Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem36 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem36 32000
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that pt ( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt . G is used for (ht)^2 and the final h is a normalized version of G ( divided by its norm, see the variable N ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem36.1  |-  F/_ h Q
stoweidlem36.2  |-  F/_ t H
stoweidlem36.3  |-  F/_ t F
stoweidlem36.4  |-  F/_ t G
stoweidlem36.5  |-  F/ t
ph
stoweidlem36.6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem36.7  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem36.8  |-  T  = 
U. J
stoweidlem36.9  |-  G  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
) )
stoweidlem36.10  |-  N  =  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
stoweidlem36.11  |-  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  /  N
) )
stoweidlem36.12  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem36.13  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem36.14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem36.15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem36.16  |-  ( ph  ->  S  e.  T )
stoweidlem36.17  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
stoweidlem36.18  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
stoweidlem36.19  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  =/=  ( F `
 Z ) )
stoweidlem36.20  |-  ( ph  ->  ( F `  Z
)  =  0 )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem36  |-  ( ph  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
t, T    A, f,
g    f, F, g    f, G, g    ph, f, g   
g, N, t    t, h, S    A, h    h, H    T, h    h, Z, t    x, t, N   
x, A    x, T    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t, h)    A( t)    Q( x, t, f, g, h)    S( x, f, g)    F( x, t, h)    G( x, t, h)    H( x, t, f, g)    J( x, t, f, g, h)    K( x, t, f, g, h)    N( f, h)    Z( x, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem36
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem36.11 . . . . . 6  |-  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  /  N
) )
2 stoweidlem36.5 . . . . . . 7  |-  F/ t
ph
3 stoweidlem36.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
4 stoweidlem36.8 . . . . . . . . . . . 12  |-  T  = 
U. J
5 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
6 stoweidlem36.13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
7 stoweidlem36.9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
) )
8 stoweidlem36.18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
9 stoweidlem36.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ t F
109nfeq2 2636 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ t  f  =  F
119nfeq2 2636 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ t  g  =  F
12 stoweidlem36.14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
1310, 11, 12stoweidlem6 31970 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t ) ) )  e.  A )
148, 8, 13mpd3an23 1326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
) )  e.  A
)
157, 14syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e.  A )
166, 15sseldd 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
173, 4, 5, 16fcnre 31582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : T --> RR )
1817fnvinran 31571 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  e.  RR )
1918recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  e.  CC )
20 stoweidlem36.10 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
21 stoweidlem36.12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
22 stoweidlem36.16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  e.  T )
23 ne0i 3799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  T  ->  T  =/=  (/) )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
254, 3, 21, 16, 24cncmpmax 31589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
G ,  RR ,  <  )  e.  ran  G  /\  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) ) )
2625simp2d 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2720, 26syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
2827recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
2928adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  N  e.  CC )
30 0red 9614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
3117, 22ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  e.  RR )
326, 8sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
333, 4, 5, 32fcnre 31582 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
3433, 22ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  e.  RR )
35 stoweidlem36.19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  =/=  ( F `
 Z ) )
36 stoweidlem36.20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  Z
)  =  0 )
3735, 36neeqtrd 2752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  =/=  0 )
3834, 37msqgt0d 10141 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S ) ) )
3934, 34remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S )
)  e.  RR )
40 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ t S
419, 40nffv 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ t
( F `  S
)
42 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ t  x.
4341, 42, 41nfov 6322 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ t
( ( F `  S )  x.  ( F `  S )
)
44 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  S  ->  ( F `  t )  =  ( F `  S ) )
4544, 44oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  S  ->  (
( F `  t
)  x.  ( F `
 t ) )  =  ( ( F `
 S )  x.  ( F `  S
) ) )
4640, 43, 45, 7fvmptf 5973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  T  /\  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S )
)  e.  RR )  ->  ( G `  S )  =  ( ( F `  S
)  x.  ( F `
 S ) ) )
4722, 39, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S ) ) )
4838, 47breqtrrd 4482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  ( G `
 S ) )
4925simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
)
50 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  S  ->  ( G `  s )  =  ( G `  S ) )
5150breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  S  ->  (
( G `  s
)  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  <->  ( G `  S )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) ) )
5251rspccva 3209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  /\  S  e.  T
)  ->  ( G `  S )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
