Theorem stoweidlem31 27647

Description: This lemma is used to prove that there exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91: assuming that R is a finite subset of V, x indexes a finite set of functions in the subalgebra (of the Stone Weierstrass theorem), such that for all i ranging in the finite indexing set, 0 ≤ x_i ≤ 1, x_i < ε / m on V(t_i), and x_i > 1 - ε / m on B. Here M is used to represent m in the paper, E is used to represent ε in the paper, v_i is used to represent V(t_i). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem31.1	|- F/ h ph
stoweidlem31.2	|- F/ t ph
stoweidlem31.3	|- F/ w ph
stoweidlem31.4	|- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
stoweidlem31.5	|- V = { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
stoweidlem31.6	|- G = ( w e. R |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
stoweidlem31.7	|- ( ph -> R C_ V )
stoweidlem31.8	|- ( ph -> M e. NN )
stoweidlem31.9	|- ( ph -> v : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> R )
stoweidlem31.10	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem31.11	|- ( ph -> B C_ ( T \ U ) )
stoweidlem31.12	|- ( ph -> V e. _V )
stoweidlem31.13	|- ( ph -> A e. _V )
stoweidlem31.14	|- ( ph -> ran G e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem31	|- ( ph -> E. x ( x : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) ) ) )

Distinct variable groups:   h, i, t, v, w   i, G   w, Y   ph, i   e, h, t, w, A   e, E, h, t, w   e, M, h, t, w   T, e, h, w   U, e, h, w   R, h, t, w   x, i, t, v   i, M   x, B   x, E   x, G   x, M   x, Y

Allowed substitution hints:   ph( x, w, v, t, e, h)   A( x, v, i)   B( w, v, t, e, h, i)   R( x, v, e, i)   T( x, v, t, i)   U( x, v, t, i)   E( v, i)   G( w, v, t, e, h)   J( x, w, v, t, e, h, i)   M( v)   V( x, w, v, t, e, h, i)   Y( v, t, e, h, i)

Proof of Theorem stoweidlem31

Dummy variables b l u z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem31.14	. . 3 |- ( ph -> ran G e. Fin )
2		fnchoice 27567	. . 3 |- ( ran G e. Fin -> E. l ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) )
3	1, 2	syl 16	. 2 |- ( ph -> E. l ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) )
4		vex 2919	. . . . 5 |- l e. _V
5		stoweidlem31.6	. . . . . . 7 |- G = ( w e. R |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
6		stoweidlem31.12	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> V e. _V )
7		stoweidlem31.7	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R C_ V )
8	6, 7	ssexd 4310	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. _V )
9		mptexg 5924	. . . . . . . 8 |- ( R e. _V -> ( w e. R |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } ) e. _V )
10	8, 9	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( w e. R |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } ) e. _V )
11	5, 10	syl5eqel 2488	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. _V )
12		vex 2919	. . . . . 6 |- v e. _V
13		coexg 5371	. . . . . 6 |- ( ( G e. _V /\ v e. _V ) -> ( G o. v ) e. _V )
14	11, 12, 13	sylancl 644	. . . . 5 |- ( ph -> ( G o. v ) e. _V )
15		coexg 5371	. . . . 5 |- ( ( l e. _V /\ ( G o. v ) e. _V ) -> ( l o. ( G o. v ) ) e. _V )
16	4, 14, 15	sylancr 645	. . . 4 |- ( ph -> ( l o. ( G o. v ) ) e. _V )
17	16	adantr 452	. . 3 |- ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) -> ( l o. ( G o. v ) ) e. _V )
18		simprl 733	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) -> l Fn ran G )
19		stoweidlem31.1	. . . . . . . . 9 |- F/ h ph
20		nfcv 2540	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ h l
21		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ h R
22		nfrab1 2848	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ h { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) }
23	21, 22	nfmpt 4257	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ h ( w e. R |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
24	5, 23	nfcxfr 2537	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ h G
25	24	nfrn 5071	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ h ran G
26	20, 25	nffn 5500	. . . . . . . . . 10 |- F/ h l Fn ran G
27		nfv 1626	. . . . . . . . . . 11 |- F/ h ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b )
28	25, 27	nfral 2719	. . . . . . . . . 10 |- F/ h A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b )
29	26, 28	nfan 1842	. . . . . . . . 9 |- F/ h ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) )
30	19, 29	nfan 1842	. . . . . . . 8 |- F/ h ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) )
31		fvelrnb 5733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l Fn ran G -> ( h e. ran l <-> E. b e. ran G ( l ` b ) = h ) )
32	18, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) -> ( h e. ran l <-> E. b e. ran G ( l ` b ) = h ) )
33	32	biimpa 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) -> E. b e. ran G ( l ` b ) = h )
34		nfv 1626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ b ph
35		nfv 1626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ b l Fn ran G
36		nfra1 2716	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ b A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b )
37	35, 36	nfan 1842	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ b ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) )
38	34, 37	nfan 1842	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ b ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) )
39		nfv 1626	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ b h e. ran l
40	38, 39	nfan 1842	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ b ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l )
41		simp3 959	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) /\ b e. ran G /\ ( l ` b ) = h ) -> ( l ` b ) = h )
42		simp1ll 1020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) /\ b e. ran G /\ ( l ` b ) = h ) -> ph )
43		simplrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) -> A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) )
