Theorem stoweidlem3 37975

Description: Lemma for stoweid 38037: if A is positive and all M terms of a finite product are larger than A, then the finite product is larger than A^M. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem3.1	|- F/_ i F
stoweidlem3.2	|- F/ i ph
stoweidlem3.3	|- X = seq 1 ( x. , F )
stoweidlem3.4	|- ( ph -> M e. NN )
stoweidlem3.5	|- ( ph -> F : ( 1 ... M ) --> RR )
stoweidlem3.6	|- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` i ) )
stoweidlem3.7	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem3	|- ( ph -> ( A ^ M ) < ( X ` M ) )

Distinct variable groups:   A, i   i, M

Allowed substitution hints:   ph( i)   F( i)   X( i)

Proof of Theorem stoweidlem3

Dummy variables a m j n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem3.4	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
2		elnnuz 11219	. . . 4 |- ( M e. NN <-> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
3	1, 2	sylib 201	. . 3 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
4		eluzfz2 11833	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` 1 ) -> M e. ( 1 ... M ) )
5	3, 4	syl 17	. 2 |- ( ph -> M e. ( 1 ... M ) )
6		oveq2 6316	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( A ^ n ) = ( A ^ 1 ) )
7		fveq2 5879	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( X ` n ) = ( X ` 1 ) )
8	6, 7	breq12d 4408	. . . 4 |- ( n = 1 -> ( ( A ^ n ) < ( X ` n ) <-> ( A ^ 1 ) < ( X ` 1 ) ) )
9	8	imbi2d 323	. . 3 |- ( n = 1 -> ( ( ph -> ( A ^ n ) < ( X ` n ) ) <-> ( ph -> ( A ^ 1 ) < ( X ` 1 ) ) ) )
10		oveq2 6316	. . . . 5 |- ( n = m -> ( A ^ n ) = ( A ^ m ) )
11		fveq2 5879	. . . . 5 |- ( n = m -> ( X ` n ) = ( X ` m ) )
12	10, 11	breq12d 4408	. . . 4 |- ( n = m -> ( ( A ^ n ) < ( X ` n ) <-> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) )
13	12	imbi2d 323	. . 3 |- ( n = m -> ( ( ph -> ( A ^ n ) < ( X ` n ) ) <-> ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) ) )
14		oveq2 6316	. . . . 5 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( A ^ n ) = ( A ^ ( m + 1 ) ) )
15		fveq2 5879	. . . . 5 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( X ` n ) = ( X ` ( m + 1 ) ) )
16	14, 15	breq12d 4408	. . . 4 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( A ^ n ) < ( X ` n ) <-> ( A ^ ( m + 1 ) ) < ( X ` ( m + 1 ) ) ) )
17	16	imbi2d 323	. . 3 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ph -> ( A ^ n ) < ( X ` n ) ) <-> ( ph -> ( A ^ ( m + 1 ) ) < ( X ` ( m + 1 ) ) ) ) )
18		oveq2 6316	. . . . 5 |- ( n = M -> ( A ^ n ) = ( A ^ M ) )
19		fveq2 5879	. . . . 5 |- ( n = M -> ( X ` n ) = ( X ` M ) )
20	18, 19	breq12d 4408	. . . 4 |- ( n = M -> ( ( A ^ n ) < ( X ` n ) <-> ( A ^ M ) < ( X ` M ) ) )
21	20	imbi2d 323	. . 3 |- ( n = M -> ( ( ph -> ( A ^ n ) < ( X ` n ) ) <-> ( ph -> ( A ^ M ) < ( X ` M ) ) ) )
22		1zzd 10992	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
23	1	nnzd 11062	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
24	22, 23, 22	3jca 1210	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) )
25		1le1 10262	. . . . . . . . 9 |- 1 <_ 1
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 <_ 1 )
27	1	nnge1d 10674	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 <_ M )
28	24, 26, 27	jca32 544	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) /\ ( 1 <_ 1 /\ 1 <_ M ) ) )
29		elfz2 11817	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) /\ ( 1 <_ 1 /\ 1 <_ M ) ) )
30	28, 29	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. ( 1 ... M ) )
31	30	ancli 560	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ph /\ 1 e. ( 1 ... M ) ) )
32		stoweidlem3.2	. . . . . . . . 9 |- F/ i ph
33		nfv 1769	. . . . . . . . 9 |- F/ i 1 e. ( 1 ... M )
34	32, 33	nfan 2031	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ph /\ 1 e. ( 1 ... M ) )
35		nfcv 2612	. . . . . . . . 9 |- F/_ i A
36		nfcv 2612	. . . . . . . . 9 |- F/_ i <
37		stoweidlem3.1	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i F
38		nfcv 2612	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i 1
39	37, 38	nffv 5886	. . . . . . . . 9 |- F/_ i ( F ` 1 )
40	35, 36, 39	nfbr 4440	. . . . . . . 8 |- F/ i A < ( F ` 1 )
41	34, 40	nfim 2023	. . . . . . 7 |- F/ i ( ( ph /\ 1 e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` 1 ) )
42		eleq1 2537	. . . . . . . . 9 |- ( i = 1 -> ( i e. ( 1 ... M ) <-> 1 e. ( 1 ... M ) ) )
43	42	anbi2d 718	. . . . . . . 8 |- ( i = 1 -> ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) <-> ( ph /\ 1 e. ( 1 ... M ) ) ) )
44		fveq2 5879	. . . . . . . . 9 |- ( i = 1 -> ( F ` i ) = ( F ` 1 ) )
45	44	breq2d 4407	. . . . . . . 8 |- ( i = 1 -> ( A < ( F ` i ) <-> A < ( F ` 1 ) ) )
46	43, 45	imbi12d 327	. . . . . . 7 |- ( i = 1 -> ( ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` i ) ) <-> ( ( ph /\ 1 e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` 1 ) ) ) )
47		stoweidlem3.6	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` i ) )
48	41, 46, 47	vtoclg1f 3092	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 1 ... M ) -> ( ( ph /\ 1 e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` 1 ) ) )
49	30, 31, 48	sylc 61	. . . . 5 |- ( ph -> A < ( F ` 1 ) )
50		stoweidlem3.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR+ )
51	50	rpcnd 11366	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. CC )
52	51	exp1d 12449	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ^ 1 ) = A )
53		stoweidlem3.3	. . . . . . . 8 |- X = seq 1 ( x. , F )
