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Theorem stoweidlem20 31963
Description: If a set A of real functions from a common domain T is closed under the sum of two functions, then it is closed under the sum of a finite number of functions, indexed by G. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem20.1  |-  F/ t
ph
stoweidlem20.2  |-  F  =  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
) )
stoweidlem20.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem20.4  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... M ) --> A )
stoweidlem20.5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem20.6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem20  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
Distinct variable groups:    f, g,
i, t, G    A, f, g    T, f, g, i, t    ph, f,
g, i    i, M, t
Allowed substitution hints:    ph( t)    A( t, i)    F( t, f, g, i)    M( f, g)

Proof of Theorem stoweidlem20
Dummy variables  y  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem20.2 . 2  |-  F  =  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
) )
2 stoweidlem20.3 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
32nnred 10571 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
43leidd 10140 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  <_  M )
54ancli 551 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  M  <_  M ) )
6 eleq1 2529 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
n  e.  NN  <->  M  e.  NN ) )
7 breq1 4459 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
n  <_  M  <->  M  <_  M ) )
87anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
( ph  /\  n  <_  M )  <->  ( ph  /\  M  <_  M )
) )
9 oveq2 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... M
) )
109sumeq1d 13534 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( ( G `
 i ) `  t )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  t )
)
1110mpteq2dv 4544 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( ( G `  i
) `  t )
)  =  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
1211eleq1d 2526 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A ) )
138, 12imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( ph  /\  n  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  M  <_  M )  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) ) )
146, 13imbi12d 320 . . . 4  |-  ( n  =  M  ->  (
( n  e.  NN  ->  ( ( ph  /\  n  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  <->  ( M  e.  NN  ->  ( ( ph  /\  M  <_  M
)  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t ) )  e.  A ) ) ) )
15 breq1 4459 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
x  <_  M  <->  1  <_  M ) )
1615anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( ph  /\  x  <_  M )  <->  ( ph  /\  1  <_  M )
) )
17 oveq2 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
1 ... x )  =  ( 1 ... 1
) )
1817sumeq1d 13534 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... x
) ( ( G `
 i ) `  t )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( G `  i
) `  t )
)
1918mpteq2dv 4544 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i
) `  t )
)  =  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... 1
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
2019eleq1d 2526 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A ) )
2116, 20imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( ph  /\  x  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  1  <_  M )  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) ) )
22 breq1 4459 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <_  M  <->  y  <_  M ) )
2322anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  x  <_  M )  <->  ( ph  /\  y  <_  M )
) )
24 oveq2 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
1 ... x )  =  ( 1 ... y
) )
2524sumeq1d 13534 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... x
) ( ( G `
 i ) `  t )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)
2625mpteq2dv 4544 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i
) `  t )
)  =  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
2726eleq1d 2526 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A ) )
2823, 27imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  y  <_  M )  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) ) )
29 breq1 4459 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  <_  M  <->  ( y  +  1 )  <_  M ) )
3029anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ph  /\  x  <_  M )  <->  ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M )
) )
31 oveq2 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
1 ... x )  =  ( 1 ... (
y  +  1 ) ) )
3231sumeq1d 13534 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... x
) ( ( G `
 i ) `  t )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) ) ( ( G `  i
) `  t )
)
3332mpteq2dv 4544 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i
) `  t )
)  =  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
y  +  1 ) ) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
3433eleq1d 2526 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A ) )
3530, 34imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  x  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) ) )
36 breq1 4459 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
x  <_  M  <->  n  <_  M ) )
3736anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  /\  x  <_  M )  <->  ( ph  /\  n  <_  M )
) )
38 oveq2 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
1 ... x )  =  ( 1 ... n
) )
3938sumeq1d 13534 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... x
) ( ( G `
 i ) `  t )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( ( G `  i
) `  t )
)
4039mpteq2dv 4544 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i
) `  t )
)  =  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
4140eleq1d 2526 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A ) )
4237, 41imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( ph  /\  x  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  n  <_  M )  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) ) )
