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Theorem stoweidlem20 29768
Description: If a set A of real functions from a common domain T is closed under the sum of two functions, then it is closed under the sum of a finite number of functions, indexed by G. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem20.1  |-  F/ t
ph
stoweidlem20.2  |-  F  =  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
) )
stoweidlem20.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem20.4  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... M ) --> A )
stoweidlem20.5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem20.6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem20  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
Distinct variable groups:    f, g,
i, t, G    A, f, g    T, f, g, i, t    ph, f,
g, i    i, M, t
Allowed substitution hints:    ph( t)    A( t, i)    F( t, f, g, i)    M( f, g)

Proof of Theorem stoweidlem20
Dummy variables  y  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem20.2 . 2  |-  F  =  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
) )
2 stoweidlem20.3 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
32nnred 10329 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
43leidd 9898 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  <_  M )
54ancli 551 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  M  <_  M ) )
6 eleq1 2498 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
n  e.  NN  <->  M  e.  NN ) )
7 breq1 4290 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
n  <_  M  <->  M  <_  M ) )
87anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
( ph  /\  n  <_  M )  <->  ( ph  /\  M  <_  M )
) )
9 oveq2 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... M
) )
109sumeq1d 13170 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( ( G `
 i ) `  t )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  t )
)
1110mpteq2dv 4374 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( ( G `  i
) `  t )
)  =  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
1211eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A ) )
138, 12imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( ph  /\  n  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  M  <_  M )  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) ) )
146, 13imbi12d 320 . . . 4  |-  ( n  =  M  ->  (
( n  e.  NN  ->  ( ( ph  /\  n  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  <->  ( M  e.  NN  ->  ( ( ph  /\  M  <_  M
)  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t ) )  e.  A ) ) ) )
15 breq1 4290 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
x  <_  M  <->  1  <_  M ) )
1615anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( ph  /\  x  <_  M )  <->  ( ph  /\  1  <_  M )
) )
17 oveq2 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
1 ... x )  =  ( 1 ... 1
) )
1817sumeq1d 13170 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... x
) ( ( G `
 i ) `  t )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( G `  i
) `  t )
)
1918mpteq2dv 4374 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i
) `  t )
)  =  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... 1
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
2019eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A ) )
2116, 20imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( ph  /\  x  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  1  <_  M )  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) ) )
22 breq1 4290 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <_  M  <->  y  <_  M ) )
2322anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  x  <_  M )  <->  ( ph  /\  y  <_  M )
) )
24 oveq2 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
1 ... x )  =  ( 1 ... y
) )
2524sumeq1d 13170 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... x
) ( ( G `
 i ) `  t )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)
2625mpteq2dv 4374 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i
) `  t )
)  =  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
2726eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A ) )
2823, 27imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  y  <_  M )  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) ) )
29 breq1 4290 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  <_  M  <->  ( y  +  1 )  <_  M ) )
3029anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ph  /\  x  <_  M )  <->  ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M )
) )
31 oveq2 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
1 ... x )  =  ( 1 ... (
y  +  1 ) ) )
3231sumeq1d 13170 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... x
) ( ( G `
 i ) `  t )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) ) ( ( G `  i
) `  t )
)
3332mpteq2dv 4374 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i
) `  t )
)  =  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
y  +  1 ) ) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
3433eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A ) )
3530, 34imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  x  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) ) )
36 breq1 4290 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
x  <_  M  <->  n  <_  M ) )
3736anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  /\  x  <_  M )  <->  ( ph  /\  n  <_  M )
) )
38 oveq2 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
1 ... x )  =  ( 1 ... n
) )
3938sumeq1d 13170 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... x
) ( ( G `
 i ) `  t )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( ( G `  i
) `  t )
)
4039mpteq2dv 4374 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i
) `  t )
)  =  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
4140eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A ) )
4237, 41imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( ph  /\  x  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  n  <_  M )  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) ) )
43 stoweidlem20.1 . . . . . . . . 9  |-  F/ t
