Theorem stoweidlem29 31977

Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the inf of the range of the function belongs to the range, it is real and it a lower bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem29.1	|- F/_ t F
stoweidlem29.2	|- F/ t ph
stoweidlem29.3	|- T = U. J
stoweidlem29.4	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem29.5	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem29.6	|- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
stoweidlem29.7	|- ( ph -> T =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem29	|- ( ph -> ( sup ( ran F , RR , `' < ) e. ran F /\ sup ( ran F , RR , `' < ) e. RR /\ A. t e. T sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) ) )

Distinct variable groups:   t, T   t, J   t, K

Allowed substitution hints:   ph( t)   F( t)

Proof of Theorem stoweidlem29

Dummy variables s x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem29.4	. . . . . 6 |- K = ( topGen ` ran (,) )
2		stoweidlem29.3	. . . . . 6 |- T = U. J
3		eqid 2382	. . . . . 6 |- ( J Cn K ) = ( J Cn K )
4		stoweidlem29.6	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
5	1, 2, 3, 4	fcnre 31567	. . . . 5 |- ( ph -> F : T --> RR )
6		df-f 5500	. . . . 5 |- ( F : T --> RR <-> ( F Fn T /\ ran F C_ RR ) )
7	5, 6	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> ( F Fn T /\ ran F C_ RR ) )
8	7	simprd 461	. . 3 |- ( ph -> ran F C_ RR )
9	7	simpld 457	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F Fn T )
10		fnfun 5586	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn T -> Fun F )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Fun F )
12	11	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. T ) -> Fun F )
13		fdm 5643	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : T --> RR -> dom F = T )
14	5, 13	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom F = T )
15	14	eqcomd 2390	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T = dom F )
16	15	eleq2d 2452	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. T <-> s e. dom F ) )
17	16	biimpa 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. T ) -> s e. dom F )
18		fvelrn 5926	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ s e. dom F ) -> ( F ` s ) e. ran F )
19	12, 17, 18	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. T ) -> ( F ` s ) e. ran F )
20		stoweidlem29.1	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t F
21		nfcv 2544	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t s
22	20, 21	nffv 5781	. . . . . . . . 9 |- F/_ t ( F ` s )
23	22	nfeq2 2561	. . . . . . . 8 |- F/ t x = ( F ` s )
24		breq1 4370	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` s ) -> ( x <_ ( F ` t ) <-> ( F ` s ) <_ ( F ` t ) ) )
25	23, 24	ralbid 2816	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` s ) -> ( A. t e. T x <_ ( F ` t ) <-> A. t e. T ( F ` s ) <_ ( F ` t ) ) )
26	25	rspcev 3135	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` s ) e. ran F /\ A. t e. T ( F ` s ) <_ ( F ` t ) ) -> E. x e. ran F A. t e. T x <_ ( F ` t ) )
27	19, 26	sylan 469	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. T ) /\ A. t e. T ( F ` s ) <_ ( F ` t ) ) -> E. x e. ran F A. t e. T x <_ ( F ` t ) )
28		nfcv 2544	. . . . . 6 |- F/_ s F
29		nfcv 2544	. . . . . 6 |- F/_ s T
30		nfcv 2544	. . . . . 6 |- F/_ t T
31		stoweidlem29.5	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. Comp )
32		stoweidlem29.7	. . . . . 6 |- ( ph -> T =/= (/) )
33	28, 20, 29, 30, 2, 1, 31, 4, 32	evth2f 31557	. . . . 5 |- ( ph -> E. s e. T A. t e. T ( F ` s ) <_ ( F ` t ) )
34	27, 33	r19.29a 2924	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. ran F A. t e. T x <_ ( F ` t ) )
35		nfv 1715	. . . . . . 7 |- F/ y ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) )
36		simpr 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> y e. ran F )
37	9	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> F Fn T )
38		nfcv 2544	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ t y
39	30, 38, 20	fvelrnbf 31560	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn T -> ( y e. ran F <-> E. t e. T ( F ` t ) = y ) )
