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Theorem stoweidlem35 37896
Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Here  ( q `  i ) is used to represent p(t_i) in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem35.1  |-  F/ t
ph
stoweidlem35.2  |-  F/ w ph
stoweidlem35.3  |-  F/ h ph
stoweidlem35.4  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem35.5  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
stoweidlem35.6  |-  G  =  ( w  e.  X  |->  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)
stoweidlem35.7  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
stoweidlem35.8  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
stoweidlem35.9  |-  ( ph  ->  X  C_  W )
stoweidlem35.10  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  U. X )
stoweidlem35.11  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem35  |-  ( ph  ->  E. m E. q
( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
Distinct variable groups:    h, i,
t, w    i, m, q, t    i, G    w, Q    T, h, w    U, q    ph, i, m    A, h, t    h, X, i, t, w    w, m   
m, G    Q, q    T, q    t, Z    w, U
Allowed substitution hints:    ph( w, t, h, q)    A( w, i, m, q)    Q( t, h, i, m)    T( t, i, m)    U( t, h, i, m)    G( w, t, h, q)    J( w, t, h, i, m, q)    W( w, t, h, i, m, q)    X( m, q)    Z( w, h, i, m, q)

Proof of Theorem stoweidlem35
Dummy variables  f 
g  k  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem35.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
2 stoweidlem35.6 . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( w  e.  X  |->  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)
32rnmptfi 37435 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  Fin  ->  ran  G  e.  Fin )
41, 3syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  G  e.  Fin )
5 fnchoice 37350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran 
G  e.  Fin  ->  E. g ( g  Fn 
ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( l  =/=  (/)  ->  ( g `  l )  e.  l ) ) )
65adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ran  G  e. 
Fin )  ->  E. g
( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( l  =/=  (/)  ->  ( g `  l )  e.  l ) ) )
7 simprl 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( l  =/=  (/)  ->  (
g `  l )  e.  l ) ) )  ->  g  Fn  ran  G )
8 stoweidlem35.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ w ph
9 nfmpt1 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ w
( w  e.  X  |->  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)
102, 9nfcxfr 2590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ w G
1110nfrn 5077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ w ran  G
1211nfcri 2586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ w  k  e.  ran  G
138, 12nfan 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ w
( ph  /\  k  e.  ran  G )
14 stoweidlem35.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  X  C_  W )
1514sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  w  e.  W )
16 stoweidlem35.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
1715, 16syl6eleq 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  w  e.  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } } )
18 rabid 2967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  e.  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  <->  ( w  e.  J  /\  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } ) )
1917, 18sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  (
w  e.  J  /\  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( h `  t
) } ) )
2019simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } )
21 df-rex 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( h `  t
) }  <->  E. h
( h  e.  Q  /\  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } ) )
2220, 21sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  E. h
( h  e.  Q  /\  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } ) )
23 rabid 2967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( h  e.  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  <->  ( h  e.  Q  /\  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } ) )
2423exbii 1718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( E. h  h  e.  {
h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }  <->  E. h
( h  e.  Q  /\  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } ) )
2522, 24sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  E. h  h  e.  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } } )
2625adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  k  =  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)  ->  E. h  h  e.  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } } )
27 stoweidlem35.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/ h ph
28 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/ h  w  e.  X
2927, 28nfan 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/ h
( ph  /\  w  e.  X )
30 nfrab1 2971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/_ h { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
3130nfeq2 2607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/ h  k  =  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }
3229, 31nfan 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ h
( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  k  =  {
h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } } )
