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Theorem stoweidlem15 32036
Description: This lemma is used to prove the existence of a function  p as in Lemma 1 from [BrosowskiDeutsh] p. 90:  p is in the subalgebra, such that 0 ≤ p ≤ 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Here  ( G `  I ) is used to represent p(t_i) in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem15.1  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem15.3  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... M ) --> Q )
stoweidlem15.4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem15  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  (
( ( G `  I ) `  S
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( G `
 I ) `  S )  /\  (
( G `  I
) `  S )  <_  1 ) )
Distinct variable groups:    A, f    f, G    f, I    T, f    ph, f    t, h, G    A, h    h, I, t    T, h, t    h, Z
Allowed substitution hints:    ph( t, h)    A( t)    Q( t, f, h)    S( t, f, h)    M( t, f, h)    Z( t, f)

Proof of Theorem stoweidlem15
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 455 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
2 stoweidlem15.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... M ) --> Q )
32fnvinran 31629 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  I )  e.  Q )
4 elrabi 3251 . . . . . 6  |-  ( ( G `  I )  e.  { h  e.  A  |  ( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }  ->  ( G `  I )  e.  A
)
5 stoweidlem15.1 . . . . . 6  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
64, 5eleq2s 2562 . . . . 5  |-  ( ( G `  I )  e.  Q  ->  ( G `  I )  e.  A )
73, 6syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  I )  e.  A )
8 eleq1 2526 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( G `  I )  ->  (
f  e.  A  <->  ( G `  I )  e.  A
) )
98anbi2d 701 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( G `  I )  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  ( G `  I
)  e.  A ) ) )
10 feq1 5695 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( G `  I )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( G `  I ) : T --> RR ) )
119, 10imbi12d 318 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( G `  I )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( G `  I )  e.  A )  -> 
( G `  I
) : T --> RR ) ) )
12 stoweidlem15.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
1311, 12vtoclg 3164 . . . . 5  |-  ( ( G `  I )  e.  A  ->  (
( ph  /\  ( G `  I )  e.  A )  ->  ( G `  I ) : T --> RR ) )
147, 13syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ph  /\  ( G `  I )  e.  A )  ->  ( G `  I ) : T --> RR ) )
151, 7, 14mp2and 677 . . 3  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  I ) : T --> RR )
1615fnvinran 31629 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  (
( G `  I
) `  S )  e.  RR )
173, 5syl6eleq 2552 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  I )  e.  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) } )
18 fveq1 5847 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  ( G `  I )  ->  (
h `  Z )  =  ( ( G `
 I ) `  Z ) )
1918eqeq1d 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  ( G `  I )  ->  (
( h `  Z
)  =  0  <->  (
( G `  I
) `  Z )  =  0 ) )
20 fveq1 5847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  ( G `  I )  ->  (
h `  t )  =  ( ( G `
 I ) `  t ) )
2120breq2d 4451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  ( G `  I )  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( ( G `  I
) `  t )
) )
2220breq1d 4449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  ( G `  I )  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( ( G `  I ) `  t )  <_  1
) )
2321, 22anbi12d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  ( G `  I )  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
( G `  I
) `  t )  /\  ( ( G `  I ) `  t
)  <_  1 ) ) )
2423ralbidv 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  ( G `  I )  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( G `  I
) `  t )  /\  ( ( G `  I ) `  t
)  <_  1 ) ) )
2519, 24anbi12d 708 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  ( G `  I )  ->  (
( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
) )  <->  ( (
( G `  I
) `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( ( G `  I ) `  t )  /\  (
( G `  I
) `  t )  <_  1 ) ) ) )
2625elrab 3254 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  I )  e.  { h  e.  A  |  ( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }  <-> 
( ( G `  I )  e.  A  /\  ( ( ( G `
 I ) `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( ( G `  I ) `  t
)  /\  ( ( G `  I ) `  t )  <_  1
) ) ) )
2717, 26sylib 196 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( G `  I
)  e.  A  /\  ( ( ( G `
 I ) `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( ( G `  I ) `  t
)  /\  ( ( G `  I ) `  t )  <_  1
) ) ) )
2827simprd 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ( G `  I ) `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( G `  I
) `  t )  /\  ( ( G `  I ) `  t
)  <_  1 ) ) )
2928simprd 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( ( G `
 I ) `  t )  /\  (
( G `  I
) `  t )  <_  1 ) )
30 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  t  ->  (
( G `  I
) `  s )  =  ( ( G `
 I ) `  t ) )
3130breq2d 4451 . . . . . . 7  |-  ( s  =  t  ->  (
0  <_  ( ( G `  I ) `  s )  <->  0  <_  ( ( G `  I
) `  t )
) )
3230breq1d 4449 . . . . . . 7  |-  ( s  =  t  ->  (
( ( G `  I ) `  s
)  <_  1  <->  ( ( G `  I ) `  t )  <_  1
) )
3331, 32anbi12d 708 . . . . . 6  |-  ( s  =  t  ->  (
( 0  <_  (
( G `  I
) `  s )  /\  ( ( G `  I ) `  s
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
( G `  I
) `  t )  /\  ( ( G `  I ) `  t
)  <_  1 ) ) )
3433cbvralv 3081 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  T  (
0  <_  ( ( G `  I ) `  s )  /\  (
( G `  I
) `  s )  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( ( G `
 I ) `  t )  /\  (
( G `  I
) `  t )  <_  1 ) )
35 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
( G `  I
) `  s )  =  ( ( G `
 I ) `  S ) )
3635breq2d 4451 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
0  <_  ( ( G `  I ) `  s )  <->  0  <_  ( ( G `  I
) `  S )
) )
3735breq1d 4449 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( G `  I ) `  s
)  <_  1  <->  ( ( G `  I ) `  S )  <_  1
) )
3836, 37anbi12d 708 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( 0  <_  (
( G `  I
) `  s )  /\  ( ( G `  I ) `  s
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
( G `  I
) `  S )  /\  ( ( G `  I ) `  S
)  <_  1 ) ) )
3938rspccva 3206 . . . . 5  |-  ( ( A. s  e.  T  ( 0  <_  (
( G `  I
) `  s )  /\  ( ( G `  I ) `  s
)  <_  1 )  /\  S  e.  T
)  ->  ( 0  <_  ( ( G `
 I ) `  S )  /\  (
( G `  I
) `  S )  <_  1 ) )
4034, 39sylanbr 471 . . . 4  |-  ( ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( G `  I
) `  t )  /\  ( ( G `  I ) `  t
)  <_  1 )  /\  S  e.  T
)  ->  ( 0  <_  ( ( G `
 I ) `  S )  /\  (
( G `  I
) `  S )  <_  1 ) )
4129, 40sylan 469 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  (
0  <_  ( ( G `  I ) `  S )  /\  (
( G `  I
) `  S )  <_  1 ) )
4241simpld 457 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  0  <_  ( ( G `  I ) `  S
) )
4341simprd 461 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  (
( G `  I
) `  S )  <_  1 )
4416, 42, 433jca 1174 1  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  (
( ( G `  I ) `  S
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( G `
 I ) `  S )  /\  (
( G `  I
) `  S )  <_  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   {crab 2808   class class class wbr 4439   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    <_ cle 9618   ...cfz 11675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-fv 5578
This theorem is referenced by:  stoweidlem30  32051  stoweidlem38  32059  stoweidlem44  32065
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