Theorem stoweidlem14 37757

Description: There exists a k as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: k is an integer and 1 < k * δ < 2. D is used to represent δ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem14.1	|- A = { j e. NN | ( 1 / D ) < j }
stoweidlem14.2	|- ( ph -> D e. RR+ )
stoweidlem14.3	|- ( ph -> D < 1 )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem14	|- ( ph -> E. k e. NN ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) )

Distinct variable groups:   j, k, D   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( j)   A( j)

Proof of Theorem stoweidlem14

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem14.1	. . . . . 6 |- A = { j e. NN | ( 1 / D ) < j }
2		ssrab2 3484	. . . . . . 7 |- { j e. NN | ( 1 / D ) < j } C_ NN
3	2	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> { j e. NN | ( 1 / D ) < j } C_ NN )
4	1, 3	syl5eqss 3446	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ NN )
5		stoweidlem14.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. RR+ )
6	5	rprecred 11298	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / D ) e. RR )
7		arch 10812	. . . . . 6 |- ( ( 1 / D ) e. RR -> E. k e. NN ( 1 / D ) < k )
8		breq2 4365	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( ( 1 / D ) < j <-> ( 1 / D ) < k ) )
9	8	elrab 3166	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. { j e. NN | ( 1 / D ) < j } <-> ( k e. NN /\ ( 1 / D ) < k ) )
10	9	biimpri 209	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( 1 / D ) < k ) -> k e. { j e. NN | ( 1 / D ) < j } )
11	10, 1	syl6eleqr 2512	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ ( 1 / D ) < k ) -> k e. A )
12		simpr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ ( 1 / D ) < k ) -> ( 1 / D ) < k )
13	11, 12	jca 534	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ ( 1 / D ) < k ) -> ( k e. A /\ ( 1 / D ) < k ) )
14	13	reximi2 2826	. . . . . 6 |- ( E. k e. NN ( 1 / D ) < k -> E. k e. A ( 1 / D ) < k )
15		rexn0 3840	. . . . . 6 |- ( E. k e. A ( 1 / D ) < k -> A =/= (/) )
16	6, 7, 14, 15	4syl 19	. . . . 5 |- ( ph -> A =/= (/) )
17		nnwo 11170	. . . . 5 |- ( ( A C_ NN /\ A =/= (/) ) -> E. k e. A A. z e. A k <_ z )
18	4, 16, 17	syl2anc 665	. . . 4 |- ( ph -> E. k e. A A. z e. A k <_ z )
19		df-rex 2715	. . . 4 |- ( E. k e. A A. z e. A k <_ z <-> E. k ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) )
20	18, 19	sylib 199	. . 3 |- ( ph -> E. k ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) )
21	8, 1	elrab2 3168	. . . . . . . 8 |- ( k e. A <-> ( k e. NN /\ ( 1 / D ) < k ) )
22	21	simplbi 461	. . . . . . 7 |- ( k e. A -> k e. NN )
23	22	ad2antrl 732	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) -> k e. NN )
24		simpl 458	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) -> ph )
25		simprl 762	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) -> k e. A )
26		simprr 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) -> A. z e. A k <_ z )
27		nfcv 2564	. . . . . . . . 9 |- F/_ z A
28		nfrab1 2943	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j { j e. NN | ( 1 / D ) < j }
29	1, 28	nfcxfr 2562	. . . . . . . . 9 |- F/_ j A
30		nfv 1755	. . . . . . . . 9 |- F/ j k <_ z
31		nfv 1755	. . . . . . . . 9 |- F/ z k <_ j
32		breq2 4365	. . . . . . . . 9 |- ( z = j -> ( k <_ z <-> k <_ j ) )
33	27, 29, 30, 31, 32	cbvralf 2985	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A k <_ z <-> A. j e. A k <_ j )
34	26, 33	sylib 199	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) -> A. j e. A k <_ j )
35	21	simprbi 465	. . . . . . . . 9 |- ( k e. A -> ( 1 / D ) < k )
36	35	ad2antrl 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. j e. A k <_ j ) ) -> ( 1 / D ) < k )
37	22	ad2antrl 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. j e. A k <_ j ) ) -> k e. NN )
38		1red 9604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 1 e. RR )
39		nnre 10562	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k e. RR )
40	39	adantl 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. RR )
41	5	rpregt0d 11293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( D e. RR /\ 0 < D ) )
42	41	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( D e. RR /\ 0 < D ) )
43		ltdivmul2 10428	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ k e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 < D ) ) -> ( ( 1 / D ) < k <-> 1 < ( k x. D ) ) )
44	38, 40, 42, 43	syl3anc 1264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / D ) < k <-> 1 < ( k x. D ) ) )
45	37, 44	syldan 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. j e. A k <_ j ) ) -> ( ( 1 / D ) < k <-> 1 < ( k x. D ) ) )
46	36, 45	mpbid 213	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. j e. A k <_ j ) ) -> 1 < ( k x. D ) )
47	24, 25, 34, 46	syl12anc 1262	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) -> 1 < ( k x. D ) )
48		oveq1 6251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 1 -> ( k x. D ) = ( 1 x. D ) )
49	48	adantl 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( k x. D ) = ( 1 x. D ) )
50	5	rpcnd 11289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D e. CC )
