Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem36 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stoweidlem36 37891
 Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that pt ( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt . G is used for (ht)^2 and the final h is a normalized version of G ( divided by its norm, see the variable N ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem36.1
stoweidlem36.2
stoweidlem36.3
stoweidlem36.4
stoweidlem36.5
stoweidlem36.6
stoweidlem36.7
stoweidlem36.8
stoweidlem36.9
stoweidlem36.10
stoweidlem36.11
stoweidlem36.12
stoweidlem36.13
stoweidlem36.14
stoweidlem36.15
stoweidlem36.16
stoweidlem36.17
stoweidlem36.18
stoweidlem36.19
stoweidlem36.20
Assertion
Ref Expression
stoweidlem36
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,,,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,,)   (,,,,)   (,,,,)   (,)   (,,)

Proof of Theorem stoweidlem36
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem36.11 . . . . . 6
2 stoweidlem36.5 . . . . . . 7
3 stoweidlem36.6 . . . . . . . . . . . 12
4 stoweidlem36.8 . . . . . . . . . . . 12
5 eqid 2450 . . . . . . . . . . . 12
6 stoweidlem36.13 . . . . . . . . . . . . 13
7 stoweidlem36.9 . . . . . . . . . . . . . 14
8 stoweidlem36.18 . . . . . . . . . . . . . . 15
9 stoweidlem36.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109nfeq2 2606 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119nfeq2 2606 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12 stoweidlem36.14 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1310, 11, 12stoweidlem6 37860 . . . . . . . . . . . . . . 15
148, 8, 13mpd3an23 1365 . . . . . . . . . . . . . 14
157, 14syl5eqel 2532 . . . . . . . . . . . . 13
166, 15sseldd 3432 . . . . . . . . . . . 12
173, 4, 5, 16fcnre 37340 . . . . . . . . . . 11
1817fnvinran 37329 . . . . . . . . . 10
1918recnd 9666 . . . . . . . . 9
20 stoweidlem36.10 . . . . . . . . . . . 12
21 stoweidlem36.12 . . . . . . . . . . . . . 14
22 stoweidlem36.16 . . . . . . . . . . . . . . 15
23 ne0i 3736 . . . . . . . . . . . . . . 15
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
254, 3, 21, 16, 24cncmpmax 37347 . . . . . . . . . . . . 13
2625simp2d 1020 . . . . . . . . . . . 12
2720, 26syl5eqel 2532 . . . . . . . . . . 11
2827recnd 9666 . . . . . . . . . 10
2928adantr 467 . . . . . . . . 9
30 0red 9641 . . . . . . . . . . . . 13
3117, 22ffvelrnd 6021 . . . . . . . . . . . . 13
326, 8sseldd 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
333, 4, 5, 32fcnre 37340 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3433, 22ffvelrnd 6021 . . . . . . . . . . . . . . 15
35 stoweidlem36.19 . . . . . . . . . . . . . . . 16
36 stoweidlem36.20 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3735, 36neeqtrd 2692 . . . . . . . . . . . . . . 15
3834, 37msqgt0d 10178 . . . . . . . . . . . . . 14
3934, 34remulcld 9668 . . . . . . . . . . . . . . 15
40 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . . . 16
419, 40nffv 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
42 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4341, 42, 41nfov 6314 . . . . . . . . . . . . . . . 16
44 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4544, 44oveq12d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4640, 43, 45, 7fvmptf 5964 . . . . . . . . . . . . . . 15
4722, 39, 46syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14
4838, 47breqtrrd 4428 . . . . . . . . . . . . 13
4925simp3d 1021 . . . . . . . . . . . . . 14
50 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5150breq1d 4411 . . . . . . . . . . . . . . 15
5251rspccva 3148 . . . . . . . . . . . . . 14
5349, 22, 52syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13
5430, 31, 26, 48, 53ltletrd 9792 . . . . . . . . . . . 12
5554gt0ne0d 10175 . . . . . . . . . . 11
5620neeq1i 2687 . . . . . . . . . . 11
5755, 56sylibr 216 . . . . . . . . . 10
5857adantr 467 . . . . . . . . 9
5919, 29, 58divrecd 10383 . . . . . . . 8
60 simpr 463 . . . . . . . . . 10
6127, 57rereccld 10431 . . . . . . . . . . 11
6261adantr 467 . . . . . . . . . 10
63 eqid 2450 . . . . . . . . . . 11
6463fvmpt2 5955 . . . . . . . . . 10
6560, 62, 64syl2anc 666 . . . . . . . . 9
6665oveq2d 6304 . . . . . . . 8
6759, 66eqtr4d 2487 . . . . . . 7
682, 67mpteq2da 4487 . . . . . 6
691, 68syl5eq 2496 . . . . 5
70 stoweidlem36.15 . . . . . . . 8
7170stoweidlem4 37858 . . . . . . 7
7261, 71mpdan 673 . . . . . 6
73 stoweidlem36.4 . . . . . . . 8
