Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem29 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem29 31977
Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the inf of the range of the function belongs to the range, it is real and it a lower bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem29.1  |-  F/_ t F
stoweidlem29.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem29.3  |-  T  = 
U. J
stoweidlem29.4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem29.5  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem29.6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem29.7  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem29  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  )  e.  ran  F  /\  sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) ) )
Distinct variable groups:    t, T    t, J    t, K
Allowed substitution hints:    ph( t)    F( t)

Proof of Theorem stoweidlem29
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem29.4 . . . . . 6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
2 stoweidlem29.3 . . . . . 6  |-  T  = 
U. J
3 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
4 stoweidlem29.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
51, 2, 3, 4fcnre 31567 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
6 df-f 5500 . . . . 5  |-  ( F : T --> RR  <->  ( F  Fn  T  /\  ran  F  C_  RR ) )
75, 6sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  Fn  T  /\  ran  F  C_  RR ) )
87simprd 461 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  RR )
97simpld 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  Fn  T )
10 fnfun 5586 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  T  ->  Fun  F )
119, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Fun  F )
1211adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  T )  ->  Fun  F )
13 fdm 5643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : T --> RR  ->  dom 
F  =  T )
145, 13syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  F  =  T )
1514eqcomd 2390 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  =  dom  F
)
1615eleq2d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  T  <->  s  e.  dom  F ) )
1716biimpa 482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  T )  ->  s  e.  dom  F )
18 fvelrn 5926 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  s  e.  dom  F )  -> 
( F `  s
)  e.  ran  F
)
1912, 17, 18syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  T )  ->  ( F `  s )  e.  ran  F )
20 stoweidlem29.1 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t F
21 nfcv 2544 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
s
2220, 21nffv 5781 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( F `  s
)
2322nfeq2 2561 . . . . . . . 8  |-  F/ t  x  =  ( F `
 s )
24 breq1 4370 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  s )  ->  (
x  <_  ( F `  t )  <->  ( F `  s )  <_  ( F `  t )
) )
2523, 24ralbid 2816 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  s )  ->  ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )  <->  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t )
) )
2625rspcev 3135 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  ran  F  /\  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t ) )  ->  E. x  e.  ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )
2719, 26sylan 469 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  T )  /\  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t
) )  ->  E. x  e.  ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )
28 nfcv 2544 . . . . . 6  |-  F/_ s F
29 nfcv 2544 . . . . . 6  |-  F/_ s T
30 nfcv 2544 . . . . . 6  |-  F/_ t T
31 stoweidlem29.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
32 stoweidlem29.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
3328, 20, 29, 30, 2, 1, 31, 4, 32evth2f 31557 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. s  e.  T  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t ) )
3427, 33r19.29a 2924 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )
35 nfv 1715 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )
36 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
y  e.  ran  F
)
379ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  ->  F  Fn  T )
38 nfcv 2544 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t
y
3930, 38, 20fvelrnbf 31560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  T  ->  (
y  e.  ran  F  <->  E. t  e.  T  ( F `  t )  =  y ) )
4037, 39syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
( y  e.  ran  F  <->  E. t  e.  T  ( F `  t )  =  y ) )
4136, 40mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  ->  E. t  e.  T  ( F `  t )  =  y )
42 stoweidlem29.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t
ph
43 nfra1 2763 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )
4442, 43nfan 1936 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )
4520nfrn 5158 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t ran  F
4645nfcri 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t  y  e.  ran  F
4744, 46nfan 1936 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )  /\  y  e.  ran  F )
48 nfv 1715 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t  x  <_  y
49 rspa 2749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )  /\  t  e.  T )  ->  x  <_  ( F `  t
) )
50 breq2 4371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  t )  =  y  ->  (
x  <_  ( F `  t )  <->  x  <_  y ) )
5149, 50syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  =  y  ->  x  <_  y ) )
5251ex 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
)  ->  ( t  e.  T  ->  ( ( F `  t )  =  y  ->  x  <_  y ) ) )
5352ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
( t  e.  T  ->  ( ( F `  t )  =  y  ->  x  <_  y
) ) )
5447, 48, 53rexlimd 2866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
( E. t  e.  T  ( F `  t )  =  y  ->  x  <_  y
) )
5541, 54mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  ->  x  <_  y )
5655ex 432 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )  ->  ( y  e.  ran  F  ->  x  <_  y ) )
5735, 56ralrimi 2782 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )  ->  A. y  e.  ran  F  x  <_ 
y )
5857ex 432 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )  ->  A. y  e.  ran  F  x  <_  y )
)
5958reximdv 2856 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e. 
ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )  ->  E. x  e.  ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_  y )
)
6034, 59mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_  y )
61 lbinfmcl 10413 . . 3  |-  ( ( ran  F  C_  RR  /\ 
E. x  e.  ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_  y )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  e.  ran  F )
628, 60, 61syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  e.  ran  F )
638, 62sseldd 3418 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
648adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ran  F 
C_  RR )
6560adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E. x  e.  ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_ 
y )
66 dffn3 5646 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  T  <->  F : T
--> ran  F )
679, 66sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : T --> ran  F
)
6867fnvinran 31556 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  ran  F )
69 lbinfmle 10414 . . . . 5  |-  ( ( ran  F  C_  RR  /\ 
E. x  e.  ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_  y  /\  ( F `  t )  e.  ran  F )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) )
7064, 65, 68, 69syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( F `  t
) )
7170ex 432 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) ) )
7242, 71ralrimi 2782 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) )
7362, 63, 723jca 1174 1  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  )  e.  ran  F  /\  sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399   F/wnf 1624    e. wcel 1826   F/_wnfc 2530    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733    C_ wss 3389   (/)c0 3711   U.cuni 4163   class class class wbr 4367   `'ccnv 4912   dom cdm 4913   ran crn 4914   Fun wfun 5490    Fn wfn 5491   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   supcsup 7815   RRcr 9402    < clt 9539    <_ cle 9540   (,)cioo 11450   topGenctg 14845    Cn ccn 19811   Compccmp 19972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-cmp 19973  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  32010
  Copyright terms: Public domain W3C validator