Theorem stoweidlem14 37164

Description: There exists a k as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: k is an integer and 1 < k * δ < 2. D is used to represent δ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem14.1	|- A = { j e. NN | ( 1 / D ) < j }
stoweidlem14.2	|- ( ph -> D e. RR+ )
stoweidlem14.3	|- ( ph -> D < 1 )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem14	|- ( ph -> E. k e. NN ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) )

Distinct variable groups:   j, k, D   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( j)   A( j)

Proof of Theorem stoweidlem14

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem14.1	. . . . . 6 |- A = { j e. NN | ( 1 / D ) < j }
2		ssrab2 3524	. . . . . . 7 |- { j e. NN | ( 1 / D ) < j } C_ NN
3	2	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> { j e. NN | ( 1 / D ) < j } C_ NN )
4	1, 3	syl5eqss 3486	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ NN )
5		stoweidlem14.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. RR+ )
6	5	rprecred 11315	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / D ) e. RR )
7		arch 10833	. . . . . 6 |- ( ( 1 / D ) e. RR -> E. k e. NN ( 1 / D ) < k )
8		breq2 4399	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( ( 1 / D ) < j <-> ( 1 / D ) < k ) )
9	8	elrab 3207	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. { j e. NN | ( 1 / D ) < j } <-> ( k e. NN /\ ( 1 / D ) < k ) )
10	9	biimpri 206	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( 1 / D ) < k ) -> k e. { j e. NN | ( 1 / D ) < j } )
11	10, 1	syl6eleqr 2501	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ ( 1 / D ) < k ) -> k e. A )
12		simpr 459	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ ( 1 / D ) < k ) -> ( 1 / D ) < k )
13	11, 12	jca 530	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ ( 1 / D ) < k ) -> ( k e. A /\ ( 1 / D ) < k ) )
14	13	reximi2 2871	. . . . . 6 |- ( E. k e. NN ( 1 / D ) < k -> E. k e. A ( 1 / D ) < k )
15		rexn0 3876	. . . . . 6 |- ( E. k e. A ( 1 / D ) < k -> A =/= (/) )
16	6, 7, 14, 15	4syl 19	. . . . 5 |- ( ph -> A =/= (/) )
17		nnwo 11192	. . . . 5 |- ( ( A C_ NN /\ A =/= (/) ) -> E. k e. A A. z e. A k <_ z )
18	4, 16, 17	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ph -> E. k e. A A. z e. A k <_ z )
19		df-rex 2760	. . . 4 |- ( E. k e. A A. z e. A k <_ z <-> E. k ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) )
20	18, 19	sylib 196	. . 3 |- ( ph -> E. k ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) )
21	8, 1	elrab2 3209	. . . . . . . 8 |- ( k e. A <-> ( k e. NN /\ ( 1 / D ) < k ) )
22	21	simplbi 458	. . . . . . 7 |- ( k e. A -> k e. NN )
23	22	ad2antrl 726	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) -> k e. NN )
24		simpl 455	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) -> ph )
25		simprl 756	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) -> k e. A )
26		simprr 758	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) -> A. z e. A k <_ z )
27		nfcv 2564	. . . . . . . . 9 |- F/_ z A
28		nfrab1 2988	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j { j e. NN | ( 1 / D ) < j }
29	1, 28	nfcxfr 2562	. . . . . . . . 9 |- F/_ j A
30		nfv 1728	. . . . . . . . 9 |- F/ j k <_ z
31		nfv 1728	. . . . . . . . 9 |- F/ z k <_ j
32		breq2 4399	. . . . . . . . 9 |- ( z = j -> ( k <_ z <-> k <_ j ) )
33	27, 29, 30, 31, 32	cbvralf 3028	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A k <_ z <-> A. j e. A k <_ j )
34	26, 33	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) -> A. j e. A k <_ j )
35	21	simprbi 462	. . . . . . . . 9 |- ( k e. A -> ( 1 / D ) < k )
36	35	ad2antrl 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. j e. A k <_ j ) ) -> ( 1 / D ) < k )
37	22	ad2antrl 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. j e. A k <_ j ) ) -> k e. NN )
38		1red 9641	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 1 e. RR )
39		nnre 10583	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k e. RR )
40	39	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. RR )
41	5	rpregt0d 11310	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( D e. RR /\ 0 < D ) )
42	41	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( D e. RR /\ 0 < D ) )
43		ltdivmul2 10460	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ k e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 < D ) ) -> ( ( 1 / D ) < k <-> 1 < ( k x. D ) ) )
44	38, 40, 42, 43	syl3anc 1230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / D ) < k <-> 1 < ( k x. D ) ) )
45	37, 44	syldan 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. j e. A k <_ j ) ) -> ( ( 1 / D ) < k <-> 1 < ( k x. D ) ) )
46	36, 45	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. j e. A k <_ j ) ) -> 1 < ( k x. D ) )
47	24, 25, 34, 46	syl12anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) -> 1 < ( k x. D ) )
48		oveq1 6285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 1 -> ( k x. D ) = ( 1 x. D ) )
49	48	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( k x. D ) = ( 1 x. D ) )
