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Theorem stoweidlem20 37992
 Description: If a set A of real functions from a common domain T is closed under the sum of two functions, then it is closed under the sum of a finite number of functions, indexed by G. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem20.1
stoweidlem20.2
stoweidlem20.3
stoweidlem20.4
stoweidlem20.5
stoweidlem20.6
Assertion
Ref Expression
stoweidlem20
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,,,)   (,)

Proof of Theorem stoweidlem20
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem20.2 . 2
2 stoweidlem20.3 . . 3
32nnred 10646 . . . . 5
43leidd 10201 . . . 4
54ancli 560 . . 3
6 eleq1 2537 . . . . 5
7 breq1 4398 . . . . . . 7
87anbi2d 718 . . . . . 6
9 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
109sumeq1d 13844 . . . . . . . 8
1110mpteq2dv 4483 . . . . . . 7
1211eleq1d 2533 . . . . . 6
138, 12imbi12d 327 . . . . 5
146, 13imbi12d 327 . . . 4
15 breq1 4398 . . . . . . 7
1615anbi2d 718 . . . . . 6
17 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
1817sumeq1d 13844 . . . . . . . 8
1918mpteq2dv 4483 . . . . . . 7
2019eleq1d 2533 . . . . . 6
2116, 20imbi12d 327 . . . . 5
22 breq1 4398 . . . . . . 7
2322anbi2d 718 . . . . . 6
24 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
2524sumeq1d 13844 . . . . . . . 8
2625mpteq2dv 4483 . . . . . . 7
2726eleq1d 2533 . . . . . 6
2823, 27imbi12d 327 . . . . 5
29 breq1 4398 . . . . . . 7
3029anbi2d 718 . . . . . 6
31 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
3231sumeq1d 13844 . . . . . . . 8
3332mpteq2dv 4483 . . . . . . 7
3433eleq1d 2533 . . . . . 6
3530, 34imbi12d 327 . . . . 5
36 breq1 4398 . . . . . . 7
3736anbi2d 718 . . . . . 6
38 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
3938sumeq1d 13844 . . . . . . . 8
4039mpteq2dv 4483 . . . . . . 7
4140eleq1d 2533 . . . . . 6
4237, 41imbi12d 327 . . . . 5
43 stoweidlem20.1 . . . . . . . . 9
44 1z 10991 . . . . . . . . . 10
45 stoweidlem20.4 . . . . . . . . . . . . . 14
46 nnuz 11218 . . . . . . . . . . . . . . . 16
472, 46syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . 15
48 eluzfz1 11832 . . . . . . . . . . . . . . 15
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
5045, 49ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13
5150ancli 560 . . . . . . . . . . . . 13
52 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5352anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . 15
54 feq1 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15
5553, 54imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . 14
56 stoweidlem20.6 . . . . . . . . . . . . . 14
5755, 56vtoclg 3093 . . . . . . . . . . . . 13
5850, 51, 57sylc 61 . . . . . . . . . . . 12
5958ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . 11
6059recnd 9687 . . . . . . . . . 10
61 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
6261fveq1d 5881 . . . . . . . . . . 11
6362fsum1 13885 . . . . . . . . . 10
6444, 60, 63sylancr 676 . . . . . . . . 9
6543, 64mpteq2da 4481 . . . . . . . 8
6658feqmptd 5932 . . . . . . . 8
6765, 66eqtr4d 2508 . . . . . . 7
6867, 50eqeltrd 2549 . . . . . 6
6968adantr 472 . . . . 5
70 simprl 772 . . . . . . 7
71 simpll 768 . . . . . . 7
72 simprr 774 . . . . . . 7
73 simp1 1030 . . . . . . . . . 10
74 nnre 10638 . . . . . . . . . . . 12
75743ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . 11
76 1red 9676 . . . . . . . . . . . 12
7775, 76readdcld 9688 . . . . . . . . . . 11
7823ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . 12
7978nnred 10646 . . . . . . . . . . 11
8075lep1d 10560 . . . . . . . . . . 11
81 simp3 1032 . . . . . . . . . . 11
8275, 77, 79, 80, 81letrd 9809 . . . . . . . . . 10
8373, 82jca 541 . . . . . . . . 9
8470, 71, 72, 83syl3anc 1292 . . . . . . . 8
85 simplr 770 . . . . . . . 8
8684, 85mpd 15 . . . . . . 7
87 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11
88 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11
8943, 87, 88nf3an 2033 . . . . . . . . . 10
90 simpl2 1034 . . . . . . . . . . . . 13
9190, 46syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . 12
92 simpll1 1069 . . . . . . . . . . . . 13
93 1zzd 10992 . . . . . . . . . . . . . 14
942nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . 16
95943ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . 15
9695ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
97 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . 15
9897adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
99 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . . . . 15
10099adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
10197zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . 16
102101adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15
10377ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15
10479ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15
105 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . . . . 16
106105adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15
107 simpll3 1071 . . . . . . . . . . . . . . 15
108102, 103, 104, 106, 107letrd 9809 . . . . . . . . . . . . . 14
109 elfz4 11819 . . . . . . . . . . . . . 14
11093, 96, 98, 100, 108, 109syl32anc 1300 . . . . . . . . . . . . 13
111 simplr 770 . . . . . . . . . . . . 13
11245ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1131123adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . . . 16
114 simp1 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115114, 113jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . 16
116 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117116anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
