Theorem stoweidlem18 37704

Description: This theorem proves Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 92 when A is empty, the trivial case. Here D is used to denote the set A of Lemma 2, because the variable A is used for the subalgebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem18.1	|- F/_ t D
stoweidlem18.2	|- F/ t ph
stoweidlem18.3	|- F = ( t e. T |-> 1 )
stoweidlem18.4	|- T = U. J
stoweidlem18.5	|- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
stoweidlem18.6	|- ( ph -> B e. ( Clsd ` J ) )
stoweidlem18.7	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem18.8	|- ( ph -> D = (/) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem18	|- ( ph -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )

Distinct variable groups:   t, a, T   A, a   ph, a   x, t   x, A   x, B   x, D   x, E   x, F   x, T

Allowed substitution hints:   ph( x, t)   A( t)   B( t, a)   D( t, a)   E( t, a)   F( t, a)   J( x, t, a)

Proof of Theorem stoweidlem18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem18.3	. . 3 |- F = ( t e. T |-> 1 )
2		1re 9644	. . . 4 |- 1 e. RR
3		stoweidlem18.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
4	3	stoweidlem4 37690	. . . 4 |- ( ( ph /\ 1 e. RR ) -> ( t e. T |-> 1 ) e. A )
5	2, 4	mpan2 676	. . 3 |- ( ph -> ( t e. T |-> 1 ) e. A )
6	1, 5	syl5eqel 2515	. 2 |- ( ph -> F e. A )
7		stoweidlem18.2	. . 3 |- F/ t ph
8		0le1 10139	. . . . . 6 |- 0 <_ 1
9		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. T )
10	1	fvmpt2 5971	. . . . . . 7 |- ( ( t e. T /\ 1 e. RR ) -> ( F ` t ) = 1 )
11	9, 2, 10	sylancl 667	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) = 1 )
12	8, 11	syl5breqr 4458	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( F ` t ) )
13		1le1 10242	. . . . . 6 |- 1 <_ 1
14	11, 13	syl6eqbr 4459	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) <_ 1 )
15	12, 14	jca 535	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) )
16	15	ex 436	. . 3 |- ( ph -> ( t e. T -> ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) ) )
17	7, 16	ralrimi 2826	. 2 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) )
18		stoweidlem18.8	. . 3 |- ( ph -> D = (/) )
19		stoweidlem18.1	. . . . 5 |- F/_ t D
20		nfcv 2585	. . . . 5 |- F/_ t (/)
21	19, 20	nfeq 2596	. . . 4 |- F/ t D = (/)
22	21	rzalf 37205	. . 3 |- ( D = (/) -> A. t e. D ( F ` t ) < E )
23	18, 22	syl 17	. 2 |- ( ph -> A. t e. D ( F ` t ) < E )
24		1red 9660	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. RR )
25		stoweidlem18.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR+ )
26	24, 25	ltsubrpd 11372	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - E ) < 1 )
27	26	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( 1 - E ) < 1 )
28		stoweidlem18.6	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. ( Clsd ` J ) )
29		stoweidlem18.4	. . . . . . . . 9 |- T = U. J
30	29	cldss 20036	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( Clsd ` J ) -> B C_ T )
31	28, 30	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> B C_ T )
32	31	sselda 3465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> t e. T )
33	32, 2, 10	sylancl 667	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( F ` t ) = 1 )
34	27, 33	breqtrrd 4448	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( 1 - E ) < ( F ` t ) )
35	34	ex 436	. . 3 |- ( ph -> ( t e. B -> ( 1 - E ) < ( F ` t ) ) )
36	7, 35	ralrimi 2826	. 2 |- ( ph -> A. t e. B ( 1 - E ) < ( F ` t ) )
37		nfcv 2585	. . . . . 6 |- F/_ t x
38		nfmpt1 4511	. . . . . . 7 |- F/_ t ( t e. T |-> 1 )
39	1, 38	nfcxfr 2583	. . . . . 6 |- F/_ t F
40	37, 39	nfeq 2596	. . . . 5 |- F/ t x = F
41		fveq1 5878	. . . . . . 7 |- ( x = F -> ( x ` t ) = ( F ` t ) )
42	41	breq2d 4433	. . . . . 6 |- ( x = F -> ( 0 <_ ( x ` t ) <-> 0 <_ ( F ` t ) ) )
43	41	breq1d 4431	. . . . . 6 |- ( x = F -> ( ( x ` t ) <_ 1 <-> ( F ` t ) <_ 1 ) )
44	42, 43	anbi12d 716	. . . . 5 |- ( x = F -> ( ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) ) )
45	40, 44	ralbid 2860	. . . 4 |- ( x = F -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) ) )
46	41	breq1d 4431	. . . . 5 |- ( x = F -> ( ( x ` t ) < E <-> ( F ` t ) < E ) )
47	40, 46	ralbid 2860	. . . 4 |- ( x = F -> ( A. t e. D ( x ` t ) < E <-> A. t e. D ( F ` t ) < E ) )
48	41	breq2d 4433	. . . . 5 |- ( x = F -> ( ( 1 - E ) < ( x ` t ) <-> ( 1 - E ) < ( F ` t ) ) )
49	40, 48	ralbid 2860	. . . 4 |- ( x = F -> ( A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) <-> A. t e. B ( 1 - E ) < ( F ` t ) ) )
50	45, 47, 49	3anbi123d 1336	. . 3 |- ( x = F -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( F ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( F ` t ) ) ) )
51	50	rspcev 3183	. 2 |- ( ( F e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( F ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( F ` t ) ) ) -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )
52	6, 17, 23, 36, 51	syl13anc 1267	1 |- ( ph -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 983   = wceq 1438   F/wnf 1664   e. wcel 1869   F/_wnfc 2571   A.wral 2776   E.wrex 2777   C_ wss 3437   (/)c0 3762   U.cuni 4217   class class class wbr 4421   |-> cmpt 4480   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542   < clt 9677   <_ cle 9678   - cmin 9862   RR+crp 11304   Clsdccld 20023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-rp 11305  df-top 19913  df-cld 20026

This theorem is referenced by:  stoweidlem58  37745