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Theorem stoweidlem2 29938
Description: lemma for stoweid 29999: here we prove that the subalgebra of continuous functions, which contains constant functions, is closed under scaling. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem2.1  |-  F/ t
ph
stoweidlem2.2  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem2.4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem2.5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
stoweidlem2.6  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( F `  t )
) )  e.  A
)
Distinct variable groups:    f, g,
t, F    f, E, t    A, f, g    T, f, g, t    ph, f,
g    x, t, E    x, A    x, T    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t)    A( t)    E( g)    F( x)

Proof of Theorem stoweidlem2
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem2.1 . . 3  |-  F/ t
ph
2 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
3 stoweidlem2.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
43adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E  e.  RR )
5 eqidd 2452 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  t  ->  E  =  E )
65cbvmptv 4484 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  T  |->  E )  =  ( t  e.  T  |->  E )
76fvmpt2 5883 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  T  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( s  e.  T  |->  E ) `  t )  =  E )
82, 4, 7syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( s  e.  T  |->  E ) `  t
)  =  E )
98eqcomd 2459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E  =  ( ( s  e.  T  |->  E ) `
 t ) )
109oveq1d 6208 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( E  x.  ( F `  t ) )  =  ( ( ( s  e.  T  |->  E ) `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )
111, 10mpteq2da 4478 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( F `  t )
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  ( F `  t )
) ) )
12 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  E  ->  x  =  E )
1312mpteq2dv 4480 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  E  ->  (
t  e.  T  |->  x )  =  ( t  e.  T  |->  E ) )
1413eleq1d 2520 . . . . . . 7  |-  ( x  =  E  ->  (
( t  e.  T  |->  x )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A ) )
1514imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  E  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )  <->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A
) ) )
16 stoweidlem2.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
1716expcom 435 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A ) )
1815, 17vtoclga 3135 . . . . 5  |-  ( E  e.  RR  ->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A ) )
193, 18mpcom 36 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A
)
206, 19syl5eqel 2543 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  T  |->  E )  e.  A
)
21 fveq1 5791 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( s  e.  T  |->  E )  -> 
( f `  t
)  =  ( ( s  e.  T  |->  E ) `  t ) )
2221oveq1d 6208 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( s  e.  T  |->  E )  -> 
( ( f `  t )  x.  ( F `  t )
)  =  ( ( ( s  e.  T  |->  E ) `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )
2322mpteq2dv 4480 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( s  e.  T  |->  E )  -> 
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( F `  t )
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  ( F `  t )
) ) )
2423eleq1d 2520 . . . . 5  |-  ( f  =  ( s  e.  T  |->  E )  -> 
( ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  ( F `  t ) ) )  e.  A ) )
2524imbi2d 316 . . . 4  |-  ( f  =  ( s  e.  T  |->  E )  -> 
( ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )  e.  A )  <-> 
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  E ) `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )  e.  A ) ) )
26 stoweidlem2.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
2726adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  F  e.  A )
28 fveq1 5791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  F  ->  (
g `  t )  =  ( F `  t ) )
2928oveq2d 6209 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  F  ->  (
( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  =  ( ( f `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )
3029mpteq2dv 4480 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  F  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( F `  t ) ) ) )
3130eleq1d 2520 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  F  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )  e.  A ) )
3231imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( g  =  F  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )  e.  A ) ) )
33 stoweidlem2.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
34333comr 1196 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  A  /\  ph 
/\  f  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
35343expib 1191 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  A  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A ) )
3632, 35vtoclga 3135 . . . . . 6  |-  ( F  e.  A  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )  e.  A ) )
3727, 36mpcom 36 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )  e.  A )
3837expcom 435 . . . 4  |-  ( f  e.  A  ->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )  e.  A ) )
3925, 38vtoclga 3135 . . 3  |-  ( ( s  e.  T  |->  E )  e.  A  -> 
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  E ) `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )  e.  A ) )
4020, 39mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  E ) `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )  e.  A )
4111, 40eqeltrd 2539 1  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( F `  t )
) )  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   F/wnf 1590    e. wcel 1758    |-> cmpt 4451   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   RRcr 9385    x. cmul 9391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fv 5527  df-ov 6196
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