5349, 22, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
5430, 31, 26, 48, 53ltletrd 9759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
5554gt0ne0d 10138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  =/=  0 )
5620neeq1i 2742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =/=  0  <->  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  =/=  0 )
5755, 56sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
5857adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  N  =/=  0 )
5919, 29, 58divrecd 10344 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  =  ( ( G `
 t )  x.  ( 1  /  N
) ) )
60 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
6127, 57rereccld 10392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  N
)  e.  RR )
6261adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  /  N )  e.  RR )
63 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )
6463fvmpt2 5964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR )  ->  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `
 t )  =  ( 1  /  N
) )
6560, 62, 64syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |->  ( 1  /  N
) ) `  t
)  =  ( 1  /  N ) )
6665oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `  t ) )  =  ( ( G `  t )  x.  ( 1  /  N ) ) )
6759, 66eqtr4d 2501 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  =  ( ( G `
 t )  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `  t ) ) )
682, 67mpteq2da 4542 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  /  N
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t
)  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `  t ) ) ) )
691, 68syl5eq 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `
 t ) ) ) )
70 stoweidlem36.15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
7170stoweidlem4 31968 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( 1  /  N )  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )  e.  A )
7261, 71mpdan 668 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N
) )  e.  A
)
73 stoweidlem36.4 . . . . . . . 8  |-  F/_ t G
7473nfeq2 2636 . . . . . . 7  |-  F/ t  f  =  G
75 nfmpt1 4546 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( 1  /  N
) )
7675nfeq2 2636 . . . . . . 7  |-  F/ t  g  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )
7774, 76, 12stoweidlem6 31970 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  G  e.  A  /\  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( G `  t
)  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `  t ) ) )  e.  A
)
7815, 72, 77mpd3an23 1326 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  x.  (
( t  e.  T  |->  ( 1  /  N
) ) `  t
) ) )  e.  A )
7969, 78eqeltrd 2545 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  A )
80 stoweidlem36.17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
8117, 80ffvelrnd 6033 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  Z
)  e.  RR )
8281, 27, 57redivcld 10393 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G `  Z )  /  N
)  e.  RR )
83 nfcv 2619 . . . . . . . 8  |-  F/_ t Z
8473, 83nffv 5879 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( G `  Z
)
85 nfcv 2619 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t  /
86 nfcv 2619 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t N
8784, 85, 86nfov 6322 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( ( G `  Z )  /  N
)
88 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  Z  ->  ( G `  t )  =  ( G `  Z ) )
8988oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  Z  ->  (
( G `  t
)  /  N )  =  ( ( G `
 Z )  /  N ) )
9083, 87, 89, 1fvmptf 5973 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  T  /\  ( ( G `  Z )  /  N
)  e.  RR )  ->  ( H `  Z )  =  ( ( G `  Z
)  /  N ) )
9180, 82, 90syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H `  Z
)  =  ( ( G `  Z )  /  N ) )
92 0re 9613 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
9336, 92syl6eqel 2553 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  Z
)  e.  RR )
9493, 93remulcld 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  e.  RR )
959, 83nffv 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
( F `  Z
)
9695, 42, 95nfov 6322 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)
97 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  Z  ->  ( F `  t )  =  ( F `  Z ) )
9897, 97oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  Z  ->  (
( F `  t
)  x.  ( F `
 t ) )  =  ( ( F `
 Z )  x.  ( F `  Z
) ) )
9983, 96, 98, 7fvmptf 5973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  e.  T  /\  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  e.  RR )  ->  ( G `  Z )  =  ( ( F `  Z
)  x.  ( F `
 Z ) ) )
10080, 94, 99syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  Z
)  =  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z ) ) )
10136, 36oveq12d 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  =  ( 0  x.  0 ) )
102 0cn 9605 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  CC
103102mul02i 9786 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  x.  0 )  =  0
104101, 103syl6eq 2514 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  =  0 )
105100, 104eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  Z
)  =  0 )
106105oveq1d 6311 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( G `  Z )  /  N
)  =  ( 0  /  N ) )
10728, 57div0d 10340 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  /  N
)  =  0 )
10891, 106, 1073eqtrd 2502 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H `  Z
)  =  0 )
10933fnvinran 31571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
110109msqge0d 10142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
) )
111109, 109remulcld 9641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  x.  ( F `
 t ) )  e.  RR )
1127fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
)  e.  RR )  ->  ( G `  t )  =  ( ( F `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )
11360, 111, 112syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  =  ( ( F `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )
114110, 113breqtrrd 4482 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( G `  t
) )
11527adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  N  e.  RR )
11654, 20syl6breqr 4496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  N )
117116adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <  N )
118 divge0 10432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( G `  t ) )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  0  <_  ( ( G `  t
