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Theorem stoweidlem24 27875
Description: This lemma proves that for  n sufficiently large, qn( t ) > ( 1 - epsilon ), for all  t in  V: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90, (at the bottom of page 90). 
Q is used to represent qn in the paper,  N to represent  n in the paper,  K to represent  k,  D to represent δ, and  E to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem24.1  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
stoweidlem24.2  |-  Q  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
stoweidlem24.3  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
stoweidlem24.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
stoweidlem24.5  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
stoweidlem24.6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem24.8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem24.9  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N ) ) )
stoweidlem24.10  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem24  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( Q `  t ) )
Distinct variable group:    t, T
Allowed substitution hints:    ph( t)    D( t)    P( t)    Q( t)    E( t)    K( t)    N( t)    V( t)

Proof of Theorem stoweidlem24
StepHypRef Expression
1 1re 8853 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
21a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  1  e.  RR )
3 stoweidlem24.8 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
4 rpre 10376 . . . . . . . 8  |-  ( E  e.  RR+  ->  E  e.  RR )
53, 4syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
65adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  E  e.  RR )
72, 6jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  e.  RR  /\  E  e.  RR )
)
8 resubcl 9127 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( 1  -  E
)  e.  RR )
97, 8syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  e.  RR )
10 stoweidlem24.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
11 nn0re 9990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
1312adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  K  e.  RR )
14 stoweidlem24.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
1514adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  P : T --> RR )
16 stoweidlem24.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
1716eleq2i 2360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  V  <->  t  e.  { t  e.  T  | 
( P `  t
)  <  ( D  /  2 ) } )
18 rabid 2729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  { t  e.  T  |  ( P `
 t )  < 
( D  /  2
) }  <->  ( t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) ) )
1917, 18bitri 240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  V  <->  ( t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) ) )
2019simplbi 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  V  ->  t  e.  T )
2120adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  t  e.  T )
2215, 21jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
23 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( P `  t
)  e.  RR )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  e.  RR )
2513, 24jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  e.  RR  /\  ( P `  t )  e.  RR ) )
26 remulcl 8838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( P `  t )  e.  RR )  -> 
( K  x.  ( P `  t )
)  e.  RR )
2725, 26syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  x.  ( P `  t ) )  e.  RR )
28 stoweidlem24.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2928adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  N  e.  NN0 )
3027, 29jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  ( P `  t )
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0 ) )
31 reexpcl 11136 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  x.  ( P `  t )
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N )  e.  RR )
3230, 31syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  ( P `  t )
) ^ N )  e.  RR )
332, 32jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  e.  RR  /\  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N )  e.  RR ) )
34 resubcl 9127 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N )  e.  RR )  -> 
( 1  -  (
( K  x.  ( P `  t )
) ^ N ) )  e.  RR )
3533, 34syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( K  x.  ( P `
 t ) ) ^ N ) )  e.  RR )
3624, 29jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( P `  t
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0 ) )
37 reexpcl 11136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  t
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( P `  t ) ^ N
)  e.  RR )
3836, 37syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  e.  RR )
392, 38jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  e.  RR  /\  ( ( P `  t ) ^ N
)  e.  RR ) )
40 resubcl 9127 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( P `  t ) ^ N
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) )  e.  RR )
4139, 40syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) )  e.  RR )
4210, 28jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)
4342adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )
44 nn0expcl 11133 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( K ^ N
)  e.  NN0 )
4543, 44syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K ^ N )  e. 
