Theorem stoweidlem31 29823

Description: This lemma is used to prove that there exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91: assuming that R is a finite subset of V, x indexes a finite set of functions in the subalgebra (of the Stone Weierstrass theorem), such that for all i ranging in the finite indexing set, 0 ≤ x_i ≤ 1, x_i < ε / m on V(t_i), and x_i > 1 - ε / m on B. Here M is used to represent m in the paper, E is used to represent ε in the paper, v_i is used to represent V(t_i). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem31.1	|- F/ h ph
stoweidlem31.2	|- F/ t ph
stoweidlem31.3	|- F/ w ph
stoweidlem31.4	|- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
stoweidlem31.5	|- V = { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
stoweidlem31.6	|- G = ( w e. R |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
stoweidlem31.7	|- ( ph -> R C_ V )
stoweidlem31.8	|- ( ph -> M e. NN )
stoweidlem31.9	|- ( ph -> v : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> R )
stoweidlem31.10	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem31.11	|- ( ph -> B C_ ( T \ U ) )
stoweidlem31.12	|- ( ph -> V e. _V )
stoweidlem31.13	|- ( ph -> A e. _V )
stoweidlem31.14	|- ( ph -> ran G e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem31	|- ( ph -> E. x ( x : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) )

Distinct variable groups:   h, i, t, v, w   i, G   w, Y   ph, i   e, h, t, w, A   e, E, h, t, w   e, M, h, t, w   T, e, h, w   U, e, h, w   R, h, t, w   x, i, t, v   i, M   x, B   x, E   x, G   x, M   x, Y

Allowed substitution hints:   ph( x, w, v, t, e, h)   A( x, v, i)   B( w, v, t, e, h, i)   R( x, v, e, i)   T( x, v, t, i)   U( x, v, t, i)   E( v, i)   G( w, v, t, e, h)   J( x, w, v, t, e, h, i)   M( v)   V( x, w, v, t, e, h, i)   Y( v, t, e, h, i)

Proof of Theorem stoweidlem31

Dummy variables b l u z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem31.14	. . 3 |- ( ph -> ran G e. Fin )
2		fnchoice 29748	. . 3 |- ( ran G e. Fin -> E. l ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) )
3	1, 2	syl 16	. 2 |- ( ph -> E. l ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) )
4		vex 2973	. . . . 5 |- l e. _V
5		stoweidlem31.6	. . . . . . 7 |- G = ( w e. R |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
6		stoweidlem31.12	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> V e. _V )
7		stoweidlem31.7	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R C_ V )
8	6, 7	ssexd 4437	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. _V )
9		mptexg 5945	. . . . . . . 8 |- ( R e. _V -> ( w e. R |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } ) e. _V )
10	8, 9	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( w e. R |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } ) e. _V )
11	5, 10	syl5eqel 2525	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. _V )
12		vex 2973	. . . . . 6 |- v e. _V
13		coexg 6526	. . . . . 6 |- ( ( G e. _V /\ v e. _V ) -> ( G o. v ) e. _V )
14	11, 12, 13	sylancl 662	. . . . 5 |- ( ph -> ( G o. v ) e. _V )
15		coexg 6526	. . . . 5 |- ( ( l e. _V /\ ( G o. v ) e. _V ) -> ( l o. ( G o. v ) ) e. _V )
16	4, 14, 15	sylancr 663	. . . 4 |- ( ph -> ( l o. ( G o. v ) ) e. _V )
17	16	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) -> ( l o. ( G o. v ) ) e. _V )
18		simprl 755	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) -> l Fn ran G )
19		stoweidlem31.1	. . . . . . . . 9 |- F/ h ph
20		nfcv 2577	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ h l
21		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ h R
22		nfrab1 2899	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ h { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) }
23	21, 22	nfmpt 4378	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ h ( w e. R |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
24	5, 23	nfcxfr 2574	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ h G
25	24	nfrn 5080	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ h ran G
26	20, 25	nffn 5505	. . . . . . . . . 10 |- F/ h l Fn ran G
27		nfv 1673	. . . . . . . . . . 11 |- F/ h ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b )
28	25, 27	nfral 2767	. . . . . . . . . 10 |- F/ h A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b )
29	26, 28	nfan 1861	. . . . . . . . 9 |- F/ h ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) )
30	19, 29	nfan 1861	. . . . . . . 8 |- F/ h ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) )
31		fvelrnb 5737	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l Fn ran G -> ( h e. ran l <-> E. b e. ran G ( l ` b ) = h ) )
32	18, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) -> ( h e. ran l <-> E. b e. ran G ( l ` b ) = h ) )
33	32	biimpa 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) -> E. b e. ran G ( l ` b ) = h )
34		nfv 1673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ b ph
35		nfv 1673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ b l Fn ran G
36		nfra1 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ b A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b )
37	35, 36	nfan 1861	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ b ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) )
38	34, 37	nfan 1861	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ b ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) )
39		nfv 1673	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ b h e. ran l
40	38, 39	nfan 1861	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ b ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l )
41		simp3 990	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) /\ b e. ran G /\ ( l ` b ) = h ) -> ( l ` b ) = h )
42		simp1ll 1051	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) /\ b e. ran G /\ ( l ` b ) = h ) -> ph )
43		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) -> A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) )
