Theorem stoweidlem36 37891

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p_t as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that p_t ( t₀ ) = 0 , p_t ( t ) > 0, and 0 <= p_t <= 1. Z is used for t₀ , S is used for t e. T - U , h is used for p_t . G is used for (h_t)^2 and the final h is a normalized version of G ( divided by its norm, see the variable N ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem36.1	|- F/_ h Q
stoweidlem36.2	|- F/_ t H
stoweidlem36.3	|- F/_ t F
stoweidlem36.4	|- F/_ t G
stoweidlem36.5	|- F/ t ph
stoweidlem36.6	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem36.7	|- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
stoweidlem36.8	|- T = U. J
stoweidlem36.9	|- G = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) )
stoweidlem36.10	|- N = sup ( ran G , RR , < )
stoweidlem36.11	|- H = ( t e. T |-> ( ( G ` t ) / N ) )
stoweidlem36.12	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem36.13	|- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
stoweidlem36.14	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem36.15	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem36.16	|- ( ph -> S e. T )
stoweidlem36.17	|- ( ph -> Z e. T )
stoweidlem36.18	|- ( ph -> F e. A )
stoweidlem36.19	|- ( ph -> ( F ` S ) =/= ( F ` Z ) )
stoweidlem36.20	|- ( ph -> ( F ` Z ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem36	|- ( ph -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, t, T   A, f, g   f, F, g   f, G, g   ph, f, g   g, N, t   t, h, S   A, h   h, H   T, h   h, Z, t   x, t, N   x, A   x, T   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( t, h)   A( t)   Q( x, t, f, g, h)   S( x, f, g)   F( x, t, h)   G( x, t, h)   H( x, t, f, g)   J( x, t, f, g, h)   K( x, t, f, g, h)   N( f, h)   Z( x, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem36

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem36.11	. . . . . 6 |- H = ( t e. T |-> ( ( G ` t ) / N ) )
2		stoweidlem36.5	. . . . . . 7 |- F/ t ph
3		stoweidlem36.6	. . . . . . . . . . . 12 |- K = ( topGen ` ran (,) )
4		stoweidlem36.8	. . . . . . . . . . . 12 |- T = U. J
5		eqid 2450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J Cn K ) = ( J Cn K )
6		stoweidlem36.13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
7		stoweidlem36.9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- G = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) )
8		stoweidlem36.18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F e. A )
9		stoweidlem36.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ t F
10	9	nfeq2 2606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ t f = F
11	9	nfeq2 2606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ t g = F
12		stoweidlem36.14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
13	10, 11, 12	stoweidlem6 37860	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ F e. A /\ F e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) ) e. A )
14	8, 8, 13	mpd3an23 1365	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) ) e. A )
15	7, 14	syl5eqel 2532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. A )
16	6, 15	sseldd 3432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G e. ( J Cn K ) )
17	3, 4, 5, 16	fcnre 37340	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : T --> RR )
18	17	fnvinran 37329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) e. RR )
19	18	recnd 9666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) e. CC )
20		stoweidlem36.10	. . . . . . . . . . . 12 |- N = sup ( ran G , RR , < )
21		stoweidlem36.12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> J e. Comp )
22		stoweidlem36.16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S e. T )
23		ne0i 3736	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S e. T -> T =/= (/) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> T =/= (/) )
25	4, 3, 21, 16, 24	cncmpmax 37347	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( sup ( ran G , RR , < ) e. ran G /\ sup ( ran G , RR , < ) e. RR /\ A. s e. T ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) ) )
26	25	simp2d 1020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sup ( ran G , RR , < ) e. RR )
27	20, 26	syl5eqel 2532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. RR )
28	27	recnd 9666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. CC )
29	28	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> N e. CC )
30		0red 9641	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 e. RR )
31	17, 22	ffvelrnd 6021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( G ` S ) e. RR )
32	6, 8	sseldd 3432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
33	3, 4, 5, 32	fcnre 37340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : T --> RR )
34	33, 22	ffvelrnd 6021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F ` S ) e. RR )
35		stoweidlem36.19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F ` S ) =/= ( F ` Z ) )
36		stoweidlem36.20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F ` Z ) = 0 )
37	35, 36	neeqtrd 2692	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F ` S ) =/= 0 )
38	34, 37	msqgt0d 10178	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) )
39	34, 34	remulcld 9668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) e. RR )
40		nfcv 2591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ t S
41	9, 40	nffv 5870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ t ( F ` S )
42		nfcv 2591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ t x.
