Theorem stoweidlem39 29680

Description: This lemma is used to prove that there exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91: assuming that r is a finite subset of W, x indexes a finite set of functions in the subalgebra (of the Stone Weierstrass theorem), such that for all i ranging in the finite indexing set, 0 ≤ x_i ≤ 1, x_i < ε / m on V(t_i), and x_i > 1 - ε / m on B. Here D is used to represent A in the paper's Lemma 2 (because A is used for the subalgebra), M is used to represent m in the paper, E is used to represent ε, and v_i is used to represent V(t_i). W is just a local definition, used to shorten statements. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem39.1	|- F/ h ph
stoweidlem39.2	|- F/ t ph
stoweidlem39.3	|- F/ w ph
stoweidlem39.4	|- U = ( T \ B )
stoweidlem39.5	|- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
stoweidlem39.6	|- W = { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
stoweidlem39.7	|- ( ph -> r e. ( ~P W i^i Fin ) )
stoweidlem39.8	|- ( ph -> D C_ U. r )
stoweidlem39.9	|- ( ph -> D =/= (/) )
stoweidlem39.10	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem39.11	|- ( ph -> B C_ T )
stoweidlem39.12	|- ( ph -> W e. _V )
stoweidlem39.13	|- ( ph -> A e. _V )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem39	|- ( ph -> E. m e. NN E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   e, h, m, t, w   A, e, h, t, w   e, E, h, t, w   T, e, h, w   U, e, h, w   h, i, r, v, x, m, t, w   A, i, x   i, E, x   T, i, x   U, i, x   ph, i, m, v   w, Y, x   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, w, t, e, h, r)   A( v, m, r)   B( w, v, t, e, h, i, m, r)   D( x, w, v, t, e, h, i, m, r)   T( v, t, m, r)   U( v, t, m, r)   E( v, m, r)   J( x, w, v, t, e, h, i, m, r)   W( x, w, v, t, e, h, i, m, r)   Y( v, t, e, h, i, m, r)

