Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem20 Unicode version

Theorem stoweidlem20 27636
 Description: If a set A of real functions from a common domain T is closed under the sum of two functions, then it is closed under the sum of a finite number of functions, indexed by G. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem20.1
stoweidlem20.2
stoweidlem20.3
stoweidlem20.4
stoweidlem20.5
stoweidlem20.6
Assertion
Ref Expression
stoweidlem20
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,,,)   (,)

Proof of Theorem stoweidlem20
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem20.2 . 2
2 stoweidlem20.3 . . 3
32nnred 9971 . . . . 5
43leidd 9549 . . . 4
54ancli 535 . . 3
6 eleq1 2464 . . . . 5
7 breq1 4175 . . . . . . 7
87anbi2d 685 . . . . . 6
9 oveq2 6048 . . . . . . . . 9
109sumeq1d 12450 . . . . . . . 8
1110mpteq2dv 4256 . . . . . . 7
1211eleq1d 2470 . . . . . 6
138, 12imbi12d 312 . . . . 5
146, 13imbi12d 312 . . . 4
15 breq1 4175 . . . . . . 7
1615anbi2d 685 . . . . . 6
17 oveq2 6048 . . . . . . . . 9
1817sumeq1d 12450 . . . . . . . 8
1918mpteq2dv 4256 . . . . . . 7
2019eleq1d 2470 . . . . . 6
2116, 20imbi12d 312 . . . . 5
22 breq1 4175 . . . . . . 7
2322anbi2d 685 . . . . . 6
24 oveq2 6048 . . . . . . . . 9
2524sumeq1d 12450 . . . . . . . 8
2625mpteq2dv 4256 . . . . . . 7
2726eleq1d 2470 . . . . . 6
2823, 27imbi12d 312 . . . . 5
29 breq1 4175 . . . . . . 7
3029anbi2d 685 . . . . . 6
31 oveq2 6048 . . . . . . . . 9
3231sumeq1d 12450 . . . . . . . 8
3332mpteq2dv 4256 . . . . . . 7
3433eleq1d 2470 . . . . . 6
3530, 34imbi12d 312 . . . . 5
36 breq1 4175 . . . . . . 7
3736anbi2d 685 . . . . . 6
38 oveq2 6048 . . . . . . . . 9
3938sumeq1d 12450 . . . . . . . 8
4039mpteq2dv 4256 . . . . . . 7
4140eleq1d 2470 . . . . . 6
4237, 41imbi12d 312 . . . . 5
43 stoweidlem20.1 . . . . . . . . 9
44 1z 10267 . . . . . . . . . 10
45 stoweidlem20.4 . . . . . . . . . . . . . 14
46 nnuz 10477 . . . . . . . . . . . . . . . 16
472, 46syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15
48 eluzfz1 11020 . . . . . . . . . . . . . . 15
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
5045, 49ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . 13
5150ancli 535 . . . . . . . . . . . . 13
52 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5352anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . 15
54 feq1 5535 . . . . . . . . . . . . . . 15
5553, 54imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . 14
56 stoweidlem20.6 . . . . . . . . . . . . . 14
5755, 56vtoclg 2971 . . . . . . . . . . . . 13
5850, 51, 57sylc 58 . . . . . . . . . . . 12
5958ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . 11
6059recnd 9070 . . . . . . . . . 10
61 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12
6261fveq1d 5689 . . . . . . . . . . 11
6362fsum1 12490 . . . . . . . . . 10
6444, 60, 63sylancr 645 . . . . . . . . 9
6543, 64mpteq2da 4254 . . . . . . . 8
6658feqmptd 5738 . . . . . . . 8
6765, 66eqtr4d 2439 . . . . . . 7
6867, 50eqeltrd 2478 . . . . . 6
6968adantr 452 . . . . 5
70 simprl 733 . . . . . . . 8
71 simpll 731 . . . . . . . 8
72 simprr 734 . . . . . . . 8
7370, 71, 723jca 1134 . . . . . . 7
74 simp1 957 . . . . . . . . . 10
75 nnre 9963 . . . . . . . . . . . 12
76753ad2ant2 979 . . . . . . . . . . 11
77 1re 9046 . . . . . . . . . . . . 13
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
7976, 78readdcld 9071 . . . . . . . . . . 11
8023ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . 12
8180nnred 9971 . . . . . . . . . . 11
8276lep1d 9898 . . . . . . . . . . 11
83 simp3 959 . . . . . . . . . . 11
8476, 79, 81, 82, 83letrd 9183 . . . . . . . . . 10
8574, 84jca 519 . . . . . . . . 9
8670, 71, 72, 85syl3anc 1184 . . . . . . . 8
87 simplr 732 . . . . . . . 8
8886, 87mpd 15 . . . . . . 7
89 nfv 1626 . . . . . . . . . . 11
90 nfv 1626 . . . . . . . . . . 11
9143, 89, 90nf3an 1845 . . . . . . . . . 10
92 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . 13
9392, 46syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . 12
94 simpll1 996 . . . . . . . . . . . . 13
9544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
962nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . 16
97963ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . 15
9897ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
99 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . . . . 15
10099adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14
101 elfzle1 11016 . . . . . . . . . . . . . . 15
102101adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14
10399zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . . 16
104103adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
10579ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
10681ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
107 elfzle2 11017 . . . . . . . . . . . . . . . 16
108107adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
109 simpll3 998 . . . . . . . . . . . . . . 15
110104, 105, 106, 108, 109letrd 9183 . . . . . . . . . . . . . 14
111 elfz4 11008 . . . . . . . . . . . . . 14
11295, 98, 100, 102, 110, 111syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . 13
113 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13
11445ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1151143adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . . 16
116 simp1 957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117116, 115jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