50	5	rpcnd 11306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D e. CC )
51	50	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> D e. CC )
52	51	mulid2d 9644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( 1 x. D ) = D )
53	49, 52	eqtrd 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( k x. D ) = D )
54	53	oveq1d 6293	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) = ( D / 2 ) )
55	5	rpred 11304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D e. RR )
56	55	rehalfcld 10826	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( D / 2 ) e. RR )
57		halfre 10795	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 2 ) e. RR
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
59		1red 9641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. RR )
60		stoweidlem14.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D < 1 )
61		2re 10646	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 e. RR )
63		2pos 10668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < 2
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < 2 )
65		ltdiv1 10447	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( D < 1 <-> ( D / 2 ) < ( 1 / 2 ) ) )
66	55, 59, 62, 64, 65	syl112anc 1234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( D < 1 <-> ( D / 2 ) < ( 1 / 2 ) ) )
67	60, 66	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( D / 2 ) < ( 1 / 2 ) )
68		halflt1 10798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 2 ) < 1
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) < 1 )
70	56, 58, 59, 67, 69	lttrd 9777	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( D / 2 ) < 1 )
71	70	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( D / 2 ) < 1 )
72	54, 71	eqbrtrd 4415	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 )
73	72	adantlr 713	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ k = 1 ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 )
74		simpll 752	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> ph )
75		simplrl 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> k e. A )
76	75, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> k e. NN )
77		neqne 36810	. . . . . . . . . 10 |- ( -. k = 1 -> k =/= 1 )
78	77	adantl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> k =/= 1 )
79		eluz2b3 11200	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( k e. NN /\ k =/= 1 ) )
80	76, 78, 79	sylanbrc 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
81		peano2rem 9922	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. RR -> ( k - 1 ) e. RR )
82	75, 22, 39, 81	4syl 19	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> ( k - 1 ) e. RR )
83	55	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> D e. RR )
84	5	rpne0d 11309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D =/= 0 )
85	84	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> D =/= 0 )
86	83, 85	rereccld 10412	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> ( 1 / D ) e. RR )
87		1zzd 10936	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> 1 e. ZZ )
88		df-2 10635	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 = ( 1 + 1 )
89	88	fveq2i 5852	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
90	89	eleq2i 2480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> k e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
91		eluzsub 11156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
92	90, 91	syl3an3b 1268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
93		nnuz 11162	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
94	92, 93	syl6eleqr 2501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( k - 1 ) e. NN )
95	87, 87, 80, 94	syl3anc 1230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> ( k - 1 ) e. NN )
96	22, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. A -> k e. RR )
97	96	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( k - 1 ) e. A /\ k e. A ) -> k e. RR )
98	97, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( k - 1 ) e. A /\ k e. A ) -> ( k - 1 ) e. RR )
99		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( k - 1 ) e. RR /\ k e. RR ) -> k e. RR )
100	99	ltm1d 10518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( k - 1 ) e. RR /\ k e. RR ) -> ( k - 1 ) < k )
101		ltnle 9695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( k - 1 ) e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( k - 1 ) < k <-> -. k <_ ( k - 1 ) ) )
102	100, 101	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( k - 1 ) e. RR /\ k e. RR ) -> -. k <_ ( k - 1 ) )
103	98, 97, 102	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( k - 1 ) e. A /\ k e. A ) -> -. k <_ ( k - 1 ) )
104		breq2 4399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = ( k - 1 ) -> ( k <_ z <-> k <_ ( k - 1 ) ) )
105	104	notbid 292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = ( k - 1 ) -> ( -. k <_ z <-> -. k <_ ( k - 1 ) ) )
106	105	rspcev 3160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( k - 1 ) e. A /\ -. k <_ ( k - 1 ) ) -> E. z e. A -. k <_ z )
