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Theorem stoweidlem36 27887
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that pt ( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt . G is used for (ht)^2 and the final h is a normalized version of G ( divided by its norm, see the variable N ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem36.1  |-  F/_ h Q
stoweidlem36.2  |-  F/_ t H
stoweidlem36.3  |-  F/_ t F
stoweidlem36.4  |-  F/_ t G
stoweidlem36.5  |-  F/ t
ph
stoweidlem36.6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem36.7  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem36.8  |-  T  = 
U. J
stoweidlem36.9  |-  G  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
) )
stoweidlem36.10  |-  N  =  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
stoweidlem36.11  |-  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  /  N
) )
stoweidlem36.12  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem36.13  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem36.14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem36.15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem36.16  |-  ( ph  ->  S  e.  T )
stoweidlem36.17  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
stoweidlem36.18  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
stoweidlem36.19  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  =/=  ( F `
 Z ) )
stoweidlem36.20  |-  ( ph  ->  ( F `  Z
)  =  0 )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem36  |-  ( ph  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
t, T    A, f,
g    f, F, g    f, G, g    ph, f, g   
g, N, t    t, h, S    A, h    h, H    T, h    h, Z, t    x, t, N   
x, A    x, T    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t, h)    A( t)    Q( x, t, f, g, h)    S( x, f, g)    F( x, t, h)    G( x, t, h)    H( x, t, f, g)    J( x, t, f, g, h)    K( x, t, f, g, h)    N( f, h)    Z( x, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem36
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem36.11 . . . . . . . 8  |-  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  /  N
) )
2 stoweidlem36.5 . . . . . . . . 9  |-  F/ t
ph
3 stoweidlem36.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
4 stoweidlem36.8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  T  = 
U. J
5 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
6 stoweidlem36.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
7 stoweidlem36.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  G  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
) )
8 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ph )
9 stoweidlem36.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
108, 9, 93jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  F  e.  A  /\  F  e.  A ) )
11 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ t
f
12 stoweidlem36.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ t F
1311, 12nfeq 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ t  f  =  F
14 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ t
g
1514, 12nfeq 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ t  g  =  F
16 stoweidlem36.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
1713, 15, 16stoweidlem6 27857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t ) ) )  e.  A )
1810, 17syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
) )  e.  A
)
197, 18syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  G  e.  A )
206, 19jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  C_  ( J  Cn  K )  /\  G  e.  A )
)
21 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  ( J  Cn  K )  /\  G  e.  A )  ->  G  e.  ( J  Cn  K
) )
2220, 21syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
233, 4, 5, 22fcnre 27798 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : T --> RR )
2423adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  G : T --> RR )
25 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
2624, 25jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
27 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t
)  e.  RR )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  e.  RR )
29 recn 8843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  t )  e.  RR  ->  ( G `  t )  e.  CC )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  e.  CC )
31 stoweidlem36.10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  N  =  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
32 stoweidlem36.12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
33 stoweidlem36.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  S  e.  T )
34 ne0i 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S  e.  T  ->  T  =/=  (/) )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
364, 3, 32, 22, 35cncmpmax 27805 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
G ,  RR ,  <  )  e.  ran  G  /\  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) ) )
3736simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  e.  RR )
3831, 37syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
39 recn 8843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  RR  ->  N  e.  CC )
4038, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
4140adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  N  e.  CC )
426, 9jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( A  C_  ( J  Cn  K )  /\  F  e.  A )
)
43 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  C_  ( J  Cn  K )  /\  F  e.  A )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
4442, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
453, 4, 5, 44fcnre 27798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
4645, 33jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( F : T --> RR  /\  S  e.  T
) )
47 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : T --> RR  /\  S  e.  T )  ->  ( F `  S
)  e.  RR )
4846, 47syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  e.  RR )
49 stoweidlem36.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  =/=  ( F `
 Z ) )
50 stoweidlem36.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( F `  Z
)  =  0 )
51 neeq2 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  Z )  =  0  ->  (
( F `  S
)  =/=  ( F `
 Z )  <->  ( F `  S )  =/=  0
) )
5250, 51syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  =/=  ( F `  Z )  <->  ( F `  S )  =/=  0 ) )
5349, 52mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  =/=  0 )
5448, 53jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  e.  RR  /\  ( F `  S
)  =/=  0 ) )
55 msqgt0 9310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  S
)  e.  RR  /\  ( F `  S )  =/=  0 )  -> 
0  <  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S
) ) )
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S ) ) )
5748, 48jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  e.  RR  /\  ( F `  S
)  e.  RR ) )
58 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F `  S
)  e.  RR  /\  ( F `  S )  e.  RR )  -> 
( ( F `  S )  x.  ( F `  S )
)  e.  RR )
5957, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S )
)  e.  RR )
6033, 59jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( S  e.  T  /\  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S )
)  e.  RR ) )
61 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ t S
6212, 61nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ t
( F `  S
)
63 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ t  x.
