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Theorem stoweidlem16 32040
Description: Lemma for stoweid 32087. The subset  Y of functions in the algebra  A, with values in [ 0 , 1 ], is closed under multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem16.1  |-  F/ t
ph
stoweidlem16.2  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
stoweidlem16.3  |-  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
stoweidlem16.4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem16.5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  H  e.  Y )
Distinct variable groups:    f, g, h, t, A    T, f, h, t    ph, f    h, H
Allowed substitution hints:    ph( t, g, h)    T( g)    H( t, f, g)    Y( t, f, g, h)

Proof of Theorem stoweidlem16
StepHypRef Expression
1 stoweidlem16.3 . . . 4  |-  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
2 simp1 994 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ph )
3 fveq1 5847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  f  ->  (
h `  t )  =  ( f `  t ) )
43breq2d 4451 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  f  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( f `  t ) ) )
53breq1d 4449 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  f  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( f `  t )  <_  1
) )
64, 5anbi12d 708 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  f  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
f `  t )  /\  ( f `  t
)  <_  1 ) ) )
76ralbidv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  f  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
f `  t )  /\  ( f `  t
)  <_  1 ) ) )
8 stoweidlem16.2 . . . . . . . 8  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
97, 8elrab2 3256 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  Y  <->  ( f  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( f `  t )  /\  (
f `  t )  <_  1 ) ) )
109simplbi 458 . . . . . 6  |-  ( f  e.  Y  ->  f  e.  A )
11103ad2ant2 1016 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  f  e.  A )
12 fveq1 5847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  g  ->  (
h `  t )  =  ( g `  t ) )
1312breq2d 4451 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  g  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( g `  t ) ) )
1412breq1d 4449 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  g  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( g `  t )  <_  1
) )
1513, 14anbi12d 708 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  g  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
g `  t )  /\  ( g `  t
)  <_  1 ) ) )
1615ralbidv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  g  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
g `  t )  /\  ( g `  t
)  <_  1 ) ) )
1716, 8elrab2 3256 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  Y  <->  ( g  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( g `  t )  /\  (
g `  t )  <_  1 ) ) )
1817simplbi 458 . . . . . 6  |-  ( g  e.  Y  ->  g  e.  A )
19183ad2ant3 1017 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  g  e.  A )
20 stoweidlem16.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
212, 11, 19, 20syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
221, 21syl5eqel 2546 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  H  e.  A )
23 stoweidlem16.1 . . . . 5  |-  F/ t
ph
24 nfra1 2835 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )
25 nfcv 2616 . . . . . . . 8  |-  F/_ t A
2624, 25nfrab 3036 . . . . . . 7  |-  F/_ t { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
278, 26nfcxfr 2614 . . . . . 6  |-  F/_ t Y
2827nfcri 2609 . . . . 5  |-  F/ t  f  e.  Y
2927nfcri 2609 . . . . 5  |-  F/ t  g  e.  Y
3023, 28, 29nf3an 1935 . . . 4  |-  F/ t ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )
312, 11jca 530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( ph  /\  f  e.  A ) )
3231adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  ( ph  /\  f  e.  A
) )
33 stoweidlem16.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  f : T --> RR )
35 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
3634, 35ffvelrnd 6008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
f `  t )  e.  RR )
372, 19jca 530 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( ph  /\  g  e.  A ) )
38 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  (
f  e.  A  <->  g  e.  A ) )
3938anbi2d 701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  g  e.  A ) ) )
40 feq1 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
f : T --> RR  <->  g : T
--> RR ) )
4139, 40imbi12d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  g  e.  A )  ->  g : T --> RR ) ) )
4241, 33vtoclg 3164 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  A  ->  (
( ph  /\  g  e.  A )  ->  g : T --> RR ) )
4319, 37, 42sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  g : T
--> RR )
4443fnvinran 31632 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
g `  t )  e.  RR )
459simprbi 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  Y  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( f `  t )  /\  (
f `  t )  <_  1 ) )
46453ad2ant2 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( f `  t )  /\  (
f `  t )  <_  1 ) )
4746r19.21bi 2823 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( f `  t )  /\  (
f `  t )  <_  1 ) )
4847simpld 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( f `  t
) )
4917simprbi 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  Y  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( g `  t )  /\  (
g `  t )  <_  1 ) )
50493ad2ant3 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( g `  t )  /\  (
g `  t )  <_  1 ) )
5150r19.21bi 2823 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( g `  t )  /\  (
g `  t )  <_  1 ) )
5251simpld 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( g `  t
) )
5336, 44, 48, 52mulge0d 10125 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
5436, 44remulcld 9613 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  e.  RR )
551fvmpt2 5939 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
)  e.  RR )  ->  ( H `  t )  =  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )
5635, 54, 55syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  ( H `  t )  =  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )
5753, 56breqtrrd 4465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( H `  t
) )
58 1red 9600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  RR )
5947simprd 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
f `  t )  <_  1 )
6051simprd 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
g `  t )  <_  1 )
6136, 58, 44, 58, 48, 52, 59, 60lemul12ad 10483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  <_  ( 1  x.  1 ) )
62 1t1e1 10679 . . . . . . . 8  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
6361, 62syl6breq 4478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  <_  1 )
6456, 63eqbrtrd 4459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  ( H `  t )  <_  1 )
6557, 64jca 530 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t )  <_  1 ) )
6665ex 432 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t )  <_  1 ) ) )
6730, 66ralrimi 2854 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t )  <_  1 ) )
68 nfmpt1 4528 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
691, 68nfcxfr 2614 . . . . . 6  |-  F/_ t H
7069nfeq2 2633 . . . . 5  |-  F/ t  h  =  H
71 fveq1 5847 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
h `  t )  =  ( H `  t ) )
7271breq2d 4451 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( H `  t ) ) )
7371breq1d 4449 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( H `  t )  <_  1
) )
7472, 73anbi12d 708 . . . . 5  |-  ( h  =  H  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) ) )
7570, 74ralbid 2888 . . . 4  |-  ( h  =  H  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) ) )
7675elrab 3254 . . 3  |-  ( H  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  <->  ( H  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t )  <_  1 ) ) )
7722, 67, 76sylanbrc 662 . 2  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  H  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) } )
7877, 8syl6eleqr 2553 1  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  H  e.  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398   F/wnf 1621    e. wcel 1823   A.wral 2804   {crab 2808   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    x. cmul 9486    <_ cle 9618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799
This theorem is referenced by:  stoweidlem48  32072  stoweidlem51  32075
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