Theorem stoweidlem39 30005

Description: This lemma is used to prove that there exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91: assuming that r is a finite subset of W, x indexes a finite set of functions in the subalgebra (of the Stone Weierstrass theorem), such that for all i ranging in the finite indexing set, 0 ≤ x_i ≤ 1, x_i < ε / m on V(t_i), and x_i > 1 - ε / m on B. Here D is used to represent A in the paper's Lemma 2 (because A is used for the subalgebra), M is used to represent m in the paper, E is used to represent ε, and v_i is used to represent V(t_i). W is just a local definition, used to shorten statements. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem39.1	|- F/ h ph
stoweidlem39.2	|- F/ t ph
stoweidlem39.3	|- F/ w ph
stoweidlem39.4	|- U = ( T \ B )
stoweidlem39.5	|- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
stoweidlem39.6	|- W = { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
stoweidlem39.7	|- ( ph -> r e. ( ~P W i^i Fin ) )
stoweidlem39.8	|- ( ph -> D C_ U. r )
stoweidlem39.9	|- ( ph -> D =/= (/) )
stoweidlem39.10	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem39.11	|- ( ph -> B C_ T )
stoweidlem39.12	|- ( ph -> W e. _V )
stoweidlem39.13	|- ( ph -> A e. _V )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem39	|- ( ph -> E. m e. NN E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   e, h, m, t, w   A, e, h, t, w   e, E, h, t, w   T, e, h, w   U, e, h, w   h, i, r, v, x, m, t, w   A, i, x   i, E, x   T, i, x   U, i, x   ph, i, m, v   w, Y, x   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, w, t, e, h, r)   A( v, m, r)   B( w, v, t, e, h, i, m, r)   D( x, w, v, t, e, h, i, m, r)   T( v, t, m, r)   U( v, t, m, r)   E( v, m, r)   J( x, w, v, t, e, h, i, m, r)   W( x, w, v, t, e, h, i, m, r)   Y( v, t, e, h, i, m, r)

