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Theorem stoweidlem3 29798
Description: Lemma for stoweid 29858: if  A is positive and all  M terms of a finite product are larger than  A, then the finite product is larger than A^M. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem3.1  |-  F/_ i F
stoweidlem3.2  |-  F/ i
ph
stoweidlem3.3  |-  X  =  seq 1 (  x.  ,  F )
stoweidlem3.4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem3.5  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) --> RR )
stoweidlem3.6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A  <  ( F `  i
) )
stoweidlem3.7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem3  |-  ( ph  ->  ( A ^ M
)  <  ( X `  M ) )
Distinct variable groups:    A, i    i, M
Allowed substitution hints:    ph( i)    F( i)    X( i)

Proof of Theorem stoweidlem3
Dummy variables  a  m  j  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem3.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
2 elnnuz 10897 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
31, 2sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
4 eluzfz2 11459 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  M  e.  ( 1 ... M
) )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 1 ... M ) )
6 oveq2 6099 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ 1 ) )
7 fveq2 5691 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  ( X `  n )  =  ( X ` 
1 ) )
86, 7breq12d 4305 . . . 4  |-  ( n  =  1  ->  (
( A ^ n
)  <  ( X `  n )  <->  ( A ^ 1 )  < 
( X `  1
) ) )
98imbi2d 316 . . 3  |-  ( n  =  1  ->  (
( ph  ->  ( A ^ n )  < 
( X `  n
) )  <->  ( ph  ->  ( A ^ 1 )  <  ( X `
 1 ) ) ) )
10 oveq2 6099 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ m
) )
11 fveq2 5691 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  ( X `  n )  =  ( X `  m ) )
1210, 11breq12d 4305 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  (
( A ^ n
)  <  ( X `  n )  <->  ( A ^ m )  < 
( X `  m
) ) )
1312imbi2d 316 . . 3  |-  ( n  =  m  ->  (
( ph  ->  ( A ^ n )  < 
( X `  n
) )  <->  ( ph  ->  ( A ^ m
)  <  ( X `  m ) ) ) )
14 oveq2 6099 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ (
m  +  1 ) ) )
15 fveq2 5691 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( X `  n )  =  ( X `  ( m  +  1
) ) )
1614, 15breq12d 4305 . . . 4  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( A ^ n
)  <  ( X `  n )  <->  ( A ^ ( m  + 
1 ) )  < 
( X `  (
m  +  1 ) ) ) )
1716imbi2d 316 . . 3  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( A ^ n )  < 
( X `  n
) )  <->  ( ph  ->  ( A ^ (
m  +  1 ) )  <  ( X `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
18 oveq2 6099 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ M
) )
19 fveq2 5691 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  ( X `  n )  =  ( X `  M ) )
2018, 19breq12d 4305 . . . 4  |-  ( n  =  M  ->  (
( A ^ n
)  <  ( X `  n )  <->  ( A ^ M )  <  ( X `  M )
) )
2120imbi2d 316 . . 3  |-  ( n  =  M  ->  (
( ph  ->  ( A ^ n )  < 
( X `  n
) )  <->  ( ph  ->  ( A ^ M
)  <  ( X `  M ) ) ) )
22 1zzd 10677 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
231nnzd 10746 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2422, 23, 223jca 1168 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
)
25 1le1 9964 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  1
2625a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <_  1 )
271nnge1d 10364 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
2824, 26, 27jca32 535 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  1  /\  1  <_  M ) ) )
29 elfz2 11444 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  1  /\  1  <_  M ) ) )
3028, 29sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 1 ... M ) )
3130ancli 551 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M
) ) )
32 stoweidlem3.2 . . . . . . . . 9  |-  F/ i
ph
33 nfv 1673 . . . . . . . . 9  |-  F/ i 1  e.  ( 1 ... M )
3432, 33nfan 1861 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M
) )
35 nfcv 2579 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i A
36 nfcv 2579 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i  <
37 stoweidlem3.1 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i F
38 nfcv 2579 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i
1
3937, 38nffv 5698 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
( F `  1
)
4035, 36, 39nfbr 4336 . . . . . . . 8  |-  F/ i  A  <  ( F `
 1 )
4134, 40nfim 1853 . . . . . . 7  |-  F/ i ( ( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  1 )
)
42 eleq1 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  1  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  <->  1  e.  ( 1 ... M
) ) )
4342anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  1  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M ) ) ) )
44 fveq2 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  1  ->  ( F `  i )  =  ( F ` 
1 ) )
4544breq2d 4304 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  1  ->  ( A  <  ( F `  i )  <->  A  <  ( F `  1 ) ) )
4643, 45imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  i )
)  <->  ( ( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  1 )
) ) )
47 stoweidlem3.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A  <  ( F `  i
) )
4841, 46, 47vtoclg1f 3029 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A  <  ( F `  1
) ) )
4930, 31, 48sylc 60 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <  ( F `
 1 ) )
50 stoweidlem3.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
5150rpcnd 11029 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5251exp1d 12003 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ 1 )  =  A )
