Theorem stoweidlem17 27633

Description: This lemma proves that the function g (as defined in [BrosowskiDeutsh] p. 91, at the end of page 91) belongs to the subalgebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem17.1	|- F/ t ph
stoweidlem17.2	|- ( ph -> N e. NN )
stoweidlem17.3	|- ( ph -> X : ( 0 ... N ) --> A )
stoweidlem17.4	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem17.5	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem17.6	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem17.7	|- ( ph -> E e. RR )
stoweidlem17.8	|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem17	|- ( ph -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A )

Distinct variable groups:   f, g, i, t, E   A, f, g   T, f, g, i, t   f, X, g, i, t   ph, f, g, i   i, N, t   x, t, E   x, A   x, T   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( t)   A( t, i)   N( x, f, g)   X( x)

Proof of Theorem stoweidlem17

Dummy variables m r n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem17.2	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
2	1	nnnn0d 10230	. 2 |- ( ph -> N e. NN0 )
3		nn0uz 10476	. . . . 5 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
4	2, 3	syl6eleq 2494	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
5		eluzfz2 11021	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> N e. ( 0 ... N ) )
6	4, 5	syl 16	. . 3 |- ( ph -> N e. ( 0 ... N ) )
7	6	ancli 535	. 2 |- ( ph -> ( ph /\ N e. ( 0 ... N ) ) )
8		eleq1 2464	. . . . 5 |- ( n = 0 -> ( n e. ( 0 ... N ) <-> 0 e. ( 0 ... N ) ) )
9	8	anbi2d 685	. . . 4 |- ( n = 0 -> ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) <-> ( ph /\ 0 e. ( 0 ... N ) ) ) )
10		oveq2 6048	. . . . . . 7 |- ( n = 0 -> ( 0 ... n ) = ( 0 ... 0 ) )
11	10	sumeq1d 12450	. . . . . 6 |- ( n = 0 -> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
12	11	mpteq2dv 4256	. . . . 5 |- ( n = 0 -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) )
13	12	eleq1d 2470	. . . 4 |- ( n = 0 -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) )
14	9, 13	imbi12d 312	. . 3 |- ( n = 0 -> ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ 0 e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) )
15		eleq1 2464	. . . . 5 |- ( n = m -> ( n e. ( 0 ... N ) <-> m e. ( 0 ... N ) ) )
16	15	anbi2d 685	. . . 4 |- ( n = m -> ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) <-> ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) ) )
17		oveq2 6048	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( 0 ... n ) = ( 0 ... m ) )
18	17	sumeq1d 12450	. . . . . 6 |- ( n = m -> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
19	18	mpteq2dv 4256	. . . . 5 |- ( n = m -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) )
20	19	eleq1d 2470	. . . 4 |- ( n = m -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) )
21	16, 20	imbi12d 312	. . 3 |- ( n = m -> ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) )
22		eleq1 2464	. . . . 5 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( n e. ( 0 ... N ) <-> ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
23	22	anbi2d 685	. . . 4 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) <-> ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) )
24		oveq2 6048	. . . . . . 7 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( 0 ... n ) = ( 0 ... ( m + 1 ) ) )
25	24	sumeq1d 12450	. . . . . 6 |- ( n = ( m + 1 ) -> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
26	25	mpteq2dv 4256	. . . . 5 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) )
27	26	eleq1d 2470	. . . 4 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) )
28	23, 27	imbi12d 312	. . 3 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) )
29		eleq1 2464	. . . . 5 |- ( n = N -> ( n e. ( 0 ... N ) <-> N e. ( 0 ... N ) ) )
30	29	anbi2d 685	. . . 4 |- ( n = N -> ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) <-> ( ph /\ N e. ( 0 ... N ) ) ) )
31		oveq2 6048	. . . . . . 7 |- ( n = N -> ( 0 ... n ) = ( 0 ... N ) )
32	31	sumeq1d 12450	. . . . . 6 |- ( n = N -> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
33	32	mpteq2dv 4256	. . . . 5 |- ( n = N -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) )
34	33	eleq1d 2470	. . . 4 |- ( n = N -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) )
35	30, 34	imbi12d 312	. . 3 |- ( n = N -> ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ N e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) )
36		0z 10249	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
37		fzsn 11050	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... 0 ) = { 0 } )
38	36, 37	ax-mp 8	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... 0 ) = { 0 }
39	38	sumeq1i 12447	. . . . . . 7 |- sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = sum_ i e. { 0 } ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) )
40	39	mpteq2i 4252	. . . . . 6 |- ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. { 0 } ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
41		stoweidlem17.1	. . . . . . 7 |- F/ t ph
42		stoweidlem17.7	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E e. RR )
43	42	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> E e. RR )
44	43	recnd 9070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> E e. CC )
45		stoweidlem17.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X : ( 0 ... N ) --> A )
46		nnz 10259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
47		nngt0 9985	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> 0 < N )
48		0re 9047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. RR
49		nnre 9963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> N e. RR )
50		ltle 9119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
51	48, 49, 50	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
52	47, 51	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
53	46, 52	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
54	1, 53	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
