Theorem stoweidlem14 31342

Description: There exists a k as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: k is an integer and 1 < k * δ < 2. D is used to represent δ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem14.1	|- A = { j e. NN | ( 1 / D ) < j }
stoweidlem14.2	|- ( ph -> D e. RR+ )
stoweidlem14.3	|- ( ph -> D < 1 )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem14	|- ( ph -> E. k e. NN ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) )

Distinct variable groups:   j, k, D   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( j)   A( j)

Proof of Theorem stoweidlem14

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem14.1	. . . . . 6 |- A = { j e. NN | ( 1 / D ) < j }
2		ssrab2 3585	. . . . . . 7 |- { j e. NN | ( 1 / D ) < j } C_ NN
3	2	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> { j e. NN | ( 1 / D ) < j } C_ NN )
4	1, 3	syl5eqss 3548	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ NN )
5		stoweidlem14.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. RR+ )
6	5	rprecred 11267	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / D ) e. RR )
7		arch 10792	. . . . . 6 |- ( ( 1 / D ) e. RR -> E. k e. NN ( 1 / D ) < k )
8		breq2 4451	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( ( 1 / D ) < j <-> ( 1 / D ) < k ) )
9	8	elrab 3261	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. { j e. NN | ( 1 / D ) < j } <-> ( k e. NN /\ ( 1 / D ) < k ) )
10	9	biimpri 206	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( 1 / D ) < k ) -> k e. { j e. NN | ( 1 / D ) < j } )
11	10, 1	syl6eleqr 2566	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ ( 1 / D ) < k ) -> k e. A )
12		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ ( 1 / D ) < k ) -> ( 1 / D ) < k )
13	11, 12	jca 532	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ ( 1 / D ) < k ) -> ( k e. A /\ ( 1 / D ) < k ) )
14	13	reximi2 2931	. . . . . 6 |- ( E. k e. NN ( 1 / D ) < k -> E. k e. A ( 1 / D ) < k )
15		rexn0 3930	. . . . . 6 |- ( E. k e. A ( 1 / D ) < k -> A =/= (/) )
16	6, 7, 14, 15	4syl 21	. . . . 5 |- ( ph -> A =/= (/) )
17		nnwo 11147	. . . . 5 |- ( ( A C_ NN /\ A =/= (/) ) -> E. k e. A A. z e. A k <_ z )
18	4, 16, 17	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> E. k e. A A. z e. A k <_ z )
19		df-rex 2820	. . . 4 |- ( E. k e. A A. z e. A k <_ z <-> E. k ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) )
20	18, 19	sylib 196	. . 3 |- ( ph -> E. k ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) )
21	8, 1	elrab2 3263	. . . . . . . 8 |- ( k e. A <-> ( k e. NN /\ ( 1 / D ) < k ) )
22	21	simplbi 460	. . . . . . 7 |- ( k e. A -> k e. NN )
23	22	ad2antrl 727	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) -> k e. NN )
24		simpl 457	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) -> ph )
25		simprl 755	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) -> k e. A )
26		simprr 756	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) -> A. z e. A k <_ z )
27		nfcv 2629	. . . . . . . . 9 |- F/_ z A
28		nfrab1 3042	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j { j e. NN | ( 1 / D ) < j }
29	1, 28	nfcxfr 2627	. . . . . . . . 9 |- F/_ j A
30		nfv 1683	. . . . . . . . 9 |- F/ j k <_ z
31		nfv 1683	. . . . . . . . 9 |- F/ z k <_ j
32		breq2 4451	. . . . . . . . 9 |- ( z = j -> ( k <_ z <-> k <_ j ) )
33	27, 29, 30, 31, 32	cbvralf 3082	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A k <_ z <-> A. j e. A k <_ j )
34	26, 33	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) -> A. j e. A k <_ j )
35	21	simprbi 464	. . . . . . . . 9 |- ( k e. A -> ( 1 / D ) < k )
36	35	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. j e. A k <_ j ) ) -> ( 1 / D ) < k )
37	22	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. j e. A k <_ j ) ) -> k e. NN )
38		1red 9611	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 1 e. RR )
39		nnre 10543	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k e. RR )
40	39	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. RR )
41	5	rpregt0d 11262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( D e. RR /\ 0 < D ) )
42	41	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( D e. RR /\ 0 < D ) )
43		ltdivmul2 10420	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ k e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 < D ) ) -> ( ( 1 / D ) < k <-> 1 < ( k x. D ) ) )
44	38, 40, 42, 43	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / D ) < k <-> 1 < ( k x. D ) ) )
45	37, 44	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. j e. A k <_ j ) ) -> ( ( 1 / D ) < k <-> 1 < ( k x. D ) ) )
46	36, 45	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. j e. A k <_ j ) ) -> 1 < ( k x. D ) )
47	24, 25, 34, 46	syl12anc 1226	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) -> 1 < ( k x. D ) )
48		oveq1 6291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 1 -> ( k x. D ) = ( 1 x. D ) )