51	50	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> D e. CC )
52	51	mulid2d 9607	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( 1 x. D ) = D )
53	49, 52	eqtrd 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( k x. D ) = D )
54	53	oveq1d 6259	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) = ( D / 2 ) )
55	5	rpred 11287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D e. RR )
56	55	rehalfcld 10805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( D / 2 ) e. RR )
57		halfre 10774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 2 ) e. RR
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
59		1red 9604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. RR )
60		stoweidlem14.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D < 1 )
61		2re 10625	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 e. RR )
63		2pos 10647	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < 2
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < 2 )
65		ltdiv1 10415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( D < 1 <-> ( D / 2 ) < ( 1 / 2 ) ) )
66	55, 59, 62, 64, 65	syl112anc 1268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( D < 1 <-> ( D / 2 ) < ( 1 / 2 ) ) )
67	60, 66	mpbid 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( D / 2 ) < ( 1 / 2 ) )
68		halflt1 10777	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 2 ) < 1
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) < 1 )
70	56, 58, 59, 67, 69	lttrd 9742	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( D / 2 ) < 1 )
71	70	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( D / 2 ) < 1 )
72	54, 71	eqbrtrd 4382	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 )
73	72	adantlr 719	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ k = 1 ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 )
74		simpll 758	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> ph )
75		simplrl 768	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> k e. A )
76	75, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> k e. NN )
77		neqne 37290	. . . . . . . . . 10 |- ( -. k = 1 -> k =/= 1 )
78	77	adantl 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> k =/= 1 )
79		eluz2b3 11178	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( k e. NN /\ k =/= 1 ) )
80	76, 78, 79	sylanbrc 668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
81		peano2rem 9887	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. RR -> ( k - 1 ) e. RR )
82	75, 22, 39, 81	4syl 19	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> ( k - 1 ) e. RR )
83	55	ad2antrr 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> D e. RR )
84	5	rpne0d 11292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D =/= 0 )
85	84	ad2antrr 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> D =/= 0 )
86	83, 85	rereccld 10380	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> ( 1 / D ) e. RR )
87		1zzd 10914	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> 1 e. ZZ )
88		df-2 10614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 = ( 1 + 1 )
89	88	fveq2i 5823	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
90	89	eleq2i 2493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> k e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
91		eluzsub 11134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
92	90, 91	syl3an3b 1302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
93		nnuz 11140	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
94	92, 93	syl6eleqr 2512	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( k - 1 ) e. NN )
95	87, 87, 80, 94	syl3anc 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> ( k - 1 ) e. NN )
96	22, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. A -> k e. RR )
97	96	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( k - 1 ) e. A /\ k e. A ) -> k e. RR )
98	97, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( k - 1 ) e. A /\ k e. A ) -> ( k - 1 ) e. RR )
99		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( k - 1 ) e. RR /\ k e. RR ) -> k e. RR )
100	99	ltm1d 10485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( k - 1 ) e. RR /\ k e. RR ) -> ( k - 1 ) < k )
101		ltnle 9659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( k - 1 ) e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( k - 1 ) < k <-> -. k <_ ( k - 1 ) ) )
102	100, 101	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( k - 1 ) e. RR /\ k e. RR ) -> -. k <_ ( k - 1 ) )
103	98, 97, 102	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( k - 1 ) e. A /\ k e. A ) -> -. k <_ ( k - 1 ) )
104		breq2 4365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = ( k - 1 ) -> ( k <_ z <-> k <_ ( k - 1 ) ) )
105	104	notbid 295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = ( k - 1 ) -> ( -. k <_ z <-> -. k <_ ( k - 1 ) ) )
106	105	rspcev 3120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( k - 1 ) e. A /\ -. k <_ ( k - 1 ) ) -> E. z e. A -. k <_ z )
107	103, 106	syldan 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( k - 1 ) e. A /\ k e. A ) -> E. z e. A -. k <_ z )
