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Theorem stoweidlem36 29677
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that pt ( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt . G is used for (ht)^2 and the final h is a normalized version of G ( divided by its norm, see the variable N ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem36.1  |-  F/_ h Q
stoweidlem36.2  |-  F/_ t H
stoweidlem36.3  |-  F/_ t F
stoweidlem36.4  |-  F/_ t G
stoweidlem36.5  |-  F/ t
ph
stoweidlem36.6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem36.7  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem36.8  |-  T  = 
U. J
stoweidlem36.9  |-  G  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
) )
stoweidlem36.10  |-  N  =  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
stoweidlem36.11  |-  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  /  N
) )
stoweidlem36.12  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem36.13  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem36.14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem36.15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem36.16  |-  ( ph  ->  S  e.  T )
stoweidlem36.17  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
stoweidlem36.18  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
stoweidlem36.19  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  =/=  ( F `
 Z ) )
stoweidlem36.20  |-  ( ph  ->  ( F `  Z
)  =  0 )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem36  |-  ( ph  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
t, T    A, f,
g    f, F, g    f, G, g    ph, f, g   
g, N, t    t, h, S    A, h    h, H    T, h    h, Z, t    x, t, N   
x, A    x, T    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t, h)    A( t)    Q( x, t, f, g, h)    S( x, f, g)    F( x, t, h)    G( x, t, h)    H( x, t, f, g)    J( x, t, f, g, h)    K( x, t, f, g, h)    N( f, h)    Z( x, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem36
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem36.11 . . . . . 6  |-  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  /  N
) )
2 stoweidlem36.5 . . . . . . 7  |-  F/ t
ph
3 stoweidlem36.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
4 stoweidlem36.8 . . . . . . . . . . . 12  |-  T  = 
U. J
5 eqid 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
6 stoweidlem36.13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
7 stoweidlem36.9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
) )
8 stoweidlem36.18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
9 stoweidlem36.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ t F
109nfeq2 2580 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ t  f  =  F
119nfeq2 2580 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ t  g  =  F
12 stoweidlem36.14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
1310, 11, 12stoweidlem6 29647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t ) ) )  e.  A )
148, 8, 13mpd3an23 1309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
) )  e.  A
)
157, 14syl5eqel 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e.  A )
166, 15sseldd 3345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
173, 4, 5, 16fcnre 29592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : T --> RR )
1817fnvinran 29581 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  e.  RR )
1918recnd 9400 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  e.  CC )
20 stoweidlem36.10 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
21 stoweidlem36.12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
22 stoweidlem36.16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  e.  T )
23 ne0i 3631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  T  ->  T  =/=  (/) )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
254, 3, 21, 16, 24cncmpmax 29599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
G ,  RR ,  <  )  e.  ran  G  /\  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) ) )
2625simp2d 994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2720, 26syl5eqel 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
2827recnd 9400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
2928adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  N  e.  CC )
30 0re 9374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
3217, 22ffvelrnd 5832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  e.  RR )
336, 8sseldd 3345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
343, 4, 5, 33fcnre 29592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
3534, 22ffvelrnd 5832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  e.  RR )
36 stoweidlem36.19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  =/=  ( F `
 Z ) )
37 stoweidlem36.20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  Z
)  =  0 )
3836, 37neeqtrd 2620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  =/=  0 )
3935, 38msqgt0d 9895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S ) ) )
4035, 35remulcld 9402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S )
)  e.  RR )
41 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ t S
429, 41nffv 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ t
( F `  S
)
43 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ t  x.
4442, 43, 42nfov 6103 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ t
( ( F `  S )  x.  ( F `  S )
)
45 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  S  ->  ( F `  t )  =  ( F `  S ) )
4645, 45oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  S  ->  (
( F `  t
)  x.  ( F `
 t ) )  =  ( ( F `
 S )  x.  ( F `  S
) ) )
4741, 44, 46, 7fvmptf 5778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  T  /\  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S )
)  e.  RR )  ->  ( G `  S )  =  ( ( F `  S
)  x.  ( F `
 S ) ) )
4822, 40, 47syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S ) ) )
4939, 48breqtrrd 4306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  ( G `
 S ) )
5025simp3d 995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
)
51 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  S  ->  ( G `  s )  =  ( G `  S ) )
5251breq1d 4290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  S  ->  (
( G `  s
)  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  <->  ( G `  S )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) ) )
5352rspccva 3061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  /\  S  e.  T
)  ->  ( G `  S )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
5450, 22, 53syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
5531, 32, 26, 49, 54ltletrd 9519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