33 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  =  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  ->  ( h  e.  k  <->  h  e.  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } } ) )
3433biimprd 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  ->  ( h  e.  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  ->  h  e.  k ) )
3534adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  k  =  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)  ->  ( h  e.  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }  ->  h  e.  k ) )
3632, 35eximd 1960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  k  =  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)  ->  ( E. h  h  e.  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  ->  E. h  h  e.  k )
)
3726, 36mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  k  =  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)  ->  E. h  h  e.  k )
3837adantllr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ran  G )  /\  w  e.  X
)  /\  k  =  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)  ->  E. h  h  e.  k )
392elrnmpt 5081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ran  G  -> 
( k  e.  ran  G  <->  E. w  e.  X  k  =  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } } ) )
4039ibi 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ran  G  ->  E. w  e.  X  k  =  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } } )
4140adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ran  G )  ->  E. w  e.  X  k  =  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)
4213, 38, 41r19.29af 2930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ran  G )  ->  E. h  h  e.  k )
43 n0 3741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =/=  (/)  <->  E. h  h  e.  k )
4442, 43sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ran  G )  ->  k  =/=  (/) )
4544adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( l  =/=  (/)  ->  (
g `  l )  e.  l ) ) )  /\  k  e.  ran  G )  ->  k  =/=  (/) )
46 simplrr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( l  =/=  (/)  ->  (
g `  l )  e.  l ) ) )  /\  k  e.  ran  G )  ->  A. l  e.  ran  G ( l  =/=  (/)  ->  ( g `  l )  e.  l ) )
47 neeq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( l  =  k  ->  (
l  =/=  (/)  <->  k  =/=  (/) ) )
48 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l  =  k  ->  (
g `  l )  =  ( g `  k ) )
4948eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( l  =  k  ->  (
( g `  l
)  e.  l  <->  ( g `  k )  e.  l ) )
50 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( l  =  k  ->  (
( g `  k
)  e.  l  <->  ( g `  k )  e.  k ) )
5149, 50bitrd 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( l  =  k  ->  (
( g `  l
)  e.  l  <->  ( g `  k )  e.  k ) )
5247, 51imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  =  k  ->  (
( l  =/=  (/)  ->  (
g `  l )  e.  l )  <->  ( k  =/=  (/)  ->  ( g `  k )  e.  k ) ) )
5352rspccva 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. l  e.  ran  G ( l  =/=  (/)  ->  (
g `  l )  e.  l )  /\  k  e.  ran  G )  -> 
( k  =/=  (/)  ->  (
g `  k )  e.  k ) )
5446, 53sylancom 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( l  =/=  (/)  ->  (
g `  l )  e.  l ) ) )  /\  k  e.  ran  G )  ->  ( k  =/=  (/)  ->  ( g `  k )  e.  k ) )
5545, 54mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( l  =/=  (/)  ->  (
g `  l )  e.  l ) ) )  /\  k  e.  ran  G )  ->  ( g `  k )  e.  k )
5655ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( l  =/=  (/)  ->  (
g `  l )  e.  l ) ) )  ->  A. k  e.  ran  G ( g `  k
)  e.  k )
57 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  l  ->  (
g `  k )  =  ( g `  l ) )
5857eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  l  ->  (
( g `  k
)  e.  k  <->  ( g `  l )  e.  k ) )
59 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  l  ->  (
( g `  l
)  e.  k  <->  ( g `  l )  e.  l ) )
6058, 59bitrd 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  l  ->  (
( g `  k
)  e.  k  <->  ( g `  l )  e.  l ) )
6160cbvralv 3019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  ran  G ( g `  k )  e.  k  <->  A. l  e.  ran  G ( g `
 l )  e.  l )
6256, 61sylib 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( l  =/=  (/)  ->  (
g `  l )  e.  l ) ) )  ->  A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l )
637, 62jca 535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( l  =/=  (/)  ->  (
g `  l )  e.  l ) ) )  ->  ( g  Fn 
ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `
 l )  e.  l ) )
6463ex 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( g  Fn 
ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( l  =/=  (/)  ->  ( g `  l )  e.  l ) )  ->  (
g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l ) ) )
6564adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ran  G  e. 
Fin )  ->  (
( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( l  =/=  (/)  ->  ( g `  l )  e.  l ) )  ->  (
g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l ) ) )
6665eximdv 1764 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ran  G  e. 
Fin )  ->  ( E. g ( g  Fn 
ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( l  =/=  (/)  ->  ( g `  l )  e.  l ) )  ->  E. g
( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l ) ) )
676, 66mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ran  G  e. 
