Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem16 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stoweidlem16 37876
 Description: Lemma for stoweid 37925. The subset of functions in the algebra , with values in [ 0 , 1 ], is closed under multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem16.1
stoweidlem16.2
stoweidlem16.3
stoweidlem16.4
stoweidlem16.5
Assertion
Ref Expression
stoweidlem16
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   (,,)   (,,,)

Proof of Theorem stoweidlem16
StepHypRef Expression
1 stoweidlem16.3 . . . 4
2 simp1 1008 . . . . 5
3 fveq1 5864 . . . . . . . . . . 11
43breq2d 4414 . . . . . . . . . 10
53breq1d 4412 . . . . . . . . . 10
64, 5anbi12d 717 . . . . . . . . 9
76ralbidv 2827 . . . . . . . 8
8 stoweidlem16.2 . . . . . . . 8
97, 8elrab2 3198 . . . . . . 7
109simplbi 462 . . . . . 6
11103ad2ant2 1030 . . . . 5
12 fveq1 5864 . . . . . . . . . . 11
1312breq2d 4414 . . . . . . . . . 10
1412breq1d 4412 . . . . . . . . . 10
1513, 14anbi12d 717 . . . . . . . . 9
1615ralbidv 2827 . . . . . . . 8
1716, 8elrab2 3198 . . . . . . 7
1817simplbi 462 . . . . . 6
19183ad2ant3 1031 . . . . 5
20 stoweidlem16.5 . . . . 5
212, 11, 19, 20syl3anc 1268 . . . 4
221, 21syl5eqel 2533 . . 3
23 stoweidlem16.1 . . . . 5
24 nfra1 2769 . . . . . . . 8
25 nfcv 2592 . . . . . . . 8
2624, 25nfrab 2972 . . . . . . 7
278, 26nfcxfr 2590 . . . . . 6
2827nfcri 2586 . . . . 5
2927nfcri 2586 . . . . 5
3023, 28, 29nf3an 2013 . . . 4
312, 11jca 535 . . . . . . . . . . 11
3231adantr 467 . . . . . . . . . 10
33 stoweidlem16.4 . . . . . . . . . 10
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9
35 simpr 463 . . . . . . . . 9
3634, 35ffvelrnd 6023 . . . . . . . 8
372, 19jca 535 . . . . . . . . . 10
38 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . 13
3938anbi2d 710 . . . . . . . . . . . 12
40 feq1 5710 . . . . . . . . . . . 12
4139, 40imbi12d 322 . . . . . . . . . . 11
4241, 33vtoclg 3107 . . . . . . . . . 10
4319, 37, 42sylc 62 . . . . . . . . 9
4443fnvinran 37335 . . . . . . . 8
459simprbi 466 . . . . . . . . . . 11
46453ad2ant2 1030 . . . . . . . . . 10
4746r19.21bi 2757 . . . . . . . . 9
4847simpld 461 . . . . . . . 8
4917simprbi 466 . . . . . . . . . . 11
50493ad2ant3 1031 . . . . . . . . . 10
5150r19.21bi 2757 . . . . . . . . 9
5251simpld 461 . . . . . . . 8
5336, 44, 48, 52mulge0d 10190 . . . . . . 7
5436, 44remulcld 9671 . . . . . . . 8
551fvmpt2 5957 . . . . . . . 8
5635, 54, 55syl2anc 667 . . . . . . 7
5753, 56breqtrrd 4429 . . . . . 6
58 1red 9658 . . . . . . . . 9
5947simprd 465 . . . . . . . . 9
6051simprd 465 . . . . . . . . 9
6136, 58, 44, 58, 48, 52, 59, 60lemul12ad 10549 . . . . . . . 8
62 1t1e1 10757 . . . . . . . 8
6361, 62syl6breq 4442 . . . . . . 7
6456, 63eqbrtrd 4423 . . . . . 6
6557, 64jca 535 . . . . 5
6665ex 436 . . . 4
6730, 66ralrimi 2788 . . 3
68 nfmpt1 4492 . . . . . . 7
691, 68nfcxfr 2590 . . . . . 6
7069nfeq2 2607 . . . . 5
71 fveq1 5864 . . . . . . 7
7271breq2d 4414 . . . . . 6
7371breq1d 4412 . . . . . 6
7472, 73anbi12d 717 . . . . 5
7570, 74ralbid 2822 . . . 4
7675elrab 3196 . . 3
7722, 67, 76sylanbrc 670 . 2
7877, 8syl6eleqr 2540 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   w3a 985   wceq 1444  wnf 1667   wcel 1887  wral 2737  crab 2741   class class class wbr 4402   cmpt 4461  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   cmul 9544   cle 9676 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863 This theorem is referenced by:  stoweidlem48  37909  stoweidlem51  37912
 Copyright terms: Public domain W3C validator