Proof of Theorem stoweidlem39

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem39.8	. . . . . . 7 |- ( ph -> D C_ U. r )
2		stoweidlem39.9	. . . . . . 7 |- ( ph -> D =/= (/) )
3	1, 2	jca 532	. . . . . 6 |- ( ph -> ( D C_ U. r /\ D =/= (/) ) )
4		ssn0 3781	. . . . . 6 |- ( ( D C_ U. r /\ D =/= (/) ) -> U. r =/= (/) )
5		unieq 4210	. . . . . . . 8 |- ( r = (/) -> U. r = U. (/) )
6		uni0 4229	. . . . . . . 8 |- U. (/) = (/)
7	5, 6	syl6eq 2511	. . . . . . 7 |- ( r = (/) -> U. r = (/) )
8	7	necon3i 2692	. . . . . 6 |- ( U. r =/= (/) -> r =/= (/) )
9	3, 4, 8	3syl 20	. . . . 5 |- ( ph -> r =/= (/) )
10	9	neneqd 2655	. . . 4 |- ( ph -> -. r = (/) )
11		stoweidlem39.7	. . . . . 6 |- ( ph -> r e. ( ~P W i^i Fin ) )
12		elin 3650	. . . . . . 7 |- ( r e. ( ~P W i^i Fin ) <-> ( r e. ~P W /\ r e. Fin ) )
13	12	simprbi 464	. . . . . 6 |- ( r e. ( ~P W i^i Fin ) -> r e. Fin )
14	11, 13	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> r e. Fin )
15		fz1f1o 13309	. . . . 5 |- ( r e. Fin -> ( r = (/) \/ ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
16		pm2.53 373	. . . . 5 |- ( ( r = (/) \/ ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) ) -> ( -. r = (/) -> ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
17	14, 15, 16	3syl 20	. . . 4 |- ( ph -> ( -. r = (/) -> ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
18	10, 17	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) )
19		oveq2 6211	. . . . . 6 |- ( m = ( # ` r ) -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... ( # ` r ) ) )
20		f1oeq2 5744	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... m ) = ( 1 ... ( # ` r ) ) -> ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r <-> v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) )
21	19, 20	syl 16	. . . . 5 |- ( m = ( # ` r ) -> ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r <-> v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) )
22	21	exbidv 1681	. . . 4 |- ( m = ( # ` r ) -> ( E. v v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r <-> E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) )
23	22	rspcev 3179	. . 3 |- ( ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) -> E. m e. NN E. v v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
24	18, 23	syl 16	. 2 |- ( ph -> E. m e. NN E. v v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
25		f1of 5752	. . . . . . . 8 |- ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> v : ( 1 ... m ) --> r )
26	25	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> v : ( 1 ... m ) --> r )
27		simpll 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> ph )
28	12	simplbi 460	. . . . . . . . 9 |- ( r e. ( ~P W i^i Fin ) -> r e. ~P W )
29	28	elpwid 3981	. . . . . . . 8 |- ( r e. ( ~P W i^i Fin ) -> r C_ W )
30	27, 11, 29	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> r C_ W )
31		fss 5678	. . . . . . 7 |- ( ( v : ( 1 ... m ) --> r /\ r C_ W ) -> v : ( 1 ... m ) --> W )
32	26, 30, 31	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> v : ( 1 ... m ) --> W )
33	1	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> D C_ U. r )
34		dff1o2 5757	. . . . . . . . . 10 |- ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r <-> ( v Fn ( 1 ... m ) /\ Fun `' v /\ ran v = r ) )
35	34	simp3bi 1005	. . . . . . . . 9 |- ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> ran v = r )
36	35	unieqd 4212	. . . . . . . 8 |- ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> U. ran v = U. r )
37	36	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> U. ran v = U. r )
38	33, 37	sseqtr4d 3504	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> D C_ U. ran v )
39		stoweidlem39.1	. . . . . . . . 9 |- F/ h ph
40		nfv 1674	. . . . . . . . 9 |- F/ h m e. NN
41	39, 40	nfan 1866	. . . . . . . 8 |- F/ h ( ph /\ m e. NN )
42		nfv 1674	. . . . . . . 8 |- F/ h v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
43	41, 42	nfan 1866	. . . . . . 7 |- F/ h ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
44		stoweidlem39.2	. . . . . . . . 9 |- F/ t ph
45		nfv 1674	. . . . . . . . 9 |- F/ t m e. NN
46	44, 45	nfan 1866	. . . . . . . 8 |- F/ t ( ph /\ m e. NN )
47		nfv 1674	. . . . . . . 8 |- F/ t v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
48	46, 47	nfan 1866	. . . . . . 7 |- F/ t ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
49		stoweidlem39.3	. . . . . . . . 9 |- F/ w ph
50		nfv 1674	. . . . . . . . 9 |- F/ w m e. NN
51	49, 50	nfan 1866	. . . . . . . 8 |- F/ w ( ph /\ m e. NN )
52		nfv 1674	. . . . . . . 8 |- F/ w v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
53	51, 52	nfan 1866	. . . . . . 7 |- F/ w ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
54		stoweidlem39.5	. . . . . . 7 |- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
55		stoweidlem39.6	. . . . . . 7 |- W = { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
56		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } ) = ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } )
57		simplr 754	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> m e. NN )
58		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
59		stoweidlem39.10	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. RR+ )
60	59	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> E e. RR+ )
61		stoweidlem39.11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B C_ T )
62	61	sselda 3467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b e. T )
63		notnot1 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. B -> -. -. b e. B )
64	63	intnand 907	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. B -> -. ( b e. T /\ -. b e. B ) )
65	64	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> -. ( b e. T /\ -. b e. B ) )
66		eldif 3449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ( T \ B ) <-> ( b e. T /\ -. b e. B ) )
67	65, 66	sylnibr 305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> -. b e. ( T \ B ) )
68		stoweidlem39.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- U = ( T \ B )
69	68	eleq2i 2532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. U <-> b e. ( T \ B ) )
70	67, 69	sylnibr 305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> -. b e. U )
71	62, 70	eldifd 3450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b e. ( T \ U ) )
72	71	ralrimiva 2830	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. b e. B b e. ( T \ U ) )
73		dfss3 3457	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ ( T \ U ) <-> A. b e. B b e. ( T \ U ) )
74	72, 73	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B C_ ( T \ U ) )
75	74	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> B C_ ( T \ U ) )
76		stoweidlem39.12	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. _V )
77	76	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> W e. _V )
78		stoweidlem39.13	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. _V )
79	78	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> A e. _V )
80	14	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> r e. Fin )
81		mptfi 7724	. . . . . . . 8 |- ( r e. Fin -> ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } ) e. Fin )
82		rnfi 7710	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } ) e. Fin -> ran ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } ) e. Fin )
83	80, 81, 82	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> ran ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } ) e. Fin )
84	43, 48, 53, 54, 55, 56, 30, 57, 58, 60, 75, 77, 79, 83	stoweidlem31 29997	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) )
85	32, 38, 84	3jca 1168	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) )
86	85	ex 434	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) ) )
87	86	eximdv 1677	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( E. v v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) ) )
88	87	reximdva 2934	. 2 |- ( ph -> ( E. m e. NN E. v v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> E. m e. NN E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) ) )
89	24, 88	mpd 15	1 |- ( ph -> E. m e. NN E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   E.wex 1587   F/wnf 1590   e. wcel 1758   =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803   _Vcvv 3078   \ cdif 3436   i^i cin 3438   C_ wss 3439   (/)c0 3748   ~Pcpw 3971   U.cuni 4202   class class class wbr 4403   |-> cmpt 4461   `'ccnv 4950   ran crn 4952   Fun wfun 5523   Fn wfn 5524   -->wf 5525   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Fincfn 7423   0cc0 9397   1c1 9398   < clt 9533   <_ cle 9534   - cmin 9710   / cdiv 10108   NNcn 10437   RR+crp 11106   ...cfz 11558   #chash 12224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-rp 11107  df-fz 11559  df-hash 12225

This theorem is referenced by:  stoweidlem57  30023