Theorem stoweidlem18 27634

Description: This theorem proves Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 92 when A is empty, the trivial case. Here D is used to denote the set A of Lemma 2, because the variable A is used for the subalgebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem18.1	|- F/_ t D
stoweidlem18.2	|- F/ t ph
stoweidlem18.3	|- F = ( t e. T |-> 1 )
stoweidlem18.4	|- T = U. J
stoweidlem18.5	|- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
stoweidlem18.6	|- ( ph -> B e. ( Clsd ` J ) )
stoweidlem18.7	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem18.8	|- ( ph -> D = (/) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem18	|- ( ph -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )

Distinct variable groups:   t, a, T   A, a   ph, a   x, t   x, A   x, B   x, D   x, E   x, F   x, T

Allowed substitution hints:   ph( x, t)   A( t)   B( t, a)   D( t, a)   E( t, a)   F( t, a)   J( x, t, a)

Proof of Theorem stoweidlem18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem18.3	. . 3 |- F = ( t e. T |-> 1 )
2		1re 9046	. . . 4 |- 1 e. RR
3		stoweidlem18.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
4	3	stoweidlem4 27620	. . . 4 |- ( ( ph /\ 1 e. RR ) -> ( t e. T |-> 1 ) e. A )
5	2, 4	mpan2 653	. . 3 |- ( ph -> ( t e. T |-> 1 ) e. A )
6	1, 5	syl5eqel 2488	. 2 |- ( ph -> F e. A )
7		stoweidlem18.2	. . 3 |- F/ t ph
8		0le1 9507	. . . . . 6 |- 0 <_ 1
9		simpr 448	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. T )
10	1	fvmpt2 5771	. . . . . . 7 |- ( ( t e. T /\ 1 e. RR ) -> ( F ` t ) = 1 )
11	9, 2, 10	sylancl 644	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) = 1 )
12	8, 11	syl5breqr 4208	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( F ` t ) )
13		1le1 9606	. . . . . 6 |- 1 <_ 1
14	11, 13	syl6eqbr 4209	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) <_ 1 )
15	12, 14	jca 519	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) )
16	15	ex 424	. . 3 |- ( ph -> ( t e. T -> ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) ) )
17	7, 16	ralrimi 2747	. 2 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) )
18		stoweidlem18.8	. . 3 |- ( ph -> D = (/) )
19		stoweidlem18.1	. . . . 5 |- F/_ t D
20		nfcv 2540	. . . . 5 |- F/_ t (/)
21	19, 20	nfeq 2547	. . . 4 |- F/ t D = (/)
22	21	rzalf 27555	. . 3 |- ( D = (/) -> A. t e. D ( F ` t ) < E )
23	18, 22	syl 16	. 2 |- ( ph -> A. t e. D ( F ` t ) < E )
24	2	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. RR )
25		stoweidlem18.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR+ )
26	24, 25	ltsubrpd 10632	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - E ) < 1 )
27	26	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( 1 - E ) < 1 )
28		stoweidlem18.6	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. ( Clsd ` J ) )
29		stoweidlem18.4	. . . . . . . . 9 |- T = U. J
30	29	cldss 17048	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( Clsd ` J ) -> B C_ T )
31	28, 30	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> B C_ T )
32	31	sselda 3308	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> t e. T )
33	32, 2, 10	sylancl 644	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( F ` t ) = 1 )
34	27, 33	breqtrrd 4198	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( 1 - E ) < ( F ` t ) )
35	34	ex 424	. . 3 |- ( ph -> ( t e. B -> ( 1 - E ) < ( F ` t ) ) )
36	7, 35	ralrimi 2747	. 2 |- ( ph -> A. t e. B ( 1 - E ) < ( F ` t ) )
37		nfcv 2540	. . . . . 6 |- F/_ t x
38		nfmpt1 4258	. . . . . . 7 |- F/_ t ( t e. T |-> 1 )
39	1, 38	nfcxfr 2537	. . . . . 6 |- F/_ t F
40	37, 39	nfeq 2547	. . . . 5 |- F/ t x = F
41		fveq1 5686	. . . . . . 7 |- ( x = F -> ( x ` t ) = ( F ` t ) )
42	41	breq2d 4184	. . . . . 6 |- ( x = F -> ( 0 <_ ( x ` t ) <-> 0 <_ ( F ` t ) ) )
43	41	breq1d 4182	. . . . . 6 |- ( x = F -> ( ( x ` t ) <_ 1 <-> ( F ` t ) <_ 1 ) )
44	42, 43	anbi12d 692	. . . . 5 |- ( x = F -> ( ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) ) )
45	40, 44	ralbid 2684	. . . 4 |- ( x = F -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) ) )
46	41	breq1d 4182	. . . . 5 |- ( x = F -> ( ( x ` t ) < E <-> ( F ` t ) < E ) )
47	40, 46	ralbid 2684	. . . 4 |- ( x = F -> ( A. t e. D ( x ` t ) < E <-> A. t e. D ( F ` t ) < E ) )
48	41	breq2d 4184	. . . . 5 |- ( x = F -> ( ( 1 - E ) < ( x ` t ) <-> ( 1 - E ) < ( F ` t ) ) )
49	40, 48	ralbid 2684	. . . 4 |- ( x = F -> ( A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) <-> A. t e. B ( 1 - E ) < ( F ` t ) ) )
50	45, 47, 49	3anbi123d 1254	. . 3 |- ( x = F -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( F ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( F ` t ) ) ) )
51	50	rspcev 3012	. 2 |- ( ( F e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( F ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( F ` t ) ) ) -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )
52	6, 17, 23, 36, 51	syl13anc 1186	1 |- ( ph -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   /\ w3a 936   F/wnf 1550   = wceq 1649   e. wcel 1721   F/_wnfc 2527   A.wral 2666   E.wrex 2667   C_ wss 3280   (/)c0 3588   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   RR+crp 10568   Clsdccld 17035

This theorem is referenced by:  stoweidlem58  27674

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-rp 10569  df-top 16918  df-cld 17038