Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem27 Unicode version

Theorem stoweidlem27 27643
 Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Here is used to represent p(t_i) in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem27.1
stoweidlem27.2
stoweidlem27.3
stoweidlem27.4
stoweidlem27.5
stoweidlem27.6
stoweidlem27.7
stoweidlem27.8
stoweidlem27.9
stoweidlem27.10
stoweidlem27.11
Assertion
Ref Expression
stoweidlem27
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,   ,,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,)   (,,)   (,,,)   ()   (,,,)   (,,)   (,,,)

Proof of Theorem stoweidlem27
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem27.4 . . . 4
2 stoweidlem27.5 . . . 4
3 fnex 5920 . . . 4
41, 2, 3syl2anc 643 . . 3
5 stoweidlem27.7 . . . . 5
6 f1ofn 5634 . . . . 5
75, 6syl 16 . . . 4
8 ovex 6065 . . . 4
9 fnex 5920 . . . 4
107, 8, 9sylancl 644 . . 3
11 coexg 5371 . . 3
124, 10, 11syl2anc 643 . 2
13 stoweidlem27.3 . . 3
14 f1of 5633 . . . . . . 7
155, 14syl 16 . . . . . 6
16 fnfco 5568 . . . . . 6
171, 15, 16syl2anc 643 . . . . 5
18 rncoss 5095 . . . . . 6
19 fvelrnb 5733 . . . . . . . . . . . 12
201, 19syl 16 . . . . . . . . . . 11
2120biimpa 471 . . . . . . . . . 10
22 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15
23 stoweidlem27.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2423elrnmpt 5076 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2522, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
2622, 25mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14
27 stoweidlem27.10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
28 nfmpt1 4258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2923, 28nfcxfr 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3029nfrn 5071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3130nfcri 2534 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3227, 31nfan 1842 . . . . . . . . . . . . . . 15
33 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 stoweidlem27.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3534ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
36 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3735, 36eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
38 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
39 stoweidlem27.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
40 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
41 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4241breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4342rabbidv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4443eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4538, 39, 40, 44elrabf 3051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4637, 45sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4746simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4847exp31 588 . . . . . . . . . . . . . . 15
4932, 33, 48rexlimd 2787 . . . . . . . . . . . . . 14
5026, 49mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13
5150adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12
52 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . 12
5351, 52syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . 11
5453reximdva 2778 . . . . . . . . . 10
5521, 54mpd 15 . . . . . . . . 9
56 idd 22 . . . . . . . . . . 11
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10
5857rexlimdv 2789 . . . . . . . . 9
5955, 58mpd 15 . . . . . . . 8
6059ex 424 . . . . . . 7
6160ssrdv 3314 . . . . . 6
6218, 61syl5ss 3319 . . . . 5
63 df-f 5417 . . . . 5
6417, 62, 63sylanbrc 646 . . . 4
65 stoweidlem27.9 . . . . 5
66 stoweidlem27.8 . . . . . . . . . 10
6766sselda 3308 . . . . . . . . 9
68 eluni 3978 . . . . . . . . 9
6967, 68sylib 189 . . . . . . . 8
70 nfv 1626 . . . . . . . . . 10
7127, 70nfan 1842 . . . . . . . . 9
7223funmpt2 5449 . . . . . . . . . . . . . . 15
7323dmeqi 5030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
74 stoweidlem27.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7539rabexgf 27562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7776adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7877ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7927, 78ralrimi 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
80 dmmptg 5326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8273, 81syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8382eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8483biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
85 fvelrn 5825 . . . . . . . . . . . . . . 15
8672, 84, 85sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14
8786adantrl 697 . . . . . . . . . . . . 13
88 f1ofo 5640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
89 forn 5615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
905, 88, 893syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9190eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9291biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
937adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
94 fvelrnb 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9593, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9692, 95mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16
97 df-rex 2672 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9896, 97sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15
99 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10015ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
101 fvco3 5759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
102100, 99, 101syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
103 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
104103ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105102, 104eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
106 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
107106anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
108 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
109 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
110109eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
111108, 110bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
112107, 111imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
113112, 34vtoclg 2971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
114113anabsi7 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
115114adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116105, 115eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11799, 116jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
118117ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119118eximdv 1629 . . . . . . . . . . . . . . 15
12098, 119mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14
121 df-rex 2672 . . . . . . . . . . . . . 14
122120, 121sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13
12387, 122syldan 457 . . . . . . . . . . . 12
124 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
125 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
12623fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
127125, 77, 126syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
128127eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
129128biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
130129adantlrl 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
131 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
132 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
133 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
134133breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
135134rabbidv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
136135eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
137131, 39, 132, 136elrabf 3051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
138130, 137sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
139138simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
140124, 139eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . . . 16
141 rabid 2844 . . . . . . . . . . . . . . . 16
142140, 141sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15
143142simprd 450 . . . . . . . . . . . . . 14
144143ex 424 . . . . . . . . . . . . 13
145144reximdv 2777 . . . . . . . . . . . 12
146123, 145mpd 15 . . . . . . . . . . 11
147146ex 424 . . . . . . . . . 10
148147adantr 452 . . . . . . . . 9
14971, 148eximd 1782 . . . . . . . 8
15069, 149mpd 15 . . . . . . 7
151 nfv 1626 . . . . . . . 8
152 idd 22 . . . . . . . 8
15371, 151, 152exlimd 1820 . . . . . . 7
154150, 153mpd 15 . . . . . 6
155154ex 424 . . . . 5
15665, 155ralrimi 2747 . . . 4
15764, 156jca 519 . . 3
15813, 157jca 519 . 2
159 feq1 5535 . . . . 5
160 fveq1 5686 . . . . . . . . 9
161160fveq1d 5689 . . . . . . . 8
162161breq2d 4184 . . . . . . 7
163162rexbidv 2687 . . . . . 6
164163ralbidv 2686 . . . . 5
165159, 164anbi12d 692 . . . 4
166165anbi2d 685 . . 3
167166spcegv 2997 . 2
16812, 158, 167sylc 58 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359  wex 1547  wnf 1550   wceq 1649   wcel 1721  wnfc 2527  wral 2666  wrex 2667  crab 2670  cvv 2916   cdif 3277   wss 3280  cuni 3975   class class class wbr 4172   cmpt 4226   cdm 4837   crn 4838   ccom 4841   wfun 5407   wfn 5408  wf 5409  wfo 5411  wf1o 5412  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc0 8946  c1 8947   clt 9076  cn 9956  cfz 10999 This theorem is referenced by:  stoweidlem35  27651 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043
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