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Theorem stoweidlem39 29680
Description: This lemma is used to prove that there exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91: assuming that  r is a finite subset of  W,  x indexes a finite set of functions in the subalgebra (of the Stone Weierstrass theorem), such that for all i ranging in the finite indexing set, 0 ≤ xi ≤ 1, xi < ε / m on V(ti), and xi > 1 - ε / m on  B. Here  D is used to represent A in the paper's Lemma 2 (because  A is used for the subalgebra),  M is used to represent m in the paper,  E is used to represent ε, and vi is used to represent V(ti).  W is just a local definition, used to shorten statements. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem39.1  |-  F/ h ph
stoweidlem39.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem39.3  |-  F/ w ph
stoweidlem39.4  |-  U  =  ( T  \  B
)
stoweidlem39.5  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
stoweidlem39.6  |-  W  =  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
stoweidlem39.7  |-  ( ph  ->  r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
)
stoweidlem39.8  |-  ( ph  ->  D  C_  U. r
)
stoweidlem39.9  |-  ( ph  ->  D  =/=  (/) )
stoweidlem39.10  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem39.11  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
stoweidlem39.12  |-  ( ph  ->  W  e.  _V )
stoweidlem39.13  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem39  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  E. v ( v : ( 1 ... m
) --> W  /\  D  C_ 
U. ran  v  /\  E. x ( x : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( x `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    e, h, m, t, w    A, e, h, t, w    e, E, h, t, w    T, e, h, w    U, e, h, w    h, i, r, v, x, m, t, w    A, i, x    i, E, x    T, i, x    U, i, x    ph, i, m, v   
w, Y, x    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x, w, t, e, h, r)    A( v, m, r)    B( w, v, t, e, h, i, m, r)    D( x, w, v, t, e, h, i, m, r)    T( v, t, m, r)    U( v, t, m, r)    E( v, m, r)    J( x, w, v, t, e, h, i, m, r)    W( x, w, v, t, e, h, i, m, r)    Y( v, t, e, h, i, m, r)

Proof of Theorem stoweidlem39
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem39.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  C_  U. r
)
2 stoweidlem39.9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  =/=  (/) )
31, 2jca 529 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D  C_  U. r  /\  D  =/=  (/) ) )
4 ssn0 3658 . . . . . 6  |-  ( ( D  C_  U. r  /\  D  =/=  (/) )  ->  U. r  =/=  (/) )
5 unieq 4087 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  (/)  ->  U. r  =  U. (/) )
6 uni0 4106 . . . . . . . 8  |-  U. (/)  =  (/)
75, 6syl6eq 2481 . . . . . . 7  |-  ( r  =  (/)  ->  U. r  =  (/) )
87necon3i 2640 . . . . . 6  |-  ( U. r  =/=  (/)  ->  r  =/=  (/) )
93, 4, 83syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  r  =/=  (/) )
109neneqd 2614 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  r  =  (/) )
11 stoweidlem39.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
)
12 elin 3527 . . . . . . 7  |-  ( r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  <->  ( r  e.  ~P W  /\  r  e.  Fin ) )
1312simprbi 461 . . . . . 6  |-  ( r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  ->  r  e.  Fin )
1411, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  r  e.  Fin )
15 fz1f1o 13171 . . . . 5  |-  ( r  e.  Fin  ->  (
r  =  (/)  \/  (
( # `  r )  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
16 pm2.53 373 . . . . 5  |-  ( ( r  =  (/)  \/  (
( # `  r )  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) )  ->  ( -.  r  =  (/)  ->  (
( # `  r )  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
1714, 15, 163syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -.  r  =  (/)  ->  ( ( # `  r )  e.  NN  /\ 
E. v  v : ( 1 ... ( # `
 r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
1810, 17mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  r
)  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) )
19 oveq2 6088 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( # `  r
)  ->  ( 1 ... m )  =  ( 1 ... ( # `
 r ) ) )
20 f1oeq2 5621 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... m )  =  ( 1 ... ( # `  r
) )  ->  (
v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  <->  v :
( 1 ... ( # `
 r ) ) -1-1-onto-> r ) )
2119, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( m  =  ( # `  r
)  ->  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  <->  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) )
2221exbidv 1679 . . . 4  |-  ( m  =  ( # `  r
)  ->  ( E. v  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  <->  E. v  v :
( 1 ... ( # `
 r ) ) -1-1-onto-> r ) )
2322rspcev 3062 . . 3  |-  ( ( ( # `  r
)  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r )  ->  E. m  e.  NN  E. v  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
2418, 23syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  E. v  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
25 f1of 5629 . . . . . . . 8  |-  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  v : ( 1 ... m
) --> r )
2625adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  v : ( 1 ... m ) --> r )
27 simpll 746 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  ph )
2812simplbi 457 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  ->  r  e.  ~P W )
2928elpwid 3858 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  ->  r  C_  W )
3027, 11, 293syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  r  C_  W )
31 fss 5555 . . . . . . 7  |-  ( ( v : ( 1 ... m ) --> r  /\  r  C_  W
)  ->  v :
( 1 ... m
) --> W )
3226, 30, 31syl2anc 654 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  v : ( 1 ... m ) --> W )
331ad2antrr 718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  D  C_ 
U. r )
34 dff1o2 5634 . . . . . . . . . 10  |-  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  <->  ( v  Fn  ( 1 ... m
)  /\  Fun  `' v  /\  ran  v  =  r ) )
3534simp3bi 998 . . . . . . . . 9  |-  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  ran  v  =  r )
3635unieqd 4089 . . . . . . . 8  |-  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  U. ran  v  =  U. r
)
3736adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  U. ran  v  =  U. r
)
3833, 37sseqtr4d 3381 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  D  C_ 
U. ran  v )
39 stoweidlem39.1 . . . . . . . . 9  |-  F/ h ph