43	41, 42, 41	nfov 6314	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ t ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) )
44		fveq2 5863	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = S -> ( F ` t ) = ( F ` S ) )
45	44, 44	oveq12d 6306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = S -> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) = ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) )
46	40, 43, 45, 7	fvmptf 5964	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. T /\ ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) e. RR ) -> ( G ` S ) = ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) )
47	22, 39, 46	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( G ` S ) = ( ( F ` S ) x. ( F ` S ) ) )
48	38, 47	breqtrrd 4428	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < ( G ` S ) )
49	25	simp3d 1021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. s e. T ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) )
50		fveq2 5863	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s = S -> ( G ` s ) = ( G ` S ) )
51	50	breq1d 4411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = S -> ( ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) <-> ( G ` S ) <_ sup ( ran G , RR , < ) ) )
52	51	rspccva 3148	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. s e. T ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) /\ S e. T ) -> ( G ` S ) <_ sup ( ran G , RR , < ) )
53	49, 22, 52	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( G ` S ) <_ sup ( ran G , RR , < ) )
54	30, 31, 26, 48, 53	ltletrd 9792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < sup ( ran G , RR , < ) )
55	54	gt0ne0d 10175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sup ( ran G , RR , < ) =/= 0 )
56	20	neeq1i 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( N =/= 0 <-> sup ( ran G , RR , < ) =/= 0 )
57	55, 56	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N =/= 0 )
58	57	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> N =/= 0 )
59	19, 29, 58	divrecd 10383	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / N ) = ( ( G ` t ) x. ( 1 / N ) ) )
60		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. T )
61	27, 57	rereccld 10431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / N ) e. RR )
62	61	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 1 / N ) e. RR )
63		eqid 2450	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) = ( t e. T |-> ( 1 / N ) )
64	63	fvmpt2 5955	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. T /\ ( 1 / N ) e. RR ) -> ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) = ( 1 / N ) )
65	60, 62, 64	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) = ( 1 / N ) )
66	65	oveq2d 6304	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) = ( ( G ` t ) x. ( 1 / N ) ) )
67	59, 66	eqtr4d 2487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / N ) = ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) )
68	2, 67	mpteq2da 4487	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( G ` t ) / N ) ) = ( t e. T |-> ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) ) )
69	1, 68	syl5eq 2496	. . . . 5 |- ( ph -> H = ( t e. T |-> ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) ) )
70		stoweidlem36.15	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
71	70	stoweidlem4 37858	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( 1 / N ) e. RR ) -> ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) e. A )
72	61, 71	mpdan 673	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) e. A )
73		stoweidlem36.4	. . . . . . . 8 |- F/_ t G
74	73	nfeq2 2606	. . . . . . 7 |- F/ t f = G
75		nfmpt1 4491	. . . . . . . 8 |- F/_ t ( t e. T |-> ( 1 / N ) )
76	75	nfeq2 2606	. . . . . . 7 |- F/ t g = ( t e. T |-> ( 1 / N ) )
77	74, 76, 12	stoweidlem6 37860	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ G e. A /\ ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) ) e. A )
78	15, 72, 77	mpd3an23 1365	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( G ` t ) x. ( ( t e. T |-> ( 1 / N ) ) ` t ) ) ) e. A )
79	69, 78	eqeltrd 2528	. . . 4 |- ( ph -> H e. A )
80		stoweidlem36.17	. . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. T )
81	17, 80	ffvelrnd 6021	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G ` Z ) e. RR )
82	81, 27, 57	redivcld 10432	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G ` Z ) / N ) e. RR )
83		nfcv 2591	. . . . . . . 8 |- F/_ t Z
84	73, 83	nffv 5870	. . . . . . . . 9 |- F/_ t ( G ` Z )
85		nfcv 2591	. . . . . . . . 9 |- F/_ t /
86		nfcv 2591	. . . . . . . . 9 |- F/_ t N
87	84, 85, 86	nfov 6314	. . . . . . . 8 |- F/_ t ( ( G ` Z ) / N )
