Theorem stoweidlem36 29978

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p_t as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that p_t ( t₀ ) = 0 , p_t ( t ) > 0, and 0 <= p_t <= 1. Z is used for t₀ , S is used for t e. T - U , h is used for p_t . G is used for (h_t)^2 and the final h is a normalized version of G ( divided by its norm, see the variable N ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem36.1	|- F/_ h Q
stoweidlem36.2	|- F/_ t H
stoweidlem36.3	|- F/_ t F
stoweidlem36.4	|- F/_ t G
stoweidlem36.5	|- F/ t ph
stoweidlem36.6	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem36.7	|- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
stoweidlem36.8	|- T = U. J
stoweidlem36.9	|- G = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) )
stoweidlem36.10	|- N = sup ( ran G , RR , < )
stoweidlem36.11	|- H = ( t e. T |-> ( ( G ` t ) / N ) )
stoweidlem36.12	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem36.13	|- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
stoweidlem36.14	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem36.15	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem36.16	|- ( ph -> S e. T )
stoweidlem36.17	|- ( ph -> Z e. T )
stoweidlem36.18	|- ( ph -> F e. A )
stoweidlem36.19	|- ( ph -> ( F ` S ) =/= ( F ` Z ) )
stoweidlem36.20	|- ( ph -> ( F ` Z ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem36	|- ( ph -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, t, T   A, f, g   f, F, g   f, G, g   ph, f, g   g, N, t   t, h, S   A, h   h, H   T, h   h, Z, t   x, t, N   x, A   x, T   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( t, h)   A( t)   Q( x, t, f, g, h)   S( x, f, g)   F( x, t, h)   G( x, t, h)   H( x, t, f, g)   J( x, t, f, g, h)   K( x, t, f, g, h)   N( f, h)   Z( x, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem36

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem36.11	. . . . . 6 |- H = ( t e. T |-> ( ( G ` t ) / N ) )
2		stoweidlem36.5	. . . . . . 7 |- F/ t ph
3		stoweidlem36.6	. . . . . . . . . . . 12 |- K = ( topGen ` ran (,) )
4		stoweidlem36.8	. . . . . . . . . . . 12 |- T = U. J
5		eqid 2454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J Cn K ) = ( J Cn K )
6		stoweidlem36.13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
7		stoweidlem36.9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- G = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) )
8		stoweidlem36.18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F e. A )
9		stoweidlem36.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ t F
10	9	nfeq2 2632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ t f = F
11	9	nfeq2 2632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ t g = F
12		stoweidlem36.14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
13	10, 11, 12	stoweidlem6 29948	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ F e. A /\ F e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) ) e. A )
14	8, 8, 13	mpd3an23 1317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) ) e. A )
15	7, 14	syl5eqel 2546	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. A )
16	6, 15	sseldd 3464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G e. ( J Cn K ) )
17	3, 4, 5, 16	fcnre 29894	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : T --> RR )
18	17	fnvinran 29883	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) e. RR )
19	18	recnd 9522	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) e. CC )
20		stoweidlem36.10	. . . . . . . . . . . 12 |- N = sup ( ran G , RR , < )
21		stoweidlem36.12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> J e. Comp )
22		stoweidlem36.16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S e. T )
23		ne0i 3750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S e. T -> T =/= (/) )
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> T =/= (/) )
25	4, 3, 21, 16, 24	cncmpmax 29901	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( sup ( ran G , RR , < ) e. ran G /\ sup ( ran G , RR , < ) e. RR /\ A. s e. T ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) ) )
26	25	simp2d 1001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sup ( ran G , RR , < ) e. RR )
27	20, 26	syl5eqel 2546	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. RR )
28	27	recnd 9522	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. CC )
29	28	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> N e. CC )
30		0red 9497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 e. RR )
31	17, 22	ffvelrnd 5952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( G ` S ) e. RR )
32	6, 8	sseldd 3464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
33	3, 4, 5, 32	fcnre 29894	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : T --> RR )
34	33, 22	ffvelrnd 5952	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F ` S ) e. RR )
35		stoweidlem36.19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F ` S ) =/= ( F ` Z ) )
36		stoweidlem36.20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F ` Z ) = 0 )
37	35, 36	neeqtrd 2746	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F ` S ) =/= 0 )
38	34, 37	msqgt0d 10017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) )
39	34, 34	remulcld 9524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) e. RR )
40		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ t S
41	9, 40	nffv 5805	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ t ( F ` S )
42		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ t x.
