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Theorem stoweidlem14 27424
Description: There exists a  k as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90:  k is an integer and 1 < k * δ < 2.  D is used to represent δ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem14.1  |-  A  =  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j }
stoweidlem14.2  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem14.3  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem14  |-  ( ph  ->  E. k  e.  NN  ( 1  <  (
k  x.  D )  /\  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <  1
) )
Distinct variable groups:    j, k, D    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( j)    A( j)

Proof of Theorem stoweidlem14
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem14.1 . . . . . 6  |-  A  =  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j }
2 ssrab2 3364 . . . . . . 7  |-  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j }  C_  NN
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j }  C_  NN )
41, 3syl5eqss 3328 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
5 stoweidlem14.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
65rprecred 10584 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  D
)  e.  RR )
7 arch 10143 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  D )  e.  RR  ->  E. k  e.  NN  ( 1  /  D )  <  k
)
8 breq2 4150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  (
( 1  /  D
)  <  j  <->  ( 1  /  D )  < 
k ) )
98elrab 3028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  < 
j }  <->  ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  D )  < 
k ) )
109biimpri 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  D
)  <  k )  ->  k  e.  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j } )
1110, 1syl6eleqr 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  D
)  <  k )  ->  k  e.  A )
12 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  D
)  <  k )  ->  ( 1  /  D
)  <  k )
1311, 12jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  D
)  <  k )  ->  ( k  e.  A  /\  ( 1  /  D
)  <  k )
)
1413reximi2 2748 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  NN  (
1  /  D )  <  k  ->  E. k  e.  A  ( 1  /  D )  < 
k )
15 rexn0 3666 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  A  ( 1  /  D )  <  k  ->  A  =/=  (/) )
167, 14, 153syl 19 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  D )  e.  RR  ->  A  =/=  (/) )
176, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
18 nnwo 10467 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. k  e.  A  A. z  e.  A  k  <_  z )
194, 17, 18syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. k  e.  A  A. z  e.  A  k  <_  z )
20 df-rex 2648 . . . 4  |-  ( E. k  e.  A  A. z  e.  A  k  <_  z  <->  E. k ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )
2119, 20sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  E. k ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )
228, 1elrab2 3030 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  A  <->  ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  D )  < 
k ) )
2322simplbi 447 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  ->  k  e.  NN )
2423ad2antrl 709 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  k  e.  NN )
25 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  ph )
26 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  k  e.  A )
27 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  A. z  e.  A  k  <_  z )
28 nfcv 2516 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z A
29 nfrab1 2824 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j }
301, 29nfcxfr 2513 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j A
31 nfv 1626 . . . . . . . . 9  |-  F/ j  k  <_  z
32 nfv 1626 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  k  <_  j
33 breq2 4150 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  j  ->  (
k  <_  z  <->  k  <_  j ) )
3428, 30, 31, 32, 33cbvralf 2862 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  A  k  <_  z  <->  A. j  e.  A  k  <_  j )
3527, 34sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  A. j  e.  A  k  <_  j )
3622simprbi 451 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  A  ->  (
1  /  D )  <  k )
3736ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. j  e.  A  k  <_  j ) )  ->  (
1  /  D )  <  k )
3823ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. j  e.  A  k  <_  j ) )  ->  k  e.  NN )
39 1re 9016 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
41 nnre 9932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
4241adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
435rpregt0d 10579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  e.  RR  /\  0  <  D ) )
4443adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( D  e.  RR  /\  0  <  D ) )
45 ltdivmul2 9810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <  D ) )  -> 
( ( 1  /  D )  <  k  <->  1  <  ( k  x.  D ) ) )
4640, 42, 44, 45syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  D )  <  k  <->  1  <  ( k  x.  D ) ) )
4738, 46syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. j  e.  A  k  <_  j ) )  ->  (
( 1  /  D
)  <  k  <->  1  <  ( k  x.  D ) ) )
