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Theorem stoweidlem17 31345
Description: This lemma proves that the function  g (as defined in [BrosowskiDeutsh] p. 91, at the end of page 91) belongs to the subalgebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem17.1  |-  F/ t
ph
stoweidlem17.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
stoweidlem17.3  |-  ( ph  ->  X : ( 0 ... N ) --> A )
stoweidlem17.4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem17.5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem17.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem17.7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
stoweidlem17.8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem17  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)
Distinct variable groups:    f, g,
i, t, E    A, f, g    T, f, g, i, t    f, X, g, i, t    ph, f,
g, i    i, N, t    x, t, E    x, A    x, T    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t)    A( t, i)    N( x, f, g)    X( x)

Proof of Theorem stoweidlem17
Dummy variables  m  r  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem17.2 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
21nnnn0d 10852 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3 nn0uz 11116 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
42, 3syl6eleq 2565 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
5 eluzfz2 11694 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  N  e.  ( 0 ... N
) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
76ancli 551 . 2  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  N  e.  ( 0 ... N
) ) )
8 eleq1 2539 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  (
n  e.  ( 0 ... N )  <->  0  e.  ( 0 ... N
) ) )
98anbi2d 703 . . . 4  |-  ( n  =  0  ->  (
( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  <->  ( ph  /\  0  e.  ( 0 ... N ) ) ) )
10 oveq2 6292 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  (
0 ... n )  =  ( 0 ... 0
) )
1110sumeq1d 13486 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... n
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  =  sum_ i  e.  ( 0 ... 0 ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )
1211mpteq2dv 4534 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... n ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... 0
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) ) )
1312eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( n  =  0  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... n ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... 0 ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A ) )
149, 13imbi12d 320 . . 3  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... n ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  0  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... 0 ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) ) )
15 eleq1 2539 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
n  e.  ( 0 ... N )  <->  m  e.  ( 0 ... N
) ) )
1615anbi2d 703 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  (
( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  <->  ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) ) ) )
17 oveq2 6292 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
0 ... n )  =  ( 0 ... m
) )
1817sumeq1d 13486 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... n
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  =  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )
1918mpteq2dv 4534 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... n ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) ) )
2019eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... n ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A ) )
2116, 20imbi12d 320 . . 3  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... n ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) ) )
22 eleq1 2539 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  e.  ( 0 ... N )  <->  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )
2322anbi2d 703 . . . 4  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  <->  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) ) ) )
24 oveq2 6292 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
0 ... n )  =  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) )
2524sumeq1d 13486 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... n
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  =  sum_ i  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )
2625mpteq2dv 4534 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... n ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) ) )
2726eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... n ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A ) )
2823, 27imbi12d 320 . . 3  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... n ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) ) )
29 eleq1 2539 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
n  e.  ( 0 ... N )  <->  N  e.  ( 0 ... N
) ) )
3029anbi2d 703 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  <->  ( ph  /\  N  e.  ( 0 ... N ) ) ) )
31 oveq2 6292 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
0 ... n )  =  ( 0 ... N
) )
3231sumeq1d 13486 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... n
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  =  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )
3332mpteq2dv 4534 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... n ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) ) )
3433eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... n ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A ) )
3530, 34imbi12d 320 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... n ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  N  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) ) )
36 0z 10875 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
37 fzsn 11725 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
3938sumeq1i 13483 . . . . . . 7  |-  sum_ i  e.  ( 0 ... 0
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  =  sum_ i  e.  { 0 }  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )
4039mpteq2i 4530 . . . . . 6  |-  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... 0
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )  =  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  {
0 }  ( E  x.  ( ( X `
 i ) `  t ) ) )
41 stoweidlem17.1 . . . . . . 7  |-  F/ t
ph
42 stoweidlem17.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
4342adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E  e.  RR )
4443recnd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E  e.  CC )
45 stoweidlem17.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X : ( 0 ... N ) --> A )
46 nnz 10886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
47 nngt0 10565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
48 0re 9596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR
49 nnre 10543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
50 ltle 9673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <  N  ->  0  <_  N )
)
5148, 49, 50sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  <  N  ->  0  <_  N ) )
5247, 51mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
5346, 52jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
541, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )
)
5536eluz1i 11089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
