Theorem stoweidlem25 31968

Description: This lemma proves that for n sufficiently large, q_n( t ) < ε, for all t in T \ U: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the top of page 91). Q is used to represent q_n in the paper, N to represent n in the paper, K to represent k, D to represent δ, P to represent p, and E to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem25.1	|- Q = ( t e. T |-> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
stoweidlem25.2	|- ( ph -> N e. NN )
stoweidlem25.3	|- ( ph -> K e. NN )
stoweidlem25.4	|- ( ph -> D e. RR+ )
stoweidlem25.6	|- ( ph -> P : T --> RR )
stoweidlem25.7	|- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
stoweidlem25.8	|- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
stoweidlem25.9	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem25.11	|- ( ph -> ( 1 / ( ( K x. D ) ^ N ) ) < E )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem25	|- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( Q ` t ) < E )

Distinct variable group:   t, T

Allowed substitution hints:   ph( t)   D( t)   P( t)   Q( t)   U( t)   E( t)   K( t)   N( t)

Proof of Theorem stoweidlem25

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3622	. . 3 |- ( t e. ( T \ U ) -> t e. T )
2		stoweidlem25.1	. . . . 5 |- Q = ( t e. T |-> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
3		stoweidlem25.6	. . . . 5 |- ( ph -> P : T --> RR )
4		stoweidlem25.2	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
5	4	nnnn0d 10873	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
6		stoweidlem25.3	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. NN )
7	6	nnnn0d 10873	. . . . 5 |- ( ph -> K e. NN0 )
8	2, 3, 5, 7	stoweidlem12 31955	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( Q ` t ) = ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
9		1red 9628	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 1 e. RR )
10	3	fnvinran 31550	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( P ` t ) e. RR )
11	5	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> N e. NN0 )
12	10, 11	reexpcld 12329	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( P ` t ) ^ N ) e. RR )
13	9, 12	resubcld 10008	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) e. RR )
14	6, 5	nnexpcld 12333	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K ^ N ) e. NN )
15	14	nnnn0d 10873	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K ^ N ) e. NN0 )
16	15	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( K ^ N ) e. NN0 )
17	13, 16	reexpcld 12329	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) e. RR )
18	8, 17	eqeltrd 2545	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( Q ` t ) e. RR )
19	1, 18	sylan2 474	. 2 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( Q ` t ) e. RR )
20	6	nnred 10571	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. RR )
21		stoweidlem25.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. RR+ )
22	21	rpred 11281	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. RR )
23	20, 22	remulcld 9641	. . . . 5 |- ( ph -> ( K x. D ) e. RR )
24	23, 5	reexpcld 12329	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K x. D ) ^ N ) e. RR )
25	6	nncnd 10572	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. CC )
26	6	nnne0d 10601	. . . . . 6 |- ( ph -> K =/= 0 )
27	21	rpcnne0d 11290	. . . . . 6 |- ( ph -> ( D e. CC /\ D =/= 0 ) )
28		mulne0 10212	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. CC /\ K =/= 0 ) /\ ( D e. CC /\ D =/= 0 ) ) -> ( K x. D ) =/= 0 )
29	25, 26, 27, 28	syl21anc 1227	. . . . 5 |- ( ph -> ( K x. D ) =/= 0 )
30	21	rpcnd 11283	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. CC )
31	25, 30	mulcld 9633	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K x. D ) e. CC )
32		expne0 12199	. . . . . 6 |- ( ( ( K x. D ) e. CC /\ N e. NN ) -> ( ( ( K x. D ) ^ N ) =/= 0 <-> ( K x. D ) =/= 0 ) )
33	31, 4, 32	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( K x. D ) ^ N ) =/= 0 <-> ( K x. D ) =/= 0 ) )
34	29, 33	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K x. D ) ^ N ) =/= 0 )
35	24, 34	rereccld 10392	. . 3 |- ( ph -> ( 1 / ( ( K x. D ) ^ N ) ) e. RR )
36	35	adantr 465	. 2 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( 1 / ( ( K x. D ) ^ N ) ) e. RR )
37		stoweidlem25.9	. . . 4 |- ( ph -> E e. RR+ )
38	37	rpred 11281	. . 3 |- ( ph -> E e. RR )
39	38	adantr 465	. 2 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> E e. RR )
40	1, 8	sylan2 474	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( Q ` t ) = ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
41	4	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> N e. NN )
42	6	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> K e. NN )
43	21	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> D e. RR+ )
44	3	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> P : T --> RR )
45	1	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> t e. T )
46	44, 45	ffvelrnd 6033	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( P ` t ) e. RR )
47		0red 9614	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> 0 e. RR )
48	22	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> D e. RR )
49	21	rpgt0d 11284	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < D )
50	49	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> 0 < D )
51		stoweidlem25.8	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
52	51	r19.21bi 2826	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> D <_ ( P ` t ) )
53	47, 48, 46, 50, 52	ltletrd 9759	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> 0 < ( P ` t ) )
54	46, 53	elrpd 11279	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( P ` t ) e. RR+ )
55		stoweidlem25.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
56	55	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
57		rsp 2823	. . . . . 6 |- ( A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) -> ( t e. T -> ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) ) )
58	56, 45, 57	sylc 60	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
59	58	simpld 459	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> 0 <_ ( P ` t ) )
60	58	simprd 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( P ` t ) <_ 1 )
61	41, 42, 43, 54, 59, 60, 52	stoweidlem1 31944	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) <_ ( 1 / ( ( K x. D ) ^ N ) ) )
62	40, 61	eqbrtrd 4476	. 2 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( Q ` t ) <_ ( 1 / ( ( K x. D ) ^ N ) ) )
63		stoweidlem25.11	. . 3 |- ( ph -> ( 1 / ( ( K x. D ) ^ N ) ) < E )
64	63	adantr 465	. 2 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( 1 / ( ( K x. D ) ^ N ) ) < E )
65	19, 36, 39, 62, 64	lelttrd 9757	1 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( Q ` t ) < E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   \ cdif 3468   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   x. cmul 9514   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   / cdiv 10227   NNcn 10556   NN0cn0 10816   RR+crp 11245   ^cexp 12168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12110  df-exp 12169

This theorem is referenced by:  stoweidlem45  31988