5655gt0ne0d 9892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  =/=  0 )
5720neeq1i 2608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =/=  0  <->  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  =/=  0 )
5856, 57sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
5958adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  N  =/=  0 )
6019, 29, 59divrecd 10098 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  =  ( ( G `
 t )  x.  ( 1  /  N
) ) )
61 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
6227, 58rereccld 10146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  N
)  e.  RR )
6362adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  /  N )  e.  RR )
64 eqid 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )
6564fvmpt2 5769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR )  ->  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `
 t )  =  ( 1  /  N
) )
6661, 63, 65syl2anc 654 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |->  ( 1  /  N
) ) `  t
)  =  ( 1  /  N ) )
6766oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `  t ) )  =  ( ( G `  t )  x.  ( 1  /  N ) ) )
6860, 67eqtr4d 2468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  =  ( ( G `
 t )  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `  t ) ) )
692, 68mpteq2da 4365 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  /  N
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t
)  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `  t ) ) ) )
701, 69syl5eq 2477 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `
 t ) ) ) )
71 stoweidlem36.15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
7271stoweidlem4 29645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( 1  /  N )  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )  e.  A )
7362, 72mpdan 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N
) )  e.  A
)
74 stoweidlem36.4 . . . . . . . 8  |-  F/_ t G
7574nfeq2 2580 . . . . . . 7  |-  F/ t  f  =  G
76 nfmpt1 4369 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( 1  /  N
) )
7776nfeq2 2580 . . . . . . 7  |-  F/ t  g  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )
7875, 77, 12stoweidlem6 29647 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  G  e.  A  /\  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( G `  t
)  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `  t ) ) )  e.  A
)
7915, 73, 78mpd3an23 1309 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  x.  (
( t  e.  T  |->  ( 1  /  N
) ) `  t
) ) )  e.  A )
8070, 79eqeltrd 2507 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  A )
81 stoweidlem36.17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
8217, 81ffvelrnd 5832 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  Z
)  e.  RR )
8382, 27, 58redivcld 10147 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G `  Z )  /  N
)  e.  RR )
84 nfcv 2569 . . . . . . . 8  |-  F/_ t Z
8574, 84nffv 5686 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( G `  Z
)
86 nfcv 2569 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t  /
87 nfcv 2569 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t N
8885, 86, 87nfov 6103 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( ( G `  Z )  /  N
)
89 fveq2 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  Z  ->  ( G `  t )  =  ( G `  Z ) )
9089oveq1d 6095 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  Z  ->  (
( G `  t
)  /  N )  =  ( ( G `
 Z )  /  N ) )
9184, 88, 90, 1fvmptf 5778 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  T  /\  ( ( G `  Z )  /  N
)  e.  RR )  ->  ( H `  Z )  =  ( ( G `  Z
)  /  N ) )
9281, 83, 91syl2anc 654 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H `  Z
)  =  ( ( G `  Z )  /  N ) )
9337, 30syl6eqel 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  Z
)  e.  RR )
9493, 93remulcld 9402 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  e.  RR )
959, 84nffv 5686 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
( F `  Z
)
9695, 43, 95nfov 6103 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)
97 fveq2 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  Z  ->  ( F `  t )  =  ( F `  Z ) )
9897, 97oveq12d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  Z  ->  (
( F `  t
)  x.  ( F `
 t ) )  =  ( ( F `
 Z )  x.  ( F `  Z
) ) )
9984, 96, 98, 7fvmptf 5778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  e.  T  /\  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  e.  RR )  ->  ( G `  Z )  =  ( ( F `  Z
)  x.  ( F `
 Z ) ) )
10081, 94, 99syl2anc 654 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  Z
)  =  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z ) ) )
10137, 37oveq12d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  =  ( 0  x.  0 ) )
102 0cn 9366 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  CC
103102mul02i 9546 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  x.  0 )  =  0
104101, 103syl6eq 2481 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  =  0 )
105100, 104eqtrd 2465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  Z
)  =  0 )
106105oveq1d 6095 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( G `  Z )  /  N
)  =  ( 0  /  N ) )
10728, 58div0d 10094 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  /  N
)  =  0 )
10892, 106, 1073eqtrd 2469 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H `  Z
)  =  0 )
10934fnvinran 29581 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
110109msqge0d 9896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
) )
111109, 109remulcld 9402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  x.  ( F `
 t ) )  e.  RR )
1127fvmpt2 5769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
)  e.  RR )  ->  ( G `  t )  =  ( ( F `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )
11361, 111, 112syl2anc 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  =  ( ( F `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )
114110, 113breqtrrd 4306 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( G `  t
) )
11527adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  N  e.  RR )
11655, 20syl6breqr 4320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  N )
117116adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <  N )
118 divge0 10186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( G `  t ) )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  0  <_  ( ( G `  t
)  /  N ) )
11918, 114, 115, 117, 118syl22anc 1212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( G `  t )  /  N
) )
12018, 115, 59redivcld 10147 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  e.  RR )
