Theorem stoweidlem36 37466

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p_t as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that p_t ( t₀ ) = 0 , p_t ( t ) > 0, and 0 <= p_t <= 1. Z is used for t₀ , S is used for t e. T - U , h is used for p_t . G is used for (h_t)^2 and the final h is a normalized version of G ( divided by its norm, see the variable N ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem36.1	|- F/_ h Q
stoweidlem36.2	|- F/_ t H
stoweidlem36.3	|- F/_ t F
stoweidlem36.4	|- F/_ t G
stoweidlem36.5	|- F/ t ph
stoweidlem36.6	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem36.7	|- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
stoweidlem36.8	|- T = U. J
stoweidlem36.9	|- G = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) )
stoweidlem36.10	|- N = sup ( ran G , RR , < )
stoweidlem36.11	|- H = ( t e. T |-> ( ( G ` t ) / N ) )
stoweidlem36.12	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem36.13	|- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
stoweidlem36.14	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem36.15	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem36.16	|- ( ph -> S e. T )
stoweidlem36.17	|- ( ph -> Z e. T )
stoweidlem36.18	|- ( ph -> F e. A )
stoweidlem36.19	|- ( ph -> ( F ` S ) =/= ( F ` Z ) )
stoweidlem36.20	|- ( ph -> ( F ` Z ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem36	|- ( ph -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, t, T   A, f, g   f, F, g   f, G, g   ph, f, g   g, N, t   t, h, S   A, h   h, H   T, h   h, Z, t   x, t, N   x, A   x, T   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( t, h)   A( t)   Q( x, t, f, g, h)   S( x, f, g)   F( x, t, h)   G( x, t, h)   H( x, t, f, g)   J( x, t, f, g, h)   K( x, t, f, g, h)   N( f, h)   Z( x, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem36

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem36.11	. . . . . 6 |- H = ( t e. T |-> ( ( G ` t ) / N ) )
2		stoweidlem36.5	. . . . . . 7 |- F/ t ph
3		stoweidlem36.6	. . . . . . . . . . . 12 |- K = ( topGen ` ran (,) )
4		stoweidlem36.8	. . . . . . . . . . . 12 |- T = U. J
5		eqid 2429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J Cn K ) = ( J Cn K )
6		stoweidlem36.13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
7		stoweidlem36.9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- G = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) )
8		stoweidlem36.18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F e. A )
9		stoweidlem36.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ t F
10	9	nfeq2 2608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ t f = F
11	9	nfeq2 2608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ t g = F
12		stoweidlem36.14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
13	10, 11, 12	stoweidlem6 37435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ F e. A /\ F e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) ) e. A )
14	8, 8, 13	mpd3an23 1362	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) ) e. A )
15	7, 14	syl5eqel 2521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. A )
16	6, 15	sseldd 3471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G e. ( J Cn K ) )
17	3, 4, 5, 16	fcnre 36986	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : T --> RR )
18	17	fnvinran 36975	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) e. RR )
19	18	recnd 9668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) e. CC )
20		stoweidlem36.10	. . . . . . . . . . . 12 |- N = sup ( ran G , RR , < )
21		stoweidlem36.12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> J e. Comp )
22		stoweidlem36.16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S e. T )
23		ne0i 3773	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S e. T -> T =/= (/) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> T =/= (/) )
25	4, 3, 21, 16, 24	cncmpmax 36993	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( sup ( ran G , RR , < ) e. ran G /\ sup ( ran G , RR , < ) e. RR /\ A. s e. T ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) ) )
26	25	simp2d 1018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sup ( ran G , RR , < ) e. RR )
27	20, 26	syl5eqel 2521	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. RR )
28	27	recnd 9668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. CC )
29	28	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> N e. CC )
30		0red 9643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 e. RR )
31	17, 22	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( G ` S ) e. RR )
32	6, 8	sseldd 3471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
33	3, 4, 5, 32	fcnre 36986	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : T --> RR )
34	33, 22	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F ` S ) e. RR )
35		stoweidlem36.19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F ` S ) =/= ( F ` Z ) )
36		stoweidlem36.20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F ` Z ) = 0 )
37	35, 36	neeqtrd 2726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F ` S ) =/= 0 )
38	34, 37	msqgt0d 10180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) )
39	34, 34	remulcld 9670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) e. RR )
40		nfcv 2591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ t S
41	9, 40	nffv 5888	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ t ( F ` S )
42		nfcv 2591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ t x.
