Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem29 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem29 31345
 Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the inf of the range of the function belongs to the range, it is real and it a lower bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem29.1
stoweidlem29.2
stoweidlem29.3
stoweidlem29.4
stoweidlem29.5
stoweidlem29.6
stoweidlem29.7
Assertion
Ref Expression
stoweidlem29
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem stoweidlem29
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem29.4 . . . . . 6
2 stoweidlem29.3 . . . . . 6
3 eqid 2467 . . . . . 6
4 stoweidlem29.6 . . . . . 6
51, 2, 3, 4fcnre 30994 . . . . 5
6 df-f 5591 . . . . 5
75, 6sylib 196 . . . 4
87simprd 463 . . 3
97simpld 459 . . . . . . . . 9
10 fnfun 5677 . . . . . . . . 9
119, 10syl 16 . . . . . . . 8
1211adantr 465 . . . . . . 7
13 fdm 5734 . . . . . . . . . . 11
145, 13syl 16 . . . . . . . . . 10
1514eqcomd 2475 . . . . . . . . 9
1615eleq2d 2537 . . . . . . . 8
1716biimpa 484 . . . . . . 7
18 fvelrn 6016 . . . . . . 7
1912, 17, 18syl2anc 661 . . . . . 6
20 stoweidlem29.1 . . . . . . . . . 10
21 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10
2220, 21nffv 5872 . . . . . . . . 9
2322nfeq2 2646 . . . . . . . 8
24 breq1 4450 . . . . . . . 8
2523, 24ralbid 2898 . . . . . . 7
2625rspcev 3214 . . . . . 6
2719, 26sylan 471 . . . . 5
28 nfcv 2629 . . . . . 6
29 nfcv 2629 . . . . . 6
30 nfcv 2629 . . . . . 6
31 stoweidlem29.5 . . . . . 6
32 stoweidlem29.7 . . . . . 6
3328, 20, 29, 30, 2, 1, 31, 4, 32evth2f 30984 . . . . 5
3427, 33r19.29a 3003 . . . 4
35 nfv 1683 . . . . . . 7
36 simpr 461 . . . . . . . . . 10
379ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
38 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . 12
3930, 38, 20fvelrnbf 30987 . . . . . . . . . . 11
4037, 39syl 16 . . . . . . . . . 10
4136, 40mpbid 210 . . . . . . . . 9
42 stoweidlem29.2 . . . . . . . . . . . 12
43 nfra1 2845 . . . . . . . . . . . 12
4442, 43nfan 1875 . . . . . . . . . . 11
4520nfrn 5244 . . . . . . . . . . . 12
4645nfcri 2622 . . . . . . . . . . 11
4744, 46nfan 1875 . . . . . . . . . 10
48 nfv 1683 . . . . . . . . . 10
49 rsp 2830 . . . . . . . . . . . . . 14
5049imp 429 . . . . . . . . . . . . 13
51 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . 13
5250, 51syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . 12
5352ex 434 . . . . . . . . . . 11
5453ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10
5547, 48, 54rexlimd 2947 . . . . . . . . 9
5641, 55mpd 15 . . . . . . . 8
5756ex 434 . . . . . . 7
5835, 57ralrimi 2864 . . . . . 6
5958ex 434 . . . . 5
6059reximdv 2937 . . . 4
6134, 60mpd 15 . . 3
62 lbinfmcl 10496 . . 3
638, 61, 62syl2anc 661 . 2
648, 63sseldd 3505 . 2
658adantr 465 . . . . 5
6661adantr 465 . . . . 5
67 dffn3 5737 . . . . . . 7
689, 67sylib 196 . . . . . 6
6968fnvinran 30983 . . . . 5
70 lbinfmle 10497 . . . . 5
7165, 66, 69, 70syl3anc 1228 . . . 4
7271ex 434 . . 3
7342, 72ralrimi 2864 . 2
7463, 64, 733jca 1176 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379  wnf 1599   wcel 1767  wnfc 2615   wne 2662  wral 2814  wrex 2815   wss 3476  c0 3785  cuni 4245   class class class wbr 4447  ccnv 4998   cdm 4999   crn 5000   wfun 5581   wfn 5582  wf 5583  cfv 5587  (class class class)co 6283  csup 7899  cr 9490   clt 9627   cle 9628  cioo 11528  ctg 14692   ccn 19507  ccmp 19668 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569  ax-mulf 9571 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-fi 7870  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-ioo 11532  df-icc 11535  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-exp 12134  df-hash 12373  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-starv 14569  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-unif 14577  df-hom 14578  df-cco 14579  df-rest 14677  df-topn 14678  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-topgen 14698  df-pt 14699  df-prds 14702  df-xrs 14756  df-qtop 14761  df-imas 14762  df-xps 14764  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-mulg 15867  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-cnfld 18208  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-topsp 19186  df-cn 19510  df-cnp 19511  df-cmp 19669  df-tx 19814  df-hmeo 20007  df-xms 20574  df-ms 20575  df-tms 20576 This theorem is referenced by:  stoweidlem62  31378
 Copyright terms: Public domain W3C validator