Theorem stoweidlem24 31967

Description: This lemma proves that for n sufficiently large, q_n( t ) > ( 1 - epsilon ), for all t in V: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90, (at the bottom of page 90). Q is used to represent q_n in the paper, N to represent n in the paper, K to represent k, D to represent δ, and E to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem24.1	|- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
stoweidlem24.2	|- Q = ( t e. T |-> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
stoweidlem24.3	|- ( ph -> P : T --> RR )
stoweidlem24.4	|- ( ph -> N e. NN0 )
stoweidlem24.5	|- ( ph -> K e. NN0 )
stoweidlem24.6	|- ( ph -> D e. RR+ )
stoweidlem24.8	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem24.9	|- ( ph -> ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) ) )
stoweidlem24.10	|- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem24	|- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - E ) < ( Q ` t ) )

Distinct variable group:   t, T

Allowed substitution hints:   ph( t)   D( t)   P( t)   Q( t)   E( t)   K( t)   N( t)   V( t)

Proof of Theorem stoweidlem24

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 9628	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> 1 e. RR )
2		stoweidlem24.8	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. RR+ )
3	2	rpred 11281	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR )
4	3	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> E e. RR )
5	1, 4	resubcld 10008	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - E ) e. RR )
6		stoweidlem24.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. NN0 )
7	6	nn0red 10874	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. RR )
8	7	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> K e. RR )
9		stoweidlem24.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P : T --> RR )
10	9	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> P : T --> RR )
11		stoweidlem24.1	. . . . . . . . . 10 |- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
12	11	rabeq2i 3106	. . . . . . . . 9 |- ( t e. V <-> ( t e. T /\ ( P ` t ) < ( D / 2 ) ) )
13	12	simplbi 460	. . . . . . . 8 |- ( t e. V -> t e. T )
14	13	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> t e. T )
15	10, 14	ffvelrnd 6033	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) e. RR )
16	8, 15	remulcld 9641	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( K x. ( P ` t ) ) e. RR )
17		stoweidlem24.4	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN0 )
18	17	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> N e. NN0 )
19	16, 18	reexpcld 12329	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) e. RR )
20	1, 19	resubcld 10008	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) ) e. RR )
21	15, 18	reexpcld 12329	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( P ` t ) ^ N ) e. RR )
22	1, 21	resubcld 10008	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) e. RR )
23	6, 17	jca 532	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
24	23	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
25		nn0expcl 12182	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K ^ N ) e. NN0 )
26	24, 25	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( K ^ N ) e. NN0 )
27	22, 26	reexpcld 12329	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) e. RR )
28		1red 9628	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
29		stoweidlem24.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. RR+ )
30	29	rpred 11281	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. RR )
31	7, 30	remulcld 9641	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K x. D ) e. RR )
32	31	rehalfcld 10806	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( K x. D ) / 2 ) e. RR )
33	32, 17	reexpcld 12329	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) e. RR )
34	28, 33	resubcld 10008	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 - ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) ) e. RR )
35	34	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) ) e. RR )
36		stoweidlem24.9	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) ) )
37	36	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) ) )
38	33	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) e. RR )
39	32	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( K x. D ) / 2 ) e. RR )
40	6	nn0ge0d 10876	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ K )
41	7, 40	jca 532	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K e. RR /\ 0 <_ K ) )
42	41	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( K e. RR /\ 0 <_ K ) )
43		stoweidlem24.10	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
44	43	r19.21bi 2826	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
45	44	simpld 459	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( P ` t ) )
46	13, 45	sylan2 474	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> 0 <_ ( P ` t ) )
