Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem36 Unicode version

Theorem stoweidlem36 27887
 Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that pt ( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt . G is used for (ht)^2 and the final h is a normalized version of G ( divided by its norm, see the variable N ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem36.1
stoweidlem36.2
stoweidlem36.3
stoweidlem36.4
stoweidlem36.5
stoweidlem36.6
stoweidlem36.7
stoweidlem36.8
stoweidlem36.9
stoweidlem36.10
stoweidlem36.11
stoweidlem36.12
stoweidlem36.13
stoweidlem36.14
stoweidlem36.15
stoweidlem36.16
stoweidlem36.17
stoweidlem36.18
stoweidlem36.19
stoweidlem36.20
Assertion
Ref Expression
stoweidlem36
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,,,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,,)   (,,,,)   (,,,,)   (,)   (,,)

Proof of Theorem stoweidlem36
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem36.11 . . . . . . . 8
2 stoweidlem36.5 . . . . . . . . 9
3 stoweidlem36.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 stoweidlem36.8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6 stoweidlem36.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7 stoweidlem36.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9 stoweidlem36.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
108, 9, 93jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
11 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
12 stoweidlem36.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1311, 12nfeq 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1514, 12nfeq 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
16 stoweidlem36.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1713, 15, 16stoweidlem6 27857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1810, 17syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
197, 18syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
206, 19jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
21 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2220, 21syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
233, 4, 5, 22fcnre 27798 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2423adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
25 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15
2624, 25jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
27 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
29 recn 8843 . . . . . . . . . . . . 13
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . 12
31 stoweidlem36.10 . . . . . . . . . . . . . . 15
32 stoweidlem36.12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
33 stoweidlem36.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34 ne0i 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
364, 3, 32, 22, 35cncmpmax 27805 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3736simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . . 15
3831, 37syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . . . 14
39 recn 8843 . . . . . . . . . . . . . 14
4038, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
4140adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
426, 9jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
43 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4442, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
453, 4, 5, 44fcnre 27798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4645, 33jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
47 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4846, 47syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
49 stoweidlem36.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
50 stoweidlem36.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
51 neeq2 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5250, 51syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5349, 52mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5448, 53jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
55 msqgt0 9310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5748, 48jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
58 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5957, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6033, 59jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6212, 61nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
63 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6462, 63, 62nfov 5897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
65 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6665oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6765oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6866, 67eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6961, 64, 68, 7fvmptf 5632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7060, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7156, 70breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7236simp3d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7372, 33jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
74 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7574breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7675rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7773, 76syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7871, 77jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16
79 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8079a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8123, 33jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
82 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8381, 82syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8480, 83, 373jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
85 ltletr 8929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8684, 85syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8778, 86mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15
8887gt0ne0d 9353 . . . . . . . . . . . . . 14
8931neeq1i 2469 . . . . . . . . . . . . . 14
9088, 89sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13
9190adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
9230, 41, 913jca 1132 . . . . . . . . . . 11
93 divrec 9456 . . . . . . . . . . 11
9492, 93syl 15 . . . . . . . . . 10
95 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9695a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9796, 38, 903jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15
98 redivcl 9495 . . . . . . . . . . . . . . 15