44	43	3ad2ant1 978	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) /\ b e. ran G /\ ( l ` b ) = h ) -> A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) )
45		simp2 958	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) /\ b e. ran G /\ ( l ` b ) = h ) -> b e. ran G )
46		simp3 959	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ b e. ran G ) -> b e. ran G )
47		3simpc 956	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ b e. ran G ) -> ( A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ b e. ran G ) )
48		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ b e. ran G ) -> b e. ran G )
49		stoweidlem31.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- F/ w ph
50		stoweidlem31.13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> A e. _V )
51		rabexg 4313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( A e. _V -> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } e. _V )
52	50, 51	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } e. _V )
53	52	a1d 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( w e. R -> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } e. _V ) )
54	49, 53	ralrimi 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> A. w e. R { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } e. _V )
55	5	fnmpt 5530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A. w e. R { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } e. _V -> G Fn R )
56	54, 55	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> G Fn R )
57	56	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ b e. ran G ) -> G Fn R )
58		fvelrnb 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( G Fn R -> ( b e. ran G <-> E. u e. R ( G ` u ) = b ) )
59		nfmpt1 4258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- F/_ w ( w e. R |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
60	5, 59	nfcxfr 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F/_ w G
61		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F/_ w u
62	60, 61	nffv 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- F/_ w ( G ` u )
63		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- F/_ w b
64	62, 63	nfeq 2547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/ w ( G ` u ) = b
65		nfv 1626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/ u ( G ` w ) = b
66		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( u = w -> ( G ` u ) = ( G ` w ) )
67	66	eqeq1d 2412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( u = w -> ( ( G ` u ) = b <-> ( G ` w ) = b ) )
68	64, 65, 67	cbvrex 2889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( E. u e. R ( G ` u ) = b <-> E. w e. R ( G ` w ) = b )
69	58, 68	syl6bb 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( G Fn R -> ( b e. ran G <-> E. w e. R ( G ` w ) = b ) )
70	57, 69	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ b e. ran G ) -> ( b e. ran G <-> E. w e. R ( G ` w ) = b ) )
71	48, 70	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ b e. ran G ) -> E. w e. R ( G ` w ) = b )
72	60	nfrn 5071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ w ran G
73	72	nfcri 2534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ w b e. ran G
74	49, 73	nfan 1842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ w ( ph /\ b e. ran G )
75		nfv 1626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ w b =/= (/)
76		simp3 959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ w e. R /\ ( G ` w ) = b ) -> ( G ` w ) = b )
77		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ w e. R ) -> w e. R )
78	50	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ w e. R ) -> A e. _V )
79	78, 51	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ w e. R ) -> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } e. _V )
80	5	fvmpt2 5771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( w e. R /\ { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } e. _V ) -> ( G ` w ) = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
81	77, 79, 80	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ w e. R ) -> ( G ` w ) = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
82	7	sselda 3308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ w e. R ) -> w e. V )
83		stoweidlem31.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- V = { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
84	83	rabeq2i 2913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( w e. V <-> ( w e. J /\ A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) ) )
85	82, 84	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ w e. R ) -> ( w e. J /\ A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) ) )
86	85	simprd 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ w e. R ) -> A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) )
87		stoweidlem31.10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ph -> E e. RR+ )
88		stoweidlem31.8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ph -> M e. NN )
89	88	nnrpd 10603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ph -> M e. RR+ )
90	87, 89	rpdivcld 10621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ph -> ( E / M ) e. RR+ )
91	90	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ w e. R ) -> ( E / M ) e. RR+ )
92		breq2 4176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( e = ( E / M ) -> ( ( h ` t ) < e <-> ( h ` t ) < ( E / M ) ) )
93	92	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( e = ( E / M ) -> ( A. t e. w ( h ` t ) < e <-> A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) ) )
94		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( e = ( E / M ) -> ( 1 - e ) = ( 1 - ( E / M ) ) )
95	94	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( e = ( E / M ) -> ( ( 1 - e ) < ( h ` t ) <-> ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) )
96	95	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( e = ( E / M ) -> ( A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) <-> A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) )