6462, 63, 62nfov 5897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ t
( ( F `  S )  x.  ( F `  S )
)
65 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  =  S  ->  ( F `  t )  =  ( F `  S ) )
6665oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  =  S  ->  (
( F `  t
)  x.  ( F `
 t ) )  =  ( ( F `
 S )  x.  ( F `  t
) ) )
6765oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  =  S  ->  (
( F `  S
)  x.  ( F `
 t ) )  =  ( ( F `
 S )  x.  ( F `  S
) ) )
6866, 67eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  S  ->  (
( F `  t
)  x.  ( F `
 t ) )  =  ( ( F `
 S )  x.  ( F `  S
) ) )
6961, 64, 68, 7fvmptf 5632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  e.  T  /\  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S )
)  e.  RR )  ->  ( G `  S )  =  ( ( F `  S
)  x.  ( F `
 S ) ) )
7060, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S ) ) )
7156, 70breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  0  <  ( G `
 S ) )
7236simp3d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
)
7372, 33jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  /\  S  e.  T ) )
74 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  =  S  ->  ( G `  s )  =  ( G `  S ) )
7574breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  =  S  ->  (
( G `  s
)  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  <->  ( G `  S )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) ) )
7675rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  /\  S  e.  T
)  ->  ( G `  S )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
7773, 76syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
7871, 77jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 0  <  ( G `  S )  /\  ( G `  S
)  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) ) )
79 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR
8079a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
8123, 33jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( G : T --> RR  /\  S  e.  T
) )
82 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G : T --> RR  /\  S  e.  T )  ->  ( G `  S
)  e.  RR )
8381, 82syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  e.  RR )
8480, 83, 373jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  RR  /\  ( G `  S
)  e.  RR  /\  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  e.  RR ) )
85 ltletr 8929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( G `  S )  e.  RR  /\  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  e.  RR )  ->  ( ( 0  <  ( G `  S )  /\  ( G `  S )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
)  ->  0  <  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) ) )
8684, 85syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 0  < 
( G `  S
)  /\  ( G `  S )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )  -> 
0  <  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) ) )
8778, 86mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
8887gt0ne0d 9353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  =/=  0 )
8931neeq1i 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =/=  0  <->  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  =/=  0 )
9088, 89sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
9190adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  N  =/=  0 )
9230, 41, 913jca 1132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
93 divrec 9456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G `  t
)  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  =  ( ( G `
 t )  x.  ( 1  /  N
) ) )
9492, 93syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  =  ( ( G `
 t )  x.  ( 1  /  N
) ) )
95 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
9695a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
9796, 38, 903jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  N  =/=  0 ) )
98 redivcl 9495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  N  =/=  0 )  ->  (
1  /  N )  e.  RR )
9997, 98syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  /  N
)  e.  RR )
10099adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  /  N )  e.  RR )
10125, 100jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t  e.  T  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR ) )
102 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )
103102fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR )  ->  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `
 t )  =  ( 1  /  N
) )
104101, 103syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |->  ( 1  /  N
) ) `  t
)  =  ( 1  /  N ) )
105104oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `  t ) )  =  ( ( G `  t )  x.  ( 1  /  N ) ) )
10694, 105eqtr4d 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  =  ( ( G `
 t )  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `  t ) ) )
1072, 106mpteq2da 4121 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  /  N
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t
)  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `  t ) ) ) )
1081, 107syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `
 t ) ) ) )
1098, 99jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  (
1  /  N )  e.  RR ) )
110 stoweidlem36.15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
111110stoweidlem4 27855 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( 1  /  N )  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )  e.  A )
112109, 111syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N
