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Theorem stoweidlem3 27619
Description: Lemma for stoweid 27679: if  A is positive and all  M terms of a finite product are larger than  A, then the finite product is larger than A^M. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem3.1  |-  F/_ i F
stoweidlem3.2  |-  F/ i
ph
stoweidlem3.3  |-  X  =  seq  1 (  x.  ,  F )
stoweidlem3.4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem3.5  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) --> RR )
stoweidlem3.6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A  <  ( F `  i
) )
stoweidlem3.7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem3  |-  ( ph  ->  ( A ^ M
)  <  ( X `  M ) )
Distinct variable groups:    A, i    i, M
Allowed substitution hints:    ph( i)    F( i)    X( i)

Proof of Theorem stoweidlem3
Dummy variables  a  m  j  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem3.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
2 elnnuz 10478 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
31, 2sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
4 eluzfz2 11021 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  M  e.  ( 1 ... M
) )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 1 ... M ) )
6 oveq2 6048 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ 1 ) )
7 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  ( X `  n )  =  ( X ` 
1 ) )
86, 7breq12d 4185 . . . 4  |-  ( n  =  1  ->  (
( A ^ n
)  <  ( X `  n )  <->  ( A ^ 1 )  < 
( X `  1
) ) )
98imbi2d 308 . . 3  |-  ( n  =  1  ->  (
( ph  ->  ( A ^ n )  < 
( X `  n
) )  <->  ( ph  ->  ( A ^ 1 )  <  ( X `
 1 ) ) ) )
10 oveq2 6048 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ m
) )
11 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  ( X `  n )  =  ( X `  m ) )
1210, 11breq12d 4185 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  (
( A ^ n
)  <  ( X `  n )  <->  ( A ^ m )  < 
( X `  m
) ) )
1312imbi2d 308 . . 3  |-  ( n  =  m  ->  (
( ph  ->  ( A ^ n )  < 
( X `  n
) )  <->  ( ph  ->  ( A ^ m
)  <  ( X `  m ) ) ) )
14 oveq2 6048 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ (
m  +  1 ) ) )
15 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( X `  n )  =  ( X `  ( m  +  1
) ) )
1614, 15breq12d 4185 . . . 4  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( A ^ n
)  <  ( X `  n )  <->  ( A ^ ( m  + 
1 ) )  < 
( X `  (
m  +  1 ) ) ) )
1716imbi2d 308 . . 3  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( A ^ n )  < 
( X `  n
) )  <->  ( ph  ->  ( A ^ (
m  +  1 ) )  <  ( X `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
18 oveq2 6048 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ M
) )
19 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  ( X `  n )  =  ( X `  M ) )
2018, 19breq12d 4185 . . . 4  |-  ( n  =  M  ->  (
( A ^ n
)  <  ( X `  n )  <->  ( A ^ M )  <  ( X `  M )
) )
2120imbi2d 308 . . 3  |-  ( n  =  M  ->  (
( ph  ->  ( A ^ n )  < 
( X `  n
) )  <->  ( ph  ->  ( A ^ M
)  <  ( X `  M ) ) ) )
22 1z 10267 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
2322a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
241nnzd 10330 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2523, 24, 233jca 1134 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
)
26 1le1 9606 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  1
2726a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <_  1 )
281nnge1d 9998 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
2925, 27, 28jca32 522 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  1  /\  1  <_  M ) ) )
30 elfz2 11006 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  1  /\  1  <_  M ) ) )
3129, 30sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 1 ... M ) )
3231ancli 535 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M
) ) )
33 nfcv 2540 . . . . . . 7  |-  F/_ i
1
34 stoweidlem3.2 . . . . . . . . 9  |-  F/ i
ph
35 nfv 1626 . . . . . . . . 9  |-  F/ i 1  e.  ( 1 ... M )
3634, 35nfan 1842 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M
) )
37 nfcv 2540 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i A
38 nfcv 2540 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i  <
39 stoweidlem3.1 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i F
4039, 33nffv 5694 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
( F `  1
)
4137, 38, 40nfbr 4216 . . . . . . . 8  |-  F/ i  A  <  ( F `
 1 )
4236, 41nfim 1828 . . . . . . 7  |-  F/ i ( ( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  1 )
)
43 eleq1 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  1  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  <->  1  e.  ( 1 ... M
) ) )
4443anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  1  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M ) ) ) )
45 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  1  ->  ( F `  i )  =  ( F ` 
1 ) )
4645breq2d 4184 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  1  ->  ( A  <  ( F `  i )  <->  A  <  ( F `  1 ) ) )
4744, 46imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  i )
)  <->  ( ( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  1 )
) ) )
48 stoweidlem3.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A  <  ( F `  i
) )
4933, 42, 47, 48vtoclgf 2970 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A  <  ( F `  1
) ) )
5031, 32, 49sylc 58 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <  ( F `
 1 ) )
51 stoweidlem3.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