97	93, 96	3anbi23d 1257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( e = ( E / M ) -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) ) )
98	97	rexbidv 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( e = ( E / M ) -> ( E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) <-> E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) ) )
99	98	rspccva 3011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) /\ ( E / M ) e. RR+ ) -> E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) )
100	86, 91, 99	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ w e. R ) -> E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) )
101		nfv 1626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- F/ h w e. R
102	19, 101	nfan 1842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- F/ h ( ph /\ w e. R )
103		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- F/_ h (/)
104	22, 103	nfne 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- F/ h { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } =/= (/)
105		3simpc 956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ph /\ w e. R ) /\ h e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) ) -> ( h e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) ) )
106		rabid 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( h e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } <-> ( h e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) ) )
107	105, 106	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ph /\ w e. R ) /\ h e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) ) -> h e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
108		ne0i 3594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( h e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } -> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } =/= (/) )
109	107, 108	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ w e. R ) /\ h e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) ) -> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } =/= (/) )
110	109	3exp 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ w e. R ) -> ( h e. A -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) -> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } =/= (/) ) ) )
111	102, 104, 110	rexlimd 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ w e. R ) -> ( E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) -> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } =/= (/) ) )
112	100, 111	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ w e. R ) -> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } =/= (/) )
113	81, 112	eqnetrd 2585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ w e. R ) -> ( G ` w ) =/= (/) )
114	113	3adant3 977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ w e. R /\ ( G ` w ) = b ) -> ( G ` w ) =/= (/) )
115	76, 114	eqnetrrd 2587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ w e. R /\ ( G ` w ) = b ) -> b =/= (/) )
116	115	3adant1r 1177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ b e. ran G ) /\ w e. R /\ ( G ` w ) = b ) -> b =/= (/) )
117	116	3exp 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ b e. ran G ) -> ( w e. R -> ( ( G ` w ) = b -> b =/= (/) ) ) )
118	74, 75, 117	rexlimd 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ b e. ran G ) -> ( E. w e. R ( G ` w ) = b -> b =/= (/) ) )
119	71, 118	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ b e. ran G ) -> b =/= (/) )
120	119	3adant2 976	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ b e. ran G ) -> b =/= (/) )
121		rsp 2726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) -> ( b e. ran G -> ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) )
122	121	imp 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ b e. ran G ) -> ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) )
123	47, 120, 122	sylc 58	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ b e. ran G ) -> ( l ` b ) e. b )
124	46, 123	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ b e. ran G ) -> ( b e. ran G /\ ( l ` b ) e. b ) )
125		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- b e. _V
126	5	elrnmpt 5076	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b e. _V -> ( b e. ran G <-> E. w e. R b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } ) )
127	125, 126	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b e. ran G <-> E. w e. R b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
128	46, 127	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ b e. ran G ) -> E. w e. R b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
129		nfv 1626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ w ( l ` b ) e. b
130	73, 129	nfan 1842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ w ( b e. ran G /\ ( l ` b ) e. b )
131		nfv 1626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ w ( l ` b ) e. Y
132		simp1r 982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( b e. ran G /\ ( l ` b ) e. b ) /\ w e. R /\ b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } ) -> ( l ` b ) e. b )
133		simp3 959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( b e. ran G /\ ( l ` b ) e. b ) /\ w e. R /\ b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } ) -> b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
134		simpl 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( l ` b ) e. b /\ b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } ) -> ( l ` b ) e. b )
135		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( l ` b ) e. b /\ b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } ) -> b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
136	134, 135	eleqtrd 2480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( l ` b ) e. b /\ b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } ) -> ( l ` b ) e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