) )  e.  A
)
1138, 19, 1123jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  G  e.  A  /\  (
t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )  e.  A ) )
114 stoweidlem36.4 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t G
11511, 114nfeq 2439 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  f  =  G
116 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( 1  /  N
) )
11714, 116nfeq 2439 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  g  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )
118115, 117, 16stoweidlem6 27857 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  G  e.  A  /\  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( G `  t
)  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `  t ) ) )  e.  A
)
119113, 118syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  x.  (
( t  e.  T  |->  ( 1  /  N
) ) `  t
) ) )  e.  A )
120108, 119eqeltrd 2370 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  e.  A )
121 stoweidlem36.17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
12223, 121jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( G : T --> RR  /\  Z  e.  T
) )
123 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : T --> RR  /\  Z  e.  T )  ->  ( G `  Z
)  e.  RR )
124122, 123syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G `  Z
)  e.  RR )
125124, 38, 903jca 1132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( G `  Z )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  N  =/=  0 ) )
126 redivcl 9495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G `  Z
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( G `  Z
)  /  N )  e.  RR )
127125, 126syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( G `  Z )  /  N
)  e.  RR )
128121, 127jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  T  /\  ( ( G `  Z )  /  N
)  e.  RR ) )
129 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t Z
130114, 129nffv 5548 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t
( G `  Z
)
131 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t  /
132 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t N
133130, 131, 132nfov 5897 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
( ( G `  Z )  /  N
)
134 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  Z  ->  ( G `  t )  =  ( G `  Z ) )
135134oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  Z  ->  (
( G `  t
)  /  N )  =  ( ( G `
 Z )  /  N ) )
136129, 133, 135, 1fvmptf 5632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  T  /\  ( ( G `  Z )  /  N
)  e.  RR )  ->  ( H `  Z )  =  ( ( G `  Z
)  /  N ) )
137128, 136syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( H `  Z
)  =  ( ( G `  Z )  /  N ) )
13850, 79syl6eqel 2384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F `  Z
)  e.  RR )
139138, 138jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Z )  e.  RR  /\  ( F `  Z
)  e.  RR ) )
140 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  Z
)  e.  RR  /\  ( F `  Z )  e.  RR )  -> 
( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  e.  RR )
141139, 140syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  e.  RR )
142121, 141jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  T  /\  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  e.  RR ) )
14312, 129nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t
( F `  Z
)
144143, 63, 143nfov 5897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t
( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)
145 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  Z  ->  ( F `  t )  =  ( F `  Z ) )
146145, 145oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  Z  ->  (
( F `  t
)  x.  ( F `
 t ) )  =  ( ( F `
 Z )  x.  ( F `  Z
) ) )
147129, 144, 146, 7fvmptf 5632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Z  e.  T  /\  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  e.  RR )  ->  ( G `  Z )  =  ( ( F `  Z
)  x.  ( F `
 Z ) ) )
148142, 147syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  Z
)  =  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z ) ) )
149 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  Z )  =  0  ->  (
( F `  Z
)  x.  ( F `
 Z ) )  =  ( 0  x.  ( F `  Z
) ) )
150 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  Z )  =  0  ->  (
0  x.  ( F `
 Z ) )  =  ( 0  x.  0 ) )
151149, 150eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  Z )  =  0  ->  (
( F `  Z
)  x.  ( F `
 Z ) )  =  ( 0  x.  0 ) )
15250, 151syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  =  ( 0  x.  0 ) )
153 0cn 8847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
154153mul02i 9017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  x.  0 )  =  0
155152, 154syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  =  0 )
156148, 155eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  Z
)  =  0 )
157156oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( G `  Z )  /  N
)  =  ( 0  /  N ) )
158137, 157eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H `  Z
)  =  ( 0  /  N ) )
15940, 90jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
160 div0 9468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 )  -> 
( 0  /  N
)  =  0 )
161159, 160syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  /  N
)  =  0 )
162158, 161eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H `  Z
)  =  0 )
16345adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  F : T --> RR )
164163, 25jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
