Theorem stoweidlem36 27652

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p_t as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that p_t ( t₀ ) = 0 , p_t ( t ) > 0, and 0 <= p_t <= 1. Z is used for t₀ , S is used for t e. T - U , h is used for p_t . G is used for (h_t)^2 and the final h is a normalized version of G ( divided by its norm, see the variable N ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem36.1	|- F/_ h Q
stoweidlem36.2	|- F/_ t H
stoweidlem36.3	|- F/_ t F
stoweidlem36.4	|- F/_ t G
stoweidlem36.5	|- F/ t ph
stoweidlem36.6	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem36.7	|- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
stoweidlem36.8	|- T = U. J
stoweidlem36.9	|- G = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) )
stoweidlem36.10	|- N = sup ( ran G , RR , < )
stoweidlem36.11	|- H = ( t e. T |-> ( ( G ` t ) / N ) )
stoweidlem36.12	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem36.13	|- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
stoweidlem36.14	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem36.15	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem36.16	|- ( ph -> S e. T )
stoweidlem36.17	|- ( ph -> Z e. T )
stoweidlem36.18	|- ( ph -> F e. A )
stoweidlem36.19	|- ( ph -> ( F ` S ) =/= ( F ` Z ) )
stoweidlem36.20	|- ( ph -> ( F ` Z ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem36	|- ( ph -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, t, T   A, f, g   f, F, g   f, G, g   ph, f, g   g, N, t   t, h, S   A, h   h, H   T, h   h, Z, t   x, t, N   x, A   x, T   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( t, h)   A( t)   Q( x, t, f, g, h)   S( x, f, g)   F( x, t, h)   G( x, t, h)   H( x, t, f, g)   J( x, t, f, g, h)   K( x, t, f, g, h)   N( f, h)   Z( x, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem36

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem36.11	. . . . . 6 |- H = ( t e. T |-> ( ( G ` t ) / N ) )
2		stoweidlem36.5	. . . . . . 7 |- F/ t ph
3		stoweidlem36.6	. . . . . . . . . . . 12 |- K = ( topGen ` ran (,) )
4		stoweidlem36.8	. . . . . . . . . . . 12 |- T = U. J
5		eqid 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J Cn K ) = ( J Cn K )
6		stoweidlem36.13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
7		stoweidlem36.9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- G = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) )
8		stoweidlem36.18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F e. A )
9		stoweidlem36.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ t F
10	9	nfeq2 2551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ t f = F
11	9	nfeq2 2551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ t g = F
12		stoweidlem36.14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
13	10, 11, 12	stoweidlem6 27622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ F e. A /\ F e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) ) e. A )
14	8, 8, 13	mpd3an23 1281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) ) e. A )
15	7, 14	syl5eqel 2488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. A )
16	6, 15	sseldd 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G e. ( J Cn K ) )
17	3, 4, 5, 16	fcnre 27563	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : T --> RR )
18	17	fnvinran 27552	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) e. RR )
19	18	recnd 9070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) e. CC )
20		stoweidlem36.10	. . . . . . . . . . . 12 |- N = sup ( ran G , RR , < )
21		stoweidlem36.12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> J e. Comp )
22		stoweidlem36.16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S e. T )
23		ne0i 3594	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S e. T -> T =/= (/) )
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> T =/= (/) )
25	4, 3, 21, 16, 24	cncmpmax 27570	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( sup ( ran G , RR , < ) e. ran G /\ sup ( ran G , RR , < ) e. RR /\ A. s e. T ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) ) )
26	25	simp2d 970	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sup ( ran G , RR , < ) e. RR )
27	20, 26	syl5eqel 2488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. RR )
28	27	recnd 9070	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. CC )
29	28	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> N e. CC )
30		0re 9047	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 e. RR )
32	17, 22	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( G ` S ) e. RR )
33	6, 8	sseldd 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
34	3, 4, 5, 33	fcnre 27563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : T --> RR )
35	34, 22	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F ` S ) e. RR )
36		stoweidlem36.19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F ` S ) =/= ( F ` Z ) )
37		stoweidlem36.20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F ` Z ) = 0 )
38	36, 37	neeqtrd 2589	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F ` S ) =/= 0 )
39	35, 38	msqgt0d 9550	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) )
40	35, 35	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) e. RR )
41		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ t S
42	9, 41	nffv 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ t ( F ` S )
43		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ t x.