44	43	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) /\ b e. ran G /\ ( l ` b ) = h ) -> A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) )
45		simp2 989	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) /\ b e. ran G /\ ( l ` b ) = h ) -> b e. ran G )
46		simp3 990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ b e. ran G ) -> b e. ran G )
47		3simpc 987	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ b e. ran G ) -> ( A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ b e. ran G ) )
48		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ b e. ran G ) -> b e. ran G )
49		stoweidlem31.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- F/ w ph
50		stoweidlem31.13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> A e. _V )
51		rabexg 4440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( A e. _V -> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } e. _V )
52	50, 51	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } e. _V )
53	52	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( w e. R -> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } e. _V ) )
54	49, 53	ralrimi 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> A. w e. R { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } e. _V )
55	5	fnmpt 5535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A. w e. R { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } e. _V -> G Fn R )
56	54, 55	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> G Fn R )
57	56	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ b e. ran G ) -> G Fn R )
58		fvelrnb 5737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( G Fn R -> ( b e. ran G <-> E. u e. R ( G ` u ) = b ) )
59		nfmpt1 4379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- F/_ w ( w e. R |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
60	5, 59	nfcxfr 2574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F/_ w G
61		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F/_ w u
62	60, 61	nffv 5696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- F/_ w ( G ` u )
63		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- F/_ w b
64	62, 63	nfeq 2584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/ w ( G ` u ) = b
65		nfv 1673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/ u ( G ` w ) = b
66		fveq2 5689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( u = w -> ( G ` u ) = ( G ` w ) )
67	66	eqeq1d 2449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( u = w -> ( ( G ` u ) = b <-> ( G ` w ) = b ) )
68	64, 65, 67	cbvrex 2942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( E. u e. R ( G ` u ) = b <-> E. w e. R ( G ` w ) = b )
69	58, 68	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( G Fn R -> ( b e. ran G <-> E. w e. R ( G ` w ) = b ) )
70	57, 69	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ b e. ran G ) -> ( b e. ran G <-> E. w e. R ( G ` w ) = b ) )
71	48, 70	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ b e. ran G ) -> E. w e. R ( G ` w ) = b )
72	60	nfrn 5080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ w ran G
73	72	nfcri 2571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ w b e. ran G
74	49, 73	nfan 1861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ w ( ph /\ b e. ran G )
75		nfv 1673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ w b =/= (/)
76		simp3 990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ w e. R /\ ( G ` w ) = b ) -> ( G ` w ) = b )
77		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ w e. R ) -> w e. R )
78	50	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ w e. R ) -> A e. _V )
79	78, 51	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ w e. R ) -> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } e. _V )
80	5	fvmpt2 5779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( w e. R /\ { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } e. _V ) -> ( G ` w ) = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
81	77, 79, 80	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ w e. R ) -> ( G ` w ) = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
82	7	sselda 3354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ w e. R ) -> w e. V )
83		stoweidlem31.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- V = { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
84	83	rabeq2i 2967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( w e. V <-> ( w e. J /\ A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) ) )
85	82, 84	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ w e. R ) -> ( w e. J /\ A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) ) )
86	85	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ w e. R ) -> A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) )
87		stoweidlem31.10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ph -> E e. RR+ )
88		stoweidlem31.8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ph -> M e. NN )
89	88	nnrpd 11024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ph -> M e. RR+ )
90	87, 89	rpdivcld 11042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ph -> ( E / M ) e. RR+ )
91	90	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ w e. R ) -> ( E / M ) e. RR+ )
92		breq2 4294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( e = ( E / M ) -> ( ( h ` t ) < e <-> ( h ` t ) < ( E / M ) ) )
93	92	ralbidv 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( e = ( E / M ) -> ( A. t e. w ( h ` t ) < e <-> A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) ) )
94		oveq2 6097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( e = ( E / M ) -> ( 1 - e ) = ( 1 - ( E / M ) ) )
95	94	breq1d 4300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( e = ( E / M ) -> ( ( 1 - e ) < ( h ` t ) <-> ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) )
