Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem39 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stoweidlem39 38012
 Description: This lemma is used to prove that there exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91: assuming that is a finite subset of , indexes a finite set of functions in the subalgebra (of the Stone Weierstrass theorem), such that for all i ranging in the finite indexing set, 0 ≤ xi ≤ 1, xi < ε / m on V(ti), and xi > 1 - ε / m on . Here is used to represent A in the paper's Lemma 2 (because is used for the subalgebra), is used to represent m in the paper, is used to represent ε, and vi is used to represent V(ti). is just a local definition, used to shorten statements. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem39.1
stoweidlem39.2
stoweidlem39.3
stoweidlem39.4
stoweidlem39.5
stoweidlem39.6
stoweidlem39.7
stoweidlem39.8
stoweidlem39.9
stoweidlem39.10
stoweidlem39.11
stoweidlem39.12
stoweidlem39.13
Assertion
Ref Expression
stoweidlem39
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,,,   ,,,,,,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,,,)   (,,)   (,,,,,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,,,)

Proof of Theorem stoweidlem39
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem39.8 . . . . . . 7
2 stoweidlem39.9 . . . . . . 7
31, 2jca 541 . . . . . 6
4 ssn0 3770 . . . . . 6
5 unieq 4198 . . . . . . . 8
6 uni0 4217 . . . . . . . 8
75, 6syl6eq 2521 . . . . . . 7
87necon3i 2675 . . . . . 6
93, 4, 83syl 18 . . . . 5
109neneqd 2648 . . . 4
11 stoweidlem39.7 . . . . . 6
12 elinel2 3611 . . . . . 6
1311, 12syl 17 . . . . 5
14 fz1f1o 13853 . . . . 5
15 pm2.53 380 . . . . 5
1613, 14, 153syl 18 . . . 4
1710, 16mpd 15 . . 3
18 oveq2 6316 . . . . . 6
19 f1oeq2 5819 . . . . . 6
2018, 19syl 17 . . . . 5
2120exbidv 1776 . . . 4
2221rspcev 3136 . . 3
2317, 22syl 17 . 2
24 f1of 5828 . . . . . . . 8
2524adantl 473 . . . . . . 7
26 simpll 768 . . . . . . . 8
27 elinel1 3610 . . . . . . . . 9
2827elpwid 3952 . . . . . . . 8
2926, 11, 283syl 18 . . . . . . 7
3025, 29fssd 5750 . . . . . 6
311ad2antrr 740 . . . . . . 7
32 dff1o2 5833 . . . . . . . . . 10
3332simp3bi 1047 . . . . . . . . 9
3433unieqd 4200 . . . . . . . 8
3534adantl 473 . . . . . . 7
3631, 35sseqtr4d 3455 . . . . . 6
37 stoweidlem39.1 . . . . . . . . 9
38 nfv 1769 . . . . . . . . 9
3937, 38nfan 2031 . . . . . . . 8
40 nfv 1769 . . . . . . . 8
4139, 40nfan 2031 . . . . . . 7
42 stoweidlem39.2 . . . . . . . . 9
43 nfv 1769 . . . . . . . . 9
4442, 43nfan 2031 . . . . . . . 8
45 nfv 1769 . . . . . . . 8
4644, 45nfan 2031 . . . . . . 7
47 stoweidlem39.3 . . . . . . . . 9
48 nfv 1769 . . . . . . . . 9
4947, 48nfan 2031 . . . . . . . 8
50 nfv 1769 . . . . . . . 8
5149, 50nfan 2031 . . . . . . 7
52 stoweidlem39.5 . . . . . . 7
53 stoweidlem39.6 . . . . . . 7
54 eqid 2471 . . . . . . 7
55 simplr 770 . . . . . . 7
56 simpr 468 . . . . . . 7
57 stoweidlem39.10 . . . . . . . 8
5857ad2antrr 740 . . . . . . 7
59 stoweidlem39.11 . . . . . . . . . . . 12
6059sselda 3418 . . . . . . . . . . 11
61 notnot1 126 . . . . . . . . . . . . . . 15
6261intnand 930 . . . . . . . . . . . . . 14
6362adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
64 eldif 3400 . . . . . . . . . . . . 13
6563, 64sylnibr 312 . . . . . . . . . . . 12
66 stoweidlem39.4 . . . . . . . . . . . . 13
6766eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . 12
6865, 67sylnibr 312 . . . . . . . . . . 11
6960, 68eldifd 3401 . . . . . . . . . 10
7069ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9
71 dfss3 3408 . . . . . . . . 9
7270, 71sylibr 217 . . . . . . . 8
7372ad2antrr 740 . . . . . . 7
74 stoweidlem39.12 . . . . . . . 8
7574ad2antrr 740 . . . . . . 7
76 stoweidlem39.13 . . . . . . . 8
7776ad2antrr 740 . . . . . . 7
7813ad2antrr 740 . . . . . . . 8
79 mptfi 7891 . . . . . . . 8
80 rnfi 7875 . . . . . . . 8
8178, 79, 803syl 18 . . . . . . 7
8241, 46, 51, 52, 53, 54, 29, 55, 56, 58, 73, 75, 77, 81stoweidlem31 38004 . . . . . 6
8330, 36, 823jca 1210 . . . . 5
8483ex 441 . . . 4
8584eximdv 1772 . . 3
8685reximdva 2858 . 2
8723, 86mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wex 1671  wnf 1675   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031   cdif 3387   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cpw 3942  cuni 4190   class class class wbr 4395   cmpt 4454  ccnv 4838   crn 4840   wfun 5583   wfn 5584  wf 5585  wf1o 5588  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  cc0 9557  c1 9558   clt 9693   cle 9694   cmin 9880   cdiv 10291  cn 10631  crp 11325  cfz 11810  chash 12553 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-hash 12554 This theorem is referenced by:  stoweidlem57  38030
 Copyright terms: Public domain W3C validator