55	36	eluz1i 10451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
56	54, 55	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
57		eluzfz1 11020	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... N ) )
58	56, 57	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... N ) )
59	45, 58	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X ` 0 ) e. A )
60		feq1 5535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( X ` 0 ) -> ( f : T --> RR <-> ( X ` 0 ) : T --> RR ) )
61	60	imbi2d 308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( X ` 0 ) -> ( ( ph -> f : T --> RR ) <-> ( ph -> ( X ` 0 ) : T --> RR ) ) )
62		stoweidlem17.8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
63	62	expcom 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. A -> ( ph -> f : T --> RR ) )
64	61, 63	vtoclga 2977	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X ` 0 ) e. A -> ( ph -> ( X ` 0 ) : T --> RR ) )
65	59, 64	mpcom 34	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X ` 0 ) : T --> RR )
66	65	fnvinran 27552	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( X ` 0 ) ` t ) e. RR )
67	66	recnd 9070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( X ` 0 ) ` t ) e. CC )
68	44, 67	mulcld 9064	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( E x. ( ( X ` 0 ) ` t ) ) e. CC )
69		fveq2 5687	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = 0 -> ( X ` i ) = ( X ` 0 ) )
70	69	fveq1d 5689	. . . . . . . . . 10 |- ( i = 0 -> ( ( X ` i ) ` t ) = ( ( X ` 0 ) ` t ) )
71	70	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( i = 0 -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = ( E x. ( ( X ` 0 ) ` t ) ) )
72	71	sumsn 12489	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( E x. ( ( X ` 0 ) ` t ) ) e. CC ) -> sum_ i e. { 0 } ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = ( E x. ( ( X ` 0 ) ` t ) ) )
73	36, 68, 72	sylancr 645	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> sum_ i e. { 0 } ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = ( E x. ( ( X ` 0 ) ` t ) ) )
74	41, 73	mpteq2da 4254	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. T |-> sum_ i e. { 0 } ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` 0 ) ` t ) ) ) )
75	40, 74	syl5eq 2448	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` 0 ) ` t ) ) ) )
76		stoweidlem17.5	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
77		stoweidlem17.6	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
78	41, 76, 77, 62, 42, 59	stoweidlem2 27618	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` 0 ) ` t ) ) ) e. A )
79	75, 78	eqeltrd 2478	. . . 4 |- ( ph -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A )
80	79	adantr 452	. . 3 |- ( ( ph /\ 0 e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A )
81		eqidd 2405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = t -> E = E )
82	81	cbvmptv 4260	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r e. T |-> E ) = ( t e. T |-> E )
83	82	eqcomi 2408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. T |-> E ) = ( r e. T |-> E )
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( t e. T |-> E ) = ( r e. T |-> E ) )
85		eqidd 2405	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ r = t ) -> E = E )
86		simpr 448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. T )
87	84, 85, 86, 43	fvmptd 5769	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( t e. T |-> E ) ` t ) = E )
88	87	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) = ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) )
89	41, 88	mpteq2da 4254	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) )
90	89	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) )
91	45	fnvinran 27552	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( X ` ( m + 1 ) ) e. A )
92		simpl 444	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ph )
93		id 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = E -> x = E )
94	93	mpteq2dv 4256	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = E -> ( t e. T |-> x ) = ( t e. T |-> E ) )
95	94	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = E -> ( ( t e. T |-> x ) e. A <-> ( t e. T |-> E ) e. A ) )
96	95	imbi2d 308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = E -> ( ( ph -> ( t e. T |-> x ) e. A ) <-> ( ph -> ( t e. T |-> E ) e. A ) ) )
97	77	expcom 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( ph -> ( t e. T |-> x ) e. A ) )
98	96, 97	vtoclga 2977	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E e. RR -> ( ph -> ( t e. T |-> E ) e. A ) )
99	42, 98	mpcom 34	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( t e. T |-> E ) e. A )
100	99	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> E ) e. A )
101		fveq1 5686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = ( X ` ( m + 1 ) ) -> ( g ` t ) = ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) )
102	101	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = ( X ` ( m + 1 ) ) -> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) )
103	102	mpteq2dv 4256	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( X ` ( m + 1 ) ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) )
104	103	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( X ` ( m + 1 ) ) -> ( ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A ) )
105	104	imbi2d 308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( X ` ( m + 1 ) ) -> ( ( ( ph /\ ( t e. T |-> E ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ ( t e. T |-> E ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A ) ) )
106	82	eleq1i 2467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( r e. T |-> E ) e. A <-> ( t e. T |-> E ) e. A )
107		fveq1 5686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f = ( r e. T |-> E ) -> ( f ` t ) = ( ( r e. T |-> E ) ` t ) )
108	82	fveq1i 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( r e. T |-> E ) ` t ) = ( ( t e. T |-> E ) ` t )