43	41, 42, 41	nfov 6331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ t ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) )
44		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = S -> ( F ` t ) = ( F ` S ) )
45	44, 44	oveq12d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = S -> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) = ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) )
46	40, 43, 45, 7	fvmptf 5982	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. T /\ ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) e. RR ) -> ( G ` S ) = ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) )
47	22, 39, 46	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( G ` S ) = ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) )
48	38, 47	breqtrrd 4452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < ( G ` S ) )
49	25	simp3d 1019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. s e. T ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) )
50		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s = S -> ( G ` s ) = ( G ` S ) )
51	50	breq1d 4436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = S -> ( ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) <-> ( G ` S ) <_ sup ( ran G , RR , < ) ) )
52	51	rspccva 3187	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. s e. T ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) /\ S e. T ) -> ( G ` S ) <_ sup ( ran G , RR , < ) )
53	49, 22, 52	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( G ` S ) <_ sup ( ran G , RR , < ) )
54	30, 31, 26, 48, 53	ltletrd 9794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < sup ( ran G , RR , < ) )
55	54	gt0ne0d 10177	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sup ( ran G , RR , < ) =/= 0 )
56	20	neeq1i 2716	. . . . . . . . . . 11 |- ( N =/= 0 <-> sup ( ran G , RR , < ) =/= 0 )
57	55, 56	sylibr 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N =/= 0 )
58	57	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> N =/= 0 )
59	19, 29, 58	divrecd 10385	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / N ) = ( ( G ` t ) x. ( 1 / N ) ) )
60		simpr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. T )
61	27, 57	rereccld 10433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / N ) e. RR )
62	61	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 1 / N ) e. RR )
63		eqid 2429	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) = ( t e. T |-> ( 1 / N ) )
64	63	fvmpt2 5973	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. T /\ ( 1 / N ) e. RR ) -> ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) = ( 1 / N ) )
65	60, 62, 64	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) = ( 1 / N ) )
66	65	oveq2d 6321	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) = ( ( G ` t ) x. ( 1 / N ) ) )
67	59, 66	eqtr4d 2473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / N ) = ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) )
68	2, 67	mpteq2da 4511	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( G ` t ) / N ) ) = ( t e. T |-> ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) ) )
69	1, 68	syl5eq 2482	. . . . 5 |- ( ph -> H = ( t e. T |-> ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) ) )
70		stoweidlem36.15	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
71	70	stoweidlem4 37433	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( 1 / N ) e. RR ) -> ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) e. A )
72	61, 71	mpdan 672	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) e. A )
73		stoweidlem36.4	. . . . . . . 8 |- F/_ t G
74	73	nfeq2 2608	. . . . . . 7 |- F/ t f = G
75		nfmpt1 4515	. . . . . . . 8 |- F/_ t ( t e. T |-> ( 1 / N ) )
76	75	nfeq2 2608	. . . . . . 7 |- F/ t g = ( t e. T |-> ( 1 / N ) )
77	74, 76, 12	stoweidlem6 37435	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ G e. A /\ ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) ) e. A )
78	15, 72, 77	mpd3an23 1362	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) ) e. A )
79	69, 78	eqeltrd 2517	. . . 4 |- ( ph -> H e. A )
80		stoweidlem36.17	. . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. T )
81	17, 80	ffvelrnd 6038	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G ` Z ) e. RR )
82	81, 27, 57	redivcld 10434	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G ` Z ) / N ) e. RR )
83		nfcv 2591	. . . . . . . 8 |- F/_ t Z
84	73, 83	nffv 5888	. . . . . . . . 9 |- F/_ t ( G ` Z )
85		nfcv 2591	. . . . . . . . 9 |- F/_ t /
86		nfcv 2591	. . . . . . . . 9 |- F/_ t N
87	84, 85, 86	nfov 6331	. . . . . . . 8 |- F/_ t ( ( G ` Z ) / N )
