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Theorem stoweidlem39 37900
Description: This lemma is used to prove that there exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91: assuming that  r is a finite subset of  W,  x indexes a finite set of functions in the subalgebra (of the Stone Weierstrass theorem), such that for all i ranging in the finite indexing set, 0 ≤ xi ≤ 1, xi < ε / m on V(ti), and xi > 1 - ε / m on  B. Here  D is used to represent A in the paper's Lemma 2 (because  A is used for the subalgebra),  M is used to represent m in the paper,  E is used to represent ε, and vi is used to represent V(ti).  W is just a local definition, used to shorten statements. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem39.1  |-  F/ h ph
stoweidlem39.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem39.3  |-  F/ w ph
stoweidlem39.4  |-  U  =  ( T  \  B
)
stoweidlem39.5  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
stoweidlem39.6  |-  W  =  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
stoweidlem39.7  |-  ( ph  ->  r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
)
stoweidlem39.8  |-  ( ph  ->  D  C_  U. r
)
stoweidlem39.9  |-  ( ph  ->  D  =/=  (/) )
stoweidlem39.10  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem39.11  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
stoweidlem39.12  |-  ( ph  ->  W  e.  _V )
stoweidlem39.13  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem39  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  E. v ( v : ( 1 ... m
) --> W  /\  D  C_ 
U. ran  v  /\  E. x ( x : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( x `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    e, h, m, t, w    A, e, h, t, w    e, E, h, t, w    T, e, h, w    U, e, h, w    h, i, r, v, x, m, t, w    A, i, x    i, E, x    T, i, x    U, i, x    ph, i, m, v   
w, Y, x    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x, w, t, e, h, r)    A( v, m, r)    B( w, v, t, e, h, i, m, r)    D( x, w, v, t, e, h, i, m, r)    T( v, t, m, r)    U( v, t, m, r)    E( v, m, r)    J( x, w, v, t, e, h, i, m, r)    W( x, w, v, t, e, h, i, m, r)    Y( v, t, e, h, i, m, r)

Proof of Theorem stoweidlem39
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem39.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  C_  U. r
)
2 stoweidlem39.9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  =/=  (/) )
31, 2jca 535 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D  C_  U. r  /\  D  =/=  (/) ) )
4 ssn0 3767 . . . . . 6  |-  ( ( D  C_  U. r  /\  D  =/=  (/) )  ->  U. r  =/=  (/) )
5 unieq 4206 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  (/)  ->  U. r  =  U. (/) )
6 uni0 4225 . . . . . . . 8  |-  U. (/)  =  (/)
75, 6syl6eq 2501 . . . . . . 7  |-  ( r  =  (/)  ->  U. r  =  (/) )
87necon3i 2656 . . . . . 6  |-  ( U. r  =/=  (/)  ->  r  =/=  (/) )
93, 4, 83syl 18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  r  =/=  (/) )
109neneqd 2629 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  r  =  (/) )
11 stoweidlem39.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
)
12 elinel2 3620 . . . . . 6  |-  ( r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  ->  r  e.  Fin )
1311, 12syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  r  e.  Fin )
14 fz1f1o 13776 . . . . 5  |-  ( r  e.  Fin  ->  (
r  =  (/)  \/  (
( # `  r )  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
15 pm2.53 375 . . . . 5  |-  ( ( r  =  (/)  \/  (
( # `  r )  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) )  ->  ( -.  r  =  (/)  ->  (
( # `  r )  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
1613, 14, 153syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -.  r  =  (/)  ->  ( ( # `  r )  e.  NN  /\ 
E. v  v : ( 1 ... ( # `
 r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
1710, 16mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  r
)  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) )
18 oveq2 6298 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( # `  r
)  ->  ( 1 ... m )  =  ( 1 ... ( # `
 r ) ) )
19 f1oeq2 5806 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... m )  =  ( 1 ... ( # `  r
) )  ->  (
v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  <->  v :
( 1 ... ( # `
 r ) ) -1-1-onto-> r ) )
2018, 19syl 17 . . . . 5  |-  ( m  =  ( # `  r
)  ->  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  <->  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) )
2120exbidv 1768 . . . 4  |-  ( m  =  ( # `  r
)  ->  ( E. v  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  <->  E. v  v :
( 1 ... ( # `
 r ) ) -1-1-onto-> r ) )
2221rspcev 3150 . . 3  |-  ( ( ( # `  r
)  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r )  ->  E. m  e.  NN  E. v  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
2317, 22syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  E. v  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
24 f1of 5814 . . . . . . . 8  |-  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  v : ( 1 ... m
) --> r )
2524adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  v : ( 1 ... m ) --> r )
26 simpll 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  ph )
27 elinel1 3619 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  ->  r  e.  ~P W )
2827elpwid 3961 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  ->  r  C_  W )
2926, 11, 283syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  r  C_  W )
3025, 29fssd 5738 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  v : ( 1 ... m ) --> W )
311ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  D  C_ 
U. r )
32 dff1o2 5819 . . . . . . . . . 10  |-  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  <->  ( v  Fn  ( 1 ... m
)  /\  Fun  `' v  /\  ran  v  =  r ) )
3332simp3bi 1025 . . . . . . . . 9  |-  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  ran  v  =  r )
3433unieqd 4208 . . . . . . . 8  |-  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  U. ran  v  =  U. r
)
3534adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  U. ran  v  =  U. r
)
3631, 35sseqtr4d 3469 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  D  C_ 
U. ran  v )
37 stoweidlem39.1 . . . . . . . . 9  |-  F/ h ph
38 nfv 1761 . . . . . . . . 9  |-  F/ h  m  e.  NN
