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Theorem stoweidlem36 37891
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that pt ( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt . G is used for (ht)^2 and the final h is a normalized version of G ( divided by its norm, see the variable N ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem36.1  |-  F/_ h Q
stoweidlem36.2  |-  F/_ t H
stoweidlem36.3  |-  F/_ t F
stoweidlem36.4  |-  F/_ t G
stoweidlem36.5  |-  F/ t
ph
stoweidlem36.6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem36.7  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem36.8  |-  T  = 
U. J
stoweidlem36.9  |-  G  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
) )
stoweidlem36.10  |-  N  =  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
stoweidlem36.11  |-  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  /  N
) )
stoweidlem36.12  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem36.13  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem36.14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem36.15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem36.16  |-  ( ph  ->  S  e.  T )
stoweidlem36.17  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
stoweidlem36.18  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
stoweidlem36.19  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  =/=  ( F `
 Z ) )
stoweidlem36.20  |-  ( ph  ->  ( F `  Z
)  =  0 )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem36  |-  ( ph  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
t, T    A, f,
g    f, F, g    f, G, g    ph, f, g   
g, N, t    t, h, S    A, h    h, H    T, h    h, Z, t    x, t, N   
x, A    x, T    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t, h)    A( t)    Q( x, t, f, g, h)    S( x, f, g)    F( x, t, h)    G( x, t, h)    H( x, t, f, g)    J( x, t, f, g, h)    K( x, t, f, g, h)    N( f, h)    Z( x, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem36
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem36.11 . . . . . 6  |-  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  /  N
) )
2 stoweidlem36.5 . . . . . . 7  |-  F/ t
ph
3 stoweidlem36.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
4 stoweidlem36.8 . . . . . . . . . . . 12  |-  T  = 
U. J
5 eqid 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
6 stoweidlem36.13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
7 stoweidlem36.9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
) )
8 stoweidlem36.18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
9 stoweidlem36.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ t F
109nfeq2 2606 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ t  f  =  F
119nfeq2 2606 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ t  g  =  F
12 stoweidlem36.14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
1310, 11, 12stoweidlem6 37860 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t ) ) )  e.  A )
148, 8, 13mpd3an23 1365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
) )  e.  A
)
157, 14syl5eqel 2532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e.  A )
166, 15sseldd 3432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
173, 4, 5, 16fcnre 37340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : T --> RR )
1817fnvinran 37329 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  e.  RR )
1918recnd 9666 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  e.  CC )
20 stoweidlem36.10 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
21 stoweidlem36.12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
22 stoweidlem36.16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  e.  T )
23 ne0i 3736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  T  ->  T  =/=  (/) )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
254, 3, 21, 16, 24cncmpmax 37347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
G ,  RR ,  <  )  e.  ran  G  /\  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) ) )
2625simp2d 1020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2720, 26syl5eqel 2532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
2827recnd 9666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
2928adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  N  e.  CC )
30 0red 9641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
3117, 22ffvelrnd 6021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  e.  RR )
326, 8sseldd 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
333, 4, 5, 32fcnre 37340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
3433, 22ffvelrnd 6021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  e.  RR )
35 stoweidlem36.19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  =/=  ( F `
 Z ) )
36 stoweidlem36.20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  Z
)  =  0 )
3735, 36neeqtrd 2692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  =/=  0 )
3834, 37msqgt0d 10178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S ) ) )
3934, 34remulcld 9668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S )
)  e.  RR )
40 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ t S
419, 40nffv 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ t
( F `  S
)
42 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ t  x.
4341, 42, 41nfov 6314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ t
( ( F `  S )  x.  ( F `  S )
)
44 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  S  ->  ( F `  t )  =  ( F `  S ) )
4544, 44oveq12d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  S  ->  (
( F `  t
)  x.  ( F `
 t ) )  =  ( ( F `
 S )  x.  ( F `  S
) ) )
4640, 43, 45, 7fvmptf 5964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  T  /\  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S )
)  e.  RR )  ->  ( G `  S )  =  ( ( F `  S
)  x.  ( F `
 S ) ) )
4722, 39, 46syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S ) ) )
4838, 47breqtrrd 4428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  ( G `
 S ) )
4925simp3d 1021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
)
50 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  S  ->  ( G `  s )  =  ( G `  S ) )
5150breq1d 4411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  S  ->  (
( G `  s
)  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  <->  ( G `  S )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) ) )
5251rspccva 3148 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  /\  S  e.  T
)  ->  ( G `  S )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
5349, 22, 52syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