88		fveq2 5881	. . . . . . . . 9 |- ( t = Z -> ( G ` t ) = ( G ` Z ) )
89	88	oveq1d 6320	. . . . . . . 8 |- ( t = Z -> ( ( G ` t ) / N ) = ( ( G ` Z ) / N ) )
90	83, 87, 89, 1	fvmptf 5982	. . . . . . 7 |- ( ( Z e. T /\ ( ( G ` Z ) / N ) e. RR ) -> ( H ` Z ) = ( ( G ` Z ) / N ) )
91	80, 82, 90	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( H ` Z ) = ( ( G ` Z ) / N ) )
92		0re 9642	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
93	36, 92	syl6eqel 2525	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` Z ) e. RR )
94	93, 93	remulcld 9670	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) e. RR )
95	9, 83	nffv 5888	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t ( F ` Z )
96	95, 42, 95	nfov 6331	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) )
97		fveq2 5881	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = Z -> ( F ` t ) = ( F ` Z ) )
98	97, 97	oveq12d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( t = Z -> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) = ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) )
99	83, 96, 98, 7	fvmptf 5982	. . . . . . . . 9 |- ( ( Z e. T /\ ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) e. RR ) -> ( G ` Z ) = ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) )
100	80, 94, 99	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G ` Z ) = ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) )
101	36, 36	oveq12d 6323	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) = ( 0 x. 0 ) )
102		0cn 9634	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. CC
103	102	mul02i 9821	. . . . . . . . 9 |- ( 0 x. 0 ) = 0
104	101, 103	syl6eq 2486	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) = 0 )
105	100, 104	eqtrd 2470	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` Z ) = 0 )
106	105	oveq1d 6320	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( G ` Z ) / N ) = ( 0 / N ) )
107	28, 57	div0d 10381	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 / N ) = 0 )
108	91, 106, 107	3eqtrd 2474	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` Z ) = 0 )
109	33	fnvinran 36975	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) e. RR )
110	109	msqge0d 10181	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) )
111	109, 109	remulcld 9670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) e. RR )
112	7	fvmpt2 5973	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. T /\ ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) e. RR ) -> ( G ` t ) = ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) )
113	60, 111, 112	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) = ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) )
114	110, 113	breqtrrd 4452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( G ` t ) )
115	27	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> N e. RR )
116	54, 20	syl6breqr 4466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < N )
117	116	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 < N )
118		divge0 10473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G ` t ) e. RR /\ 0 <_ ( G ` t ) ) /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> 0 <_ ( ( G ` t ) / N ) )
119	18, 114, 115, 117, 118	syl22anc 1265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( G ` t ) / N ) )
120	18, 115, 58	redivcld 10434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / N ) e. RR )
121	1	fvmpt2 5973	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. T /\ ( ( G ` t ) / N ) e. RR ) -> ( H ` t ) = ( ( G ` t ) / N ) )
122	60, 120, 121	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( H ` t ) = ( ( G ` t ) / N ) )
123	119, 122	breqtrrd 4452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( H ` t ) )
124	19	div1d 10374	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / 1 ) = ( G ` t ) )
125		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = t -> ( G ` s ) = ( G ` t ) )
126	125	breq1d 4436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = t -> ( ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) <-> ( G ` t ) <_ sup ( ran G , RR , < ) ) )
127	126	rspccva 3187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. s e. T ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) /\ t e. T ) -> ( G ` t ) <_ sup ( ran G , RR , < ) )
128	49, 127	sylan 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) <_ sup ( ran G , RR , < ) )
129	128, 20	syl6breqr 4466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) <_ N )
130	124, 129	eqbrtrd 4446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / 1 ) <_ N )
131		1red 9657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 1 e. RR )
