Theorem stoweidlem39 38012

Description: This lemma is used to prove that there exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91: assuming that r is a finite subset of W, x indexes a finite set of functions in the subalgebra (of the Stone Weierstrass theorem), such that for all i ranging in the finite indexing set, 0 ≤ x_i ≤ 1, x_i < ε / m on V(t_i), and x_i > 1 - ε / m on B. Here D is used to represent A in the paper's Lemma 2 (because A is used for the subalgebra), M is used to represent m in the paper, E is used to represent ε, and v_i is used to represent V(t_i). W is just a local definition, used to shorten statements. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem39.1	|- F/ h ph
stoweidlem39.2	|- F/ t ph
stoweidlem39.3	|- F/ w ph
stoweidlem39.4	|- U = ( T \ B )
stoweidlem39.5	|- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
stoweidlem39.6	|- W = { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
stoweidlem39.7	|- ( ph -> r e. ( ~P W i^i Fin ) )
stoweidlem39.8	|- ( ph -> D C_ U. r )
stoweidlem39.9	|- ( ph -> D =/= (/) )
stoweidlem39.10	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem39.11	|- ( ph -> B C_ T )
stoweidlem39.12	|- ( ph -> W e. _V )
stoweidlem39.13	|- ( ph -> A e. _V )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem39	|- ( ph -> E. m e. NN E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   e, h, m, t, w   A, e, h, t, w   e, E, h, t, w   T, e, h, w   U, e, h, w   h, i, r, v, x, m, t, w   A, i, x   i, E, x   T, i, x   U, i, x   ph, i, m, v   w, Y, x   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, w, t, e, h, r)   A( v, m, r)   B( w, v, t, e, h, i, m, r)   D( x, w, v, t, e, h, i, m, r)   T( v, t, m, r)   U( v, t, m, r)   E( v, m, r)   J( x, w, v, t, e, h, i, m, r)   W( x, w, v, t, e, h, i, m, r)   Y( v, t, e, h, i, m, r)