40	37, 39	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> ( y e. ran F <-> E. t e. T ( F ` t ) = y ) )
41	36, 40	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> E. t e. T ( F ` t ) = y )
42		stoweidlem29.2	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ t ph
43		nfra1 2763	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ t A. t e. T x <_ ( F ` t )
44	42, 43	nfan 1936	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) )
45	20	nfrn 5158	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ t ran F
46	45	nfcri 2537	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t y e. ran F
47	44, 46	nfan 1936	. . . . . . . . . 10 |- F/ t ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F )
48		nfv 1715	. . . . . . . . . 10 |- F/ t x <_ y
49		rspa 2749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. t e. T x <_ ( F ` t ) /\ t e. T ) -> x <_ ( F ` t ) )
50		breq2 4371	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` t ) = y -> ( x <_ ( F ` t ) <-> x <_ y ) )
51	49, 50	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. t e. T x <_ ( F ` t ) /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) = y -> x <_ y ) )
52	51	ex 432	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. t e. T x <_ ( F ` t ) -> ( t e. T -> ( ( F ` t ) = y -> x <_ y ) ) )
53	52	ad2antlr 724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> ( t e. T -> ( ( F ` t ) = y -> x <_ y ) ) )
54	47, 48, 53	rexlimd 2866	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> ( E. t e. T ( F ` t ) = y -> x <_ y ) )
55	41, 54	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> x <_ y )
56	55	ex 432	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) -> ( y e. ran F -> x <_ y ) )
57	35, 56	ralrimi 2782	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) -> A. y e. ran F x <_ y )
58	57	ex 432	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. t e. T x <_ ( F ` t ) -> A. y e. ran F x <_ y ) )
59	58	reximdv 2856	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. ran F A. t e. T x <_ ( F ` t ) -> E. x e. ran F A. y e. ran F x <_ y ) )
60	34, 59	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> E. x e. ran F A. y e. ran F x <_ y )
61		lbinfmcl 10413	. . 3 |- ( ( ran F C_ RR /\ E. x e. ran F A. y e. ran F x <_ y ) -> sup ( ran F , RR , `' < ) e. ran F )
62	8, 60, 61	syl2anc 659	. 2 |- ( ph -> sup ( ran F , RR , `' < ) e. ran F )
63	8, 62	sseldd 3418	. 2 |- ( ph -> sup ( ran F , RR , `' < ) e. RR )
64	8	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ran F C_ RR )
65	60	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> E. x e. ran F A. y e. ran F x <_ y )
66		dffn3 5646	. . . . . . 7 |- ( F Fn T <-> F : T --> ran F )
67	9, 66	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ph -> F : T --> ran F )
68	67	fnvinran 31556	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) e. ran F )
69		lbinfmle 10414	. . . . 5 |- ( ( ran F C_ RR /\ E. x e. ran F A. y e. ran F x <_ y /\ ( F ` t ) e. ran F ) -> sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) )
70	64, 65, 68, 69	syl3anc 1226	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) )
71	70	ex 432	. . 3 |- ( ph -> ( t e. T -> sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) ) )
72	42, 71	ralrimi 2782	. 2 |- ( ph -> A. t e. T sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) )
73	62, 63, 72	3jca 1174	1 |- ( ph -> ( sup ( ran F , RR , `' < ) e. ran F /\ sup ( ran F , RR , `' < ) e. RR /\ A. t e. T sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1399   F/wnf 1624   e. wcel 1826   F/_wnfc 2530   =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   C_ wss 3389   (/)c0 3711   U.cuni 4163   class class class wbr 4367   `'ccnv 4912   dom cdm 4913   ran crn 4914   Fun wfun 5490   Fn wfn 5491   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   supcsup 7815   RRcr 9402   < clt 9539   <_ cle 9540   (,)cioo 11450   topGenctg 14845   Cn ccn 19811   Compccmp 19972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-mulf 9483

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-cmp 19973  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910

This theorem is referenced by:  stoweidlem62  32010