)  /  N ) )
11918, 114, 115, 117, 118syl22anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( G `  t )  /  N
) )
12018, 115, 58redivcld 10393 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  e.  RR )
1211fvmpt2 5964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( G `  t )  /  N
)  e.  RR )  ->  ( H `  t )  =  ( ( G `  t
)  /  N ) )
12260, 120, 121syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( H `  t )  =  ( ( G `
 t )  /  N ) )
123119, 122breqtrrd 4482 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( H `  t
) )
12419div1d 10333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  1 )  =  ( G `  t ) )
125 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  t  ->  ( G `  s )  =  ( G `  t ) )
126125breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  t  ->  (
( G `  s
)  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  <->  ( G `  t )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) ) )
127126rspccva 3209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  /\  t  e.  T
)  ->  ( G `  t )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
12849, 127sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
)
129128, 20syl6breqr 4496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  <_  N )
130124, 129eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  1 )  <_  N )
131 1red 9628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  RR )
132 0lt1 10096 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  1
133132a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <  1 )
134 lediv23 10457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G `  t
)  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )  -> 
( ( ( G `
 t )  /  N )  <_  1  <->  ( ( G `  t
)  /  1 )  <_  N ) )
13518, 115, 117, 131, 133, 134syl122anc 1237 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( G `  t )  /  N
)  <_  1  <->  ( ( G `  t )  /  1 )  <_  N ) )
136130, 135mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  <_  1 )
137122, 136eqbrtrd 4476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( H `  t )  <_  1 )
138123, 137jca 532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t )  <_  1 ) )
139138ex 434 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) ) )
1402, 139ralrimi 2857 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) )
141108, 140jca 532 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( H `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( H `  t
)  /\  ( H `  t )  <_  1
) ) )
142 fveq1 5871 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
h `  Z )  =  ( H `  Z ) )
143142eqeq1d 2459 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  (
( h `  Z
)  =  0  <->  ( H `  Z )  =  0 ) )
144 stoweidlem36.2 . . . . . . . 8  |-  F/_ t H
145144nfeq2 2636 . . . . . . 7  |-  F/ t  h  =  H
146 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  H  ->  (
h `  t )  =  ( H `  t ) )
147146breq2d 4468 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  H  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( H `  t ) ) )
148146breq1d 4466 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  H  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( H `  t )  <_  1
) )
149147, 148anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) ) )
150145, 149ralbid 2891 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) ) )
151143, 150anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( h  =  H  ->  (
( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
) )  <->  ( ( H `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t )  <_  1 ) ) ) )
152151elrab 3257 . . . 4  |-  ( H  e.  { h  e.  A  |  ( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }  <-> 
( H  e.  A  /\  ( ( H `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( H `  t
)  /\  ( H `  t )  <_  1
) ) ) )
15379, 141, 152sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  { h  e.  A  |  (
( h `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) ) } )
154 stoweidlem36.7 . . 3  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
155153, 154syl6eleqr 2556 . 2  |-  ( ph  ->  H  e.  Q )
15631, 27, 48, 116divgt0d 10501 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( G `  S )  /  N ) )
15731, 27, 57redivcld 10393 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G `  S )  /  N
)  e.  RR )
15873, 40nffv 5879 . . . . . 6  |-  F/_ t
( G `  S
)
159158, 85, 86nfov 6322 . . . . 5  |-  F/_ t
( ( G `  S )  /  N
)
160 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( t  =  S  ->  ( G `  t )  =  ( G `  S ) )
161160oveq1d 6311 . . . . 5  |-  ( t  =  S  ->  (
( G `  t
)  /  N )  =  ( ( G `
 S )  /  N ) )
16240, 159, 161, 1fvmptf 5973 . . . 4  |-  ( ( S  e.  T  /\  ( ( G `  S )  /  N
)  e.  RR )  ->  ( H `  S )  =  ( ( G `  S
)  /  N ) )
16322, 157, 162syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  S
)  =  ( ( G `  S )  /  N ) )
164156, 163breqtrrd 4482 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  ( H `
 S ) )
165 nfcv 2619 . . . 4  |-  F/_ h H
166 stoweidlem36.1 . . . . . 6  |-  F/_ h Q
167166nfel2 2637 . . . . 5  |-  F/ h  H  e.  Q
168 nfv 1708 . . . . 5  |-  F/ h
0  <  ( H `  S )
169167, 168nfan 1929 . . . 4  |-  F/ h
( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `
 S ) )
170 eleq1 2529 . . . . 5  |-  ( h  =  H  ->  (
h  e.  Q  <->  H  e.  Q ) )
171 fveq1 5871 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  (
h `  S )  =  ( H `  S ) )
172171breq2d 4468 . . . . 5  |-  ( h  =  H  ->  (
0  <  ( h `  S )  <->  0  <  ( H `  S ) ) )
173170, 172anbi12d 710 . . . 4  |-  ( h  =  H  ->  (
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 S ) )  <-> 
( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `
 S ) ) ) )
174165, 169, 173spcegf 3190 . . 3  |-  ( H  e.  Q  ->  (
( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `
 S ) )  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) ) )
175174anabsi5 817 . 2  |-  ( ( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `  S ) )  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  < 
( h `  S
) ) )
176155, 164, 175syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613   F/wnf 1617    e. wcel 1819   F/_wnfc 2605    =/= wne 2652   A.wral 2807   {crab 2811    C_ wss 3471   (/)c0 3793   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    / cdiv 10227   (,)cioo 11554   topGenctg 14855    Cn ccn 19852   Compccmp 20013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951
This theorem is referenced by:  stoweidlem43  32007
  Copyright terms: Public domain W3C validator