Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem35 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stoweidlem35 37896
 Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Here is used to represent p(t_i) in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem35.1
stoweidlem35.2
stoweidlem35.3
stoweidlem35.4
stoweidlem35.5
stoweidlem35.6
stoweidlem35.7
stoweidlem35.8
stoweidlem35.9
stoweidlem35.10
stoweidlem35.11
Assertion
Ref Expression
stoweidlem35
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,   ,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,,,)   (,,,,,)   (,)   (,,,,)

Proof of Theorem stoweidlem35
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem35.8 . . . . . . . . . 10
2 stoweidlem35.6 . . . . . . . . . . 11
32rnmptfi 37435 . . . . . . . . . 10
41, 3syl 17 . . . . . . . . 9
5 fnchoice 37350 . . . . . . . . . . 11
65adantl 468 . . . . . . . . . 10
7 simprl 764 . . . . . . . . . . . . . 14
8 stoweidlem35.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9 nfmpt1 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
102, 9nfcxfr 2590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1110nfrn 5077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1211nfcri 2586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
138, 12nfan 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
14 stoweidlem35.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1514sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
16 stoweidlem35.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1715, 16syl6eleq 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
18 rabid 2967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1917, 18sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2019simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
21 df-rex 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2220, 21sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
23 rabid 2967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2423exbii 1718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2522, 24sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2625adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
27 stoweidlem35.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
28 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2927, 28nfan 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
30 nfrab1 2971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3130nfeq2 2607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3229, 31nfan 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
33 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3433biimprd 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3534adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3632, 35eximd 1960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3726, 36mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3837adantllr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
392elrnmpt 5081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4039ibi 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4140adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4213, 38, 41r19.29af 2930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
43 n0 3741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4442, 43sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4544adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
46 simplrr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
47 neeq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
48 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4948eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
50 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5149, 50bitrd 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5247, 51imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5352rspccva 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5446, 53sylancom 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5545, 54mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5655ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . . . . 15
57 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5857eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
59 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6058, 59bitrd 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6160cbvralv 3019 . . . . . . . . . . . . . . 15
6256, 61sylib 200 . . . . . . . . . . . . . 14
637, 62jca 535 . . . . . . . . . . . . 13
6463ex 436 . . . . . . . . . . . 12
6564adantr 467 . . . . . . . . . . 11
6665eximdv 1764 . . . . . . . . . 10
676, 66mpd 15 . . . . . . . . 9
684, 67mpdan 674 . . . . . . . 8
6968ralrimivw 2803 . . . . . . 7
70 stoweidlem35.10 . . . . . . . . . . . . 13
71 stoweidlem35.11 . . . . . . . . . . . . 13
72 ssn0 3767 . . . . . . . . . . . . 13
7370, 71, 72syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12
7473neneqd 2629 . . . . . . . . . . 11
75 unieq 4206 . . . . . . . . . . . 12
76 uni0 4225 . . . . . . . . . . . 12
7775, 76syl6eq 2501 . . . . . . . . . . 11
7874, 77nsyl 125 . . . . . . . . . 10
