Theorem stoweidlem17 37989

Description: This lemma proves that the function g (as defined in [BrosowskiDeutsh] p. 91, at the end of page 91) belongs to the subalgebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem17.1	|- F/ t ph
stoweidlem17.2	|- ( ph -> N e. NN )
stoweidlem17.3	|- ( ph -> X : ( 0 ... N ) --> A )
stoweidlem17.4	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem17.5	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem17.6	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem17.7	|- ( ph -> E e. RR )
stoweidlem17.8	|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem17	|- ( ph -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A )

Distinct variable groups:   f, g, i, t, E   A, f, g   T, f, g, i, t   f, X, g, i, t   ph, f, g, i   i, N, t   x, t, E   x, A   x, T   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( t)   A( t, i)   N( x, f, g)   X( x)

Proof of Theorem stoweidlem17

Dummy variables m r n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem17.2	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
2	1	nnnn0d 10949	. 2 |- ( ph -> N e. NN0 )
3		nn0uz 11217	. . . . 5 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
4	2, 3	syl6eleq 2559	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
5		eluzfz2 11833	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> N e. ( 0 ... N ) )
6	4, 5	syl 17	. . 3 |- ( ph -> N e. ( 0 ... N ) )
7	6	ancli 560	. 2 |- ( ph -> ( ph /\ N e. ( 0 ... N ) ) )
8		eleq1 2537	. . . . 5 |- ( n = 0 -> ( n e. ( 0 ... N ) <-> 0 e. ( 0 ... N ) ) )
9	8	anbi2d 718	. . . 4 |- ( n = 0 -> ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) <-> ( ph /\ 0 e. ( 0 ... N ) ) ) )
10		oveq2 6316	. . . . . . 7 |- ( n = 0 -> ( 0 ... n ) = ( 0 ... 0 ) )
11	10	sumeq1d 13844	. . . . . 6 |- ( n = 0 -> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
12	11	mpteq2dv 4483	. . . . 5 |- ( n = 0 -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) )
13	12	eleq1d 2533	. . . 4 |- ( n = 0 -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) )
14	9, 13	imbi12d 327	. . 3 |- ( n = 0 -> ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ 0 e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) )
15		eleq1 2537	. . . . 5 |- ( n = m -> ( n e. ( 0 ... N ) <-> m e. ( 0 ... N ) ) )
16	15	anbi2d 718	. . . 4 |- ( n = m -> ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) <-> ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) ) )
17		oveq2 6316	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( 0 ... n ) = ( 0 ... m ) )
18	17	sumeq1d 13844	. . . . . 6 |- ( n = m -> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
19	18	mpteq2dv 4483	. . . . 5 |- ( n = m -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) )
20	19	eleq1d 2533	. . . 4 |- ( n = m -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) )
21	16, 20	imbi12d 327	. . 3 |- ( n = m -> ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) )
22		eleq1 2537	. . . . 5 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( n e. ( 0 ... N ) <-> ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
23	22	anbi2d 718	. . . 4 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) <-> ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) )
24		oveq2 6316	. . . . . . 7 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( 0 ... n ) = ( 0 ... ( m + 1 ) ) )
25	24	sumeq1d 13844	. . . . . 6 |- ( n = ( m + 1 ) -> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
26	25	mpteq2dv 4483	. . . . 5 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) )
27	26	eleq1d 2533	. . . 4 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) )
28	23, 27	imbi12d 327	. . 3 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) )
29		eleq1 2537	. . . . 5 |- ( n = N -> ( n e. ( 0 ... N ) <-> N e. ( 0 ... N ) ) )
30	29	anbi2d 718	. . . 4 |- ( n = N -> ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) <-> ( ph /\ N e. ( 0 ... N ) ) ) )
31		oveq2 6316	. . . . . . 7 |- ( n = N -> ( 0 ... n ) = ( 0 ... N ) )
32	31	sumeq1d 13844	. . . . . 6 |- ( n = N -> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
33	32	mpteq2dv 4483	. . . . 5 |- ( n = N -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) )
34	33	eleq1d 2533	. . . 4 |- ( n = N -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) )
35	30, 34	imbi12d 327	. . 3 |- ( n = N -> ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ N e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) )
36		0z 10972	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
37		fzsn 11866	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... 0 ) = { 0 } )
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... 0 ) = { 0 }
39	38	sumeq1i 13841	. . . . . . 7 |- sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = sum_ i e. { 0 } ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) )
40	39	mpteq2i 4479	. . . . . 6 |- ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. { 0 } ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
41		stoweidlem17.1	. . . . . . 7 |- F/ t ph
42		stoweidlem17.7	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E e. RR )
43	42	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> E e. RR )
44	43	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> E e. CC )
45		stoweidlem17.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X : ( 0 ... N ) --> A )
46		nnz 10983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
47		nngt0 10660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> 0 < N )
48		0re 9661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. RR
49		nnre 10638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> N e. RR )
50		ltle 9740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
51	48, 49, 50	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
52	47, 51	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
53	46, 52	jca 541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
