Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stoweidlem3 37857
 Description: Lemma for stoweid 37919: if is positive and all terms of a finite product are larger than , then the finite product is larger than A^M. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem3.1
stoweidlem3.2
stoweidlem3.3
stoweidlem3.4
stoweidlem3.5
stoweidlem3.6
stoweidlem3.7
Assertion
Ref Expression
stoweidlem3
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem stoweidlem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem3.4 . . . 4
2 elnnuz 11192 . . . 4
31, 2sylib 200 . . 3
4 eluzfz2 11804 . . 3
53, 4syl 17 . 2
6 oveq2 6296 . . . . 5
7 fveq2 5863 . . . . 5
86, 7breq12d 4414 . . . 4
98imbi2d 318 . . 3
10 oveq2 6296 . . . . 5
11 fveq2 5863 . . . . 5
1210, 11breq12d 4414 . . . 4
1312imbi2d 318 . . 3
14 oveq2 6296 . . . . 5
15 fveq2 5863 . . . . 5
1614, 15breq12d 4414 . . . 4
1716imbi2d 318 . . 3
18 oveq2 6296 . . . . 5
19 fveq2 5863 . . . . 5
2018, 19breq12d 4414 . . . 4
2120imbi2d 318 . . 3
22 1zzd 10965 . . . . . . . . 9
231nnzd 11036 . . . . . . . . 9
2422, 23, 223jca 1187 . . . . . . . 8
25 1le1 10237 . . . . . . . . 9
2625a1i 11 . . . . . . . 8
271nnge1d 10649 . . . . . . . 8
2824, 26, 27jca32 538 . . . . . . 7
29 elfz2 11788 . . . . . . 7
3028, 29sylibr 216 . . . . . 6
3130ancli 554 . . . . . 6
32 stoweidlem3.2 . . . . . . . . 9
33 nfv 1760 . . . . . . . . 9
3432, 33nfan 2010 . . . . . . . 8
35 nfcv 2591 . . . . . . . . 9
36 nfcv 2591 . . . . . . . . 9
37 stoweidlem3.1 . . . . . . . . . 10
38 nfcv 2591 . . . . . . . . . 10
3937, 38nffv 5870 . . . . . . . . 9
4035, 36, 39nfbr 4446 . . . . . . . 8
4134, 40nfim 2002 . . . . . . 7
42 eleq1 2516 . . . . . . . . 9
4342anbi2d 709 . . . . . . . 8
44 fveq2 5863 . . . . . . . . 9
4544breq2d 4413 . . . . . . . 8
4643, 45imbi12d 322 . . . . . . 7
47 stoweidlem3.6 . . . . . . 7
4841, 46, 47vtoclg1f 3105 . . . . . 6
4930, 31, 48sylc 62 . . . . 5
50 stoweidlem3.7 . . . . . . 7
5150rpcnd 11340 . . . . . 6
5251exp1d 12408 . . . . 5
53 stoweidlem3.3 . . . . . . . 8
5453fveq1i 5864 . . . . . . 7
55 1z 10964 . . . . . . . 8
56 seq1 12223 . . . . . . . 8
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . 7
5854, 57eqtri 2472 . . . . . 6
5958a1i 11 . . . . 5
6049, 52, 593brtr4d 4432 . . . 4
6160a1i 11 . . 3
62503ad2ant3 1030 . . . . . . . 8 ..^
6362rpred 11338 . . . . . . 7 ..^
64 elfzouz 11921 . . . . . . . . 9 ..^
65 elnnuz 11192 . . . . . . . . . 10
66 nnnn0 10873 . . . . . . . . . 10
6765, 66sylbir 217 . . . . . . . . 9
6864, 67syl 17 . . . . . . . 8 ..^
69683ad2ant1 1028 . . . . . . 7 ..^
7063, 69reexpcld 12430 . . . . . 6 ..^
7153fveq1i 5864 . . . . . . . 8
7264adantr 467 . . . . . . . . 9 ..^
73 nfv 1760 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
7473, 32nfan 2010 . . . . . . . . . . . 12 ..^
75 nfv 1760 . . . . . . . . . . . 12
7674, 75nfan 2010 . . . . . . . . . . 11 ..^
77 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . 13
7837, 77nffv 5870 . . . . . . . . . . . 12
7978nfel1 2605 . . . . . . . . . . 11
8076, 79nfim 2002 . . . . . . . . . 10 ..^
81 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . 12
8281anbi2d 709 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
83 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . 12
8483eleq1d 2512 . . . . . . . . . . 11
8582, 84imbi12d 322 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
86 stoweidlem3.5 . . . . . . . . . . . 12
8786ad2antlr 732 . . . . . . . . . . 11 ..^
88 1zzd 10965 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
8923ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
90 elfzelz 11797 . . . . . . . . . . . . . . 15
9190adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
