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Theorem stoweidlem19 37873
Description: If a set of real functions is closed under multiplication and it contains constants, then it is closed under finite exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem19.1  |-  F/_ t F
stoweidlem19.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem19.3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem19.4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem19.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem19.6  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
stoweidlem19.7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem19  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ N
) )  e.  A
)
Distinct variable groups:    f, g,
t, A    f, F, g    T, f, g, t    ph, f, g    t, N   
x, t, A    x, T    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t)    F( x, t)    N( x, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem19
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem19.7 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 oveq2 6296 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  (
( F `  t
) ^ n )  =  ( ( F `
 t ) ^
0 ) )
32mpteq2dv 4489 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ n ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ 0 ) ) )
43eleq1d 2512 . . . 4  |-  ( n  =  0  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ 0 ) )  e.  A ) )
54imbi2d 318 . . 3  |-  ( n  =  0  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n ) )  e.  A )  <->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ 0 ) )  e.  A
) ) )
6 oveq2 6296 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( F `  t
) ^ n )  =  ( ( F `
 t ) ^
m ) )
76mpteq2dv 4489 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ n ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) ) )
87eleq1d 2512 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )
98imbi2d 318 . . 3  |-  ( n  =  m  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n ) )  e.  A )  <->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) )  e.  A
) ) )
10 oveq2 6296 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( F `  t
) ^ n )  =  ( ( F `
 t ) ^
( m  +  1 ) ) )
1110mpteq2dv 4489 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ n ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ ( m  + 
1 ) ) ) )
1211eleq1d 2512 . . . 4  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ ( m  +  1 ) ) )  e.  A ) )
1312imbi2d 318 . . 3  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n ) )  e.  A )  <->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ (
m  +  1 ) ) )  e.  A
) ) )
14 oveq2 6296 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( F `  t
) ^ n )  =  ( ( F `
 t ) ^ N ) )
1514mpteq2dv 4489 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ n ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ N ) ) )
1615eleq1d 2512 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ N ) )  e.  A ) )
1716imbi2d 318 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n ) )  e.  A )  <->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ N
) )  e.  A
) ) )
18 stoweidlem19.2 . . . . 5  |-  F/ t
ph
19 stoweidlem19.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
2019ancli 554 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  F  e.  A ) )
21 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  (
f  e.  A  <->  F  e.  A ) )
2221anbi2d 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  F  e.  A ) ) )
23 feq1 5708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  (
f : T --> RR  <->  F : T
--> RR ) )
2422, 23imbi12d 322 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  F  e.  A )  ->  F : T --> RR ) ) )
25 stoweidlem19.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
2624, 25vtoclg 3106 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  A  ->  (
( ph  /\  F  e.  A )  ->  F : T --> RR ) )
2719, 20, 26sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
2827fnvinran 37329 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
29 recn 9626 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  t )  e.  RR  ->  ( F `  t )  e.  CC )
30 exp0 12273 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  t )  e.  CC  ->  (
( F `  t
) ^ 0 )  =  1 )
3128, 29, 303syl 18 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
) ^ 0 )  =  1 )
3231eqcomd 2456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  =  ( ( F `
 t ) ^
0 ) )
3318, 32mpteq2da 4487 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ 0 ) ) )
34 1re 9639 . . . . 5  |-  1  e.  RR
35 stoweidlem19.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
3635stoweidlem4 37858 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  1  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A )
3734, 36mpan2 676 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A
)
3833, 37eqeltrrd 2529 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ 0 ) )  e.  A
)
39 simpr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )  /\  ph )  ->  ph )
40 simpll 759 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )  /\  ph )  ->  m  e.  NN0 )
41 simplr 761 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )  /\  ph )  ->  ( ph  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )
4239, 41mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )  /\  ph )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) )  e.  A
)
43 nfv 1760 . . . . . . . 8  |-  F/ t  m  e.  NN0
44 nfmpt1 4491 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) )
4544nfel1 2605 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) )  e.  A
4618, 43, 45nf3an 2012 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )
47 simpl1 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ph )
48 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
4928recnd 9666 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
5047, 48, 49syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t
)  e.  CC )
51 simpl2 1011 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  m  e.  NN0 )
5250, 51expp1d 12414 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( F `  t ) ^ (
m  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  t
) ^ m )  x.  ( F `  t ) ) )
5346, 52mpteq2da 4487 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ ( m  +  1 ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( F `  t
) ^ m )  x.  ( F `  t ) ) ) )
54283adant2 1026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  t  e.  T
)  ->  ( F `  t )  e.  RR )
55 simp2 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  t  e.  T
)  ->  m  e.  NN0 )
5654, 55reexpcld 12430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  t  e.  T
)  ->  ( ( F `  t ) ^ m )  e.  RR )
5747, 51, 48, 56syl3anc 1267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( F `  t ) ^ m
)  e.  RR )
58 eqid 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )
5958fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( F `  t ) ^ m
)  e.  RR )  ->  ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) ) `
 t )  =  ( ( F `  t ) ^ m
) )
6059eqcomd 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( F `  t ) ^ m
)  e.  RR )  ->  ( ( F `
 t ) ^
m )  =  ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) ) `  t
) )
6148, 57, 60syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( F `  t ) ^ m
)  =  ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) ) `  t ) )
6261oveq1d 6303 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( ( F `
 t ) ^
m )  x.  ( F `  t )
)  =  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) ) `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )
6346, 62mpteq2da 4487 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( F `  t ) ^ m
)  x.  ( F `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) ) `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) ) )
6419adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  ->  F  e.  A )
6544nfeq2 2606 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t  f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )
66 stoweidlem19.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t F
6766nfeq2 2606 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t  g  =  F
68 stoweidlem19.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
6965, 67, 68stoweidlem6 37860 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A  /\  F  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) ) `  t )  x.  ( F `  t )
) )  e.  A
)
7064, 69mpd3an3 1364 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  -> 
( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) ) `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )  e.  A )
71703adant2 1026 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) ) `  t )  x.  ( F `  t )
) )  e.  A
)
7263, 71eqeltrd 2528 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( F `  t ) ^ m
)  x.  ( F `
 t ) ) )  e.  A )
7353, 72eqeltrd 2528 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ ( m  +  1 ) ) )  e.  A )
7439, 40, 42, 73syl3anc 1267 . . . 4  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )  /\  ph )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ (
m  +  1 ) ) )  e.  A
)
7574exp31 608 . . 3  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
( m  +  1 ) ) )  e.  A ) ) )
765, 9, 13, 17, 38, 75nn0ind 11027 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ N
) )  e.  A
) )
771, 76mpcom 37 1  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ N
) )  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443   F/wnf 1666    e. wcel 1886   F/_wnfc 2578    |-> cmpt 4460   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    x. cmul 9541   NN0cn0 10866   ^cexp 12269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-seq 12211  df-exp 12270
This theorem is referenced by:  stoweidlem40  37895
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