54	53	fveq1i 5880	. . . . . . 7 |- ( X ` 1 ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 )
55		1z 10991	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
56		seq1 12264	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = ( F ` 1 )
58	54, 57	eqtri 2493	. . . . . 6 |- ( X ` 1 ) = ( F ` 1 )
59	58	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
60	49, 52, 59	3brtr4d 4426	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^ 1 ) < ( X ` 1 ) )
61	60	a1i 11	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ph -> ( A ^ 1 ) < ( X ` 1 ) ) )
62	50	3ad2ant3 1053	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> A e. RR+ )
63	62	rpred 11364	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> A e. RR )
64		elfzouz 11951	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
65		elnnuz 11219	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN <-> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
66		nnnn0 10900	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> m e. NN0 )
67	65, 66	sylbir 218	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> m e. NN0 )
68	64, 67	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> m e. NN0 )
69	68	3ad2ant1 1051	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> m e. NN0 )
70	63, 69	reexpcld 12471	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( A ^ m ) e. RR )
71	53	fveq1i 5880	. . . . . . . 8 |- ( X ` m ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` m )
72	64	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
73		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ i m e. ( 1..^ M )
74	73, 32	nfan 2031	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph )
75		nfv 1769	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i a e. ( 1 ... m )
76	74, 75	nfan 2031	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ a e. ( 1 ... m ) )
77		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i a
78	37, 77	nffv 5886	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( F ` a )
79	78	nfel1 2626	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( F ` a ) e. RR
80	76, 79	nfim 2023	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ a e. ( 1 ... m ) ) -> ( F ` a ) e. RR )
81		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = a -> ( i e. ( 1 ... m ) <-> a e. ( 1 ... m ) ) )
82	81	anbi2d 718	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = a -> ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) <-> ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ a e. ( 1 ... m ) ) ) )
83		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = a -> ( F ` i ) = ( F ` a ) )
84	83	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = a -> ( ( F ` i ) e. RR <-> ( F ` a ) e. RR ) )
85	82, 84	imbi12d 327	. . . . . . . . . 10 |- ( i = a -> ( ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> ( F ` i ) e. RR ) <-> ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ a e. ( 1 ... m ) ) -> ( F ` a ) e. RR ) ) )
86		stoweidlem3.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : ( 1 ... M ) --> RR )
87	86	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> F : ( 1 ... M ) --> RR )
88		1zzd 10992	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> 1 e. ZZ )
89	23	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> M e. ZZ )
90		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 1 ... m ) -> i e. ZZ )
91	90	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> i e. ZZ )
92	88, 89, 91	3jca 1210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
93		elfzle1 11828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 1 ... m ) -> 1 <_ i )
94	93	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> 1 <_ i )
95	90	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 1 ... m ) -> i e. RR )
96	95	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> i e. RR )
97		elfzoelz 11947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> m e. ZZ )
98	97	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> m e. RR )
99	98	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> m e. RR )
100	1	nnred 10646	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. RR )
101	100	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> M e. RR )
102		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 1 ... m ) -> i <_ m )
103	102	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> i <_ m )
104		elfzoel2 11946	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> M e. ZZ )
105	104	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> M e. RR )
106		elfzolt2 11956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> m < M )
107	98, 105, 106	ltled 9800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> m <_ M )
108	107	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> m <_ M )
109	96, 99, 101, 103, 108	letrd 9809	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> i <_ M )
110	92, 94, 109	jca32 544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 1 <_ i /\ i <_ M ) ) )
111		elfz2 11817	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 1 <_ i /\ i <_ M ) ) )
112	110, 111	sylibr 217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> i e. ( 1 ... M ) )
113	87, 112	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> ( F ` i ) e. RR )
114	80, 85, 113	chvar 2119	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ a e. ( 1 ... m ) ) -> ( F ` a ) e. RR )
115		remulcl 9642	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. RR /\ j e. RR ) -> ( a x. j ) e. RR )