5654, 55sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
57 eluzfz1 11693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... N
) )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ... N ) )
5945, 58ffvelrnd 6022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X `  0
)  e.  A )
60 feq1 5713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( X ` 
0 )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( X `  0 ) : T --> RR ) )
6160imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( X ` 
0 )  ->  (
( ph  ->  f : T --> RR )  <->  ( ph  ->  ( X `  0
) : T --> RR ) ) )
62 stoweidlem17.8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
6362expcom 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  A  ->  ( ph  ->  f : T --> RR ) )
6461, 63vtoclga 3177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X `  0 )  e.  A  ->  ( ph  ->  ( X ` 
0 ) : T --> RR ) )
6559, 64mpcom 36 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X `  0
) : T --> RR )
6665fnvinran 30995 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( X `  0
) `  t )  e.  RR )
6766recnd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( X `  0
) `  t )  e.  CC )
6844, 67mulcld 9616 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( E  x.  ( ( X `  0 ) `  t ) )  e.  CC )
69 fveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  0  ->  ( X `  i )  =  ( X ` 
0 ) )
7069fveq1d 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  0  ->  (
( X `  i
) `  t )  =  ( ( X `
 0 ) `  t ) )
7170oveq2d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  0  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  =  ( E  x.  (
( X `  0
) `  t )
) )
7271sumsn 13526 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( E  x.  (
( X `  0
) `  t )
)  e.  CC )  ->  sum_ i  e.  {
0 }  ( E  x.  ( ( X `
 i ) `  t ) )  =  ( E  x.  (
( X `  0
) `  t )
) )
7336, 68, 72sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  { 0 }  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  =  ( E  x.  (
( X `  0
) `  t )
) )
7441, 73mpteq2da 4532 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  {
0 }  ( E  x.  ( ( X `
 i ) `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X ` 
0 ) `  t
) ) ) )
7540, 74syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... 0 ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  0 ) `
 t ) ) ) )
76 stoweidlem17.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
77 stoweidlem17.6 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
7841, 76, 77, 62, 42, 59stoweidlem2 31330 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  (
( X `  0
) `  t )
) )  e.  A
)
7975, 78eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... 0 ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)
8079adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... 0 ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A )
81 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  t  ->  E  =  E )
8281cbvmptv 4538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  e.  T  |->  E )  =  ( t  e.  T  |->  E )
8382eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  T  |->  E )  =  ( r  e.  T  |->  E )
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t  e.  T  |->  E )  =  ( r  e.  T  |->  E ) )
85 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  r  =  t )  ->  E  =  E )
86 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
8784, 85, 86, 43fvmptd 5955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |->  E ) `  t
)  =  E )
8887oveq1d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) )  =  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) )
8941, 88mpteq2da 4532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `
 t )  x.  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  t
) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) ) ) )
9089adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) )
9145fnvinran 30995 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( X `  ( m  +  1 ) )  e.  A )
92 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ph )
93 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  E  ->  x  =  E )
9493mpteq2dv 4534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  E  ->  (
t  e.  T  |->  x )  =  ( t  e.  T  |->  E ) )
9594eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  E  ->  (
( t  e.  T  |->  x )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A ) )
9695imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  E  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )  <->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A
) ) )
9777expcom 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A ) )
9896, 97vtoclga 3177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  RR  ->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A ) )
9942, 98mpcom 36 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A
)
10099adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
t  e.  T  |->  E )  e.  A )
101 fveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  ( X `  ( m  +  1
) )  ->  (
g `  t )  =  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) )
102101oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( X `  ( m  +  1
) )  ->  (
( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  (
g `  t )
)  =  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t
)  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) )
103102mpteq2dv 4534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( X `  ( m  +  1
) )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  (
g `  t )
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) ) ) )
104103eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( X `  ( m  +  1
) )  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) )  e.  A ) )
105104imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( X `  ( m  +  1
) )  ->  (
( ( ph  /\  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )  <-> 
( ( ph  /\  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t
)  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) )  e.  A ) ) )
10682eleq1i 2544 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r  e.  T  |->  E )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A )
107 fveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  =  ( r  e.  T  |->  E )  -> 
( f `  t
)  =  ( ( r  e.  T  |->  E ) `  t ) )
10882fveq1i 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( r  e.  T  |->  E ) `  t )  =  ( ( t  e.  T  |->  E ) `
 t )
109107, 108syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  ( r  e.  T  |->  E )  -> 
( f `  t
)  =  ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t ) )
110109oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  ( r  e.  T  |->  E )  -> 
( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
)  =  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )
111110mpteq2dv 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( r  e.  T  |->  E )  -> 
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
112111eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( r  e.  T  |->  E )  -> 
( ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A ) )
113112imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( r  e.  T  |->  E )  -> 
( ( ( ph  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )  e.  A )  <->  ( ( ph  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A ) ) )
114763com12 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  e.  A  /\  ph 