7473nfeq2 2606 . . . . . . 7
75 nfmpt1 4491 . . . . . . . 8
7675nfeq2 2606 . . . . . . 7
7774, 76, 12stoweidlem6 37860 . . . . . 6
7815, 72, 77mpd3an23 1365 . . . . 5
7969, 78eqeltrd 2528 . . . 4
80 stoweidlem36.17 . . . . . . 7
8117, 80ffvelrnd 6021 . . . . . . . 8
8281, 27, 57redivcld 10432 . . . . . . 7
83 nfcv 2591 . . . . . . . 8
8473, 83nffv 5870 . . . . . . . . 9
85 nfcv 2591 . . . . . . . . 9
86 nfcv 2591 . . . . . . . . 9
8784, 85, 86nfov 6314 . . . . . . . 8
88 fveq2 5863 . . . . . . . . 9
8988oveq1d 6303 . . . . . . . 8
9083, 87, 89, 1fvmptf 5964 . . . . . . 7
9180, 82, 90syl2anc 666 . . . . . 6
92 0re 9640 . . . . . . . . . . 11
9336, 92syl6eqel 2536 . . . . . . . . . 10
9493, 93remulcld 9668 . . . . . . . . 9
959, 83nffv 5870 . . . . . . . . . . 11
9695, 42, 95nfov 6314 . . . . . . . . . 10
97 fveq2 5863 . . . . . . . . . . 11
9897, 97oveq12d 6306 . . . . . . . . . 10
9983, 96, 98, 7fvmptf 5964 . . . . . . . . 9
10080, 94, 99syl2anc 666 . . . . . . . 8
10136, 36oveq12d 6306 . . . . . . . . 9
102 0cn 9632 . . . . . . . . . 10
103102mul02i 9819 . . . . . . . . 9
104101, 103syl6eq 2500 . . . . . . . 8
105100, 104eqtrd 2484 . . . . . . 7
106105oveq1d 6303 . . . . . 6
10728, 57div0d 10379 . . . . . 6
10891, 106, 1073eqtrd 2488 . . . . 5
10933fnvinran 37329 . . . . . . . . . . . 12
110109msqge0d 10179 . . . . . . . . . . 11
111109, 109remulcld 9668 . . . . . . . . . . . 12
1127fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . . 12
11360, 111, 112syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11
114110, 113breqtrrd 4428 . . . . . . . . . 10
11527adantr 467 . . . . . . . . . 10
11654, 20syl6breqr 4442 . . . . . . . . . . 11
117116adantr 467 . . . . . . . . . 10
118 divge0 10471 . . . . . . . . . 10
11918, 114, 115, 117, 118syl22anc 1268 . . . . . . . . 9
12018, 115, 58redivcld 10432 . . . . . . . . . 10
1211fvmpt2 5955 . . . . . . . . . 10
12260, 120, 121syl2anc 666 . . . . . . . . 9
123119, 122breqtrrd 4428 . . . . . . . 8
12419div1d 10372 . . . . . . . . . . 11
125 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . 15
126125breq1d 4411 . . . . . . . . . . . . . 14
127126rspccva 3148 . . . . . . . . . . . . 13
12849, 127sylan 474 . . . . . . . . . . . 12
129128, 20syl6breqr 4442 . . . . . . . . . . 11
130124, 129eqbrtrd 4422 . . . . . . . . . 10
131 1red 9655 . . . . . . . . . . 11
132 0lt1 10133 . . . . . . . . . . . 12
133132a1i 11 . . . . . . . . . . 11
134 lediv23 10495 . . . . . . . . . . 11
13518, 115, 117, 131, 133, 134syl122anc 1276 . . . . . . . . . 10
136130, 135mpbird 236 . . . . . . . . 9
137122, 136eqbrtrd 4422 . . . . . . . 8
138123, 137jca 535 . . . . . . 7
139138ex 436 . . . . . 6
1402, 139ralrimi 2787 . . . . 5
141108, 140jca 535 . . . 4
142 fveq1 5862 . . . . . . 7
143142eqeq1d 2452 . . . . . 6
144 stoweidlem36.2 . . . . . . . 8
145144nfeq2 2606 . . . . . . 7
146 fveq1 5862 . . . . . . . . 9
147146breq2d 4413 . . . . . . . 8
148146breq1d 4411 . . . . . . . 8
149147, 148anbi12d 716 . . . . . . 7
150145, 149ralbid 2821 . . . . . 6
151143, 150anbi12d 716 . . . . 5
152151elrab 3195 . . . 4
15379, 141, 152sylanbrc 669 . . 3
154 stoweidlem36.7 . . 3
155153, 154syl6eleqr 2539 . 2
15631, 27, 48, 116divgt0d 10539 . . 3
15731, 27, 57redivcld 10432 . . . 4
15873, 40nffv 5870 . . . . . 6
159158, 85, 86nfov 6314 . . . . 5
160 fveq2 5863 . . . . . 6
161160oveq1d 6303 . . . . 5
16240, 159, 161, 1fvmptf 5964 . . . 4
16322, 157, 162syl2anc 666 . . 3
164156, 163breqtrrd 4428 . 2
165 nfcv 2591 . . . 4
166 stoweidlem36.1 . . . . . 6
167166nfel2 2607 . . . . 5
168 nfv 1760 . . . . 5
169167, 168nfan 2010 . . . 4
170 eleq1 2516 . . . . 5
171 fveq1 5862 . . . . . 6
172171breq2d 4413 . . . . 5
173170, 172anbi12d 716 . . . 4
174165, 169, 173spcegf 3129 . . 3
175174anabsi5 825 . 2
176155, 164, 175syl2anc 666 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 984   wceq 1443  wex 1662  wnf 1666   wcel 1886  wnfc 2578   wne 2621  wral 2736  crab 2740   wss 3403  c0 3730  cuni 4197   class class class wbr 4401   cmpt 4460   crn 4834  cfv 5581  (class class class)co 6288  csup 7951  cc 9534  cr 9535  cc0 9536  c1 9537   cmul 9541   clt 9672   cle 9673   cdiv 10266  cioo 11632  ctg 15329   ccn 20233  ccmp 20394 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-mulf 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-cmp 20395  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330 This theorem is referenced by:  stoweidlem43  37898
 Copyright terms: Public domain W3C validator