5251rpcnd 10606 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5352exp1d 11473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ 1 )  =  A )
54 stoweidlem3.3 . . . . . . . 8  |-  X  =  seq  1 (  x.  ,  F )
5554fveq1i 5688 . . . . . . 7  |-  ( X `
 1 )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 1 )
56 seq1 11291 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
5722, 56ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 )
5855, 57eqtri 2424 . . . . . 6  |-  ( X `
 1 )  =  ( F `  1
)
5958a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
6050, 53, 593brtr4d 4202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ^ 1 )  <  ( X `
 1 ) )
6160a1i 11 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ph  ->  ( A ^ 1 )  <  ( X `
 1 ) ) )
62513ad2ant3 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  A  e.  RR+ )
6362rpred 10604 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  A  e.  RR )
64 elfzouz 11099 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
65 elnnuz 10478 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  <->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
66 nnnn0 10184 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
6765, 66sylbir 205 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  m  e.  NN0 )
6864, 67syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  e.  NN0 )
69683ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  m  e.  NN0 )
7063, 69reexpcld 11495 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( A ^ m
)  e.  RR )
7154fveq1i 5688 . . . . . . . 8  |-  ( X `
 m )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 m )
7264adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  m  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
73 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i  m  e.  ( 1..^ M )
7473, 34nfan 1842 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )
75 nfv 1626 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i  a  e.  ( 1 ... m )
7674, 75nfan 1842 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  a  e.  ( 1 ... m ) )
77 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
a
7839, 77nffv 5694 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
( F `  a
)
7978nfel1 2550 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( F `  a
)  e.  RR
8076, 79nfim 1828 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  a  e.  (
1 ... m ) )  ->  ( F `  a )  e.  RR )
81 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  a  ->  (
i  e.  ( 1 ... m )  <->  a  e.  ( 1 ... m
) ) )
8281anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m ) )  <-> 
( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  a  e.  ( 1 ... m ) ) ) )
83 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  a  ->  ( F `  i )  =  ( F `  a ) )
8483eleq1d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  a  ->  (
( F `  i
)  e.  RR  <->  ( F `  a )  e.  RR ) )
8582, 84imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  (
1 ... m ) )  ->  ( F `  i )  e.  RR ) 
<->  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  a  e.  (
1 ... m ) )  ->  ( F `  a )  e.  RR ) ) )
86 stoweidlem3.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) --> RR )
8786ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  F : ( 1 ... M ) --> RR )
8822a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  1  e.  ZZ )
8924ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  M  e.  ZZ )
90 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 1 ... m )  ->  i  e.  ZZ )
9190adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  i  e.  ZZ )
9288, 89, 913jca 1134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ ) )
93 elfzle1 11016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 1 ... m )  ->  1  <_  i )
9493adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  1  <_  i )
9590zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 1 ... m )  ->  i  e.  RR )
9695adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  i  e.  RR )
97 elfzoelz 11095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  e.  ZZ )
9897zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  e.  RR )
9998ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  m  e.  RR )
1001nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
101100ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  M  e.  RR )
102 elfzle2 11017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 1 ... m )  ->  i  <_  m )
103102adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  i  <_  m )
104 elfzoel2 11094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  M  e.  ZZ )
105104zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  M  e.  RR )
106 elfzolt2 11103 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  <  M )
10798, 105, 106ltled 9177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  <_  M )
108107ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  m  <_  M )
10996, 99, 101, 103, 108letrd 9183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  i  <_  M )
11092, 94, 109jca32 522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
111 elfz2 11006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
112110, 111sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
11387, 112ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( F `  i )  e.  RR )
11480, 85, 113chvar 2039 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  a  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( F `  a )  e.  RR )
115 remulcl 9031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  ( a  x.  j
)  e.  RR )