49	48	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( k x. D ) = ( 1 x. D ) )
50	5	rpcnd 11258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D e. CC )
51	50	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> D e. CC )
52	51	mulid2d 9614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( 1 x. D ) = D )
53	49, 52	eqtrd 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( k x. D ) = D )
54	53	oveq1d 6299	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) = ( D / 2 ) )
55	5	rpred 11256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D e. RR )
56	55	rehalfcld 10785	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( D / 2 ) e. RR )
57		halfre 10754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 2 ) e. RR
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
59		1red 9611	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. RR )
60		stoweidlem14.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D < 1 )
61		2re 10605	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 e. RR )
63		2pos 10627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < 2
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < 2 )
65		ltdiv1 10406	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( D < 1 <-> ( D / 2 ) < ( 1 / 2 ) ) )
66	55, 59, 62, 64, 65	syl112anc 1232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( D < 1 <-> ( D / 2 ) < ( 1 / 2 ) ) )
67	60, 66	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( D / 2 ) < ( 1 / 2 ) )
68		halflt1 10757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 2 ) < 1
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) < 1 )
70	56, 58, 59, 67, 69	lttrd 9742	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( D / 2 ) < 1 )
71	70	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( D / 2 ) < 1 )
72	54, 71	eqbrtrd 4467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 )
73	72	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ k = 1 ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 )
74		simpll 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> ph )
75		simplrl 759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> k e. A )
76	75, 22	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> k e. NN )
77		df-ne 2664	. . . . . . . . . . 11 |- ( k =/= 1 <-> -. k = 1 )
78	77	biimpri 206	. . . . . . . . . 10 |- ( -. k = 1 -> k =/= 1 )
79	78	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> k =/= 1 )
80		eluz2b3 11155	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( k e. NN /\ k =/= 1 ) )
81	76, 79, 80	sylanbrc 664	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
82		1zzd 10895	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> 1 e. ZZ )
83		df-2 10594	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 = ( 1 + 1 )
84	83	fveq2i 5869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
85	84	eleq2i 2545	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> k e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
86		eluzsub 11111	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
87	85, 86	syl3an3b 1266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
88		nnuz 11117	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
89	87, 88	syl6eleqr 2566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( k - 1 ) e. NN )
90	82, 82, 81, 89	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> ( k - 1 ) e. NN )
91	22, 39	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. A -> k e. RR )
92	91	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( k - 1 ) e. A /\ k e. A ) -> k e. RR )
93		peano2rem 9886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. RR -> ( k - 1 ) e. RR )
94	92, 93	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( k - 1 ) e. A /\ k e. A ) -> ( k - 1 ) e. RR )
95		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( k - 1 ) e. RR /\ k e. RR ) -> k e. RR )
96	95	ltm1d 10478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( k - 1 ) e. RR /\ k e. RR ) -> ( k - 1 ) < k )
97		ltnle 9664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( k - 1 ) e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( k - 1 ) < k <-> -. k <_ ( k - 1 ) ) )
98	96, 97	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( k - 1 ) e. RR /\ k e. RR ) -> -. k <_ ( k - 1 ) )
99	94, 92, 98	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( k - 1 ) e. A /\ k e. A ) -> -. k <_ ( k - 1 ) )
100		breq2 4451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = ( k - 1 ) -> ( k <_ z <-> k <_ ( k - 1 ) ) )
101	100	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = ( k - 1 ) -> ( -. k <_ z <-> -. k <_ ( k - 1 ) ) )
102	101	rspcev 3214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( k - 1 ) e. A /\ -. k <_ ( k - 1 ) ) -> E. z e. A -. k <_ z )
103	99, 102	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( k - 1 ) e. A /\ k e. A ) -> E. z e. A -. k <_ z )
104		rexnal 2912	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. z e. A -. k <_ z <-> -. A. z e. A k <_ z )
