Theorem stoweidlem39 37900

Description: This lemma is used to prove that there exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91: assuming that r is a finite subset of W, x indexes a finite set of functions in the subalgebra (of the Stone Weierstrass theorem), such that for all i ranging in the finite indexing set, 0 ≤ x_i ≤ 1, x_i < ε / m on V(t_i), and x_i > 1 - ε / m on B. Here D is used to represent A in the paper's Lemma 2 (because A is used for the subalgebra), M is used to represent m in the paper, E is used to represent ε, and v_i is used to represent V(t_i). W is just a local definition, used to shorten statements. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem39.1	|- F/ h ph
stoweidlem39.2	|- F/ t ph
stoweidlem39.3	|- F/ w ph
stoweidlem39.4	|- U = ( T \ B )
stoweidlem39.5	|- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
stoweidlem39.6	|- W = { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
stoweidlem39.7	|- ( ph -> r e. ( ~P W i^i Fin ) )
stoweidlem39.8	|- ( ph -> D C_ U. r )
stoweidlem39.9	|- ( ph -> D =/= (/) )
stoweidlem39.10	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem39.11	|- ( ph -> B C_ T )
stoweidlem39.12	|- ( ph -> W e. _V )
stoweidlem39.13	|- ( ph -> A e. _V )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem39	|- ( ph -> E. m e. NN E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   e, h, m, t, w   A, e, h, t, w   e, E, h, t, w   T, e, h, w   U, e, h, w   h, i, r, v, x, m, t, w   A, i, x   i, E, x   T, i, x   U, i, x   ph, i, m, v   w, Y, x   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, w, t, e, h, r)   A( v, m, r)   B( w, v, t, e, h, i, m, r)   D( x, w, v, t, e, h, i, m, r)   T( v, t, m, r)   U( v, t, m, r)   E( v, m, r)   J( x, w, v, t, e, h, i, m, r)   W( x, w, v, t, e, h, i, m, r)   Y( v, t, e, h, i, m, r)