54	1, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
55	36	eluz1i 11190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
56	54, 55	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
57		eluzfz1 11832	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... N ) )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... N ) )
59	45, 58	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X ` 0 ) e. A )
60		feq1 5720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( X ` 0 ) -> ( f : T --> RR <-> ( X ` 0 ) : T --> RR ) )
61	60	imbi2d 323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( X ` 0 ) -> ( ( ph -> f : T --> RR ) <-> ( ph -> ( X ` 0 ) : T --> RR ) ) )
62		stoweidlem17.8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
63	62	expcom 442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. A -> ( ph -> f : T --> RR ) )
64	61, 63	vtoclga 3099	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X ` 0 ) e. A -> ( ph -> ( X ` 0 ) : T --> RR ) )
65	59, 64	mpcom 36	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X ` 0 ) : T --> RR )
66	65	fnvinran 37398	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( X ` 0 ) ` t ) e. RR )
67	66	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( X ` 0 ) ` t ) e. CC )
68	44, 67	mulcld 9681	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( E x. ( ( X ` 0 ) ` t ) ) e. CC )
69		fveq2 5879	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = 0 -> ( X ` i ) = ( X ` 0 ) )
70	69	fveq1d 5881	. . . . . . . . . 10 |- ( i = 0 -> ( ( X ` i ) ` t ) = ( ( X ` 0 ) ` t ) )
71	70	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( i = 0 -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = ( E x. ( ( X ` 0 ) ` t ) ) )
72	71	sumsn 13884	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( E x. ( ( X ` 0 ) ` t ) ) e. CC ) -> sum_ i e. { 0 } ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = ( E x. ( ( X ` 0 ) ` t ) ) )
73	36, 68, 72	sylancr 676	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> sum_ i e. { 0 } ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = ( E x. ( ( X ` 0 ) ` t ) ) )
74	41, 73	mpteq2da 4481	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. T |-> sum_ i e. { 0 } ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` 0 ) ` t ) ) ) )
75	40, 74	syl5eq 2517	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` 0 ) ` t ) ) ) )
76		stoweidlem17.5	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
77		stoweidlem17.6	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
78	41, 76, 77, 62, 42, 59	stoweidlem2 37974	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` 0 ) ` t ) ) ) e. A )
79	75, 78	eqeltrd 2549	. . . 4 |- ( ph -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A )
80	79	adantr 472	. . 3 |- ( ( ph /\ 0 e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A )
81		eqidd 2472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = t -> E = E )
82	81	cbvmptv 4488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r e. T |-> E ) = ( t e. T |-> E )
83	82	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. T |-> E ) = ( r e. T |-> E )
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( t e. T |-> E ) = ( r e. T |-> E ) )
85		eqidd 2472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ r = t ) -> E = E )
86		simpr 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. T )
87	84, 85, 86, 43	fvmptd 5969	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( t e. T |-> E ) ` t ) = E )
88	87	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) = ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) )
89	41, 88	mpteq2da 4481	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) )
90	89	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) )
91	45	fnvinran 37398	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( X ` ( m + 1 ) ) e. A )
92		simpl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ph )
93		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = E -> x = E )
94	93	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = E -> ( t e. T |-> x ) = ( t e. T |-> E ) )
95	94	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = E -> ( ( t e. T |-> x ) e. A <-> ( t e. T |-> E ) e. A ) )
96	95	imbi2d 323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = E -> ( ( ph -> ( t e. T |-> x ) e. A ) <-> ( ph -> ( t e. T |-> E ) e. A ) ) )
97	77	expcom 442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( ph -> ( t e. T |-> x ) e. A ) )
98	96, 97	vtoclga 3099	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E e. RR -> ( ph -> ( t e. T |-> E ) e. A ) )
99	42, 98	mpcom 36	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( t e. T |-> E ) e. A )
100	99	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> E ) e. A )
101		fveq1 5878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = ( X ` ( m + 1 ) ) -> ( g ` t ) = ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) )
102	101	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = ( X ` ( m + 1 ) ) -> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) )
103	102	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( X ` ( m + 1 ) ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) )
104	103	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( X ` ( m + 1 ) ) -> ( ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A ) )
105	104	imbi2d 323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( X ` ( m + 1 ) ) -> ( ( ( ph /\ ( t e. T |-> E ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ ( t e. T |-> E ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A ) ) )
106	82	eleq1i 2540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( r e. T |-> E ) e. A <-> ( t e. T |-> E ) e. A )
107		fveq1 5878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f = ( r e. T |-> E ) -> ( f ` t ) = ( ( r e. T |-> E ) ` t ) )
108	82	fveq1i 5880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( r e. T |-> E ) ` t ) = ( ( t e. T |-> E ) ` t )
