Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem29 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stoweidlem29 37889
 Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the inf of the range of the function belongs to the range, it is real and it a lower bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem29.1
stoweidlem29.2
stoweidlem29.3
stoweidlem29.4
stoweidlem29.5
stoweidlem29.6
stoweidlem29.7
Assertion
Ref Expression
stoweidlem29 inf inf inf
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem stoweidlem29
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem29.4 . . . . . 6
2 stoweidlem29.3 . . . . . 6
3 eqid 2451 . . . . . 6
4 stoweidlem29.6 . . . . . 6
51, 2, 3, 4fcnre 37346 . . . . 5
6 df-f 5586 . . . . 5
75, 6sylib 200 . . . 4
87simprd 465 . . 3
97simpld 461 . . . . . . . . 9
10 fnfun 5673 . . . . . . . . 9
119, 10syl 17 . . . . . . . 8
1211adantr 467 . . . . . . 7
13 fdm 5733 . . . . . . . . . . 11
145, 13syl 17 . . . . . . . . . 10
1514eqcomd 2457 . . . . . . . . 9
1615eleq2d 2514 . . . . . . . 8
1716biimpa 487 . . . . . . 7
18 fvelrn 6015 . . . . . . 7
1912, 17, 18syl2anc 667 . . . . . 6
20 stoweidlem29.1 . . . . . . . . . 10
21 nfcv 2592 . . . . . . . . . 10
2220, 21nffv 5872 . . . . . . . . 9
2322nfeq2 2607 . . . . . . . 8
24 breq1 4405 . . . . . . . 8
2523, 24ralbid 2822 . . . . . . 7
2625rspcev 3150 . . . . . 6
2719, 26sylan 474 . . . . 5
28 nfcv 2592 . . . . . 6
29 nfcv 2592 . . . . . 6
30 nfcv 2592 . . . . . 6
31 stoweidlem29.5 . . . . . 6
32 stoweidlem29.7 . . . . . 6
3328, 20, 29, 30, 2, 1, 31, 4, 32evth2f 37336 . . . . 5
3427, 33r19.29a 2932 . . . 4
35 nfv 1761 . . . . . . 7
36 simpr 463 . . . . . . . . . 10
379ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11
38 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . 12
3930, 38, 20fvelrnbf 37339 . . . . . . . . . . 11
4037, 39syl 17 . . . . . . . . . 10
4136, 40mpbid 214 . . . . . . . . 9
42 stoweidlem29.2 . . . . . . . . . . . 12
43 nfra1 2769 . . . . . . . . . . . 12
4442, 43nfan 2011 . . . . . . . . . . 11
4520nfrn 5077 . . . . . . . . . . . 12
4645nfcri 2586 . . . . . . . . . . 11
4744, 46nfan 2011 . . . . . . . . . 10
48 nfv 1761 . . . . . . . . . 10
49 rspa 2755 . . . . . . . . . . . . 13
50 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . 13
5149, 50syl5ibcom 224 . . . . . . . . . . . 12
5251ex 436 . . . . . . . . . . 11
5352ad2antlr 733 . . . . . . . . . 10
5447, 48, 53rexlimd 2871 . . . . . . . . 9
5541, 54mpd 15 . . . . . . . 8
5655ex 436 . . . . . . 7
5735, 56ralrimi 2788 . . . . . 6
5857ex 436 . . . . 5
5958reximdv 2861 . . . 4
6034, 59mpd 15 . . 3
61 lbinfcl 10561 . . 3 inf
628, 60, 61syl2anc 667 . 2 inf
638, 62sseldd 3433 . 2 inf
648adantr 467 . . . . 5
6560adantr 467 . . . . 5
66 dffn3 5736 . . . . . . 7
679, 66sylib 200 . . . . . 6
6867fnvinran 37335 . . . . 5
69 lbinfle 10563 . . . . 5 inf
7064, 65, 68, 69syl3anc 1268 . . . 4 inf
7170ex 436 . . 3 inf
7242, 71ralrimi 2788 . 2 inf
7362, 63, 723jca 1188 1 inf inf inf
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444  wnf 1667   wcel 1887  wnfc 2579   wne 2622  wral 2737  wrex 2738   wss 3404  c0 3731  cuni 4198   class class class wbr 4402   cdm 4834   crn 4835   wfun 5576   wfn 5577  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  infcinf 7955  cr 9538   clt 9675   cle 9676  cioo 11635  ctg 15336   ccn 20240  ccmp 20401 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-mulf 9619 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337 This theorem is referenced by:  stoweidlem62  37923
 Copyright terms: Public domain W3C validator