Theorem stoweidlem16 29811

Description: Lemma for stoweid 29858. The subset Y of functions in the algebra A, with values in [ 0 , 1 ], is closed under multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem16.1	|- F/ t ph
stoweidlem16.2	|- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
stoweidlem16.3	|- H = ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
stoweidlem16.4	|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
stoweidlem16.5	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem16	|- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> H e. Y )

Distinct variable groups:   f, g, h, t, A   T, f, h, t   ph, f   h, H

Allowed substitution hints:   ph( t, g, h)   T( g)   H( t, f, g)   Y( t, f, g, h)

Proof of Theorem stoweidlem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem16.3	. . . 4 |- H = ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
2		simp1 988	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ph )
3		fveq1 5690	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = f -> ( h ` t ) = ( f ` t ) )
4	3	breq2d 4304	. . . . . . . . . 10 |- ( h = f -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( f ` t ) ) )
5	3	breq1d 4302	. . . . . . . . . 10 |- ( h = f -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( f ` t ) <_ 1 ) )
6	4, 5	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( h = f -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) ) )
7	6	ralbidv 2735	. . . . . . . 8 |- ( h = f -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) ) )
8		stoweidlem16.2	. . . . . . . 8 |- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
9	7, 8	elrab2 3119	. . . . . . 7 |- ( f e. Y <-> ( f e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) ) )
10	9	simplbi 460	. . . . . 6 |- ( f e. Y -> f e. A )
11	10	3ad2ant2 1010	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> f e. A )
12		fveq1 5690	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = g -> ( h ` t ) = ( g ` t ) )
13	12	breq2d 4304	. . . . . . . . . 10 |- ( h = g -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( g ` t ) ) )
14	12	breq1d 4302	. . . . . . . . . 10 |- ( h = g -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( g ` t ) <_ 1 ) )
15	13, 14	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( h = g -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) )
16	15	ralbidv 2735	. . . . . . . 8 |- ( h = g -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) )
17	16, 8	elrab2 3119	. . . . . . 7 |- ( g e. Y <-> ( g e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) )
18	17	simplbi 460	. . . . . 6 |- ( g e. Y -> g e. A )
19	18	3ad2ant3 1011	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> g e. A )
20		stoweidlem16.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
21	2, 11, 19, 20	syl3anc 1218	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
22	1, 21	syl5eqel 2527	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> H e. A )
23		stoweidlem16.1	. . . . 5 |- F/ t ph
24		nfra1 2766	. . . . . . . 8 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 )
25		nfcv 2579	. . . . . . . 8 |- F/_ t A
26	24, 25	nfrab 2902	. . . . . . 7 |- F/_ t { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
27	8, 26	nfcxfr 2576	. . . . . 6 |- F/_ t Y
28	27	nfcri 2573	. . . . 5 |- F/ t f e. Y
29	27	nfcri 2573	. . . . 5 |- F/ t g e. Y
30	23, 28, 29	nf3an 1863	. . . 4 |- F/ t ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y )
31	2, 11	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( ph /\ f e. A ) )
32	31	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( ph /\ f e. A ) )
33		stoweidlem16.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
34	32, 33	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> f : T --> RR )
35		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> t e. T )
36	34, 35	ffvelrnd 5844	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( f ` t ) e. RR )
37	2, 19	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( ph /\ g e. A ) )
38		eleq1 2503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( f e. A <-> g e. A ) )
39	38	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( ph /\ f e. A ) <-> ( ph /\ g e. A ) ) )
40		feq1 5542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( f : T --> RR <-> g : T --> RR ) )
41	39, 40	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ g e. A ) -> g : T --> RR ) ) )
42	41, 33	vtoclg 3030	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. A -> ( ( ph /\ g e. A ) -> g : T --> RR ) )
43	19, 37, 42	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> g : T --> RR )
44	43	fnvinran 29736	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( g ` t ) e. RR )
45	9	simprbi 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. Y -> A. t e. T ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) )
46	45	3ad2ant2 1010	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) )
47	46	r19.21bi 2814	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) )
48	47	simpld 459	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( f ` t ) )
49	17	simprbi 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. Y -> A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) )
50	49	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) )
51	50	r19.21bi 2814	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) )
52	51	simpld 459	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( g ` t ) )
53	36, 44, 48, 52	mulge0d 9916	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
54	36, 44	remulcld 9414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) e. RR )
55	1	fvmpt2 5781	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. T /\ ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) e. RR ) -> ( H ` t ) = ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
56	35, 54, 55	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( H ` t ) = ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
57	53, 56	breqtrrd 4318	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( H ` t ) )
58		1red 9401	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> 1 e. RR )
59	47	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( f ` t ) <_ 1 )
60	51	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( g ` t ) <_ 1 )
61	36, 58, 44, 58, 48, 52, 59, 60	lemul12ad 10275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) <_ ( 1 x. 1 ) )
62		1t1e1 10469	. . . . . . . 8 |- ( 1 x. 1 ) = 1
63	61, 62	syl6breq 4331	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) <_ 1 )
64	56, 63	eqbrtrd 4312	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( H ` t ) <_ 1 )
65	57, 64	jca 532	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) )
66	65	ex 434	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T -> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
67	30, 66	ralrimi 2797	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) )
68		nfmpt1 4381	. . . . . . 7 |- F/_ t ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
69	1, 68	nfcxfr 2576	. . . . . 6 |- F/_ t H
70	69	nfeq2 2590	. . . . 5 |- F/ t h = H
71		fveq1 5690	. . . . . . 7 |- ( h = H -> ( h ` t ) = ( H ` t ) )
72	71	breq2d 4304	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( H ` t ) ) )
73	71	breq1d 4302	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( H ` t ) <_ 1 ) )
74	72, 73	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( h = H -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
75	70, 74	ralbid 2733	. . . 4 |- ( h = H -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
76	75	elrab 3117	. . 3 |- ( H e. { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } <-> ( H e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
77	22, 67, 76	sylanbrc 664	. 2 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> H e. { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } )
78	77, 8	syl6eleqr 2534	1 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> H e. Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   F/wnf 1589   e. wcel 1756   A.wral 2715   {crab 2719   class class class wbr 4292   e. cmpt 4350   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283   x. cmul 9287   <_ cle 9419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598

This theorem is referenced by:  stoweidlem48  29843  stoweidlem51  29846