Theorem stoweidlem29 31345

Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the inf of the range of the function belongs to the range, it is real and it a lower bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem29.1	|- F/_ t F
stoweidlem29.2	|- F/ t ph
stoweidlem29.3	|- T = U. J
stoweidlem29.4	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem29.5	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem29.6	|- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
stoweidlem29.7	|- ( ph -> T =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem29	|- ( ph -> ( sup ( ran F , RR , `' < ) e. ran F /\ sup ( ran F , RR , `' < ) e. RR /\ A. t e. T sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) ) )

Distinct variable groups:   t, T   t, J   t, K

Allowed substitution hints:   ph( t)   F( t)

Proof of Theorem stoweidlem29

Dummy variables s x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem29.4	. . . . . 6 |- K = ( topGen ` ran (,) )
2		stoweidlem29.3	. . . . . 6 |- T = U. J
3		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( J Cn K ) = ( J Cn K )
4		stoweidlem29.6	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
5	1, 2, 3, 4	fcnre 30994	. . . . 5 |- ( ph -> F : T --> RR )
6		df-f 5591	. . . . 5 |- ( F : T --> RR <-> ( F Fn T /\ ran F C_ RR ) )
7	5, 6	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> ( F Fn T /\ ran F C_ RR ) )
8	7	simprd 463	. . 3 |- ( ph -> ran F C_ RR )
9	7	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F Fn T )
10		fnfun 5677	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn T -> Fun F )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Fun F )
12	11	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. T ) -> Fun F )
13		fdm 5734	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : T --> RR -> dom F = T )
14	5, 13	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom F = T )
15	14	eqcomd 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T = dom F )
16	15	eleq2d 2537	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. T <-> s e. dom F ) )
17	16	biimpa 484	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. T ) -> s e. dom F )
18		fvelrn 6016	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ s e. dom F ) -> ( F ` s ) e. ran F )
19	12, 17, 18	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. T ) -> ( F ` s ) e. ran F )
20		stoweidlem29.1	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t F
21		nfcv 2629	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t s
22	20, 21	nffv 5872	. . . . . . . . 9 |- F/_ t ( F ` s )
23	22	nfeq2 2646	. . . . . . . 8 |- F/ t x = ( F ` s )
24		breq1 4450	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` s ) -> ( x <_ ( F ` t ) <-> ( F ` s ) <_ ( F ` t ) ) )
25	23, 24	ralbid 2898	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` s ) -> ( A. t e. T x <_ ( F ` t ) <-> A. t e. T ( F ` s ) <_ ( F ` t ) ) )
26	25	rspcev 3214	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` s ) e. ran F /\ A. t e. T ( F ` s ) <_ ( F ` t ) ) -> E. x e. ran F A. t e. T x <_ ( F ` t ) )
27	19, 26	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. T ) /\ A. t e. T ( F ` s ) <_ ( F ` t ) ) -> E. x e. ran F A. t e. T x <_ ( F ` t ) )
28		nfcv 2629	. . . . . 6 |- F/_ s F
29		nfcv 2629	. . . . . 6 |- F/_ s T
30		nfcv 2629	. . . . . 6 |- F/_ t T
31		stoweidlem29.5	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. Comp )
32		stoweidlem29.7	. . . . . 6 |- ( ph -> T =/= (/) )
33	28, 20, 29, 30, 2, 1, 31, 4, 32	evth2f 30984	. . . . 5 |- ( ph -> E. s e. T A. t e. T ( F ` s ) <_ ( F ` t ) )
34	27, 33	r19.29a 3003	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. ran F A. t e. T x <_ ( F ` t ) )
35		nfv 1683	. . . . . . 7 |- F/ y ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) )
36		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> y e. ran F )
37	9	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> F Fn T )
38		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ t y
39	30, 38, 20	fvelrnbf 30987	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn T -> ( y e. ran F <-> E. t e. T ( F ` t ) = y ) )
40	37, 39	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> ( y e. ran F <-> E. t e. T ( F ` t ) = y ) )
41	36, 40	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> E. t e. T ( F ` t ) = y )
42		stoweidlem29.2	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ t ph
43		nfra1 2845	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ t A. t e. T x <_ ( F ` t )
44	42, 43	nfan 1875	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) )