Proof of Theorem stoweidlem39

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem39.8	. . . . . . 7 |- ( ph -> D C_ U. r )
2		stoweidlem39.9	. . . . . . 7 |- ( ph -> D =/= (/) )
3	1, 2	jca 529	. . . . . 6 |- ( ph -> ( D C_ U. r /\ D =/= (/) ) )
4		ssn0 3658	. . . . . 6 |- ( ( D C_ U. r /\ D =/= (/) ) -> U. r =/= (/) )
5		unieq 4087	. . . . . . . 8 |- ( r = (/) -> U. r = U. (/) )
6		uni0 4106	. . . . . . . 8 |- U. (/) = (/)
7	5, 6	syl6eq 2481	. . . . . . 7 |- ( r = (/) -> U. r = (/) )
8	7	necon3i 2640	. . . . . 6 |- ( U. r =/= (/) -> r =/= (/) )
9	3, 4, 8	3syl 20	. . . . 5 |- ( ph -> r =/= (/) )
10	9	neneqd 2614	. . . 4 |- ( ph -> -. r = (/) )
11		stoweidlem39.7	. . . . . 6 |- ( ph -> r e. ( ~P W i^i Fin ) )
12		elin 3527	. . . . . . 7 |- ( r e. ( ~P W i^i Fin ) <-> ( r e. ~P W /\ r e. Fin ) )
13	12	simprbi 461	. . . . . 6 |- ( r e. ( ~P W i^i Fin ) -> r e. Fin )
14	11, 13	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> r e. Fin )
15		fz1f1o 13171	. . . . 5 |- ( r e. Fin -> ( r = (/) \/ ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
16		pm2.53 373	. . . . 5 |- ( ( r = (/) \/ ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) ) -> ( -. r = (/) -> ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
17	14, 15, 16	3syl 20	. . . 4 |- ( ph -> ( -. r = (/) -> ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
18	10, 17	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) )
19		oveq2 6088	. . . . . 6 |- ( m = ( # ` r ) -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... ( # ` r ) ) )
20		f1oeq2 5621	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... m ) = ( 1 ... ( # ` r ) ) -> ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r <-> v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) )
21	19, 20	syl 16	. . . . 5 |- ( m = ( # ` r ) -> ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r <-> v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) )
22	21	exbidv 1679	. . . 4 |- ( m = ( # ` r ) -> ( E. v v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r <-> E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) )
23	22	rspcev 3062	. . 3 |- ( ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) -> E. m e. NN E. v v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
24	18, 23	syl 16	. 2 |- ( ph -> E. m e. NN E. v v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
25		f1of 5629	. . . . . . . 8 |- ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> v : ( 1 ... m ) --> r )
26	25	adantl 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> v : ( 1 ... m ) --> r )
27		simpll 746	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> ph )
28	12	simplbi 457	. . . . . . . . 9 |- ( r e. ( ~P W i^i Fin ) -> r e. ~P W )
29	28	elpwid 3858	. . . . . . . 8 |- ( r e. ( ~P W i^i Fin ) -> r C_ W )
30	27, 11, 29	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> r C_ W )
31		fss 5555	. . . . . . 7 |- ( ( v : ( 1 ... m ) --> r /\ r C_ W ) -> v : ( 1 ... m ) --> W )
32	26, 30, 31	syl2anc 654	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> v : ( 1 ... m ) --> W )
33	1	ad2antrr 718	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> D C_ U. r )
34		dff1o2 5634	. . . . . . . . . 10 |- ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r <-> ( v Fn ( 1 ... m ) /\ Fun `' v /\ ran v = r ) )
35	34	simp3bi 998	. . . . . . . . 9 |- ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> ran v = r )
36	35	unieqd 4089	. . . . . . . 8 |- ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> U. ran v = U. r )
37	36	adantl 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> U. ran v = U. r )
38	33, 37	sseqtr4d 3381	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> D C_ U. ran v )
39		stoweidlem39.1	. . . . . . . . 9 |- F/ h ph
40		nfv 1672	. . . . . . . . 9 |- F/ h m e. NN
41	39, 40	nfan 1859	. . . . . . . 8 |- F/ h ( ph /\ m e. NN )
42		nfv 1672	. . . . . . . 8 |- F/ h v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
43	41, 42	nfan 1859	. . . . . . 7 |- F/ h ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
44		stoweidlem39.2	. . . . . . . . 9 |- F/ t ph
45		nfv 1672	. . . . . . . . 9 |- F/ t m e. NN
46	44, 45	nfan 1859	. . . . . . . 8 |- F/ t ( ph /\ m e. NN )
47		nfv 1672	. . . . . . . 8 |- F/ t v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
48	46, 47	nfan 1859	. . . . . . 7 |- F/ t ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
49		stoweidlem39.3	. . . . . . . . 9 |- F/ w ph
50		nfv 1672	. . . . . . . . 9 |- F/ w m e. NN
51	49, 50	nfan 1859	. . . . . . . 8 |- F/ w ( ph /\ m e. NN )
52		nfv 1672	. . . . . . . 8 |- F/ w v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
53	51, 52	nfan 1859	. . . . . . 7 |- F/ w ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
54		stoweidlem39.5	. . . . . . 7 |- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
55		stoweidlem39.6	. . . . . . 7 |- W = { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
56		eqid 2433	. . . . . . 7 |- ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } ) = ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } )
57		simplr 747	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> m e. NN )
58		simpr 458	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
59		stoweidlem39.10	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. RR+ )
60	59	ad2antrr 718	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> E e. RR+ )
61		stoweidlem39.11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B C_ T )
62	61	sselda 3344	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b e. T )
63		notnot1 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. B -> -. -. b e. B )
64	63	intnand 900	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. B -> -. ( b e. T /\ -. b e. B ) )
65	64	adantl 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> -. ( b e. T /\ -. b e. B ) )
66		eldif 3326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ( T \ B ) <-> ( b e. T /\ -. b e. B ) )
67	65, 66	sylnibr 305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> -. b e. ( T \ B ) )
68		stoweidlem39.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- U = ( T \ B )
69	68	eleq2i 2497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. U <-> b e. ( T \ B ) )
70	67, 69	sylnibr 305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> -. b e. U )
71	62, 70	eldifd 3327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b e. ( T \ U ) )
72	71	ralrimiva 2789	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. b e. B b e. ( T \ U ) )
73		dfss3 3334	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ ( T \ U ) <-> A. b e. B b e. ( T \ U ) )
74	72, 73	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B C_ ( T \ U ) )
75	74	ad2antrr 718	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> B C_ ( T \ U ) )
76		stoweidlem39.12	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. _V )
77	76	ad2antrr 718	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> W e. _V )
78		stoweidlem39.13	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. _V )
79	78	ad2antrr 718	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> A e. _V )
80	14	ad2antrr 718	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> r e. Fin )
81		mptfi 7598	. . . . . . . 8 |- ( r e. Fin -> ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } ) e. Fin )
82		rnfi 7584	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } ) e. Fin -> ran ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } ) e. Fin )
83	80, 81, 82	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> ran ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } ) e. Fin )
84	43, 48, 53, 54, 55, 56, 30, 57, 58, 60, 75, 77, 79, 83	stoweidlem31 29672	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) )
85	32, 38, 84	3jca 1161	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) )
86	85	ex 434	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) ) )
87	86	eximdv 1675	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( E. v v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) ) )
88	87	reximdva 2818	. 2 |- ( ph -> ( E. m e. NN E. v v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> E. m e. NN E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) ) )
89	24, 88	mpd 15	1 |- ( ph -> E. m e. NN E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 958   = wceq 1362   E.wex 1589   F/wnf 1592   e. wcel 1755   =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2962   \ cdif 3313   i^i cin 3315   C_ wss 3316   (/)c0 3625   ~Pcpw 3848   U.cuni 4079   class class class wbr 4280   e. cmpt 4338   `'ccnv 4826   ran crn 4828   Fun wfun 5400   Fn wfn 5401   -->wf 5402   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Fincfn 7298   0cc0 9270   1c1 9271   < clt 9406   <_ cle 9407   - cmin 9583   / cdiv 9981   NNcn 10310   RR+crp 10979   ...cfz 11424   #chash 12087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-fz 11425  df-hash 12088

This theorem is referenced by:  stoweidlem57  29698