108		rexnal 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. z e. A -. k <_ z <-> -. A. z e. A k <_ z )
109	107, 108	sylib 199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k - 1 ) e. A /\ k e. A ) -> -. A. z e. A k <_ z )
110	109	ex 435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k - 1 ) e. A -> ( k e. A -> -. A. z e. A k <_ z ) )
111		imnan 423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. A -> -. A. z e. A k <_ z ) <-> -. ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) )
112	110, 111	sylib 199	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k - 1 ) e. A -> -. ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) )
113	112	con2i 123	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) -> -. ( k - 1 ) e. A )
114	113	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> -. ( k - 1 ) e. A )
115		breq2 4365	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = ( k - 1 ) -> ( ( 1 / D ) < j <-> ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) )
116	115, 1	elrab2 3168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k - 1 ) e. A <-> ( ( k - 1 ) e. NN /\ ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) )
117	114, 116	sylnib 305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> -. ( ( k - 1 ) e. NN /\ ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) )
118		ianor 490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( ( k - 1 ) e. NN /\ ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) <-> ( -. ( k - 1 ) e. NN \/ -. ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) )
119	117, 118	sylib 199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> ( -. ( k - 1 ) e. NN \/ -. ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) )
120		imor 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k - 1 ) e. NN -> -. ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) <-> ( -. ( k - 1 ) e. NN \/ -. ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) )
121	119, 120	sylibr 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> ( ( k - 1 ) e. NN -> -. ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) )
122	95, 121	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> -. ( 1 / D ) < ( k - 1 ) )
123	82, 86, 122	nltled 9731	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) )
124		eluzelre 11115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> k e. RR )
125	124	adantl 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> k e. RR )
126	55	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> D e. RR )
127	125, 126	remulcld 9617	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( k x. D ) e. RR )
128	127	rehalfcld 10805	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) e. RR )
129	128	3adant3 1025	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) e. RR )
130	59, 55	readdcld 9616	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 + D ) e. RR )
131	130	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 1 + D ) e. RR )
132	131	rehalfcld 10805	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 1 + D ) / 2 ) e. RR )
133	132	3adant3 1025	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( 1 + D ) / 2 ) e. RR )
134		1red 9604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> 1 e. RR )
135		eluzelcn 11116	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> k e. CC )
136	135	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> k e. CC )
137	50	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> D e. CC )
138	136, 137	mulcld 9609	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( k x. D ) e. CC )
139	138	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( k x. D ) e. CC )
140	50	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> D e. CC )
141	139, 140	npcand 9936	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( ( k x. D ) - D ) + D ) = ( k x. D ) )
142	127, 126	resubcld 9993	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( k x. D ) - D ) e. RR )
143	142	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k x. D ) - D ) e. RR )
144	55	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> D e. RR )
145		simp3 1007	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) )
146		1red 9604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 e. RR )
147	124, 146	resubcld 9993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( k - 1 ) e. RR )
148	147	3ad2ant2 1027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( k - 1 ) e. RR )
149	6	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( 1 / D ) e. RR )
150	41	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( D e. RR /\ 0 < D ) )
151		lemul1 10403	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k - 1 ) e. RR /\ ( 1 / D ) e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 < D ) ) -> ( ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) <-> ( ( k - 1 ) x. D ) <_ ( ( 1 / D ) x. D ) ) )
152	148, 149, 150, 151	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) <-> ( ( k - 1 ) x. D ) <_ ( ( 1 / D ) x. D ) ) )
153	145, 152	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k - 1 ) x. D ) <_ ( ( 1 / D ) x. D ) )
