Theorem stoweidlem16 31316

Description: Lemma for stoweid 31363. The subset Y of functions in the algebra A, with values in [ 0 , 1 ], is closed under multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem16.1	|- F/ t ph
stoweidlem16.2	|- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
stoweidlem16.3	|- H = ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
stoweidlem16.4	|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
stoweidlem16.5	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem16	|- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> H e. Y )

Distinct variable groups:   f, g, h, t, A   T, f, h, t   ph, f   h, H

Allowed substitution hints:   ph( t, g, h)   T( g)   H( t, f, g)   Y( t, f, g, h)

Proof of Theorem stoweidlem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem16.3	. . . 4 |- H = ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
2		simp1 996	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ph )
3		fveq1 5863	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = f -> ( h ` t ) = ( f ` t ) )
4	3	breq2d 4459	. . . . . . . . . 10 |- ( h = f -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( f ` t ) ) )
5	3	breq1d 4457	. . . . . . . . . 10 |- ( h = f -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( f ` t ) <_ 1 ) )
6	4, 5	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( h = f -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) ) )
7	6	ralbidv 2903	. . . . . . . 8 |- ( h = f -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) ) )
8		stoweidlem16.2	. . . . . . . 8 |- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
9	7, 8	elrab2 3263	. . . . . . 7 |- ( f e. Y <-> ( f e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) ) )
10	9	simplbi 460	. . . . . 6 |- ( f e. Y -> f e. A )
11	10	3ad2ant2 1018	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> f e. A )
12		fveq1 5863	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = g -> ( h ` t ) = ( g ` t ) )
13	12	breq2d 4459	. . . . . . . . . 10 |- ( h = g -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( g ` t ) ) )
14	12	breq1d 4457	. . . . . . . . . 10 |- ( h = g -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( g ` t ) <_ 1 ) )
15	13, 14	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( h = g -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) )
16	15	ralbidv 2903	. . . . . . . 8 |- ( h = g -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) )
17	16, 8	elrab2 3263	. . . . . . 7 |- ( g e. Y <-> ( g e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) )
18	17	simplbi 460	. . . . . 6 |- ( g e. Y -> g e. A )
19	18	3ad2ant3 1019	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> g e. A )
20		stoweidlem16.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
21	2, 11, 19, 20	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
22	1, 21	syl5eqel 2559	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> H e. A )
23		stoweidlem16.1	. . . . 5 |- F/ t ph
24		nfra1 2845	. . . . . . . 8 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 )
25		nfcv 2629	. . . . . . . 8 |- F/_ t A
26	24, 25	nfrab 3043	. . . . . . 7 |- F/_ t { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
27	8, 26	nfcxfr 2627	. . . . . 6 |- F/_ t Y
28	27	nfcri 2622	. . . . 5 |- F/ t f e. Y
29	27	nfcri 2622	. . . . 5 |- F/ t g e. Y
30	23, 28, 29	nf3an 1877	. . . 4 |- F/ t ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y )
31	2, 11	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( ph /\ f e. A ) )
32	31	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( ph /\ f e. A ) )
33		stoweidlem16.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
34	32, 33	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> f : T --> RR )
35		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> t e. T )
36	34, 35	ffvelrnd 6020	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( f ` t ) e. RR )
37	2, 19	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( ph /\ g e. A ) )
38		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( f e. A <-> g e. A ) )
39	38	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( ph /\ f e. A ) <-> ( ph /\ g e. A ) ) )
40		feq1 5711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( f : T --> RR <-> g : T --> RR ) )
41	39, 40	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ g e. A ) -> g : T --> RR ) ) )
42	41, 33	vtoclg 3171	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. A -> ( ( ph /\ g e. A ) -> g : T --> RR ) )
43	19, 37, 42	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> g : T --> RR )
44	43	fnvinran 30967	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( g ` t ) e. RR )
45	9	simprbi 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. Y -> A. t e. T ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) )
46	45	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) )
47	46	r19.21bi 2833	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) )
48	47	simpld 459	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( f ` t ) )
49	17	simprbi 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. Y -> A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) )
50	49	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) )
51	50	r19.21bi 2833	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) )
52	51	simpld 459	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( g ` t ) )
53	36, 44, 48, 52	mulge0d 10125	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
54	36, 44	remulcld 9620	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) e. RR )
55	1	fvmpt2 5955	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. T /\ ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) e. RR ) -> ( H ` t ) = ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
56	35, 54, 55	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( H ` t ) = ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
57	53, 56	breqtrrd 4473	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( H ` t ) )
58		1red 9607	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> 1 e. RR )
59	47	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( f ` t ) <_ 1 )
60	51	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( g ` t ) <_ 1 )
61	36, 58, 44, 58, 48, 52, 59, 60	lemul12ad 10484	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) <_ ( 1 x. 1 ) )
62		1t1e1 10679	. . . . . . . 8 |- ( 1 x. 1 ) = 1
63	61, 62	syl6breq 4486	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) <_ 1 )
64	56, 63	eqbrtrd 4467	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( H ` t ) <_ 1 )
65	57, 64	jca 532	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) )
66	65	ex 434	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T -> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
67	30, 66	ralrimi 2864	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) )
68		nfmpt1 4536	. . . . . . 7 |- F/_ t ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
69	1, 68	nfcxfr 2627	. . . . . 6 |- F/_ t H
70	69	nfeq2 2646	. . . . 5 |- F/ t h = H
71		fveq1 5863	. . . . . . 7 |- ( h = H -> ( h ` t ) = ( H ` t ) )
72	71	breq2d 4459	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( H ` t ) ) )
73	71	breq1d 4457	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( H ` t ) <_ 1 ) )
74	72, 73	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( h = H -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
75	70, 74	ralbid 2898	. . . 4 |- ( h = H -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
76	75	elrab 3261	. . 3 |- ( H e. { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } <-> ( H e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
77	22, 67, 76	sylanbrc 664	. 2 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> H e. { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } )
78	77, 8	syl6eleqr 2566	1 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> H e. Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   F/wnf 1599   e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   x. cmul 9493   <_ cle 9625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804

This theorem is referenced by:  stoweidlem48  31348  stoweidlem51  31351