Theorem stoweidlem3 29707

Description: Lemma for stoweid 29767: if A is positive and all M terms of a finite product are larger than A, then the finite product is larger than A^M. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem3.1	|- F/_ i F
stoweidlem3.2	|- F/ i ph
stoweidlem3.3	|- X = seq 1 ( x. , F )
stoweidlem3.4	|- ( ph -> M e. NN )
stoweidlem3.5	|- ( ph -> F : ( 1 ... M ) --> RR )
stoweidlem3.6	|- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` i ) )
stoweidlem3.7	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem3	|- ( ph -> ( A ^ M ) < ( X ` M ) )

Distinct variable groups:   A, i   i, M

Allowed substitution hints:   ph( i)   F( i)   X( i)

Proof of Theorem stoweidlem3

Dummy variables a m j n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem3.4	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
2		elnnuz 10893	. . . 4 |- ( M e. NN <-> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
3	1, 2	sylib 196	. . 3 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
4		eluzfz2 11455	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` 1 ) -> M e. ( 1 ... M ) )
5	3, 4	syl 16	. 2 |- ( ph -> M e. ( 1 ... M ) )
6		oveq2 6098	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( A ^ n ) = ( A ^ 1 ) )
7		fveq2 5688	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( X ` n ) = ( X ` 1 ) )
8	6, 7	breq12d 4302	. . . 4 |- ( n = 1 -> ( ( A ^ n ) < ( X ` n ) <-> ( A ^ 1 ) < ( X ` 1 ) ) )
9	8	imbi2d 316	. . 3 |- ( n = 1 -> ( ( ph -> ( A ^ n ) < ( X ` n ) ) <-> ( ph -> ( A ^ 1 ) < ( X ` 1 ) ) ) )
10		oveq2 6098	. . . . 5 |- ( n = m -> ( A ^ n ) = ( A ^ m ) )
11		fveq2 5688	. . . . 5 |- ( n = m -> ( X ` n ) = ( X ` m ) )
12	10, 11	breq12d 4302	. . . 4 |- ( n = m -> ( ( A ^ n ) < ( X ` n ) <-> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) )
13	12	imbi2d 316	. . 3 |- ( n = m -> ( ( ph -> ( A ^ n ) < ( X ` n ) ) <-> ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) ) )
14		oveq2 6098	. . . . 5 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( A ^ n ) = ( A ^ ( m + 1 ) ) )
15		fveq2 5688	. . . . 5 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( X ` n ) = ( X ` ( m + 1 ) ) )
16	14, 15	breq12d 4302	. . . 4 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( A ^ n ) < ( X ` n ) <-> ( A ^ ( m + 1 ) ) < ( X ` ( m + 1 ) ) ) )
17	16	imbi2d 316	. . 3 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ph -> ( A ^ n ) < ( X ` n ) ) <-> ( ph -> ( A ^ ( m + 1 ) ) < ( X ` ( m + 1 ) ) ) ) )
18		oveq2 6098	. . . . 5 |- ( n = M -> ( A ^ n ) = ( A ^ M ) )
19		fveq2 5688	. . . . 5 |- ( n = M -> ( X ` n ) = ( X ` M ) )
20	18, 19	breq12d 4302	. . . 4 |- ( n = M -> ( ( A ^ n ) < ( X ` n ) <-> ( A ^ M ) < ( X ` M ) ) )
21	20	imbi2d 316	. . 3 |- ( n = M -> ( ( ph -> ( A ^ n ) < ( X ` n ) ) <-> ( ph -> ( A ^ M ) < ( X ` M ) ) ) )
22		1zzd 10673	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
23	1	nnzd 10742	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
24	22, 23, 22	3jca 1163	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) )
25		1le1 9960	. . . . . . . . 9 |- 1 <_ 1
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 <_ 1 )
27	1	nnge1d 10360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 <_ M )
28	24, 26, 27	jca32 532	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) /\ ( 1 <_ 1 /\ 1 <_ M ) ) )
29		elfz2 11440	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) /\ ( 1 <_ 1 /\ 1 <_ M ) ) )
30	28, 29	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. ( 1 ... M ) )
31	30	ancli 548	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ph /\ 1 e. ( 1 ... M ) ) )
32		stoweidlem3.2	. . . . . . . . 9 |- F/ i ph
33		nfv 1678	. . . . . . . . 9 |- F/ i 1 e. ( 1 ... M )
34	32, 33	nfan 1865	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ph /\ 1 e. ( 1 ... M ) )
35		nfcv 2577	. . . . . . . . 9 |- F/_ i A
36		nfcv 2577	. . . . . . . . 9 |- F/_ i <
37		stoweidlem3.1	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i F
38		nfcv 2577	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i 1
39	37, 38	nffv 5695	. . . . . . . . 9 |- F/_ i ( F ` 1 )
40	35, 36, 39	nfbr 4333	. . . . . . . 8 |- F/ i A < ( F ` 1 )
41	34, 40	nfim 1857	. . . . . . 7 |- F/ i ( ( ph /\ 1 e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` 1 ) )
42		eleq1 2501	. . . . . . . . 9 |- ( i = 1 -> ( i e. ( 1 ... M ) <-> 1 e. ( 1 ... M ) ) )
43	42	anbi2d 698	. . . . . . . 8 |- ( i = 1 -> ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) <-> ( ph /\ 1 e. ( 1 ... M ) ) ) )
44		fveq2 5688	. . . . . . . . 9 |- ( i = 1 -> ( F ` i ) = ( F ` 1 ) )
45	44	breq2d 4301	. . . . . . . 8 |- ( i = 1 -> ( A < ( F ` i ) <-> A < ( F ` 1 ) ) )
46	43, 45	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( i = 1 -> ( ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` i ) ) <-> ( ( ph /\ 1 e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` 1 ) ) ) )
47		stoweidlem3.6	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` i ) )
48	41, 46, 47	vtoclg1f 3026	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 1 ... M ) -> ( ( ph /\ 1 e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` 1 ) ) )
49	30, 31, 48	sylc 60	. . . . 5 |- ( ph -> A < ( F ` 1 ) )
50		stoweidlem3.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR+ )
51	50	rpcnd 11025	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. CC )
52	51	exp1d 11999	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ^ 1 ) = A )
53		stoweidlem3.3	. . . . . . . 8 |- X = seq 1 ( x. , F )
54	53	fveq1i 5689	. . . . . . 7 |- ( X ` 1 ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 )