116	115	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ ( a e. RR /\ j e. RR ) ) -> ( a x. j ) e. RR )
117	72, 114, 116	seqcl 12271	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` m ) e. RR )
118	71, 117	syl5eqel 2553	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> ( X ` m ) e. RR )
119	118	3adant2 1049	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( X ` m ) e. RR )
120	86	3ad2ant3 1053	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> F : ( 1 ... M ) --> RR )
121		fzofzp1 12037	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
122	121	3ad2ant1 1051	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
123	120, 122	ffvelrnd 6038	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( F ` ( m + 1 ) ) e. RR )
124	50	rpge0d 11368	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ A )
125	124	3ad2ant3 1053	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> 0 <_ A )
126	63, 69, 125	expge0d 12472	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> 0 <_ ( A ^ m ) )
127		simp3 1032	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ph )
128		simp2 1031	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) )
129	127, 128	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) )
130	121	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
131		simpr 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> ph )
132	131, 130	jca 541	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) )
133		nfv 1769	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( m + 1 ) e. ( 1 ... M )
134	32, 133	nfan 2031	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
135		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( m + 1 )
136	37, 135	nffv 5886	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i ( F ` ( m + 1 ) )
137	35, 36, 136	nfbr 4440	. . . . . . . . . 10 |- F/ i A < ( F ` ( m + 1 ) )
138	134, 137	nfim 2023	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` ( m + 1 ) ) )
139		eleq1 2537	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( i e. ( 1 ... M ) <-> ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) )
140	139	anbi2d 718	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) <-> ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) ) )
141		fveq2 5879	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( F ` i ) = ( F ` ( m + 1 ) ) )
142	141	breq2d 4407	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( A < ( F ` i ) <-> A < ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
143	140, 142	imbi12d 327	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` i ) ) <-> ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) )
144	138, 143, 47	vtoclg1f 3092	. . . . . . . 8 |- ( ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) -> ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
145	130, 132, 144	sylc 61	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> A < ( F ` ( m + 1 ) ) )
146	145	3adant2 1049	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> A < ( F ` ( m + 1 ) ) )
147	70, 119, 63, 123, 126, 129, 125, 146	ltmul12ad 10570	. . . . 5 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( ( A ^ m ) x. A ) < ( ( X ` m ) x. ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
148	51	3ad2ant3 1053	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> A e. CC )
149	148, 69	expp1d 12455	. . . . 5 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( A ^ ( m + 1 ) ) = ( ( A ^ m ) x. A ) )
150	53	fveq1i 5880	. . . . . . 7 |- ( X ` ( m + 1 ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` ( m + 1 ) )
151	150	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( X ` ( m + 1 ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` ( m + 1 ) ) )
152	64	3ad2ant1 1051	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
153		seqp1 12266	. . . . . . 7 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` m ) x. ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
154	152, 153	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` m ) x. ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
155	71	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( X ` m ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` m ) )
156	155	eqcomd 2477	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` m ) = ( X ` m ) )
157	156	oveq1d 6323	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` m ) x. ( F ` ( m + 1 ) ) ) = ( ( X ` m ) x. ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
158	151, 154, 157	3eqtrd 2509	. . . . 5 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( X ` ( m + 1 ) ) = ( ( X ` m ) x. ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
159	147, 149, 158	3brtr4d 4426	. . . 4 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( A ^ ( m + 1 ) ) < ( X ` ( m + 1 ) ) )
160	159	3exp 1230	. . 3 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> ( ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) -> ( ph -> ( A ^ ( m + 1 ) ) < ( X ` ( m + 1 ) ) ) ) )
161	9, 13, 17, 21, 61, 160	fzind2 12054	. 2 |- ( M e. ( 1 ... M ) -> ( ph -> ( A ^ M ) < ( X ` M ) ) )
162	5, 161	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( A ^ M ) < ( X ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   F/wnf 1675   e. wcel 1904   F/_wnfc 2599   class class class wbr 4395   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   < clt 9693   <_ cle 9694   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   seqcseq 12251   ^cexp 12310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311

This theorem is referenced by:  stoweidlem42  38015