44	42, 43, 42	nfov 6063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ t ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) )
45		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = S -> ( F ` t ) = ( F ` S ) )
46	45, 45	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = S -> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) = ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) )
47	41, 44, 46, 7	fvmptf 5780	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. T /\ ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) e. RR ) -> ( G ` S ) = ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) )
48	22, 40, 47	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( G ` S ) = ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) )
49	39, 48	breqtrrd 4198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < ( G ` S ) )
50	25	simp3d 971	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. s e. T ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) )
51		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s = S -> ( G ` s ) = ( G ` S ) )
52	51	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = S -> ( ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) <-> ( G ` S ) <_ sup ( ran G , RR , < ) ) )
53	52	rspccva 3011	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. s e. T ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) /\ S e. T ) -> ( G ` S ) <_ sup ( ran G , RR , < ) )
54	50, 22, 53	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( G ` S ) <_ sup ( ran G , RR , < ) )
55	31, 32, 26, 49, 54	ltletrd 9186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < sup ( ran G , RR , < ) )
56	55	gt0ne0d 9547	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sup ( ran G , RR , < ) =/= 0 )
57	20	neeq1i 2577	. . . . . . . . . . 11 |- ( N =/= 0 <-> sup ( ran G , RR , < ) =/= 0 )
58	56, 57	sylibr 204	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N =/= 0 )
59	58	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> N =/= 0 )
60	19, 29, 59	divrecd 9749	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / N ) = ( ( G ` t ) x. ( 1 / N ) ) )
61		simpr 448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. T )
62	27, 58	rereccld 9797	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / N ) e. RR )
63	62	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 1 / N ) e. RR )
64		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) = ( t e. T |-> ( 1 / N ) )
65	64	fvmpt2 5771	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. T /\ ( 1 / N ) e. RR ) -> ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) = ( 1 / N ) )
66	61, 63, 65	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) = ( 1 / N ) )
67	66	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) = ( ( G ` t ) x. ( 1 / N ) ) )
68	60, 67	eqtr4d 2439	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / N ) = ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) )
69	2, 68	mpteq2da 4254	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( G ` t ) / N ) ) = ( t e. T |-> ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) ) )
70	1, 69	syl5eq 2448	. . . . 5 |- ( ph -> H = ( t e. T |-> ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) ) )
71		stoweidlem36.15	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
72	71	stoweidlem4 27620	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( 1 / N ) e. RR ) -> ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) e. A )
73	62, 72	mpdan 650	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) e. A )
74		stoweidlem36.4	. . . . . . . 8 |- F/_ t G
75	74	nfeq2 2551	. . . . . . 7 |- F/ t f = G
76		nfmpt1 4258	. . . . . . . 8 |- F/_ t ( t e. T |-> ( 1 / N ) )
77	76	nfeq2 2551	. . . . . . 7 |- F/ t g = ( t e. T |-> ( 1 / N ) )
78	75, 77, 12	stoweidlem6 27622	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ G e. A /\ ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) ) e. A )
79	15, 73, 78	mpd3an23 1281	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) ) e. A )
80	70, 79	eqeltrd 2478	. . . 4 |- ( ph -> H e. A )
81		stoweidlem36.17	. . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. T )
82	17, 81	ffvelrnd 5830	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G ` Z ) e. RR )
83	82, 27, 58	redivcld 9798	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G ` Z ) / N ) e. RR )
84		nfcv 2540	. . . . . . . 8 |- F/_ t Z
85	74, 84	nffv 5694	. . . . . . . . 9 |- F/_ t ( G ` Z )
86		nfcv 2540	. . . . . . . . 9 |- F/_ t /
87		nfcv 2540	. . . . . . . . 9 |- F/_ t N