5430, 31, 26, 48, 53ltletrd 9792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
5554gt0ne0d 10175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  =/=  0 )
5620neeq1i 2687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =/=  0  <->  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  =/=  0 )
5755, 56sylibr 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
5857adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  N  =/=  0 )
5919, 29, 58divrecd 10383 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  =  ( ( G `
 t )  x.  ( 1  /  N
) ) )
60 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
6127, 57rereccld 10431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  N
)  e.  RR )
6261adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  /  N )  e.  RR )
63 eqid 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )
6463fvmpt2 5955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR )  ->  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `
 t )  =  ( 1  /  N
) )
6560, 62, 64syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |->  ( 1  /  N
) ) `  t
)  =  ( 1  /  N ) )
6665oveq2d 6304 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `  t ) )  =  ( ( G `  t )  x.  ( 1  /  N ) ) )
6759, 66eqtr4d 2487 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  =  ( ( G `
 t )  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `  t ) ) )
682, 67mpteq2da 4487 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  /  N
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t
)  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `  t ) ) ) )
691, 68syl5eq 2496 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `
 t ) ) ) )
70 stoweidlem36.15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
7170stoweidlem4 37858 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( 1  /  N )  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )  e.  A )
7261, 71mpdan 673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N
) )  e.  A
)
73 stoweidlem36.4 . . . . . . . 8  |-  F/_ t G
7473nfeq2 2606 . . . . . . 7  |-  F/ t  f  =  G
75 nfmpt1 4491 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( 1  /  N
) )
7675nfeq2 2606 . . . . . . 7  |-  F/ t  g  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )
7774, 76, 12stoweidlem6 37860 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  G  e.  A  /\  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( G `  t
)  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `  t ) ) )  e.  A
)
7815, 72, 77mpd3an23 1365 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  x.  (
( t  e.  T  |->  ( 1  /  N
) ) `  t
) ) )  e.  A )
7969, 78eqeltrd 2528 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  A )
80 stoweidlem36.17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
8117, 80ffvelrnd 6021 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  Z
)  e.  RR )
8281, 27, 57redivcld 10432 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G `  Z )  /  N
)  e.  RR )
83 nfcv 2591 . . . . . . . 8  |-  F/_ t Z
8473, 83nffv 5870 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( G `  Z
)
85 nfcv 2591 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t  /
86 nfcv 2591 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t N
8784, 85, 86nfov 6314 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( ( G `  Z )  /  N
)
88 fveq2 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  Z  ->  ( G `  t )  =  ( G `  Z ) )
8988oveq1d 6303 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  Z  ->  (
( G `  t
)  /  N )  =  ( ( G `
 Z )  /  N ) )
9083, 87, 89, 1fvmptf 5964 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  T  /\  ( ( G `  Z )  /  N
)  e.  RR )  ->  ( H `  Z )  =  ( ( G `  Z
)  /  N ) )
9180, 82, 90syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H `  Z
)  =  ( ( G `  Z )  /  N ) )
92 0re 9640 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
9336, 92syl6eqel 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  Z
)  e.  RR )
9493, 93remulcld 9668 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  e.  RR )
959, 83nffv 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
( F `  Z
)
9695, 42, 95nfov 6314 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)
97 fveq2 5863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  Z  ->  ( F `  t )  =  ( F `  Z ) )
9897, 97oveq12d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  Z  ->  (
( F `  t
)  x.  ( F `
 t ) )  =  ( ( F `
 Z )  x.  ( F `  Z
) ) )
9983, 96, 98, 7fvmptf 5964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  e.  T  /\  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  e.  RR )  ->  ( G `  Z )  =  ( ( F `  Z
)  x.  ( F `
 Z ) ) )
10080, 94, 99syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  Z
)  =  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z ) ) )
10136, 36oveq12d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  =  ( 0  x.  0 ) )
102 0cn 9632 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  CC
103102mul02i 9819 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  x.  0 )  =  0
104101, 103syl6eq 2500 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  =  0 )
105100, 104eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  Z
)  =  0 )
106105oveq1d 6303 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( G `  Z )  /  N
)  =  ( 0  /  N ) )
10728, 57div0d 10379 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  /  N
)  =  0 )
10891, 106, 1073eqtrd 2488 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H `  Z
)  =  0 )
10933fnvinran 37329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
110109msqge0d 10179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
) )
111109, 109remulcld 9668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  x.  ( F `
 t ) )  e.  RR )
1127fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
)  e.  RR )  ->  ( G `  t )  =  ( ( F `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )
11360, 111, 112syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  =  ( ( F `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )
114110, 113breqtrrd 4428 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( G `  t
) )
11527adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  N  e.  RR )
11654, 20syl6breqr 4442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  N )
117116adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <  N )
118 divge0 10471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( G `  t ) )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  0  <_  ( ( G `  t
)  /  N ) )
11918, 114, 115, 117, 118syl22anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( G `  t )  /  N
) )