43 stoweidlem20.1 . . . . . . . . 9  |-  F/ t
ph
44 1z 10915 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
45 stoweidlem20.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... M ) --> A )
46 nnuz 11141 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
472, 46syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
48 eluzfz1 11718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... M
) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 1 ... M ) )
5045, 49ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  A )
5150ancli 551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  ( G `  1 )  e.  A ) )
52 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( G ` 
1 )  ->  (
f  e.  A  <->  ( G `  1 )  e.  A ) )
5352anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( G ` 
1 )  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  ( G `  1
)  e.  A ) ) )
54 feq1 5719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( G ` 
1 )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( G `  1 ) : T --> RR ) )
5553, 54imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( G ` 
1 )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( G `  1 )  e.  A )  -> 
( G `  1
) : T --> RR ) ) )
56 stoweidlem20.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
5755, 56vtoclg 3167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  1 )  e.  A  ->  (
( ph  /\  ( G `  1 )  e.  A )  ->  ( G `  1 ) : T --> RR ) )
5850, 51, 57sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G `  1
) : T --> RR )
5958ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  1
) `  t )  e.  RR )
6059recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  1
) `  t )  e.  CC )
61 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  ( G `  i )  =  ( G ` 
1 ) )
6261fveq1d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  1  ->  (
( G `  i
) `  t )  =  ( ( G `
 1 ) `  t ) )
6362fsum1 13575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( ( G ` 
1 ) `  t
)  e.  CC )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( G `  i ) `  t
)  =  ( ( G `  1 ) `
 t ) )
6444, 60, 63sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... 1
) ( ( G `
 i ) `  t )  =  ( ( G `  1
) `  t )
)
6543, 64mpteq2da 4542 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( G `  i ) `  t
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  1
) `  t )
) )
6658feqmptd 5926 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  1 ) `
 t ) ) )
6765, 66eqtr4d 2501 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( G `  i ) `  t
) )  =  ( G `  1 ) )
6867, 50eqeltrd 2545 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)
6968adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  1  <_  M )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... 1
) ( ( G `
 i ) `  t ) )  e.  A )
70 simprl 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  /\  ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M
) )  ->  ph )
71 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  /\  ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M
) )  ->  y  e.  NN )
72 simprr 757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  /\  ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M
) )  ->  (
y  +  1 )  <_  M )
73 simp1 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ph )
74 nnre 10563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
75743ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  y  e.  RR )
76 1red 9628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  1  e.  RR )
7775, 76readdcld 9640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  RR )
7823ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  M  e.  NN )
7978nnred 10571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  M  e.  RR )
8075lep1d 10497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  y  <_  ( y  +  1 ) )
81 simp3 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( y  +  1 )  <_  M )
8275, 77, 79, 80, 81letrd 9756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  y  <_  M )
8373, 82jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( ph  /\  y  <_  M )
)
8470, 71, 72, 83syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  /\  ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M
) )  ->  ( ph  /\  y  <_  M
) )
85 simplr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  /\  ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M
) )  ->  (
( ph  /\  y  <_  M )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A ) )
8684, 85mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  /\  ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M
) )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )
87 nfv 1708 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t  y  e.  NN
88 nfv 1708 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( y  +  1 )  <_  M
8943, 87, 88nf3an 1931 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )
90 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  y  e.  NN )
9190, 46syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  y  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
92 simpll1 1035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  ph )
93 1zzd 10916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
942nnzd 10989 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
95943ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  M  e.  ZZ )
9695ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
97 elfzelz 11713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) )  ->  i  e.  ZZ )
9897adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  i  e.  ZZ )
99 elfzle1 11714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) )  ->  1  <_  i )
10099adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  1  <_  i
)
10197zred 10990 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) )  ->  i  e.  RR )
102101adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  i  e.  RR )
10377ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  ( y  +  1 )  e.  RR )
10479ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
