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Theorem stoweidlem24 37878
Description: This lemma proves that for  n sufficiently large, qn( t ) > ( 1 - epsilon ), for all  t in  V: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90, (at the bottom of page 90). 
Q is used to represent qn in the paper,  N to represent  n in the paper,  K to represent  k,  D to represent δ, and  E to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem24.1  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
stoweidlem24.2  |-  Q  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
stoweidlem24.3  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
stoweidlem24.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
stoweidlem24.5  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
stoweidlem24.6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem24.8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem24.9  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N ) ) )
stoweidlem24.10  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem24  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( Q `  t ) )
Distinct variable group:    t, T
Allowed substitution hints:    ph( t)    D( t)    P( t)    Q( t)    E( t)    K( t)    N( t)    V( t)

Proof of Theorem stoweidlem24
StepHypRef Expression
1 1red 9655 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  1  e.  RR )
2 stoweidlem24.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
32rpred 11338 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
43adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  E  e.  RR )
51, 4resubcld 10044 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  e.  RR )
6 stoweidlem24.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
76nn0red 10923 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
87adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  K  e.  RR )
9 stoweidlem24.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
109adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  P : T --> RR )
11 stoweidlem24.1 . . . . . . . . . 10  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
1211rabeq2i 3041 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  V  <->  ( t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) ) )
1312simplbi 462 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  V  ->  t  e.  T )
1413adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  t  e.  T )
1510, 14ffvelrnd 6021 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  e.  RR )
168, 15remulcld 9668 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  x.  ( P `  t ) )  e.  RR )
17 stoweidlem24.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1817adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  N  e.  NN0 )
1916, 18reexpcld 12430 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  ( P `  t )
) ^ N )  e.  RR )
201, 19resubcld 10044 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( K  x.  ( P `
 t ) ) ^ N ) )  e.  RR )
2115, 18reexpcld 12430 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  e.  RR )
221, 21resubcld 10044 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) )  e.  RR )
236, 17jca 535 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)
2423adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )
25 nn0expcl 12283 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( K ^ N
)  e.  NN0 )
2624, 25syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K ^ N )  e. 
NN0 )
2722, 26reexpcld 12430 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR )
28 1red 9655 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
29 stoweidlem24.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
3029rpred 11338 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
317, 30remulcld 9668 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  e.  RR )
3231rehalfcld 10856 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  D )  /  2
)  e.  RR )
3332, 17reexpcld 12430 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  D )  / 
2 ) ^ N
)  e.  RR )
3428, 33resubcld 10044 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
( ( K  x.  D )  /  2
) ^ N ) )  e.  RR )
3534adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( ( K  x.  D
)  /  2 ) ^ N ) )  e.  RR )
36 stoweidlem24.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N ) ) )
3736adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  / 
2 ) ^ N
) ) )
3833adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( ( K  x.  D )  /  2
) ^ N )  e.  RR )
3932adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  D
)  /  2 )  e.  RR )
406nn0ge0d 10925 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  K )
417, 40jca 535 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  e.  RR  /\  0  <_  K )
)
4241adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  e.  RR  /\  0  <_  K ) )
43 stoweidlem24.10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
4443r19.21bi 2756 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
4544simpld 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( P `  t
) )
4613, 45sylan2 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  0  <_  ( P `  t
) )
47 mulge0 10129 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  RR  /\  0  <_  K )  /\  ( ( P `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( P `  t ) ) )  ->  0  <_  ( K  x.  ( P `  t ) ) )
4842, 15, 46, 47syl12anc 1265 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  0  <_  ( K  x.  ( P `  t )
) )
4930rehalfcld 10856 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  e.  RR )
5049adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( D  /  2 )  e.  RR )
5112simprbi 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  V  ->  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) )
5251adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) )
5315, 50, 52ltled 9780 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <_  ( D  /  2
) )
54 lemul2a 10457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P `  t )  e.  RR  /\  ( D  /  2
)  e.  RR  /\  ( K  e.  RR  /\  0  <_  K )
)  /\  ( P `  t )  <_  ( D  /  2 ) )  ->  ( K  x.  ( P `  t ) )  <_  ( K  x.  ( D  /  2
) ) )
5515, 50, 42, 53, 54syl31anc 1270 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  x.  ( P `  t ) )  <_ 
( K  x.  ( D  /  2 ) ) )
566nn0cnd 10924 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
5756adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  K  e.  CC )
5829rpcnd 11340 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
5958adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  D  e.  CC )
60 2cnne0 10821 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
6160a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
62 divass 10285 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CC  /\  D  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( K  x.  D )  / 
2 )  =  ( K  x.  ( D  /  2 ) ) )
6357, 59, 61, 62syl3anc 1267 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  D
)  /  2 )  =  ( K  x.  ( D  /  2
) ) )
6455, 63breqtrrd 4428 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  x.  ( P `  t ) )  <_ 
( ( K  x.  D )  /  2
) )
65 leexp1a 12328 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  x.  ( P `  t ) )  e.  RR  /\  ( ( K  x.  D )  /  2
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  ( K  x.  ( P `  t ) )  /\  ( K  x.  ( P `  t )
)  <_  ( ( K  x.  D )  /  2 ) ) )  ->  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N )  <_  (
( ( K  x.  D )  /  2
) ^ N ) )
6616, 39, 18, 48, 64, 65syl32anc 1275 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  ( P `  t )
) ^ N )  <_  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N ) )
6719, 38, 1, 66lesub2dd 10227 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( ( K  x.  D
)  /  2 ) ^ N ) )  <_  ( 1  -  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N ) ) )
685, 35, 20, 37, 67ltletrd 9792 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N ) ) )
6915recnd 9666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  e.  CC )
7057, 69, 18mulexpd 12428 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  ( P `  t )
) ^ N )  =  ( ( K ^ N )  x.  ( ( P `  t ) ^ N
) ) )
7170eqcomd 2456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K ^ N
)  x.  ( ( P `  t ) ^ N ) )  =  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N ) )
7271oveq2d 6304 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( K ^ N )  x.  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) )  =  ( 1  -  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N ) ) )
7313, 44sylan2 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
7473simprd 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <_  1 )
75 exple1 12329 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  <_  1 )
7615, 46, 74, 18, 75syl31anc 1270 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  <_  1 )
77 stoweidlem10 37864 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P `  t ) ^ N
)  e.  RR  /\  ( K ^ N )  e.  NN0  /\  (
( P `  t
) ^ N )  <_  1 )  -> 
( 1  -  (
( K ^ N
)  x.  ( ( P `  t ) ^ N ) ) )  <_  ( (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
7821, 26, 76, 77syl3anc 1267 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( K ^ N )  x.  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) )  <_  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
7972, 78eqbrtrrd 4424 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( K  x.  ( P `
 t ) ) ^ N ) )  <_  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
805, 20, 27, 68, 79ltletrd 9792 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
81 stoweidlem24.2 . . . 4  |-  Q  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
8281, 9, 17, 6stoweidlem12 37866 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( Q `  t )  =  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
8313, 82sylan2 477 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( Q `  t )  =  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
8480, 83breqtrrd 4428 1  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( Q `  t ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   {crab 2740   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    x. cmul 9541    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857    / cdiv 10266   2c2 10656   NN0cn0 10866   RR+crp 11299   ^cexp 12269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-seq 12211  df-exp 12270
This theorem is referenced by:  stoweidlem45  37900
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