88	85, 86, 87	nfov 6063	. . . . . . . 8 |- F/_ t ( ( G ` Z ) / N )
89		fveq2 5687	. . . . . . . . 9 |- ( t = Z -> ( G ` t ) = ( G ` Z ) )
90	89	oveq1d 6055	. . . . . . . 8 |- ( t = Z -> ( ( G ` t ) / N ) = ( ( G ` Z ) / N ) )
91	84, 88, 90, 1	fvmptf 5780	. . . . . . 7 |- ( ( Z e. T /\ ( ( G ` Z ) / N ) e. RR ) -> ( H ` Z ) = ( ( G ` Z ) / N ) )
92	81, 83, 91	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ph -> ( H ` Z ) = ( ( G ` Z ) / N ) )
93	37, 30	syl6eqel 2492	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` Z ) e. RR )
94	93, 93	remulcld 9072	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) e. RR )
95	9, 84	nffv 5694	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t ( F ` Z )
96	95, 43, 95	nfov 6063	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) )
97		fveq2 5687	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = Z -> ( F ` t ) = ( F ` Z ) )
98	97, 97	oveq12d 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( t = Z -> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) = ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) )
99	84, 96, 98, 7	fvmptf 5780	. . . . . . . . 9 |- ( ( Z e. T /\ ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) e. RR ) -> ( G ` Z ) = ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) )
100	81, 94, 99	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G ` Z ) = ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) )
101	37, 37	oveq12d 6058	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) = ( 0 x. 0 ) )
102		0cn 9040	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. CC
103	102	mul02i 9211	. . . . . . . . 9 |- ( 0 x. 0 ) = 0
104	101, 103	syl6eq 2452	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) = 0 )
105	100, 104	eqtrd 2436	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` Z ) = 0 )
106	105	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( G ` Z ) / N ) = ( 0 / N ) )
107	28, 58	div0d 9745	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 / N ) = 0 )
108	92, 106, 107	3eqtrd 2440	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` Z ) = 0 )
109	34	fnvinran 27552	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) e. RR )
110	109	msqge0d 9551	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) )
111	109, 109	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) e. RR )
112	7	fvmpt2 5771	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. T /\ ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) e. RR ) -> ( G ` t ) = ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) )
113	61, 111, 112	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) = ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) )
114	110, 113	breqtrrd 4198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( G ` t ) )
115	27	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> N e. RR )
116	55, 20	syl6breqr 4212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < N )
117	116	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 < N )
118		divge0 9835	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G ` t ) e. RR /\ 0 <_ ( G ` t ) ) /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> 0 <_ ( ( G ` t ) / N ) )
119	18, 114, 115, 117, 118	syl22anc 1185	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( G ` t ) / N ) )
120	18, 115, 59	redivcld 9798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / N ) e. RR )
121	1	fvmpt2 5771	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. T /\ ( ( G ` t ) / N ) e. RR ) -> ( H ` t ) = ( ( G ` t ) / N ) )
122	61, 120, 121	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( H ` t ) = ( ( G ` t ) / N ) )
123	119, 122	breqtrrd 4198	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( H ` t ) )
124	19	div1d 9738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / 1 ) = ( G ` t ) )
125		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = t -> ( G ` s ) = ( G ` t ) )
126	125	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = t -> ( ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) <-> ( G ` t ) <_ sup ( ran G , RR , < ) ) )
127	126	rspccva 3011	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. s e. T ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) /\ t e. T ) -> ( G ` t ) <_ sup ( ran G , RR , < ) )
128	50, 127	sylan 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) <_ sup ( ran G , RR , < ) )
129	128, 20	syl6breqr 4212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) <_ N )
130	124, 129	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / 1 ) <_ N )