96	95	ralbidv 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( e = ( E / M ) -> ( A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) <-> A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) )
97	93, 96	3anbi23d 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( e = ( E / M ) -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) ) )
98	97	rexbidv 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( e = ( E / M ) -> ( E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) <-> E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) ) )
99	98	rspccva 3070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) /\ ( E / M ) e. RR+ ) -> E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) )
100	86, 91, 99	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ w e. R ) -> E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) )
101		nfv 1673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- F/ h w e. R
102	19, 101	nfan 1861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- F/ h ( ph /\ w e. R )
103		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- F/_ h (/)
104	22, 103	nfne 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- F/ h { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } =/= (/)
105		3simpc 987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ph /\ w e. R ) /\ h e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) ) -> ( h e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) ) )
106		rabid 2895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( h e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } <-> ( h e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) ) )
107	105, 106	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ph /\ w e. R ) /\ h e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) ) -> h e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
108		ne0i 3641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( h e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } -> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } =/= (/) )
109	107, 108	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ w e. R ) /\ h e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) ) -> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } =/= (/) )
110	109	3exp 1186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ w e. R ) -> ( h e. A -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) -> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } =/= (/) ) ) )
111	102, 104, 110	rexlimd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ w e. R ) -> ( E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) -> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } =/= (/) ) )
112	100, 111	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ w e. R ) -> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } =/= (/) )
113	81, 112	eqnetrd 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ w e. R ) -> ( G ` w ) =/= (/) )
114	113	3adant3 1008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ w e. R /\ ( G ` w ) = b ) -> ( G ` w ) =/= (/) )
115	76, 114	eqnetrrd 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ w e. R /\ ( G ` w ) = b ) -> b =/= (/) )
116	115	3adant1r 1211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ b e. ran G ) /\ w e. R /\ ( G ` w ) = b ) -> b =/= (/) )
117	116	3exp 1186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ b e. ran G ) -> ( w e. R -> ( ( G ` w ) = b -> b =/= (/) ) ) )
118	74, 75, 117	rexlimd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ b e. ran G ) -> ( E. w e. R ( G ` w ) = b -> b =/= (/) ) )
119	71, 118	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ b e. ran G ) -> b =/= (/) )
120	119	3adant2 1007	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ b e. ran G ) -> b =/= (/) )
121		rsp 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) -> ( b e. ran G -> ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) )
122	121	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ b e. ran G ) -> ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) )
123	47, 120, 122	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ b e. ran G ) -> ( l ` b ) e. b )
124	46, 123	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ b e. ran G ) -> ( b e. ran G /\ ( l ` b ) e. b ) )
125		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- b e. _V
126	5	elrnmpt 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b e. _V -> ( b e. ran G <-> E. w e. R b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } ) )
127	125, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b e. ran G <-> E. w e. R b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
128	46, 127	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ b e. ran G ) -> E. w e. R b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
129		nfv 1673	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ w ( l ` b ) e. b
130	73, 129	nfan 1861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ w ( b e. ran G /\ ( l ` b ) e. b )
131		nfv 1673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ w ( l ` b ) e. Y
132		simp1r 1013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( b e. ran G /\ ( l ` b ) e. b ) /\ w e. R /\ b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } ) -> ( l ` b ) e. b )
133		simp3 990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( b e. ran G /\ ( l ` b ) e. b ) /\ w e. R /\ b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } ) -> b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
134		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( l ` b ) e. b /\ b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } ) -> ( l ` b ) e. b )
135		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( l ` b ) e. b /\ b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } ) -> b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