53 stoweidlem3.3 . . . . . . . 8  |-  X  =  seq 1 (  x.  ,  F )
5453fveq1i 5692 . . . . . . 7  |-  ( X `
 1 )  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 1 )
55 1z 10676 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
56 seq1 11819 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 )
5854, 57eqtri 2463 . . . . . 6  |-  ( X `
 1 )  =  ( F `  1
)
5958a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
6049, 52, 593brtr4d 4322 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ^ 1 )  <  ( X `
 1 ) )
6160a1i 11 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ph  ->  ( A ^ 1 )  <  ( X `
 1 ) ) )
62503ad2ant3 1011 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  A  e.  RR+ )
6362rpred 11027 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  A  e.  RR )
64 elfzouz 11557 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
65 elnnuz 10897 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  <->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
66 nnnn0 10586 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
6765, 66sylbir 213 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  m  e.  NN0 )
6864, 67syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  e.  NN0 )
69683ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  m  e.  NN0 )
7063, 69reexpcld 12025 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( A ^ m
)  e.  RR )
7153fveq1i 5692 . . . . . . . 8  |-  ( X `
 m )  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 m )
7264adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  m  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
73 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i  m  e.  ( 1..^ M )
7473, 32nfan 1861 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )
75 nfv 1673 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i  a  e.  ( 1 ... m )
7674, 75nfan 1861 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  a  e.  ( 1 ... m ) )
77 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
a
7837, 77nffv 5698 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
( F `  a
)
7978nfel1 2589 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( F `  a
)  e.  RR
8076, 79nfim 1853 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  a  e.  (
1 ... m ) )  ->  ( F `  a )  e.  RR )
81 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  a  ->  (
i  e.  ( 1 ... m )  <->  a  e.  ( 1 ... m
) ) )
8281anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m ) )  <-> 
( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  a  e.  ( 1 ... m ) ) ) )
83 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  a  ->  ( F `  i )  =  ( F `  a ) )
8483eleq1d 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  a  ->  (
( F `  i
)  e.  RR  <->  ( F `  a )  e.  RR ) )
8582, 84imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  (
1 ... m ) )  ->  ( F `  i )  e.  RR ) 
<->  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  a  e.  (
1 ... m ) )  ->  ( F `  a )  e.  RR ) ) )
86 stoweidlem3.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) --> RR )
8786ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  F : ( 1 ... M ) --> RR )
88 1zzd 10677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  1  e.  ZZ )
8923ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  M  e.  ZZ )
90 elfzelz 11453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 1 ... m )  ->  i  e.  ZZ )
9190adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  i  e.  ZZ )
9288, 89, 913jca 1168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ ) )
93 elfzle1 11454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 1 ... m )  ->  1  <_  i )
9493adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  1  <_  i )
9590zred 10747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 1 ... m )  ->  i  e.  RR )
9695adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  i  e.  RR )
97 elfzoelz 11553 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  e.  ZZ )
9897zred 10747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  e.  RR )
9998ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  m  e.  RR )
1001nnred 10337 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
101100ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  M  e.  RR )
102 elfzle2 11455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 1 ... m )  ->  i  <_  m )
103102adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  i  <_  m )
104 elfzoel2 11552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  M  e.  ZZ )
105104zred 10747 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  M  e.  RR )
106 elfzolt2 11561 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  <  M )
10798, 105, 106ltled 9522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  <_  M )
108107ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  m  <_  M )
10996, 99, 101, 103, 108letrd 9528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  i  <_  M )
11092, 94, 109jca32 535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
111 elfz2 11444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
112110, 111sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
11387, 112ffvelrnd 5844 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( F `  i )  e.  RR )
11480, 85, 113chvar 1957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  a  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( F `  a )  e.  RR )
115 remulcl 9367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  ( a  x.  j
)  e.  RR )
116115adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  ( a  e.  RR  /\  j  e.  RR ) )  -> 