131		1re 9046	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 1 e. RR )
133		0lt1 9506	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 < 1 )
135		lediv23 9858	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G ` t ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) ) -> ( ( ( G ` t ) / N ) <_ 1 <-> ( ( G ` t ) / 1 ) <_ N ) )
136	18, 115, 117, 132, 134, 135	syl122anc 1193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( ( G ` t ) / N ) <_ 1 <-> ( ( G ` t ) / 1 ) <_ N ) )
137	130, 136	mpbird 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / N ) <_ 1 )
138	122, 137	eqbrtrd 4192	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( H ` t ) <_ 1 )
139	123, 138	jca 519	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) )
140	139	ex 424	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. T -> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
141	2, 140	ralrimi 2747	. . . . 5 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) )
142	108, 141	jca 519	. . . 4 |- ( ph -> ( ( H ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
143		fveq1 5686	. . . . . . 7 |- ( h = H -> ( h ` Z ) = ( H ` Z ) )
144	143	eqeq1d 2412	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( ( h ` Z ) = 0 <-> ( H ` Z ) = 0 ) )
145		stoweidlem36.2	. . . . . . . 8 |- F/_ t H
146	145	nfeq2 2551	. . . . . . 7 |- F/ t h = H
147		fveq1 5686	. . . . . . . . 9 |- ( h = H -> ( h ` t ) = ( H ` t ) )
148	147	breq2d 4184	. . . . . . . 8 |- ( h = H -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( H ` t ) ) )
149	147	breq1d 4182	. . . . . . . 8 |- ( h = H -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( H ` t ) <_ 1 ) )
150	148, 149	anbi12d 692	. . . . . . 7 |- ( h = H -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
151	146, 150	ralbid 2684	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
152	144, 151	anbi12d 692	. . . . 5 |- ( h = H -> ( ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) <-> ( ( H ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) ) )
153	152	elrab 3052	. . . 4 |- ( H e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } <-> ( H e. A /\ ( ( H ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) ) )
154	80, 142, 153	sylanbrc 646	. . 3 |- ( ph -> H e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } )
155		stoweidlem36.7	. . 3 |- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
156	154, 155	syl6eleqr 2495	. 2 |- ( ph -> H e. Q )
157	32, 27, 49, 116	divgt0d 9902	. . 3 |- ( ph -> 0 < ( ( G ` S ) / N ) )
158	32, 27, 58	redivcld 9798	. . . 4 |- ( ph -> ( ( G ` S ) / N ) e. RR )
159	74, 41	nffv 5694	. . . . . 6 |- F/_ t ( G ` S )
160	159, 86, 87	nfov 6063	. . . . 5 |- F/_ t ( ( G ` S ) / N )
161		fveq2 5687	. . . . . 6 |- ( t = S -> ( G ` t ) = ( G ` S ) )
162	161	oveq1d 6055	. . . . 5 |- ( t = S -> ( ( G ` t ) / N ) = ( ( G ` S ) / N ) )
163	41, 160, 162, 1	fvmptf 5780	. . . 4 |- ( ( S e. T /\ ( ( G ` S ) / N ) e. RR ) -> ( H ` S ) = ( ( G ` S ) / N ) )
164	22, 158, 163	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> ( H ` S ) = ( ( G ` S ) / N ) )
165	157, 164	breqtrrd 4198	. 2 |- ( ph -> 0 < ( H ` S ) )
166		nfcv 2540	. . . 4 |- F/_ h H
167		stoweidlem36.1	. . . . . 6 |- F/_ h Q
168	167	nfel2 2552	. . . . 5 |- F/ h H e. Q
169		nfv 1626	. . . . 5 |- F/ h 0 < ( H ` S )
170	168, 169	nfan 1842	. . . 4 |- F/ h ( H e. Q /\ 0 < ( H ` S ) )
171		eleq1 2464	. . . . 5 |- ( h = H -> ( h e. Q <-> H e. Q ) )
172		fveq1 5686	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( h ` S ) = ( H ` S ) )
173	172	breq2d 4184	. . . . 5 |- ( h = H -> ( 0 < ( h ` S ) <-> 0 < ( H ` S ) ) )
174	171, 173	anbi12d 692	. . . 4 |- ( h = H -> ( ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) <-> ( H e. Q /\ 0 < ( H ` S ) ) ) )
175	166, 170, 174	spcegf 2992	. . 3 |- ( H e. Q -> ( ( H e. Q /\ 0 < ( H ` S ) ) -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) ) )
176	175	anabsi5 791	. 2 |- ( ( H e. Q /\ 0 < ( H ` S ) ) -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) )
177	156, 165, 176	syl2anc 643	1 |- ( ph -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   E.wex 1547   F/wnf 1550   = wceq 1649   e. wcel 1721   F/_wnfc 2527   =/= wne 2567   A.wral 2666   {crab 2670   C_ wss 3280   (/)c0 3588   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   ran crn 4838   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   / cdiv 9633   (,)cioo 10872   topGenctg 13620   Cn ccn 17242   Compccmp 17403

This theorem is referenced by:  stoweidlem43  27659

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305