Theorem stoweidlem29 37889

Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the inf of the range of the function belongs to the range, it is real and it a lower bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem29.1	|- F/_ t F
stoweidlem29.2	|- F/ t ph
stoweidlem29.3	|- T = U. J
stoweidlem29.4	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem29.5	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem29.6	|- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
stoweidlem29.7	|- ( ph -> T =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem29	|- ( ph -> (inf ( ran F , RR , < ) e. ran F /\ inf ( ran F , RR , < ) e. RR /\ A. t e. T inf ( ran F , RR , < ) <_ ( F ` t ) ) )

Distinct variable groups:   t, T   t, J   t, K

Allowed substitution hints:   ph( t)   F( t)

Proof of Theorem stoweidlem29

Dummy variables s x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem29.4	. . . . . 6 |- K = ( topGen ` ran (,) )
2		stoweidlem29.3	. . . . . 6 |- T = U. J
3		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( J Cn K ) = ( J Cn K )
4		stoweidlem29.6	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
5	1, 2, 3, 4	fcnre 37346	. . . . 5 |- ( ph -> F : T --> RR )
6		df-f 5586	. . . . 5 |- ( F : T --> RR <-> ( F Fn T /\ ran F C_ RR ) )
7	5, 6	sylib 200	. . . 4 |- ( ph -> ( F Fn T /\ ran F C_ RR ) )
8	7	simprd 465	. . 3 |- ( ph -> ran F C_ RR )
9	7	simpld 461	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F Fn T )
10		fnfun 5673	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn T -> Fun F )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Fun F )
12	11	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. T ) -> Fun F )
13		fdm 5733	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : T --> RR -> dom F = T )
14	5, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom F = T )
15	14	eqcomd 2457	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T = dom F )
16	15	eleq2d 2514	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. T <-> s e. dom F ) )
17	16	biimpa 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. T ) -> s e. dom F )
18		fvelrn 6015	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ s e. dom F ) -> ( F ` s ) e. ran F )
19	12, 17, 18	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. T ) -> ( F ` s ) e. ran F )
20		stoweidlem29.1	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t F
21		nfcv 2592	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t s
22	20, 21	nffv 5872	. . . . . . . . 9 |- F/_ t ( F ` s )
23	22	nfeq2 2607	. . . . . . . 8 |- F/ t x = ( F ` s )
24		breq1 4405	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` s ) -> ( x <_ ( F ` t ) <-> ( F ` s ) <_ ( F ` t ) ) )
25	23, 24	ralbid 2822	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` s ) -> ( A. t e. T x <_ ( F ` t ) <-> A. t e. T ( F ` s ) <_ ( F ` t ) ) )
26	25	rspcev 3150	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` s ) e. ran F /\ A. t e. T ( F ` s ) <_ ( F ` t ) ) -> E. x e. ran F A. t e. T x <_ ( F ` t ) )
27	19, 26	sylan 474	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. T ) /\ A. t e. T ( F ` s ) <_ ( F ` t ) ) -> E. x e. ran F A. t e. T x <_ ( F ` t ) )
28		nfcv 2592	. . . . . 6 |- F/_ s F
29		nfcv 2592	. . . . . 6 |- F/_ s T
30		nfcv 2592	. . . . . 6 |- F/_ t T
31		stoweidlem29.5	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. Comp )
32		stoweidlem29.7	. . . . . 6 |- ( ph -> T =/= (/) )
33	28, 20, 29, 30, 2, 1, 31, 4, 32	evth2f 37336	. . . . 5 |- ( ph -> E. s e. T A. t e. T ( F ` s ) <_ ( F ` t ) )
34	27, 33	r19.29a 2932	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. ran F A. t e. T x <_ ( F ` t ) )
35		nfv 1761	. . . . . . 7 |- F/ y ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) )
36		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> y e. ran F )
37	9	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> F Fn T )
38		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ t y
39	30, 38, 20	fvelrnbf 37339	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn T -> ( y e. ran F <-> E. t e. T ( F ` t ) = y ) )