43	41, 42, 41	nfov 6222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ t ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) )
44		fveq2 5798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = S -> ( F ` t ) = ( F ` S ) )
45	44, 44	oveq12d 6217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = S -> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) = ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) )
46	40, 43, 45, 7	fvmptf 5898	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. T /\ ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) e. RR ) -> ( G ` S ) = ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) )
47	22, 39, 46	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( G ` S ) = ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) )
48	38, 47	breqtrrd 4425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < ( G ` S ) )
49	25	simp3d 1002	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. s e. T ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) )
50		fveq2 5798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s = S -> ( G ` s ) = ( G ` S ) )
51	50	breq1d 4409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = S -> ( ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) <-> ( G ` S ) <_ sup ( ran G , RR , < ) ) )
52	51	rspccva 3176	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. s e. T ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) /\ S e. T ) -> ( G ` S ) <_ sup ( ran G , RR , < ) )
53	49, 22, 52	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( G ` S ) <_ sup ( ran G , RR , < ) )
54	30, 31, 26, 48, 53	ltletrd 9641	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < sup ( ran G , RR , < ) )
55	54	gt0ne0d 10014	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sup ( ran G , RR , < ) =/= 0 )
56	20	neeq1i 2736	. . . . . . . . . . 11 |- ( N =/= 0 <-> sup ( ran G , RR , < ) =/= 0 )
57	55, 56	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N =/= 0 )
58	57	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> N =/= 0 )
59	19, 29, 58	divrecd 10220	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / N ) = ( ( G ` t ) x. ( 1 / N ) ) )
60		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. T )
61	27, 57	rereccld 10268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / N ) e. RR )
62	61	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 1 / N ) e. RR )
63		eqid 2454	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) = ( t e. T |-> ( 1 / N ) )
64	63	fvmpt2 5889	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. T /\ ( 1 / N ) e. RR ) -> ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) = ( 1 / N ) )
65	60, 62, 64	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) = ( 1 / N ) )
66	65	oveq2d 6215	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) = ( ( G ` t ) x. ( 1 / N ) ) )
67	59, 66	eqtr4d 2498	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / N ) = ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) )
68	2, 67	mpteq2da 4484	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( G ` t ) / N ) ) = ( t e. T |-> ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) ) )
69	1, 68	syl5eq 2507	. . . . 5 |- ( ph -> H = ( t e. T |-> ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) ) )
70		stoweidlem36.15	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
71	70	stoweidlem4 29946	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( 1 / N ) e. RR ) -> ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) e. A )
72	61, 71	mpdan 668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) e. A )
73		stoweidlem36.4	. . . . . . . 8 |- F/_ t G
74	73	nfeq2 2632	. . . . . . 7 |- F/ t f = G
75		nfmpt1 4488	. . . . . . . 8 |- F/_ t ( t e. T |-> ( 1 / N ) )
76	75	nfeq2 2632	. . . . . . 7 |- F/ t g = ( t e. T |-> ( 1 / N ) )
77	74, 76, 12	stoweidlem6 29948	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ G e. A /\ ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) ) e. A )
78	15, 72, 77	mpd3an23 1317	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) ) e. A )
79	69, 78	eqeltrd 2542	. . . 4 |- ( ph -> H e. A )
80		stoweidlem36.17	. . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. T )
81	17, 80	ffvelrnd 5952	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G ` Z ) e. RR )
82	81, 27, 57	redivcld 10269	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G ` Z ) / N ) e. RR )
83		nfcv 2616	. . . . . . . 8 |- F/_ t Z
84	73, 83	nffv 5805	. . . . . . . . 9 |- F/_ t ( G ` Z )
85		nfcv 2616	. . . . . . . . 9 |- F/_ t /
86		nfcv 2616	. . . . . . . . 9 |- F/_ t N
87	84, 85, 86	nfov 6222	. . . . . . . 8 |- F/_ t ( ( G ` Z ) / N )
88		fveq2 5798	. . . . . . . . 9 |- ( t = Z -> ( G ` t ) = ( G ` Z ) )
89	88	oveq1d 6214	. . . . . . . 8 |- ( t = Z -> ( ( G ` t ) / N ) = ( ( G ` Z ) / N ) )
90	83, 87, 89, 1	fvmptf 5898	. . . . . . 7 |- ( ( Z e. T /\ ( ( G ` Z ) / N ) e. RR ) -> ( H ` Z ) = ( ( G ` Z ) / N ) )