ph
44 1z 10668 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
45 stoweidlem20.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... M ) --> A )
46 nnuz 10888 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
472, 46syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
48 eluzfz1 11450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... M
) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 1 ... M ) )
5045, 49ffvelrnd 5839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  A )
5150ancli 551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  ( G `  1 )  e.  A ) )
52 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( G ` 
1 )  ->  (
f  e.  A  <->  ( G `  1 )  e.  A ) )
5352anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( G ` 
1 )  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  ( G `  1
)  e.  A ) ) )
54 feq1 5537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( G ` 
1 )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( G `  1 ) : T --> RR ) )
5553, 54imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( G ` 
1 )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( G `  1 )  e.  A )  -> 
( G `  1
) : T --> RR ) ) )
56 stoweidlem20.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
5755, 56vtoclg 3025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  1 )  e.  A  ->  (
( ph  /\  ( G `  1 )  e.  A )  ->  ( G `  1 ) : T --> RR ) )
5850, 51, 57sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G `  1
) : T --> RR )
5958ffvelrnda 5838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  1
) `  t )  e.  RR )
6059recnd 9404 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  1
) `  t )  e.  CC )
61 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  ( G `  i )  =  ( G ` 
1 ) )
6261fveq1d 5688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  1  ->  (
( G `  i
) `  t )  =  ( ( G `
 1 ) `  t ) )
6362fsum1 13210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( ( G ` 
1 ) `  t
)  e.  CC )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( G `  i ) `  t
)  =  ( ( G `  1 ) `
 t ) )
6444, 60, 63sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... 1
) ( ( G `
 i ) `  t )  =  ( ( G `  1
) `  t )
)
6543, 64mpteq2da 4372 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( G `  i ) `  t
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  1
) `  t )
) )
6658feqmptd 5739 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  1 ) `
 t ) ) )
6765, 66eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( G `  i ) `  t
) )  =  ( G `  1 ) )
6867, 50eqeltrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)
6968adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  1  <_  M )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... 1
) ( ( G `
 i ) `  t ) )  e.  A )
70 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  /\  ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M
) )  ->  ph )
71 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  /\  ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M
) )  ->  y  e.  NN )
72 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  /\  ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M
) )  ->  (
y  +  1 )  <_  M )
73 simp1 988 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ph )
74 nnre 10321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
75743ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  y  e.  RR )
76 1red 9393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  1  e.  RR )
7775, 76readdcld 9405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  RR )
7823ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  M  e.  NN )
7978nnred 10329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  M  e.  RR )
8075lep1d 10256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  y  <_  ( y  +  1 ) )
81 simp3 990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( y  +  1 )  <_  M )
8275, 77, 79, 80, 81letrd 9520 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  y  <_  M )
8373, 82jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( ph  /\  y  <_  M )
)
8470, 71, 72, 83syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  /\  ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M
) )  ->  ( ph  /\  y  <_  M
) )
85 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  /\  ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M
) )  ->  (
( ph  /\  y  <_  M )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A ) )
8684, 85mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  /\  ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M
) )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )
87 nfv 1673 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t  y  e.  NN
88 nfv 1673 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( y  +  1 )  <_  M
8943, 87, 88nf3an 1862 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )
90 simpl2 992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  y  e.  NN )
9190, 46syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  y  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
92 simpll1 1027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  ph )
93 1zzd 10669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
942nnzd 10738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
95943ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  M  e.  ZZ )
9695ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
97 elfzelz 11445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) )  ->  i  e.  ZZ )
9897adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  i  e.  ZZ )
99 elfzle1 11446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) )  ->  1  <_  i )
10099adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  1  <_  i
)
10197zred 10739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) )  ->  i  e.  RR )
102101adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  i  e.  RR )
10377ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  ( y  +  1 )  e.  RR )
10479ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
105 elfzle2 11447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) )  ->  i  <_  ( y  +  1 ) )
