Theorem stoweidlem39 27655

Description: This lemma is used to prove that there exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91: assuming that r is a finite subset of W, x indexes a finite set of functions in the subalgebra (of the Stone Weierstrass theorem), such that for all i ranging in the finite indexing set, 0 ≤ x_i ≤ 1, x_i < ε / m on V(t_i), and x_i > 1 - ε / m on B. Here D is used to represent A in the paper's Lemma 2 (because A is used for the subalgebra), M is used to represent m in the paper, E is used to represent ε, and v_i is used to represent V(t_i). W is just a local definition, used to shorten statements. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem39.1	|- F/ h ph
stoweidlem39.2	|- F/ t ph
stoweidlem39.3	|- F/ w ph
stoweidlem39.4	|- U = ( T \ B )
stoweidlem39.5	|- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
stoweidlem39.6	|- W = { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
stoweidlem39.7	|- ( ph -> r e. ( ~P W i^i Fin ) )
stoweidlem39.8	|- ( ph -> D C_ U. r )
stoweidlem39.9	|- ( ph -> D =/= (/) )
stoweidlem39.10	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem39.11	|- ( ph -> B C_ T )
stoweidlem39.12	|- ( ph -> W e. _V )
stoweidlem39.13	|- ( ph -> A e. _V )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem39	|- ( ph -> E. m e. NN E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   e, h, m, t, w   A, e, h, t, w   e, E, h, t, w   T, e, h, w   U, e, h, w   h, i, r, v, x, m, t, w   A, i, x   i, E, x   T, i, x   U, i, x   ph, i, m, v   w, Y, x   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, w, t, e, h, r)   A( v, m, r)   B( w, v, t, e, h, i, m, r)   D( x, w, v, t, e, h, i, m, r)   T( v, t, m, r)   U( v, t, m, r)   E( v, m, r)   J( x, w, v, t, e, h, i, m, r)   W( x, w, v, t, e, h, i, m, r)   Y( v, t, e, h, i, m, r)