91	80, 82, 90	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( H ` Z ) = ( ( G ` Z ) / N ) )
92		0re 9496	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
93	36, 92	syl6eqel 2550	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` Z ) e. RR )
94	93, 93	remulcld 9524	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) e. RR )
95	9, 83	nffv 5805	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t ( F ` Z )
96	95, 42, 95	nfov 6222	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) )
97		fveq2 5798	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = Z -> ( F ` t ) = ( F ` Z ) )
98	97, 97	oveq12d 6217	. . . . . . . . . 10 |- ( t = Z -> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) = ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) )
99	83, 96, 98, 7	fvmptf 5898	. . . . . . . . 9 |- ( ( Z e. T /\ ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) e. RR ) -> ( G ` Z ) = ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) )
100	80, 94, 99	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G ` Z ) = ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) )
101	36, 36	oveq12d 6217	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) = ( 0 x. 0 ) )
102		0cn 9488	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. CC
103	102	mul02i 9668	. . . . . . . . 9 |- ( 0 x. 0 ) = 0
104	101, 103	syl6eq 2511	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) = 0 )
105	100, 104	eqtrd 2495	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` Z ) = 0 )
106	105	oveq1d 6214	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( G ` Z ) / N ) = ( 0 / N ) )
107	28, 57	div0d 10216	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 / N ) = 0 )
108	91, 106, 107	3eqtrd 2499	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` Z ) = 0 )
109	33	fnvinran 29883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) e. RR )
110	109	msqge0d 10018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) )
111	109, 109	remulcld 9524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) e. RR )
112	7	fvmpt2 5889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. T /\ ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) e. RR ) -> ( G ` t ) = ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) )
113	60, 111, 112	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) = ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) )
114	110, 113	breqtrrd 4425	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( G ` t ) )
115	27	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> N e. RR )
116	54, 20	syl6breqr 4439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < N )
117	116	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 < N )
118		divge0 10308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G ` t ) e. RR /\ 0 <_ ( G ` t ) ) /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> 0 <_ ( ( G ` t ) / N ) )
119	18, 114, 115, 117, 118	syl22anc 1220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( G ` t ) / N ) )
120	18, 115, 58	redivcld 10269	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / N ) e. RR )
121	1	fvmpt2 5889	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. T /\ ( ( G ` t ) / N ) e. RR ) -> ( H ` t ) = ( ( G ` t ) / N ) )
122	60, 120, 121	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( H ` t ) = ( ( G ` t ) / N ) )
123	119, 122	breqtrrd 4425	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( H ` t ) )
124	19	div1d 10209	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / 1 ) = ( G ` t ) )
125		fveq2 5798	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = t -> ( G ` s ) = ( G ` t ) )
126	125	breq1d 4409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = t -> ( ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) <-> ( G ` t ) <_ sup ( ran G , RR , < ) ) )
127	126	rspccva 3176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. s e. T ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) /\ t e. T ) -> ( G ` t ) <_ sup ( ran G , RR , < ) )
128	49, 127	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) <_ sup ( ran G , RR , < ) )
129	128, 20	syl6breqr 4439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) <_ N )
130	124, 129	eqbrtrd 4419	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / 1 ) <_ N )
131		1red 9511	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 1 e. RR )
132		0lt1 9972	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 < 1 )
134		lediv23 10334	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G ` t ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) ) -> ( ( ( G ` t ) / N ) <_ 1 <-> ( ( G ` t ) / 1 ) <_ N ) )
135	18, 115, 117, 131, 133, 134	syl122anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( ( G ` t ) / N ) <_ 1 <-> ( ( G ` t ) / 1 ) <_ N ) )
136	130, 135	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / N ) <_ 1 )
