Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem19 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stoweidlem19 37873
 Description: If a set of real functions is closed under multiplication and it contains constants, then it is closed under finite exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem19.1
stoweidlem19.2
stoweidlem19.3
stoweidlem19.4
stoweidlem19.5
stoweidlem19.6
stoweidlem19.7
Assertion
Ref Expression
stoweidlem19
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,,)

Proof of Theorem stoweidlem19
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem19.7 . 2
2 oveq2 6296 . . . . . 6
32mpteq2dv 4489 . . . . 5
43eleq1d 2512 . . . 4
54imbi2d 318 . . 3
6 oveq2 6296 . . . . . 6
76mpteq2dv 4489 . . . . 5
87eleq1d 2512 . . . 4
98imbi2d 318 . . 3
10 oveq2 6296 . . . . . 6
1110mpteq2dv 4489 . . . . 5
1211eleq1d 2512 . . . 4
1312imbi2d 318 . . 3
14 oveq2 6296 . . . . . 6
1514mpteq2dv 4489 . . . . 5
1615eleq1d 2512 . . . 4
1716imbi2d 318 . . 3
18 stoweidlem19.2 . . . . 5
19 stoweidlem19.6 . . . . . . . . 9
2019ancli 554 . . . . . . . . 9
21 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . 12
2221anbi2d 709 . . . . . . . . . . 11
23 feq1 5708 . . . . . . . . . . 11
2422, 23imbi12d 322 . . . . . . . . . 10
25 stoweidlem19.3 . . . . . . . . . 10
2624, 25vtoclg 3106 . . . . . . . . 9
2719, 20, 26sylc 62 . . . . . . . 8
2827fnvinran 37329 . . . . . . 7
29 recn 9626 . . . . . . 7
30 exp0 12273 . . . . . . 7
3128, 29, 303syl 18 . . . . . 6
3231eqcomd 2456 . . . . 5
3318, 32mpteq2da 4487 . . . 4
34 1re 9639 . . . . 5
35 stoweidlem19.5 . . . . . 6
3635stoweidlem4 37858 . . . . 5
3734, 36mpan2 676 . . . 4
3833, 37eqeltrrd 2529 . . 3
39 simpr 463 . . . . 5
40 simpll 759 . . . . 5
41 simplr 761 . . . . . 6
4239, 41mpd 15 . . . . 5
43 nfv 1760 . . . . . . . 8
44 nfmpt1 4491 . . . . . . . . 9
4544nfel1 2605 . . . . . . . 8
4618, 43, 45nf3an 2012 . . . . . . 7
47 simpl1 1010 . . . . . . . . 9
48 simpr 463 . . . . . . . . 9
4928recnd 9666 . . . . . . . . 9
5047, 48, 49syl2anc 666 . . . . . . . 8
51 simpl2 1011 . . . . . . . 8
5250, 51expp1d 12414 . . . . . . 7
5346, 52mpteq2da 4487 . . . . . 6
54283adant2 1026 . . . . . . . . . . . 12
55 simp2 1008 . . . . . . . . . . . 12
5654, 55reexpcld 12430 . . . . . . . . . . 11
5747, 51, 48, 56syl3anc 1267 . . . . . . . . . 10
58 eqid 2450 . . . . . . . . . . . 12
5958fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . 11
6059eqcomd 2456 . . . . . . . . . 10
6148, 57, 60syl2anc 666 . . . . . . . . 9
6261oveq1d 6303 . . . . . . . 8
6346, 62mpteq2da 4487 . . . . . . 7
6419adantr 467 . . . . . . . . 9
6544nfeq2 2606 . . . . . . . . . 10
66 stoweidlem19.1 . . . . . . . . . . 11
6766nfeq2 2606 . . . . . . . . . 10
68 stoweidlem19.4 . . . . . . . . . 10
6965, 67, 68stoweidlem6 37860 . . . . . . . . 9
7064, 69mpd3an3 1364 . . . . . . . 8
71703adant2 1026 . . . . . . 7
7263, 71eqeltrd 2528 . . . . . 6
7353, 72eqeltrd 2528 . . . . 5
7439, 40, 42, 73syl3anc 1267 . . . 4
7574exp31 608 . . 3
765, 9, 13, 17, 38, 75nn0ind 11027 . 2
771, 76mpcom 37 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   w3a 984   wceq 1443  wnf 1666   wcel 1886  wnfc 2578   cmpt 4460  wf 5577  cfv 5581  (class class class)co 6288  cc 9534  cr 9535  cc0 9536  c1 9537   caddc 9539   cmul 9541  cn0 10866  cexp 12269 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-seq 12211  df-exp 12270 This theorem is referenced by:  stoweidlem40  37895
 Copyright terms: Public domain W3C validator