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Theorem stoweidlem18 32003
Description: This theorem proves Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 92 when A is empty, the trivial case. Here D is used to denote the set A of Lemma 2, because the variable A is used for the subalgebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem18.1  |-  F/_ t D
stoweidlem18.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem18.3  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  1 )
stoweidlem18.4  |-  T  = 
U. J
stoweidlem18.5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
stoweidlem18.6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( Clsd `  J ) )
stoweidlem18.7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem18.8  |-  ( ph  ->  D  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem18  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
Distinct variable groups:    t, a, T    A, a    ph, a    x, t    x, A    x, B    x, D    x, E    x, F    x, T
Allowed substitution hints:    ph( x, t)    A( t)    B( t, a)    D( t, a)    E( t, a)    F( t, a)    J( x, t, a)

Proof of Theorem stoweidlem18
StepHypRef Expression
1 stoweidlem18.3 . . 3  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  1 )
2 1re 9612 . . . 4  |-  1  e.  RR
3 stoweidlem18.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
43stoweidlem4 31989 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  1  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A )
52, 4mpan2 671 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A
)
61, 5syl5eqel 2549 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
7 stoweidlem18.2 . . 3  |-  F/ t
ph
8 0le1 10097 . . . . . 6  |-  0  <_  1
9 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
101fvmpt2 5964 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e.  T  /\  1  e.  RR )  ->  ( F `  t
)  =  1 )
119, 2, 10sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  =  1 )
128, 11syl5breqr 4492 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( F `  t
) )
13 1le1 10198 . . . . . 6  |-  1  <_  1
1411, 13syl6eqbr 4493 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  <_  1 )
1512, 14jca 532 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  1 ) )
1615ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  1 ) ) )
177, 16ralrimi 2857 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  1 ) )
18 stoweidlem18.8 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  (/) )
19 stoweidlem18.1 . . . . 5  |-  F/_ t D
20 nfcv 2619 . . . . 5  |-  F/_ t (/)
2119, 20nfeq 2630 . . . 4  |-  F/ t  D  =  (/)
2221rzalf 31595 . . 3  |-  ( D  =  (/)  ->  A. t  e.  D  ( F `  t )  <  E
)
2318, 22syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  D  ( F `  t )  <  E )
24 1red 9628 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
25 stoweidlem18.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
2624, 25ltsubrpd 11309 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <  1 )
2726adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <  1 )
28 stoweidlem18.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ( Clsd `  J ) )
29 stoweidlem18.4 . . . . . . . . 9  |-  T  = 
U. J
3029cldss 19657 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  B  C_  T
)
3128, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
3231sselda 3499 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  t  e.  T )
3332, 2, 10sylancl 662 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( F `  t )  =  1 )
3427, 33breqtrrd 4482 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <  ( F `  t ) )
3534ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  B  ->  ( 1  -  E
)  <  ( F `  t ) ) )
367, 35ralrimi 2857 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( F `  t ) )
37 nfcv 2619 . . . . . 6  |-  F/_ t
x
38 nfmpt1 4546 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  1 )
391, 38nfcxfr 2617 . . . . . 6  |-  F/_ t F
4037, 39nfeq 2630 . . . . 5  |-  F/ t  x  =  F
41 fveq1 5871 . . . . . . 7  |-  ( x  =  F  ->  (
x `  t )  =  ( F `  t ) )
4241breq2d 4468 . . . . . 6  |-  ( x  =  F  ->  (
0  <_  ( x `  t )  <->  0  <_  ( F `  t ) ) )
4341breq1d 4466 . . . . . 6  |-  ( x  =  F  ->  (
( x `  t
)  <_  1  <->  ( F `  t )  <_  1
) )
4442, 43anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( x  =  F  ->  (
( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  1 ) ) )
4540, 44ralbid 2891 . . . 4  |-  ( x  =  F  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  1 ) ) )
4641breq1d 4466 . . . . 5  |-  ( x  =  F  ->  (
( x `  t
)  <  E  <->  ( F `  t )  <  E
) )
4740, 46ralbid 2891 . . . 4  |-  ( x  =  F  ->  ( A. t  e.  D  ( x `  t
)  <  E  <->  A. t  e.  D  ( F `  t )  <  E
) )
4841breq2d 4468 . . . . 5  |-  ( x  =  F  ->  (
( 1  -  E
)  <  ( x `  t )  <->  ( 1  -  E )  < 
( F `  t
) ) )
4940, 48ralbid 2891 . . . 4  |-  ( x  =  F  ->  ( A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t )  <->  A. t  e.  B  ( 1  -  E )  < 
( F `  t
) ) )
5045, 47, 493anbi123d 1299 . . 3  |-  ( x  =  F  ->  (
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) )  <->  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( F `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E )  < 
( F `  t
) ) ) )
5150rspcev 3210 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( F `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( F `  t ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
526, 17, 23, 36, 51syl13anc 1230 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   F/wnf 1617    e. wcel 1819   F/_wnfc 2605   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471   (/)c0 3793   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   RR+crp 11245   Clsdccld 19644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-rp 11246  df-top 19526  df-cld 19647
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