132		0lt1 10135	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 < 1 )
134		lediv23 10498	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G ` t ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) ) -> ( ( ( G ` t ) / N ) <_ 1 <-> ( ( G ` t ) / 1 ) <_ N ) )
135	18, 115, 117, 131, 133, 134	syl122anc 1273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( ( G ` t ) / N ) <_ 1 <-> ( ( G ` t ) / 1 ) <_ N ) )
136	130, 135	mpbird 235	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / N ) <_ 1 )
137	122, 136	eqbrtrd 4446	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( H ` t ) <_ 1 )
138	123, 137	jca 534	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) )
139	138	ex 435	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. T -> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
140	2, 139	ralrimi 2832	. . . . 5 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) )
141	108, 140	jca 534	. . . 4 |- ( ph -> ( ( H ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
142		fveq1 5880	. . . . . . 7 |- ( h = H -> ( h ` Z ) = ( H ` Z ) )
143	142	eqeq1d 2431	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( ( h ` Z ) = 0 <-> ( H ` Z ) = 0 ) )
144		stoweidlem36.2	. . . . . . . 8 |- F/_ t H
145	144	nfeq2 2608	. . . . . . 7 |- F/ t h = H
146		fveq1 5880	. . . . . . . . 9 |- ( h = H -> ( h ` t ) = ( H ` t ) )
147	146	breq2d 4438	. . . . . . . 8 |- ( h = H -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( H ` t ) ) )
148	146	breq1d 4436	. . . . . . . 8 |- ( h = H -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( H ` t ) <_ 1 ) )
149	147, 148	anbi12d 715	. . . . . . 7 |- ( h = H -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
150	145, 149	ralbid 2866	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
151	143, 150	anbi12d 715	. . . . 5 |- ( h = H -> ( ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) <-> ( ( H ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) ) )
152	151	elrab 3235	. . . 4 |- ( H e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } <-> ( H e. A /\ ( ( H ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) ) )
153	79, 141, 152	sylanbrc 668	. . 3 |- ( ph -> H e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } )
154		stoweidlem36.7	. . 3 |- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
155	153, 154	syl6eleqr 2528	. 2 |- ( ph -> H e. Q )
156	31, 27, 48, 116	divgt0d 10542	. . 3 |- ( ph -> 0 < ( ( G ` S ) / N ) )
157	31, 27, 57	redivcld 10434	. . . 4 |- ( ph -> ( ( G ` S ) / N ) e. RR )
158	73, 40	nffv 5888	. . . . . 6 |- F/_ t ( G ` S )
159	158, 85, 86	nfov 6331	. . . . 5 |- F/_ t ( ( G ` S ) / N )
160		fveq2 5881	. . . . . 6 |- ( t = S -> ( G ` t ) = ( G ` S ) )
161	160	oveq1d 6320	. . . . 5 |- ( t = S -> ( ( G ` t ) / N ) = ( ( G ` S ) / N ) )
162	40, 159, 161, 1	fvmptf 5982	. . . 4 |- ( ( S e. T /\ ( ( G ` S ) / N ) e. RR ) -> ( H ` S ) = ( ( G ` S ) / N ) )
163	22, 157, 162	syl2anc 665	. . 3 |- ( ph -> ( H ` S ) = ( ( G ` S ) / N ) )
164	156, 163	breqtrrd 4452	. 2 |- ( ph -> 0 < ( H ` S ) )
165		nfcv 2591	. . . 4 |- F/_ h H
166		stoweidlem36.1	. . . . . 6 |- F/_ h Q
167	166	nfel2 2609	. . . . 5 |- F/ h H e. Q
168		nfv 1754	. . . . 5 |- F/ h 0 < ( H ` S )
169	167, 168	nfan 1986	. . . 4 |- F/ h ( H e. Q /\ 0 < ( H ` S ) )
170		eleq1 2501	. . . . 5 |- ( h = H -> ( h e. Q <-> H e. Q ) )
171		fveq1 5880	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( h ` S ) = ( H ` S ) )
172	171	breq2d 4438	. . . . 5 |- ( h = H -> ( 0 < ( h ` S ) <-> 0 < ( H ` S ) ) )
173	170, 172	anbi12d 715	. . . 4 |- ( h = H -> ( ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) <-> ( H e. Q /\ 0 < ( H ` S ) ) ) )
174	165, 169, 173	spcegf 3168	. . 3 |- ( H e. Q -> ( ( H e. Q /\ 0 < ( H ` S ) ) -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) ) )
175	174	anabsi5 824	. 2 |- ( ( H e. Q /\ 0 < ( H ` S ) ) -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) )
176	155, 164, 175	syl2anc 665	1 |- ( ph -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   E.wex 1659   F/wnf 1663   e. wcel 1870   F/_wnfc 2577   =/= wne 2625   A.wral 2782   {crab 2786   C_ wss 3442   (/)c0 3767   U.cuni 4222   class class class wbr 4426   |-> cmpt 4484   ran crn 4855   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   supcsup 7960   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539   x. cmul 9543   < clt 9674   <_ cle 9675   / cdiv 10268   (,)cioo 11635   topGenctg 15295   Cn ccn 20171   Compccmp 20332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-mulf 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-cmp 20333  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268

This theorem is referenced by:  stoweidlem43  37473