137	122, 136	eqbrtrd 4419	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( H ` t ) <_ 1 )
138	123, 137	jca 532	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) )
139	138	ex 434	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. T -> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
140	2, 139	ralrimi 2822	. . . . 5 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) )
141	108, 140	jca 532	. . . 4 |- ( ph -> ( ( H ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
142		fveq1 5797	. . . . . . 7 |- ( h = H -> ( h ` Z ) = ( H ` Z ) )
143	142	eqeq1d 2456	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( ( h ` Z ) = 0 <-> ( H ` Z ) = 0 ) )
144		stoweidlem36.2	. . . . . . . 8 |- F/_ t H
145	144	nfeq2 2632	. . . . . . 7 |- F/ t h = H
146		fveq1 5797	. . . . . . . . 9 |- ( h = H -> ( h ` t ) = ( H ` t ) )
147	146	breq2d 4411	. . . . . . . 8 |- ( h = H -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( H ` t ) ) )
148	146	breq1d 4409	. . . . . . . 8 |- ( h = H -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( H ` t ) <_ 1 ) )
149	147, 148	anbi12d 710	. . . . . . 7 |- ( h = H -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
150	145, 149	ralbid 2842	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
151	143, 150	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( h = H -> ( ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) <-> ( ( H ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) ) )
152	151	elrab 3222	. . . 4 |- ( H e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } <-> ( H e. A /\ ( ( H ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) ) )
153	79, 141, 152	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ph -> H e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } )
154		stoweidlem36.7	. . 3 |- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
155	153, 154	syl6eleqr 2553	. 2 |- ( ph -> H e. Q )
156	31, 27, 48, 116	divgt0d 10378	. . 3 |- ( ph -> 0 < ( ( G ` S ) / N ) )
157	31, 27, 57	redivcld 10269	. . . 4 |- ( ph -> ( ( G ` S ) / N ) e. RR )
158	73, 40	nffv 5805	. . . . . 6 |- F/_ t ( G ` S )
159	158, 85, 86	nfov 6222	. . . . 5 |- F/_ t ( ( G ` S ) / N )
160		fveq2 5798	. . . . . 6 |- ( t = S -> ( G ` t ) = ( G ` S ) )
161	160	oveq1d 6214	. . . . 5 |- ( t = S -> ( ( G ` t ) / N ) = ( ( G ` S ) / N ) )
162	40, 159, 161, 1	fvmptf 5898	. . . 4 |- ( ( S e. T /\ ( ( G ` S ) / N ) e. RR ) -> ( H ` S ) = ( ( G ` S ) / N ) )
163	22, 157, 162	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( H ` S ) = ( ( G ` S ) / N ) )
164	156, 163	breqtrrd 4425	. 2 |- ( ph -> 0 < ( H ` S ) )
165		nfcv 2616	. . . 4 |- F/_ h H
166		stoweidlem36.1	. . . . . 6 |- F/_ h Q
167	166	nfel2 2633	. . . . 5 |- F/ h H e. Q
168		nfv 1674	. . . . 5 |- F/ h 0 < ( H ` S )
169	167, 168	nfan 1866	. . . 4 |- F/ h ( H e. Q /\ 0 < ( H ` S ) )
170		eleq1 2526	. . . . 5 |- ( h = H -> ( h e. Q <-> H e. Q ) )
171		fveq1 5797	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( h ` S ) = ( H ` S ) )
172	171	breq2d 4411	. . . . 5 |- ( h = H -> ( 0 < ( h ` S ) <-> 0 < ( H ` S ) ) )
173	170, 172	anbi12d 710	. . . 4 |- ( h = H -> ( ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) <-> ( H e. Q /\ 0 < ( H ` S ) ) ) )
174	165, 169, 173	spcegf 3157	. . 3 |- ( H e. Q -> ( ( H e. Q /\ 0 < ( H ` S ) ) -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) ) )
175	174	anabsi5 813	. 2 |- ( ( H e. Q /\ 0 < ( H ` S ) ) -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) )
176	155, 164, 175	syl2anc 661	1 |- ( ph -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   E.wex 1587   F/wnf 1590   e. wcel 1758   F/_wnfc 2602   =/= wne 2647   A.wral 2798   {crab 2802   C_ wss 3435   (/)c0 3744   U.cuni 4198   class class class wbr 4399   |-> cmpt 4457   ran crn 4948   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   supcsup 7800   CCcc 9390   RRcr 9391   0cc0 9392   1c1 9393   x. cmul 9397   < clt 9528   <_ cle 9529   / cdiv 10103   (,)cioo 11410   topGenctg 14494   Cn ccn 18959   Compccmp 19120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-mulf 9472

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-ioo 11414  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-seq 11923  df-exp 11982  df-hash 12220  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-hom 14380  df-cco 14381  df-rest 14479  df-topn 14480  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-topgen 14500  df-pt 14501  df-prds 14504  df-xrs 14558  df-qtop 14563  df-imas 14564  df-xps 14566  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-mulg 15666  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-cnfld 17943  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-cn 18962  df-cnp 18963  df-cmp 19121  df-tx 19266  df-hmeo 19459  df-xms 20026  df-ms 20027  df-tms 20028

This theorem is referenced by:  stoweidlem43  29985