/\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
1151143expib 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  A  ->  (
( ph  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A ) )
116113, 115vtoclga 3177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r  e.  T  |->  E )  e.  A  -> 
( ( ph  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )  e.  A ) )
117106, 116sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  T  |->  E )  e.  A  -> 
( ( ph  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )  e.  A ) )
1181173impib 1194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t  e.  T  |->  E )  e.  A  /\  ph  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  A
)
1191183com13 1201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  e.  A  /\  ph 
/\  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  A
)
1201193expib 1199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  A  ->  (
( ph  /\  (
t  e.  T  |->  E )  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A ) )
121105, 120vtoclga 3177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X `  ( m  +  1 ) )  e.  A  ->  (
( ph  /\  (
t  e.  T  |->  E )  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) )  e.  A ) )
1221213impib 1194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X `  (
m  +  1 ) )  e.  A  /\  ph 
/\  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) ) )  e.  A
)
12391, 92, 100, 122syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) ) )  e.  A
)
12490, 123eqeltrrd 2556 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) )  e.  A )
125124ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) )  /\  (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) ) )  ->  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  t
) ) )  e.  A )
126 simprrl 763 . . . . . . 7  |-  ( ( ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) )  /\  (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) ) )  ->  ph )
127 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  ->  m  e.  NN0 )
128 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  ->  ph )
1291ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  ->  N  e.  NN )
130129nnnn0d 10852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  ->  N  e.  NN0 )
131 nn0re 10804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  RR )
132131adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  ->  m  e.  RR )
133 peano2nn0 10836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e. 
NN0 )
134133nn0red 10853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  RR )
135134adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( m  +  1 )  e.  RR )
1361nnred 10551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
137136ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  ->  N  e.  RR )
138 lep1 10381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  RR  ->  m  <_  ( m  +  1 ) )
139127, 131, 1383syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  ->  m  <_  ( m  + 
1 ) )
140 elfzle2 11690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
m  +  1 )  <_  N )
141140ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( m  +  1 )  <_  N )
142132, 135, 137, 139, 141letrd 9738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  ->  m  <_  N )
143 elfz2nn0 11768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  <->  ( m  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  m  <_  N ) )
144127, 130, 142, 143syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  ->  m  e.  ( 0 ... N ) )
145127, 128, 144jca32 535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) ) ) )
146145adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) )  /\  (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) ) )  ->  ( m  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) ) ) )
147 pm3.31 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A ) )  ->  ( (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) )
148147adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) )  /\  (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) ) )  ->  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A ) )
149146, 148mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) )  /\  (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)
150 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  t  ->  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  r )  =  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) )
151150oveq2d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  t  ->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 r ) )  =  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  t
) ) )
152151cbvmptv 4538 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  r ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  t
) ) )
153152eleq1i 2544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 r ) ) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) )  e.  A )
154 fveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( r  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  r
) ) )  -> 
( g `  t
)  =  ( ( r  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 r ) ) ) `  t ) )
155152fveq1i 5867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( r  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 r ) ) ) `  t )  =  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) ) `
 t )
156154, 155syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( r  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  r
) ) )  -> 
( g `  t
)  =  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) )
157156oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( r  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  r
) ) )  -> 
( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) ) `  t )  +  ( g `  t ) )  =  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) ) )
158157mpteq2dv 4534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( r  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  r
) ) )  -> 
( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) ) `  t )  +  ( g `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) ) ) )
159158eleq1d 2536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( r  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  r
) ) )  -> 
( ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) ) `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) ) )  e.  A
) )
160159imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( r  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  r
) ) )  -> 
( ( ( ph  /\  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A )  <-> 
( ( ph  /\  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) ) )  e.  A
) ) )
161 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  t  ->  (
( X `  i
) `  r )  =  ( ( X `
 i ) `  t ) )
162161oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  t  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  r ) )  =  ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )
163162sumeq2sdv 13489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  t  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  r
) )  =  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )
164163cbvmptv 4538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  r
) ) )  =  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )
165164eleq1i 2544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 r ) ) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )  e.  A )
