 r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
1710, 16mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  r
)  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) )
18 oveq2 6278 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( # `  r
)  ->  ( 1 ... m )  =  ( 1 ... ( # `
 r ) ) )
19 f1oeq2 5790 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... m )  =  ( 1 ... ( # `  r
) )  ->  (
v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  <->  v :
( 1 ... ( # `
 r ) ) -1-1-onto-> r ) )
2018, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( m  =  ( # `  r
)  ->  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  <->  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) )
2120exbidv 1719 . . . 4  |-  ( m  =  ( # `  r
)  ->  ( E. v  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  <->  E. v  v :
( 1 ... ( # `
 r ) ) -1-1-onto-> r ) )
2221rspcev 3207 . . 3  |-  ( ( ( # `  r
)  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r )  ->  E. m  e.  NN  E. v  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
2317, 22syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  E. v  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
24 f1of 5798 . . . . . . . 8  |-  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  v : ( 1 ... m
) --> r )
2524adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  v : ( 1 ... m ) --> r )
26 simpll 751 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  ph )
27 elinel1 31664 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  ->  r  e.  ~P W )
2827elpwid 4009 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  ->  r  C_  W )
2926, 11, 283syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  r  C_  W )
3025, 29fssd 5722 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  v : ( 1 ... m ) --> W )
311ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  D  C_ 
U. r )
32 dff1o2 5803 . . . . . . . . . 10  |-  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  <->  ( v  Fn  ( 1 ... m
)  /\  Fun  `' v  /\  ran  v  =  r ) )
3332simp3bi 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  ran  v  =  r )
3433unieqd 4245 . . . . . . . 8  |-  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  U. ran  v  =  U. r
)
3534adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  U. ran  v  =  U. r
)
3631, 35sseqtr4d 3526 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  D  C_ 
U. ran  v )
37 stoweidlem39.1 . . . . . . . . 9  |-  F/ h ph
38 nfv 1712 . . . . . . . . 9  |-  F/ h  m  e.  NN
3937, 38nfan 1933 . . . . . . . 8  |-  F/ h
( ph  /\  m  e.  NN )
40 nfv 1712 . . . . . . . 8  |-  F/ h  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
4139, 40nfan 1933 . . . . . . 7  |-  F/ h
( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
42 stoweidlem39.2 . . . . . . . . 9  |-  F/ t
ph
43 nfv 1712 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  m  e.  NN
4442, 43nfan 1933 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( ph  /\  m  e.  NN )
45 nfv 1712 . . . . . . . 8  |-  F/ t  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
4644, 45nfan 1933 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
47 stoweidlem39.3 . . . . . . . . 9  |-  F/ w ph
48 nfv 1712 . . . . . . . . 9  |-  F/ w  m  e.  NN
4947, 48nfan 1933 . . . . . . . 8  |-  F/ w
( ph  /\  m  e.  NN )
50 nfv 1712 . . . . . . . 8  |-  F/ w  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
5149, 50nfan 1933 . . . . . . 7  |-  F/ w
( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
52 stoweidlem39.5 . . . . . . 7  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
53 stoweidlem39.6 . . . . . . 7  |-  W  =  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
54 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  r  |->  { h  e.  A  |  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( h `  t ) ) } )  =  ( w  e.  r  |->  { h  e.  A  |  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( h `  t ) ) } )
55 simplr 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  m  e.  NN )
56 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
57 stoweidlem39.10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
5857ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  E  e.  RR+ )
59 stoweidlem39.11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
6059sselda 3489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  T )
61 notnot1 122 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  B  ->  -.  -.  b  e.  B
)
6261intnand 914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  B  ->  -.  ( b  e.  T  /\  -.  b  e.  B
) )
6362adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  -.  ( b  e.  T  /\  -.  b  e.  B
) )
64 eldif 3471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  ( T  \  B )  <->  ( b  e.  T  /\  -.  b  e.  B ) )
6563, 64sylnibr 303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  -.  b  e.  ( T  \  B ) )
66 stoweidlem39.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U  =  ( T  \  B
)
6766eleq2i 2532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  U  <->  b  e.  ( T  \  B ) )
6865, 67sylnibr 303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  -.  b  e.  U )
6960, 68eldifd 3472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  ( T  \  U
) )
7069ralrimiva 2868 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. b  e.  B  b  e.  ( T  \  U ) )
71 dfss3 3479 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
C_  ( T  \  U )  <->  A. b  e.  B  b  e.  ( T  \  U ) )
7270, 71sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  ( T  \  U ) )
7372ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  B  C_  ( T  \  U
) )
74 stoweidlem39.12 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  _V )
7574ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  W  e.  _V )
76 stoweidlem39.13 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
7776ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  A  e.  _V )
7813ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  r  e.  Fin )
79 mptfi 7811 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  Fin  ->  (
w  e.  r  |->  { h  e.  A  | 
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( h `  t ) ) } )  e.  Fin )
80 rnfi 7797 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  r  |->  { h  e.  A  | 
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( h `  t ) ) } )  e.  Fin  ->  ran  ( w  e.  r 
|->  { h  e.  A  |  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  ( E  /  m
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  ( E  /  m
) )  <  (
h `  t )
) } )  e. 
Fin )
8178, 79, 803syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  ran  ( w  e.  r  |->  { h  e.  A  |  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  ( E  /  m
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  ( E  /  m
) )  <  (
h `  t )
) } )  e. 
Fin )
8241, 46, 51, 52, 53, 54, 29, 55, 56, 58, 73, 75, 77, 81stoweidlem31 32052 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  E. x
( x : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( x `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) )
8330, 36, 823jca 1174 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  (
v : ( 1 ... m ) --> W  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( x `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) ) )
8483ex 432 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  ( v : ( 1 ... m ) --> W  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( x `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) ) ) )
8584eximdv 1715 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. v  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( x `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) ) ) )
8685reximdva 2929 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  E. v  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  E. m  e.  NN  E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( x `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) ) ) )
8723, 86mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  E. v ( v : ( 1 ... m
) --> W  /\  D  C_ 
U. ran  v  /\  E. x ( x : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( x `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398   E.wex 1617   F/wnf 1621    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   U.cuni 4235   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   `'ccnv 4987   ran crn 4989   Fun wfun 5564    Fn wfn 5565   -->wf 5566   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   0cc0 9481   1c1 9482    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796    / cdiv 10202   NNcn 10531   RR+crp 11221   ...cfz 11675   #chash 12387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-hash 12388
This theorem is referenced by:  stoweidlem57  32078
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