109	107, 108	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f = ( r e. T |-> E ) -> ( f ` t ) = ( ( t e. T |-> E ) ` t ) )
110	109	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = ( r e. T |-> E ) -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) )
111	110	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = ( r e. T |-> E ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
112	111	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = ( r e. T |-> E ) -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) )
113	112	imbi2d 323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = ( r e. T |-> E ) -> ( ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) ) )
114	76	3com12 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f e. A /\ ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
115	114	3expib 1234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. A -> ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) )
116	113, 115	vtoclga 3099	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( r e. T |-> E ) e. A -> ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) )
117	106, 116	sylbir 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. T |-> E ) e. A -> ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) )
118	117	3impib 1229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( t e. T |-> E ) e. A /\ ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
119	118	3com13 1236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g e. A /\ ph /\ ( t e. T |-> E ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
120	119	3expib 1234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. A -> ( ( ph /\ ( t e. T |-> E ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) )
121	105, 120	vtoclga 3099	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X ` ( m + 1 ) ) e. A -> ( ( ph /\ ( t e. T |-> E ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A ) )
122	121	3impib 1229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X ` ( m + 1 ) ) e. A /\ ph /\ ( t e. T |-> E ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A )
123	91, 92, 100, 122	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A )
124	90, 123	eqeltrrd 2550	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A )
125	124	ad2antll 743	. . . . . . 7 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A )
126		simprrl 782	. . . . . . 7 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ph )
127		simpl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> m e. NN0 )
128		simprl 772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ph )
129	1	ad2antrl 742	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> N e. NN )
130	129	nnnn0d 10949	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> N e. NN0 )
131		nn0re 10902	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN0 -> m e. RR )
132	131	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> m e. RR )
133		peano2nn0 10934	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN0 -> ( m + 1 ) e. NN0 )
134	133	nn0red 10950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN0 -> ( m + 1 ) e. RR )
135	134	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( m + 1 ) e. RR )
136	1	nnred 10646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. RR )
137	136	ad2antrl 742	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> N e. RR )
138		lep1 10466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. RR -> m <_ ( m + 1 ) )
139	127, 131, 138	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> m <_ ( m + 1 ) )
140		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( m + 1 ) <_ N )
141	140	ad2antll 743	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( m + 1 ) <_ N )
142	132, 135, 137, 139, 141	letrd 9809	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> m <_ N )
143		elfz2nn0 11911	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( 0 ... N ) <-> ( m e. NN0 /\ N e. NN0 /\ m <_ N ) )
144	127, 130, 142, 143	syl3anbrc 1214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> m e. ( 0 ... N ) )
145	127, 128, 144	jca32 544	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( m e. NN0 /\ ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) ) )
146	145	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ( m e. NN0 /\ ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) ) )
147		pm3.31 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) -> ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) )
148	147	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) )
149	146, 148	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A )
150		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = t -> ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) = ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) )
151	150	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = t -> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) = ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) )
152	151	cbvmptv 4488	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) = ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) )
153	152	eleq1i 2540	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A )
154		fveq1 5878	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) -> ( g ` t ) = ( ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) ` t ) )
155	152	fveq1i 5880	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) ` t ) = ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t )
156	154, 155	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) -> ( g ` t ) = ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) )
157	156	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) -> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) = ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) )
158	157	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) )