55		1z 10672	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
56		seq1 11815	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = ( F ` 1 )
58	54, 57	eqtri 2461	. . . . . 6 |- ( X ` 1 ) = ( F ` 1 )
59	58	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
60	49, 52, 59	3brtr4d 4319	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^ 1 ) < ( X ` 1 ) )
61	60	a1i 11	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ph -> ( A ^ 1 ) < ( X ` 1 ) ) )
62	50	3ad2ant3 1006	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> A e. RR+ )
63	62	rpred 11023	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> A e. RR )
64		elfzouz 11553	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
65		elnnuz 10893	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN <-> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
66		nnnn0 10582	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> m e. NN0 )
67	65, 66	sylbir 213	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> m e. NN0 )
68	64, 67	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> m e. NN0 )
69	68	3ad2ant1 1004	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> m e. NN0 )
70	63, 69	reexpcld 12021	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( A ^ m ) e. RR )
71	53	fveq1i 5689	. . . . . . . 8 |- ( X ` m ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` m )
72	64	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
73		nfv 1678	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ i m e. ( 1..^ M )
74	73, 32	nfan 1865	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph )
75		nfv 1678	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i a e. ( 1 ... m )
76	74, 75	nfan 1865	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ a e. ( 1 ... m ) )
77		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i a
78	37, 77	nffv 5695	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( F ` a )
79	78	nfel1 2587	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( F ` a ) e. RR
80	76, 79	nfim 1857	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ a e. ( 1 ... m ) ) -> ( F ` a ) e. RR )
81		eleq1 2501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = a -> ( i e. ( 1 ... m ) <-> a e. ( 1 ... m ) ) )
82	81	anbi2d 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = a -> ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) <-> ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ a e. ( 1 ... m ) ) ) )
83		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = a -> ( F ` i ) = ( F ` a ) )
84	83	eleq1d 2507	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = a -> ( ( F ` i ) e. RR <-> ( F ` a ) e. RR ) )
85	82, 84	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10 |- ( i = a -> ( ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> ( F ` i ) e. RR ) <-> ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ a e. ( 1 ... m ) ) -> ( F ` a ) e. RR ) ) )
86		stoweidlem3.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : ( 1 ... M ) --> RR )
87	86	ad2antlr 721	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> F : ( 1 ... M ) --> RR )
88		1zzd 10673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> 1 e. ZZ )
89	23	ad2antlr 721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> M e. ZZ )
90		elfzelz 11449	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 1 ... m ) -> i e. ZZ )
91	90	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> i e. ZZ )
92	88, 89, 91	3jca 1163	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
93		elfzle1 11450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 1 ... m ) -> 1 <_ i )
94	93	adantl 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> 1 <_ i )
95	90	zred 10743	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 1 ... m ) -> i e. RR )
96	95	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> i e. RR )
97		elfzoelz 11549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> m e. ZZ )
98	97	zred 10743	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> m e. RR )
99	98	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> m e. RR )
100	1	nnred 10333	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. RR )
101	100	ad2antlr 721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> M e. RR )
102		elfzle2 11451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 1 ... m ) -> i <_ m )
103	102	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> i <_ m )
104		elfzoel2 11548	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> M e. ZZ )
105	104	zred 10743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> M e. RR )
106		elfzolt2 11557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> m < M )
107	98, 105, 106	ltled 9518	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> m <_ M )
108	107	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> m <_ M )
109	96, 99, 101, 103, 108	letrd 9524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> i <_ M )
110	92, 94, 109	jca32 532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 1 <_ i /\ i <_ M ) ) )
111		elfz2 11440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 1 <_ i /\ i <_ M ) ) )
112	110, 111	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> i e. ( 1 ... M ) )
113	87, 112	ffvelrnd 5841	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> ( F ` i ) e. RR )
114	80, 85, 113	chvar 1962	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ a e. ( 1 ... m ) ) -> ( F ` a ) e. RR )
115		remulcl 9363	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. RR /\ j e. RR ) -> ( a x. j ) e. RR )