88		fveq2 5863	. . . . . . . . 9 |- ( t = Z -> ( G ` t ) = ( G ` Z ) )
89	88	oveq1d 6303	. . . . . . . 8 |- ( t = Z -> ( ( G ` t ) / N ) = ( ( G ` Z ) / N ) )
90	83, 87, 89, 1	fvmptf 5964	. . . . . . 7 |- ( ( Z e. T /\ ( ( G ` Z ) / N ) e. RR ) -> ( H ` Z ) = ( ( G ` Z ) / N ) )
91	80, 82, 90	syl2anc 666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( H ` Z ) = ( ( G ` Z ) / N ) )
92		0re 9640	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
93	36, 92	syl6eqel 2536	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` Z ) e. RR )
94	93, 93	remulcld 9668	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) e. RR )
95	9, 83	nffv 5870	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t ( F ` Z )
96	95, 42, 95	nfov 6314	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) )
97		fveq2 5863	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = Z -> ( F ` t ) = ( F ` Z ) )
98	97, 97	oveq12d 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( t = Z -> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) = ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) )
99	83, 96, 98, 7	fvmptf 5964	. . . . . . . . 9 |- ( ( Z e. T /\ ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) e. RR ) -> ( G ` Z ) = ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) )
100	80, 94, 99	syl2anc 666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G ` Z ) = ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) )
101	36, 36	oveq12d 6306	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) = ( 0 x. 0 ) )
102		0cn 9632	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. CC
103	102	mul02i 9819	. . . . . . . . 9 |- ( 0 x. 0 ) = 0
104	101, 103	syl6eq 2500	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ` Z ) x. ( F ` Z ) ) = 0 )
105	100, 104	eqtrd 2484	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` Z ) = 0 )
106	105	oveq1d 6303	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( G ` Z ) / N ) = ( 0 / N ) )
107	28, 57	div0d 10379	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 / N ) = 0 )
108	91, 106, 107	3eqtrd 2488	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` Z ) = 0 )
109	33	fnvinran 37329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) e. RR )
110	109	msqge0d 10179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) )
111	109, 109	remulcld 9668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) e. RR )
112	7	fvmpt2 5955	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. T /\ ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) e. RR ) -> ( G ` t ) = ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) )
113	60, 111, 112	syl2anc 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) = ( ( F ` t ) x. ( F ` t ) ) )
114	110, 113	breqtrrd 4428	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( G ` t ) )
115	27	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> N e. RR )
116	54, 20	syl6breqr 4442	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < N )
117	116	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 < N )
118		divge0 10471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G ` t ) e. RR /\ 0 <_ ( G ` t ) ) /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> 0 <_ ( ( G ` t ) / N ) )
119	18, 114, 115, 117, 118	syl22anc 1268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( G ` t ) / N ) )
120	18, 115, 58	redivcld 10432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / N ) e. RR )
121	1	fvmpt2 5955	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. T /\ ( ( G ` t ) / N ) e. RR ) -> ( H ` t ) = ( ( G ` t ) / N ) )
122	60, 120, 121	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( H ` t ) = ( ( G ` t ) / N ) )
123	119, 122	breqtrrd 4428	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( H ` t ) )
124	19	div1d 10372	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / 1 ) = ( G ` t ) )
125		fveq2 5863	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = t -> ( G ` s ) = ( G ` t ) )
126	125	breq1d 4411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = t -> ( ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) <-> ( G ` t ) <_ sup ( ran G , RR , < ) ) )
127	126	rspccva 3148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. s e. T ( G ` s ) <_ sup ( ran G , RR , < ) /\ t e. T ) -> ( G ` t ) <_ sup ( ran G , RR , < ) )
128	49, 127	sylan 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) <_ sup ( ran G , RR , < ) )
129	128, 20	syl6breqr 4442	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) <_ N )
130	124, 129	eqbrtrd 4422	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / 1 ) <_ N )
131		1red 9655	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 1 e. RR )