NN0 )
4641, 45jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) )  e.  RR  /\  ( K ^ N )  e.  NN0 ) )
47 reexpcl 11136 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) )  e.  RR  /\  ( K ^ N )  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR )
4846, 47syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR )
499, 35, 483jca 1132 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( 1  -  E
)  e.  RR  /\  ( 1  -  (
( K  x.  ( P `  t )
) ^ N ) )  e.  RR  /\  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR ) )
501a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
51 stoweidlem24.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
52 rpre 10376 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  RR+  ->  D  e.  RR )
5351, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
5412, 53jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( K  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )
55 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( K  x.  D
)  e.  RR )
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  e.  RR )
57 2re 9831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
5857a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
59 2ne0 9845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
6059a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
6156, 58, 603jca 1132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  D )  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 ) )
62 redivcl 9495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  x.  D
)  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( K  x.  D
)  /  2 )  e.  RR )
6361, 62syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  D )  /  2
)  e.  RR )
6463, 28jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  D )  / 
2 )  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )
)
65 reexpcl 11136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  x.  D )  /  2
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( K  x.  D )  / 
2 ) ^ N
)  e.  RR )
6664, 65syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  D )  / 
2 ) ^ N
)  e.  RR )
6750, 66jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( K  x.  D )  / 
2 ) ^ N
)  e.  RR ) )
68 resubcl 9127 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( K  x.  D )  / 
2 ) ^ N
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  / 
2 ) ^ N
) )  e.  RR )
6967, 68syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
( ( K  x.  D )  /  2
) ^ N ) )  e.  RR )
7069adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( ( K  x.  D
)  /  2 ) ^ N ) )  e.  RR )
719, 70, 353jca 1132 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( 1  -  E
)  e.  RR  /\  ( 1  -  (
( ( K  x.  D )  /  2
) ^ N ) )  e.  RR  /\  ( 1  -  (
( K  x.  ( P `  t )
) ^ N ) )  e.  RR ) )
72 stoweidlem24.9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N ) ) )
7372adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  / 
2 ) ^ N
) ) )
7463adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  D
)  /  2 )  e.  RR )
7527, 74, 293jca 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  ( P `  t )
)  e.  RR  /\  ( ( K  x.  D )  /  2
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0 ) )
76 nn0ge0 10007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  NN0  ->  0  <_  K )
7710, 76syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <_  K )
7812, 77jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K  e.  RR  /\  0  <_  K )
)
7978adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  e.  RR  /\  0  <_  K ) )
80 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ph )
8180, 21jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( ph  /\  t  e.  T
) )
82 stoweidlem24.10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
8382r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
8483simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( P `  t
) )
8581, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  0  <_  ( P `  t
) )
8624, 85jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( P `  t
)  e.  RR  /\  0  <_  ( P `  t ) ) )
8779, 86jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  e.  RR  /\  0  <_  K )  /\  ( ( P `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( P `  t ) ) ) )
88 mulge0 9307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  RR  /\  0  <_  K )  /\  ( ( P `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( P `  t ) ) )  ->  0  <_  ( K  x.  ( P `  t ) ) )
8987, 88syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  0  <_  ( K  x.  ( P `  t )
) )
9053, 58, 603jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( D  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 ) )
91 redivcl 9495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 )  ->  ( D  /  2 )  e.  RR )
9290, 91syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  e.  RR )
9392adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( D  /  2 )  e.  RR )
9424, 93, 793jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( P `  t
)  e.  RR  /\  ( D  /  2
)  e.  RR  /\  ( K  e.  RR  /\  0  <_  K )
) )
9524, 93jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( P `  t
)  e.  RR  /\  ( D  /  2
)  e.  RR ) )
9619simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  V  ->  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) )
9796adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) )
98 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P `  t
)  e.  RR  /\  ( D  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( P `
 t )  < 
( D  /  2
)  ->  ( P `  t )  <_  ( D  /  2 ) ) )
9995, 97, 98sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <_  ( D  /  2
) )
10094, 99jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( ( P `  t )  e.  RR  /\  ( D  /  2
)  e.  RR  /\  ( K  e.  RR  /\  0  <_  K )
)  /\  ( P `  t )  <_  ( D  /  2 ) ) )
101 lemul2a 9627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P `  t )  e.  RR  /\  ( D  /  2
)  e.  RR  /\  ( K  e.  RR  /\  0  <_  K )
)  /\  ( P `  t )  <_  ( D  /  2 ) )  ->  ( K  x.  ( P `  t ) )  <_  ( K  x.  ( D  /  2
) ) )
102100, 101syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  x.  ( P `  t ) )  <_ 
( K  x.  ( D  /  2 ) ) )
103 nn0cn 9991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  CC )
10410, 103syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
105104adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  K  e.  CC )
106 rpcn 10378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  RR+  ->  D  e.  CC )
10751, 106syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
108107adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  D  e.  CC )
109 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
110109, 59pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
111110a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
112105, 108, 1113jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  e.  CC  /\  D  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) ) )
113 divass 9458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CC  /\  D  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( K  x.  D )  / 