116	115	adantl 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) /\ ( a e. RR /\ j e. RR ) ) -> ( a x. j ) e. RR )
117	72, 114, 116	seqcl 11822	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` m ) e. RR )
118	71, 117	syl5eqel 2525	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> ( X ` m ) e. RR )
119	118	3adant2 1002	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( X ` m ) e. RR )
120	86	3ad2ant3 1006	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> F : ( 1 ... M ) --> RR )
121		fzofzp1 11620	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
122	121	3ad2ant1 1004	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
123	120, 122	ffvelrnd 5841	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( F ` ( m + 1 ) ) e. RR )
124	50	rpge0d 11027	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ A )
125	124	3ad2ant3 1006	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> 0 <_ A )
126	63, 69, 125	expge0d 12022	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> 0 <_ ( A ^ m ) )
127		simp3 985	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ph )
128		simp2 984	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) )
129	127, 128	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) )
130	121	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
131		simpr 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> ph )
132	131, 130	jca 529	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) )
133		nfv 1678	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( m + 1 ) e. ( 1 ... M )
134	32, 133	nfan 1865	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
135		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( m + 1 )
136	37, 135	nffv 5695	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i ( F ` ( m + 1 ) )
137	35, 36, 136	nfbr 4333	. . . . . . . . . 10 |- F/ i A < ( F ` ( m + 1 ) )
138	134, 137	nfim 1857	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` ( m + 1 ) ) )
139		eleq1 2501	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( i e. ( 1 ... M ) <-> ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) )
140	139	anbi2d 698	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) <-> ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) ) )
141		fveq2 5688	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( F ` i ) = ( F ` ( m + 1 ) ) )
142	141	breq2d 4301	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( A < ( F ` i ) <-> A < ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
143	140, 142	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` i ) ) <-> ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) )
144	138, 143, 47	vtoclg1f 3026	. . . . . . . 8 |- ( ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) -> ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) -> A < ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
145	130, 132, 144	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ph ) -> A < ( F ` ( m + 1 ) ) )
146	145	3adant2 1002	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> A < ( F ` ( m + 1 ) ) )
147	70, 119, 63, 123, 126, 129, 125, 146	ltmul12ad 10270	. . . . 5 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( ( A ^ m ) x. A ) < ( ( X ` m ) x. ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
148	51	3ad2ant3 1006	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> A e. CC )
149	148, 69	expp1d 12005	. . . . 5 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( A ^ ( m + 1 ) ) = ( ( A ^ m ) x. A ) )
150	53	fveq1i 5689	. . . . . . 7 |- ( X ` ( m + 1 ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` ( m + 1 ) )
151	150	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( X ` ( m + 1 ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` ( m + 1 ) ) )
152	64	3ad2ant1 1004	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
153		seqp1 11817	. . . . . . 7 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` m ) x. ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
154	152, 153	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` m ) x. ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
155	71	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( X ` m ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` m ) )
156	155	eqcomd 2446	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` m ) = ( X ` m ) )
157	156	oveq1d 6105	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` m ) x. ( F ` ( m + 1 ) ) ) = ( ( X ` m ) x. ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
158	151, 154, 157	3eqtrd 2477	. . . . 5 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( X ` ( m + 1 ) ) = ( ( X ` m ) x. ( F ` ( m + 1 ) ) ) )
159	147, 149, 158	3brtr4d 4319	. . . 4 |- ( ( m e. ( 1..^ M ) /\ ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) /\ ph ) -> ( A ^ ( m + 1 ) ) < ( X ` ( m + 1 ) ) )
160	159	3exp 1181	. . 3 |- ( m e. ( 1..^ M ) -> ( ( ph -> ( A ^ m ) < ( X ` m ) ) -> ( ph -> ( A ^ ( m + 1 ) ) < ( X ` ( m + 1 ) ) ) ) )
161	9, 13, 17, 21, 61, 160	fzind2 11633	. 2 |- ( M e. ( 1 ... M ) -> ( ph -> ( A ^ M ) < ( X ` M ) ) )
162	5, 161	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( A ^ M ) < ( X ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   F/wnf 1594   e. wcel 1761   F/_wnfc 2564   class class class wbr 4289   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   + caddc 9281   x. cmul 9283   < clt 9414   <_ cle 9415   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   RR+crp 10987   ...cfz 11433  ..^cfzo 11544   seqcseq 11802   ^cexp 11861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862

This theorem is referenced by:  stoweidlem42  29746