166 fveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  ( r  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  r )
) )  ->  (
f `  t )  =  ( ( r  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  r
) ) ) `  t ) )
167164fveq1i 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( r  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 r ) ) ) `  t )  =  ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) ) `  t )
168166, 167syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( r  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  r )
) )  ->  (
f `  t )  =  ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) ) `  t ) )
169168oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( r  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  r )
) )  ->  (
( f `  t
)  +  ( g `
 t ) )  =  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) ) `  t )  +  ( g `  t ) ) )
170169mpteq2dv 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( r  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  r )
) )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( g `
 t ) ) ) )
171170eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( r  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  r )
) )  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A ) )
172171imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( r  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  r )
) )  ->  (
( ( ph  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) ) `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A ) ) )
173 stoweidlem17.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
1741733com12 1200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  A  /\  ph 
/\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
1751743expib 1199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  A  ->  (
( ph  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A ) )
176172, 175vtoclga 3177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 r ) ) )  e.  A  -> 
( ( ph  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) ) `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A
) )
177165, 176sylbir 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A  -> 
( ( ph  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) ) `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A
) )
1781773impib 1194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A  /\  ph  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
1791783com13 1201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  e.  A  /\  ph 
/\  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
1801793expib 1199 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  A  ->  (
( ph  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) ) `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A ) )
181160, 180vtoclga 3177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 r ) ) )  e.  A  -> 
( ( ph  /\  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) ) )  e.  A
) )
182153, 181sylbir 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) )  e.  A  -> 
( ( ph  /\  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) ) )  e.  A
) )
1831823impib 1194 . . . . . . 7  |-  ( ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) ) )  e.  A  /\  ph  /\  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) ) )  e.  A
)
184125, 126, 149, 183syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) )  /\  (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) ) )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) ) `  t )  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) ) `
 t ) ) )  e.  A )
185 3anass 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  <->  ( m  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) ) ) )
186185biimpri 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )
187186adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) )  /\  (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) ) )  ->  ( m  e. 
NN0  /\  ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) ) )
188 nfv 1683 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t  m  e.  NN0
189 nfv 1683 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N )
190188, 41, 189nf3an 1877 . . . . . . . . 9  |-  F/ t ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )
191 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
192 fzfid 12051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
0 ... m )  e. 
Fin )
193423ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  E  e.  RR )
194193adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  E  e.  RR )
195194adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  /\  ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
0 ... m ) )  ->  E  e.  RR )
196 fzelp1 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 0 ... m )  ->  i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) )
197196anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  /\  ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
0 ... m ) )  ->  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ) )
198 an32 796 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  /\  ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
0 ... ( m  + 
1 ) ) )  <-> 
( ( ( m  e.  NN0  /\  ph  /\  ( m  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  i  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) )  /\  t  e.  T ) )
199197, 198sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  /\  ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
0 ... m ) )  ->  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  /\  i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) )  /\  t  e.  T ) )
200453ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  X :
( 0 ... N
) --> A )
201200adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) )  ->  X : ( 0 ... N ) --> A )
202 elfzuz3 11685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )
203 fzss2 11723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) )  ->  ( 0 ... ( m  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... N
) )
204202, 203syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
0 ... ( m  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... N
) )
205204sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  /\  i  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) )  ->  i  e.  ( 0 ... N ) )
2062053ad2antl3 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) )  ->  i  e.  ( 0 ... N
) )
207201, 206ffvelrnd 6022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) )  ->  ( X `  i )  e.  A )
208 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) )  ->  ph )
209 feq1 5713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( X `  i )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( X `  i ) : T --> RR ) )
210209imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( X `  i )  ->  (
( ph  ->  f : T --> RR )  <->  ( ph  ->  ( X `  i
) : T --> RR ) ) )
211210, 63vtoclga 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X `  i )  e.  A  ->  ( ph  ->  ( X `  i ) : T --> RR ) )
212207, 208, 211sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) )  ->  ( X `  i ) : T --> RR )
213212fnvinran 30995 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  /\  ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  /\  i  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) )  /\  t  e.  T
)  ->  ( ( X `  i ) `  t )  e.  RR )