105 elfzle2 11715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) )  ->  i  <_  ( y  +  1 ) )
106105adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  i  <_  (
y  +  1 ) )
107 simpll3 1037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  ( y  +  1 )  <_  M
)
108102, 103, 104, 106, 107letrd 9756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  i  <_  M
)
109 elfz4 11706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  i  /\  i  <_  M ) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
11093, 96, 98, 100, 108, 109syl32anc 1236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  i  e.  ( 1 ... M ) )
111 simplr 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  t  e.  T
)
11245ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  i )  e.  A )
1131123adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  i )  e.  A )
114 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  ph )
115114, 113jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  ( ph  /\  ( G `  i )  e.  A
) )
116 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( G `  i )  ->  (
f  e.  A  <->  ( G `  i )  e.  A
) )
117116anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( G `  i )  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  ( G `  i
)  e.  A ) ) )
118 feq1 5719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( G `  i )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( G `  i ) : T --> RR ) )
119117, 118imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( G `  i )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( G `  i )  e.  A )  -> 
( G `  i
) : T --> RR ) ) )
120119, 56vtoclg 3167 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  i )  e.  A  ->  (
( ph  /\  ( G `  i )  e.  A )  ->  ( G `  i ) : T --> RR ) )
121113, 115, 120sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  i ) : T --> RR )
122 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
123121, 122ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  i
) `  t )  e.  RR )
124123recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  i
) `  t )  e.  CC )
12592, 110, 111, 124syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  ( ( G `
 i ) `  t )  e.  CC )
126 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( y  +  1 )  ->  ( G `  i )  =  ( G `  ( y  +  1 ) ) )
127126fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( y  +  1 )  ->  (
( G `  i
) `  t )  =  ( ( G `
 ( y  +  1 ) ) `  t ) )
12891, 125, 127fsump1 13582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
y  +  1 ) ) ( ( G `
 i ) `  t )  =  (
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
)  +  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) )
129 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
130 fzfid 12085 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  (
1 ... y )  e. 
Fin )
131 simpll1 1035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  ph )
132 1zzd 10916 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  1  e.  ZZ )
13395ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  M  e.  ZZ )
134 elfzelz 11713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 1 ... y )  ->  i  e.  ZZ )
135134adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  i  e.  ZZ )
136 elfzle1 11714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 1 ... y )  ->  1  <_  i )
137136adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  1  <_  i
)
138134zred 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ( 1 ... y )  ->  i  e.  RR )
139138adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  i  e.  RR )
14077adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
14179adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  M  e.  RR )
14275adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  y  e.  RR )
143 elfzle2 11715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  ( 1 ... y )  ->  i  <_  y )
144143adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  i  <_  y )
145 letrp1 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  i  <_  y )  ->  i  <_  ( y  +  1 ) )
146139, 142, 144, 145syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  i  <_  ( y  +  1 ) )
147 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  (
y  +  1 )  <_  M )
148139, 140, 141, 146, 147letrd 9756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  i  <_  M )
149148adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  i  <_  M
)
150132, 133, 135, 137, 149, 109syl32anc 1236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  i  e.  ( 1 ... M ) )
151 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  t  e.  T
)
152131, 150, 151, 123syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  ( ( G `
 i ) `  t )  e.  RR )
153130, 152fsumrecl 13567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t )  e.  RR )
154 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t ) )  =  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )
155154fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  T  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )  e.  RR )  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  =  sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t ) )
156129, 153, 155syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  =  sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t ) )
157156oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  +  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t )  +  ( ( G `  (
y  +  1 ) ) `  t ) ) )
158128, 157eqtr4d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
y  +  1 ) ) ( ( G `
 i ) `  t )  =  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  +  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) )
15989, 158mpteq2da 4542 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
y  +  1 ) ) ( ( G `
 i ) `  t ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) `  t )  +  ( ( G `  (
y  +  1 ) ) `  t ) ) ) )
160159adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) ) ( ( G `  i ) `  t
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  +  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) ) )
161 1zzd 10916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  1  e.  ZZ )