Proof of Theorem stoweidlem39

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem39.8	. . . . . . 7 |- ( ph -> D C_ U. r )
2		stoweidlem39.9	. . . . . . 7 |- ( ph -> D =/= (/) )
3	1, 2	jca 541	. . . . . 6 |- ( ph -> ( D C_ U. r /\ D =/= (/) ) )
4		ssn0 3770	. . . . . 6 |- ( ( D C_ U. r /\ D =/= (/) ) -> U. r =/= (/) )
5		unieq 4198	. . . . . . . 8 |- ( r = (/) -> U. r = U. (/) )
6		uni0 4217	. . . . . . . 8 |- U. (/) = (/)
7	5, 6	syl6eq 2521	. . . . . . 7 |- ( r = (/) -> U. r = (/) )
8	7	necon3i 2675	. . . . . 6 |- ( U. r =/= (/) -> r =/= (/) )
9	3, 4, 8	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> r =/= (/) )
10	9	neneqd 2648	. . . 4 |- ( ph -> -. r = (/) )
11		stoweidlem39.7	. . . . . 6 |- ( ph -> r e. ( ~P W i^i Fin ) )
12		elinel2 3611	. . . . . 6 |- ( r e. ( ~P W i^i Fin ) -> r e. Fin )
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> r e. Fin )
14		fz1f1o 13853	. . . . 5 |- ( r e. Fin -> ( r = (/) \/ ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
15		pm2.53 380	. . . . 5 |- ( ( r = (/) \/ ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) ) -> ( -. r = (/) -> ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
16	13, 14, 15	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> ( -. r = (/) -> ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
17	10, 16	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) )
18		oveq2 6316	. . . . . 6 |- ( m = ( # ` r ) -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... ( # ` r ) ) )
19		f1oeq2 5819	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... m ) = ( 1 ... ( # ` r ) ) -> ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r <-> v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) )
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 |- ( m = ( # ` r ) -> ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r <-> v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) )
21	20	exbidv 1776	. . . 4 |- ( m = ( # ` r ) -> ( E. v v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r <-> E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) )
22	21	rspcev 3136	. . 3 |- ( ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) -> E. m e. NN E. v v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
23	17, 22	syl 17	. 2 |- ( ph -> E. m e. NN E. v v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
24		f1of 5828	. . . . . . . 8 |- ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> v : ( 1 ... m ) --> r )
25	24	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> v : ( 1 ... m ) --> r )
26		simpll 768	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> ph )
27		elinel1 3610	. . . . . . . . 9 |- ( r e. ( ~P W i^i Fin ) -> r e. ~P W )
28	27	elpwid 3952	. . . . . . . 8 |- ( r e. ( ~P W i^i Fin ) -> r C_ W )
29	26, 11, 28	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> r C_ W )
30	25, 29	fssd 5750	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> v : ( 1 ... m ) --> W )
31	1	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> D C_ U. r )
32		dff1o2 5833	. . . . . . . . . 10 |- ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r <-> ( v Fn ( 1 ... m ) /\ Fun `' v /\ ran v = r ) )
33	32	simp3bi 1047	. . . . . . . . 9 |- ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> ran v = r )
34	33	unieqd 4200	. . . . . . . 8 |- ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> U. ran v = U. r )
35	34	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> U. ran v = U. r )
36	31, 35	sseqtr4d 3455	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> D C_ U. ran v )
37		stoweidlem39.1	. . . . . . . . 9 |- F/ h ph
38		nfv 1769	. . . . . . . . 9 |- F/ h m e. NN
39	37, 38	nfan 2031	. . . . . . . 8 |- F/ h ( ph /\ m e. NN )
40		nfv 1769	. . . . . . . 8 |- F/ h v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
41	39, 40	nfan 2031	. . . . . . 7 |- F/ h ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
42		stoweidlem39.2	. . . . . . . . 9 |- F/ t ph
43		nfv 1769	. . . . . . . . 9 |- F/ t m e. NN
44	42, 43	nfan 2031	. . . . . . . 8 |- F/ t ( ph /\ m e. NN )
45		nfv 1769	. . . . . . . 8 |- F/ t v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
46	44, 45	nfan 2031	. . . . . . 7 |- F/ t ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
47		stoweidlem39.3	. . . . . . . . 9 |- F/ w ph
48		nfv 1769	. . . . . . . . 9 |- F/ w m e. NN
49	47, 48	nfan 2031	. . . . . . . 8 |- F/ w ( ph /\ m e. NN )
50		nfv 1769	. . . . . . . 8 |- F/ w v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
51	49, 50	nfan 2031	. . . . . . 7 |- F/ w ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
52		stoweidlem39.5	. . . . . . 7 |- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
53		stoweidlem39.6	. . . . . . 7 |- W = { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
54		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } ) = ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } )
55		simplr 770	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> m e. NN )
56		simpr 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
57		stoweidlem39.10	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. RR+ )
58	57	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> E e. RR+ )
59		stoweidlem39.11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B C_ T )
60	59	sselda 3418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b e. T )
61		notnot1 126	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. B -> -. -. b e. B )
62	61	intnand 930	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. B -> -. ( b e. T /\ -. b e. B ) )
63	62	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> -. ( b e. T /\ -. b e. B ) )
64		eldif 3400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ( T \ B ) <-> ( b e. T /\ -. b e. B ) )
65	63, 64	sylnibr 312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> -. b e. ( T \ B ) )
66		stoweidlem39.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- U = ( T \ B )
67	66	eleq2i 2541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. U <-> b e. ( T \ B ) )
68	65, 67	sylnibr 312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> -. b e. U )
69	60, 68	eldifd 3401	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b e. ( T \ U ) )
70	69	ralrimiva 2809	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. b e. B b e. ( T \ U ) )
71		dfss3 3408	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ ( T \ U ) <-> A. b e. B b e. ( T \ U ) )
72	70, 71	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B C_ ( T \ U ) )
73	72	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> B C_ ( T \ U ) )
74		stoweidlem39.12	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. _V )
75	74	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> W e. _V )
76		stoweidlem39.13	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. _V )
77	76	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> A e. _V )
78	13	ad2antrr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> r e. Fin )
79		mptfi 7891	. . . . . . . 8 |- ( r e. Fin -> ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } ) e. Fin )
80		rnfi 7875	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } ) e. Fin -> ran ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } ) e. Fin )
81	78, 79, 80	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> ran ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } ) e. Fin )
82	41, 46, 51, 52, 53, 54, 29, 55, 56, 58, 73, 75, 77, 81	stoweidlem31 38004	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) )
83	30, 36, 82	3jca 1210	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) )
84	83	ex 441	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) ) )
85	84	eximdv 1772	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( E. v v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) ) )
86	85	reximdva 2858	. 2 |- ( ph -> ( E. m e. NN E. v v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> E. m e. NN E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) ) )
87	23, 86	mpd 15	1 |- ( ph -> E. m e. NN E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   E.wex 1671   F/wnf 1675   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   ran crn 4840   Fun wfun 5583   Fn wfn 5584   -->wf 5585   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   0cc0 9557   1c1 9558   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   RR+crp 11325   ...cfz 11810   #chash 12553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-hash 12554

This theorem is referenced by:  stoweidlem57  38030