136	134, 135	eleqtrd 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( l ` b ) e. b /\ b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } ) -> ( l ` b ) e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
137		elrabi 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( l ` b ) e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } -> ( l ` b ) e. A )
138		fveq1 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( h = ( l ` b ) -> ( h ` t ) = ( ( l ` b ) ` t ) )
139	138	breq2d 4302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( h = ( l ` b ) -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( ( l ` b ) ` t ) ) )
140	138	breq1d 4300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( h = ( l ` b ) -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( ( l ` b ) ` t ) <_ 1 ) )
141	139, 140	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( h = ( l ` b ) -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( ( l ` b ) ` t ) /\ ( ( l ` b ) ` t ) <_ 1 ) ) )
142	141	ralbidv 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( h = ( l ` b ) -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( ( l ` b ) ` t ) /\ ( ( l ` b ) ` t ) <_ 1 ) ) )
143	138	breq1d 4300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( h = ( l ` b ) -> ( ( h ` t ) < ( E / M ) <-> ( ( l ` b ) ` t ) < ( E / M ) ) )
144	143	ralbidv 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( h = ( l ` b ) -> ( A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) <-> A. t e. w ( ( l ` b ) ` t ) < ( E / M ) ) )
145	138	breq2d 4302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( h = ( l ` b ) -> ( ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) <-> ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( l ` b ) ` t ) ) )
146	145	ralbidv 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( h = ( l ` b ) -> ( A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) <-> A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( l ` b ) ` t ) ) )
147	142, 144, 146	3anbi123d 1289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( h = ( l ` b ) -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( l ` b ) ` t ) /\ ( ( l ` b ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( ( l ` b ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( l ` b ) ` t ) ) ) )
148	147	elrab 3115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( l ` b ) e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } <-> ( ( l ` b ) e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( l ` b ) ` t ) /\ ( ( l ` b ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( ( l ` b ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( l ` b ) ` t ) ) ) )
149	148	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( l ` b ) e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( l ` b ) ` t ) /\ ( ( l ` b ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( ( l ` b ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( l ` b ) ` t ) ) )
150	149	simp1d 1000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( l ` b ) e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } -> A. t e. T ( 0 <_ ( ( l ` b ) ` t ) /\ ( ( l ` b ) ` t ) <_ 1 ) )
151	142	elrab 3115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( l ` b ) e. { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } <-> ( ( l ` b ) e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( ( l ` b ) ` t ) /\ ( ( l ` b ) ` t ) <_ 1 ) ) )
152	137, 150, 151	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( l ` b ) e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } -> ( l ` b ) e. { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } )
153	136, 152	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( l ` b ) e. b /\ b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } ) -> ( l ` b ) e. { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } )
154		stoweidlem31.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
155	153, 154	syl6eleqr 2532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( l ` b ) e. b /\ b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } ) -> ( l ` b ) e. Y )
156	132, 133, 155	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( b e. ran G /\ ( l ` b ) e. b ) /\ w e. R /\ b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } ) -> ( l ` b ) e. Y )
157	156	3exp 1186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. ran G /\ ( l ` b ) e. b ) -> ( w e. R -> ( b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } -> ( l ` b ) e. Y ) ) )
158	130, 131, 157	rexlimd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b e. ran G /\ ( l ` b ) e. b ) -> ( E. w e. R b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } -> ( l ` b ) e. Y ) )
159	124, 128, 158	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ b e. ran G ) -> ( l ` b ) e. Y )
160	42, 44, 45, 159	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) /\ b e. ran G /\ ( l ` b ) = h ) -> ( l ` b ) e. Y )
161	41, 160	eqeltrrd 2516	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) /\ b e. ran G /\ ( l ` b ) = h ) -> h e. Y )
162	161	3exp 1186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) -> ( b e. ran G -> ( ( l ` b ) = h -> h e. Y ) ) )
163	40, 162	reximdai 2822	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) -> ( E. b e. ran G ( l ` b ) = h -> E. b e. ran G h e. Y ) )
164	33, 163	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) -> E. b e. ran G h e. Y )
165		nfv 1673	. . . . . . . . . . 11 |- F/ b h e. Y
166		idd 24	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. ran G -> ( h e. Y -> h e. Y ) )
167	166	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) -> ( b e. ran G -> ( h e. Y -> h e. Y ) ) )
168	40, 165, 167	rexlimd 2836	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) -> ( E. b e. ran G h e. Y -> h e. Y ) )
169	164, 168	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) -> h e. Y )
170	169	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) -> ( h e. ran l -> h e. Y ) )