107	103, 106	syldan 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( k - 1 ) e. A /\ k e. A ) -> E. z e. A -. k <_ z )
108		rexnal 2852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. z e. A -. k <_ z <-> -. A. z e. A k <_ z )
109	107, 108	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k - 1 ) e. A /\ k e. A ) -> -. A. z e. A k <_ z )
110	109	ex 432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k - 1 ) e. A -> ( k e. A -> -. A. z e. A k <_ z ) )
111		imnan 420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. A -> -. A. z e. A k <_ z ) <-> -. ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) )
112	110, 111	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k - 1 ) e. A -> -. ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) )
113	112	con2i 120	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) -> -. ( k - 1 ) e. A )
114	113	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> -. ( k - 1 ) e. A )
115		breq2 4399	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = ( k - 1 ) -> ( ( 1 / D ) < j <-> ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) )
116	115, 1	elrab2 3209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k - 1 ) e. A <-> ( ( k - 1 ) e. NN /\ ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) )
117	114, 116	sylnib 302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> -. ( ( k - 1 ) e. NN /\ ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) )
118		ianor 486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( ( k - 1 ) e. NN /\ ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) <-> ( -. ( k - 1 ) e. NN \/ -. ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) )
119	117, 118	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> ( -. ( k - 1 ) e. NN \/ -. ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) )
120		imor 410	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k - 1 ) e. NN -> -. ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) <-> ( -. ( k - 1 ) e. NN \/ -. ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) )
121	119, 120	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> ( ( k - 1 ) e. NN -> -. ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) )
122	95, 121	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> -. ( 1 / D ) < ( k - 1 ) )
123	82, 86, 122	nltled 9767	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) )
124		eluzelre 11137	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> k e. RR )
125	124	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> k e. RR )
126	55	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> D e. RR )
127	125, 126	remulcld 9654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( k x. D ) e. RR )
128	127	rehalfcld 10826	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) e. RR )
129	128	3adant3 1017	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) e. RR )
130	59, 55	readdcld 9653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 + D ) e. RR )
131	130	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 1 + D ) e. RR )
132	131	rehalfcld 10826	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 1 + D ) / 2 ) e. RR )
133	132	3adant3 1017	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( 1 + D ) / 2 ) e. RR )
134		1red 9641	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> 1 e. RR )
135		eluzelcn 11138	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> k e. CC )
136	135	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> k e. CC )
137	50	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> D e. CC )
138	136, 137	mulcld 9646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( k x. D ) e. CC )
139	138	3adant3 1017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( k x. D ) e. CC )
140	50	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> D e. CC )
141	139, 140	npcand 9971	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( ( k x. D ) - D ) + D ) = ( k x. D ) )
142	127, 126	resubcld 10028	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( k x. D ) - D ) e. RR )
143	142	3adant3 1017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k x. D ) - D ) e. RR )
144	55	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> D e. RR )
145		simp3 999	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) )
146		1red 9641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 e. RR )
147	124, 146	resubcld 10028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( k - 1 ) e. RR )
148	147	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( k - 1 ) e. RR )
149	6	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( 1 / D ) e. RR )
150	41	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( D e. RR /\ 0 < D ) )
151		lemul1 10435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k - 1 ) e. RR /\ ( 1 / D ) e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 < D ) ) -> ( ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) <-> ( ( k - 1 ) x. D ) <_ ( ( 1 / D ) x. D ) ) )
