Theorem stoweidlem24 37878

Description: This lemma proves that for n sufficiently large, q_n( t ) > ( 1 - epsilon ), for all t in V: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90, (at the bottom of page 90). Q is used to represent q_n in the paper, N to represent n in the paper, K to represent k, D to represent δ, and E to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem24.1	|- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
stoweidlem24.2	|- Q = ( t e. T |-> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
stoweidlem24.3	|- ( ph -> P : T --> RR )
stoweidlem24.4	|- ( ph -> N e. NN0 )
stoweidlem24.5	|- ( ph -> K e. NN0 )
stoweidlem24.6	|- ( ph -> D e. RR+ )
stoweidlem24.8	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem24.9	|- ( ph -> ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) ) )
stoweidlem24.10	|- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem24	|- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - E ) < ( Q ` t ) )

Distinct variable group:   t, T

Allowed substitution hints:   ph( t)   D( t)   P( t)   Q( t)   E( t)   K( t)   N( t)   V( t)

Proof of Theorem stoweidlem24

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 9655	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> 1 e. RR )
2		stoweidlem24.8	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. RR+ )
3	2	rpred 11338	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR )
4	3	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> E e. RR )
5	1, 4	resubcld 10044	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - E ) e. RR )
6		stoweidlem24.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. NN0 )
7	6	nn0red 10923	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. RR )
8	7	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> K e. RR )
9		stoweidlem24.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P : T --> RR )
10	9	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> P : T --> RR )
11		stoweidlem24.1	. . . . . . . . . 10 |- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
12	11	rabeq2i 3041	. . . . . . . . 9 |- ( t e. V <-> ( t e. T /\ ( P ` t ) < ( D / 2 ) ) )
13	12	simplbi 462	. . . . . . . 8 |- ( t e. V -> t e. T )
14	13	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> t e. T )
15	10, 14	ffvelrnd 6021	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) e. RR )
16	8, 15	remulcld 9668	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( K x. ( P ` t ) ) e. RR )
17		stoweidlem24.4	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN0 )
18	17	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> N e. NN0 )
19	16, 18	reexpcld 12430	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) e. RR )
20	1, 19	resubcld 10044	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) ) e. RR )
21	15, 18	reexpcld 12430	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( P ` t ) ^ N ) e. RR )
22	1, 21	resubcld 10044	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) e. RR )
23	6, 17	jca 535	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
24	23	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
25		nn0expcl 12283	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K ^ N ) e. NN0 )
26	24, 25	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( K ^ N ) e. NN0 )
27	22, 26	reexpcld 12430	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) e. RR )
28		1red 9655	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
29		stoweidlem24.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. RR+ )
30	29	rpred 11338	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. RR )
31	7, 30	remulcld 9668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K x. D ) e. RR )
32	31	rehalfcld 10856	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( K x. D ) / 2 ) e. RR )
33	32, 17	reexpcld 12430	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) e. RR )
34	28, 33	resubcld 10044	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 - ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) ) e. RR )
35	34	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) ) e. RR )
36		stoweidlem24.9	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) ) )
37	36	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) ) )
38	33	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) e. RR )
39	32	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( K x. D ) / 2 ) e. RR )
40	6	nn0ge0d 10925	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ K )
41	7, 40	jca 535	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K e. RR /\ 0 <_ K ) )
42	41	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( K e. RR /\ 0 <_ K ) )
43		stoweidlem24.10	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
44	43	r19.21bi 2756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
45	44	simpld 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( P ` t ) )
46	13, 45	sylan2 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> 0 <_ ( P ` t ) )