Fin )  ->  E. g
( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l ) )
684, 67mpdan 674 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. g ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l ) )
6968ralrimivw 2803 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  E. g ( g  Fn 
ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `
 l )  e.  l ) )
70 stoweidlem35.10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  U. X )
71 stoweidlem35.11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  =/=  (/) )
72 ssn0 3767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  \  U
)  C_  U. X  /\  ( T  \  U )  =/=  (/) )  ->  U. X  =/=  (/) )
7370, 71, 72syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U. X  =/=  (/) )
7473neneqd 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  U. X  =  (/) )
75 unieq 4206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  =  (/)  ->  U. X  =  U. (/) )
76 uni0 4225 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (/)  =  (/)
7775, 76syl6eq 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =  (/)  ->  U. X  =  (/) )
7874, 77nsyl 125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  X  =  (/) )
79 dm0rn0 5051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
G  =  (/)  <->  ran  G  =  (/) )
80 stoweidlem35.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
81 stoweidlem35.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
8280, 81rabexd 4555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Q  e.  _V )
83 nfrab1 2971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ h { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
8480, 83nfcxfr 2590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ h Q
8584rabexgf 37345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Q  e.  _V  ->  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  e.  _V )
8682, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }  e.  _V )
8786adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  e.  _V )
888, 87, 2fmptdf 6048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G : X --> _V )
89 dffn2 5730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  Fn  X  <->  G : X
--> _V )
9088, 89sylibr 216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  Fn  X )
91 fndm 5675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  Fn  X  ->  dom  G  =  X )
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  G  =  X )
9392eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( dom  G  =  (/) 
<->  X  =  (/) ) )
9479, 93syl5bbr 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ran  G  =  (/) 
<->  X  =  (/) ) )
9578, 94mtbird 303 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ran  G  =  (/) )
96 fz1f1o 13776 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran 
G  e.  Fin  ->  ( ran  G  =  (/)  \/  ( ( # `  ran  G )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  ran  G ) ) -1-1-onto-> ran 
G ) ) )
974, 96syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ran  G  =  (/)  \/  ( ( # `  ran  G )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( # `  ran  G ) ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )
9897ord 379 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -.  ran  G  =  (/)  ->  ( ( # `
 ran  G )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( # `  ran  G ) ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )
9995, 98mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ran  G )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  ran  G ) ) -1-1-onto-> ran 
G ) )
100 oveq2 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( # `  ran  G )  ->  ( 1 ... m )  =  ( 1 ... ( # `
 ran  G )
) )
101 f1oeq2 5806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... m )  =  ( 1 ... ( # `  ran  G ) )  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G  <->  f : ( 1 ... ( # `  ran  G ) ) -1-1-onto-> ran  G ) )
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( # `  ran  G )  ->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G  <->  f :
( 1 ... ( # `
 ran  G )
)
-1-1-onto-> ran  G ) )
103102exbidv 1768 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( # `  ran  G )  ->  ( E. f  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G  <->  E. f  f : ( 1 ... ( # `
 ran  G )
)
-1-1-onto-> ran  G ) )
104103rspcev 3150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  ran  G )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  ran  G ) ) -1-1-onto-> ran 
G )  ->  E. m  e.  NN  E. f  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G )
10599, 104syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  E. f  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G )
106 r19.29 2925 . . . . . . 7  |-  ( ( A. m  e.  NN  E. g ( g  Fn 
ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  E. m  e.  NN  E. f 
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G
)  ->  E. m  e.  NN  ( E. g
( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  E. f  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G ) )
10769, 105, 106syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  ( E. g ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l )  /\  E. f  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) )
108 eeanv 2078 . . . . . . . . 9  |-  ( E. g E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G )  <->  ( E. g ( g  Fn 
ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  E. f  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G ) )
109108biimpri 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. g ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l )  /\  E. f  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G )  ->  E. g E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) )
110109a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( E. g
( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  E. f  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G )  ->  E. g E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G ) ) )
111110reximdv 2861 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  ( E. g
( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  E. f  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G )  ->  E. m  e.  NN  E. g E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G ) ) )
112107, 111mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  E. g E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) )
113 df-rex 2743 . . . . 5  |-  ( E. m  e.  NN  E. g E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G )  <->  E. m
( m  e.  NN  /\ 
E. g E. f
( ( g  Fn 
ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )
114112, 113sylib 200 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. m ( m  e.  NN  /\  E. g E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G ) ) )
115 ax-5 1758 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  A. g  m  e.  NN )
116 19.29 1735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. g  m  e.  NN  /\  E. g E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G ) )  ->  E. g ( m  e.  NN  /\  E. f
( ( g  Fn 
ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )
117115, 116sylan 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN  /\  E. g E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) )  ->  E. g ( m  e.  NN  /\  E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G ) ) )
118 ax-5 1758 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  A. f  m  e.  NN )
119 19.29 1735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. f  m  e.  NN  /\  E. f
( ( g  Fn 
ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) )  ->  E. f ( m  e.  NN  /\  (
( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )
120118, 119sylan 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN  /\  E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G ) )  ->  E. f ( m  e.  NN  /\  ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G ) ) )
121120eximi 1707 . . . . . . . 8  |-  ( E. g ( m  e.  NN  /\  E. f
( ( g  Fn 
ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) )  ->  E. g E. f
( m  e.  NN  /\  ( ( g  Fn 
ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )
122117, 121syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN  /\  E. g E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) )  ->  E. g E. f
( m  e.  NN  /\  ( ( g  Fn 
ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )
123 df-3an 987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G )  <->  ( (
g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G ) )
124123anbi2i 700 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l  /\  f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> ran  G ) )  <->  ( m  e.  NN  /\  ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G ) ) )
1251242exbii 1719 . . . . . . 7  |-  ( E. g E. f ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l  /\  f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> ran  G ) )  <->  E. g E. f ( m  e.  NN  /\  ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G ) ) )
126122, 125sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN  /\  E. g E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) )  ->  E. g E. f
( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l  /\  f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> ran  G ) ) )
127126a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  NN  /\  E. g E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G ) )  ->  E. g E. f ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l  /\  f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> ran  G ) ) ) )
128127eximdv 1764 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. m ( m  e.  NN  /\  E. g E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) )  ->  E. m E. g E. f ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) ) )
129114, 128mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  E. m E. g E. f ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )
13082adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )  ->  Q  e.  _V )
131 simprl 764 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )  ->  m  e.  NN )
132 simprr1 1056 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )  ->  g  Fn  ran  G )
133 elex 3054 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
G  e.  Fin  ->  ran 
G  e.  _V )
1344, 133syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  G  e.  _V )
135134adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )  ->  ran  G  e. 