Proof of Theorem stoweidlem39

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem39.8	. . . . . . 7 |- ( ph -> D C_ U. r )
2		stoweidlem39.9	. . . . . . 7 |- ( ph -> D =/= (/) )
3	1, 2	jca 519	. . . . . 6 |- ( ph -> ( D C_ U. r /\ D =/= (/) ) )
4		ssn0 3620	. . . . . 6 |- ( ( D C_ U. r /\ D =/= (/) ) -> U. r =/= (/) )
5		unieq 3984	. . . . . . . 8 |- ( r = (/) -> U. r = U. (/) )
6		uni0 4002	. . . . . . . 8 |- U. (/) = (/)
7	5, 6	syl6eq 2452	. . . . . . 7 |- ( r = (/) -> U. r = (/) )
8	7	necon3i 2606	. . . . . 6 |- ( U. r =/= (/) -> r =/= (/) )
9	3, 4, 8	3syl 19	. . . . 5 |- ( ph -> r =/= (/) )
10	9	neneqd 2583	. . . 4 |- ( ph -> -. r = (/) )
11		stoweidlem39.7	. . . . . 6 |- ( ph -> r e. ( ~P W i^i Fin ) )
12		elin 3490	. . . . . . 7 |- ( r e. ( ~P W i^i Fin ) <-> ( r e. ~P W /\ r e. Fin ) )
13	12	simprbi 451	. . . . . 6 |- ( r e. ( ~P W i^i Fin ) -> r e. Fin )
14	11, 13	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> r e. Fin )
15		fz1f1o 12459	. . . . 5 |- ( r e. Fin -> ( r = (/) \/ ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
16		pm2.53 363	. . . . 5 |- ( ( r = (/) \/ ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) ) -> ( -. r = (/) -> ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
17	14, 15, 16	3syl 19	. . . 4 |- ( ph -> ( -. r = (/) -> ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
18	10, 17	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) )
19		oveq2 6048	. . . . . 6 |- ( m = ( # ` r ) -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... ( # ` r ) ) )
20		f1oeq2 5625	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... m ) = ( 1 ... ( # ` r ) ) -> ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r <-> v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) )
21	19, 20	syl 16	. . . . 5 |- ( m = ( # ` r ) -> ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r <-> v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) )
22	21	exbidv 1633	. . . 4 |- ( m = ( # ` r ) -> ( E. v v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r <-> E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) )
23	22	rspcev 3012	. . 3 |- ( ( ( # ` r ) e. NN /\ E. v v : ( 1 ... ( # ` r ) ) -1-1-onto-> r ) -> E. m e. NN E. v v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
24	18, 23	syl 16	. 2 |- ( ph -> E. m e. NN E. v v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
25		f1of 5633	. . . . . . . 8 |- ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> v : ( 1 ... m ) --> r )
26	25	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> v : ( 1 ... m ) --> r )
27		simpll 731	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> ph )
28	12	simplbi 447	. . . . . . . . 9 |- ( r e. ( ~P W i^i Fin ) -> r e. ~P W )
29	28	elpwid 3768	. . . . . . . 8 |- ( r e. ( ~P W i^i Fin ) -> r C_ W )
30	27, 11, 29	3syl 19	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> r C_ W )
31		fss 5558	. . . . . . 7 |- ( ( v : ( 1 ... m ) --> r /\ r C_ W ) -> v : ( 1 ... m ) --> W )
32	26, 30, 31	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> v : ( 1 ... m ) --> W )
33	1	ad2antrr 707	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> D C_ U. r )
34		dff1o2 5638	. . . . . . . . . 10 |- ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r <-> ( v Fn ( 1 ... m ) /\ Fun `' v /\ ran v = r ) )
35	34	simp3bi 974	. . . . . . . . 9 |- ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> ran v = r )
36	35	unieqd 3986	. . . . . . . 8 |- ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> U. ran v = U. r )
37	36	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> U. ran v = U. r )
38	33, 37	sseqtr4d 3345	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> D C_ U. ran v )
39		stoweidlem39.1	. . . . . . . . 9 |- F/ h ph
40		nfv 1626	. . . . . . . . 9 |- F/ h m e. NN
41	39, 40	nfan 1842	. . . . . . . 8 |- F/ h ( ph /\ m e. NN )
42		nfv 1626	. . . . . . . 8 |- F/ h v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
43	41, 42	nfan 1842	. . . . . . 7 |- F/ h ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
44		stoweidlem39.2	. . . . . . . . 9 |- F/ t ph
45		nfv 1626	. . . . . . . . 9 |- F/ t m e. NN
46	44, 45	nfan 1842	. . . . . . . 8 |- F/ t ( ph /\ m e. NN )
47		nfv 1626	. . . . . . . 8 |- F/ t v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
48	46, 47	nfan 1842	. . . . . . 7 |- F/ t ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
49		stoweidlem39.3	. . . . . . . . 9 |- F/ w ph
50		nfv 1626	. . . . . . . . 9 |- F/ w m e. NN
51	49, 50	nfan 1842	. . . . . . . 8 |- F/ w ( ph /\ m e. NN )
52		nfv 1626	. . . . . . . 8 |- F/ w v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
53	51, 52	nfan 1842	. . . . . . 7 |- F/ w ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
54		stoweidlem39.5	. . . . . . 7 |- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
55		stoweidlem39.6	. . . . . . 7 |- W = { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
56		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } ) = ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } )
57		simplr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> m e. NN )
58		simpr 448	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
59		stoweidlem39.10	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. RR+ )
60	59	ad2antrr 707	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> E e. RR+ )
61		stoweidlem39.11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B C_ T )
62	61	sselda 3308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b e. T )
63		notnot1 116	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. B -> -. -. b e. B )
64	63	intnand 883	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. B -> -. ( b e. T /\ -. b e. B ) )
65	64	adantl 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> -. ( b e. T /\ -. b e. B ) )
66		eldif 3290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ( T \ B ) <-> ( b e. T /\ -. b e. B ) )
67	65, 66	sylnibr 297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> -. b e. ( T \ B ) )
68		stoweidlem39.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- U = ( T \ B )
69	68	eleq2i 2468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. U <-> b e. ( T \ B ) )
70	67, 69	sylnibr 297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> -. b e. U )
71	62, 70	eldifd 3291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b e. ( T \ U ) )
72	71	ralrimiva 2749	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. b e. B b e. ( T \ U ) )
73		dfss3 3298	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ ( T \ U ) <-> A. b e. B b e. ( T \ U ) )
74	72, 73	sylibr 204	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B C_ ( T \ U ) )
75	74	ad2antrr 707	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> B C_ ( T \ U ) )
76		stoweidlem39.12	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. _V )
77	76	ad2antrr 707	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> W e. _V )
78		stoweidlem39.13	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. _V )
79	78	ad2antrr 707	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> A e. _V )
80	14	ad2antrr 707	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> r e. Fin )
81		mptfi 7364	. . . . . . . 8 |- ( r e. Fin -> ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } ) e. Fin )
82		rnfi 7350	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } ) e. Fin -> ran ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } ) e. Fin )
83	80, 81, 82	3syl 19	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> ran ( w e. r |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / m ) ) < ( h ` t ) ) } ) e. Fin )
84	43, 48, 53, 54, 55, 56, 30, 57, 58, 60, 75, 77, 79, 83	stoweidlem31 27647	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) )
85	32, 38, 84	3jca 1134	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r ) -> ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) )
86	85	ex 424	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) ) )
87	86	eximdv 1629	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( E. v v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) ) )
88	87	reximdva 2778	. 2 |- ( ph -> ( E. m e. NN E. v v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r -> E. m e. NN E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) ) )
89	24, 88	mpd 15	1 |- ( ph -> E. m e. NN E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W /\ D C_ U. ran v /\ E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   /\ w3a 936   E.wex 1547   F/wnf 1550   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   i^i cin 3279   C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   ran crn 4838   Fun wfun 5407   Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   0cc0 8946   1c1 8947   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   RR+crp 10568   ...cfz 10999   #chash 11573

This theorem is referenced by:  stoweidlem57  27673

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-hash 11574