9997, 98syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
10099adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
10125, 100jca 518 . . . . . . . . . . . 12
102 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13
103102fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . 12
104101, 103syl 15 . . . . . . . . . . 11
105104oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10
10694, 105eqtr4d 2331 . . . . . . . . 9
1072, 106mpteq2da 4121 . . . . . . . 8
1081, 107syl5eq 2340 . . . . . . 7
1098, 99jca 518 . . . . . . . . . 10
110 stoweidlem36.15 . . . . . . . . . . 11
111110stoweidlem4 27855 . . . . . . . . . 10
112109, 111syl 15 . . . . . . . . 9
1138, 19, 1123jca 1132 . . . . . . . 8
114 stoweidlem36.4 . . . . . . . . . 10
11511, 114nfeq 2439 . . . . . . . . 9
116 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . 10
11714, 116nfeq 2439 . . . . . . . . 9
118115, 117, 16stoweidlem6 27857 . . . . . . . 8
119113, 118syl 15 . . . . . . 7
120108, 119eqeltrd 2370 . . . . . 6
121 stoweidlem36.17 . . . . . . . . . . 11
12223, 121jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
123 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14
124122, 123syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
125124, 38, 903jca 1132 . . . . . . . . . . . 12
126 redivcl 9495 . . . . . . . . . . . 12
127125, 126syl 15 . . . . . . . . . . 11
128121, 127jca 518 . . . . . . . . . 10
129 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11
130114, 129nffv 5548 . . . . . . . . . . . 12
131 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12
132 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12
133130, 131, 132nfov 5897 . . . . . . . . . . 11
134 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12
135134oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11
136129, 133, 135, 1fvmptf 5632 . . . . . . . . . 10
137128, 136syl 15 . . . . . . . . 9
13850, 79syl6eqel 2384 . . . . . . . . . . . . . . 15
139138, 138jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
140 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . . 14
141139, 140syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
142121, 141jca 518 . . . . . . . . . . . 12
14312, 129nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . 14
144143, 63, 143nfov 5897 . . . . . . . . . . . . 13
145 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14
146145, 145oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13
147129, 144, 146, 7fvmptf 5632 . . . . . . . . . . . 12
148142, 147syl 15 . . . . . . . . . . 11
149 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . 14
150 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14
151149, 150eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13
15250, 151syl 15 . . . . . . . . . . . 12
153 0cn 8847 . . . . . . . . . . . . 13
154153mul02i 9017 . . . . . . . . . . . 12
155152, 154syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11
156148, 155eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10
157156oveq1d 5889 . . . . . . . . 9
158137, 157eqtrd 2328 . . . . . . . 8
15940, 90jca 518 . . . . . . . . 9
160 div0 9468 . . . . . . . . 9
161159, 160syl 15 . . . . . . . 8
162158, 161eqtrd 2328 . . . . . . 7
16345adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
164163, 25jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
165 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
166164, 165syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
167 msqge0 9311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
168166, 167syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
169166, 166jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
170 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
171169, 170syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
17225, 171jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1737fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . 16
174172, 173syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
175168, 174breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . . 14
17628, 175jca 518 . . . . . . . . . . . . 13
17738adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
17887, 31syl6breqr 4079 . . . . . . . . . . . . . . 15
179178adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
180177, 179jca 518 . . . . . . . . . . . . 13
181176, 180jca 518 . . . . . . . . . . . 12
182 divge0 9641 . . . . . . . . . . . 12
183181, 182syl 15 . . . . . . . . . . 11
18428, 177, 913jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14
185 redivcl 9495 . . . . . . . . . . . . . 14
186184, 185syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
18725, 186jca 518 . . . . . . . . . . . 12
1881fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . 12
189187, 188syl 15 . . . . . . . . . . 11
190183, 189breqtrrd 4065 . . . . . . . . . 10
191 div1 9469 . . . . . . . . . . . . . 14
19230, 191syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
19372adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
194193, 25jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16
195 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
196195breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
197196rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . . . . 16
198194, 197syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
199198, 31syl6breqr 4079 . . . . . . . . . . . . . 14
200199idi 2 . . . . . . . . . . . . 13
201192, 200eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . 12
20295a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
203 0lt1 9312 . . . . . . . . . . . . . . . 16
204203a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
205202, 204jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
20628, 180, 2053jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13
207 lediv23 9664 . . . . . . . . . . . . 13
208206, 207syl 15 . . . . . . . . . . . 12
209201, 208mpbird 223 . . . . . . . . . . 11
210189, 209eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . 10
211190, 210jca 518 . . . . . . . . 9
212211ex 423 . . . . . . . 8
2132, 212ralrimi 2637 . . . . . . 7
214162, 213jca 518 . . . . . 6
215120, 214jca 518 . . . . 5
216 fveq1 5540 . . . . . . . 8
217216eqeq1d 2304 . . . . . . 7
218 nfcv 2432 . . . . . . . . 9
219 stoweidlem36.2 . . . . . . . . 9
220218, 219nfeq 2439 . . . . . . . 8
221 fveq1 5540 . . . . . . . . . 10
222221breq2d 4051 . . . . . . . . 9
223221breq1d 4049 . . . . . . . . 9
224222, 223anbi12d 691 . . . . . . . 8
225220, 224ralbid 2574 . . . . . . 7
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