Theorem stoweidlem24 31551

Description: This lemma proves that for n sufficiently large, q_n( t ) > ( 1 - epsilon ), for all t in V: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90, (at the bottom of page 90). Q is used to represent q_n in the paper, N to represent n in the paper, K to represent k, D to represent δ, and E to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem24.1	|- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
stoweidlem24.2	|- Q = ( t e. T |-> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
stoweidlem24.3	|- ( ph -> P : T --> RR )
stoweidlem24.4	|- ( ph -> N e. NN0 )
stoweidlem24.5	|- ( ph -> K e. NN0 )
stoweidlem24.6	|- ( ph -> D e. RR+ )
stoweidlem24.8	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem24.9	|- ( ph -> ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) ) )
stoweidlem24.10	|- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem24	|- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - E ) < ( Q ` t ) )

Distinct variable group:   t, T

Allowed substitution hints:   ph( t)   D( t)   P( t)   Q( t)   E( t)   K( t)   N( t)   V( t)

Proof of Theorem stoweidlem24

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 9612	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> 1 e. RR )
2		stoweidlem24.8	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. RR+ )
3	2	rpred 11257	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR )
4	3	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> E e. RR )
5	1, 4	resubcld 9988	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - E ) e. RR )
6		stoweidlem24.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. NN0 )
7	6	nn0red 10854	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. RR )
8	7	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> K e. RR )
9		stoweidlem24.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P : T --> RR )
10	9	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> P : T --> RR )
11		stoweidlem24.1	. . . . . . . . . 10 |- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
12	11	rabeq2i 3110	. . . . . . . . 9 |- ( t e. V <-> ( t e. T /\ ( P ` t ) < ( D / 2 ) ) )
13	12	simplbi 460	. . . . . . . 8 |- ( t e. V -> t e. T )
14	13	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> t e. T )
15	10, 14	ffvelrnd 6023	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) e. RR )
16	8, 15	remulcld 9625	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( K x. ( P ` t ) ) e. RR )
17		stoweidlem24.4	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN0 )
18	17	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> N e. NN0 )
19	16, 18	reexpcld 12296	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) e. RR )
20	1, 19	resubcld 9988	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) ) e. RR )
21	15, 18	reexpcld 12296	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( P ` t ) ^ N ) e. RR )
22	1, 21	resubcld 9988	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) e. RR )
23	6, 17	jca 532	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
24	23	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
25		nn0expcl 12149	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K ^ N ) e. NN0 )
26	24, 25	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( K ^ N ) e. NN0 )
27	22, 26	reexpcld 12296	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) e. RR )
28		1red 9612	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
29		stoweidlem24.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. RR+ )
30	29	rpred 11257	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. RR )
31	7, 30	remulcld 9625	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K x. D ) e. RR )
32	31	rehalfcld 10786	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( K x. D ) / 2 ) e. RR )
33	32, 17	reexpcld 12296	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) e. RR )
34	28, 33	resubcld 9988	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 - ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) ) e. RR )
35	34	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) ) e. RR )
36		stoweidlem24.9	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) ) )
37	36	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) ) )
38	33	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) e. RR )
39	32	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( K x. D ) / 2 ) e. RR )
40	6	nn0ge0d 10856	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ K )
41	7, 40	jca 532	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K e. RR /\ 0 <_ K ) )
42	41	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( K e. RR /\ 0 <_ K ) )
43		stoweidlem24.10	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
44	43	r19.21bi 2833	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
45	44	simpld 459	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( P ` t ) )
46	13, 45	sylan2 474	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> 0 <_ ( P ` t ) )