109	107, 108	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f = ( r e. T |-> E ) -> ( f ` t ) = ( ( t e. T |-> E ) ` t ) )
110	109	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = ( r e. T |-> E ) -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) )
111	110	mpteq2dv 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = ( r e. T |-> E ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
112	111	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = ( r e. T |-> E ) -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) )
113	112	imbi2d 308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = ( r e. T |-> E ) -> ( ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) ) )
114	76	3com12 1157	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f e. A /\ ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
115	114	3expib 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. A -> ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) )
116	113, 115	vtoclga 2977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( r e. T |-> E ) e. A -> ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) )
117	106, 116	sylbir 205	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. T |-> E ) e. A -> ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) )
118	117	3impib 1151	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( t e. T |-> E ) e. A /\ ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
119	118	3com13 1158	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g e. A /\ ph /\ ( t e. T |-> E ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
120	119	3expib 1156	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. A -> ( ( ph /\ ( t e. T |-> E ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) )
121	105, 120	vtoclga 2977	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X ` ( m + 1 ) ) e. A -> ( ( ph /\ ( t e. T |-> E ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A ) )
122	121	3impib 1151	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X ` ( m + 1 ) ) e. A /\ ph /\ ( t e. T |-> E ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A )
123	91, 92, 100, 122	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A )
124	90, 123	eqeltrrd 2479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A )
125	124	ad2antll 710	. . . . . . 7 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A )
126		simprrl 741	. . . . . . 7 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ph )
127		simpl 444	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> m e. NN0 )
128		simprl 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ph )
129	1	ad2antrl 709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> N e. NN )
130	129	nnnn0d 10230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> N e. NN0 )
131		nn0re 10186	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN0 -> m e. RR )
132	131	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> m e. RR )
133		peano2nn0 10216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN0 -> ( m + 1 ) e. NN0 )
134	133	nn0red 10231	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN0 -> ( m + 1 ) e. RR )
135	134	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( m + 1 ) e. RR )
136	1	nnred 9971	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. RR )
137	136	ad2antrl 709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> N e. RR )
138		lep1 9805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. RR -> m <_ ( m + 1 ) )
139	127, 131, 138	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> m <_ ( m + 1 ) )
140		elfzle2 11017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( m + 1 ) <_ N )
141	140	ad2antll 710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( m + 1 ) <_ N )
142	132, 135, 137, 139, 141	letrd 9183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> m <_ N )
143		elfz2nn0 11038	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( 0 ... N ) <-> ( m e. NN0 /\ N e. NN0 /\ m <_ N ) )
144	127, 130, 142, 143	syl3anbrc 1138	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> m e. ( 0 ... N ) )
145	127, 128, 144	jca32 522	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( m e. NN0 /\ ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) ) )
146	145	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ( m e. NN0 /\ ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) ) )
147		pm3.31 433	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) -> ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) )
148	147	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) )
149	146, 148	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A )
150		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = t -> ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) = ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) )
151	150	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = t -> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) = ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) )
152	151	cbvmptv 4260	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) = ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) )
153	152	eleq1i 2467	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A )
154		fveq1 5686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) -> ( g ` t ) = ( ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) ` t ) )
155	152	fveq1i 5688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) ` t ) = ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t )
156	154, 155	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) -> ( g ` t ) = ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) )
157	156	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) -> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) = ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) )
158	157	mpteq2dv 4256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) )
159	158	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) -> ( ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) e. A ) )