116115adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  ( a  e.  RR  /\  j  e.  RR ) )  -> 
( a  x.  j
)  e.  RR )
11772, 114, 116seqcl 11298 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  m )  e.  RR )
11871, 117syl5eqel 2488 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  ( X `  m )  e.  RR )
1191183adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( X `  m
)  e.  RR )
120863ad2ant3 980 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  F : ( 1 ... M ) --> RR )
121 fzofzp1 11144 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )
1221213ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
123120, 122ffvelrnd 5830 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( F `  (
m  +  1 ) )  e.  RR )
12451rpge0d 10608 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
1251243ad2ant3 980 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
0  <_  A )
12663, 69, 125expge0d 11496 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
0  <_  ( A ^ m ) )
127 simp3 959 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  ph )
128 simp2 958 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( ph  ->  ( A ^ m )  < 
( X `  m
) ) )
129127, 128mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( A ^ m
)  <  ( X `  m ) )
130121adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... M ) )
131 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  ph )
132131, 130jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  ( ph  /\  ( m  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )
133 nfcv 2540 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
( m  +  1 )
134 nfv 1626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M )
13534, 134nfan 1842 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
13639, 133nffv 5694 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
( F `  (
m  +  1 ) )
13737, 38, 136nfbr 4216 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  A  <  ( F `
 ( m  + 
1 ) )
138135, 137nfim 1828 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ( ph  /\  ( m  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )
139 eleq1 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  <->  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) ) )
140139anbi2d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) ) ) )
141 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( F `  i )  =  ( F `  ( m  +  1
) ) )
142141breq2d 4184 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( A  <  ( F `  i )  <->  A  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )
143140, 142imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  i )
)  <->  ( ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) ) )
144133, 138, 143, 48vtoclgf 2970 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  ( m  +  1
) ) ) )
145130, 132, 144sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  A  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )
1461453adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  A  <  ( F `  ( m  +  1
) ) )
14770, 119, 63, 123, 126, 129, 125, 146ltmul12ad 9908 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( ( A ^
m )  x.  A
)  <  ( ( X `  m )  x.  ( F `  (
m  +  1 ) ) ) )
148523ad2ant3 980 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  A  e.  CC )
149148, 69expp1d 11479 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( A ^ (
m  +  1 ) )  =  ( ( A ^ m )  x.  A ) )
15054fveq1i 5688 . . . . . . 7  |-  ( X `
 ( m  + 
1 ) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( m  + 
1 ) )
151150a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( X `  (
m  +  1 ) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) )
152643ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  m  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
153 seqp1 11293 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  m )  x.  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )
154152, 153syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  m )  x.  ( F `  (
m  +  1 ) ) ) )
15571a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( X `  m
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  m
) )
156155eqcomd 2409 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 m )  =  ( X `  m
) )
157156oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  m )  x.  ( F `  (
m  +  1 ) ) )  =  ( ( X `  m
)  x.  ( F `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
158151, 154, 1573eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( X `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( X `  m )  x.  ( F `  ( m  +  1
) ) ) )
159147, 149, 1583brtr4d 4202 . . . 4  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( A ^ (
m  +  1 ) )  <  ( X `
 ( m  + 
1 ) ) )
1601593exp 1152 . . 3  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  ( ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  ->  ( ph  ->  ( A ^ (
m  +  1 ) )  <  ( X `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
1619, 13, 17, 21, 61, 160fzind2 11153 . 2  |-  ( M  e.  ( 1 ... M )  ->  ( ph  ->  ( A ^ M )  <  ( X `  M )
) )
1625, 161mpcom 34 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ M
)  <  ( X `  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   F/wnf 1550    = wceq 1649    e. wcel 1721   F/_wnfc 2527   class class class wbr 4172   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090    seq cseq 11278   ^cexp 11337
This theorem is referenced by:  stoweidlem42  27658
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338
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