159	158	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) -> ( ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) e. A ) )
160	159	imbi2d 323	. . . . . . . . . 10 |- ( g = ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) -> ( ( ( ph /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) e. A ) ) )
161		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r = t -> ( ( X ` i ) ` r ) = ( ( X ` i ) ` t ) )
162	161	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = t -> ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) = ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
163	162	sumeq2sdv 13847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = t -> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) = sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
164	163	cbvmptv 4488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
165	164	eleq1i 2540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A )
166		fveq1 5878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) -> ( f ` t ) = ( ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) ` t ) )
167	164	fveq1i 5880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) ` t ) = ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t )
168	166, 167	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) -> ( f ` t ) = ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) )
169	168	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) -> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) = ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) )
170	169	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) )
171	170	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) )
172	171	imbi2d 323	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) -> ( ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) ) )
173		stoweidlem17.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
174	173	3com12 1235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. A /\ ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
175	174	3expib 1234	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. A -> ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) )
176	172, 175	vtoclga 3099	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) e. A -> ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) )
177	165, 176	sylbir 218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A -> ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) )
178	177	3impib 1229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A /\ ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
179	178	3com13 1236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. A /\ ph /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
180	179	3expib 1234	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. A -> ( ( ph /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) )
181	160, 180	vtoclga 3099	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) e. A -> ( ( ph /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) e. A ) )
182	153, 181	sylbir 218	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A -> ( ( ph /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) e. A ) )
183	182	3impib 1229	. . . . . . 7 |- ( ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A /\ ph /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) e. A )
184	125, 126, 149, 183	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) e. A )
185		3anass 1011	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) <-> ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) )
186	185	biimpri 211	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
187	186	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
188		nfv 1769	. . . . . . . . . 10 |- F/ t m e. NN0
189		nfv 1769	. . . . . . . . . 10 |- F/ t ( m + 1 ) e. ( 0 ... N )
190	188, 41, 189	nf3an 2033	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
191		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> t e. T )
192		fzfid 12224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( 0 ... m ) e. Fin )
193	42	3ad2ant2 1052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> E e. RR )
194	193	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> E e. RR )
195	194	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> E e. RR )
196		fzelp1 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( 0 ... m ) -> i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) )
197	196	anim2i 579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) )
198		an32 815	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) <-> ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) /\ t e. T ) )
199	197, 198	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) /\ t e. T ) )
200	45	3ad2ant2 1052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> X : ( 0 ... N ) --> A )
201	200	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> X : ( 0 ... N ) --> A )
202		elfzuz3 11823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) )
203		fzss2 11864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) -> ( 0 ... ( m + 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
204	202, 203	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( 0 ... ( m + 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
205	204	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> i e. ( 0 ... N ) )
206	205	3ad2antl3 1194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> i e. ( 0 ... N ) )
207	201, 206	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> ( X ` i ) e. A )
208		simpl2 1034	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> ph )
209		feq1 5720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = ( X ` i ) -> ( f : T --> RR <-> ( X ` i ) : T --> RR ) )
210	209	imbi2d 323	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = ( X ` i ) -> ( ( ph -> f : T --> RR ) <-> ( ph -> ( X ` i ) : T --> RR ) ) )