_V )
136 simprr2 1057 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )  ->  A. l  e.  ran  G ( g `
 l )  e.  l )
13751rspccva 3149 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l  /\  k  e.  ran  G )  ->  ( g `  k )  e.  k )
138136, 137sylan 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l  /\  f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> ran  G ) ) )  /\  k  e.  ran  G )  ->  ( g `  k )  e.  k )
139 simprr3 1058 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )  ->  f :
( 1 ... m
)
-1-1-onto-> ran  G )
14070adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )  ->  ( T  \  U )  C_  U. X
)
141 stoweidlem35.1 . . . . . . . 8  |-  F/ t
ph
142 nfv 1761 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  m  e.  NN
143 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
g
144 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t X
145 nfrab1 2971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ t { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) }
146145nfeq2 2607 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ t  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t ) }
147 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ t ( h `  Z
)  =  0
148 nfra1 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )
149147, 148nfan 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ t ( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
) )
150 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ t A
151149, 150nfrab 2972 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ t { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
15280, 151nfcxfr 2590 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ t Q
153146, 152nfrab 2972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
154144, 153nfmpt 4491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t
( w  e.  X  |->  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)
1552, 154nfcxfr 2590 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t G
156155nfrn 5077 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t ran  G
157143, 156nffn 5672 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t  g  Fn  ran  G
158 nfv 1761 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( g `  l
)  e.  l
159156, 158nfral 2774 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l
160 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
f
161 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
( 1 ... m
)
162160, 161, 156nff1o 5812 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G
163157, 159, 162nf3an 2013 . . . . . . . . 9  |-  F/ t ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l  /\  f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> ran  G )
164142, 163nfan 2011 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l  /\  f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> ran  G ) )
165141, 164nfan 2011 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l  /\  f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> ran  G ) ) )
166 nfv 1761 . . . . . . . . 9  |-  F/ w  m  e.  NN
167 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ w
g
168167, 11nffn 5672 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w  g  Fn  ran  G
169 nfv 1761 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ w
( g `  l
)  e.  l
17011, 169nfral 2774 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l
171 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ w
f
172 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ w
( 1 ... m
)
173171, 172, 11nff1o 5812 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G
174168, 170, 173nf3an 2013 . . . . . . . . 9  |-  F/ w
( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l  /\  f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> ran  G )
175166, 174nfan 2011 . . . . . . . 8  |-  F/ w
( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l  /\  f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> ran  G ) )
1768, 175nfan 2011 . . . . . . 7  |-  F/ w
( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l  /\  f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> ran  G ) ) )
1772, 130, 131, 132, 135, 138, 139, 140, 165, 176, 84stoweidlem27 37887 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )  ->  E. q
( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
178177ex 436 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) )  ->  E. q ( m  e.  NN  /\  (
q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) ) )
1791782eximdv 1766 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. g E. f ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) )  ->  E. g E. f E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) ) )
180179eximdv 1764 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. m E. g E. f ( m  e.  NN  /\  (
g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) )  ->  E. m E. g E. f E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) ) )
181129, 180mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. m E. g E. f E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
182 id 22 . . . 4  |-  ( E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) )  ->  E. q ( m  e.  NN  /\  (
q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
183182exlimivv 1778 . . 3  |-  ( E. g E. f E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) )  ->  E. q ( m  e.  NN  /\  (
q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
184183eximi 1707 . 2  |-  ( E. m E. g E. f E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
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( q `  i
) `  t )
) )  ->  E. m E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )
185181, 184syl 17 1  |-  ( ph  ->  E. m E. q
( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985   A.wal 1442    = wceq 1444   E.wex 1663   F/wnf 1667    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    C_ wss 3404   (/)c0 3731   U.cuni 4198   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ran crn 4835    Fn wfn 5577   -->wf 5578   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   0cc0 9539   1c1 9540    < clt 9675    <_ cle 9676   NNcn 10609   ...cfz 11784   #chash 12515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-hash 12516
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