132		0lt1 10133	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 < 1 )
134		lediv23 10495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G ` t ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) ) -> ( ( ( G ` t ) / N ) <_ 1 <-> ( ( G ` t ) / 1 ) <_ N ) )
135	18, 115, 117, 131, 133, 134	syl122anc 1276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( ( G ` t ) / N ) <_ 1 <-> ( ( G ` t ) / 1 ) <_ N ) )
136	130, 135	mpbird 236	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` t ) / N ) <_ 1 )
137	122, 136	eqbrtrd 4422	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( H ` t ) <_ 1 )
138	123, 137	jca 535	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) )
139	138	ex 436	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. T -> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
140	2, 139	ralrimi 2787	. . . . 5 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) )
141	108, 140	jca 535	. . . 4 |- ( ph -> ( ( H ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
142		fveq1 5862	. . . . . . 7 |- ( h = H -> ( h ` Z ) = ( H ` Z ) )
143	142	eqeq1d 2452	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( ( h ` Z ) = 0 <-> ( H ` Z ) = 0 ) )
144		stoweidlem36.2	. . . . . . . 8 |- F/_ t H
145	144	nfeq2 2606	. . . . . . 7 |- F/ t h = H
146		fveq1 5862	. . . . . . . . 9 |- ( h = H -> ( h ` t ) = ( H ` t ) )
147	146	breq2d 4413	. . . . . . . 8 |- ( h = H -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( H ` t ) ) )
148	146	breq1d 4411	. . . . . . . 8 |- ( h = H -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( H ` t ) <_ 1 ) )
149	147, 148	anbi12d 716	. . . . . . 7 |- ( h = H -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
150	145, 149	ralbid 2821	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
151	143, 150	anbi12d 716	. . . . 5 |- ( h = H -> ( ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) <-> ( ( H ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) ) )
152	151	elrab 3195	. . . 4 |- ( H e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } <-> ( H e. A /\ ( ( H ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) ) )
153	79, 141, 152	sylanbrc 669	. . 3 |- ( ph -> H e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } )
154		stoweidlem36.7	. . 3 |- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
155	153, 154	syl6eleqr 2539	. 2 |- ( ph -> H e. Q )
156	31, 27, 48, 116	divgt0d 10539	. . 3 |- ( ph -> 0 < ( ( G ` S ) / N ) )
157	31, 27, 57	redivcld 10432	. . . 4 |- ( ph -> ( ( G ` S ) / N ) e. RR )
158	73, 40	nffv 5870	. . . . . 6 |- F/_ t ( G ` S )
159	158, 85, 86	nfov 6314	. . . . 5 |- F/_ t ( ( G ` S ) / N )
160		fveq2 5863	. . . . . 6 |- ( t = S -> ( G ` t ) = ( G ` S ) )
161	160	oveq1d 6303	. . . . 5 |- ( t = S -> ( ( G ` t ) / N ) = ( ( G ` S ) / N ) )
162	40, 159, 161, 1	fvmptf 5964	. . . 4 |- ( ( S e. T /\ ( ( G ` S ) / N ) e. RR ) -> ( H ` S ) = ( ( G ` S ) / N ) )
163	22, 157, 162	syl2anc 666	. . 3 |- ( ph -> ( H ` S ) = ( ( G ` S ) / N ) )
164	156, 163	breqtrrd 4428	. 2 |- ( ph -> 0 < ( H ` S ) )
165		nfcv 2591	. . . 4 |- F/_ h H
166		stoweidlem36.1	. . . . . 6 |- F/_ h Q
167	166	nfel2 2607	. . . . 5 |- F/ h H e. Q
168		nfv 1760	. . . . 5 |- F/ h 0 < ( H ` S )
169	167, 168	nfan 2010	. . . 4 |- F/ h ( H e. Q /\ 0 < ( H ` S ) )
170		eleq1 2516	. . . . 5 |- ( h = H -> ( h e. Q <-> H e. Q ) )
171		fveq1 5862	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( h ` S ) = ( H ` S ) )
172	171	breq2d 4413	. . . . 5 |- ( h = H -> ( 0 < ( h ` S ) <-> 0 < ( H ` S ) ) )
173	170, 172	anbi12d 716	. . . 4 |- ( h = H -> ( ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) <-> ( H e. Q /\ 0 < ( H ` S ) ) ) )
174	165, 169, 173	spcegf 3129	. . 3 |- ( H e. Q -> ( ( H e. Q /\ 0 < ( H ` S ) ) -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) ) )
175	174	anabsi5 825	. 2 |- ( ( H e. Q /\ 0 < ( H ` S ) ) -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) )
176	155, 164, 175	syl2anc 666	1 |- ( ph -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   E.wex 1662   F/wnf 1666   e. wcel 1886   F/_wnfc 2578   =/= wne 2621   A.wral 2736   {crab 2740   C_ wss 3403   (/)c0 3730   U.cuni 4197   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   ran crn 4834   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   supcsup 7951   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   x. cmul 9541   < clt 9672   <_ cle 9673   / cdiv 10266   (,)cioo 11632   topGenctg 15329   Cn ccn 20233   Compccmp 20394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-cmp 20395  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330

This theorem is referenced by:  stoweidlem43  37898