162 peano2nn 10568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  NN )
163162nnzd 10989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  ZZ )
1641633ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ZZ )
165162nnge1d 10599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <_  ( y  +  1 ) )
1661653ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  1  <_  ( y  +  1 ) )
167 elfz4 11706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( y  +  1 )  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_ 
( y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <_  M ) )  -> 
( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
168161, 95, 164, 166, 81, 167syl32anc 1236 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )
16945ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A )
17073, 168, 169syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A
)
171 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( G `  ( y  +  1 ) )  ->  (
f  e.  A  <->  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A
) )
172171anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( G `  ( y  +  1 ) )  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  ( G `  (
y  +  1 ) )  e.  A ) ) )
173 feq1 5719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( G `  ( y  +  1 ) )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( G `  ( y  +  1 ) ) : T --> RR ) )
174172, 173imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( G `  ( y  +  1 ) )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A )  -> 
( G `  (
y  +  1 ) ) : T --> RR ) ) )
175174, 56vtoclg 3167 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A  ->  (
( ph  /\  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A )  -> 
( G `  (
y  +  1 ) ) : T --> RR ) )
176175anabsi7 819 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A
)  ->  ( G `  ( y  +  1 ) ) : T --> RR )
17773, 170, 176syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( G `  ( y  +  1 ) ) : T --> RR )
178177ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  (
y  +  1 ) ) `  t )  e.  RR )
179 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `
 ( y  +  1 ) ) `  t ) )
180179fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `  t
)  e.  RR )  ->  ( ( t  e.  T  |->  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) `
 t )  =  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `  t
) )
181129, 178, 180syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `  t
) ) `  t
)  =  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) )
182181oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( ( G `  (
y  +  1 ) ) `  t ) ) `  t ) )  =  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  +  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) )
18389, 182mpteq2da 4542 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( ( G `  (
y  +  1 ) ) `  t ) ) `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  +  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) ) )
184183adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
) `  t )  +  ( ( t  e.  T  |->  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  +  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) ) )
185 simpl1 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ph )
186 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)
187168adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
188176feqmptd 5926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A
)  ->  ( G `  ( y  +  1 ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  (
y  +  1 ) ) `  t ) ) )
189169, 188syldan 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  ( y  +  1 ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `
 ( y  +  1 ) ) `  t ) ) )
190189, 169eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( G `  (
y  +  1 ) ) `  t ) )  e.  A )
191185, 187, 190syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( G `
 ( y  +  1 ) ) `  t ) )  e.  A )
192 stoweidlem20.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
193 nfmpt1 4546 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )
194 nfmpt1 4546 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `  t
) )
195192, 193, 194stoweidlem8 31951 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t ) )  e.  A  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) )  e.  A )  -> 
( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) `  t )  +  ( ( t  e.  T  |->  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `  t
) ) `  t
) ) )  e.  A )
196185, 186, 191, 195syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
) `  t )  +  ( ( t  e.  T  |->  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) `
 t ) ) )  e.  A )
197184, 196eqeltrrd 2546 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
) `  t )  +  ( ( G `
 ( y  +  1 ) ) `  t ) ) )  e.  A )
198160, 197eqeltrd 2545 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)
19970, 71, 72, 86, 198syl31anc 1231 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  /\  ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M
) )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )
200199exp31 604 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)  ->  ( ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
y  +  1 ) ) ( ( G `
 i ) `  t ) )  e.  A ) ) )
20121, 28, 35, 42, 69, 200nnind 10574 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ph  /\  n  <_  M )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A ) )
20214, 201vtoclg 3167 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  e.  NN  ->  ( ( ph  /\  M  <_  M )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A ) ) )
2032, 2, 5, 202syl3c 61 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)
2041, 203syl5eqel 2549 1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   F/wnf 1617    e. wcel 1819   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   1c1 9510    + caddc 9512    <_ cle 9646   NNcn 10556   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697   sum_csu 13519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-sum 13520
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