160	159	imbi2d 308	. . . . . . . . . 10 |- ( g = ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) -> ( ( ( ph /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) e. A ) ) )
161		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r = t -> ( ( X ` i ) ` r ) = ( ( X ` i ) ` t ) )
162	161	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = t -> ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) = ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
163	162	sumeq2sdv 12453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = t -> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) = sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
164	163	cbvmptv 4260	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
165	164	eleq1i 2467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A )
166		fveq1 5686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) -> ( f ` t ) = ( ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) ` t ) )
167	164	fveq1i 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) ` t ) = ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t )
168	166, 167	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) -> ( f ` t ) = ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) )
169	168	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) -> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) = ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) )
170	169	mpteq2dv 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) )
171	170	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) )
172	171	imbi2d 308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) -> ( ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) ) )
173		stoweidlem17.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
174	173	3com12 1157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. A /\ ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
175	174	3expib 1156	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. A -> ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) )
176	172, 175	vtoclga 2977	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) e. A -> ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) )
177	165, 176	sylbir 205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A -> ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) )
178	177	3impib 1151	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A /\ ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
179	178	3com13 1158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. A /\ ph /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
180	179	3expib 1156	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. A -> ( ( ph /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) )
181	160, 180	vtoclga 2977	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) e. A -> ( ( ph /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) e. A ) )
182	153, 181	sylbir 205	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A -> ( ( ph /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) e. A ) )
183	182	3impib 1151	. . . . . . 7 |- ( ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A /\ ph /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) e. A )
184	125, 126, 149, 183	syl3anc 1184	. . . . . 6 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) e. A )
185		3anass 940	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) <-> ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) )
186	185	biimpri 198	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
187	186	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
188		nfv 1626	. . . . . . . . . 10 |- F/ t m e. NN0
189		nfv 1626	. . . . . . . . . 10 |- F/ t ( m + 1 ) e. ( 0 ... N )
190	188, 41, 189	nf3an 1845	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
191		simpr 448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> t e. T )
192		fzfid 11267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( 0 ... m ) e. Fin )
193	42	3ad2ant2 979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> E e. RR )
194	193	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> E e. RR )
195	194	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> E e. RR )
196		fzelp1 11055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( 0 ... m ) -> i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) )
197	196	anim2i 553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) )
198		an32 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) <-> ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) /\ t e. T ) )
199	197, 198	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) /\ t e. T ) )
200	45	3ad2ant2 979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> X : ( 0 ... N ) --> A )
201	200	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> X : ( 0 ... N ) --> A )
202		elfzuz3 11012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) )
203		fzss2 11048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) -> ( 0 ... ( m + 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
204	202, 203	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( 0 ... ( m + 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
205	204	sselda 3308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> i e. ( 0 ... N ) )
206	205	3ad2antl3 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> i e. ( 0 ... N ) )
207	201, 206	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> ( X ` i ) e. A )
208		simpl2 961	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> ph )
209		feq1 5535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = ( X ` i ) -> ( f : T --> RR <-> ( X ` i ) : T --> RR ) )
210	209	imbi2d 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = ( X ` i ) -> ( ( ph -> f : T --> RR ) <-> ( ph -> ( X ` i ) : T --> RR ) ) )
211	210, 63	vtoclga 2977	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X ` i ) e. A -> ( ph -> ( X ` i ) : T --> RR ) )
