Theorem stoweidlem29 37448

Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the inf of the range of the function belongs to the range, it is real and it a lower bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem29.1	|- F/_ t F
stoweidlem29.2	|- F/ t ph
stoweidlem29.3	|- T = U. J
stoweidlem29.4	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem29.5	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem29.6	|- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
stoweidlem29.7	|- ( ph -> T =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem29	|- ( ph -> (inf ( ran F , RR , < ) e. ran F /\ inf ( ran F , RR , < ) e. RR /\ A. t e. T inf ( ran F , RR , < ) <_ ( F ` t ) ) )

Distinct variable groups:   t, T   t, J   t, K

Allowed substitution hints:   ph( t)   F( t)

Proof of Theorem stoweidlem29

Dummy variables s x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem29.4	. . . . . 6 |- K = ( topGen ` ran (,) )
2		stoweidlem29.3	. . . . . 6 |- T = U. J
3		eqid 2429	. . . . . 6 |- ( J Cn K ) = ( J Cn K )
4		stoweidlem29.6	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
5	1, 2, 3, 4	fcnre 36976	. . . . 5 |- ( ph -> F : T --> RR )
6		df-f 5605	. . . . 5 |- ( F : T --> RR <-> ( F Fn T /\ ran F C_ RR ) )
7	5, 6	sylib 199	. . . 4 |- ( ph -> ( F Fn T /\ ran F C_ RR ) )
8	7	simprd 464	. . 3 |- ( ph -> ran F C_ RR )
9	7	simpld 460	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F Fn T )
10		fnfun 5691	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn T -> Fun F )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Fun F )
12	11	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. T ) -> Fun F )
13		fdm 5750	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : T --> RR -> dom F = T )
14	5, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom F = T )
15	14	eqcomd 2437	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T = dom F )
16	15	eleq2d 2499	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. T <-> s e. dom F ) )
17	16	biimpa 486	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. T ) -> s e. dom F )
18		fvelrn 6030	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ s e. dom F ) -> ( F ` s ) e. ran F )
19	12, 17, 18	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. T ) -> ( F ` s ) e. ran F )
20		stoweidlem29.1	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t F
21		nfcv 2591	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t s
22	20, 21	nffv 5888	. . . . . . . . 9 |- F/_ t ( F ` s )
23	22	nfeq2 2608	. . . . . . . 8 |- F/ t x = ( F ` s )
24		breq1 4429	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` s ) -> ( x <_ ( F ` t ) <-> ( F ` s ) <_ ( F ` t ) ) )
25	23, 24	ralbid 2866	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` s ) -> ( A. t e. T x <_ ( F ` t ) <-> A. t e. T ( F ` s ) <_ ( F ` t ) ) )
26	25	rspcev 3188	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` s ) e. ran F /\ A. t e. T ( F ` s ) <_ ( F ` t ) ) -> E. x e. ran F A. t e. T x <_ ( F ` t ) )
27	19, 26	sylan 473	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. T ) /\ A. t e. T ( F ` s ) <_ ( F ` t ) ) -> E. x e. ran F A. t e. T x <_ ( F ` t ) )
28		nfcv 2591	. . . . . 6 |- F/_ s F
29		nfcv 2591	. . . . . 6 |- F/_ s T
30		nfcv 2591	. . . . . 6 |- F/_ t T
31		stoweidlem29.5	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. Comp )
32		stoweidlem29.7	. . . . . 6 |- ( ph -> T =/= (/) )
33	28, 20, 29, 30, 2, 1, 31, 4, 32	evth2f 36966	. . . . 5 |- ( ph -> E. s e. T A. t e. T ( F ` s ) <_ ( F ` t ) )
34	27, 33	r19.29a 2977	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. ran F A. t e. T x <_ ( F ` t ) )
35		nfv 1754	. . . . . . 7 |- F/ y ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) )
36		simpr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> y e. ran F )
37	9	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> F Fn T )
38		nfcv 2591	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ t y
39	30, 38, 20	fvelrnbf 36969	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn T -> ( y e. ran F <-> E. t e. T ( F ` t ) = y ) )
40	37, 39	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> ( y e. ran F <-> E. t e. T ( F ` t ) = y ) )
41	36, 40	mpbid 213	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> E. t e. T ( F ` t ) = y )
42		stoweidlem29.2	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ t ph
43		nfra1 2813	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ t A. t e. T x <_ ( F ` t )
