Theorem stoweidlem3 31946

Description: Lemma for stoweid 32006: if A is positive and all M terms of a finite product are larger than A, then the finite product is larger than A^M. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem3.1	|- F/_ i F
stoweidlem3.2	|- F/ i ph
stoweidlem3.3	|- X = seq 1 ( x. , F )
stoweidlem3.4	|- ( ph -> M e. NN )
stoweidlem3.5	|- ( ph -> F : ( 1 ... M ) --> RR )
stoweidlem3.6	|- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` i ) )
stoweidlem3.7	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem3	|- ( ph -> ( A ^ M ) < ( X ` M ) )

Distinct variable groups:   A, i   i, M

Allowed substitution hints:   ph( i)   F( i)   X( i)

Proof of Theorem stoweidlem3

Dummy variables a m j n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem3.4	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
2		elnnuz 11142	. . . 4 |- ( M e. NN <-> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
3	1, 2	sylib 196	. . 3 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
4		eluzfz2 11719	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` 1 ) -> M e. ( 1 ... M ) )
5	3, 4	syl 16	. 2 |- ( ph -> M e. ( 1 ... M ) )
6		oveq2 6304	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( A ^ n ) = ( A ^ 1 ) )
7		fveq2 5872	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( X ` n ) = ( X ` 1 ) )
8	6, 7	breq12d 4469	. . . 4 |- ( n = 1 -> ( ( A ^ n ) < ( X ` n ) <-> ( A ^ 1 ) < ( X ` 1 ) ) )
9	8	imbi2d 316	. . 3 |- ( n = 1 -> ( ( ph -> ( A ^ n ) < ( X ` n ) ) <-> ( ph -> ( A ^ 1 ) < ( X ` 1 ) ) ) )
10		oveq2 6304	. . . . 5 |- ( n = m -> ( A ^ n ) = ( A ^ m ) )
11		fveq2 5872	. . . . 5 |- ( n = m -> ( X ` n ) = ( X ` m ) )
12	10, 11	breq12d 4469	. . . 4 |- ( n = m -> ( ( A ^ n ) < ( X ` n ) <-> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) )
13	12	imbi2d 316	. . 3 |- ( n = m -> ( ( ph -> ( A ^ n ) < ( X ` n ) ) <-> ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) ) )
14		oveq2 6304	. . . . 5 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( A ^ n ) = ( A ^ ( m + 1 ) ) )
15		fveq2 5872	. . . . 5 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( X ` n ) = ( X ` ( m + 1 ) ) )
16	14, 15	breq12d 4469	. . . 4 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( A ^ n ) < ( X ` n ) <-> ( A ^ ( m + 1 ) ) < ( X ` ( m + 1 ) ) ) )
17	16	imbi2d 316	. . 3 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ph -> ( A ^ n ) < ( X ` n ) ) <-> ( ph -> ( A ^ ( m + 1 ) ) < ( X ` ( m + 1 ) ) ) ) )
18		oveq2 6304	. . . . 5 |- ( n = M -> ( A ^ n ) = ( A ^ M ) )
19		fveq2 5872	. . . . 5 |- ( n = M -> ( X ` n ) = ( X ` M ) )
20	18, 19	breq12d 4469	. . . 4 |- ( n = M -> ( ( A ^ n ) < ( X ` n ) <-> ( A ^ M ) < ( X ` M ) ) )
21	20	imbi2d 316	. . 3 |- ( n = M -> ( ( ph -> ( A ^ n ) < ( X ` n ) ) <-> ( ph -> ( A ^ M ) < ( X ` M ) ) ) )
22		1zzd 10916	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
23	1	nnzd 10989	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
24	22, 23, 22	3jca 1176	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) )
25		1le1 10198	. . . . . . . . 9 |- 1 <_ 1
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 <_ 1 )
27	1	nnge1d 10599	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 <_ M )
28	24, 26, 27	jca32 535	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) /\ ( 1 <_ 1 /\ 1 <_ M ) ) )
29		elfz2 11704	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) /\ ( 1 <_ 1 /\ 1 <_ M ) ) )
30	28, 29	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. ( 1 ... M ) )
31	30	ancli 551	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ph /\ 1 e. ( 1 ... M ) ) )
32		stoweidlem3.2	. . . . . . . . 9 |- F/ i ph
33		nfv 1708	. . . . . . . . 9 |- F/ i 1 e. ( 1 ... M )
34	32, 33	nfan 1929	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ph /\ 1 e. ( 1 ... M ) )
35		nfcv 2619	. . . . . . . . 9 |- F/_ i A
36		nfcv 2619	. . . . . . . . 9 |- F/_ i <
37		stoweidlem3.1	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i F
38		nfcv 2619	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i 1
39	37, 38	nffv 5879	. . . . . . . . 9 |- F/_ i ( F ` 1 )
40	35, 36, 39	nfbr 4500	. . . . . . . 8 |- F/ i A < ( F ` 1 )
41	34, 40	nfim 1921	. . . . . . 7 |- F/ i ( ( ph /\ 1 e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` 1 ) )
42		eleq1 2529	. . . . . . . . 9 |- ( i = 1 -> ( i e. ( 1 ... M ) <-> 1 e. ( 1 ... M ) ) )
43	42	anbi2d 703	. . . . . . . 8 |- ( i = 1 -> ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) <-> ( ph /\ 1 e. ( 1 ... M ) ) ) )
44		fveq2 5872	. . . . . . . . 9 |- ( i = 1 -> ( F ` i ) = ( F ` 1 ) )
45	44	breq2d 4468	. . . . . . . 8 |- ( i = 1 -> ( A < ( F ` i ) <-> A < ( F ` 1 ) ) )
46	43, 45	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( i = 1 -> ( ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` i ) ) <-> ( ( ph /\ 1 e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` 1 ) ) ) )
47		stoweidlem3.6	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` i ) )
48	41, 46, 47	vtoclg1f 3166	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 1 ... M ) -> ( ( ph /\ 1 e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` 1 ) ) )
49	30, 31, 48	sylc 60	. . . . 5 |- ( ph -> A < ( F ` 1 ) )
50		stoweidlem3.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR+ )
51	50	rpcnd 11283	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. CC )
52	51	exp1d 12307	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ^ 1 ) = A )
53		stoweidlem3.3	. . . . . . . 8 |- X = seq 1 ( x. , F )
