Theorem stoweidlem36 29677

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p_t as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that p_t ( t₀ ) = 0 , p_t ( t ) > 0, and 0 <= p_t <= 1. Z is used for t₀ , S is used for t e. T - U , h is used for p_t . G is used for (h_t)^2 and the final h is a normalized version of G ( divided by its norm, see the variable N ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem36.1	|- F/_ h Q
stoweidlem36.2	|- F/_ t H
stoweidlem36.3	|- F/_ t F
stoweidlem36.4	|- F/_ t G
stoweidlem36.5	|- F/ t ph
stoweidlem36.6	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem36.7	|- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
stoweidlem36.8	|- T = U. J
stoweidlem36.9	|- G = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) )
stoweidlem36.10	|- N = sup ( ran G , RR , < )
stoweidlem36.11	|- H = ( t e. T |-> ( ( G ` t ) / N ) )
stoweidlem36.12	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem36.13	|- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
stoweidlem36.14	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem36.15	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem36.16	|- ( ph -> S e. T )
stoweidlem36.17	|- ( ph -> Z e. T )
stoweidlem36.18	|- ( ph -> F e. A )
stoweidlem36.19	|- ( ph -> ( F ` S ) =/= ( F ` Z ) )
stoweidlem36.20	|- ( ph -> ( F ` Z ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem36	|- ( ph -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, t, T   A, f, g   f, F, g   f, G, g   ph, f, g   g, N, t   t, h, S   A, h   h, H   T, h   h, Z, t   x, t, N   x, A   x, T   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( t, h)   A( t)   Q( x, t, f, g, h)   S( x, f, g)   F( x, t, h)   G( x, t, h)   H( x, t, f, g)   J( x, t, f, g, h)   K( x, t, f, g, h)   N( f, h)   Z( x, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem36

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem36.11	. . . . . 6 |- H = ( t e. T |-> ( ( G ` t ) / N ) )
2		stoweidlem36.5	. . . . . . 7 |- F/ t ph
3		stoweidlem36.6	. . . . . . . . . . . 12 |- K = ( topGen ` ran (,) )
4		stoweidlem36.8	. . . . . . . . . . . 12 |- T = U. J
5		eqid 2433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J Cn K ) = ( J Cn K )
6		stoweidlem36.13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
7		stoweidlem36.9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- G = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) )
8		stoweidlem36.18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F e. A )
9		stoweidlem36.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ t F
10	9	nfeq2 2580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ t f = F
11	9	nfeq2 2580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ t g = F
12		stoweidlem36.14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
13	10, 11, 12	stoweidlem6 29647	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ F e. A /\ F e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) ) e. A )
14	8, 8, 13	mpd3an23 1309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) ) e. A )
15	7, 14	syl5eqel 2517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. A )
16	6, 15	sseldd 3345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G e. ( J Cn K ) )
17	3, 4, 5, 16	fcnre 29592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : T --> RR )
18	17	fnvinran 29581	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) e. RR )
19	18	recnd 9400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) e. CC )
20		stoweidlem36.10	. . . . . . . . . . . 12 |- N = sup ( ran G , RR , < )
21		stoweidlem36.12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> J e. Comp )
22		stoweidlem36.16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S e. T )
23		ne0i 3631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S e. T -> T =/= (/) )
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> T =/= (/) )
25	4, 3, 21, 16, 24	cncmpmax 29599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( sup ( ran G , RR , < ) e. ran G /\ sup ( ran G , RR , < ) e. RR /\ A. s e. T ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) ) )
26	25	simp2d 994	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sup ( ran G , RR , < ) e. RR )
27	20, 26	syl5eqel 2517	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. RR )
28	27	recnd 9400	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. CC )
29	28	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> N e. CC )
30		0re 9374	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 e. RR )
32	17, 22	ffvelrnd 5832	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( G ` S ) e. RR )
33	6, 8	sseldd 3345	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
34	3, 4, 5, 33	fcnre 29592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : T --> RR )
35	34, 22	ffvelrnd 5832	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F ` S ) e. RR )
36		stoweidlem36.19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F ` S ) =/= ( F ` Z ) )
37		stoweidlem36.20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F ` Z ) = 0 )
38	36, 37	neeqtrd 2620	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F ` S ) =/= 0 )
39	35, 38	msqgt0d 9895	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) )
40	35, 35	remulcld 9402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) e. RR )
41		nfcv 2569	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ t S
42	9, 41	nffv 5686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ t ( F ` S )
43		nfcv 2569	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ t x.