Proof of Theorem stoweidlem39

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem39.8	. . . . . . 7 |- ( ph -> D C_ U. r )
2		stoweidlem39.9	. . . . . . 7 |- ( ph -> D =/= (/) )
3	1, 2	jca 535	. . . . . 6 |- ( ph -> ( D C_ U. r /\ D =/= (/) ) )
4		ssn0 3767	. . . . . 6 |- ( ( D C_ U. r /\ D =/= (/) ) -> U. r =/= (/) )
5		unieq 4206	. . . . . . . 8 |- ( r = (/) -> U. r = U. (/) )
6		uni0 4225	. . . . . . . 8 |- U. (/) = (/)
7	5, 6	syl6eq 2501	. . . . . . 7 |- ( r = (/) -> U. r = (/) )
8	7	necon3i 2656	. . . . . 6 |- ( U. r =/= (/) -> r =/= (/) )
9	3, 4, 8	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> r =/= (/) )
10	9	neneqd 2629	. . . 4 |- ( ph -> -. r = (/) )
11		stoweidlem39.7	. . . . . 6 |- ( ph -> r e. ( ~P W i^i Fin ) )
12		elinel2 3620	. . . . . 6 |- ( r e. ( ~P W i^i Fin ) -> r e. Fin )
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> r e. Fin )
14		fz1f1o 13776	. . . . 5 |- ( r e. Fin -> ( r = (/) \/ ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
15		pm2.53 375	. . . . 5 |- ( ( r = (/) \/ ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) ) -> ( -. r = (/) -> ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
16	13, 14, 15	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> ( -. r = (/) -> ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
17	10, 16	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) )
18		oveq2 6298	. . . . . 6 |- ( m = ( # ` r ) -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... ( # ` r ) ) )
19		f1oeq2 5806	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... m ) = ( 1 ... ( # ` r ) ) -> ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r <-> v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) )
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 |- ( m = ( # ` r ) -> ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r <-> v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) )
21	20	exbidv 1768	. . . 4 |- ( m = ( # ` r ) -> ( E. v v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r <-> E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) )
22	21	rspcev 3150	. . 3 |- ( ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) -> E. m e. NN E. v v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
23	17, 22	syl 17	. 2 |- ( ph -> E. m e. NN E. v v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
24		f1of 5814	. . . . . . . 8 |- ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> v : ( 1 ... m ) --> r )
25	24	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> v : ( 1 ... m ) --> r )
26		simpll 760	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> ph )
27		elinel1 3619	. . . . . . . . 9 |- ( r e. ( ~P W i^i Fin ) -> r e. ~P W )
28	27	elpwid 3961	. . . . . . . 8 |- ( r e. ( ~P W i^i Fin ) -> r C_ W )
29	26, 11, 28	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> r C_ W )
30	25, 29	fssd 5738	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> v : ( 1 ... m ) --> W )
31	1	ad2antrr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> D C_ U. r )
32		dff1o2 5819	. . . . . . . . . 10 |- ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r <-> ( v Fn ( 1 ... m ) /\ Fun `' v /\ ran v = r ) )
33	32	simp3bi 1025	. . . . . . . . 9 |- ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> ran v = r )
34	33	unieqd 4208	. . . . . . . 8 |- ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> U. ran v = U. r )
35	34	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> U. ran v = U. r )
36	31, 35	sseqtr4d 3469	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> D C_ U. ran v )
37		stoweidlem39.1	. . . . . . . . 9 |- F/ h ph
38		nfv 1761	. . . . . . . . 9 |- F/ h m e. NN
39	37, 38	nfan 2011	. . . . . . . 8 |- F/ h ( ph /\ m e. NN )
40		nfv 1761	. . . . . . . 8 |- F/ h v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
41	39, 40	nfan 2011	. . . . . . 7 |- F/ h ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
42		stoweidlem39.2	. . . . . . . . 9 |- F/ t ph
43		nfv 1761	. . . . . . . . 9 |- F/ t m e. NN
44	42, 43	nfan 2011	. . . . . . . 8 |- F/ t ( ph /\ m e. NN )
45		nfv 1761	. . . . . . . 8 |- F/ t v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
46	44, 45	nfan 2011	. . . . . . 7 |- F/ t ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
47		stoweidlem39.3	. . . . . . . . 9 |- F/ w ph
48		nfv 1761	. . . . . . . . 9 |- F/ w m e. NN
49	47, 48	nfan 2011	. . . . . . . 8 |- F/ w ( ph /\ m e. NN )
50		nfv 1761	. . . . . . . 8 |- F/ w v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
51	49, 50	nfan 2011	. . . . . . 7 |- F/ w ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
52		stoweidlem39.5	. . . . . . 7 |- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
53		stoweidlem39.6	. . . . . . 7 |- W = { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
54		eqid 2451	. . . . . . 7 |- ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } ) = ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } )
55		simplr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> m e. NN )
56		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
57		stoweidlem39.10	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. RR+ )
58	57	ad2antrr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> E e. RR+ )
59		stoweidlem39.11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B C_ T )
60	59	sselda 3432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b e. T )
61		notnot1 126	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. B -> -. -. b e. B )
62	61	intnand 927	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. B -> -. ( b e. T /\ -. b e. B ) )
63	62	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> -. ( b e. T /\ -. b e. B ) )
64		eldif 3414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ( T \ B ) <-> ( b e. T /\ -. b e. B ) )
65	63, 64	sylnibr 307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> -. b e. ( T \ B ) )
66		stoweidlem39.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- U = ( T \ B )
67	66	eleq2i 2521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. U <-> b e. ( T \ B ) )
68	65, 67	sylnibr 307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> -. b e. U )
69	60, 68	eldifd 3415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b e. ( T \ U ) )
70	69	ralrimiva 2802	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. b e. B b e. ( T \ U ) )
71		dfss3 3422	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ ( T \ U ) <-> A. b e. B b e. ( T \ U ) )
72	70, 71	sylibr 216	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B C_ ( T \ U ) )
73	72	ad2antrr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> B C_ ( T \ U ) )
74		stoweidlem39.12	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. _V )
75	74	ad2antrr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> W e. _V )
76		stoweidlem39.13	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. _V )
77	76	ad2antrr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> A e. _V )
78	13	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> r e. Fin )
79		mptfi 7873	. . . . . . . 8 |- ( r e. Fin -> ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } ) e. Fin )
80		rnfi 7857	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } ) e. Fin -> ran ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } ) e. Fin )
81	78, 79, 80	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> ran ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } ) e. Fin )
82	41, 46, 51, 52, 53, 54, 29, 55, 56, 58, 73, 75, 77, 81	stoweidlem31 37892	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) )
83	30, 36, 82	3jca 1188	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) )
84	83	ex 436	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) ) )
85	84	eximdv 1764	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( E. v v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) ) )
86	85	reximdva 2862	. 2 |- ( ph -> ( E. m e. NN E. v v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> E. m e. NN E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) ) )
87	23, 86	mpd 15	1 |- ( ph -> E. m e. NN E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   E.wex 1663   F/wnf 1667   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   `'ccnv 4833   ran crn 4835   Fun wfun 5576   Fn wfn 5577   -->wf 5578   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   0cc0 9539   1c1 9540   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   / cdiv 10269   NNcn 10609   RR+crp 11302   ...cfz 11784   #chash 12515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-hash 12516

This theorem is referenced by:  stoweidlem57  37918