54	53	fveq1i 5873	. . . . . . 7 |- ( X ` 1 ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 )
55		1z 10915	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
56		seq1 12122	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = ( F ` 1 )
58	54, 57	eqtri 2486	. . . . . 6 |- ( X ` 1 ) = ( F ` 1 )
59	58	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
60	49, 52, 59	3brtr4d 4486	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^ 1 ) < ( X ` 1 ) )
61	60	a1i 11	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ph -> ( A ^ 1 ) < ( X ` 1 ) ) )
62	50	3ad2ant3 1019	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> A e. RR+ )
63	62	rpred 11281	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> A e. RR )
64		elfzouz 11829	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
65		elnnuz 11142	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN <-> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
66		nnnn0 10823	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> m e. NN0 )
67	65, 66	sylbir 213	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> m e. NN0 )
68	64, 67	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> m e. NN0 )
69	68	3ad2ant1 1017	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> m e. NN0 )
70	63, 69	reexpcld 12329	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( A ^ m ) e. RR )
71	53	fveq1i 5873	. . . . . . . 8 |- ( X ` m ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` m )
72	64	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
73		nfv 1708	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ i m e. ( 1..^ M )
74	73, 32	nfan 1929	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph )
75		nfv 1708	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i a e. ( 1 ... m )
76	74, 75	nfan 1929	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ a e. ( 1 ... m ) )
77		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i a
78	37, 77	nffv 5879	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( F ` a )
79	78	nfel1 2635	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( F ` a ) e. RR
80	76, 79	nfim 1921	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ a e. ( 1 ... m ) ) -> ( F ` a ) e. RR )
81		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = a -> ( i e. ( 1 ... m ) <-> a e. ( 1 ... m ) ) )
82	81	anbi2d 703	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = a -> ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) <-> ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ a e. ( 1 ... m ) ) ) )
83		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = a -> ( F ` i ) = ( F ` a ) )
84	83	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = a -> ( ( F ` i ) e. RR <-> ( F ` a ) e. RR ) )
85	82, 84	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10 |- ( i = a -> ( ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> ( F ` i ) e. RR ) <-> ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ a e. ( 1 ... m ) ) -> ( F ` a ) e. RR ) ) )
86		stoweidlem3.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : ( 1 ... M ) --> RR )
87	86	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> F : ( 1 ... M ) --> RR )
88		1zzd 10916	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> 1 e. ZZ )
89	23	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> M e. ZZ )
90		elfzelz 11713	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 1 ... m ) -> i e. ZZ )
91	90	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> i e. ZZ )
92	88, 89, 91	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
93		elfzle1 11714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 1 ... m ) -> 1 <_ i )
94	93	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> 1 <_ i )
95	90	zred 10990	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 1 ... m ) -> i e. RR )
96	95	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> i e. RR )
97		elfzoelz 11825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> m e. ZZ )
98	97	zred 10990	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> m e. RR )
99	98	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> m e. RR )
100	1	nnred 10571	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. RR )
101	100	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> M e. RR )
102		elfzle2 11715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 1 ... m ) -> i <_ m )
103	102	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> i <_ m )
104		elfzoel2 11824	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> M e. ZZ )
105	104	zred 10990	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> M e. RR )
106		elfzolt2 11834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> m < M )
107	98, 105, 106	ltled 9750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> m <_ M )
108	107	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> m <_ M )
109	96, 99, 101, 103, 108	letrd 9756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> i <_ M )
110	92, 94, 109	jca32 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 1 <_ i /\ i <_ M ) ) )
111		elfz2 11704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 1 <_ i /\ i <_ M ) ) )
112	110, 111	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> i e. ( 1 ... M ) )
113	87, 112	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> ( F ` i ) e. RR )
114	80, 85, 113	chvar 2014	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ a e. ( 1 ... m ) ) -> ( F ` a ) e. RR )
115		remulcl 9594	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. RR /\ j e. RR ) -> ( a x. j ) e. RR )