2 )  =  ( K  x.  ( D  /  2 ) ) )
114112, 113syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  D
)  /  2 )  =  ( K  x.  ( D  /  2
) ) )
115114eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  x.  ( D  /  2 ) )  =  ( ( K  x.  D )  / 
2 ) )
116102, 115breqtrd 4063 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  x.  ( P `  t ) )  <_ 
( ( K  x.  D )  /  2
) )
11789, 116jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
0  <_  ( K  x.  ( P `  t
) )  /\  ( K  x.  ( P `  t ) )  <_ 
( ( K  x.  D )  /  2
) ) )
11875, 117jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( ( K  x.  ( P `  t ) )  e.  RR  /\  ( ( K  x.  D )  /  2
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  ( K  x.  ( P `  t ) )  /\  ( K  x.  ( P `  t )
)  <_  ( ( K  x.  D )  /  2 ) ) ) )
119 leexp1a 11176 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  x.  ( P `  t ) )  e.  RR  /\  ( ( K  x.  D )  /  2
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  ( K  x.  ( P `  t ) )  /\  ( K  x.  ( P `  t )
)  <_  ( ( K  x.  D )  /  2 ) ) )  ->  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N )  <_  (
( ( K  x.  D )  /  2
) ^ N ) )
120118, 119syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  ( P `  t )
) ^ N )  <_  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N ) )
12166adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( ( K  x.  D )  /  2
) ^ N )  e.  RR )
12232, 121, 23jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N )  e.  RR  /\  (
( ( K  x.  D )  /  2
) ^ N )  e.  RR  /\  1  e.  RR ) )
123 lesub2 9285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N )  e.  RR  /\  (
( ( K  x.  D )  /  2
) ^ N )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N )  <_  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N )  <->  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N ) )  <_ 
( 1  -  (
( K  x.  ( P `  t )
) ^ N ) ) ) )
124122, 123syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N )  <_  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N )  <->  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N ) )  <_ 
( 1  -  (
( K  x.  ( P `  t )
) ^ N ) ) ) )
125120, 124mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( ( K  x.  D
)  /  2 ) ^ N ) )  <_  ( 1  -  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N ) ) )
12673, 125jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N ) )  /\  ( 1  -  (
( ( K  x.  D )  /  2
) ^ N ) )  <_  ( 1  -  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N ) ) ) )
127 ltletr 8929 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  -  E
)  e.  RR  /\  ( 1  -  (
( ( K  x.  D )  /  2
) ^ N ) )  e.  RR  /\  ( 1  -  (
( K  x.  ( P `  t )
) ^ N ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  / 
2 ) ^ N
) )  /\  (
1  -  ( ( ( K  x.  D
)  /  2 ) ^ N ) )  <_  ( 1  -  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N ) ) )  ->  (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N ) ) ) )
12871, 126, 127sylc 56 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N ) ) )
129 recn 8843 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  t )  e.  RR  ->  ( P `  t )  e.  CC )
13024, 129syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  e.  CC )
131105, 130, 293jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  e.  CC  /\  ( P `  t )  e.  CC  /\  N  e. 
NN0 ) )
132 mulexp 11157 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CC  /\  ( P `  t )  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( K  x.  ( P `  t )
) ^ N )  =  ( ( K ^ N )  x.  ( ( P `  t ) ^ N
) ) )
133131, 132syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  ( P `  t )
) ^ N )  =  ( ( K ^ N )  x.  ( ( P `  t ) ^ N
) ) )
134133eqcomd 2301 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K ^ N
)  x.  ( ( P `  t ) ^ N ) )  =  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N ) )
135134oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( K ^ N )  x.  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) )  =  ( 1  -  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N ) ) )
13681, 83syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
137136simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <_  1 )
13824, 85, 1373jca 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( P `  t
)  e.  RR  /\  0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
139138, 29jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( ( P `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )
140 exple1 11177 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  <_  1 )
141139, 140syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  <_  1 )
14238, 45, 1413jca 1132 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( ( P `  t ) ^ N
)  e.  RR  /\  ( K ^ N )  e.  NN0  /\  (
( P `  t
) ^ N )  <_  1 ) )
143 stoweidlem10 27861 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P `  t ) ^ N
)  e.  RR  /\  ( K ^ N )  e.  NN0  /\  (
( P `  t
) ^ N )  <_  1 )  -> 
( 1  -  (
( K ^ N
)  x.  ( ( P `  t ) ^ N ) ) )  <_  ( (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
144142, 143syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( K ^ N )  x.  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) )  <_  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
145135, 144eqbrtrrd 4061 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( K  x.  ( P `
 t ) ) ^ N ) )  <_  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
146128, 145jca 518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N ) )  /\  ( 1  -  (
( K  x.  ( P `  t )
) ^ N ) )  <_  ( (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) )
147 ltletr 8929 . . 3  |-  ( ( ( 1  -  E
)  e.  RR  /\  ( 1  -  (
( K  x.  ( P `  t )
) ^ N ) )  e.  RR  /\  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( 1  -  E )  < 
( 1  -  (
( K  x.  ( P `  t )
) ^ N ) )  /\  ( 1  -  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N ) )  <_ 
( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )  ->  ( 1  -  E )  < 
( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) ) )
14849, 146, 147sylc 56 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
149 stoweidlem24.2 . . . . 5  |-  Q  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
150149, 14, 28, 10stoweidlem12 27863 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( Q `  t )  =  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
15181, 150syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( Q `  t )  =  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
152151breq2d 4051 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( 1  -  E
)  <  ( Q `  t )  <->  ( 1  -  E )  < 
( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) ) )
153148, 152mpbird 223 1  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( Q `  t ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   {crab 2560   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   2c2 9811   NN0cn0 9981   RR+crp 10370   ^cexp 11120
This theorem is referenced by:  stoweidlem45  27896
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121
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