4837, 47mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. j  e.  A  k  <_  j ) )  ->  1  <  ( k  x.  D
) )
4925, 26, 35, 48syl12anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  1  <  ( k  x.  D
) )
50 oveq1 6020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
k  x.  D )  =  ( 1  x.  D ) )
5150adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
k  x.  D )  =  ( 1  x.  D ) )
525rpcnd 10575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
5352adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  D  e.  CC )
5453mulid2d 9032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
1  x.  D )  =  D )
5551, 54eqtrd 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
k  x.  D )  =  D )
5655oveq1d 6028 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
( k  x.  D
)  /  2 )  =  ( D  / 
2 ) )
575rpred 10573 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
5857rehalfcld 10139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  e.  RR )
5939rehalfcli 10141 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
6059a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
6139a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
62 stoweidlem14.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
63 2re 9994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
65 2pos 10007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  2
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
67 ltdiv1 9799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( D  <  1  <->  ( D  / 
2 )  <  (
1  /  2 ) ) )
6857, 61, 64, 66, 67syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( D  <  1  <->  ( D  /  2 )  <  ( 1  / 
2 ) ) )
6962, 68mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  <  ( 1  /  2 ) )
70 halflt1 10114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  <  1
7170a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  <  1 )
7258, 60, 61, 69, 71lttrd 9156 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  <  1 )
7372adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( D  /  2 )  <  1 )
7456, 73eqbrtrd 4166 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 )
7574adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  k  =  1 )  ->  ( (
k  x.  D )  /  2 )  <  1 )
76 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  ph )
77 simplrl 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  k  e.  A )
7877, 23syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  k  e.  NN )
79 df-ne 2545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =/=  1  <->  -.  k  =  1 )
8079biimpri 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  =  1  -> 
k  =/=  1 )
8180adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  k  =/=  1 )
82 eluz2b3 10474 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( k  e.  NN  /\  k  =/=  1 ) )
8378, 81, 82sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
84 1z 10236 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
8584a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  1  e.  ZZ )
86 df-2 9983 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =  ( 1  +  1 )
8786fveq2i 5664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
8887eleq2i 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  k  e.  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
89 eluzsub 10440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  ->  ( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
9088, 89syl3an3b 1222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
91 nnuz 10446 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
9290, 91syl6eleqr 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( k  -  1 )  e.  NN )
9385, 85, 83, 92syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
k  -  1 )  e.  NN )
9423, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  A  ->  k  e.  RR )
9594adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  RR )
96 peano2rem 9292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  -  1 )  e.  RR )
9795, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  ( k  -  1 )  e.  RR )
98 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  k  e.  RR )
9998ltm1d 9868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( k  -  1 )  <  k )
100 ltnle 9081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( ( k  - 
1 )  <  k  <->  -.  k  <_  ( k  -  1 ) ) )
10199, 100mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  -.  k  <_  (
k  -  1 ) )
10297, 95, 101syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  <_  (
k  -  1 ) )
103 breq2 4150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( k  - 
1 )  ->  (
k  <_  z  <->  k  <_  ( k  -  1 ) ) )
104103notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( k  - 
1 )  ->  ( -.  k  <_  z  <->  -.  k  <_  ( k  -  1 ) ) )
105104rspcev 2988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  -.  k  <_  ( k  -  1 ) )  ->  E. z  e.  A  -.  k  <_  z )
106102, 105syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  E. z  e.  A  -.  k  <_  z )
107 rexnal 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. z  e.  A  -.  k  <_  z  <->  -.  A. z  e.  A  k  <_  z )
108106, 107sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  -.  A. z  e.  A  k  <_  z
)
109108ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  -  1 )  e.  A  ->  (
k  e.  A  ->  -.  A. z  e.  A  k  <_  z ) )