214199, 213syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  /\  ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
0 ... m ) )  ->  ( ( X `
 i ) `  t )  e.  RR )
215195, 214remulcld 9624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  /\  ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
0 ... m ) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  e.  RR )
216192, 215fsumrecl 13519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  e.  RR )
217 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )  =  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )
218217fvmpt2 5957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  T  /\  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) )  e.  RR )  -> 
( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  =  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )
219191, 216, 218syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  =  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )
220219oveq1d 6299 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  +  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) )
221 3simpc 995 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) ) )
222221adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  ( ph  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) ) )
223 feq1 5713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( X `  ( m  +  1
) )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( X `  ( m  +  1 ) ) : T --> RR ) )
224223imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( X `  ( m  +  1
) )  ->  (
( ph  ->  f : T --> RR )  <->  ( ph  ->  ( X `  (
m  +  1 ) ) : T --> RR ) ) )
225224, 63vtoclga 3177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X `  ( m  +  1 ) )  e.  A  ->  ( ph  ->  ( X `  ( m  +  1
) ) : T --> RR ) )
22691, 92, 225sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( X `  ( m  +  1 ) ) : T --> RR )
227222, 226syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  ( m  +  1 ) ) : T --> RR )
228227, 191ffvelrnd 6022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t )  e.  RR )
229194, 228remulcld 9624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) )  e.  RR )
230 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  t
) ) )
231230fvmpt2 5957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( E  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) )  e.  RR )  ->  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) ) `
 t )  =  ( E  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) ) )
232191, 229, 231syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |->  ( E  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) ) ) `  t
)  =  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) )
233232oveq2d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) )  =  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) ) )
234 elfzuz 11684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
2352343ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
236235adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
237194adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  /\  ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
0 ... ( m  + 
1 ) ) )  ->  E  e.  RR )
238213an32s 802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  /\  ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
0 ... ( m  + 
1 ) ) )  ->  ( ( X `
 i ) `  t )  e.  RR )
239 remulcl 9577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E  e.  RR  /\  ( ( X `  i ) `  t
)  e.  RR )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  e.  RR )
240239recnd 9622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E  e.  RR  /\  ( ( X `  i ) `  t
)  e.  RR )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  e.  CC )
241237, 238, 240syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  /\  ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
0 ... ( m  + 
1 ) ) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  e.  CC )
242 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( X `  i )  =  ( X `  ( m  +  1
) ) )
243242fveq1d 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( X `  i
) `  t )  =  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) )
244243oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  =  ( E  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) ) )
245236, 241, 244fsumm1 13529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  =  (
sum_ i  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  +  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) ) )
246 nn0cn 10805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  CC )
2472463ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  m  e.  CC )
248247adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  m  e.  CC )
249 1cnd 9612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  CC )
250248, 249pncand 9931 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( m  +  1 )  -  1 )  =  m )
251250oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
0 ... ( ( m  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... m
) )
252251sumeq1d 13486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... (
( m  +  1 )  -  1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  =  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )
253252oveq1d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  - 
1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) )  +  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  t
) ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  +  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) ) )
254245, 253eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  =  (
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  +  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) ) )
255220, 233, 2543eqtr4rd 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  =  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) ) )
256190, 255mpteq2da 4532 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) ) `  t )  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) ) ) `  t
) ) ) )
257256eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) ) )  e.  A
) )
258187, 257syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) )  /\  (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) ) )  ->  ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) ) `  t )  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) ) `
 t ) ) )  e.  A ) )
259184, 258mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) )  /\  (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)
260259exp32 605 . . . 4  |-  ( ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A ) )  ->  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )  e.  A ) ) )
261260pm2.86i 101 . . 3  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A )  ->  ( ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) ) )
26214, 21, 28, 35, 80, 261nn0ind 10957 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( (
ph  /\  N  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A ) )
2632, 7, 262sylc 60 1  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   F/wnf 1599    e. wcel 1767    C_ wss 3476   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805   NNcn 10536   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11672   sum_csu 13471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472
This theorem is referenced by:  stoweidlem60  31388
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