171	30, 170	ralrimi 2795	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) -> A. h e. ran l h e. Y )
172		dfss3 3344	. . . . . . . 8 |- ( ran l C_ Y <-> A. z e. ran l z e. Y )
173		nfrab1 2899	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ h { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
174	154, 173	nfcxfr 2574	. . . . . . . . . 10 |- F/_ h Y
175	174	nfcri 2571	. . . . . . . . 9 |- F/ h z e. Y
176		nfv 1673	. . . . . . . . 9 |- F/ z h e. Y
177		eleq1 2501	. . . . . . . . 9 |- ( z = h -> ( z e. Y <-> h e. Y ) )
178	175, 176, 177	cbvral 2941	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. ran l z e. Y <-> A. h e. ran l h e. Y )
179	172, 178	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( ran l C_ Y <-> A. h e. ran l h e. Y )
180	171, 179	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) -> ran l C_ Y )
181		df-f 5420	. . . . . 6 |- ( l : ran G --> Y <-> ( l Fn ran G /\ ran l C_ Y ) )
182	18, 180, 181	sylanbrc 664	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) -> l : ran G --> Y )
183		dffn3 5564	. . . . . . . 8 |- ( G Fn R <-> G : R --> ran G )
184	56, 183	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ph -> G : R --> ran G )
185	184	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) -> G : R --> ran G )
186		stoweidlem31.9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> v : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> R )
187		f1of 5639	. . . . . . . 8 |- ( v : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> R -> v : ( 1 ... M ) --> R )
188	186, 187	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> v : ( 1 ... M ) --> R )
189	188	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) -> v : ( 1 ... M ) --> R )
190		fco 5566	. . . . . 6 |- ( ( G : R --> ran G /\ v : ( 1 ... M ) --> R ) -> ( G o. v ) : ( 1 ... M ) --> ran G )
191	185, 189, 190	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) -> ( G o. v ) : ( 1 ... M ) --> ran G )
192		fco 5566	. . . . 5 |- ( ( l : ran G --> Y /\ ( G o. v ) : ( 1 ... M ) --> ran G ) -> ( l o. ( G o. v ) ) : ( 1 ... M ) --> Y )
193	182, 191, 192	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) -> ( l o. ( G o. v ) ) : ( 1 ... M ) --> Y )
194		fvco3 5766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G o. v ) : ( 1 ... M ) --> ran G /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) = ( l ` ( ( G o. v ) ` i ) ) )
195	191, 194	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) = ( l ` ( ( G o. v ) ` i ) ) )
196		simpll 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ph )
197		simplrr 760	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) )
198	191	fnvinran 29733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( G o. v ) ` i ) e. ran G )
199		simp3 990	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ ( ( G o. v ) ` i ) e. ran G ) -> ( ( G o. v ) ` i ) e. ran G )
200		nfv 1673	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ b ( ( G o. v ) ` i ) e. ran G
201	34, 36, 200	nf3an 1863	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ b ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ ( ( G o. v ) ` i ) e. ran G )
202		nfv 1673	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ b ( l ` ( ( G o. v ) ` i ) ) e. ( ( G o. v ) ` i )
203	201, 202	nfim 1853	. . . . . . . . . . 11 |- F/ b ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ ( ( G o. v ) ` i ) e. ran G ) -> ( l ` ( ( G o. v ) ` i ) ) e. ( ( G o. v ) ` i ) )
204		eleq1 2501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( ( G o. v ) ` i ) -> ( b e. ran G <-> ( ( G o. v ) ` i ) e. ran G ) )
205	204	3anbi3d 1295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = ( ( G o. v ) ` i ) -> ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ b e. ran G ) <-> ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ ( ( G o. v ) ` i ) e. ran G ) ) )
206		fveq2 5689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( ( G o. v ) ` i ) -> ( l ` b ) = ( l ` ( ( G o. v ) ` i ) ) )
207		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( ( G o. v ) ` i ) -> b = ( ( G o. v ) ` i ) )
208	206, 207	eleq12d 2509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = ( ( G o. v ) ` i ) -> ( ( l ` b ) e. b <-> ( l ` ( ( G o. v ) ` i ) ) e. ( ( G o. v ) ` i ) ) )
209	205, 208	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( ( G o. v ) ` i ) -> ( ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ b e. ran G ) -> ( l ` b ) e. b ) <-> ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ ( ( G o. v ) ` i ) e. ran G ) -> ( l ` ( ( G o. v ) ` i ) ) e. ( ( G o. v ) ` i ) ) ) )
210	203, 209, 123	vtoclg1f 3027	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G o. v ) ` i ) e. ran G -> ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ ( ( G o. v ) ` i ) e. ran G ) -> ( l ` ( ( G o. v ) ` i ) ) e. ( ( G o. v ) ` i ) ) )
211	199, 210	mpcom 36	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ ( ( G o. v ) ` i ) e. ran G ) -> ( l ` ( ( G o. v ) ` i ) ) e. ( ( G o. v ) ` i ) )
212	196, 197, 198, 211	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( l ` ( ( G o. v ) ` i ) ) e. ( ( G o. v ) ` i ) )
213	195, 212	eqeltrd 2515	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) e. ( ( G o. v ) ` i ) )
214		fvco3 5766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v : ( 1 ... M ) --> R /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( G o. v ) ` i ) = ( G ` ( v ` i ) ) )
215	188, 214	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( G o. v ) ` i ) = ( G ` ( v ` i ) ) )
216	188	fnvinran 29733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( v ` i ) e. R )
217	50	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A e. _V )
218		rabexg 4440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. _V -> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } e. _V )
219	217, 218	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } e. _V )