( a  x.  j
)  e.  RR )
11772, 114, 116seqcl 11826 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  m )  e.  RR )
11871, 117syl5eqel 2527 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  ( X `  m )  e.  RR )
1191183adant2 1007 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( X `  m
)  e.  RR )
120863ad2ant3 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  F : ( 1 ... M ) --> RR )
121 fzofzp1 11624 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )
1221213ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
123120, 122ffvelrnd 5844 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( F `  (
m  +  1 ) )  e.  RR )
12450rpge0d 11031 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
1251243ad2ant3 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
0  <_  A )
12663, 69, 125expge0d 12026 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
0  <_  ( A ^ m ) )
127 simp3 990 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  ph )
128 simp2 989 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( ph  ->  ( A ^ m )  < 
( X `  m
) ) )
129127, 128mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( A ^ m
)  <  ( X `  m ) )
130121adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... M ) )
131 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  ph )
132131, 130jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  ( ph  /\  ( m  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )
133 nfv 1673 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M )
13432, 133nfan 1861 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
135 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
( m  +  1 )
13637, 135nffv 5698 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
( F `  (
m  +  1 ) )
13735, 36, 136nfbr 4336 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  A  <  ( F `
 ( m  + 
1 ) )
138134, 137nfim 1853 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ( ph  /\  ( m  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )
139 eleq1 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  <->  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) ) )
140139anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) ) ) )
141 fveq2 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( F `  i )  =  ( F `  ( m  +  1
) ) )
142141breq2d 4304 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( A  <  ( F `  i )  <->  A  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )
143140, 142imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  i )
)  <->  ( ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) ) )
144138, 143, 47vtoclg1f 3029 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  ( m  +  1
) ) ) )
145130, 132, 144sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  A  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )
1461453adant2 1007 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  A  <  ( F `  ( m  +  1
) ) )
14770, 119, 63, 123, 126, 129, 125, 146ltmul12ad 10274 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( ( A ^
m )  x.  A
)  <  ( ( X `  m )  x.  ( F `  (
m  +  1 ) ) ) )
148513ad2ant3 1011 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  A  e.  CC )
149148, 69expp1d 12009 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( A ^ (
m  +  1 ) )  =  ( ( A ^ m )  x.  A ) )
15053fveq1i 5692 . . . . . . 7  |-  ( X `
 ( m  + 
1 ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( m  + 
1 ) )
151150a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( X `  (
m  +  1 ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) )
152643ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  m  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
153 seqp1 11821 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  m )  x.  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )
154152, 153syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( m  +  1
) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 m )  x.  ( F `  (
m  +  1 ) ) ) )
15571a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( X `  m
)  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  m
) )
156155eqcomd 2448 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  m )  =  ( X `  m ) )
157156oveq1d 6106 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  m )  x.  ( F `  (
m  +  1 ) ) )  =  ( ( X `  m
)  x.  ( F `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
158151, 154, 1573eqtrd 2479 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( X `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( X `  m )  x.  ( F `  ( m  +  1
) ) ) )
159147, 149, 1583brtr4d 4322 . . . 4  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( A ^ (
m  +  1 ) )  <  ( X `
 ( m  + 
1 ) ) )
1601593exp 1186 . . 3  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  ( ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  ->  ( ph  ->  ( A ^ (
m  +  1 ) )  <  ( X `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
1619, 13, 17, 21, 61, 160fzind2 11637 . 2  |-  ( M  e.  ( 1 ... M )  ->  ( ph  ->  ( A ^ M )  <  ( X `  M )
) )
1625, 161mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ M
)  <  ( X `  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   F/wnf 1589    e. wcel 1756   F/_wnfc 2566   class class class wbr 4292   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287    < clt 9418    <_ cle 9419   NNcn 10322   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   RR+crp 10991   ...cfz 11437  ..^cfzo 11548    seqcseq 11806   ^cexp 11865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-exp 11866
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