47		mulge0 10071	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. RR /\ 0 <_ K ) /\ ( ( P ` t ) e. RR /\ 0 <_ ( P ` t ) ) ) -> 0 <_ ( K x. ( P ` t ) ) )
48	42, 15, 46, 47	syl12anc 1226	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> 0 <_ ( K x. ( P ` t ) ) )
49	30	rehalfcld 10786	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D / 2 ) e. RR )
50	49	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( D / 2 ) e. RR )
51	12	simprbi 464	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. V -> ( P ` t ) < ( D / 2 ) )
52	51	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) < ( D / 2 ) )
53	15, 50, 52	ltled 9733	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) <_ ( D / 2 ) )
54		lemul2a 10398	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P ` t ) e. RR /\ ( D / 2 ) e. RR /\ ( K e. RR /\ 0 <_ K ) ) /\ ( P ` t ) <_ ( D / 2 ) ) -> ( K x. ( P ` t ) ) <_ ( K x. ( D / 2 ) ) )
55	15, 50, 42, 53, 54	syl31anc 1231	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( K x. ( P ` t ) ) <_ ( K x. ( D / 2 ) ) )
56	6	nn0cnd 10855	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. CC )
57	56	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> K e. CC )
58	29	rpcnd 11259	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. CC )
59	58	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> D e. CC )
60		2cnne0 10751	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
62		divass 10226	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CC /\ D e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( K x. D ) / 2 ) = ( K x. ( D / 2 ) ) )
63	57, 59, 61, 62	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( K x. D ) / 2 ) = ( K x. ( D / 2 ) ) )
64	55, 63	breqtrrd 4473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( K x. ( P ` t ) ) <_ ( ( K x. D ) / 2 ) )
65		leexp1a 12193	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K x. ( P ` t ) ) e. RR /\ ( ( K x. D ) / 2 ) e. RR /\ N e. NN0 ) /\ ( 0 <_ ( K x. ( P ` t ) ) /\ ( K x. ( P ` t ) ) <_ ( ( K x. D ) / 2 ) ) ) -> ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) <_ ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) )
66	16, 39, 18, 48, 64, 65	syl32anc 1236	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) <_ ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) )
67	19, 38, 1, 66	lesub2dd 10170	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) ) <_ ( 1 - ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) ) )
68	5, 35, 20, 37, 67	ltletrd 9742	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) ) )
69	15	recnd 9623	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) e. CC )
70	57, 69, 18	mulexpd 12294	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) = ( ( K ^ N ) x. ( ( P ` t ) ^ N ) ) )
71	70	eqcomd 2475	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( K ^ N ) x. ( ( P ` t ) ^ N ) ) = ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) )
72	71	oveq2d 6301	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( K ^ N ) x. ( ( P ` t ) ^ N ) ) ) = ( 1 - ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) ) )
73	13, 44	sylan2 474	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
74	73	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) <_ 1 )
75		exple1 12194	. . . . . 6 |- ( ( ( ( P ` t ) e. RR /\ 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( P ` t ) ^ N ) <_ 1 )
76	15, 46, 74, 18, 75	syl31anc 1231	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( P ` t ) ^ N ) <_ 1 )
77		stoweidlem10 31537	. . . . 5 |- ( ( ( ( P ` t ) ^ N ) e. RR /\ ( K ^ N ) e. NN0 /\ ( ( P ` t ) ^ N ) <_ 1 ) -> ( 1 - ( ( K ^ N ) x. ( ( P ` t ) ^ N ) ) ) <_ ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
78	21, 26, 76, 77	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( K ^ N ) x. ( ( P ` t ) ^ N ) ) ) <_ ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
79	72, 78	eqbrtrrd 4469	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) ) <_ ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
80	5, 20, 27, 68, 79	ltletrd 9742	. 2 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - E ) < ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
81		stoweidlem24.2	. . . 4 |- Q = ( t e. T |-> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
82	81, 9, 17, 6	stoweidlem12 31539	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( Q ` t ) = ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
83	13, 82	sylan2 474	. 2 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( Q ` t ) = ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
84	80, 83	breqtrrd 4473	1 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - E ) < ( Q ` t ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   {crab 2818   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   RRcr 9492   0cc0 9493   1c1 9494   x. cmul 9498   < clt 9629   <_ cle 9630   - cmin 9806   / cdiv 10207   2c2 10586   NN0cn0 10796   RR+crp 11221   ^cexp 12135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-seq 12077  df-exp 12136

This theorem is referenced by:  stoweidlem45  31572