9288, 89, 913jca 1187 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
93 elfzle1 11799 . . . . . . . . . . . . . 14
9493adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
9590zred 11037 . . . . . . . . . . . . . . 15
9695adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
97 elfzoelz 11917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
9897zred 11037 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
9998ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
1001nnred 10621 . . . . . . . . . . . . . . 15
101100ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
102 elfzle2 11800 . . . . . . . . . . . . . . 15
103102adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
104 elfzoel2 11916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
105104zred 11037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
106 elfzolt2 11926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
10798, 105, 106ltled 9780 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
108107ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
10996, 99, 101, 103, 108letrd 9789 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
11092, 94, 109jca32 538 . . . . . . . . . . . 12 ..^
111 elfz2 11788 . . . . . . . . . . . 12
112110, 111sylibr 216 . . . . . . . . . . 11 ..^
11387, 112ffvelrnd 6021 . . . . . . . . . 10 ..^
11480, 85, 113chvar 2105 . . . . . . . . 9 ..^
115 remulcl 9621 . . . . . . . . . 10
116115adantl 468 . . . . . . . . 9 ..^
11772, 114, 116seqcl 12230 . . . . . . . 8 ..^
11871, 117syl5eqel 2532 . . . . . . 7 ..^
1191183adant2 1026 . . . . . 6 ..^
120863ad2ant3 1030 . . . . . . 7 ..^
121 fzofzp1 12005 . . . . . . . 8 ..^
1221213ad2ant1 1028 . . . . . . 7 ..^
123120, 122ffvelrnd 6021 . . . . . 6 ..^
12450rpge0d 11342 . . . . . . . 8
1251243ad2ant3 1030 . . . . . . 7 ..^
12663, 69, 125expge0d 12431 . . . . . 6 ..^
127 simp3 1009 . . . . . . 7 ..^
128 simp2 1008 . . . . . . 7 ..^
129127, 128mpd 15 . . . . . 6 ..^
130121adantr 467 . . . . . . . 8 ..^
131 simpr 463 . . . . . . . . 9 ..^
132131, 130jca 535 . . . . . . . 8 ..^
133 nfv 1760 . . . . . . . . . . 11
13432, 133nfan 2010 . . . . . . . . . 10
135 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . 12
13637, 135nffv 5870 . . . . . . . . . . 11
13735, 36, 136nfbr 4446 . . . . . . . . . 10
138134, 137nfim 2002 . . . . . . . . 9
139 eleq1 2516 . . . . . . . . . . 11
140139anbi2d 709 . . . . . . . . . 10
141 fveq2 5863 . . . . . . . . . . 11
142141breq2d 4413 . . . . . . . . . 10
143140, 142imbi12d 322 . . . . . . . . 9
144138, 143, 47vtoclg1f 3105 . . . . . . . 8
145130, 132, 144sylc 62 . . . . . . 7 ..^
1461453adant2 1026 . . . . . 6 ..^
14770, 119, 63, 123, 126, 129, 125, 146ltmul12ad 10545 . . . . 5 ..^
148513ad2ant3 1030 . . . . . 6 ..^
149148, 69expp1d 12414 . . . . 5 ..^
15053fveq1i 5864 . . . . . . 7
151150a1i 11 . . . . . 6 ..^
152643ad2ant1 1028 . . . . . . 7 ..^
153 seqp1 12225 . . . . . . 7
154152, 153syl 17 . . . . . 6 ..^
15571a1i 11 . . . . . . . 8 ..^
156155eqcomd 2456 . . . . . . 7 ..^
157156oveq1d 6303 . . . . . 6 ..^
158151, 154, 1573eqtrd 2488 . . . . 5 ..^
159147, 149, 1583brtr4d 4432 . . . 4 ..^
1601593exp 1206 . . 3 ..^
1619, 13, 17, 21, 61, 160fzind2 12020 . 2
1625, 161mpcom 37 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   w3a 984   wceq 1443  wnf 1666   wcel 1886  wnfc 2578   class class class wbr 4401  wf 5577  cfv 5581  (class class class)co 6288  cc 9534  cr 9535  cc0 9536  c1 9537   caddc 9539   cmul 9541   clt 9672   cle 9673  cn 10606  cn0 10866  cz 10934  cuz 11156  crp 11299  cfz 11781  ..^cfzo 11912   cseq 12210  cexp 12269 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270 This theorem is referenced by:  stoweidlem42  37897
 Copyright terms: Public domain W3C validator