47		mulge0 10091	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. RR /\ 0 <_ K ) /\ ( ( P ` t ) e. RR /\ 0 <_ ( P ` t ) ) ) -> 0 <_ ( K x. ( P ` t ) ) )
48	42, 15, 46, 47	syl12anc 1226	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> 0 <_ ( K x. ( P ` t ) ) )
49	30	rehalfcld 10806	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D / 2 ) e. RR )
50	49	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( D / 2 ) e. RR )
51	12	simprbi 464	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. V -> ( P ` t ) < ( D / 2 ) )
52	51	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) < ( D / 2 ) )
53	15, 50, 52	ltled 9750	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) <_ ( D / 2 ) )
54		lemul2a 10418	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P ` t ) e. RR /\ ( D / 2 ) e. RR /\ ( K e. RR /\ 0 <_ K ) ) /\ ( P ` t ) <_ ( D / 2 ) ) -> ( K x. ( P ` t ) ) <_ ( K x. ( D / 2 ) ) )
55	15, 50, 42, 53, 54	syl31anc 1231	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( K x. ( P ` t ) ) <_ ( K x. ( D / 2 ) ) )
56	6	nn0cnd 10875	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. CC )
57	56	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> K e. CC )
58	29	rpcnd 11283	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. CC )
59	58	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> D e. CC )
60		2cnne0 10771	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
62		divass 10246	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CC /\ D e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( K x. D ) / 2 ) = ( K x. ( D / 2 ) ) )
63	57, 59, 61, 62	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( K x. D ) / 2 ) = ( K x. ( D / 2 ) ) )
64	55, 63	breqtrrd 4482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( K x. ( P ` t ) ) <_ ( ( K x. D ) / 2 ) )
65		leexp1a 12226	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K x. ( P ` t ) ) e. RR /\ ( ( K x. D ) / 2 ) e. RR /\ N e. NN0 ) /\ ( 0 <_ ( K x. ( P ` t ) ) /\ ( K x. ( P ` t ) ) <_ ( ( K x. D ) / 2 ) ) ) -> ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) <_ ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) )
66	16, 39, 18, 48, 64, 65	syl32anc 1236	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) <_ ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) )
67	19, 38, 1, 66	lesub2dd 10190	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) ) <_ ( 1 - ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) ) )
68	5, 35, 20, 37, 67	ltletrd 9759	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) ) )
69	15	recnd 9639	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) e. CC )
70	57, 69, 18	mulexpd 12327	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) = ( ( K ^ N ) x. ( ( P ` t ) ^ N ) ) )
71	70	eqcomd 2465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( K ^ N ) x. ( ( P ` t ) ^ N ) ) = ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) )
72	71	oveq2d 6312	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( K ^ N ) x. ( ( P ` t ) ^ N ) ) ) = ( 1 - ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) ) )
73	13, 44	sylan2 474	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
74	73	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) <_ 1 )
75		exple1 12227	. . . . . 6 |- ( ( ( ( P ` t ) e. RR /\ 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( P ` t ) ^ N ) <_ 1 )
76	15, 46, 74, 18, 75	syl31anc 1231	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( P ` t ) ^ N ) <_ 1 )
77		stoweidlem10 31953	. . . . 5 |- ( ( ( ( P ` t ) ^ N ) e. RR /\ ( K ^ N ) e. NN0 /\ ( ( P ` t ) ^ N ) <_ 1 ) -> ( 1 - ( ( K ^ N ) x. ( ( P ` t ) ^ N ) ) ) <_ ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
78	21, 26, 76, 77	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( K ^ N ) x. ( ( P ` t ) ^ N ) ) ) <_ ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
79	72, 78	eqbrtrrd 4478	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) ) <_ ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
80	5, 20, 27, 68, 79	ltletrd 9759	. 2 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - E ) < ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
81		stoweidlem24.2	. . . 4 |- Q = ( t e. T |-> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
82	81, 9, 17, 6	stoweidlem12 31955	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( Q ` t ) = ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
83	13, 82	sylan2 474	. 2 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( Q ` t ) = ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
84	80, 83	breqtrrd 4482	1 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - E ) < ( Q ` t ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   {crab 2811   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   x. cmul 9514   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   / cdiv 10227   2c2 10606   NN0cn0 10816   RR+crp 11245   ^cexp 12168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12110  df-exp 12169

This theorem is referenced by:  stoweidlem45  31988