Theorem stoweidlem16 32040

Description: Lemma for stoweid 32087. The subset Y of functions in the algebra A, with values in [ 0 , 1 ], is closed under multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem16.1	|- F/ t ph
stoweidlem16.2	|- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
stoweidlem16.3	|- H = ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
stoweidlem16.4	|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
stoweidlem16.5	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem16	|- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> H e. Y )

Distinct variable groups:   f, g, h, t, A   T, f, h, t   ph, f   h, H

Allowed substitution hints:   ph( t, g, h)   T( g)   H( t, f, g)   Y( t, f, g, h)

Proof of Theorem stoweidlem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem16.3	. . . 4 |- H = ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
2		simp1 994	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ph )
3		fveq1 5847	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = f -> ( h ` t ) = ( f ` t ) )
4	3	breq2d 4451	. . . . . . . . . 10 |- ( h = f -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( f ` t ) ) )
5	3	breq1d 4449	. . . . . . . . . 10 |- ( h = f -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( f ` t ) <_ 1 ) )
6	4, 5	anbi12d 708	. . . . . . . . 9 |- ( h = f -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) ) )
7	6	ralbidv 2893	. . . . . . . 8 |- ( h = f -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) ) )
8		stoweidlem16.2	. . . . . . . 8 |- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
9	7, 8	elrab2 3256	. . . . . . 7 |- ( f e. Y <-> ( f e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) ) )
10	9	simplbi 458	. . . . . 6 |- ( f e. Y -> f e. A )
11	10	3ad2ant2 1016	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> f e. A )
12		fveq1 5847	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = g -> ( h ` t ) = ( g ` t ) )
13	12	breq2d 4451	. . . . . . . . . 10 |- ( h = g -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( g ` t ) ) )
14	12	breq1d 4449	. . . . . . . . . 10 |- ( h = g -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( g ` t ) <_ 1 ) )
15	13, 14	anbi12d 708	. . . . . . . . 9 |- ( h = g -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) )
16	15	ralbidv 2893	. . . . . . . 8 |- ( h = g -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) )
17	16, 8	elrab2 3256	. . . . . . 7 |- ( g e. Y <-> ( g e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) )
18	17	simplbi 458	. . . . . 6 |- ( g e. Y -> g e. A )
19	18	3ad2ant3 1017	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> g e. A )
20		stoweidlem16.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
21	2, 11, 19, 20	syl3anc 1226	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
22	1, 21	syl5eqel 2546	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> H e. A )
23		stoweidlem16.1	. . . . 5 |- F/ t ph
24		nfra1 2835	. . . . . . . 8 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 )
25		nfcv 2616	. . . . . . . 8 |- F/_ t A
26	24, 25	nfrab 3036	. . . . . . 7 |- F/_ t { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
27	8, 26	nfcxfr 2614	. . . . . 6 |- F/_ t Y
28	27	nfcri 2609	. . . . 5 |- F/ t f e. Y
29	27	nfcri 2609	. . . . 5 |- F/ t g e. Y
30	23, 28, 29	nf3an 1935	. . . 4 |- F/ t ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y )
31	2, 11	jca 530	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( ph /\ f e. A ) )
32	31	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( ph /\ f e. A ) )
33		stoweidlem16.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
34	32, 33	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> f : T --> RR )
35		simpr 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> t e. T )
36	34, 35	ffvelrnd 6008	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( f ` t ) e. RR )
37	2, 19	jca 530	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( ph /\ g e. A ) )
38		eleq1 2526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( f e. A <-> g e. A ) )
39	38	anbi2d 701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( ph /\ f e. A ) <-> ( ph /\ g e. A ) ) )
40		feq1 5695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( f : T --> RR <-> g : T --> RR ) )
41	39, 40	imbi12d 318	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ g e. A ) -> g : T --> RR ) ) )
42	41, 33	vtoclg 3164	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. A -> ( ( ph /\ g e. A ) -> g : T --> RR ) )
43	19, 37, 42	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> g : T --> RR )
44	43	fnvinran 31632	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( g ` t ) e. RR )
45	9	simprbi 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. Y -> A. t e. T ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) )
46	45	3ad2ant2 1016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) )
47	46	r19.21bi 2823	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) )
48	47	simpld 457	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( f ` t ) )
49	17	simprbi 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. Y -> A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) )
50	49	3ad2ant3 1017	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) )
51	50	r19.21bi 2823	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) )
52	51	simpld 457	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( g ` t ) )
53	36, 44, 48, 52	mulge0d 10125	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
54	36, 44	remulcld 9613	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) e. RR )
55	1	fvmpt2 5939	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. T /\ ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) e. RR ) -> ( H ` t ) = ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
56	35, 54, 55	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( H ` t ) = ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
57	53, 56	breqtrrd 4465	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( H ` t ) )
58		1red 9600	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> 1 e. RR )
59	47	simprd 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( f ` t ) <_ 1 )
60	51	simprd 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( g ` t ) <_ 1 )
61	36, 58, 44, 58, 48, 52, 59, 60	lemul12ad 10483	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) <_ ( 1 x. 1 ) )
62		1t1e1 10679	. . . . . . . 8 |- ( 1 x. 1 ) = 1
63	61, 62	syl6breq 4478	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) <_ 1 )
64	56, 63	eqbrtrd 4459	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( H ` t ) <_ 1 )
65	57, 64	jca 530	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) )
66	65	ex 432	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T -> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
67	30, 66	ralrimi 2854	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) )
68		nfmpt1 4528	. . . . . . 7 |- F/_ t ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
69	1, 68	nfcxfr 2614	. . . . . 6 |- F/_ t H
70	69	nfeq2 2633	. . . . 5 |- F/ t h = H
71		fveq1 5847	. . . . . . 7 |- ( h = H -> ( h ` t ) = ( H ` t ) )
72	71	breq2d 4451	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( H ` t ) ) )
73	71	breq1d 4449	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( H ` t ) <_ 1 ) )
74	72, 73	anbi12d 708	. . . . 5 |- ( h = H -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
75	70, 74	ralbid 2888	. . . 4 |- ( h = H -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
76	75	elrab 3254	. . 3 |- ( H e. { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } <-> ( H e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
77	22, 67, 76	sylanbrc 662	. 2 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> H e. { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } )
78	77, 8	syl6eleqr 2553	1 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> H e. Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   F/wnf 1621   e. wcel 1823   A.wral 2804   {crab 2808   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   x. cmul 9486   <_ cle 9618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799

This theorem is referenced by:  stoweidlem48  32072  stoweidlem51  32075