137		elrabi 3050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( l ` b ) e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } -> ( l ` b ) e. A )
138		fveq1 5686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( h = ( l ` b ) -> ( h ` t ) = ( ( l ` b ) ` t ) )
139	138	breq2d 4184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( h = ( l ` b ) -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( ( l ` b ) ` t ) ) )
140	138	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( h = ( l ` b ) -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( ( l ` b ) ` t ) <_ 1 ) )
141	139, 140	anbi12d 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( h = ( l ` b ) -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( ( l ` b ) ` t ) /\ ( ( l ` b ) ` t ) <_ 1 ) ) )
142	141	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( h = ( l ` b ) -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( ( l ` b ) ` t ) /\ ( ( l ` b ) ` t ) <_ 1 ) ) )
143	138	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( h = ( l ` b ) -> ( ( h ` t ) < ( E / M ) <-> ( ( l ` b ) ` t ) < ( E / M ) ) )
144	143	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( h = ( l ` b ) -> ( A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) <-> A. t e. w ( ( l ` b ) ` t ) < ( E / M ) ) )
145	138	breq2d 4184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( h = ( l ` b ) -> ( ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) <-> ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( l ` b ) ` t ) ) )
146	145	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( h = ( l ` b ) -> ( A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) <-> A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( l ` b ) ` t ) ) )
147	142, 144, 146	3anbi123d 1254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( h = ( l ` b ) -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( l ` b ) ` t ) /\ ( ( l ` b ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( ( l ` b ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( l ` b ) ` t ) ) ) )
148	147	elrab 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( l ` b ) e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } <-> ( ( l ` b ) e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( l ` b ) ` t ) /\ ( ( l ` b ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( ( l ` b ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( l ` b ) ` t ) ) ) )
149	148	simprbi 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( l ` b ) e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( l ` b ) ` t ) /\ ( ( l ` b ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( ( l ` b ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( l ` b ) ` t ) ) )
150	149	simp1d 969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( l ` b ) e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } -> A. t e. T ( 0 <_ ( ( l ` b ) ` t ) /\ ( ( l ` b ) ` t ) <_ 1 ) )
151	142	elrab 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( l ` b ) e. { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } <-> ( ( l ` b ) e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( ( l ` b ) ` t ) /\ ( ( l ` b ) ` t ) <_ 1 ) ) )
152	137, 150, 151	sylanbrc 646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( l ` b ) e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } -> ( l ` b ) e. { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } )
153	136, 152	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( l ` b ) e. b /\ b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } ) -> ( l ` b ) e. { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } )
154		stoweidlem31.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
155	153, 154	syl6eleqr 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( l ` b ) e. b /\ b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } ) -> ( l ` b ) e. Y )
156	132, 133, 155	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( b e. ran G /\ ( l ` b ) e. b ) /\ w e. R /\ b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } ) -> ( l ` b ) e. Y )
157	156	3exp 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. ran G /\ ( l ` b ) e. b ) -> ( w e. R -> ( b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } -> ( l ` b ) e. Y ) ) )
158	130, 131, 157	rexlimd 2787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b e. ran G /\ ( l ` b ) e. b ) -> ( E. w e. R b = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } -> ( l ` b ) e. Y ) )
159	124, 128, 158	sylc 58	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ b e. ran G ) -> ( l ` b ) e. Y )
160	42, 44, 45, 159	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) /\ b e. ran G /\ ( l ` b ) = h ) -> ( l ` b ) e. Y )
161	41, 160	eqeltrrd 2479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) /\ b e. ran G /\ ( l ` b ) = h ) -> h e. Y )
162	161	3exp 1152	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) -> ( b e. ran G -> ( ( l ` b ) = h -> h e. Y ) ) )
163	40, 162	reximdai 2774	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) -> ( E. b e. ran G ( l ` b ) = h -> E. b e. ran G h e. Y ) )
164	33, 163	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) -> E. b e. ran G h e. Y )
165		nfv 1626	. . . . . . . . . . 11 |- F/ b h e. Y
166		idd 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. ran G -> ( h e. Y -> h e. Y ) )
167	166	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) -> ( b e. ran G -> ( h e. Y -> h e. Y ) ) )
168	40, 165, 167	rexlimd 2787	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) -> ( E. b e. ran G h e. Y -> h e. Y ) )
169	164, 168	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ h e. ran l ) -> h e. Y )
170	169	ex 424	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) -> ( h e. ran l -> h e. Y ) )
171	30, 170	ralrimi 2747	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) -> A. h e. ran l h e. Y )
172		dfss3 3298	. . . . . . . 8 |- ( ran l C_ Y <-> A. z e. ran l z e. Y )
