Theorem stoweidlem3 27619

Description: Lemma for stoweid 27679: if A is positive and all M terms of a finite product are larger than A, then the finite product is larger than A^M. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem3.1	|- F/_ i F
stoweidlem3.2	|- F/ i ph
stoweidlem3.3	|- X = seq 1 ( x. , F )
stoweidlem3.4	|- ( ph -> M e. NN )
stoweidlem3.5	|- ( ph -> F : ( 1 ... M ) --> RR )
stoweidlem3.6	|- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` i ) )
stoweidlem3.7	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem3	|- ( ph -> ( A ^ M ) < ( X ` M ) )

Distinct variable groups:   A, i   i, M

Allowed substitution hints:   ph( i)   F( i)   X( i)

Proof of Theorem stoweidlem3

Dummy variables a m j n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem3.4	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
2		elnnuz 10478	. . . 4 |- ( M e. NN <-> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
3	1, 2	sylib 189	. . 3 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
4		eluzfz2 11021	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` 1 ) -> M e. ( 1 ... M ) )
5	3, 4	syl 16	. 2 |- ( ph -> M e. ( 1 ... M ) )
6		oveq2 6048	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( A ^ n ) = ( A ^ 1 ) )
7		fveq2 5687	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( X ` n ) = ( X ` 1 ) )
8	6, 7	breq12d 4185	. . . 4 |- ( n = 1 -> ( ( A ^ n ) < ( X ` n ) <-> ( A ^ 1 ) < ( X ` 1 ) ) )
9	8	imbi2d 308	. . 3 |- ( n = 1 -> ( ( ph -> ( A ^ n ) < ( X ` n ) ) <-> ( ph -> ( A ^ 1 ) < ( X ` 1 ) ) ) )
10		oveq2 6048	. . . . 5 |- ( n = m -> ( A ^ n ) = ( A ^ m ) )
11		fveq2 5687	. . . . 5 |- ( n = m -> ( X ` n ) = ( X ` m ) )
12	10, 11	breq12d 4185	. . . 4 |- ( n = m -> ( ( A ^ n ) < ( X ` n ) <-> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) )
13	12	imbi2d 308	. . 3 |- ( n = m -> ( ( ph -> ( A ^ n ) < ( X ` n ) ) <-> ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) ) )
14		oveq2 6048	. . . . 5 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( A ^ n ) = ( A ^ ( m + 1 ) ) )
15		fveq2 5687	. . . . 5 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( X ` n ) = ( X ` ( m + 1 ) ) )
16	14, 15	breq12d 4185	. . . 4 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( A ^ n ) < ( X ` n ) <-> ( A ^ ( m + 1 ) ) < ( X ` ( m + 1 ) ) ) )
17	16	imbi2d 308	. . 3 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ph -> ( A ^ n ) < ( X ` n ) ) <-> ( ph -> ( A ^ ( m + 1 ) ) < ( X ` ( m + 1 ) ) ) ) )
18		oveq2 6048	. . . . 5 |- ( n = M -> ( A ^ n ) = ( A ^ M ) )
19		fveq2 5687	. . . . 5 |- ( n = M -> ( X ` n ) = ( X ` M ) )
20	18, 19	breq12d 4185	. . . 4 |- ( n = M -> ( ( A ^ n ) < ( X ` n ) <-> ( A ^ M ) < ( X ` M ) ) )
21	20	imbi2d 308	. . 3 |- ( n = M -> ( ( ph -> ( A ^ n ) < ( X ` n ) ) <-> ( ph -> ( A ^ M ) < ( X ` M ) ) ) )
22		1z 10267	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
24	1	nnzd 10330	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
25	23, 24, 23	3jca 1134	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) )
26		1le1 9606	. . . . . . . . 9 |- 1 <_ 1
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 <_ 1 )
28	1	nnge1d 9998	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 <_ M )
29	25, 27, 28	jca32 522	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) /\ ( 1 <_ 1 /\ 1 <_ M ) ) )
30		elfz2 11006	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) /\ ( 1 <_ 1 /\ 1 <_ M ) ) )
31	29, 30	sylibr 204	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. ( 1 ... M ) )
32	31	ancli 535	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ph /\ 1 e. ( 1 ... M ) ) )
33		nfcv 2540	. . . . . . 7 |- F/_ i 1
34		stoweidlem3.2	. . . . . . . . 9 |- F/ i ph
35		nfv 1626	. . . . . . . . 9 |- F/ i 1 e. ( 1 ... M )
36	34, 35	nfan 1842	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ph /\ 1 e. ( 1 ... M ) )
37		nfcv 2540	. . . . . . . . 9 |- F/_ i A
38		nfcv 2540	. . . . . . . . 9 |- F/_ i <
39		stoweidlem3.1	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i F
40	39, 33	nffv 5694	. . . . . . . . 9 |- F/_ i ( F ` 1 )
41	37, 38, 40	nfbr 4216	. . . . . . . 8 |- F/ i A < ( F ` 1 )
42	36, 41	nfim 1828	. . . . . . 7 |- F/ i ( ( ph /\ 1 e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` 1 ) )
43		eleq1 2464	. . . . . . . . 9 |- ( i = 1 -> ( i e. ( 1 ... M ) <-> 1 e. ( 1 ... M ) ) )
44	43	anbi2d 685	. . . . . . . 8 |- ( i = 1 -> ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) <-> ( ph /\ 1 e. ( 1 ... M ) ) ) )
45		fveq2 5687	. . . . . . . . 9 |- ( i = 1 -> ( F ` i ) = ( F ` 1 ) )
46	45	breq2d 4184	. . . . . . . 8 |- ( i = 1 -> ( A < ( F ` i ) <-> A < ( F ` 1 ) ) )
47	44, 46	imbi12d 312	. . . . . . 7 |- ( i = 1 -> ( ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` i ) ) <-> ( ( ph /\ 1 e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` 1 ) ) ) )
48		stoweidlem3.6	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` i ) )
49	33, 42, 47, 48	vtoclgf 2970	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 1 ... M ) -> ( ( ph /\ 1 e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` 1 ) ) )
50	31, 32, 49	sylc 58	. . . . 5 |- ( ph -> A < ( F ` 1 ) )
51		stoweidlem3.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR+ )
52	51	rpcnd 10606	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. CC )
53	52	exp1d 11473	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ^ 1 ) = A )
54		stoweidlem3.3	. . . . . . . 8 |- X = seq 1 ( x. , F )