118 feq1 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
119117, 118imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
120119, 56vtoclg 3093 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121113, 115, 120sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . 15
122 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . . 15
123121, 122ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14
124123recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13
12592, 110, 111, 124syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12
126 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
127126fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . 12
12891, 125, 127fsump1 13894 . . . . . . . . . . 11
129 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13
130 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . . . 14
131 simpll1 1069 . . . . . . . . . . . . . . 15
132 1zzd 10992 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13395ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16
134 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
135134adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
136 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
137136adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
138134zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
139138adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14077adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14179adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14275adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
143 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
144143adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
145 letrp1 10469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146139, 142, 144, 145syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
147 simpl3 1035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
148139, 140, 141, 146, 147letrd 9809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
149148adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16
150132, 133, 135, 137, 149, 109syl32anc 1300 . . . . . . . . . . . . . . 15
151 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15
152131, 150, 151, 123syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14
153130, 152fsumrecl 13877 . . . . . . . . . . . . 13
154 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
155154fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . 13
156129, 153, 155syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
157156oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11
158128, 157eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10
15989, 158mpteq2da 4481 . . . . . . . . 9
160159adantr 472 . . . . . . . 8
161 1zzd 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
162 peano2nn 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
163162nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1641633ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
165162nnge1d 10674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1661653ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
167 elfz4 11819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
168161, 95, 164, 166, 81, 167syl32anc 1300 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16945ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . 16
17073, 168, 169syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15
171 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
172171anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
173 feq1 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
174172, 173imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
175174, 56vtoclg 3093 . . . . . . . . . . . . . . . 16
176175anabsi7 835 . . . . . . . . . . . . . . 15
17773, 170, 176syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
178177ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . 13
179 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
180179fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . 13
181129, 178, 180syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
182181oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11
18389, 182mpteq2da 4481 . . . . . . . . . 10
184183adantr 472 . . . . . . . . 9
185 simpl1 1033 . . . . . . . . . 10
186 simpr 468 . . . . . . . . . 10
187168adantr 472 . . . . . . . . . . 11
188176feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . . 13
189169, 188syldan 478 . . . . . . . . . . . 12
190189, 169eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . 11
191185, 187, 190syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
192 stoweidlem20.5 . . . . . . . . . . 11
193 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . 11
194 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . 11
195192, 193, 194stoweidlem8 37980 . . . . . . . . . 10
196185, 186, 191, 195syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
197184, 196eqeltrrd 2550 . . . . . . . 8
198160, 197eqeltrd 2549 . . . . . . 7
19970, 71, 72, 86, 198syl31anc 1295 . . . . . 6
200199exp31 615 . . . . 5
20121, 28, 35, 42, 69, 200nnind 10649 . . . 4
20214, 201vtoclg 3093 . . 3
2032, 2, 5, 202syl3c 62 . 2
2041, 203syl5eqel 2553 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wnf 1675   wcel 1904   class class class wbr 4395   cmpt 4454  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  c1 9558   caddc 9560   cle 9694  cn 10631  cz 10961  cuz 11182  cfz 11810  csu 13829 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830 This theorem is referenced by:  stoweidlem32  38005
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