106105adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  i  <_  (
y  +  1 ) )
107 simpll3 1029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  ( y  +  1 )  <_  M
)
108102, 103, 104, 106, 107letrd 9520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  i  <_  M
)
109 elfz4 11438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  i  /\  i  <_  M ) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
11093, 96, 98, 100, 108, 109syl32anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  i  e.  ( 1 ... M ) )
111 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  t  e.  T
)
11245ffvelrnda 5838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  i )  e.  A )
1131123adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  i )  e.  A )
114 simp1 988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  ph )
115114, 113jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  ( ph  /\  ( G `  i )  e.  A
) )
116 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( G `  i )  ->  (
f  e.  A  <->  ( G `  i )  e.  A
) )
117116anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( G `  i )  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  ( G `  i
)  e.  A ) ) )
118 feq1 5537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( G `  i )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( G `  i ) : T --> RR ) )
119117, 118imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( G `  i )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( G `  i )  e.  A )  -> 
( G `  i
) : T --> RR ) ) )
120119, 56vtoclg 3025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  i )  e.  A  ->  (
( ph  /\  ( G `  i )  e.  A )  ->  ( G `  i ) : T --> RR ) )
121113, 115, 120sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  i ) : T --> RR )
122 simp3 990 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
123121, 122ffvelrnd 5839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  i
) `  t )  e.  RR )
124123recnd 9404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  i
) `  t )  e.  CC )
12592, 110, 111, 124syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  ( ( G `
 i ) `  t )  e.  CC )
126 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( y  +  1 )  ->  ( G `  i )  =  ( G `  ( y  +  1 ) ) )
127126fveq1d 5688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( y  +  1 )  ->  (
( G `  i
) `  t )  =  ( ( G `
 ( y  +  1 ) ) `  t ) )
12891, 125, 127fsump1 13215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
y  +  1 ) ) ( ( G `
 i ) `  t )  =  (
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
)  +  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) )
129 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
130 fzfid 11787 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  (
1 ... y )  e. 
Fin )
131 simpll1 1027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  ph )
132 1zzd 10669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  1  e.  ZZ )
13395ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  M  e.  ZZ )
134 elfzelz 11445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 1 ... y )  ->  i  e.  ZZ )
135134adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  i  e.  ZZ )
136 elfzle1 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 1 ... y )  ->  1  <_  i )
137136adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  1  <_  i
)
138134zred 10739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ( 1 ... y )  ->  i  e.  RR )
139138adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  i  e.  RR )
14077adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
14179adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  M  e.  RR )
14275adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  y  e.  RR )
143 elfzle2 11447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  ( 1 ... y )  ->  i  <_  y )
144143adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  i  <_  y )
145 letrp1 10163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  i  <_  y )  ->  i  <_  ( y  +  1 ) )
146139, 142, 144, 145syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  i  <_  ( y  +  1 ) )
147 simpl3 993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  (
y  +  1 )  <_  M )
148139, 140, 141, 146, 147letrd 9520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  i  <_  M )
149148adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  i  <_  M
)
150132, 133, 135, 137, 149, 109syl32anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  i  e.  ( 1 ... M ) )
151 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  t  e.  T
)
152131, 150, 151, 123syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  ( ( G `
 i ) `  t )  e.  RR )
153130, 152fsumrecl 13203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t )  e.  RR )
154 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t ) )  =  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )
155154fvmpt2 5776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  T  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )  e.  RR )  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  =  sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t ) )
156129, 153, 155syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  =  sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t ) )
157156oveq1d 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  +  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t )  +  ( ( G `  (
y  +  1 ) ) `  t ) ) )
158128, 157eqtr4d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
y  +  1 ) ) ( ( G `
 i ) `  t )  =  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  +  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) )
15989, 158mpteq2da 4372 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
y  +  1 ) ) ( ( G `
 i ) `  t ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) `  t )  +  ( ( G `  (
y  +  1 ) ) `  t ) ) ) )
160159adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) ) ( ( G `  i ) `  t
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  +  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) ) )
161 1zzd 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  1  e.  ZZ )