3937, 38nfan 2011 . . . . . . . 8  |-  F/ h
( ph  /\  m  e.  NN )
40 nfv 1761 . . . . . . . 8  |-  F/ h  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
4139, 40nfan 2011 . . . . . . 7  |-  F/ h
( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
42 stoweidlem39.2 . . . . . . . . 9  |-  F/ t
ph
43 nfv 1761 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  m  e.  NN
4442, 43nfan 2011 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( ph  /\  m  e.  NN )
45 nfv 1761 . . . . . . . 8  |-  F/ t  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
4644, 45nfan 2011 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
47 stoweidlem39.3 . . . . . . . . 9  |-  F/ w ph
48 nfv 1761 . . . . . . . . 9  |-  F/ w  m  e.  NN
4947, 48nfan 2011 . . . . . . . 8  |-  F/ w
( ph  /\  m  e.  NN )
50 nfv 1761 . . . . . . . 8  |-  F/ w  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
5149, 50nfan 2011 . . . . . . 7  |-  F/ w
( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
52 stoweidlem39.5 . . . . . . 7  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
53 stoweidlem39.6 . . . . . . 7  |-  W  =  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
54 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  r  |->  { h  e.  A  |  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( h `  t ) ) } )  =  ( w  e.  r  |->  { h  e.  A  |  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( h `  t ) ) } )
55 simplr 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  m  e.  NN )
56 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
57 stoweidlem39.10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
5857ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  E  e.  RR+ )
59 stoweidlem39.11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
6059sselda 3432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  T )
61 notnot1 126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  B  ->  -.  -.  b  e.  B
)
6261intnand 927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  B  ->  -.  ( b  e.  T  /\  -.  b  e.  B
) )
6362adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  -.  ( b  e.  T  /\  -.  b  e.  B
) )
64 eldif 3414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  ( T  \  B )  <->  ( b  e.  T  /\  -.  b  e.  B ) )
6563, 64sylnibr 307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  -.  b  e.  ( T  \  B ) )
66 stoweidlem39.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U  =  ( T  \  B
)
6766eleq2i 2521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  U  <->  b  e.  ( T  \  B ) )
6865, 67sylnibr 307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  -.  b  e.  U )
6960, 68eldifd 3415 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  ( T  \  U
) )
7069ralrimiva 2802 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. b  e.  B  b  e.  ( T  \  U ) )
71 dfss3 3422 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
C_  ( T  \  U )  <->  A. b  e.  B  b  e.  ( T  \  U ) )
7270, 71sylibr 216 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  ( T  \  U ) )
7372ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  B  C_  ( T  \  U
) )
74 stoweidlem39.12 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  _V )
7574ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  W  e.  _V )
76 stoweidlem39.13 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
7776ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  A  e.  _V )
7813ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  r  e.  Fin )
79 mptfi 7873 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  Fin  ->  (
w  e.  r  |->  { h  e.  A  | 
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( h `  t ) ) } )  e.  Fin )
80 rnfi 7857 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  r  |->  { h  e.  A  | 
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( h `  t ) ) } )  e.  Fin  ->  ran  ( w  e.  r 
|->  { h  e.  A  |  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  ( E  /  m
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  ( E  /  m
) )  <  (
h `  t )
) } )  e. 
Fin )
8178, 79, 803syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  ran  ( w  e.  r  |->  { h  e.  A  |  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  ( E  /  m
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  ( E  /  m
) )  <  (
h `  t )
) } )  e. 
Fin )
8241, 46, 51, 52, 53, 54, 29, 55, 56, 58, 73, 75, 77, 81stoweidlem31 37892 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  E. x
( x : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( x `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) )
8330, 36, 823jca 1188 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  (
v : ( 1 ... m ) --> W  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( x `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) ) )
8483ex 436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  ( v : ( 1 ... m ) --> W  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( x `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) ) ) )
8584eximdv 1764 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. v  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( x `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) ) ) )
8685reximdva 2862 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  E. v  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  E. m  e.  NN  E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( x `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) ) ) )
8723, 86mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  E. v ( v : ( 1 ... m
) --> W  /\  D  C_ 
U. ran  v  /\  E. x ( x : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( x `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444   E.wex 1663   F/wnf 1667    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   `'ccnv 4833   ran crn 4835   Fun wfun 5576    Fn wfn 5577   -->wf 5578   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   0cc0 9539   1c1 9540    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   NNcn 10609   RR+crp 11302   ...cfz 11784   #chash 12515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-hash 12516
This theorem is referenced by:  stoweidlem57  37918
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