47		mulge0 10129	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. RR /\ 0 <_ K ) /\ ( ( P ` t ) e. RR /\ 0 <_ ( P ` t ) ) ) -> 0 <_ ( K x. ( P ` t ) ) )
48	42, 15, 46, 47	syl12anc 1265	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> 0 <_ ( K x. ( P ` t ) ) )
49	30	rehalfcld 10856	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D / 2 ) e. RR )
50	49	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( D / 2 ) e. RR )
51	12	simprbi 466	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. V -> ( P ` t ) < ( D / 2 ) )
52	51	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) < ( D / 2 ) )
53	15, 50, 52	ltled 9780	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) <_ ( D / 2 ) )
54		lemul2a 10457	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P ` t ) e. RR /\ ( D / 2 ) e. RR /\ ( K e. RR /\ 0 <_ K ) ) /\ ( P ` t ) <_ ( D / 2 ) ) -> ( K x. ( P ` t ) ) <_ ( K x. ( D / 2 ) ) )
55	15, 50, 42, 53, 54	syl31anc 1270	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( K x. ( P ` t ) ) <_ ( K x. ( D / 2 ) ) )
56	6	nn0cnd 10924	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. CC )
57	56	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> K e. CC )
58	29	rpcnd 11340	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. CC )
59	58	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> D e. CC )
60		2cnne0 10821	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
62		divass 10285	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CC /\ D e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( K x. D ) / 2 ) = ( K x. ( D / 2 ) ) )
63	57, 59, 61, 62	syl3anc 1267	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( K x. D ) / 2 ) = ( K x. ( D / 2 ) ) )
64	55, 63	breqtrrd 4428	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( K x. ( P ` t ) ) <_ ( ( K x. D ) / 2 ) )
65		leexp1a 12328	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K x. ( P ` t ) ) e. RR /\ ( ( K x. D ) / 2 ) e. RR /\ N e. NN0 ) /\ ( 0 <_ ( K x. ( P ` t ) ) /\ ( K x. ( P ` t ) ) <_ ( ( K x. D ) / 2 ) ) ) -> ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) <_ ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) )
66	16, 39, 18, 48, 64, 65	syl32anc 1275	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) <_ ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) )
67	19, 38, 1, 66	lesub2dd 10227	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) ) <_ ( 1 - ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) ) )
68	5, 35, 20, 37, 67	ltletrd 9792	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) ) )
69	15	recnd 9666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) e. CC )
70	57, 69, 18	mulexpd 12428	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) = ( ( K ^ N ) x. ( ( P ` t ) ^ N ) ) )
71	70	eqcomd 2456	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( K ^ N ) x. ( ( P ` t ) ^ N ) ) = ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) )
72	71	oveq2d 6304	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( K ^ N ) x. ( ( P ` t ) ^ N ) ) ) = ( 1 - ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) ) )
73	13, 44	sylan2 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
74	73	simprd 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) <_ 1 )
75		exple1 12329	. . . . . 6 |- ( ( ( ( P ` t ) e. RR /\ 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( P ` t ) ^ N ) <_ 1 )
76	15, 46, 74, 18, 75	syl31anc 1270	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( P ` t ) ^ N ) <_ 1 )
77		stoweidlem10 37864	. . . . 5 |- ( ( ( ( P ` t ) ^ N ) e. RR /\ ( K ^ N ) e. NN0 /\ ( ( P ` t ) ^ N ) <_ 1 ) -> ( 1 - ( ( K ^ N ) x. ( ( P ` t ) ^ N ) ) ) <_ ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
78	21, 26, 76, 77	syl3anc 1267	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( K ^ N ) x. ( ( P ` t ) ^ N ) ) ) <_ ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
79	72, 78	eqbrtrrd 4424	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) ) <_ ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
80	5, 20, 27, 68, 79	ltletrd 9792	. 2 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - E ) < ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
81		stoweidlem24.2	. . . 4 |- Q = ( t e. T |-> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
82	81, 9, 17, 6	stoweidlem12 37866	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( Q ` t ) = ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
83	13, 82	sylan2 477	. 2 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( Q ` t ) = ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
84	80, 83	breqtrrd 4428	1 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - E ) < ( Q ` t ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   {crab 2740   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   x. cmul 9541   < clt 9672   <_ cle 9673   - cmin 9857   / cdiv 10266   2c2 10656   NN0cn0 10866   RR+crp 11299   ^cexp 12269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-seq 12211  df-exp 12270

This theorem is referenced by:  stoweidlem45  37900