40 nfv 1672 . . . . . . . . 9  |-  F/ h  m  e.  NN
4139, 40nfan 1859 . . . . . . . 8  |-  F/ h
( ph  /\  m  e.  NN )
42 nfv 1672 . . . . . . . 8  |-  F/ h  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
4341, 42nfan 1859 . . . . . . 7  |-  F/ h
( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
44 stoweidlem39.2 . . . . . . . . 9  |-  F/ t
ph
45 nfv 1672 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  m  e.  NN
4644, 45nfan 1859 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( ph  /\  m  e.  NN )
47 nfv 1672 . . . . . . . 8  |-  F/ t  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
4846, 47nfan 1859 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
49 stoweidlem39.3 . . . . . . . . 9  |-  F/ w ph
50 nfv 1672 . . . . . . . . 9  |-  F/ w  m  e.  NN
5149, 50nfan 1859 . . . . . . . 8  |-  F/ w
( ph  /\  m  e.  NN )
52 nfv 1672 . . . . . . . 8  |-  F/ w  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
5351, 52nfan 1859 . . . . . . 7  |-  F/ w
( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
54 stoweidlem39.5 . . . . . . 7  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
55 stoweidlem39.6 . . . . . . 7  |-  W  =  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
56 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  r  |->  { h  e.  A  |  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( h `  t ) ) } )  =  ( w  e.  r  |->  { h  e.  A  |  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( h `  t ) ) } )
57 simplr 747 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  m  e.  NN )
58 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
59 stoweidlem39.10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
6059ad2antrr 718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  E  e.  RR+ )
61 stoweidlem39.11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
6261sselda 3344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  T )
63 notnot1 122 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  B  ->  -.  -.  b  e.  B
)
6463intnand 900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  B  ->  -.  ( b  e.  T  /\  -.  b  e.  B
) )
6564adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  -.  ( b  e.  T  /\  -.  b  e.  B
) )
66 eldif 3326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  ( T  \  B )  <->  ( b  e.  T  /\  -.  b  e.  B ) )
6765, 66sylnibr 305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  -.  b  e.  ( T  \  B ) )
68 stoweidlem39.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U  =  ( T  \  B
)
6968eleq2i 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  U  <->  b  e.  ( T  \  B ) )
7067, 69sylnibr 305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  -.  b  e.  U )
7162, 70eldifd 3327 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  ( T  \  U
) )
7271ralrimiva 2789 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. b  e.  B  b  e.  ( T  \  U ) )
73 dfss3 3334 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
C_  ( T  \  U )  <->  A. b  e.  B  b  e.  ( T  \  U ) )
7472, 73sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  ( T  \  U ) )
7574ad2antrr 718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  B  C_  ( T  \  U
) )
76 stoweidlem39.12 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  _V )
7776ad2antrr 718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  W  e.  _V )
78 stoweidlem39.13 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
7978ad2antrr 718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  A  e.  _V )
8014ad2antrr 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  r  e.  Fin )
81 mptfi 7598 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  Fin  ->  (
w  e.  r  |->  { h  e.  A  | 
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( h `  t ) ) } )  e.  Fin )
82 rnfi 7584 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  r  |->  { h  e.  A  | 
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( h `  t ) ) } )  e.  Fin  ->  ran  ( w  e.  r 
|->  { h  e.  A  |  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  ( E  /  m
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  ( E  /  m
) )  <  (
h `  t )
) } )  e. 
Fin )
8380, 81, 823syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  ran  ( w  e.  r  |->  { h  e.  A  |  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  ( E  /  m
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  ( E  /  m
) )  <  (
h `  t )
) } )  e. 
Fin )
8443, 48, 53, 54, 55, 56, 30, 57, 58, 60, 75, 77, 79, 83stoweidlem31 29672 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  E. x
( x : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( x `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) )
8532, 38, 843jca 1161 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  (
v : ( 1 ... m ) --> W  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( x `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) ) )
8685ex 434 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  ( v : ( 1 ... m ) --> W  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( x `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) ) ) )
8786eximdv 1675 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. v  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( x `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) ) ) )
8887reximdva 2818 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  E. v  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  E. m  e.  NN  E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( x `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) ) ) )
8924, 88mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  E. v ( v : ( 1 ... m
) --> W  /\  D  C_ 
U. ran  v  /\  E. x ( x : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( x `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362   E.wex 1589   F/wnf 1592    e. wcel 1755    =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2962    \ cdif 3313    i^i cin 3315    C_ wss 3316   (/)c0 3625   ~Pcpw 3848   U.cuni 4079   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   `'ccnv 4826   ran crn 4828   Fun wfun 5400    Fn wfn 5401   -->wf 5402   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Fincfn 7298   0cc0 9270   1c1 9271    < clt 9406    <_ cle 9407    - cmin 9583    / cdiv 9981   NNcn 10310   RR+crp 10979   ...cfz 11424   #chash 12087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-fz 11425  df-hash 12088
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