173		nfrab1 2848	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ h { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
174	154, 173	nfcxfr 2537	. . . . . . . . . 10 |- F/_ h Y
175	174	nfcri 2534	. . . . . . . . 9 |- F/ h z e. Y
176		nfv 1626	. . . . . . . . 9 |- F/ z h e. Y
177		eleq1 2464	. . . . . . . . 9 |- ( z = h -> ( z e. Y <-> h e. Y ) )
178	175, 176, 177	cbvral 2888	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. ran l z e. Y <-> A. h e. ran l h e. Y )
179	172, 178	bitri 241	. . . . . . 7 |- ( ran l C_ Y <-> A. h e. ran l h e. Y )
180	171, 179	sylibr 204	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) -> ran l C_ Y )
181		df-f 5417	. . . . . 6 |- ( l : ran G --> Y <-> ( l Fn ran G /\ ran l C_ Y ) )
182	18, 180, 181	sylanbrc 646	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) -> l : ran G --> Y )
183		dffn3 5557	. . . . . . . 8 |- ( G Fn R <-> G : R --> ran G )
184	56, 183	sylib 189	. . . . . . 7 |- ( ph -> G : R --> ran G )
185	184	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) -> G : R --> ran G )
186		stoweidlem31.9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> v : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> R )
187		f1of 5633	. . . . . . . 8 |- ( v : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> R -> v : ( 1 ... M ) --> R )
188	186, 187	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> v : ( 1 ... M ) --> R )
189	188	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) -> v : ( 1 ... M ) --> R )
190		fco 5559	. . . . . 6 |- ( ( G : R --> ran G /\ v : ( 1 ... M ) --> R ) -> ( G o. v ) : ( 1 ... M ) --> ran G )
191	185, 189, 190	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) -> ( G o. v ) : ( 1 ... M ) --> ran G )
192		fco 5559	. . . . 5 |- ( ( l : ran G --> Y /\ ( G o. v ) : ( 1 ... M ) --> ran G ) -> ( l o. ( G o. v ) ) : ( 1 ... M ) --> Y )
193	182, 191, 192	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) -> ( l o. ( G o. v ) ) : ( 1 ... M ) --> Y )
194		fvco3 5759	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G o. v ) : ( 1 ... M ) --> ran G /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) = ( l ` ( ( G o. v ) ` i ) ) )
195	191, 194	sylan 458	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) = ( l ` ( ( G o. v ) ` i ) ) )
196		simpll 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ph )
197		simplrr 738	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) )
198	191	fnvinran 27552	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( G o. v ) ` i ) e. ran G )
199		simp3 959	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ ( ( G o. v ) ` i ) e. ran G ) -> ( ( G o. v ) ` i ) e. ran G )
200		nfcv 2540	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ b ( ( G o. v ) ` i )
201		nfv 1626	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ b ( ( G o. v ) ` i ) e. ran G
202	34, 36, 201	nf3an 1845	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ b ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ ( ( G o. v ) ` i ) e. ran G )
203		nfv 1626	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ b ( l ` ( ( G o. v ) ` i ) ) e. ( ( G o. v ) ` i )
204	202, 203	nfim 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ b ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ ( ( G o. v ) ` i ) e. ran G ) -> ( l ` ( ( G o. v ) ` i ) ) e. ( ( G o. v ) ` i ) )
205		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( ( G o. v ) ` i ) -> ( b e. ran G <-> ( ( G o. v ) ` i ) e. ran G ) )
206	205	3anbi3d 1260	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = ( ( G o. v ) ` i ) -> ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ b e. ran G ) <-> ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ ( ( G o. v ) ` i ) e. ran G ) ) )
207		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( ( G o. v ) ` i ) -> ( l ` b ) = ( l ` ( ( G o. v ) ` i ) ) )
208		id 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( ( G o. v ) ` i ) -> b = ( ( G o. v ) ` i ) )
209	207, 208	eleq12d 2472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = ( ( G o. v ) ` i ) -> ( ( l ` b ) e. b <-> ( l ` ( ( G o. v ) ` i ) ) e. ( ( G o. v ) ` i ) ) )
210	206, 209	imbi12d 312	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( ( G o. v ) ` i ) -> ( ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ b e. ran G ) -> ( l ` b ) e. b ) <-> ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ ( ( G o. v ) ` i ) e. ran G ) -> ( l ` ( ( G o. v ) ` i ) ) e. ( ( G o. v ) ` i ) ) ) )
211	200, 204, 210, 123	vtoclgf 2970	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G o. v ) ` i ) e. ran G -> ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ ( ( G o. v ) ` i ) e. ran G ) -> ( l ` ( ( G o. v ) ` i ) ) e. ( ( G o. v ) ` i ) ) )
212	199, 211	mpcom 34	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) /\ ( ( G o. v ) ` i ) e. ran G ) -> ( l ` ( ( G o. v ) ` i ) ) e. ( ( G o. v ) ` i ) )
213	196, 197, 198, 212	syl3anc 1184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( l ` ( ( G o. v ) ` i ) ) e. ( ( G o. v ) ` i ) )
214	195, 213	eqeltrd 2478	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) e. ( ( G o. v ) ` i ) )
215		fvco3 5759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v : ( 1 ... M ) --> R /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( G o. v ) ` i ) = ( G ` ( v ` i ) ) )
216	188, 215	sylan 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( G o. v ) ` i ) = ( G ` ( v ` i ) ) )
217	188	fnvinran 27552	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( v ` i ) e. R )
218	50	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A e. _V )
219		rabexg 4313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. _V -> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } e. _V )
220	218, 219	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } e. _V )
221		raleq 2864	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( v ` i ) -> ( A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) <-> A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) ) )