105	103, 104	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k - 1 ) e. A /\ k e. A ) -> -. A. z e. A k <_ z )
106	105	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k - 1 ) e. A -> ( k e. A -> -. A. z e. A k <_ z ) )
107		imnan 422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. A -> -. A. z e. A k <_ z ) <-> -. ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) )
108	106, 107	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k - 1 ) e. A -> -. ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) )
109	108	con2i 120	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) -> -. ( k - 1 ) e. A )
110	109	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> -. ( k - 1 ) e. A )
111		breq2 4451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = ( k - 1 ) -> ( ( 1 / D ) < j <-> ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) )
112	111, 1	elrab2 3263	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k - 1 ) e. A <-> ( ( k - 1 ) e. NN /\ ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) )
113	110, 112	sylnib 304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> -. ( ( k - 1 ) e. NN /\ ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) )
114		ianor 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( ( k - 1 ) e. NN /\ ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) <-> ( -. ( k - 1 ) e. NN \/ -. ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) )
115	113, 114	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> ( -. ( k - 1 ) e. NN \/ -. ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) )
116		imor 412	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k - 1 ) e. NN -> -. ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) <-> ( -. ( k - 1 ) e. NN \/ -. ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) )
117	115, 116	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> ( ( k - 1 ) e. NN -> -. ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) )
118	90, 117	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> -. ( 1 / D ) < ( k - 1 ) )
119	75, 22, 39, 93	4syl 21	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> ( k - 1 ) e. RR )
120	55	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> D e. RR )
121	5	rpne0d 11261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D =/= 0 )
122	121	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> D =/= 0 )
123	120, 122	rereccld 10371	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> ( 1 / D ) e. RR )
124	119, 123	lenltd 9730	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> ( ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) <-> -. ( 1 / D ) < ( k - 1 ) ) )
125	118, 124	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) )
126		eluzelre 11092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> k e. RR )
127	126	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> k e. RR )
128	55	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> D e. RR )
129	127, 128	remulcld 9624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( k x. D ) e. RR )
130	129	rehalfcld 10785	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) e. RR )
131	130	3adant3 1016	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) e. RR )
132	59, 55	readdcld 9623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 + D ) e. RR )
133	132	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 1 + D ) e. RR )
134	133	rehalfcld 10785	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 1 + D ) / 2 ) e. RR )
135	134	3adant3 1016	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( 1 + D ) / 2 ) e. RR )
136		1red 9611	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> 1 e. RR )
137		eluzelcn 11093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> k e. CC )
138	137	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> k e. CC )
139	50	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> D e. CC )
140	138, 139	mulcld 9616	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( k x. D ) e. CC )
141	140	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( k x. D ) e. CC )
142	50	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> D e. CC )
143	141, 142	npcand 9934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( ( k x. D ) - D ) + D ) = ( k x. D ) )
144	129, 128	resubcld 9987	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( k x. D ) - D ) e. RR )
145	144	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k x. D ) - D ) e. RR )
146	55	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> D e. RR )
147		simp3 998	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) )
148		1red 9611	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 e. RR )
149	126, 148	resubcld 9987	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( k - 1 ) e. RR )
150	149	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( k - 1 ) e. RR )
