Theorem stoweidlem16 37876

Description: Lemma for stoweid 37925. The subset Y of functions in the algebra A, with values in [ 0 , 1 ], is closed under multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem16.1	|- F/ t ph
stoweidlem16.2	|- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
stoweidlem16.3	|- H = ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
stoweidlem16.4	|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
stoweidlem16.5	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem16	|- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> H e. Y )

Distinct variable groups:   f, g, h, t, A   T, f, h, t   ph, f   h, H

Allowed substitution hints:   ph( t, g, h)   T( g)   H( t, f, g)   Y( t, f, g, h)

Proof of Theorem stoweidlem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem16.3	. . . 4 |- H = ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
2		simp1 1008	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ph )
3		fveq1 5864	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = f -> ( h ` t ) = ( f ` t ) )
4	3	breq2d 4414	. . . . . . . . . 10 |- ( h = f -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( f ` t ) ) )
5	3	breq1d 4412	. . . . . . . . . 10 |- ( h = f -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( f ` t ) <_ 1 ) )
6	4, 5	anbi12d 717	. . . . . . . . 9 |- ( h = f -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) ) )
7	6	ralbidv 2827	. . . . . . . 8 |- ( h = f -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) ) )
8		stoweidlem16.2	. . . . . . . 8 |- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
9	7, 8	elrab2 3198	. . . . . . 7 |- ( f e. Y <-> ( f e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) ) )
10	9	simplbi 462	. . . . . 6 |- ( f e. Y -> f e. A )
11	10	3ad2ant2 1030	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> f e. A )
12		fveq1 5864	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = g -> ( h ` t ) = ( g ` t ) )
13	12	breq2d 4414	. . . . . . . . . 10 |- ( h = g -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( g ` t ) ) )
14	12	breq1d 4412	. . . . . . . . . 10 |- ( h = g -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( g ` t ) <_ 1 ) )
15	13, 14	anbi12d 717	. . . . . . . . 9 |- ( h = g -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) )
16	15	ralbidv 2827	. . . . . . . 8 |- ( h = g -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) )
17	16, 8	elrab2 3198	. . . . . . 7 |- ( g e. Y <-> ( g e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) )
18	17	simplbi 462	. . . . . 6 |- ( g e. Y -> g e. A )
19	18	3ad2ant3 1031	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> g e. A )
20		stoweidlem16.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
21	2, 11, 19, 20	syl3anc 1268	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
22	1, 21	syl5eqel 2533	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> H e. A )
23		stoweidlem16.1	. . . . 5 |- F/ t ph
24		nfra1 2769	. . . . . . . 8 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 )
25		nfcv 2592	. . . . . . . 8 |- F/_ t A
26	24, 25	nfrab 2972	. . . . . . 7 |- F/_ t { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
27	8, 26	nfcxfr 2590	. . . . . 6 |- F/_ t Y
28	27	nfcri 2586	. . . . 5 |- F/ t f e. Y
29	27	nfcri 2586	. . . . 5 |- F/ t g e. Y
30	23, 28, 29	nf3an 2013	. . . 4 |- F/ t ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y )
31	2, 11	jca 535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( ph /\ f e. A ) )
32	31	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( ph /\ f e. A ) )
33		stoweidlem16.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> f : T --> RR )
35		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> t e. T )
36	34, 35	ffvelrnd 6023	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( f ` t ) e. RR )
37	2, 19	jca 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( ph /\ g e. A ) )
38		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( f e. A <-> g e. A ) )
39	38	anbi2d 710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( ph /\ f e. A ) <-> ( ph /\ g e. A ) ) )
40		feq1 5710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( f : T --> RR <-> g : T --> RR ) )
41	39, 40	imbi12d 322	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ g e. A ) -> g : T --> RR ) ) )
42	41, 33	vtoclg 3107	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. A -> ( ( ph /\ g e. A ) -> g : T --> RR ) )
43	19, 37, 42	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> g : T --> RR )
44	43	fnvinran 37335	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( g ` t ) e. RR )
45	9	simprbi 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. Y -> A. t e. T ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) )
46	45	3ad2ant2 1030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) )
47	46	r19.21bi 2757	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) )
48	47	simpld 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( f ` t ) )
49	17	simprbi 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. Y -> A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) )
50	49	3ad2ant3 1031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) )
51	50	r19.21bi 2757	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) )
52	51	simpld 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( g ` t ) )
53	36, 44, 48, 52	mulge0d 10190	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
54	36, 44	remulcld 9671	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) e. RR )
55	1	fvmpt2 5957	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. T /\ ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) e. RR ) -> ( H ` t ) = ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
56	35, 54, 55	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( H ` t ) = ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
57	53, 56	breqtrrd 4429	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( H ` t ) )
58		1red 9658	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> 1 e. RR )
59	47	simprd 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( f ` t ) <_ 1 )
60	51	simprd 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( g ` t ) <_ 1 )
61	36, 58, 44, 58, 48, 52, 59, 60	lemul12ad 10549	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) <_ ( 1 x. 1 ) )
62		1t1e1 10757	. . . . . . . 8 |- ( 1 x. 1 ) = 1
63	61, 62	syl6breq 4442	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) <_ 1 )
64	56, 63	eqbrtrd 4423	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( H ` t ) <_ 1 )
65	57, 64	jca 535	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) )
66	65	ex 436	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T -> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
67	30, 66	ralrimi 2788	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) )
68		nfmpt1 4492	. . . . . . 7 |- F/_ t ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
69	1, 68	nfcxfr 2590	. . . . . 6 |- F/_ t H
70	69	nfeq2 2607	. . . . 5 |- F/ t h = H
71		fveq1 5864	. . . . . . 7 |- ( h = H -> ( h ` t ) = ( H ` t ) )
72	71	breq2d 4414	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( H ` t ) ) )
73	71	breq1d 4412	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( H ` t ) <_ 1 ) )
74	72, 73	anbi12d 717	. . . . 5 |- ( h = H -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
75	70, 74	ralbid 2822	. . . 4 |- ( h = H -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
76	75	elrab 3196	. . 3 |- ( H e. { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } <-> ( H e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
77	22, 67, 76	sylanbrc 670	. 2 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> H e. { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } )
78	77, 8	syl6eleqr 2540	1 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> H e. Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   F/wnf 1667   e. wcel 1887   A.wral 2737   {crab 2741   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   x. cmul 9544   <_ cle 9676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863

This theorem is referenced by:  stoweidlem48  37909  stoweidlem51  37912