116	115	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ ( a e. RR /\ j e. RR ) ) -> ( a x. j ) e. RR )
117	72, 114, 116	seqcl 12129	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` m ) e. RR )
118	71, 117	syl5eqel 2549	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> ( X ` m ) e. RR )
119	118	3adant2 1015	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( X ` m ) e. RR )
120	86	3ad2ant3 1019	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> F : ( 1 ... M ) --> RR )
121		fzofzp1 11911	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
122	121	3ad2ant1 1017	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
123	120, 122	ffvelrnd 6033	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( F ` ( m + 1 ) ) e. RR )
124	50	rpge0d 11285	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ A )
125	124	3ad2ant3 1019	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> 0 <_ A )
126	63, 69, 125	expge0d 12330	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> 0 <_ ( A ^ m ) )
127		simp3 998	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ph )
128		simp2 997	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) )
129	127, 128	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) )
130	121	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
131		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> ph )
132	131, 130	jca 532	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) )
133		nfv 1708	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( m + 1 ) e. ( 1 ... M )
134	32, 133	nfan 1929	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
135		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( m + 1 )
136	37, 135	nffv 5879	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i ( F ` ( m + 1 ) )
137	35, 36, 136	nfbr 4500	. . . . . . . . . 10 |- F/ i A < ( F ` ( m + 1 ) )
138	134, 137	nfim 1921	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` ( m + 1 ) ) )
139		eleq1 2529	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( i e. ( 1 ... M ) <-> ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) )
140	139	anbi2d 703	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) <-> ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) ) )
141		fveq2 5872	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( F ` i ) = ( F ` ( m + 1 ) ) )
142	141	breq2d 4468	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( A < ( F ` i ) <-> A < ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
143	140, 142	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` i ) ) <-> ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) )
144	138, 143, 47	vtoclg1f 3166	. . . . . . . 8 |- ( ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) -> ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
145	130, 132, 144	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> A < ( F ` ( m + 1 ) ) )
146	145	3adant2 1015	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> A < ( F ` ( m + 1 ) ) )
147	70, 119, 63, 123, 126, 129, 125, 146	ltmul12ad 10507	. . . . 5 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( ( A ^ m ) x. A ) < ( ( X ` m ) x. ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
148	51	3ad2ant3 1019	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> A e. CC )
149	148, 69	expp1d 12313	. . . . 5 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( A ^ ( m + 1 ) ) = ( ( A ^ m ) x. A ) )
150	53	fveq1i 5873	. . . . . . 7 |- ( X ` ( m + 1 ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` ( m + 1 ) )
151	150	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( X ` ( m + 1 ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` ( m + 1 ) ) )
152	64	3ad2ant1 1017	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
153		seqp1 12124	. . . . . . 7 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` m ) x. ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
154	152, 153	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` m ) x. ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
155	71	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( X ` m ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` m ) )
156	155	eqcomd 2465	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` m ) = ( X ` m ) )
157	156	oveq1d 6311	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` m ) x. ( F ` ( m + 1 ) ) ) = ( ( X ` m ) x. ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
158	151, 154, 157	3eqtrd 2502	. . . . 5 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( X ` ( m + 1 ) ) = ( ( X ` m ) x. ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
159	147, 149, 158	3brtr4d 4486	. . . 4 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( A ^ ( m + 1 ) ) < ( X ` ( m + 1 ) ) )
160	159	3exp 1195	. . 3 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> ( ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) -> ( ph -> ( A ^ ( m + 1 ) ) < ( X ` ( m + 1 ) ) ) ) )
161	9, 13, 17, 21, 61, 160	fzind2 11926	. 2 |- ( M e. ( 1 ... M ) -> ( ph -> ( A ^ M ) < ( X ` M ) ) )
162	5, 161	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( A ^ M ) < ( X ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   F/wnf 1617   e. wcel 1819   F/_wnfc 2605   class class class wbr 4456   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   < clt 9645   <_ cle 9646   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   ...cfz 11697  ..^cfzo 11820   seqcseq 12109   ^cexp 12168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169

This theorem is referenced by:  stoweidlem42  31985