119118anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120 feq1 5535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
121119, 120imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122121, 56vtoclg 2971 . . . . . . . . . . . . . . . 16
123115, 117, 122sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . 15
124 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . . 15
125123, 124ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . 14
126125recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13
12794, 112, 113, 126syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12
128 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13
129128fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . 12
13093, 127, 129fsump1 12495 . . . . . . . . . . 11
131 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13
132 fzfid 11267 . . . . . . . . . . . . . 14
133 simpll1 996 . . . . . . . . . . . . . . 15
13444a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13597ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16
136 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
137136adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
138 elfzle1 11016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
139138adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
140136zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
141140adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14279adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14381adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14476adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
145 elfzle2 11017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
146145adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
147 letrp1 9808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
148141, 144, 146, 147syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
150141, 142, 143, 148, 149letrd 9183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
151150adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16
152134, 135, 137, 139, 151, 111syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . . 15
153 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15
154133, 152, 153, 125syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14
155132, 154fsumrecl 12483 . . . . . . . . . . . . 13
156 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14
157156fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . 13
158131, 155, 157syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
159158oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11
160130, 159eqtr4d 2439 . . . . . . . . . 10
16191, 160mpteq2da 4254 . . . . . . . . 9
162161adantr 452 . . . . . . . 8
16344a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
164 peano2nn 9968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
165164nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1661653ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
167164nnge1d 9998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1681673ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
169 elfz4 11008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
170163, 97, 166, 168, 83, 169syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . . . 16
17145ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . 16
17274, 170, 171syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15
173 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
174173anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
175 feq1 5535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
176174, 175imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
177176, 56vtoclg 2971 . . . . . . . . . . . . . . . 16
178177anabsi7 793 . . . . . . . . . . . . . . 15
17974, 172, 178syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
180179ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . 13
181 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14
182181fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . 13
183131, 180, 182syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
184183oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11
18591, 184mpteq2da 4254 . . . . . . . . . 10
186185adantr 452 . . . . . . . . 9
187 simpl1 960 . . . . . . . . . 10
188 simpr 448 . . . . . . . . . 10
189170adantr 452 . . . . . . . . . . 11
190178feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . . 13
191171, 190syldan 457 . . . . . . . . . . . 12
192191, 171eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . 11
193187, 189, 192syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
194 stoweidlem20.5 . . . . . . . . . . 11
195 nfmpt1 4258 . . . . . . . . . . 11
196 nfmpt1 4258 . . . . . . . . . . 11
197194, 195, 196stoweidlem8 27624 . . . . . . . . . 10
198187, 188, 193, 197syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
199186, 198eqeltrrd 2479 . . . . . . . 8
200162, 199eqeltrd 2478 . . . . . . 7
20173, 88, 200syl2anc 643 . . . . . 6
202201exp31 588 . . . . 5
20321, 28, 35, 42, 69, 202nnind 9974 . . . 4
20414, 203vtoclg 2971 . . 3
2052, 2, 5, 204syl3c 59 . 2
2061, 205syl5eqel 2488 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936  wnf 1550   wceq 1649   wcel 1721   class class class wbr 4172   cmpt 4226  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc 8944  cr 8945  c1 8947   caddc 8949   cle 9077  cn 9956  cz 10238  cuz 10444  cfz 10999  csu 12434 This theorem is referenced by:  stoweidlem32  27648 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435
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