12018, 115, 58redivcld 10432 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  e.  RR )
1211fvmpt2 5955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( G `  t )  /  N
)  e.  RR )  ->  ( H `  t )  =  ( ( G `  t
)  /  N ) )
12260, 120, 121syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( H `  t )  =  ( ( G `
 t )  /  N ) )
123119, 122breqtrrd 4428 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( H `  t
) )
12419div1d 10372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  1 )  =  ( G `  t ) )
125 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  t  ->  ( G `  s )  =  ( G `  t ) )
126125breq1d 4411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  t  ->  (
( G `  s
)  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  <->  ( G `  t )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) ) )
127126rspccva 3148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  /\  t  e.  T
)  ->  ( G `  t )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
12849, 127sylan 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
)
129128, 20syl6breqr 4442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  <_  N )
130124, 129eqbrtrd 4422 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  1 )  <_  N )
131 1red 9655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  RR )
132 0lt1 10133 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  1
133132a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <  1 )
134 lediv23 10495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G `  t
)  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )  -> 
( ( ( G `
 t )  /  N )  <_  1  <->  ( ( G `  t
)  /  1 )  <_  N ) )
13518, 115, 117, 131, 133, 134syl122anc 1276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( G `  t )  /  N
)  <_  1  <->  ( ( G `  t )  /  1 )  <_  N ) )
136130, 135mpbird 236 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  <_  1 )
137122, 136eqbrtrd 4422 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( H `  t )  <_  1 )
138123, 137jca 535 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t )  <_  1 ) )
139138ex 436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) ) )
1402, 139ralrimi 2787 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) )
141108, 140jca 535 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( H `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( H `  t
)  /\  ( H `  t )  <_  1
) ) )
142 fveq1 5862 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
h `  Z )  =  ( H `  Z ) )
143142eqeq1d 2452 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  (
( h `  Z
)  =  0  <->  ( H `  Z )  =  0 ) )
144 stoweidlem36.2 . . . . . . . 8  |-  F/_ t H
145144nfeq2 2606 . . . . . . 7  |-  F/ t  h  =  H
146 fveq1 5862 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  H  ->  (
h `  t )  =  ( H `  t ) )
147146breq2d 4413 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  H  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( H `  t ) ) )
148146breq1d 4411 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  H  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( H `  t )  <_  1
) )
149147, 148anbi12d 716 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) ) )
150145, 149ralbid 2821 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) ) )
151143, 150anbi12d 716 . . . . 5  |-  ( h  =  H  ->  (
( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
) )  <->  ( ( H `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t )  <_  1 ) ) ) )
152151elrab 3195 . . . 4  |-  ( H  e.  { h  e.  A  |  ( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }  <-> 
( H  e.  A  /\  ( ( H `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( H `  t
)  /\  ( H `  t )  <_  1
) ) ) )
15379, 141, 152sylanbrc 669 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  { h  e.  A  |  (
( h `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) ) } )
154 stoweidlem36.7 . . 3  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
155153, 154syl6eleqr 2539 . 2  |-  ( ph  ->  H  e.  Q )
15631, 27, 48, 116divgt0d 10539 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( G `  S )  /  N ) )
15731, 27, 57redivcld 10432 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G `  S )  /  N
)  e.  RR )
15873, 40nffv 5870 . . . . . 6  |-  F/_ t
( G `  S
)
159158, 85, 86nfov 6314 . . . . 5  |-  F/_ t
( ( G `  S )  /  N
)
160 fveq2 5863 . . . . . 6  |-  ( t  =  S  ->  ( G `  t )  =  ( G `  S ) )
161160oveq1d 6303 . . . . 5  |-  ( t  =  S  ->  (
( G `  t
)  /  N )  =  ( ( G `
 S )  /  N ) )
16240, 159, 161, 1fvmptf 5964 . . . 4  |-  ( ( S  e.  T  /\  ( ( G `  S )  /  N
)  e.  RR )  ->  ( H `  S )  =  ( ( G `  S
)  /  N ) )
16322, 157, 162syl2anc 666 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  S
)  =  ( ( G `  S )  /  N ) )
164156, 163breqtrrd 4428 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  ( H `
 S ) )
165 nfcv 2591 . . . 4  |-  F/_ h H
166 stoweidlem36.1 . . . . . 6  |-  F/_ h Q
167166nfel2 2607 . . . . 5  |-  F/ h  H  e.  Q
168 nfv 1760 . . . . 5  |-  F/ h
0  <  ( H `  S )
169167, 168nfan 2010 . . . 4  |-  F/ h
( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `
 S ) )
170 eleq1 2516 . . . . 5  |-  ( h  =  H  ->  (
h  e.  Q  <->  H  e.  Q ) )
171 fveq1 5862 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  (
h `  S )  =  ( H `  S ) )
172171breq2d 4413 . . . . 5  |-  ( h  =  H  ->  (
0  <  ( h `  S )  <->  0  <  ( H `  S ) ) )
173170, 172anbi12d 716 . . . 4  |-  ( h  =  H  ->  (
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 S ) )  <-> 
( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `
 S ) ) ) )
174165, 169, 173spcegf 3129 . . 3  |-  ( H  e.  Q  ->  (
( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `
 S ) )  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) ) )
175174anabsi5 825 . 2  |-  ( ( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `  S ) )  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  < 
( h `  S
) ) )
176155, 164, 175syl2anc 666 1  |-  ( ph  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443   E.wex 1662   F/wnf 1666    e. wcel 1886   F/_wnfc 2578    =/= wne 2621   A.wral 2736   {crab 2740    C_ wss 3403   (/)c0 3730   U.cuni 4197   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   ran crn 4834   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   supcsup 7951   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    x. cmul 9541    < clt 9672    <_ cle 9673    / cdiv 10266   (,)cioo 11632   topGenctg 15329    Cn ccn 20233   Compccmp 20394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-cmp 20395  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330
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