Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem32 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stoweidlem32 38005
 Description: If a set A of real functions from a common domain T is a subalgebra and it contains constants, then it is closed under the sum of a finite number of functions, indexed by G and finally scaled by a real Y. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem32.1
stoweidlem32.2
stoweidlem32.3
stoweidlem32.4
stoweidlem32.5
stoweidlem32.6
stoweidlem32.7
stoweidlem32.8
stoweidlem32.9
stoweidlem32.10
stoweidlem32.11
Assertion
Ref Expression
stoweidlem32
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,   ,,   ,,,,   ,,,   ,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,,,,)   (,,)   ()   (,,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem stoweidlem32
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem32.2 . . 3
2 stoweidlem32.1 . . . 4
3 stoweidlem32.3 . . . . . . . . . . 11
4 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
54sumeq2sdv 13847 . . . . . . . . . . . 12
65cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . 11
73, 6eqtri 2493 . . . . . . . . . 10
87a1i 11 . . . . . . . . 9
9 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
109sumeq2sdv 13847 . . . . . . . . . 10
1110adantl 473 . . . . . . . . 9
12 simpr 468 . . . . . . . . 9
13 fzfid 12224 . . . . . . . . . 10
14 simpl 464 . . . . . . . . . . . . 13
15 stoweidlem32.7 . . . . . . . . . . . . . 14
1615fnvinran 37398 . . . . . . . . . . . . 13
17 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1817anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16
19 feq1 5720 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2018, 19imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . 15
21 stoweidlem32.11 . . . . . . . . . . . . . . 15
2220, 21vtoclg 3093 . . . . . . . . . . . . . 14
2316, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
2414, 16, 23mp2and 693 . . . . . . . . . . . 12
2524adantlr 729 . . . . . . . . . . 11
26 simplr 770 . . . . . . . . . . 11
2725, 26ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10
2813, 27fsumrecl 13877 . . . . . . . . 9
298, 11, 12, 28fvmptd 5969 . . . . . . . 8
3029, 28eqeltrd 2549 . . . . . . 7
3130recnd 9687 . . . . . 6
32 stoweidlem32.4 . . . . . . . . . . 11
33 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . 12
3433cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . 11
3532, 34eqtr4i 2496 . . . . . . . . . 10
3635a1i 11 . . . . . . . . 9
37 eqidd 2472 . . . . . . . . 9
38 stoweidlem32.6 . . . . . . . . . 10
3938adantr 472 . . . . . . . . 9
4036, 37, 12, 39fvmptd 5969 . . . . . . . 8
4140, 39eqeltrd 2549 . . . . . . 7
4241recnd 9687 . . . . . 6
4331, 42mulcomd 9682 . . . . 5
4440, 29oveq12d 6326 . . . . 5
4543, 44eqtr2d 2506 . . . 4
462, 45mpteq2da 4481 . . 3
471, 46syl5eq 2517 . 2
48 stoweidlem32.5 . . . 4
49 stoweidlem32.8 . . . 4
502, 3, 48, 15, 49, 21stoweidlem20 37992 . . 3
51 stoweidlem32.10 . . . . . 6
5251stoweidlem4 37976 . . . . 5
5338, 52mpdan 681 . . . 4
5432, 53syl5eqel 2553 . . 3
55 nfmpt1 4485 . . . . . 6
563, 55nfcxfr 2610 . . . . 5
5756nfeq2 2627 . . . 4
58 nfmpt1 4485 . . . . . 6
5932, 58nfcxfr 2610 . . . . 5
6059nfeq2 2627 . . . 4
61 stoweidlem32.9 . . . 4
6257, 60, 61stoweidlem6 37978 . . 3
6350, 54, 62mpd3an23 1392 . 2
6447, 63eqeltrd 2549 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wnf 1675   wcel 1904   cmpt 4454  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cr 9556  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562  cn 10631  cfz 11810  csu 13829 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830 This theorem is referenced by:  stoweidlem44  38017
 Copyright terms: Public domain W3C validator