Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem23 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stoweidlem23 37883
 Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in the beginning of Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that pt ( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem23.1
stoweidlem23.2
stoweidlem23.3
stoweidlem23.4
stoweidlem23.5
stoweidlem23.6
stoweidlem23.7
stoweidlem23.8
stoweidlem23.9
stoweidlem23.10
Assertion
Ref Expression
stoweidlem23
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,)   ()   (,,,)   ()

Proof of Theorem stoweidlem23
StepHypRef Expression
1 stoweidlem23.3 . . 3
2 stoweidlem23.1 . . . . 5
3 stoweidlem23.9 . . . . . . . . 9
43ancli 554 . . . . . . . . 9
5 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . 12
65anbi2d 710 . . . . . . . . . . 11
7 feq1 5710 . . . . . . . . . . 11
86, 7imbi12d 322 . . . . . . . . . 10
9 stoweidlem23.4 . . . . . . . . . 10
108, 9vtoclg 3107 . . . . . . . . 9
113, 4, 10sylc 62 . . . . . . . 8
1211fnvinran 37335 . . . . . . 7
1312recnd 9669 . . . . . 6
14 stoweidlem23.8 . . . . . . . . 9
1511, 14ffvelrnd 6023 . . . . . . . 8
1615adantr 467 . . . . . . 7
1716recnd 9669 . . . . . 6
1813, 17negsubd 9992 . . . . 5
192, 18mpteq2da 4488 . . . 4
20 simpr 463 . . . . . . . 8
2115renegcld 10046 . . . . . . . . 9
2221adantr 467 . . . . . . . 8
23 eqid 2451 . . . . . . . . 9
2423fvmpt2 5957 . . . . . . . 8
2520, 22, 24syl2anc 667 . . . . . . 7
2625oveq2d 6306 . . . . . 6
272, 26mpteq2da 4488 . . . . 5
2821ancli 554 . . . . . . 7
29 eleq1 2517 . . . . . . . . . 10
3029anbi2d 710 . . . . . . . . 9
31 stoweidlem23.2 . . . . . . . . . . . . . 14
32 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . 14
3331, 32nffv 5872 . . . . . . . . . . . . 13
3433nfneg 9871 . . . . . . . . . . . 12
3534nfeq2 2607 . . . . . . . . . . 11
36 simpl 459 . . . . . . . . . . 11
3735, 36mpteq2da 4488 . . . . . . . . . 10
3837eleq1d 2513 . . . . . . . . 9
3930, 38imbi12d 322 . . . . . . . 8
40 stoweidlem23.6 . . . . . . . 8
4139, 40vtoclg 3107 . . . . . . 7
4221, 28, 41sylc 62 . . . . . 6
43 stoweidlem23.5 . . . . . . 7
44 nfmpt1 4492 . . . . . . 7
4543, 31, 44stoweidlem8 37868 . . . . . 6
463, 42, 45mpd3an23 1366 . . . . 5
4727, 46eqeltrrd 2530 . . . 4
4819, 47eqeltrrd 2530 . . 3
491, 48syl5eqel 2533 . 2
50 stoweidlem23.7 . . . . . 6
5111, 50ffvelrnd 6023 . . . . 5
5251recnd 9669 . . . 4
5315recnd 9669 . . . 4
54 stoweidlem23.10 . . . 4
5552, 53, 54subne0d 9995 . . 3
5651, 15resubcld 10047 . . . 4
57 nfcv 2592 . . . . 5
5831, 57nffv 5872 . . . . . 6
59 nfcv 2592 . . . . . 6
6058, 59, 33nfov 6316 . . . . 5
61 fveq2 5865 . . . . . 6
6261oveq1d 6305 . . . . 5
6357, 60, 62, 1fvmptf 5966 . . . 4
6450, 56, 63syl2anc 667 . . 3
6515, 15resubcld 10047 . . . . 5
6633, 59, 33nfov 6316 . . . . . 6
67 fveq2 5865 . . . . . . 7
6867oveq1d 6305 . . . . . 6
6932, 66, 68, 1fvmptf 5966 . . . . 5
7014, 65, 69syl2anc 667 . . . 4
7153subidd 9974 . . . 4
7270, 71eqtrd 2485 . . 3
7355, 64, 723netr4d 2701 . 2
7449, 73, 723jca 1188 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   w3a 985   wceq 1444  wnf 1667   wcel 1887  wnfc 2579   wne 2622   cmpt 4461  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  cr 9538  cc0 9539   caddc 9542   cmin 9860  cneg 9861 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-ltxr 9680  df-sub 9862  df-neg 9863 This theorem is referenced by:  stoweidlem43  37904
 Copyright terms: Public domain W3C validator