154		1cnd 9605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 e. CC )
155	136, 154, 137	subdird 10021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( k - 1 ) x. D ) = ( ( k x. D ) - ( 1 x. D ) ) )
156	137	mulid2d 9607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 1 x. D ) = D )
157	156	oveq2d 6260	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( k x. D ) - ( 1 x. D ) ) = ( ( k x. D ) - D ) )
158	155, 157	eqtrd 2457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( k - 1 ) x. D ) = ( ( k x. D ) - D ) )
159	158	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k - 1 ) x. D ) = ( ( k x. D ) - D ) )
160		1cnd 9605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 1 e. CC )
161	160, 50, 84	3jca 1185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 e. CC /\ D e. CC /\ D =/= 0 ) )
162	161	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( 1 e. CC /\ D e. CC /\ D =/= 0 ) )
163		divcan1 10225	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. CC /\ D e. CC /\ D =/= 0 ) -> ( ( 1 / D ) x. D ) = 1 )
164	162, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( 1 / D ) x. D ) = 1 )
165	153, 159, 164	3brtr3d 4391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k x. D ) - D ) <_ 1 )
166	143, 134, 144, 165	leadd1dd 10173	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( ( k x. D ) - D ) + D ) <_ ( 1 + D ) )
167	141, 166	eqbrtrrd 4384	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( k x. D ) <_ ( 1 + D ) )
168	127	3adant3 1025	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( k x. D ) e. RR )
169	130	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( 1 + D ) e. RR )
170	61, 63	pm3.2i 456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
171	170	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
172		lediv1 10416	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k x. D ) e. RR /\ ( 1 + D ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( k x. D ) <_ ( 1 + D ) <-> ( ( k x. D ) / 2 ) <_ ( ( 1 + D ) / 2 ) ) )
173	168, 169, 171, 172	syl3anc 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k x. D ) <_ ( 1 + D ) <-> ( ( k x. D ) / 2 ) <_ ( ( 1 + D ) / 2 ) ) )
174	167, 173	mpbid 213	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) <_ ( ( 1 + D ) / 2 ) )
175	55, 59, 59, 60	ltadd2dd 9740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 + D ) < ( 1 + 1 ) )
176		1p1e2 10669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 + 1 ) = 2
177	175, 176	syl6breq 4401	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 + D ) < 2 )
178		ltdiv1 10415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 + D ) e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 1 + D ) < 2 <-> ( ( 1 + D ) / 2 ) < ( 2 / 2 ) ) )
179	130, 62, 62, 64, 178	syl112anc 1268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 1 + D ) < 2 <-> ( ( 1 + D ) / 2 ) < ( 2 / 2 ) ) )
180	177, 179	mpbid 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 + D ) / 2 ) < ( 2 / 2 ) )
181		2div2e1 10678	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 / 2 ) = 1
182	180, 181	syl6breq 4401	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 + D ) / 2 ) < 1 )
183	182	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( 1 + D ) / 2 ) < 1 )
184	129, 133, 134, 174, 183	lelttrd 9739	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 )
185	74, 80, 123, 184	syl3anc 1264	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 )
186	73, 185	pm2.61dan 798	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 )
187	23, 47, 186	jca32 537	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) -> ( k e. NN /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) )
188	187	ex 435	. . . 4 |- ( ph -> ( ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) -> ( k e. NN /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) ) )
189	188	eximdv 1758	. . 3 |- ( ph -> ( E. k ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) -> E. k ( k e. NN /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) ) )
190	20, 189	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. k ( k e. NN /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) )
191		df-rex 2715	. 2 |- ( E. k e. NN ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) <-> E. k ( k e. NN /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) )
192	190, 191	sylibr 215	1 |- ( ph -> E. k e. NN ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   E.wex 1657   e. wcel 1872   =/= wne 2594   A.wral 2709   E.wrex 2710   {crab 2713   C_ wss 3374   (/)c0 3699   class class class wbr 4361   ` cfv 5539  (class class class)co 6244   CCcc 9483   RRcr 9484   0cc0 9485   1c1 9486   + caddc 9488   x. cmul 9490   < clt 9621   <_ cle 9622   - cmin 9806   / cdiv 10215   NNcn 10555   2c2 10605   ZZcz 10883   ZZ>=cuz 11105   RR+crp 11248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562  ax-pre-sup 9563

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-om 6646  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10216  df-nn 10556  df-2 10614  df-n0 10816  df-z 10884  df-uz 11106  df-rp 11249

This theorem is referenced by:  stoweidlem49  37793