211	210, 63	vtoclga 3099	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X ` i ) e. A -> ( ph -> ( X ` i ) : T --> RR ) )
212	207, 208, 211	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> ( X ` i ) : T --> RR )
213	212	fnvinran 37398	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) /\ t e. T ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. RR )
214	199, 213	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. RR )
215	195, 214	remulcld 9689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
216	192, 215	fsumrecl 13877	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
217		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
218	217	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. T /\ sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR ) -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) = sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
219	191, 216, 218	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) = sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
220	219	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) = ( sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) )
221		3simpc 1029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
222	221	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
223		feq1 5720	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = ( X ` ( m + 1 ) ) -> ( f : T --> RR <-> ( X ` ( m + 1 ) ) : T --> RR ) )
224	223	imbi2d 323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = ( X ` ( m + 1 ) ) -> ( ( ph -> f : T --> RR ) <-> ( ph -> ( X ` ( m + 1 ) ) : T --> RR ) ) )
225	224, 63	vtoclga 3099	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X ` ( m + 1 ) ) e. A -> ( ph -> ( X ` ( m + 1 ) ) : T --> RR ) )
226	91, 92, 225	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( X ` ( m + 1 ) ) : T --> RR )
227	222, 226	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( X ` ( m + 1 ) ) : T --> RR )
228	227, 191	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) e. RR )
229	194, 228	remulcld 9689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) e. RR )
230		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) )
231	230	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. T /\ ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) e. RR ) -> ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) = ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) )
232	191, 229, 231	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) = ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) )
233	232	oveq2d 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) = ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) )
234		elfzuz 11822	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
235	234	3ad2ant3 1053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
236	235	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
237	194	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> E e. RR )
238	213	an32s 821	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. RR )
239		remulcl 9642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( E e. RR /\ ( ( X ` i ) ` t ) e. RR ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
240	239	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E e. RR /\ ( ( X ` i ) ` t ) e. RR ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. CC )
241	237, 238, 240	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. CC )
242		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( X ` i ) = ( X ` ( m + 1 ) ) )
243	242	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( ( X ` i ) ` t ) = ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) )
244	243	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) )
245	236, 241, 244	fsumm1 13889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = ( sum_ i e. ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) )
246		nn0cn 10903	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN0 -> m e. CC )
247	246	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> m e. CC )
248	247	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> m e. CC )
249		1cnd 9677	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> 1 e. CC )
250	248, 249	pncand 10006	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( ( m + 1 ) - 1 ) = m )
251	250	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... m ) )
252	251	sumeq1d 13844	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
253	252	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( sum_ i e. ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) = ( sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) )
254	245, 253	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = ( sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) )
255	220, 233, 254	3eqtr4rd 2516	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) )
256	190, 255	mpteq2da 4481	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) )
257	256	eleq1d 2533	. . . . . . 7 |- ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) e. A ) )
258	187, 257	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) e. A ) )
259	184, 258	mpbird 240	. . . . 5 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A )
260	259	exp32 616	. . . 4 |- ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) -> ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) )
261	260	pm2.86i 103	. . 3 |- ( m e. NN0 -> ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) -> ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) )
262	14, 21, 28, 35, 80, 261	nn0ind 11053	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ph /\ N e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) )
263	2, 7, 262	sylc 61	1 |- ( ph -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   F/wnf 1675   e. wcel 1904   C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   sum_csu 13829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830

This theorem is referenced by:  stoweidlem60  38033