Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem29 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem29 37448
Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the inf of the range of the function belongs to the range, it is real and it a lower bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem29.1  |-  F/_ t F
stoweidlem29.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem29.3  |-  T  = 
U. J
stoweidlem29.4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem29.5  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem29.6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem29.7  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem29  |-  ( ph  ->  (inf ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  ran  F  /\ inf ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. t  e.  T inf ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_  ( F `  t ) ) )
Distinct variable groups:    t, T    t, J    t, K
Allowed substitution hints:    ph( t)    F( t)

Proof of Theorem stoweidlem29
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem29.4 . . . . . 6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
2 stoweidlem29.3 . . . . . 6  |-  T  = 
U. J
3 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
4 stoweidlem29.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
51, 2, 3, 4fcnre 36976 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
6 df-f 5605 . . . . 5  |-  ( F : T --> RR  <->  ( F  Fn  T  /\  ran  F  C_  RR ) )
75, 6sylib 199 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  Fn  T  /\  ran  F  C_  RR ) )
87simprd 464 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  RR )
97simpld 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  Fn  T )
10 fnfun 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  T  ->  Fun  F )
119, 10syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Fun  F )
1211adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  T )  ->  Fun  F )
13 fdm 5750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : T --> RR  ->  dom 
F  =  T )
145, 13syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  F  =  T )
1514eqcomd 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  =  dom  F
)
1615eleq2d 2499 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  T  <->  s  e.  dom  F ) )
1716biimpa 486 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  T )  ->  s  e.  dom  F )
18 fvelrn 6030 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  s  e.  dom  F )  -> 
( F `  s
)  e.  ran  F
)
1912, 17, 18syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  T )  ->  ( F `  s )  e.  ran  F )
20 stoweidlem29.1 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t F
21 nfcv 2591 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
s
2220, 21nffv 5888 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( F `  s
)
2322nfeq2 2608 . . . . . . . 8  |-  F/ t  x  =  ( F `
 s )
24 breq1 4429 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  s )  ->  (
x  <_  ( F `  t )  <->  ( F `  s )  <_  ( F `  t )
) )
2523, 24ralbid 2866 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  s )  ->  ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )  <->  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t )
) )
2625rspcev 3188 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  ran  F  /\  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t ) )  ->  E. x  e.  ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )
2719, 26sylan 473 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  T )  /\  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t
) )  ->  E. x  e.  ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )
28 nfcv 2591 . . . . . 6  |-  F/_ s F
29 nfcv 2591 . . . . . 6  |-  F/_ s T
30 nfcv 2591 . . . . . 6  |-  F/_ t T
31 stoweidlem29.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
32 stoweidlem29.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
3328, 20, 29, 30, 2, 1, 31, 4, 32evth2f 36966 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. s  e.  T  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t ) )
3427, 33r19.29a 2977 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )
35 nfv 1754 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )
36 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
y  e.  ran  F
)
379ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  ->  F  Fn  T )
38 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t
y
3930, 38, 20fvelrnbf 36969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  T  ->  (
y  e.  ran  F  <->  E. t  e.  T  ( F `  t )  =  y ) )
4037, 39syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
( y  e.  ran  F  <->  E. t  e.  T  ( F `  t )  =  y ) )
4136, 40mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  ->  E. t  e.  T  ( F `  t )  =  y )
42 stoweidlem29.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t
ph
43 nfra1 2813 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )
4442, 43nfan 1986 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )
4520nfrn 5097 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t ran  F
4645nfcri 2584 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t  y  e.  ran  F
4744, 46nfan 1986 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )  /\  y  e.  ran  F )
48 nfv 1754 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t  x  <_  y
49 rspa 2799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )  /\  t  e.  T )  ->  x  <_  ( F `  t
) )
50 breq2 4430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  t )  =  y  ->  (
x  <_  ( F `  t )  <->  x  <_  y ) )
5149, 50syl5ibcom 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  =  y  ->  x  <_  y ) )
5251ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
)  ->  ( t  e.  T  ->  ( ( F `  t )  =  y  ->  x  <_  y ) ) )
5352ad2antlr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
( t  e.  T  ->  ( ( F `  t )  =  y  ->  x  <_  y
) ) )
5447, 48, 53rexlimd 2916 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
( E. t  e.  T  ( F `  t )  =  y  ->  x  <_  y
) )
5541, 54mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  ->  x  <_  y )
5655ex 435 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )  ->  ( y  e.  ran  F  ->  x  <_  y ) )
5735, 56ralrimi 2832 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )  ->  A. y  e.  ran  F  x  <_ 
y )
5857ex 435 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )  ->  A. y  e.  ran  F  x  <_  y )
)
5958reximdv 2906 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e. 
ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )  ->  E. x  e.  ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_  y )
)
6034, 59mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_  y )
61 lbinfcl 10561 . . 3  |-  ( ( ran  F  C_  RR  /\ 
E. x  e.  ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_  y )  -> inf ( ran  F ,  RR ,  <  )  e. 
ran  F )
628, 60, 61syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  -> inf ( ran  F ,  RR ,  <  )  e. 
ran  F )
638, 62sseldd 3471 . 2  |-  ( ph  -> inf ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR )
648adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ran  F 
C_  RR )
6560adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E. x  e.  ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_ 
y )
66 dffn3 5753 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  T  <->  F : T
--> ran  F )
679, 66sylib 199 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : T --> ran  F
)
6867fnvinran 36965 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  ran  F )
69 lbinfle 10563 . . . . 5  |-  ( ( ran  F  C_  RR  /\ 
E. x  e.  ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_  y  /\  ( F `  t )  e.  ran  F )  -> inf ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_  ( F `  t
) )
7064, 65, 68, 69syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  -> inf ( ran 
F ,  RR ,  <  )  <_  ( F `  t ) )
7170ex 435 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  -> inf ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( F `  t
) ) )
7242, 71ralrimi 2832 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T inf ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_  ( F `  t )
)
7362, 63, 723jca 1185 1  |-  ( ph  ->  (inf ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  ran  F  /\ inf ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. t  e.  T inf ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_  ( F `  t ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   F/wnf 1663    e. wcel 1870   F/_wnfc 2577    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783    C_ wss 3442   (/)c0 3767   U.cuni 4222   class class class wbr 4426   dom cdm 4854   ran crn 4855   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305  infcinf 7961   RRcr 9537    < clt 9674    <_ cle 9675   (,)cioo 11635   topGenctg 15286    Cn ccn 20162   Compccmp 20323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-struct 15077  df-ndx 15078  df-slot 15079  df-base 15080  df-sets 15081  df-ress 15082  df-plusg 15156  df-mulr 15157  df-starv 15158  df-sca 15159  df-vsca 15160  df-ip 15161  df-tset 15162  df-ple 15163  df-ds 15165  df-unif 15166  df-hom 15167  df-cco 15168  df-rest 15271  df-topn 15272  df-0g 15290  df-gsum 15291  df-topgen 15292  df-pt 15293  df-prds 15296  df-xrs 15350  df-qtop 15355  df-imas 15356  df-xps 15358  df-mre 15434  df-mrc 15435  df-acs 15437  df-mgm 16430  df-sgrp 16469  df-mnd 16479  df-submnd 16525  df-mulg 16618  df-cntz 16913  df-cmn 17358  df-psmet 18888  df-xmet 18889  df-met 18890  df-bl 18891  df-mopn 18892  df-cnfld 18897  df-top 19843  df-bases 19844  df-topon 19845  df-topsp 19846  df-cn 20165  df-cnp 20166  df-cmp 20324  df-tx 20499  df-hmeo 20692  df-xms 21257  df-ms 21258  df-tms 21259
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  37482
  Copyright terms: Public domain W3C validator