55	54	fveq1i 5688	. . . . . . 7 |- ( X ` 1 ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 )
56		seq1 11291	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
57	22, 56	ax-mp 8	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = ( F ` 1 )
58	55, 57	eqtri 2424	. . . . . 6 |- ( X ` 1 ) = ( F ` 1 )
59	58	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
60	50, 53, 59	3brtr4d 4202	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^ 1 ) < ( X ` 1 ) )
61	60	a1i 11	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ph -> ( A ^ 1 ) < ( X ` 1 ) ) )
62	51	3ad2ant3 980	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> A e. RR+ )
63	62	rpred 10604	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> A e. RR )
64		elfzouz 11099	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
65		elnnuz 10478	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN <-> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
66		nnnn0 10184	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> m e. NN0 )
67	65, 66	sylbir 205	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> m e. NN0 )
68	64, 67	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> m e. NN0 )
69	68	3ad2ant1 978	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> m e. NN0 )
70	63, 69	reexpcld 11495	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( A ^ m ) e. RR )
71	54	fveq1i 5688	. . . . . . . 8 |- ( X ` m ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` m )
72	64	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
73		nfv 1626	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ i m e. ( 1..^ M )
74	73, 34	nfan 1842	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph )
75		nfv 1626	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i a e. ( 1 ... m )
76	74, 75	nfan 1842	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ a e. ( 1 ... m ) )
77		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i a
78	39, 77	nffv 5694	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( F ` a )
79	78	nfel1 2550	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( F ` a ) e. RR
80	76, 79	nfim 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ a e. ( 1 ... m ) ) -> ( F ` a ) e. RR )
81		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = a -> ( i e. ( 1 ... m ) <-> a e. ( 1 ... m ) ) )
82	81	anbi2d 685	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = a -> ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) <-> ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ a e. ( 1 ... m ) ) ) )
83		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = a -> ( F ` i ) = ( F ` a ) )
84	83	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = a -> ( ( F ` i ) e. RR <-> ( F ` a ) e. RR ) )
85	82, 84	imbi12d 312	. . . . . . . . . 10 |- ( i = a -> ( ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> ( F ` i ) e. RR ) <-> ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ a e. ( 1 ... m ) ) -> ( F ` a ) e. RR ) ) )
86		stoweidlem3.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : ( 1 ... M ) --> RR )
87	86	ad2antlr 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> F : ( 1 ... M ) --> RR )
88	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> 1 e. ZZ )
89	24	ad2antlr 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> M e. ZZ )
90		elfzelz 11015	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 1 ... m ) -> i e. ZZ )
91	90	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> i e. ZZ )
92	88, 89, 91	3jca 1134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
93		elfzle1 11016	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 1 ... m ) -> 1 <_ i )
94	93	adantl 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> 1 <_ i )
95	90	zred 10331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 1 ... m ) -> i e. RR )
96	95	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> i e. RR )
97		elfzoelz 11095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> m e. ZZ )
98	97	zred 10331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> m e. RR )
99	98	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> m e. RR )
100	1	nnred 9971	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. RR )
101	100	ad2antlr 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> M e. RR )
102		elfzle2 11017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 1 ... m ) -> i <_ m )
103	102	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> i <_ m )
104		elfzoel2 11094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> M e. ZZ )
105	104	zred 10331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> M e. RR )
106		elfzolt2 11103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> m < M )
107	98, 105, 106	ltled 9177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> m <_ M )
108	107	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> m <_ M )
109	96, 99, 101, 103, 108	letrd 9183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> i <_ M )
110	92, 94, 109	jca32 522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 1 <_ i /\ i <_ M ) ) )
111		elfz2 11006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 1 <_ i /\ i <_ M ) ) )
112	110, 111	sylibr 204	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> i e. ( 1 ... M ) )
113	87, 112	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> ( F ` i ) e. RR )
114	80, 85, 113	chvar 2039	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ a e. ( 1 ... m ) ) -> ( F ` a ) e. RR )
115		remulcl 9031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. RR /\ j e. RR ) -> ( a x. j ) e. RR )
