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Theorem stoweidlem18 29813
Description: This theorem proves Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 92 when A is empty, the trivial case. Here D is used to denote the set A of Lemma 2, because the variable A is used for the subalgebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem18.1  |-  F/_ t D
stoweidlem18.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem18.3  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  1 )
stoweidlem18.4  |-  T  = 
U. J
stoweidlem18.5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
stoweidlem18.6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( Clsd `  J ) )
stoweidlem18.7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem18.8  |-  ( ph  ->  D  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem18  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
Distinct variable groups:    t, a, T    A, a    ph, a    x, t    x, A    x, B    x, D    x, E    x, F    x, T
Allowed substitution hints:    ph( x, t)    A( t)    B( t, a)    D( t, a)    E( t, a)    F( t, a)    J( x, t, a)

Proof of Theorem stoweidlem18
StepHypRef Expression
1 stoweidlem18.3 . . 3  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  1 )
2 1re 9385 . . . 4  |-  1  e.  RR
3 stoweidlem18.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
43stoweidlem4 29799 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  1  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A )
52, 4mpan2 671 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A
)
61, 5syl5eqel 2527 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
7 stoweidlem18.2 . . 3  |-  F/ t
ph
8 0le1 9863 . . . . . 6  |-  0  <_  1
9 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
101fvmpt2 5781 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e.  T  /\  1  e.  RR )  ->  ( F `  t
)  =  1 )
119, 2, 10sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  =  1 )
128, 11syl5breqr 4328 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( F `  t
) )
13 1le1 9964 . . . . . 6  |-  1  <_  1
1411, 13syl6eqbr 4329 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  <_  1 )
1512, 14jca 532 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  1 ) )
1615ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  1 ) ) )
177, 16ralrimi 2797 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  1 ) )
18 stoweidlem18.8 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  (/) )
19 stoweidlem18.1 . . . . 5  |-  F/_ t D
20 nfcv 2579 . . . . 5  |-  F/_ t (/)
2119, 20nfeq 2586 . . . 4  |-  F/ t  D  =  (/)
2221rzalf 29739 . . 3  |-  ( D  =  (/)  ->  A. t  e.  D  ( F `  t )  <  E
)
2318, 22syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  D  ( F `  t )  <  E )
24 1red 9401 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
25 stoweidlem18.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
2624, 25ltsubrpd 11055 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <  1 )
2726adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <  1 )
28 stoweidlem18.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ( Clsd `  J ) )
29 stoweidlem18.4 . . . . . . . . 9  |-  T  = 
U. J
3029cldss 18633 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  B  C_  T
)
3128, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
3231sselda 3356 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  t  e.  T )
3332, 2, 10sylancl 662 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( F `  t )  =  1 )
3427, 33breqtrrd 4318 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <  ( F `  t ) )
3534ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  B  ->  ( 1  -  E
)  <  ( F `  t ) ) )
367, 35ralrimi 2797 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( F `  t ) )
37 nfcv 2579 . . . . . 6  |-  F/_ t
x
38 nfmpt1 4381 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  1 )
391, 38nfcxfr 2576 . . . . . 6  |-  F/_ t F
4037, 39nfeq 2586 . . . . 5  |-  F/ t  x  =  F
41 fveq1 5690 . . . . . . 7  |-  ( x  =  F  ->  (
x `  t )  =  ( F `  t ) )
4241breq2d 4304 . . . . . 6  |-  ( x  =  F  ->  (
0  <_  ( x `  t )  <->  0  <_  ( F `  t ) ) )
4341breq1d 4302 . . . . . 6  |-  ( x  =  F  ->  (
( x `  t
)  <_  1  <->  ( F `  t )  <_  1
) )
4442, 43anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( x  =  F  ->  (
( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  1 ) ) )
4540, 44ralbid 2733 . . . 4  |-  ( x  =  F  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  1 ) ) )
4641breq1d 4302 . . . . 5  |-  ( x  =  F  ->  (
( x `  t
)  <  E  <->  ( F `  t )  <  E
) )
4740, 46ralbid 2733 . . . 4  |-  ( x  =  F  ->  ( A. t  e.  D  ( x `  t
)  <  E  <->  A. t  e.  D  ( F `  t )  <  E
) )
4841breq2d 4304 . . . . 5  |-  ( x  =  F  ->  (
( 1  -  E
)  <  ( x `  t )  <->  ( 1  -  E )  < 
( F `  t
) ) )
4940, 48ralbid 2733 . . . 4  |-  ( x  =  F  ->  ( A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t )  <->  A. t  e.  B  ( 1  -  E )  < 
( F `  t
) ) )
5045, 47, 493anbi123d 1289 . . 3  |-  ( x  =  F  ->  (
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) )  <->  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( F `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E )  < 
( F `  t
) ) ) )
5150rspcev 3073 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( F `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( F `  t ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
526, 17, 23, 36, 51syl13anc 1220 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   F/wnf 1589    e. wcel 1756   F/_wnfc 2566   A.wral 2715   E.wrex 2716    C_ wss 3328   (/)c0 3637   U.cuni 4091   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    < clt 9418    <_ cle 9419    - cmin 9595   RR+crp 10991   Clsdccld 18620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-rp 10992  df-top 18503  df-cld 18623
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