45	20	nfrn 5244	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ t ran F
46	45	nfcri 2622	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t y e. ran F
47	44, 46	nfan 1875	. . . . . . . . . 10 |- F/ t ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F )
48		nfv 1683	. . . . . . . . . 10 |- F/ t x <_ y
49		rsp 2830	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. t e. T x <_ ( F ` t ) -> ( t e. T -> x <_ ( F ` t ) ) )
50	49	imp 429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. t e. T x <_ ( F ` t ) /\ t e. T ) -> x <_ ( F ` t ) )
51		breq2 4451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` t ) = y -> ( x <_ ( F ` t ) <-> x <_ y ) )
52	50, 51	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. t e. T x <_ ( F ` t ) /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) = y -> x <_ y ) )
53	52	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. t e. T x <_ ( F ` t ) -> ( t e. T -> ( ( F ` t ) = y -> x <_ y ) ) )
54	53	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> ( t e. T -> ( ( F ` t ) = y -> x <_ y ) ) )
55	47, 48, 54	rexlimd 2947	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> ( E. t e. T ( F ` t ) = y -> x <_ y ) )
56	41, 55	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> x <_ y )
57	56	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) -> ( y e. ran F -> x <_ y ) )
58	35, 57	ralrimi 2864	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) -> A. y e. ran F x <_ y )
59	58	ex 434	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. t e. T x <_ ( F ` t ) -> A. y e. ran F x <_ y ) )
60	59	reximdv 2937	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. ran F A. t e. T x <_ ( F ` t ) -> E. x e. ran F A. y e. ran F x <_ y ) )
61	34, 60	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> E. x e. ran F A. y e. ran F x <_ y )
62		lbinfmcl 10496	. . 3 |- ( ( ran F C_ RR /\ E. x e. ran F A. y e. ran F x <_ y ) -> sup ( ran F , RR , `' < ) e. ran F )
63	8, 61, 62	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> sup ( ran F , RR , `' < ) e. ran F )
64	8, 63	sseldd 3505	. 2 |- ( ph -> sup ( ran F , RR , `' < ) e. RR )
65	8	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ran F C_ RR )
66	61	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> E. x e. ran F A. y e. ran F x <_ y )
67		dffn3 5737	. . . . . . 7 |- ( F Fn T <-> F : T --> ran F )
68	9, 67	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ph -> F : T --> ran F )
69	68	fnvinran 30983	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) e. ran F )
70		lbinfmle 10497	. . . . 5 |- ( ( ran F C_ RR /\ E. x e. ran F A. y e. ran F x <_ y /\ ( F ` t ) e. ran F ) -> sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) )
71	65, 66, 69, 70	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) )
72	71	ex 434	. . 3 |- ( ph -> ( t e. T -> sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) ) )
73	42, 72	ralrimi 2864	. 2 |- ( ph -> A. t e. T sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) )
74	63, 64, 73	3jca 1176	1 |- ( ph -> ( sup ( ran F , RR , `' < ) e. ran F /\ sup ( ran F , RR , `' < ) e. RR /\ A. t e. T sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   F/wnf 1599   e. wcel 1767   F/_wnfc 2615   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   C_ wss 3476   (/)c0 3785   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000   Fun wfun 5581   Fn wfn 5582   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   supcsup 7899   RRcr 9490   < clt 9627   <_ cle 9628   (,)cioo 11528   topGenctg 14692   Cn ccn 19507   Compccmp 19668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569  ax-mulf 9571

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-fi 7870  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-ioo 11532  df-icc 11535  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-exp 12134  df-hash 12373  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-starv 14569  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-unif 14577  df-hom 14578  df-cco 14579  df-rest 14677  df-topn 14678  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-topgen 14698  df-pt 14699  df-prds 14702  df-xrs 14756  df-qtop 14761  df-imas 14762  df-xps 14764  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-mulg 15867  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-cnfld 18208  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-topsp 19186  df-cn 19510  df-cnp 19511  df-cmp 19669  df-tx 19814  df-hmeo 20007  df-xms 20574  df-ms 20575  df-tms 20576

This theorem is referenced by:  stoweidlem62  31378