44	42, 43, 42	nfov 6103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ t ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) )
45		fveq2 5679	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = S -> ( F ` t ) = ( F ` S ) )
46	45, 45	oveq12d 6098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = S -> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) = ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) )
47	41, 44, 46, 7	fvmptf 5778	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. T /\ ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) e. RR ) -> ( G ` S ) = ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) )
48	22, 40, 47	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( G ` S ) = ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) )
49	39, 48	breqtrrd 4306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < ( G ` S ) )
50	25	simp3d 995	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. s e. T ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) )
51		fveq2 5679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s = S -> ( G ` s ) = ( G ` S ) )
52	51	breq1d 4290	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = S -> ( ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) <-> ( G ` S ) <_ sup ( ran G , RR , < ) ) )
53	52	rspccva 3061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. s e. T ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) /\ S e. T ) -> ( G ` S ) <_ sup ( ran G , RR , < ) )
54	50, 22, 53	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( G ` S ) <_ sup ( ran G , RR , < ) )
55	31, 32, 26, 49, 54	ltletrd 9519	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < sup ( ran G , RR , < ) )
56	55	gt0ne0d 9892	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sup ( ran G , RR , < ) =/= 0 )
57	20	neeq1i 2608	. . . . . . . . . . 11 |- ( N =/= 0 <-> sup ( ran G , RR , < ) =/= 0 )
58	56, 57	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N =/= 0 )
59	58	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> N =/= 0 )
60	19, 29, 59	divrecd 10098	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / N ) = ( ( G ` t ) x. ( 1 / N ) ) )
61		simpr 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. T )
62	27, 58	rereccld 10146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / N ) e. RR )
63	62	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 1 / N ) e. RR )
64		eqid 2433	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) = ( t e. T |-> ( 1 / N ) )
65	64	fvmpt2 5769	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. T /\ ( 1 / N ) e. RR ) -> ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) = ( 1 / N ) )
66	61, 63, 65	syl2anc 654	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) = ( 1 / N ) )
67	66	oveq2d 6096	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) = ( ( G ` t ) x. ( 1 / N ) ) )
68	60, 67	eqtr4d 2468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / N ) = ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) )
69	2, 68	mpteq2da 4365	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( G ` t ) / N ) ) = ( t e. T |-> ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) ) )
70	1, 69	syl5eq 2477	. . . . 5 |- ( ph -> H = ( t e. T |-> ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) ) )
71		stoweidlem36.15	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
72	71	stoweidlem4 29645	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( 1 / N ) e. RR ) -> ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) e. A )
73	62, 72	mpdan 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) e. A )
74		stoweidlem36.4	. . . . . . . 8 |- F/_ t G
75	74	nfeq2 2580	. . . . . . 7 |- F/ t f = G
76		nfmpt1 4369	. . . . . . . 8 |- F/_ t ( t e. T |-> ( 1 / N ) )
77	76	nfeq2 2580	. . . . . . 7 |- F/ t g = ( t e. T |-> ( 1 / N ) )
78	75, 77, 12	stoweidlem6 29647	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ G e. A /\ ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) ) e. A )
79	15, 73, 78	mpd3an23 1309	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) ) e. A )
80	70, 79	eqeltrd 2507	. . . 4 |- ( ph -> H e. A )
81		stoweidlem36.17	. . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. T )
82	17, 81	ffvelrnd 5832	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G ` Z ) e. RR )
83	82, 27, 58	redivcld 10147	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G ` Z ) / N ) e. RR )
84		nfcv 2569	. . . . . . . 8 |- F/_ t Z
85	74, 84	nffv 5686	. . . . . . . . 9 |- F/_ t ( G ` Z )
86		nfcv 2569	. . . . . . . . 9 |- F/_ t /
87		nfcv 2569	. . . . . . . . 9 |- F/_ t N
88	85, 86, 87	nfov 6103	. . . . . . . 8 |- F/_ t ( ( G ` Z ) / N )