110 imnan 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  A  ->  -.  A. z  e.  A  k  <_  z )  <->  -.  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )
111109, 110sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  -  1 )  e.  A  ->  -.  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )
112111con2i 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z )  ->  -.  ( k  -  1 )  e.  A )
113112ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  -.  ( k  -  1 )  e.  A )
114 breq2 4150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( 1  /  D
)  <  j  <->  ( 1  /  D )  < 
( k  -  1 ) ) )
115114, 1elrab2 3030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  -  1 )  e.  A  <->  ( (
k  -  1 )  e.  NN  /\  (
1  /  D )  <  ( k  - 
1 ) ) )
116113, 115sylnib 296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  -.  ( ( k  - 
1 )  e.  NN  /\  ( 1  /  D
)  <  ( k  -  1 ) ) )
117 ianor 475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( k  - 
1 )  e.  NN  /\  ( 1  /  D
)  <  ( k  -  1 ) )  <-> 
( -.  ( k  -  1 )  e.  NN  \/  -.  (
1  /  D )  <  ( k  - 
1 ) ) )
118116, 117sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  ( -.  ( k  -  1 )  e.  NN  \/  -.  ( 1  /  D
)  <  ( k  -  1 ) ) )
119 imor 402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  NN  ->  -.  ( 1  /  D
)  <  ( k  -  1 ) )  <-> 
( -.  ( k  -  1 )  e.  NN  \/  -.  (
1  /  D )  <  ( k  - 
1 ) ) )
120118, 119sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
( k  -  1 )  e.  NN  ->  -.  ( 1  /  D
)  <  ( k  -  1 ) ) )
12193, 120mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  -.  ( 1  /  D
)  <  ( k  -  1 ) )
12277, 94, 963syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
k  -  1 )  e.  RR )
12357ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  D  e.  RR )
1245rpne0d 10578 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  =/=  0 )
125124ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  D  =/=  0 )
126123, 125rereccld 9766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
1  /  D )  e.  RR )
127122, 126lenltd 9144 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D )  <->  -.  (
1  /  D )  <  ( k  - 
1 ) ) )
128121, 127mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )
129 eluzelre 10422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  k  e.  RR )
130129adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  k  e.  RR )
13157adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  D  e.  RR )
132130, 131remulcld 9042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( k  x.  D )  e.  RR )
133132rehalfcld 10139 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
k  x.  D )  /  2 )  e.  RR )
1341333adant3 977 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  e.  RR )
13561, 57readdcld 9041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  +  D
)  e.  RR )
136135adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 1  +  D )  e.  RR )
137136rehalfcld 10139 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
1  +  D )  /  2 )  e.  RR )
1381373adant3 977 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( 1  +  D )  / 
2 )  e.  RR )
13939a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  1  e.  RR )
140 eluzelcn 27385 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  k  e.  CC )
141140adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  k  e.  CC )
14252adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  D  e.  CC )
143141, 142mulcld 9034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( k  x.  D )  e.  CC )
1441433adant3 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( k  x.  D )  e.  CC )
145523ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  D  e.  CC )
146144, 145npcand 9340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( ( k  x.  D )  -  D )  +  D )  =  ( k  x.  D ) )
147132, 131resubcld 9390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
k  x.  D )  -  D )  e.  RR )
1481473adant3 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  x.  D )  -  D )  e.  RR )
149573ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  D  e.  RR )
150 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( k  - 
1 )  <_  (
1  /  D ) )
15139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  RR )
152129, 151resubcld 9390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( k  -  1 )  e.  RR )
1531523ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( k  - 
1 )  e.  RR )
15463ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( 1  /  D )  e.  RR )
155433ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( D  e.  RR  /\  0  < 
D ) )
156 lemul1 9787 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  RR  /\  ( 1  /  D
)  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <  D ) )  ->  ( (
k  -  1 )  <_  ( 1  /  D )  <->  ( (
k  -  1 )  x.  D )  <_ 
( ( 1  /  D )  x.  D
) ) )
157153, 154, 155, 156syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  -  1 )  <_ 
( 1  /  D
)  <->  ( ( k  -  1 )  x.  D )  <_  (
( 1  /  D
)  x.  D ) ) )
158150, 157mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  -  1 )  x.  D )  <_  (
( 1  /  D
)  x.  D ) )
159 ax-1cn 8974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
160159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  e.  CC )
