Theorem stoweidlem18 31273

Description: This theorem proves Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 92 when A is empty, the trivial case. Here D is used to denote the set A of Lemma 2, because the variable A is used for the subalgebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem18.1	|- F/_ t D
stoweidlem18.2	|- F/ t ph
stoweidlem18.3	|- F = ( t e. T |-> 1 )
stoweidlem18.4	|- T = U. J
stoweidlem18.5	|- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
stoweidlem18.6	|- ( ph -> B e. ( Clsd ` J ) )
stoweidlem18.7	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem18.8	|- ( ph -> D = (/) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem18	|- ( ph -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )

Distinct variable groups:   t, a, T   A, a   ph, a   x, t   x, A   x, B   x, D   x, E   x, F   x, T

Allowed substitution hints:   ph( x, t)   A( t)   B( t, a)   D( t, a)   E( t, a)   F( t, a)   J( x, t, a)

Proof of Theorem stoweidlem18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem18.3	. . 3 |- F = ( t e. T |-> 1 )
2		1re 9584	. . . 4 |- 1 e. RR
3		stoweidlem18.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
4	3	stoweidlem4 31259	. . . 4 |- ( ( ph /\ 1 e. RR ) -> ( t e. T |-> 1 ) e. A )
5	2, 4	mpan2 671	. . 3 |- ( ph -> ( t e. T |-> 1 ) e. A )
6	1, 5	syl5eqel 2552	. 2 |- ( ph -> F e. A )
7		stoweidlem18.2	. . 3 |- F/ t ph
8		0le1 10065	. . . . . 6 |- 0 <_ 1
9		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. T )
10	1	fvmpt2 5948	. . . . . . 7 |- ( ( t e. T /\ 1 e. RR ) -> ( F ` t ) = 1 )
11	9, 2, 10	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) = 1 )
12	8, 11	syl5breqr 4476	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( F ` t ) )
13		1le1 10166	. . . . . 6 |- 1 <_ 1
14	11, 13	syl6eqbr 4477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) <_ 1 )
15	12, 14	jca 532	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) )
16	15	ex 434	. . 3 |- ( ph -> ( t e. T -> ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) ) )
17	7, 16	ralrimi 2857	. 2 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) )
18		stoweidlem18.8	. . 3 |- ( ph -> D = (/) )
19		stoweidlem18.1	. . . . 5 |- F/_ t D
20		nfcv 2622	. . . . 5 |- F/_ t (/)
21	19, 20	nfeq 2633	. . . 4 |- F/ t D = (/)
22	21	rzalf 30925	. . 3 |- ( D = (/) -> A. t e. D ( F ` t ) < E )
23	18, 22	syl 16	. 2 |- ( ph -> A. t e. D ( F ` t ) < E )
24		1red 9600	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. RR )
25		stoweidlem18.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR+ )
26	24, 25	ltsubrpd 11273	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - E ) < 1 )
27	26	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( 1 - E ) < 1 )
28		stoweidlem18.6	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. ( Clsd ` J ) )
29		stoweidlem18.4	. . . . . . . . 9 |- T = U. J
30	29	cldss 19289	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( Clsd ` J ) -> B C_ T )
31	28, 30	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> B C_ T )
32	31	sselda 3497	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> t e. T )
33	32, 2, 10	sylancl 662	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( F ` t ) = 1 )
34	27, 33	breqtrrd 4466	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( 1 - E ) < ( F ` t ) )
35	34	ex 434	. . 3 |- ( ph -> ( t e. B -> ( 1 - E ) < ( F ` t ) ) )
36	7, 35	ralrimi 2857	. 2 |- ( ph -> A. t e. B ( 1 - E ) < ( F ` t ) )
37		nfcv 2622	. . . . . 6 |- F/_ t x
38		nfmpt1 4529	. . . . . . 7 |- F/_ t ( t e. T |-> 1 )
39	1, 38	nfcxfr 2620	. . . . . 6 |- F/_ t F
40	37, 39	nfeq 2633	. . . . 5 |- F/ t x = F
41		fveq1 5856	. . . . . . 7 |- ( x = F -> ( x ` t ) = ( F ` t ) )
42	41	breq2d 4452	. . . . . 6 |- ( x = F -> ( 0 <_ ( x ` t ) <-> 0 <_ ( F ` t ) ) )
43	41	breq1d 4450	. . . . . 6 |- ( x = F -> ( ( x ` t ) <_ 1 <-> ( F ` t ) <_ 1 ) )
44	42, 43	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( x = F -> ( ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) ) )
45	40, 44	ralbid 2891	. . . 4 |- ( x = F -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) ) )
46	41	breq1d 4450	. . . . 5 |- ( x = F -> ( ( x ` t ) < E <-> ( F ` t ) < E ) )
47	40, 46	ralbid 2891	. . . 4 |- ( x = F -> ( A. t e. D ( x ` t ) < E <-> A. t e. D ( F ` t ) < E ) )
48	41	breq2d 4452	. . . . 5 |- ( x = F -> ( ( 1 - E ) < ( x ` t ) <-> ( 1 - E ) < ( F ` t ) ) )
49	40, 48	ralbid 2891	. . . 4 |- ( x = F -> ( A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) <-> A. t e. B ( 1 - E ) < ( F ` t ) ) )
50	45, 47, 49	3anbi123d 1294	. . 3 |- ( x = F -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( F ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( F ` t ) ) ) )
51	50	rspcev 3207	. 2 |- ( ( F e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( F ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( F ` t ) ) ) -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )
52	6, 17, 23, 36, 51	syl13anc 1225	1 |- ( ph -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   F/wnf 1594   e. wcel 1762   F/_wnfc 2608   A.wral 2807   E.wrex 2808   C_ wss 3469   (/)c0 3778   U.cuni 4238   class class class wbr 4440   |-> cmpt 4498   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9794   RR+crp 11209   Clsdccld 19276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-rp 11210  df-top 19159  df-cld 19279

This theorem is referenced by:  stoweidlem58  31313