165 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t
)  e.  RR )
166164, 165syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
167 msqge0 9311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  t )  e.  RR  ->  0  <_  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
) )
168166, 167syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
) )
169166, 166jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  e.  RR  /\  ( F `  t )  e.  RR ) )
170 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  ( F `  t )  e.  RR )  -> 
( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
)  e.  RR )
171169, 170syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  x.  ( F `
 t ) )  e.  RR )
17225, 171jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t  e.  T  /\  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
)  e.  RR ) )
1737fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
)  e.  RR )  ->  ( G `  t )  =  ( ( F `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )
174172, 173syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  =  ( ( F `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )
175168, 174breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( G `  t
) )
17628, 175jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  e.  RR  /\  0  <_  ( G `  t ) ) )
17738adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  N  e.  RR )
17887, 31syl6breqr 4079 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <  N )
179178adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <  N )
180177, 179jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
181176, 180jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( G `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( G `  t ) )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) ) )
182 divge0 9641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( G `  t ) )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  0  <_  ( ( G `  t
)  /  N ) )
183181, 182syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( G `  t )  /  N
) )
18428, 177, 913jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  N  =/=  0 ) )
185 redivcl 9495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G `  t
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  e.  RR )
186184, 185syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  e.  RR )
18725, 186jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t  e.  T  /\  ( ( G `  t )  /  N
)  e.  RR ) )
1881fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( G `  t )  /  N
)  e.  RR )  ->  ( H `  t )  =  ( ( G `  t
)  /  N ) )
189187, 188syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( H `  t )  =  ( ( G `
 t )  /  N ) )
190183, 189breqtrrd 4065 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( H `  t
) )
191 div1 9469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  t )  e.  CC  ->  (
( G `  t
)  /  1 )  =  ( G `  t ) )
19230, 191syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  1 )  =  ( G `  t ) )
19372adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
194193, 25jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  /\  t  e.  T
) )
195 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  t  ->  ( G `  s )  =  ( G `  t ) )
196195breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  t  ->  (
( G `  s
)  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  <->  ( G `  t )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) ) )
197196rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  /\  t  e.  T
)  ->  ( G `  t )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
198194, 197syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
)
199198, 31syl6breqr 4079 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  <_  N )
200199idi 2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  <_  N )
201192, 200eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  1 )  <_  N )
20295a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  RR )
203 0lt1 9312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  1
204203a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <  1 )
205202, 204jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
20628, 180, 2053jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) ) )
207 lediv23 9664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  t
)  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )  -> 
( ( ( G `
 t )  /  N )  <_  1  <->  ( ( G `  t
)  /  1 )  <_  N ) )
208206, 207syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( G `  t )  /  N
)  <_  1  <->  ( ( G `  t )  /  1 )  <_  N ) )
209201, 208mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  <_  1 )
210189, 209eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( H `  t )  <_  1 )
211190, 210jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t )  <_  1 ) )
212211ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) ) )
2132, 212ralrimi 2637 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) )
214162, 213jca 518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( H `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( H `  t
)  /\  ( H `  t )  <_  1
) ) )
215120, 214jca 518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  e.  A  /\  ( ( H `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( H `  t
)  /\  ( H `  t )  <_  1
) ) ) )
216 fveq1 5540 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  H  ->  (
h `  Z )  =  ( H `  Z ) )
217216eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