89		fveq2 5679	. . . . . . . . 9 |- ( t = Z -> ( G ` t ) = ( G ` Z ) )
90	89	oveq1d 6095	. . . . . . . 8 |- ( t = Z -> ( ( G ` t ) / N ) = ( ( G ` Z ) / N ) )
91	84, 88, 90, 1	fvmptf 5778	. . . . . . 7 |- ( ( Z e. T /\ ( ( G ` Z ) / N ) e. RR ) -> ( H ` Z ) = ( ( G ` Z ) / N ) )
92	81, 83, 91	syl2anc 654	. . . . . 6 |- ( ph -> ( H ` Z ) = ( ( G ` Z ) / N ) )
93	37, 30	syl6eqel 2521	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` Z ) e. RR )
94	93, 93	remulcld 9402	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) e. RR )
95	9, 84	nffv 5686	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t ( F ` Z )
96	95, 43, 95	nfov 6103	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) )
97		fveq2 5679	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = Z -> ( F ` t ) = ( F ` Z ) )
98	97, 97	oveq12d 6098	. . . . . . . . . 10 |- ( t = Z -> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) = ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) )
99	84, 96, 98, 7	fvmptf 5778	. . . . . . . . 9 |- ( ( Z e. T /\ ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) e. RR ) -> ( G ` Z ) = ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) )
100	81, 94, 99	syl2anc 654	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G ` Z ) = ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) )
101	37, 37	oveq12d 6098	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) = ( 0 x. 0 ) )
102		0cn 9366	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. CC
103	102	mul02i 9546	. . . . . . . . 9 |- ( 0 x. 0 ) = 0
104	101, 103	syl6eq 2481	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) = 0 )
105	100, 104	eqtrd 2465	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` Z ) = 0 )
106	105	oveq1d 6095	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( G ` Z ) / N ) = ( 0 / N ) )
107	28, 58	div0d 10094	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 / N ) = 0 )
108	92, 106, 107	3eqtrd 2469	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` Z ) = 0 )
109	34	fnvinran 29581	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) e. RR )
110	109	msqge0d 9896	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) )
111	109, 109	remulcld 9402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) e. RR )
112	7	fvmpt2 5769	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. T /\ ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) e. RR ) -> ( G ` t ) = ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) )
113	61, 111, 112	syl2anc 654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) = ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) )
114	110, 113	breqtrrd 4306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( G ` t ) )
115	27	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> N e. RR )
116	55, 20	syl6breqr 4320	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < N )
117	116	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 < N )
118		divge0 10186	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G ` t ) e. RR /\ 0 <_ ( G ` t ) ) /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> 0 <_ ( ( G ` t ) / N ) )
119	18, 114, 115, 117, 118	syl22anc 1212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( G ` t ) / N ) )
120	18, 115, 59	redivcld 10147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / N ) e. RR )
121	1	fvmpt2 5769	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. T /\ ( ( G ` t ) / N ) e. RR ) -> ( H ` t ) = ( ( G ` t ) / N ) )
122	61, 120, 121	syl2anc 654	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( H ` t ) = ( ( G ` t ) / N ) )
123	119, 122	breqtrrd 4306	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( H ` t ) )
124	19	div1d 10087	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / 1 ) = ( G ` t ) )
125		fveq2 5679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = t -> ( G ` s ) = ( G ` t ) )
126	125	breq1d 4290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = t -> ( ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) <-> ( G ` t ) <_ sup ( ran G , RR , < ) ) )
127	126	rspccva 3061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. s e. T ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) /\ t e. T ) -> ( G ` t ) <_ sup ( ran G , RR , < ) )
128	50, 127	sylan 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) <_ sup ( ran G , RR , < ) )
129	128, 20	syl6breqr 4320	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) <_ N )
130	124, 129	eqbrtrd 4300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / 1 ) <_ N )
131		1re 9373	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 1 e. RR )
133		0lt1 9850	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 < 1 )