1211fvmpt2 5769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( G `  t )  /  N
)  e.  RR )  ->  ( H `  t )  =  ( ( G `  t
)  /  N ) )
12261, 120, 121syl2anc 654 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( H `  t )  =  ( ( G `
 t )  /  N ) )
123119, 122breqtrrd 4306 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( H `  t
) )
12419div1d 10087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  1 )  =  ( G `  t ) )
125 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  t  ->  ( G `  s )  =  ( G `  t ) )
126125breq1d 4290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  t  ->  (
( G `  s
)  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  <->  ( G `  t )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) ) )
127126rspccva 3061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  /\  t  e.  T
)  ->  ( G `  t )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
12850, 127sylan 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
)
129128, 20syl6breqr 4320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  <_  N )
130124, 129eqbrtrd 4300 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  1 )  <_  N )
131 1re 9373 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
132131a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  RR )
133 0lt1 9850 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  1
134133a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <  1 )
135 lediv23 10212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G `  t
)  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )  -> 
( ( ( G `
 t )  /  N )  <_  1  <->  ( ( G `  t
)  /  1 )  <_  N ) )
13618, 115, 117, 132, 134, 135syl122anc 1220 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( G `  t )  /  N
)  <_  1  <->  ( ( G `  t )  /  1 )  <_  N ) )
137130, 136mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  <_  1 )
138122, 137eqbrtrd 4300 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( H `  t )  <_  1 )
139123, 138jca 529 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t )  <_  1 ) )
140139ex 434 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) ) )
1412, 140ralrimi 2787 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) )
142108, 141jca 529 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( H `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( H `  t
)  /\  ( H `  t )  <_  1
) ) )
143 fveq1 5678 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
h `  Z )  =  ( H `  Z ) )
144143eqeq1d 2441 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  (
( h `  Z
)  =  0  <->  ( H `  Z )  =  0 ) )
145 stoweidlem36.2 . . . . . . . 8  |-  F/_ t H
146145nfeq2 2580 . . . . . . 7  |-  F/ t  h  =  H
147 fveq1 5678 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  H  ->  (
h `  t )  =  ( H `  t ) )
148147breq2d 4292 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  H  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( H `  t ) ) )
149147breq1d 4290 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  H  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( H `  t )  <_  1
) )
150148, 149anbi12d 703 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) ) )
151146, 150ralbid 2723 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) ) )
152144, 151anbi12d 703 . . . . 5  |-  ( h  =  H  ->  (
( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
) )  <->  ( ( H `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t )  <_  1 ) ) ) )
153152elrab 3106 . . . 4  |-  ( H  e.  { h  e.  A  |  ( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }  <-> 
( H  e.  A  /\  ( ( H `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( H `  t
)  /\  ( H `  t )  <_  1
) ) ) )
15480, 142, 153sylanbrc 657 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  { h  e.  A  |  (
( h `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) ) } )
155 stoweidlem36.7 . . 3  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
156154, 155syl6eleqr 2524 . 2  |-  ( ph  ->  H  e.  Q )
15732, 27, 49, 116divgt0d 10256 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( G `  S )  /  N ) )
15832, 27, 58redivcld 10147 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G `  S )  /  N
)  e.  RR )
15974, 41nffv 5686 . . . . . 6  |-  F/_ t
( G `  S
)
160159, 86, 87nfov 6103 . . . . 5  |-  F/_ t
( ( G `  S )  /  N
)
161 fveq2 5679 . . . . . 6  |-  ( t  =  S  ->  ( G `  t )  =  ( G `  S ) )
162161oveq1d 6095 . . . . 5  |-  ( t  =  S  ->  (
( G `  t
)  /  N )  =  ( ( G `
 S )  /  N ) )
16341, 160, 162, 1fvmptf 5778 . . . 4  |-  ( ( S  e.  T  /\  ( ( G `  S )  /  N
)  e.  RR )  ->  ( H `  S )  =  ( ( G `  S
)  /  N ) )
16422, 158, 163syl2anc 654 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  S
)  =  ( ( G `  S )  /  N ) )
165157, 164breqtrrd 4306 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  ( H `
 S ) )
166 nfcv 2569 . . . 4  |-  F/_ h H
167 stoweidlem36.1 . . . . . 6  |-  F/_ h Q
168167nfel2 2581 . . . . 5  |-  F/ h  H  e.  Q
169 nfv 1672 . . . . 5  |-  F/ h
0  <  ( H `  S )
170168, 169nfan 1859 . . . 4  |-  F/ h
( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `
 S ) )
171 eleq1 2493 . . . . 5  |-  ( h  =  H  ->  (
h  e.  Q  <->  H  e.  Q ) )
172 fveq1 5678 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  (
h `  S )  =  ( H `  S ) )
173172breq2d 4292 . . . . 5  |-  ( h  =  H  ->  (
0  <  ( h `  S )  <->  0  <  ( H `  S ) ) )
174171, 173anbi12d 703 . . . 4  |-  ( h  =  H  ->  (
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 S ) )  <-> 
( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `
 S ) ) ) )
175166, 170, 174spcegf 3042 . . 3  |-  ( H  e.  Q  ->  (
( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `
 S ) )  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) ) )
176175anabsi5 806 . 2  |-  ( ( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `  S ) )  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  < 
( h `  S
) ) )
177156, 165, 176syl2anc 654 1  |-  ( ph  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362   E.wex 1589   F/wnf 1592    e. wcel 1755   F/_wnfc 2556    =/= wne 2596   A.wral 2705   {crab 2709    C_ wss 3316   (/)c0 3625   U.cuni 4079   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   ran crn 4828   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   supcsup 7678   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    x. cmul 9275    < clt 9406    <_ cle 9407    / cdiv 9981   (,)cioo 11288   topGenctg 14359    Cn ccn 18670   Compccmp 18831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-cmp 18832  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739
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