222	221	3anbi2d 1259	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( v ` i ) -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) ) )
223	222	rabbidv 2908	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( v ` i ) -> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
224	223, 5	fvmptg 5763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( v ` i ) e. R /\ { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } e. _V ) -> ( G ` ( v ` i ) ) = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
225	217, 220, 224	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` ( v ` i ) ) = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
226	216, 225	eqtrd 2436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( G o. v ) ` i ) = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
227	226	adantlr 696	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( G o. v ) ` i ) = { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
228	227	eleq2d 2471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) e. ( ( G o. v ) ` i ) <-> ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } ) )
229		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ h v
230	24, 229	nfco 4997	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ h ( G o. v )
231	20, 230	nfco 4997	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ h ( l o. ( G o. v ) )
232		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ h i
233	231, 232	nffv 5694	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ h ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i )
234		nfcv 2540	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ h A
235		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ h T
236		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ h 0
237		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ h <_
238		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ h t
239	233, 238	nffv 5694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ h ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t )
240	236, 237, 239	nfbr 4216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ h 0 <_ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t )
241		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ h 1
242	239, 237, 241	nfbr 4216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ h ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) <_ 1
243	240, 242	nfan 1842	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ h ( 0 <_ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) /\ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) <_ 1 )
244	235, 243	nfral 2719	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ h A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) /\ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) <_ 1 )
245		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ h ( v ` i )
246		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ h <
247		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ h ( E / M )
248	239, 246, 247	nfbr 4216	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ h ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M )
249	245, 248	nfral 2719	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ h A. t e. ( v ` i ) ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M )
250		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ h ( T \ U )
251		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ h ( 1 - ( E / M ) )
252	251, 246, 239	nfbr 4216	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ h ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t )
253	250, 252	nfral 2719	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ h A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t )
254	244, 249, 253	nf3an 1845	. . . . . . . . . . 11 |- F/ h ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) /\ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) )
255		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ t h
256		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ t l
257		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ t R
258		nfra1 2716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 )
259		nfra1 2716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ t A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M )
260		nfra1 2716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ t A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t )
261	258, 259, 260	nf3an 1845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ t ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) )
262		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ t A
263	261, 262	nfrab 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ t { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) }
264	257, 263	nfmpt 4257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ t ( w e. R |-> { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } )
265	5, 264	nfcxfr 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ t G
266		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ t v
267	265, 266	nfco 4997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ t ( G o. v )
268	256, 267	nfco 4997	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ t ( l o. ( G o. v ) )
269		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ t i
270	268, 269	nffv 5694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ t ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i )
271	255, 270	nfeq 2547	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ t h = ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i )
272		fveq1 5686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) -> ( h ` t ) = ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) )
273	272	breq2d 4184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) ) )
274	272	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) <_ 1 ) )
275	273, 274	anbi12d 692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) /\ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) <_ 1 ) ) )