220		raleq 2915	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( v ` i ) -> ( A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) <-> A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) ) )
221	220	3anbi2d 1294	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( v ` i ) -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) ) )
222	221	rabbidv 2962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( v ` i ) -> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
223	222, 5	fvmptg 5770	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( v ` i ) e. R /\ { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } e. _V ) -> ( G ` ( v ` i ) ) = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
224	216, 219, 223	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` ( v ` i ) ) = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
225	215, 224	eqtrd 2473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( G o. v ) ` i ) = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
226	225	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( G o. v ) ` i ) = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
227	226	eleq2d 2508	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) e. ( ( G o. v ) ` i ) <-> ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } ) )
228		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ h v
229	24, 228	nfco 5003	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ h ( G o. v )
230	20, 229	nfco 5003	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ h ( l o. ( G o. v ) )
231		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ h i
232	230, 231	nffv 5696	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ h ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i )
233		nfcv 2577	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ h A
234		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ h T
235		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ h 0
236		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ h <_
237		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ h t
238	232, 237	nffv 5696	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ h ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t )
239	235, 236, 238	nfbr 4334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ h 0 <_ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t )
240		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ h 1
241	238, 236, 240	nfbr 4334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ h ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) <_ 1
242	239, 241	nfan 1861	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ h ( 0 <_ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) /\ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) <_ 1 )
243	234, 242	nfral 2767	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ h A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) /\ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) <_ 1 )
244		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ h ( v ` i )
245		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ h <
246		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ h ( E / M )
247	238, 245, 246	nfbr 4334	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ h ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M )
248	244, 247	nfral 2767	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ h A. t e. ( v ` i ) ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M )
249		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ h ( T \ U )
250		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ h ( 1 - ( E / M ) )
251	250, 245, 238	nfbr 4334	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ h ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t )
252	249, 251	nfral 2767	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ h A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t )
253	243, 248, 252	nf3an 1863	. . . . . . . . . . 11 |- F/ h ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) /\ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) )
254		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ t h
255		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ t l
256		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ t R
257		nfra1 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 )
258		nfra1 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ t A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M )
259		nfra1 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ t A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t )
260	257, 258, 259	nf3an 1863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ t ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) )
261		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ t A
262	260, 261	nfrab 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ t { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) }
263	256, 262	nfmpt 4378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ t ( w e. R |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
264	5, 263	nfcxfr 2574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ t G
265		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ t v
266	264, 265	nfco 5003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ t ( G o. v )
267	255, 266	nfco 5003	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ t ( l o. ( G o. v ) )
268		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ t i
269	267, 268	nffv 5696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ t ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i )
270	254, 269	nfeq 2584	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ t h = ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i )
271		fveq1 5688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) -> ( h ` t ) = ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) )
272	271	breq2d 4302	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) ) )