116	115	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ ( a e. RR /\ j e. RR ) ) -> ( a x. j ) e. RR )
117	72, 114, 116	seqcl 11298	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` m ) e. RR )
118	71, 117	syl5eqel 2488	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> ( X ` m ) e. RR )
119	118	3adant2 976	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( X ` m ) e. RR )
120	86	3ad2ant3 980	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> F : ( 1 ... M ) --> RR )
121		fzofzp1 11144	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
122	121	3ad2ant1 978	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
123	120, 122	ffvelrnd 5830	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( F ` ( m + 1 ) ) e. RR )
124	51	rpge0d 10608	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ A )
125	124	3ad2ant3 980	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> 0 <_ A )
126	63, 69, 125	expge0d 11496	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> 0 <_ ( A ^ m ) )
127		simp3 959	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ph )
128		simp2 958	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) )
129	127, 128	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) )
130	121	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
131		simpr 448	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> ph )
132	131, 130	jca 519	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) )
133		nfcv 2540	. . . . . . . . 9 |- F/_ i ( m + 1 )
134		nfv 1626	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( m + 1 ) e. ( 1 ... M )
135	34, 134	nfan 1842	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
136	39, 133	nffv 5694	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i ( F ` ( m + 1 ) )
137	37, 38, 136	nfbr 4216	. . . . . . . . . 10 |- F/ i A < ( F ` ( m + 1 ) )
138	135, 137	nfim 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` ( m + 1 ) ) )
139		eleq1 2464	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( i e. ( 1 ... M ) <-> ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) )
140	139	anbi2d 685	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) <-> ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) ) )
141		fveq2 5687	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( F ` i ) = ( F ` ( m + 1 ) ) )
142	141	breq2d 4184	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( A < ( F ` i ) <-> A < ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
143	140, 142	imbi12d 312	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` i ) ) <-> ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) )
144	133, 138, 143, 48	vtoclgf 2970	. . . . . . . 8 |- ( ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) -> ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
145	130, 132, 144	sylc 58	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> A < ( F ` ( m + 1 ) ) )
146	145	3adant2 976	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> A < ( F ` ( m + 1 ) ) )
147	70, 119, 63, 123, 126, 129, 125, 146	ltmul12ad 9908	. . . . 5 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( ( A ^ m ) x. A ) < ( ( X ` m ) x. ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
148	52	3ad2ant3 980	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> A e. CC )
149	148, 69	expp1d 11479	. . . . 5 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( A ^ ( m + 1 ) ) = ( ( A ^ m ) x. A ) )
150	54	fveq1i 5688	. . . . . . 7 |- ( X ` ( m + 1 ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` ( m + 1 ) )
151	150	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( X ` ( m + 1 ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` ( m + 1 ) ) )
152	64	3ad2ant1 978	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
153		seqp1 11293	. . . . . . 7 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` m ) x. ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
154	152, 153	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` m ) x. ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
155	71	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( X ` m ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` m ) )
156	155	eqcomd 2409	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` m ) = ( X ` m ) )
157	156	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` m ) x. ( F ` ( m + 1 ) ) ) = ( ( X ` m ) x. ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
158	151, 154, 157	3eqtrd 2440	. . . . 5 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( X ` ( m + 1 ) ) = ( ( X ` m ) x. ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
159	147, 149, 158	3brtr4d 4202	. . . 4 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( A ^ ( m + 1 ) ) < ( X ` ( m + 1 ) ) )
160	159	3exp 1152	. . 3 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> ( ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) -> ( ph -> ( A ^ ( m + 1 ) ) < ( X ` ( m + 1 ) ) ) ) )
161	9, 13, 17, 21, 61, 160	fzind2 11153	. 2 |- ( M e. ( 1 ... M ) -> ( ph -> ( A ^ M ) < ( X ` M ) ) )
162	5, 161	mpcom 34	1 |- ( ph -> ( A ^ M ) < ( X ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   /\ w3a 936   F/wnf 1550   = wceq 1649   e. wcel 1721   F/_wnfc 2527   class class class wbr 4172   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090   seq cseq 11278   ^cexp 11337

This theorem is referenced by:  stoweidlem42  27658

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338