276	271, 275	ralbid 2684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) /\ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) <_ 1 ) ) )
277	272	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) -> ( ( h ` t ) < ( E / M ) <-> ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) ) )
278	271, 277	ralbid 2684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) -> ( A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) <-> A. t e. ( v ` i ) ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) ) )
279	272	breq2d 4184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) -> ( ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) <-> ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) ) )
280	271, 279	ralbid 2684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) -> ( A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) <-> A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) ) )
281	276, 278, 280	3anbi123d 1254	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) /\ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) ) ) )
282	233, 234, 254, 281	elrabf 3051	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } <-> ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) /\ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) ) ) )
283	282	simprbi 451	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) /\ ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) ) )
284	283	simp2d 970	. . . . . . . 8 |- ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } -> A. t e. ( v ` i ) ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) )
285	228, 284	syl6bi 220	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) e. ( ( G o. v ) ` i ) -> A. t e. ( v ` i ) ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) ) )
286	214, 285	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. t e. ( v ` i ) ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) )
287		stoweidlem31.2	. . . . . . . . 9 |- F/ t ph
288	265	nfrn 5071	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t ran G
289	256, 288	nffn 5500	. . . . . . . . . 10 |- F/ t l Fn ran G
290		nfv 1626	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b )
291	288, 290	nfral 2719	. . . . . . . . . 10 |- F/ t A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b )
292	289, 291	nfan 1842	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) )
293	287, 292	nfan 1842	. . . . . . . 8 |- F/ t ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) )
294		nfv 1626	. . . . . . . 8 |- F/ t i e. ( 1 ... M )
295	293, 294	nfan 1842	. . . . . . 7 |- F/ t ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) )
296		stoweidlem31.11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B C_ ( T \ U ) )
297	296	ad3antrrr 711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. B ) -> B C_ ( T \ U ) )
298		simpr 448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. B ) -> t e. B )
299	297, 298	sseldd 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. B ) -> t e. ( T \ U ) )
300	283	simp3d 971	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) e. { h e. A | ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( v ` i ) ( h ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( h ` t ) ) } -> A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) )
301	228, 300	syl6bi 220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) e. ( ( G o. v ) ` i ) -> A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) ) )
302	214, 301	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. t e. ( T \ U ) ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) )
303	302	r19.21bi 2764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) )
304	299, 303	syldan 457	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. B ) -> ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) )
305	304	ex 424	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( t e. B -> ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) ) )
306	295, 305	ralrimi 2747	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) )
307	286, 306	jca 519	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( A. t e. ( v ` i ) ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) ) )
308	307	ralrimiva 2749	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) ) )
309	193, 308	jca 519	. . 3 |- ( ( ph /\ ( l Fn ran G /\ A. b e. ran G ( b =/= (/) -> ( l ` b ) e. b ) ) ) -> ( ( l o. ( G o. v ) ) : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) ) ) )
310		feq1 5535	. . . . 5 |- ( x = ( l o. ( G o. v ) ) -> ( x : ( 1 ... M ) --> Y <-> ( l o. ( G o. v ) ) : ( 1 ... M ) --> Y ) )
311		nfcv 2540	. . . . . . . . 9 |- F/_ t x
312	311, 268	nfeq 2547	. . . . . . . 8 |- F/ t x = ( l o. ( G o. v ) )
313		fveq1 5686	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( l o. ( G o. v ) ) -> ( x ` i ) = ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) )
314	313	fveq1d 5689	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( l o. ( G o. v ) ) -> ( ( x ` i ) ` t ) = ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) )
315	314	breq1d 4182	. . . . . . . 8 |- ( x = ( l o. ( G o. v ) ) -> ( ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / M ) <-> ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) ) )
316	312, 315	ralbid 2684	. . . . . . 7 |- ( x = ( l o. ( G o. v ) ) -> ( A. t e. ( v ` i ) ( ( x ` i ) ` t ) < ( E / M ) <-> A. t e. ( v ` i ) ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) < ( E / M ) ) )
317	314	breq2d 4184	. . . . . . . 8 |- ( x = ( l o. ( G o. v ) ) -> ( ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) <-> ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) ) )
318	312, 317	ralbid 2684	. . . . . . 7 |- ( x = ( l o. ( G o. v ) ) -> ( A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( x ` i ) ` t ) <-> A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( ( l o. ( G o. v ) ) ` i ) ` t ) ) )
319	316, 318	anbi12d 692	. . . . . 6 |- ( x = ( l o. ( G o. v ) ) -> ( ( A. t