273	271	breq1d 4300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) <_ 1 ) )
274	272, 273	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) /\ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) <_ 1 ) ) )
275	270, 274	ralbid 2731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) /\ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) <_ 1 ) ) )
276	271	breq1d 4300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) -> ( ( h ` t ) < ( E / M ) <-> ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) ) )
277	270, 276	ralbid 2731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) -> ( A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) <-> A. t e. ( v ` i ) ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) ) )
278	271	breq2d 4302	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) -> ( ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) <-> ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) ) )
279	270, 278	ralbid 2731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) -> ( A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) <-> A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) ) )
280	275, 277, 279	3anbi123d 1289	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) /\ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) ) ) )
281	232, 233, 253, 280	elrabf 3113	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } <-> ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) /\ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) ) ) )
282	281	simprbi 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) /\ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) ) )
283	282	simp2d 1001	. . . . . . . 8 |- ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } -> A. t e. ( v ` i ) ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) )
284	227, 283	syl6bi 228	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) e. ( ( G o. v ) ` i ) -> A. t e. ( v ` i ) ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) ) )
285	213, 284	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. t e. ( v ` i ) ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) )
286		stoweidlem31.2	. . . . . . . . 9 |- F/ t ph
287	264	nfrn 5080	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t ran G
288	255, 287	nffn 5505	. . . . . . . . . 10 |- F/ t l Fn ran G
289		nfv 1673	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b )
290	287, 289	nfral 2767	. . . . . . . . . 10 |- F/ t A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b )
291	288, 290	nfan 1861	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) )
292	286, 291	nfan 1861	. . . . . . . 8 |- F/ t ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) )
293		nfv 1673	. . . . . . . 8 |- F/ t i e. ( 1 ... M )
294	292, 293	nfan 1861	. . . . . . 7 |- F/ t ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) )
295		stoweidlem31.11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B C_ ( T \ U ) )
296	295	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. B ) -> B C_ ( T \ U ) )
297		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. B ) -> t e. B )
298	296, 297	sseldd 3355	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. B ) -> t e. ( T \ U ) )
299	282	simp3d 1002	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } -> A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) )
300	227, 299	syl6bi 228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) e. ( ( G o. v ) ` i ) -> A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) ) )
301	213, 300	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) )
302	301	r19.21bi 2812	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) )
303	298, 302	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. B ) -> ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) )
304	303	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( t e. B -> ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) ) )
305	294, 304	ralrimi 2795	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) )
306	285, 305	jca 532	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( A. t e. ( v ` i ) ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) ) )
307	306	ralrimiva 2797	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) ) )
308	193, 307	jca 532	. . 3 |- ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) -> ( ( l o. ( G o. v ) ) : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) ) ) )
309		feq1 5540	. . . . 5 |- ( x = ( l o. ( G o. v ) ) -> ( x : ( 1 ... M ) --> Y <-> ( l o. ( G o. v ) ) : ( 1 ... M ) --> Y ) )
310		nfcv 2577	. . . . . . . . 9 |- F/_ t x
311	310, 267	nfeq 2584	. . . . . . . 8 |- F/ t x = ( l o. ( G o. v ) )
312		fveq1 5688	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( l o. ( G o. v ) ) -> ( x ` i ) = ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) )
313	312	fveq1d 5691	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( l o. ( G o. v ) ) -> ( ( x ` i ) ` t ) = ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) )
314	313	breq1d 4300	. . . . . . . 8 |- ( x = ( l o. ( G o. v ) ) -> ( ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / M ) <-> ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) ) )
315	311, 314	ralbid 2731	. . . . . . 7 |- ( x = ( l o. ( G o. v ) ) -> ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / M ) <-> A. t e. ( v ` i ) ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) ) )
316	313	breq2d 4302	. . . . . . . 8 |- ( x = ( l o. ( G o. v ) ) -> ( ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) <-> ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) ) )
317	311, 316	ralbid 2731	. . . . . . 7 |- ( x = ( l o. ( G o. v ) ) -> ( A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) <-> A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) ) )
318	315, 317	anbi12d 710	. . . . . 6 |- ( x = ( l o. ( G o. v ) ) -> ( ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t )