Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stoweidlem3 37975
Description: Lemma for stoweid 38037: if  A is positive and all  M terms of a finite product are larger than  A, then the finite product is larger than A^M. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem3.1  |-  F/_ i F
stoweidlem3.2  |-  F/ i
ph
stoweidlem3.3  |-  X  =  seq 1 (  x.  ,  F )
stoweidlem3.4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem3.5  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) --> RR )
stoweidlem3.6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A  <  ( F `  i
) )
stoweidlem3.7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem3  |-  ( ph  ->  ( A ^ M
)  <  ( X `  M ) )
Distinct variable groups:    A, i    i, M
Allowed substitution hints:    ph( i)    F( i)    X( i)

Proof of Theorem stoweidlem3
Dummy variables  a  m  j  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem3.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
2 elnnuz 11219 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
31, 2sylib 201 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
4 eluzfz2 11833 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  M  e.  ( 1 ... M
) )
53, 4syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 1 ... M ) )
6 oveq2 6316 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ 1 ) )
7 fveq2 5879 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  ( X `  n )  =  ( X ` 
1 ) )
86, 7breq12d 4408 . . . 4  |-  ( n  =  1  ->  (
( A ^ n
)  <  ( X `  n )  <->  ( A ^ 1 )  < 
( X `  1
) ) )
98imbi2d 323 . . 3  |-  ( n  =  1  ->  (
( ph  ->  ( A ^ n )  < 
( X `  n
) )  <->  ( ph  ->  ( A ^ 1 )  <  ( X `
 1 ) ) ) )
10 oveq2 6316 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ m
) )
11 fveq2 5879 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  ( X `  n )  =  ( X `  m ) )
1210, 11breq12d 4408 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  (
( A ^ n
)  <  ( X `  n )  <->  ( A ^ m )  < 
( X `  m
) ) )
1312imbi2d 323 . . 3  |-  ( n  =  m  ->  (
( ph  ->  ( A ^ n )  < 
( X `  n
) )  <->  ( ph  ->  ( A ^ m
)  <  ( X `  m ) ) ) )
14 oveq2 6316 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ (
m  +  1 ) ) )
15 fveq2 5879 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( X `  n )  =  ( X `  ( m  +  1
) ) )
1614, 15breq12d 4408 . . . 4  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( A ^ n
)  <  ( X `  n )  <->  ( A ^ ( m  + 
1 ) )  < 
( X `  (
m  +  1 ) ) ) )
1716imbi2d 323 . . 3  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( A ^ n )  < 
( X `  n
) )  <->  ( ph  ->  ( A ^ (
m  +  1 ) )  <  ( X `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
18 oveq2 6316 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ M
) )
19 fveq2 5879 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  ( X `  n )  =  ( X `  M ) )
2018, 19breq12d 4408 . . . 4  |-  ( n  =  M  ->  (
( A ^ n
)  <  ( X `  n )  <->  ( A ^ M )  <  ( X `  M )
) )
2120imbi2d 323 . . 3  |-  ( n  =  M  ->  (
( ph  ->  ( A ^ n )  < 
( X `  n
) )  <->  ( ph  ->  ( A ^ M
)  <  ( X `  M ) ) ) )
22 1zzd 10992 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
231nnzd 11062 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2422, 23, 223jca 1210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
)
25 1le1 10262 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  1
2625a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <_  1 )
271nnge1d 10674 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
2824, 26, 27jca32 544 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  1  /\  1  <_  M ) ) )
29 elfz2 11817 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  1  /\  1  <_  M ) ) )
3028, 29sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 1 ... M ) )
3130ancli 560 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M
) ) )
32 stoweidlem3.2 . . . . . . . . 9  |-  F/ i
ph
33 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ i 1  e.  ( 1 ... M )
3432, 33nfan 2031 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M
) )
35 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i A
36 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i  <
37 stoweidlem3.1 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i F
38 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i
1
3937, 38nffv 5886 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
( F `  1
)
4035, 36, 39nfbr 4440 . . . . . . . 8  |-  F/ i  A  <  ( F `
 1 )
4134, 40nfim 2023 . . . . . . 7  |-  F/ i ( ( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  1 )
)
42 eleq1 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  1  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  <->  1  e.  ( 1 ... M
) ) )
4342anbi2d 718 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  1  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M ) ) ) )
44 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  1  ->  ( F `  i )  =  ( F ` 
1 ) )
4544breq2d 4407 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  1  ->  ( A  <  ( F `  i )  <->  A  <  ( F `  1 ) ) )
4643, 45imbi12d 327 . . . . . . 7  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  i )
)  <->  ( ( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  1 )
) ) )
47 stoweidlem3.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A  <  ( F `  i
) )
4841, 46, 47vtoclg1f 3092 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A  <  ( F `  1
) ) )
4930, 31, 48sylc 61 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <  ( F `
 1 ) )
50 stoweidlem3.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
