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Theorem stoweidlem24 31551
Description: This lemma proves that for  n sufficiently large, qn( t ) > ( 1 - epsilon ), for all  t in  V: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90, (at the bottom of page 90). 
Q is used to represent qn in the paper,  N to represent  n in the paper,  K to represent  k,  D to represent δ, and  E to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem24.1  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
stoweidlem24.2  |-  Q  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
stoweidlem24.3  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
stoweidlem24.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
stoweidlem24.5  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
stoweidlem24.6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem24.8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem24.9  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N ) ) )
stoweidlem24.10  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem24  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( Q `  t ) )
Distinct variable group:    t, T
Allowed substitution hints:    ph( t)    D( t)    P( t)    Q( t)    E( t)    K( t)    N( t)    V( t)

Proof of Theorem stoweidlem24
StepHypRef Expression
1 1red 9612 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  1  e.  RR )
2 stoweidlem24.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
32rpred 11257 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
43adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  E  e.  RR )
51, 4resubcld 9988 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  e.  RR )
6 stoweidlem24.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
76nn0red 10854 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
87adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  K  e.  RR )
9 stoweidlem24.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
109adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  P : T --> RR )
11 stoweidlem24.1 . . . . . . . . . 10  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
1211rabeq2i 3110 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  V  <->  ( t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) ) )
1312simplbi 460 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  V  ->  t  e.  T )
1413adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  t  e.  T )
1510, 14ffvelrnd 6023 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  e.  RR )
168, 15remulcld 9625 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  x.  ( P `  t ) )  e.  RR )
17 stoweidlem24.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1817adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  N  e.  NN0 )
1916, 18reexpcld 12296 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  ( P `  t )
) ^ N )  e.  RR )
201, 19resubcld 9988 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( K  x.  ( P `
 t ) ) ^ N ) )  e.  RR )
2115, 18reexpcld 12296 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  e.  RR )
221, 21resubcld 9988 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) )  e.  RR )
236, 17jca 532 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)
2423adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )
25 nn0expcl 12149 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( K ^ N
)  e.  NN0 )
2624, 25syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K ^ N )  e. 
NN0 )
2722, 26reexpcld 12296 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR )
28 1red 9612 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
29 stoweidlem24.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
3029rpred 11257 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
317, 30remulcld 9625 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  e.  RR )
3231rehalfcld 10786 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  D )  /  2
)  e.  RR )
3332, 17reexpcld 12296 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  D )  / 
2 ) ^ N
)  e.  RR )
3428, 33resubcld 9988 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
( ( K  x.  D )  /  2
) ^ N ) )  e.  RR )
3534adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( ( K  x.  D
)  /  2 ) ^ N ) )  e.  RR )
36 stoweidlem24.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N ) ) )
3736adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  / 
2 ) ^ N
) ) )
3833adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( ( K  x.  D )  /  2
) ^ N )  e.  RR )
3932adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  D
)  /  2 )  e.  RR )
406nn0ge0d 10856 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  K )
417, 40jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  e.  RR  /\  0  <_  K )
)
4241adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  e.  RR  /\  0  <_  K ) )
43 stoweidlem24.10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
4443r19.21bi 2833 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
4544simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( P `  t
) )
4613, 45sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  0  <_  ( P `  t
) )
47 mulge0 10071 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  RR  /\  0  <_  K )  /\  ( ( P `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( P `  t ) ) )  ->  0  <_  ( K  x.  ( P `  t ) ) )
4842, 15, 46, 47syl12anc 1226 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  0  <_  ( K  x.  ( P `  t )
) )
4930rehalfcld 10786 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  e.  RR )
5049adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( D  /  2 )  e.  RR )
5112simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  V  ->  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) )
5251adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) )
5315, 50, 52ltled 9733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <_  ( D  /  2
) )
54 lemul2a 10398 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P `  t )  e.  RR  /\  ( D  /  2
)  e.  RR  /\  ( K  e.  RR  /\  0  <_  K )
)  /\  ( P `  t )  <_  ( D  /  2 ) )  ->  ( K  x.  ( P `  t ) )  <_  ( K  x.  ( D  /  2
) ) )
5515, 50, 42, 53, 54syl31anc 1231 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  x.  ( P `  t ) )  <_ 
( K  x.  ( D  /  2 ) ) )
566nn0cnd 10855 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
5756adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  K  e.  CC )
5829rpcnd 11259 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
5958adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  D  e.  CC )
60 2cnne0 10751 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
6160a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
62 divass 10226 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CC  /\  D  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( K  x.  D )  / 
2 )  =  ( K  x.  ( D  /  2 ) ) )
6357, 59, 61, 62syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  D
)  /  2 )  =  ( K  x.  ( D  /  2
) ) )
6455, 63breqtrrd 4473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  x.  ( P `  t ) )  <_ 
( ( K  x.  D )  /  2
) )
65 leexp1a 12193 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  x.  ( P `  t ) )  e.  RR  /\  ( ( K  x.  D )  /  2
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  ( K  x.  ( P `  t ) )  /\  ( K  x.  ( P `  t )
)  <_  ( ( K  x.  D )  /  2 ) ) )  ->  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N )  <_  (
( ( K  x.  D )  /  2
) ^ N ) )
6616, 39, 18, 48, 64, 65syl32anc 1236 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  ( P `  t )
) ^ N )  <_  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N ) )
6719, 38, 1, 66lesub2dd 10170 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( ( K  x.  D
)  /  2 ) ^ N ) )  <_  ( 1  -  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N ) ) )
685, 35, 20, 37, 67ltletrd 9742 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N ) ) )
6915recnd 9623 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  e.  CC )
7057, 69, 18mulexpd 12294 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  ( P `  t )
) ^ N )  =  ( ( K ^ N )  x.  ( ( P `  t ) ^ N
) ) )
7170eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K ^ N
)  x.  ( ( P `  t ) ^ N ) )  =  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N ) )
7271oveq2d 6301 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( K ^ N )  x.  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) )  =  ( 1  -  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N ) ) )
7313, 44sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
7473simprd 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <_  1 )
75 exple1 12194 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  <_  1 )
7615, 46, 74, 18, 75syl31anc 1231 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  <_  1 )
77 stoweidlem10 31537 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P `  t ) ^ N
)  e.  RR  /\  ( K ^ N )  e.  NN0  /\  (
( P `  t
) ^ N )  <_  1 )  -> 
( 1  -  (
( K ^ N
)  x.  ( ( P `  t ) ^ N ) ) )  <_  ( (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
7821, 26, 76, 77syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( K ^ N )  x.  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) )  <_  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
7972, 78eqbrtrrd 4469 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( K  x.  ( P `
 t ) ) ^ N ) )  <_  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
805, 20, 27, 68, 79ltletrd 9742 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
81 stoweidlem24.2 . . . 4  |-  Q  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
8281, 9, 17, 6stoweidlem12 31539 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( Q `  t )  =  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
8313, 82sylan2 474 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( Q `  t )  =  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
8480, 83breqtrrd 4473 1  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( Q `  t ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   {crab 2818   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   RRcr 9492   0cc0 9493   1c1 9494    x. cmul 9498    < clt 9629    <_ cle 9630    - cmin 9806    / cdiv 10207   2c2 10586   NN0cn0 10796   RR+crp 11221   ^cexp 12135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-seq 12077  df-exp 12136
This theorem is referenced by:  stoweidlem45  31572
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