79 dm0rn0 5051 . . . . . . . . . . 11
80 stoweidlem35.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
81 stoweidlem35.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8280, 81rabexd 4555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
83 nfrab1 2971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8480, 83nfcxfr 2590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8584rabexgf 37345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8682, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8786adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15
888, 87, 2fmptdf 6048 . . . . . . . . . . . . . 14
89 dffn2 5730 . . . . . . . . . . . . . 14
9088, 89sylibr 216 . . . . . . . . . . . . 13
91 fndm 5675 . . . . . . . . . . . . 13
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12
9392eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . 11
9479, 93syl5bbr 263 . . . . . . . . . 10
9578, 94mtbird 303 . . . . . . . . 9
96 fz1f1o 13776 . . . . . . . . . . 11
974, 96syl 17 . . . . . . . . . 10
9897ord 379 . . . . . . . . 9
9995, 98mpd 15 . . . . . . . 8
100 oveq2 6298 . . . . . . . . . . 11
101 f1oeq2 5806 . . . . . . . . . . 11
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . 10
103102exbidv 1768 . . . . . . . . 9
104103rspcev 3150 . . . . . . . 8
10599, 104syl 17 . . . . . . 7
106 r19.29 2925 . . . . . . 7
10769, 105, 106syl2anc 667 . . . . . 6
108 eeanv 2078 . . . . . . . . 9
109108biimpri 210 . . . . . . . 8
110109a1i 11 . . . . . . 7
111110reximdv 2861 . . . . . 6
112107, 111mpd 15 . . . . 5
113 df-rex 2743 . . . . 5
114112, 113sylib 200 . . . 4
115 ax-5 1758 . . . . . . . . 9
116 19.29 1735 . . . . . . . . 9
117115, 116sylan 474 . . . . . . . 8
118 ax-5 1758 . . . . . . . . . 10
119 19.29 1735 . . . . . . . . . 10
120118, 119sylan 474 . . . . . . . . 9
121120eximi 1707 . . . . . . . 8
122117, 121syl 17 . . . . . . 7
123 df-3an 987 . . . . . . . . 9
124123anbi2i 700 . . . . . . . 8
1251242exbii 1719 . . . . . . 7
126122, 125sylibr 216 . . . . . 6
127126a1i 11 . . . . 5
128127eximdv 1764 . . . 4
129114, 128mpd 15 . . 3
13082adantr 467 . . . . . . 7
131 simprl 764 . . . . . . 7
132 simprr1 1056 . . . . . . 7
133 elex 3054 . . . . . . . . 9
1344, 133syl 17 . . . . . . . 8
135134adantr 467 . . . . . . 7
136 simprr2 1057 . . . . . . . 8
13751rspccva 3149 . . . . . . . 8
138136, 137sylan 474 . . . . . . 7
139 simprr3 1058 . . . . . . 7
14070adantr 467 . . . . . . 7
141 stoweidlem35.1 . . . . . . . 8
142 nfv 1761 . . . . . . . . 9
143 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11
144 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . 14
145 nfrab1 2971 . . . . . . . . . . . . . . . 16
146145nfeq2 2607 . . . . . . . . . . . . . . 15
147 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
148 nfra1 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149147, 148nfan 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
150 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
151149, 150nfrab 2972 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15280, 151nfcxfr 2590 . . . . . . . . . . . . . . 15
153146, 152nfrab 2972 . . . . . . . . . . . . . 14
154144, 153nfmpt 4491 . . . . . . . . . . . . 13
1552, 154nfcxfr 2590 . . . . . . . . . . . 12
156155nfrn 5077 . . . . . . . . . . 11
157143, 156nffn 5672 . . . . . . . . . 10
158 nfv 1761 . . . . . . . . . . 11
159156, 158nfral 2774 . . . . . . . . . 10
160 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11
161 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11
162160, 161, 156nff1o 5812 . . . . . . . . . 10
163157, 159, 162nf3an 2013 . . . . . . . . 9
164142, 163nfan 2011 . . . . . . . 8
165141, 164nfan 2011 . . . . . . 7
166 nfv 1761 . . . . . . . . 9
167 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11
168167, 11nffn 5672 . . . . . . . . . 10
169 nfv 1761 . . . . . . . . . . 11
17011, 169nfral 2774 . . . . . . . . . 10
171 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11
172 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11
173171, 172, 11nff1o 5812 . . . . . . . . . 10
174168, 170, 173nf3an 2013 . . . . . . . . 9
175166, 174nfan 2011 . . . . . . . 8
1768, 175nfan 2011 . . . . . . 7
1772, 130, 131, 132, 135, 138, 139, 140, 165, 176, 84stoweidlem27 37887 . . . . . 6
178177ex 436 . . . . 5
1791782eximdv 1766 . . . 4
180179eximdv 1764 . . 3
181129, 180mpd 15 . 2
182 id 22 . . . 4
183182exlimivv 1778 . . 3
184183eximi 1707 . 2
185181, 184syl 17 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wo 370   wa 371   w3a 985  wal 1442   wceq 1444  wex 1663  wnf 1667   wcel 1887   wne 2622  wral 2737  wrex 2738  crab 2741  cvv 3045   cdif 3401   wss 3404  c0 3731  cuni 4198   class class class wbr 4402   cmpt 4461   cdm 4834   crn 4835   wfn 5577  wf 5578  wf1o 5581  cfv 5582  (class class class)co 6290  cfn 7569  cc0 9539  c1 9540   clt 9675   cle 9676  cn 10609  cfz 11784  chash 12515 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-hash 12516 This theorem is referenced by:  stoweidlem53  37914
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