5150rpcnd 11366 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5251exp1d 12449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ 1 )  =  A )
53 stoweidlem3.3 . . . . . . . 8  |-  X  =  seq 1 (  x.  ,  F )
5453fveq1i 5880 . . . . . . 7  |-  ( X `
 1 )  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 1 )
55 1z 10991 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
56 seq1 12264 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 )
5854, 57eqtri 2493 . . . . . 6  |-  ( X `
 1 )  =  ( F `  1
)
5958a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
6049, 52, 593brtr4d 4426 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ^ 1 )  <  ( X `
 1 ) )
6160a1i 11 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ph  ->  ( A ^ 1 )  <  ( X `
 1 ) ) )
62503ad2ant3 1053 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  A  e.  RR+ )
6362rpred 11364 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  A  e.  RR )
64 elfzouz 11951 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
65 elnnuz 11219 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  <->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
66 nnnn0 10900 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
6765, 66sylbir 218 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  m  e.  NN0 )
6864, 67syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  e.  NN0 )
69683ad2ant1 1051 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  m  e.  NN0 )
7063, 69reexpcld 12471 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( A ^ m
)  e.  RR )
7153fveq1i 5880 . . . . . . . 8  |-  ( X `
 m )  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 m )
7264adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  m  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
73 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i  m  e.  ( 1..^ M )
7473, 32nfan 2031 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )
75 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i  a  e.  ( 1 ... m )
7674, 75nfan 2031 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  a  e.  ( 1 ... m ) )
77 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
a
7837, 77nffv 5886 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
( F `  a
)
7978nfel1 2626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( F `  a
)  e.  RR
8076, 79nfim 2023 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  a  e.  (
1 ... m ) )  ->  ( F `  a )  e.  RR )
81 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  a  ->  (
i  e.  ( 1 ... m )  <->  a  e.  ( 1 ... m
) ) )
8281anbi2d 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m ) )  <-> 
( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  a  e.  ( 1 ... m ) ) ) )
83 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  a  ->  ( F `  i )  =  ( F `  a ) )
8483eleq1d 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  a  ->  (
( F `  i
)  e.  RR  <->  ( F `  a )  e.  RR ) )
8582, 84imbi12d 327 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  (
1 ... m ) )  ->  ( F `  i )  e.  RR ) 
<->  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  a  e.  (
1 ... m ) )  ->  ( F `  a )  e.  RR ) ) )
86 stoweidlem3.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) --> RR )
8786ad2antlr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  F : ( 1 ... M ) --> RR )
88 1zzd 10992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  1  e.  ZZ )
8923ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  M  e.  ZZ )
90 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 1 ... m )  ->  i  e.  ZZ )
9190adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  i  e.  ZZ )
9288, 89, 913jca 1210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ ) )
93 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 1 ... m )  ->  1  <_  i )
9493adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  1  <_  i )
9590zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 1 ... m )  ->  i  e.  RR )
9695adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  i  e.  RR )
97 elfzoelz 11947 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  e.  ZZ )
9897zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  e.  RR )
9998ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  m  e.  RR )
1001nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
101100ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  M  e.  RR )
102 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 1 ... m )  ->  i  <_  m )
103102adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  i  <_  m )
104 elfzoel2 11946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  M  e.  ZZ )
105104zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  M  e.  RR )
106 elfzolt2 11956 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  <  M )
10798, 105, 106ltled 9800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  <_  M )
108107ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  m  <_  M )
10996, 99, 101, 103, 108letrd 9809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  i  <_  M )
11092, 94, 109jca32 544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
111 elfz2 11817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
112110, 111sylibr 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
11387, 112ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( F `  i )  e.  RR )
11480, 85, 113chvar 2119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  a  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( F `  a )  e.  RR )
115 remulcl 9642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  ( a  x.  j
)  e.  RR )