161141, 160, 142subdird 9415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
k  -  1 )  x.  D )  =  ( ( k  x.  D )  -  (
1  x.  D ) ) )
162142mulid2d 9032 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 1  x.  D )  =  D )
163162oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
k  x.  D )  -  ( 1  x.  D ) )  =  ( ( k  x.  D )  -  D
) )
164161, 163eqtrd 2412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
k  -  1 )  x.  D )  =  ( ( k  x.  D )  -  D
) )
1651643adant3 977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  -  1 )  x.  D )  =  ( ( k  x.  D
)  -  D ) )
166159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
167166, 52, 1243jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  CC  /\  D  e.  CC  /\  D  =/=  0 ) )
1681673ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( 1  e.  CC  /\  D  e.  CC  /\  D  =/=  0 ) )
169 divcan1 9612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  D  e.  CC  /\  D  =/=  0 )  ->  (
( 1  /  D
)  x.  D )  =  1 )
170168, 169syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( 1  /  D )  x.  D )  =  1 )
171158, 165, 1703brtr3d 4175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  x.  D )  -  D )  <_  1
)
172148, 139, 149, 171leadd1dd 9565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( ( k  x.  D )  -  D )  +  D )  <_  (
1  +  D ) )
173146, 172eqbrtrrd 4168 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( k  x.  D )  <_  (
1  +  D ) )
1741323adant3 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( k  x.  D )  e.  RR )
1751353ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( 1  +  D )  e.  RR )
17663, 65pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
177176a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
178 lediv1 9800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  x.  D
)  e.  RR  /\  ( 1  +  D
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
k  x.  D )  <_  ( 1  +  D )  <->  ( (
k  x.  D )  /  2 )  <_ 
( ( 1  +  D )  /  2
) ) )
179174, 175, 177, 178syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  x.  D )  <_ 
( 1  +  D
)  <->  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <_  (
( 1  +  D
)  /  2 ) ) )
180173, 179mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <_  (
( 1  +  D
)  /  2 ) )
18157, 61, 61, 62ltadd2dd 9154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  +  D
)  <  ( 1  +  1 ) )
182 1p1e2 10019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  +  1 )  =  2
183181, 182syl6breq 4185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  +  D
)  <  2 )
184 ltdiv1 9799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  +  D
)  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 1  +  D )  <  2  <->  ( ( 1  +  D )  / 
2 )  <  (
2  /  2 ) ) )
185135, 64, 64, 66, 184syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  D )  <  2  <->  ( ( 1  +  D
)  /  2 )  <  ( 2  / 
2 ) ) )
186183, 185mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  D )  /  2
)  <  ( 2  /  2 ) )
187 2cn 9995 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
188 2ne0 10008 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
189187, 188dividi 9672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  /  2 )  =  1
190186, 189syl6breq 4185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  D )  /  2
)  <  1 )
1911903ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( 1  +  D )  / 
2 )  <  1
)
192134, 138, 139, 180, 191lelttrd 9153 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <  1
)
19376, 83, 128, 192syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 )
19475, 193pm2.61dan 767 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 )
19524, 49, 194jca32 522 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  (
k  e.  NN  /\  ( 1  <  (
k  x.  D )  /\  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <  1
) ) )
196195ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z )  ->  ( k  e.  NN  /\  ( 1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) ) ) )
197196eximdv 1629 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. k ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z )  ->  E. k ( k  e.  NN  /\  ( 1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) ) ) )
19821, 197mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. k ( k  e.  NN  /\  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
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199 df-rex 2648 . 2  |-  ( E. k  e.  NN  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 )  <->  E. k
( k  e.  NN  /\  ( 1  <  (
k  x.  D )  /\  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <  1
) ) )
200198, 199sylibr 204 1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  NN  ( 1  <  (
k  x.  D )  /\  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <  1
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   A.wral 2642   E.wrex 2643   {crab 2646    C_ wss 3256   (/)c0 3564   class class class wbr 4146   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919    x. cmul 8921    < clt 9046    <_ cle 9047    - cmin 9216    / cdiv 9602   NNcn 9925   2c2 9974   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413   RR+crp 10537
This theorem is referenced by:  stoweidlem49  27459
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538
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