212	207, 208, 211	sylc 58	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> ( X ` i ) : T --> RR )
213	212	fnvinran 27552	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) /\ t e. T ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. RR )
214	199, 213	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. RR )
215	195, 214	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
216	192, 215	fsumrecl 12483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
217		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
218	217	fvmpt2 5771	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. T /\ sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR ) -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) = sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
219	191, 216, 218	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) = sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
220	219	oveq1d 6055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) = ( sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) )
221		3simpc 956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
222	221	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
223		feq1 5535	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = ( X ` ( m + 1 ) ) -> ( f : T --> RR <-> ( X ` ( m + 1 ) ) : T --> RR ) )
224	223	imbi2d 308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = ( X ` ( m + 1 ) ) -> ( ( ph -> f : T --> RR ) <-> ( ph -> ( X ` ( m + 1 ) ) : T --> RR ) ) )
225	224, 63	vtoclga 2977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X ` ( m + 1 ) ) e. A -> ( ph -> ( X ` ( m + 1 ) ) : T --> RR ) )
226	91, 92, 225	sylc 58	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( X ` ( m + 1 ) ) : T --> RR )
227	222, 226	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( X ` ( m + 1 ) ) : T --> RR )
228	227, 191	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) e. RR )
229	194, 228	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) e. RR )
230		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) )
231	230	fvmpt2 5771	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. T /\ ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) e. RR ) -> ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) = ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) )
232	191, 229, 231	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) = ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) )
233	232	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) = ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) )
234		elfzuz 11011	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
235	234	3ad2ant3 980	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
236	235	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
237	194	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> E e. RR )
238	213	an32s 780	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. RR )
239		remulcl 9031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( E e. RR /\ ( ( X ` i ) ` t ) e. RR ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
240	239	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E e. RR /\ ( ( X ` i ) ` t ) e. RR ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. CC )
241	237, 238, 240	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. CC )
242		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( X ` i ) = ( X ` ( m + 1 ) ) )
243	242	fveq1d 5689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( ( X ` i ) ` t ) = ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) )
244	243	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) )
245	236, 241, 244	fsumm1 12492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = ( sum_ i e. ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) )
246		nn0cn 10187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN0 -> m e. CC )
247	246	3ad2ant1 978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> m e. CC )
248	247	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> m e. CC )
249		ax-1cn 9004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
250	249	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> 1 e. CC )
251	248, 250	pncand 9368	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( ( m + 1 ) - 1 ) = m )
252	251	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... m ) )
253	252	sumeq1d 12450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
254	253	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( sum_ i e. ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) = ( sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) )
255	245, 254	eqtrd 2436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = ( sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) )
256	220, 233, 255	3eqtr4rd 2447	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) )
257	190, 256	mpteq2da 4254	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) )
258	257	eleq1d 2470	. . . . . . 7 |- ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) e. A ) )
259	187, 258	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) e. A ) )
260	184, 259	mpbird 224	. . . . 5 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A )
261	260	exp32 589	. . . 4 |- ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) -> ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) )
262	261	pm2.86i 94	. . 3 |- ( m e. NN0 -> ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) -> ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) )
263	14, 21, 28, 35, 80, 262	nn0ind 10322	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ph /\ N e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) )
264	2, 7, 263	sylc 58	1 |- ( ph -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   F/wnf 1550   = wceq 1649   e. wcel 1721   C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   sum_csu 12434

This theorem is referenced by:  stoweidlem60  27676

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435