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Theorem stoweidlem19 29814
Description: If a set of real functions is closed under multiplication and it contains constants, then it is closed under finite exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem19.1  |-  F/_ t F
stoweidlem19.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem19.3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem19.4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem19.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem19.6  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
stoweidlem19.7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem19  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ N
) )  e.  A
)
Distinct variable groups:    f, g,
t, A    f, F, g    T, f, g, t    ph, f, g    t, N   
x, t, A    x, T    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t)    F( x, t)    N( x, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem19
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem19.7 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 oveq2 6099 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  (
( F `  t
) ^ n )  =  ( ( F `
 t ) ^
0 ) )
32mpteq2dv 4379 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ n ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ 0 ) ) )
43eleq1d 2509 . . . 4  |-  ( n  =  0  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ 0 ) )  e.  A ) )
54imbi2d 316 . . 3  |-  ( n  =  0  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n ) )  e.  A )  <->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ 0 ) )  e.  A
) ) )
6 oveq2 6099 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( F `  t
) ^ n )  =  ( ( F `
 t ) ^
m ) )
76mpteq2dv 4379 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ n ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) ) )
87eleq1d 2509 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )
98imbi2d 316 . . 3  |-  ( n  =  m  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n ) )  e.  A )  <->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) )  e.  A
) ) )
10 oveq2 6099 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( F `  t
) ^ n )  =  ( ( F `
 t ) ^
( m  +  1 ) ) )
1110mpteq2dv 4379 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ n ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ ( m  + 
1 ) ) ) )
1211eleq1d 2509 . . . 4  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ ( m  +  1 ) ) )  e.  A ) )
1312imbi2d 316 . . 3  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n ) )  e.  A )  <->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ (
m  +  1 ) ) )  e.  A
) ) )
14 oveq2 6099 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( F `  t
) ^ n )  =  ( ( F `
 t ) ^ N ) )
1514mpteq2dv 4379 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ n ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ N ) ) )
1615eleq1d 2509 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ N ) )  e.  A ) )
1716imbi2d 316 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n ) )  e.  A )  <->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ N
) )  e.  A
) ) )
18 stoweidlem19.2 . . . . 5  |-  F/ t
ph
19 stoweidlem19.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
2019ancli 551 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  F  e.  A ) )
21 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  (
f  e.  A  <->  F  e.  A ) )
2221anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  F  e.  A ) ) )
23 feq1 5542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  (
f : T --> RR  <->  F : T
--> RR ) )
2422, 23imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  F  e.  A )  ->  F : T --> RR ) ) )
25 stoweidlem19.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
2624, 25vtoclg 3030 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  A  ->  (
( ph  /\  F  e.  A )  ->  F : T --> RR ) )
2719, 20, 26sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
2827fnvinran 29736 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
29 recn 9372 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  t )  e.  RR  ->  ( F `  t )  e.  CC )
30 exp0 11869 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  t )  e.  CC  ->  (
( F `  t
) ^ 0 )  =  1 )
3128, 29, 303syl 20 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
) ^ 0 )  =  1 )
3231eqcomd 2448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  =  ( ( F `
 t ) ^
0 ) )
3318, 32mpteq2da 4377 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ 0 ) ) )
34 1re 9385 . . . . 5  |-  1  e.  RR
35 stoweidlem19.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
3635stoweidlem4 29799 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  1  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A )
3734, 36mpan2 671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A
)
3833, 37eqeltrrd 2518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ 0 ) )  e.  A
)
39 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )  /\  ph )  ->  ph )
40 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )  /\  ph )  ->  m  e.  NN0 )
41 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )  /\  ph )  ->  ( ph  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )
4239, 41mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )  /\  ph )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) )  e.  A
)
43 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ t  m  e.  NN0
44 nfmpt1 4381 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) )
4544nfel1 2589 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) )  e.  A
4618, 43, 45nf3an 1863 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )
47 simpl1 991 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ph )
48 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
4928recnd 9412 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
5047, 48, 49syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t
)  e.  CC )
51 simpl2 992 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  m  e.  NN0 )
5250, 51expp1d 12009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( F `  t ) ^ (
m  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  t
) ^ m )  x.  ( F `  t ) ) )
5346, 52mpteq2da 4377 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ ( m  +  1 ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( F `  t
) ^ m )  x.  ( F `  t ) ) ) )
54283adant2 1007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  t  e.  T
)  ->  ( F `  t )  e.  RR )
55 simp2 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  t  e.  T
)  ->  m  e.  NN0 )
5654, 55reexpcld 12025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  t  e.  T
)  ->  ( ( F `  t ) ^ m )  e.  RR )
5747, 51, 48, 56syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( F `  t ) ^ m
)  e.  RR )
58 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )
5958fvmpt2 5781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( F `  t ) ^ m
)  e.  RR )  ->  ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) ) `
 t )  =  ( ( F `  t ) ^ m
) )
6059eqcomd 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( F `  t ) ^ m
)  e.  RR )  ->  ( ( F `
 t ) ^
m )  =  ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) ) `  t
) )
6148, 57, 60syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( F `  t ) ^ m
)  =  ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) ) `  t ) )
6261oveq1d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( ( F `
 t ) ^
m )  x.  ( F `  t )
)  =  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) ) `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )
6346, 62mpteq2da 4377 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( F `  t ) ^ m
)  x.  ( F `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) ) `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) ) )
6419adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  ->  F  e.  A )
6544nfeq2 2590 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t  f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )
66 stoweidlem19.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t F
6766nfeq2 2590 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t  g  =  F
68 stoweidlem19.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
6965, 67, 68stoweidlem6 29801 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A  /\  F  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) ) `  t )  x.  ( F `  t )
) )  e.  A
)
7064, 69mpd3an3 1315 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  -> 
( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) ) `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )  e.  A )
71703adant2 1007 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) ) `  t )  x.  ( F `  t )
) )  e.  A
)
7263, 71eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( F `  t ) ^ m
)  x.  ( F `
 t ) ) )  e.  A )
7353, 72eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ ( m  +  1 ) ) )  e.  A )
7439, 40, 42, 73syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )  /\  ph )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ (
m  +  1 ) ) )  e.  A
)
7574exp31 604 . . 3  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
( m  +  1 ) ) )  e.  A ) ) )
765, 9, 13, 17, 38, 75nn0ind 10738 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ N
) )  e.  A
) )
771, 76mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ N
) )  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   F/wnf 1589    e. wcel 1756   F/_wnfc 2566    e. cmpt 4350   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287   NN0cn0 10579   ^cexp 11865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-seq 11807  df-exp 11866
This theorem is referenced by:  stoweidlem40  29835
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