162 peano2nn 10326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  NN )
163162nnzd 10738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  ZZ )
1641633ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ZZ )
165162nnge1d 10356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <_  ( y  +  1 ) )
1661653ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  1  <_  ( y  +  1 ) )
167 elfz4 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( y  +  1 )  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_ 
( y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <_  M ) )  -> 
( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
168161, 95, 164, 166, 81, 167syl32anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )
16945ffvelrnda 5838 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A )
17073, 168, 169syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A
)
171 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( G `  ( y  +  1 ) )  ->  (
f  e.  A  <->  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A
) )
172171anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( G `  ( y  +  1 ) )  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  ( G `  (
y  +  1 ) )  e.  A ) ) )
173 feq1 5537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( G `  ( y  +  1 ) )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( G `  ( y  +  1 ) ) : T --> RR ) )
174172, 173imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( G `  ( y  +  1 ) )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A )  -> 
( G `  (
y  +  1 ) ) : T --> RR ) ) )
175174, 56vtoclg 3025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A  ->  (
( ph  /\  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A )  -> 
( G `  (
y  +  1 ) ) : T --> RR ) )
176175anabsi7 815 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A
)  ->  ( G `  ( y  +  1 ) ) : T --> RR )
17773, 170, 176syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( G `  ( y  +  1 ) ) : T --> RR )
178177ffvelrnda 5838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  (
y  +  1 ) ) `  t )  e.  RR )
179 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `
 ( y  +  1 ) ) `  t ) )
180179fvmpt2 5776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `  t
)  e.  RR )  ->  ( ( t  e.  T  |->  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) `
 t )  =  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `  t
) )
181129, 178, 180syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `  t
) ) `  t
)  =  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) )
182181oveq2d 6102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( ( G `  (
y  +  1 ) ) `  t ) ) `  t ) )  =  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  +  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) )
18389, 182mpteq2da 4372 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( ( G `  (
y  +  1 ) ) `  t ) ) `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  +  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) ) )
184183adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
) `  t )  +  ( ( t  e.  T  |->  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  +  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) ) )
185 simpl1 991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ph )
186 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)
187168adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
188176feqmptd 5739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A
)  ->  ( G `  ( y  +  1 ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  (
y  +  1 ) ) `  t ) ) )
189169, 188syldan 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  ( y  +  1 ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `
 ( y  +  1 ) ) `  t ) ) )
190189, 169eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( G `  (
y  +  1 ) ) `  t ) )  e.  A )
191185, 187, 190syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( G `
 ( y  +  1 ) ) `  t ) )  e.  A )
192 stoweidlem20.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
193 nfmpt1 4376 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )
194 nfmpt1 4376 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `  t
) )
195192, 193, 194stoweidlem8 29756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t ) )  e.  A  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) )  e.  A )  -> 
( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) `  t )  +  ( ( t  e.  T  |->  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `  t
) ) `  t
) ) )  e.  A )
196185, 186, 191, 195syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
) `  t )  +  ( ( t  e.  T  |->  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) `
 t ) ) )  e.  A )
197184, 196eqeltrrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
) `  t )  +  ( ( G `
 ( y  +  1 ) ) `  t ) ) )  e.  A )
198160, 197eqeltrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)
19970, 71, 72, 86, 198syl31anc 1221 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  /\  ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M
) )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )
200199exp31 604 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)  ->  ( ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
y  +  1 ) ) ( ( G `
 i ) `  t ) )  e.  A ) ) )
20121, 28, 35, 42, 69, 200nnind 10332 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ph  /\  n  <_  M )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A ) )
20214, 201vtoclg 3025 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  e.  NN  ->  ( ( ph  /\  M  <_  M )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A ) ) )
2032, 2, 5, 202syl3c 61 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)
2041, 203syl5eqel 2522 1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   F/wnf 1589    e. wcel 1756   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   1c1 9275    + caddc 9277    <_ cle 9411   NNcn 10314   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429   sum_csu 13155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156
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