44	42, 43	nfan 1986	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) )
45	20	nfrn 5097	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ t ran F
46	45	nfcri 2584	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t y e. ran F
47	44, 46	nfan 1986	. . . . . . . . . 10 |- F/ t ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F )
48		nfv 1754	. . . . . . . . . 10 |- F/ t x <_ y
49		rspa 2799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. t e. T x <_ ( F ` t ) /\ t e. T ) -> x <_ ( F ` t ) )
50		breq2 4430	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` t ) = y -> ( x <_ ( F ` t ) <-> x <_ y ) )
51	49, 50	syl5ibcom 223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. t e. T x <_ ( F ` t ) /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) = y -> x <_ y ) )
52	51	ex 435	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. t e. T x <_ ( F ` t ) -> ( t e. T -> ( ( F ` t ) = y -> x <_ y ) ) )
53	52	ad2antlr 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> ( t e. T -> ( ( F ` t ) = y -> x <_ y ) ) )
54	47, 48, 53	rexlimd 2916	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> ( E. t e. T ( F ` t ) = y -> x <_ y ) )
55	41, 54	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> x <_ y )
56	55	ex 435	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) -> ( y e. ran F -> x <_ y ) )
57	35, 56	ralrimi 2832	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) -> A. y e. ran F x <_ y )
58	57	ex 435	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. t e. T x <_ ( F ` t ) -> A. y e. ran F x <_ y ) )
59	58	reximdv 2906	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. ran F A. t e. T x <_ ( F ` t ) -> E. x e. ran F A. y e. ran F x <_ y ) )
60	34, 59	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> E. x e. ran F A. y e. ran F x <_ y )
61		lbinfcl 10561	. . 3 |- ( ( ran F C_ RR /\ E. x e. ran F A. y e. ran F x <_ y ) -> inf ( ran F , RR , < ) e. ran F )
62	8, 60, 61	syl2anc 665	. 2 |- ( ph -> inf ( ran F , RR , < ) e. ran F )
63	8, 62	sseldd 3471	. 2 |- ( ph -> inf ( ran F , RR , < ) e. RR )
64	8	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ran F C_ RR )
65	60	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> E. x e. ran F A. y e. ran F x <_ y )
66		dffn3 5753	. . . . . . 7 |- ( F Fn T <-> F : T --> ran F )
67	9, 66	sylib 199	. . . . . 6 |- ( ph -> F : T --> ran F )
68	67	fnvinran 36965	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) e. ran F )
69		lbinfle 10563	. . . . 5 |- ( ( ran F C_ RR /\ E. x e. ran F A. y e. ran F x <_ y /\ ( F ` t ) e. ran F ) -> inf ( ran F , RR , < ) <_ ( F ` t ) )
70	64, 65, 68, 69	syl3anc 1264	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> inf ( ran F , RR , < ) <_ ( F ` t ) )
71	70	ex 435	. . 3 |- ( ph -> ( t e. T -> inf ( ran F , RR , < ) <_ ( F ` t ) ) )
72	42, 71	ralrimi 2832	. 2 |- ( ph -> A. t e. T inf ( ran F , RR , < ) <_ ( F ` t ) )
73	62, 63, 72	3jca 1185	1 |- ( ph -> (inf ( ran F , RR , < ) e. ran F /\ inf ( ran F , RR , < ) e. RR /\ A. t e. T inf ( ran F , RR , < ) <_ ( F ` t ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   F/wnf 1663   e. wcel 1870   F/_wnfc 2577   =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   C_ wss 3442   (/)c0 3767   U.cuni 4222   class class class wbr 4426   dom cdm 4854   ran crn 4855   Fun wfun 5595   Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305  infcinf 7961   RRcr 9537   < clt 9674   <_ cle 9675   (,)cioo 11635   topGenctg 15286   Cn ccn 20162   Compccmp 20323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-mulf 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-struct 15077  df-ndx 15078  df-slot 15079  df-base 15080  df-sets 15081  df-ress 15082  df-plusg 15156  df-mulr 15157  df-starv 15158  df-sca 15159  df-vsca 15160  df-ip 15161  df-tset 15162  df-ple 15163  df-ds 15165  df-unif 15166  df-hom 15167  df-cco 15168  df-rest 15271  df-topn 15272  df-0g 15290  df-gsum 15291  df-topgen 15292  df-pt 15293  df-prds 15296  df-xrs 15350  df-qtop 15355  df-imas 15356  df-xps 15358  df-mre 15434  df-mrc 15435  df-acs 15437  df-mgm 16430  df-sgrp 16469  df-mnd 16479  df-submnd 16525  df-mulg 16618  df-cntz 16913  df-cmn 17358  df-psmet 18888  df-xmet 18889  df-met 18890  df-bl 18891  df-mopn 18892  df-cnfld 18897  df-top 19843  df-bases 19844  df-topon 19845  df-topsp 19846  df-cn 20165  df-cnp 20166  df-cmp 20324  df-tx 20499  df-hmeo 20692  df-xms 21257  df-ms 21258  df-tms 21259

This theorem is referenced by:  stoweidlem62  37482