116115adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  ( a  e.  RR  /\  j  e.  RR ) )  -> 
( a  x.  j
)  e.  RR )
11772, 114, 116seqcl 12271 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  m )  e.  RR )
11871, 117syl5eqel 2553 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  ( X `  m )  e.  RR )
1191183adant2 1049 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( X `  m
)  e.  RR )
120863ad2ant3 1053 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  F : ( 1 ... M ) --> RR )
121 fzofzp1 12037 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )
1221213ad2ant1 1051 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
123120, 122ffvelrnd 6038 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( F `  (
m  +  1 ) )  e.  RR )
12450rpge0d 11368 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
1251243ad2ant3 1053 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
0  <_  A )
12663, 69, 125expge0d 12472 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
0  <_  ( A ^ m ) )
127 simp3 1032 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  ph )
128 simp2 1031 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( ph  ->  ( A ^ m )  < 
( X `  m
) ) )
129127, 128mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( A ^ m
)  <  ( X `  m ) )
130121adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... M ) )
131 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  ph )
132131, 130jca 541 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  ( ph  /\  ( m  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )
133 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M )
13432, 133nfan 2031 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
135 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
( m  +  1 )
13637, 135nffv 5886 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
( F `  (
m  +  1 ) )
13735, 36, 136nfbr 4440 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  A  <  ( F `
 ( m  + 
1 ) )
138134, 137nfim 2023 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ( ph  /\  ( m  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )
139 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  <->  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) ) )
140139anbi2d 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) ) ) )
141 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( F `  i )  =  ( F `  ( m  +  1
) ) )
142141breq2d 4407 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( A  <  ( F `  i )  <->  A  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )
143140, 142imbi12d 327 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  i )
)  <->  ( ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) ) )
144138, 143, 47vtoclg1f 3092 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  ( m  +  1
) ) ) )
145130, 132, 144sylc 61 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  A  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )
1461453adant2 1049 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  A  <  ( F `  ( m  +  1
) ) )
14770, 119, 63, 123, 126, 129, 125, 146ltmul12ad 10570 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( ( A ^
m )  x.  A
)  <  ( ( X `  m )  x.  ( F `  (
m  +  1 ) ) ) )
148513ad2ant3 1053 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  A  e.  CC )
149148, 69expp1d 12455 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( A ^ (
m  +  1 ) )  =  ( ( A ^ m )  x.  A ) )
15053fveq1i 5880 . . . . . . 7  |-  ( X `
 ( m  + 
1 ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( m  + 
1 ) )
151150a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( X `  (
m  +  1 ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) )
152643ad2ant1 1051 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  m  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
153 seqp1 12266 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  m )  x.  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )
154152, 153syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( m  +  1
) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 m )  x.  ( F `  (
m  +  1 ) ) ) )
15571a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( X `  m
)  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  m
) )
156155eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  m )  =  ( X `  m ) )
157156oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  m )  x.  ( F `  (
m  +  1 ) ) )  =  ( ( X `  m
)  x.  ( F `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
158151, 154, 1573eqtrd 2509 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( X `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( X `  m )  x.  ( F `  ( m  +  1
) ) ) )
159147, 149, 1583brtr4d 4426 . . . 4  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( A ^ (
m  +  1 ) )  <  ( X `
 ( m  + 
1 ) ) )
1601593exp 1230 . . 3  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  ( ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  ->  ( ph  ->  ( A ^ (
m  +  1 ) )  <  ( X `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
1619, 13, 17, 21, 61, 160fzind2 12054 . 2  |-  ( M  e.  ( 1 ... M )  ->  ( ph  ->  ( A ^ M )  <  ( X `  M )
) )
1625, 161mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ M
)  <  ( X `  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   F/wnf 1675    e. wcel 1904   F/_wnfc 2599   class class class wbr 4395   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942    seqcseq 12251   ^cexp 12310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311
This theorem is referenced by:  stoweidlem42  38015
  Copyright terms: Public domain W3C validator