152	148, 149, 150, 151	syl3anc 1230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) <-> ( ( k - 1 ) x. D ) <_ ( ( 1 / D ) x. D ) ) )
153	145, 152	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k - 1 ) x. D ) <_ ( ( 1 / D ) x. D ) )
154		1cnd 9642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 e. CC )
155	136, 154, 137	subdird 10054	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( k - 1 ) x. D ) = ( ( k x. D ) - ( 1 x. D ) ) )
156	137	mulid2d 9644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 1 x. D ) = D )
157	156	oveq2d 6294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( k x. D ) - ( 1 x. D ) ) = ( ( k x. D ) - D ) )
158	155, 157	eqtrd 2443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( k - 1 ) x. D ) = ( ( k x. D ) - D ) )
159	158	3adant3 1017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k - 1 ) x. D ) = ( ( k x. D ) - D ) )
160		1cnd 9642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 1 e. CC )
161	160, 50, 84	3jca 1177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 e. CC /\ D e. CC /\ D =/= 0 ) )
162	161	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( 1 e. CC /\ D e. CC /\ D =/= 0 ) )
163		divcan1 10257	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. CC /\ D e. CC /\ D =/= 0 ) -> ( ( 1 / D ) x. D ) = 1 )
164	162, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( 1 / D ) x. D ) = 1 )
165	153, 159, 164	3brtr3d 4424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k x. D ) - D ) <_ 1 )
166	143, 134, 144, 165	leadd1dd 10206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( ( k x. D ) - D ) + D ) <_ ( 1 + D ) )
167	141, 166	eqbrtrrd 4417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( k x. D ) <_ ( 1 + D ) )
168	127	3adant3 1017	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( k x. D ) e. RR )
169	130	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( 1 + D ) e. RR )
170	61, 63	pm3.2i 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
171	170	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
172		lediv1 10448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k x. D ) e. RR /\ ( 1 + D ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( k x. D ) <_ ( 1 + D ) <-> ( ( k x. D ) / 2 ) <_ ( ( 1 + D ) / 2 ) ) )
173	168, 169, 171, 172	syl3anc 1230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k x. D ) <_ ( 1 + D ) <-> ( ( k x. D ) / 2 ) <_ ( ( 1 + D ) / 2 ) ) )
174	167, 173	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) <_ ( ( 1 + D ) / 2 ) )
175	55, 59, 59, 60	ltadd2dd 9775	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 + D ) < ( 1 + 1 ) )
176		1p1e2 10690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 + 1 ) = 2
177	175, 176	syl6breq 4434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 + D ) < 2 )
178		ltdiv1 10447	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 + D ) e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 1 + D ) < 2 <-> ( ( 1 + D ) / 2 ) < ( 2 / 2 ) ) )
179	130, 62, 62, 64, 178	syl112anc 1234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 1 + D ) < 2 <-> ( ( 1 + D ) / 2 ) < ( 2 / 2 ) ) )
180	177, 179	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 + D ) / 2 ) < ( 2 / 2 ) )
181		2div2e1 10699	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 / 2 ) = 1
182	180, 181	syl6breq 4434	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 + D ) / 2 ) < 1 )
183	182	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( 1 + D ) / 2 ) < 1 )
184	129, 133, 134, 174, 183	lelttrd 9774	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 )
185	74, 80, 123, 184	syl3anc 1230	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 )
186	73, 185	pm2.61dan 792	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 )
187	23, 47, 186	jca32 533	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) -> ( k e. NN /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) )
188	187	ex 432	. . . 4 |- ( ph -> ( ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) -> ( k e. NN /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) ) )
189	188	eximdv 1731	. . 3 |- ( ph -> ( E. k ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) -> E. k ( k e. NN /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) ) )
190	20, 189	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. k ( k e. NN /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) )
191		df-rex 2760	. 2 |- ( E. k e. NN ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) <-> E. k ( k e. NN /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) )
192	190, 191	sylibr 212	1 |- ( ph -> E. k e. NN ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   E.wex 1633   e. wcel 1842   =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755   {crab 2758   C_ wss 3414   (/)c0 3738   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523   + caddc 9525   x. cmul 9527   < clt 9658   <_ cle 9659   - cmin 9841   / cdiv 10247   NNcn 10576   2c2 10626   ZZcz 10905   ZZ>=cuz 11127   RR+crp 11265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266

This theorem is referenced by:  stoweidlem49  37199