40	37, 39	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> ( y e. ran F <-> E. t e. T ( F ` t ) = y ) )
41	36, 40	mpbid 214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> E. t e. T ( F ` t ) = y )
42		stoweidlem29.2	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ t ph
43		nfra1 2769	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ t A. t e. T x <_ ( F ` t )
44	42, 43	nfan 2011	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) )
45	20	nfrn 5077	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ t ran F
46	45	nfcri 2586	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t y e. ran F
47	44, 46	nfan 2011	. . . . . . . . . 10 |- F/ t ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F )
48		nfv 1761	. . . . . . . . . 10 |- F/ t x <_ y
49		rspa 2755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. t e. T x <_ ( F ` t ) /\ t e. T ) -> x <_ ( F ` t ) )
50		breq2 4406	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` t ) = y -> ( x <_ ( F ` t ) <-> x <_ y ) )
51	49, 50	syl5ibcom 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. t e. T x <_ ( F ` t ) /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) = y -> x <_ y ) )
52	51	ex 436	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. t e. T x <_ ( F ` t ) -> ( t e. T -> ( ( F ` t ) = y -> x <_ y ) ) )
53	52	ad2antlr 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> ( t e. T -> ( ( F ` t ) = y -> x <_ y ) ) )
54	47, 48, 53	rexlimd 2871	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> ( E. t e. T ( F ` t ) = y -> x <_ y ) )
55	41, 54	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> x <_ y )
56	55	ex 436	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) -> ( y e. ran F -> x <_ y ) )
57	35, 56	ralrimi 2788	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) -> A. y e. ran F x <_ y )
58	57	ex 436	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. t e. T x <_ ( F ` t ) -> A. y e. ran F x <_ y ) )
59	58	reximdv 2861	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. ran F A. t e. T x <_ ( F ` t ) -> E. x e. ran F A. y e. ran F x <_ y ) )
60	34, 59	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> E. x e. ran F A. y e. ran F x <_ y )
61		lbinfcl 10561	. . 3 |- ( ( ran F C_ RR /\ E. x e. ran F A. y e. ran F x <_ y ) -> inf ( ran F , RR , < ) e. ran F )
62	8, 60, 61	syl2anc 667	. 2 |- ( ph -> inf ( ran F , RR , < ) e. ran F )
63	8, 62	sseldd 3433	. 2 |- ( ph -> inf ( ran F , RR , < ) e. RR )
64	8	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ran F C_ RR )
65	60	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> E. x e. ran F A. y e. ran F x <_ y )
66		dffn3 5736	. . . . . . 7 |- ( F Fn T <-> F : T --> ran F )
67	9, 66	sylib 200	. . . . . 6 |- ( ph -> F : T --> ran F )
68	67	fnvinran 37335	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) e. ran F )
69		lbinfle 10563	. . . . 5 |- ( ( ran F C_ RR /\ E. x e. ran F A. y e. ran F x <_ y /\ ( F ` t ) e. ran F ) -> inf ( ran F , RR , < ) <_ ( F ` t ) )
70	64, 65, 68, 69	syl3anc 1268	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> inf ( ran F , RR , < ) <_ ( F ` t ) )
71	70	ex 436	. . 3 |- ( ph -> ( t e. T -> inf ( ran F , RR , < ) <_ ( F ` t ) ) )
72	42, 71	ralrimi 2788	. 2 |- ( ph -> A. t e. T inf ( ran F , RR , < ) <_ ( F ` t ) )
73	62, 63, 72	3jca 1188	1 |- ( ph -> (inf ( ran F , RR , < ) e. ran F /\ inf ( ran F , RR , < ) e. RR /\ A. t e. T inf ( ran F , RR , < ) <_ ( F ` t ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   F/wnf 1667   e. wcel 1887   F/_wnfc 2579   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   C_ wss 3404   (/)c0 3731   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   dom cdm 4834   ran crn 4835   Fun wfun 5576   Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290  infcinf 7955   RRcr 9538   < clt 9675   <_ cle 9676   (,)cioo 11635   topGenctg 15336   Cn ccn 20240   Compccmp 20401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337

This theorem is referenced by:  stoweidlem62  37923