( h `  Z
)  =  0  <->  ( H `  Z )  =  0 ) )
218 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
h
219 stoweidlem36.2 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t H
220218, 219nfeq 2439 . . . . . . . 8  |-  F/ t  h  =  H
221 fveq1 5540 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  H  ->  (
h `  t )  =  ( H `  t ) )
222221breq2d 4051 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  H  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( H `  t ) ) )
223221breq1d 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  H  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( H `  t )  <_  1
) )
224222, 223anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  H  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) ) )
225220, 224ralbid 2574 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) ) )
226217, 225anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  (
( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
) )  <->  ( ( H `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t )  <_  1 ) ) ) )
227226elrab 2936 . . . . 5  |-  ( H  e.  { h  e.  A  |  ( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }  <-> 
( H  e.  A  /\  ( ( H `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( H `  t
)  /\  ( H `  t )  <_  1
) ) ) )
228215, 227sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  { h  e.  A  |  (
( h `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) ) } )
229 stoweidlem36.7 . . . 4  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
230228, 229syl6eleqr 2387 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  Q )
23183, 71jca 518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( G `  S )  e.  RR  /\  0  <  ( G `
 S ) ) )
23238, 178jca 518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
233231, 232jca 518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( G `
 S )  e.  RR  /\  0  < 
( G `  S
) )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) ) )
234 divgt0 9640 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G `  S )  e.  RR  /\  0  <  ( G `
 S ) )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )  -> 
0  <  ( ( G `  S )  /  N ) )
235233, 234syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( G `  S )  /  N ) )
23683, 38, 903jca 1132 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G `  S )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  N  =/=  0 ) )
237 redivcl 9495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G `  S
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( G `  S
)  /  N )  e.  RR )
238236, 237syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( G `  S )  /  N
)  e.  RR )
23933, 238jca 518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  e.  T  /\  ( ( G `  S )  /  N
)  e.  RR ) )
240114, 61nffv 5548 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( G `  S
)
241240, 131, 132nfov 5897 . . . . . 6  |-  F/_ t
( ( G `  S )  /  N
)
242 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( t  =  S  ->  ( G `  t )  =  ( G `  S ) )
243242oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( t  =  S  ->  (
( G `  t
)  /  N )  =  ( ( G `
 S )  /  N ) )
24461, 241, 243, 1fvmptf 5632 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  T  /\  ( ( G `  S )  /  N
)  e.  RR )  ->  ( H `  S )  =  ( ( G `  S
)  /  N ) )
245239, 244syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  S
)  =  ( ( G `  S )  /  N ) )
246235, 245breqtrrd 4065 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( H `
 S ) )
247230, 246jca 518 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `
 S ) ) )
248 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `  S ) )  ->  H  e.  Q )
249 nfcv 2432 . . . . 5  |-  F/_ h H
250 stoweidlem36.1 . . . . . . 7  |-  F/_ h Q
251249, 250nfel 2440 . . . . . 6  |-  F/ h  H  e.  Q
252 nfv 1609 . . . . . 6  |-  F/ h
0  <  ( H `  S )
253251, 252nfan 1783 . . . . 5  |-  F/ h
( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `
 S ) )
254 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  (
h  e.  Q  <->  H  e.  Q ) )
255 fveq1 5540 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
h `  S )  =  ( H `  S ) )
256255breq2d 4051 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  (
0  <  ( h `  S )  <->  0  <  ( H `  S ) ) )
257254, 256anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( h  =  H  ->  (
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 S ) )  <-> 
( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `
 S ) ) ) )
258249, 253, 257spcegf 2877 . . . 4  |-  ( H  e.  Q  ->  (
( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `
 S ) )  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) ) )
259248, 258syl 15 . . 3  |-  ( ( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `  S ) )  -> 
( ( H  e.  Q  /\  0  < 
( H `  S
) )  ->  E. h
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 S ) ) ) )
260259pm2.43i 43 . 2  |-  ( ( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `  S ) )  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  < 
( h `  S
) ) )
261247, 260syl 15 1  |-  ( ph  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531   F/wnf 1534    = wceq 1632    e. wcel 1696   F/_wnfc 2419    =/= wne 2459   A.wral 2556   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   (,)cioo 10672   topGenctg 13358    Cn ccn 16970   Compccmp 17129
This theorem is referenced by:  stoweidlem43  27894
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903
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