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Theorem stoweidlem15 27631
Description: This lemma is used to prove the existence of a function  p as in Lemma 1 from [BrosowskiDeutsh] p. 90:  p is in the subalgebra, such that 0 ≤ p ≤ 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Here  ( G `  I ) is used to represent p(t_i) in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem15.1  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem15.3  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... M ) --> Q )
stoweidlem15.4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem15  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  (
( ( G `  I ) `  S
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( G `
 I ) `  S )  /\  (
( G `  I
) `  S )  <_  1 ) )
Distinct variable groups:    A, f    f, G    f, I    T, f    ph, f    t, h, G    A, h    h, I, t    T, h, t    h, Z
Allowed substitution hints:    ph( t, h)    A( t)    Q( t, f, h)    S( t, f, h)    M( t, f, h)    Z( t, f)

Proof of Theorem stoweidlem15
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
2 stoweidlem15.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... M ) --> Q )
32fnvinran 27552 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  I )  e.  Q )
4 elrabi 3050 . . . . . 6  |-  ( ( G `  I )  e.  { h  e.  A  |  ( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }  ->  ( G `  I )  e.  A
)
5 stoweidlem15.1 . . . . . 6  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
64, 5eleq2s 2496 . . . . 5  |-  ( ( G `  I )  e.  Q  ->  ( G `  I )  e.  A )
73, 6syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  I )  e.  A )
8 eleq1 2464 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( G `  I )  ->  (
f  e.  A  <->  ( G `  I )  e.  A
) )
98anbi2d 685 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( G `  I )  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  ( G `  I
)  e.  A ) ) )
10 feq1 5535 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( G `  I )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( G `  I ) : T --> RR ) )
119, 10imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( G `  I )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( G `  I )  e.  A )  -> 
( G `  I
) : T --> RR ) ) )
12 stoweidlem15.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
1311, 12vtoclg 2971 . . . . 5  |-  ( ( G `  I )  e.  A  ->  (
( ph  /\  ( G `  I )  e.  A )  ->  ( G `  I ) : T --> RR ) )
147, 13syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ph  /\  ( G `  I )  e.  A )  ->  ( G `  I ) : T --> RR ) )
151, 7, 14mp2and 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  I ) : T --> RR )
1615fnvinran 27552 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  (
( G `  I
) `  S )  e.  RR )
173, 5syl6eleq 2494 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  I )  e.  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) } )
18 fveq1 5686 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  ( G `  I )  ->  (
h `  Z )  =  ( ( G `
 I ) `  Z ) )
1918eqeq1d 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  ( G `  I )  ->  (
( h `  Z
)  =  0  <->  (
( G `  I
) `  Z )  =  0 ) )
20 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  ( G `  I )  ->  (
h `  t )  =  ( ( G `
 I ) `  t ) )
2120breq2d 4184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  ( G `  I )  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( ( G `  I
) `  t )
) )
2220breq1d 4182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  ( G `  I )  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( ( G `  I ) `  t )  <_  1
) )
2321, 22anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  ( G `  I )  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
( G `  I
) `  t )  /\  ( ( G `  I ) `  t
)  <_  1 ) ) )
2423ralbidv 2686 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  ( G `  I )  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( G `  I
) `  t )  /\  ( ( G `  I ) `  t
)  <_  1 ) ) )
2519, 24anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  ( G `  I )  ->  (
( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
) )  <->  ( (
( G `  I
) `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( ( G `  I ) `  t )  /\  (
( G `  I
) `  t )  <_  1 ) ) ) )
2625elrab 3052 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  I )  e.  { h  e.  A  |  ( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }  <-> 
( ( G `  I )  e.  A  /\  ( ( ( G `
 I ) `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( ( G `  I ) `  t
)  /\  ( ( G `  I ) `  t )  <_  1
) ) ) )
2717, 26sylib 189 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( G `  I
)  e.  A  /\  ( ( ( G `
 I ) `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( ( G `  I ) `  t
)  /\  ( ( G `  I ) `  t )  <_  1
) ) ) )
2827simprd 450 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ( G `  I ) `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( G `  I
) `  t )  /\  ( ( G `  I ) `  t
)  <_  1 ) ) )
2928simprd 450 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( ( G `
 I ) `  t )  /\  (
( G `  I
) `  t )  <_  1 ) )
30 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  t  ->  (
( G `  I
) `  s )  =  ( ( G `
 I ) `  t ) )
3130breq2d 4184 . . . . . . 7  |-  ( s  =  t  ->  (
0  <_  ( ( G `  I ) `  s )  <->  0  <_  ( ( G `  I
) `  t )
) )
3230breq1d 4182 . . . . . . 7  |-  ( s  =  t  ->  (
( ( G `  I ) `  s
)  <_  1  <->  ( ( G `  I ) `  t )  <_  1
) )
3331, 32anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( s  =  t  ->  (
( 0  <_  (
( G `  I
) `  s )  /\  ( ( G `  I ) `  s
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
( G `  I
) `  t )  /\  ( ( G `  I ) `  t
)  <_  1 ) ) )
3433cbvralv 2892 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  T  (
0  <_  ( ( G `  I ) `  s )  /\  (
( G `  I
) `  s )  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( ( G `
 I ) `  t )  /\  (
( G `  I
) `  t )  <_  1 ) )
35 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
( G `  I
) `  s )  =  ( ( G `
 I ) `  S ) )
3635breq2d 4184 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
0  <_  ( ( G `  I ) `  s )  <->  0  <_  ( ( G `  I
) `  S )
) )
3735breq1d 4182 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( G `  I ) `  s
)  <_  1  <->  ( ( G `  I ) `  S )  <_  1
) )
3836, 37anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( 0  <_  (
( G `  I
) `  s )  /\  ( ( G `  I ) `  s
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
( G `  I
) `  S )  /\  ( ( G `  I ) `  S
)  <_  1 ) ) )
3938rspccva 3011 . . . . 5  |-  ( ( A. s  e.  T  ( 0  <_  (
( G `  I
) `  s )  /\  ( ( G `  I ) `  s
)  <_  1 )  /\  S  e.  T
)  ->  ( 0  <_  ( ( G `
 I ) `  S )  /\  (
( G `  I
) `  S )  <_  1 ) )
4034, 39sylanbr 460 . . . 4  |-  ( ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( G `  I
) `  t )  /\  ( ( G `  I ) `  t
)  <_  1 )  /\  S  e.  T
)  ->  ( 0  <_  ( ( G `
 I ) `  S )  /\  (
( G `  I
) `  S )  <_  1 ) )
4129, 40sylan 458 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  (
0  <_  ( ( G `  I ) `  S )  /\  (
( G `  I
) `  S )  <_  1 ) )
4241simpld 446 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  0  <_  ( ( G `  I ) `  S
) )
4341simprd 450 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  (
( G `  I
) `  S )  <_  1 )
4416, 42, 433jca 1134 1  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  (
( ( G `  I ) `  S
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( G `
 I ) `  S )  /\  (
( G `  I
) `  S )  <_  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   {crab 2670   class class class wbr 4172   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    <_ cle 9077   ...cfz 10999
This theorem is referenced by:  stoweidlem30  27646  stoweidlem38  27654  stoweidlem44  27660
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421
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