135		lediv23 10212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G ` t ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) ) -> ( ( ( G ` t ) / N ) <_ 1 <-> ( ( G ` t ) / 1 ) <_ N ) )
136	18, 115, 117, 132, 134, 135	syl122anc 1220	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( ( G ` t ) / N ) <_ 1 <-> ( ( G ` t ) / 1 ) <_ N ) )
137	130, 136	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / N ) <_ 1 )
138	122, 137	eqbrtrd 4300	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( H ` t ) <_ 1 )
139	123, 138	jca 529	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) )
140	139	ex 434	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. T -> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
141	2, 140	ralrimi 2787	. . . . 5 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) )
142	108, 141	jca 529	. . . 4 |- ( ph -> ( ( H ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
143		fveq1 5678	. . . . . . 7 |- ( h = H -> ( h ` Z ) = ( H ` Z ) )
144	143	eqeq1d 2441	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( ( h ` Z ) = 0 <-> ( H ` Z ) = 0 ) )
145		stoweidlem36.2	. . . . . . . 8 |- F/_ t H
146	145	nfeq2 2580	. . . . . . 7 |- F/ t h = H
147		fveq1 5678	. . . . . . . . 9 |- ( h = H -> ( h ` t ) = ( H ` t ) )
148	147	breq2d 4292	. . . . . . . 8 |- ( h = H -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( H ` t ) ) )
149	147	breq1d 4290	. . . . . . . 8 |- ( h = H -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( H ` t ) <_ 1 ) )
150	148, 149	anbi12d 703	. . . . . . 7 |- ( h = H -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
151	146, 150	ralbid 2723	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
152	144, 151	anbi12d 703	. . . . 5 |- ( h = H -> ( ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) <-> ( ( H ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) ) )
153	152	elrab 3106	. . . 4 |- ( H e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } <-> ( H e. A /\ ( ( H ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) ) )
154	80, 142, 153	sylanbrc 657	. . 3 |- ( ph -> H e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } )
155		stoweidlem36.7	. . 3 |- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
156	154, 155	syl6eleqr 2524	. 2 |- ( ph -> H e. Q )
157	32, 27, 49, 116	divgt0d 10256	. . 3 |- ( ph -> 0 < ( ( G ` S ) / N ) )
158	32, 27, 58	redivcld 10147	. . . 4 |- ( ph -> ( ( G ` S ) / N ) e. RR )
159	74, 41	nffv 5686	. . . . . 6 |- F/_ t ( G ` S )
160	159, 86, 87	nfov 6103	. . . . 5 |- F/_ t ( ( G ` S ) / N )
161		fveq2 5679	. . . . . 6 |- ( t = S -> ( G ` t ) = ( G ` S ) )
162	161	oveq1d 6095	. . . . 5 |- ( t = S -> ( ( G ` t ) / N ) = ( ( G ` S ) / N ) )
163	41, 160, 162, 1	fvmptf 5778	. . . 4 |- ( ( S e. T /\ ( ( G ` S ) / N ) e. RR ) -> ( H ` S ) = ( ( G ` S ) / N ) )
164	22, 158, 163	syl2anc 654	. . 3 |- ( ph -> ( H ` S ) = ( ( G ` S ) / N ) )
165	157, 164	breqtrrd 4306	. 2 |- ( ph -> 0 < ( H ` S ) )
166		nfcv 2569	. . . 4 |- F/_ h H
167		stoweidlem36.1	. . . . . 6 |- F/_ h Q
168	167	nfel2 2581	. . . . 5 |- F/ h H e. Q
169		nfv 1672	. . . . 5 |- F/ h 0 < ( H ` S )
170	168, 169	nfan 1859	. . . 4 |- F/ h ( H e. Q /\ 0 < ( H ` S ) )
171		eleq1 2493	. . . . 5 |- ( h = H -> ( h e. Q <-> H e. Q ) )
172		fveq1 5678	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( h ` S ) = ( H ` S ) )
173	172	breq2d 4292	. . . . 5 |- ( h = H -> ( 0 < ( h ` S ) <-> 0 < ( H ` S ) ) )
174	171, 173	anbi12d 703	. . . 4 |- ( h = H -> ( ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) <-> ( H e. Q /\ 0 < ( H ` S ) ) ) )
175	166, 170, 174	spcegf 3042	. . 3 |- ( H e. Q -> ( ( H e. Q /\ 0 < ( H ` S ) ) -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) ) )
176	175	anabsi5 806	. 2 |- ( ( H e. Q /\ 0 < ( H ` S ) ) -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) )
177	156, 165, 176	syl2anc 654	1 |- ( ph -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 958   = wceq 1362   E.wex 1589   F/wnf 1592   e. wcel 1755   F/_wnfc 2556   =/= wne 2596   A.wral 2705   {crab 2709   C_ wss 3316   (/)c0 3625   U.cuni 4079   class class class wbr 4280   e. cmpt 4338   ran crn 4828   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   supcsup 7678   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271   x. cmul 9275   < clt 9406   <_ cle 9407   / cdiv 9981   (,)cioo 11288   topGenctg 14359   Cn ccn 18670   Compccmp 18831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-mulf 9350

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-cmp 18832  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739

This theorem is referenced by:  stoweidlem43  29684