Theorem stoweidlem18 29722

Description: This theorem proves Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 92 when A is empty, the trivial case. Here D is used to denote the set A of Lemma 2, because the variable A is used for the subalgebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem18.1	|- F/_ t D
stoweidlem18.2	|- F/ t ph
stoweidlem18.3	|- F = ( t e. T |-> 1 )
stoweidlem18.4	|- T = U. J
stoweidlem18.5	|- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
stoweidlem18.6	|- ( ph -> B e. ( Clsd ` J ) )
stoweidlem18.7	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem18.8	|- ( ph -> D = (/) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem18	|- ( ph -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )

Distinct variable groups:   t, a, T   A, a   ph, a   x, t   x, A   x, B   x, D   x, E   x, F   x, T

Allowed substitution hints:   ph( x, t)   A( t)   B( t, a)   D( t, a)   E( t, a)   F( t, a)   J( x, t, a)

Proof of Theorem stoweidlem18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem18.3	. . 3 |- F = ( t e. T |-> 1 )
2		1re 9381	. . . 4 |- 1 e. RR
3		stoweidlem18.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
4	3	stoweidlem4 29708	. . . 4 |- ( ( ph /\ 1 e. RR ) -> ( t e. T |-> 1 ) e. A )
5	2, 4	mpan2 666	. . 3 |- ( ph -> ( t e. T |-> 1 ) e. A )
6	1, 5	syl5eqel 2525	. 2 |- ( ph -> F e. A )
7		stoweidlem18.2	. . 3 |- F/ t ph
8		0le1 9859	. . . . . 6 |- 0 <_ 1
9		simpr 458	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. T )
10	1	fvmpt2 5778	. . . . . . 7 |- ( ( t e. T /\ 1 e. RR ) -> ( F ` t ) = 1 )
11	9, 2, 10	sylancl 657	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) = 1 )
12	8, 11	syl5breqr 4325	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( F ` t ) )
13		1le1 9960	. . . . . 6 |- 1 <_ 1
14	11, 13	syl6eqbr 4326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) <_ 1 )
15	12, 14	jca 529	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) )
16	15	ex 434	. . 3 |- ( ph -> ( t e. T -> ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) ) )
17	7, 16	ralrimi 2795	. 2 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) )
18		stoweidlem18.8	. . 3 |- ( ph -> D = (/) )
19		stoweidlem18.1	. . . . 5 |- F/_ t D
20		nfcv 2577	. . . . 5 |- F/_ t (/)
21	19, 20	nfeq 2584	. . . 4 |- F/ t D = (/)
22	21	rzalf 29648	. . 3 |- ( D = (/) -> A. t e. D ( F ` t ) < E )
23	18, 22	syl 16	. 2 |- ( ph -> A. t e. D ( F ` t ) < E )
24		1red 9397	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. RR )
25		stoweidlem18.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR+ )
26	24, 25	ltsubrpd 11051	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - E ) < 1 )
27	26	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( 1 - E ) < 1 )
28		stoweidlem18.6	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. ( Clsd ` J ) )
29		stoweidlem18.4	. . . . . . . . 9 |- T = U. J
30	29	cldss 18533	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( Clsd ` J ) -> B C_ T )
31	28, 30	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> B C_ T )
32	31	sselda 3353	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> t e. T )
33	32, 2, 10	sylancl 657	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( F ` t ) = 1 )
34	27, 33	breqtrrd 4315	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( 1 - E ) < ( F ` t ) )
35	34	ex 434	. . 3 |- ( ph -> ( t e. B -> ( 1 - E ) < ( F ` t ) ) )
36	7, 35	ralrimi 2795	. 2 |- ( ph -> A. t e. B ( 1 - E ) < ( F ` t ) )
37		nfcv 2577	. . . . . 6 |- F/_ t x
38		nfmpt1 4378	. . . . . . 7 |- F/_ t ( t e. T |-> 1 )
39	1, 38	nfcxfr 2574	. . . . . 6 |- F/_ t F
40	37, 39	nfeq 2584	. . . . 5 |- F/ t x = F
41		fveq1 5687	. . . . . . 7 |- ( x = F -> ( x ` t ) = ( F ` t ) )
42	41	breq2d 4301	. . . . . 6 |- ( x = F -> ( 0 <_ ( x ` t ) <-> 0 <_ ( F ` t ) ) )
43	41	breq1d 4299	. . . . . 6 |- ( x = F -> ( ( x ` t ) <_ 1 <-> ( F ` t ) <_ 1 ) )
44	42, 43	anbi12d 705	. . . . 5 |- ( x = F -> ( ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) ) )
45	40, 44	ralbid 2731	. . . 4 |- ( x = F -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) ) )
46	41	breq1d 4299	. . . . 5 |- ( x = F -> ( ( x ` t ) < E <-> ( F ` t ) < E ) )
47	40, 46	ralbid 2731	. . . 4 |- ( x = F -> ( A. t e. D ( x ` t ) < E <-> A. t e. D ( F ` t ) < E ) )
48	41	breq2d 4301	. . . . 5 |- ( x = F -> ( ( 1 - E ) < ( x ` t ) <-> ( 1 - E ) < ( F ` t ) ) )
49	40, 48	ralbid 2731	. . . 4 |- ( x = F -> ( A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) <-> A. t e. B ( 1 - E ) < ( F ` t ) ) )
50	45, 47, 49	3anbi123d 1284	. . 3 |- ( x = F -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( F ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( F ` t ) ) ) )
51	50	rspcev 3070	. 2 |- ( ( F e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( F ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( F ` t ) ) ) -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )
52	6, 17, 23, 36, 51	syl13anc 1215	1 |- ( ph -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   F/wnf 1594   e. wcel 1761   F/_wnfc 2564   A.wral 2713   E.wrex 2714   C_ wss 3325   (/)c0 3634   U.cuni 4088   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   < clt 9414   <_ cle 9415   - cmin 9591   RR+crp 10987   Clsdccld 18520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-rp 10988  df-top 18403  df-cld 18523

This theorem is referenced by:  stoweidlem58  29762