151	6	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( 1 / D ) e. RR )
152	41	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( D e. RR /\ 0 < D ) )
153		lemul1 10394	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k - 1 ) e. RR /\ ( 1 / D ) e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 < D ) ) -> ( ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) <-> ( ( k - 1 ) x. D ) <_ ( ( 1 / D ) x. D ) ) )
154	150, 151, 152, 153	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) <-> ( ( k - 1 ) x. D ) <_ ( ( 1 / D ) x. D ) ) )
155	147, 154	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k - 1 ) x. D ) <_ ( ( 1 / D ) x. D ) )
156		1cnd 9612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 e. CC )
157	138, 156, 139	subdird 10013	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( k - 1 ) x. D ) = ( ( k x. D ) - ( 1 x. D ) ) )
158	139	mulid2d 9614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 1 x. D ) = D )
159	158	oveq2d 6300	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( k x. D ) - ( 1 x. D ) ) = ( ( k x. D ) - D ) )
160	157, 159	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( k - 1 ) x. D ) = ( ( k x. D ) - D ) )
161	160	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k - 1 ) x. D ) = ( ( k x. D ) - D ) )
162		1cnd 9612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 1 e. CC )
163	162, 50, 121	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 e. CC /\ D e. CC /\ D =/= 0 ) )
164	163	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( 1 e. CC /\ D e. CC /\ D =/= 0 ) )
165		divcan1 10216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. CC /\ D e. CC /\ D =/= 0 ) -> ( ( 1 / D ) x. D ) = 1 )
166	164, 165	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( 1 / D ) x. D ) = 1 )
167	155, 161, 166	3brtr3d 4476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k x. D ) - D ) <_ 1 )
168	145, 136, 146, 167	leadd1dd 10166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( ( k x. D ) - D ) + D ) <_ ( 1 + D ) )
169	143, 168	eqbrtrrd 4469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( k x. D ) <_ ( 1 + D ) )
170	129	3adant3 1016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( k x. D ) e. RR )
171	132	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( 1 + D ) e. RR )
172	61, 63	pm3.2i 455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
173	172	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
174		lediv1 10407	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k x. D ) e. RR /\ ( 1 + D ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( k x. D ) <_ ( 1 + D ) <-> ( ( k x. D ) / 2 ) <_ ( ( 1 + D ) / 2 ) ) )
175	170, 171, 173, 174	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k x. D ) <_ ( 1 + D ) <-> ( ( k x. D ) / 2 ) <_ ( ( 1 + D ) / 2 ) ) )
176	169, 175	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) <_ ( ( 1 + D ) / 2 ) )
177	55, 59, 59, 60	ltadd2dd 9740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 + D ) < ( 1 + 1 ) )
178		1p1e2 10649	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 + 1 ) = 2
179	177, 178	syl6breq 4486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 + D ) < 2 )
180		ltdiv1 10406	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 + D ) e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 1 + D ) < 2 <-> ( ( 1 + D ) / 2 ) < ( 2 / 2 ) ) )
181	132, 62, 62, 64, 180	syl112anc 1232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 1 + D ) < 2 <-> ( ( 1 + D ) / 2 ) < ( 2 / 2 ) ) )
182	179, 181	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 + D ) / 2 ) < ( 2 / 2 ) )
183		2div2e1 10658	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 / 2 ) = 1
184	182, 183	syl6breq 4486	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 + D ) / 2 ) < 1 )
185	184	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( 1 + D ) / 2 ) < 1 )
186	131, 135, 136, 176, 185	lelttrd 9739	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) <_ ( 1 / D ) ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 )
187	74, 81, 125, 186	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) /\ -. k = 1 ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 )
188	73, 187	pm2.61dan 789	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 )
189	23, 47, 188	jca32 535	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) ) -> ( k e. NN /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) )
190	189	ex 434	. . . 4 |- ( ph -> ( ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) -> ( k e. NN /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) ) )
191	190	eximdv 1686	. . 3 |- ( ph -> ( E. k ( k e. A /\ A. z e. A k <_ z ) -> E. k ( k e. NN /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) ) )
192	20, 191	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. k ( k e. NN /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) )
193		df-rex 2820	. 2 |- ( E. k e. NN ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) <-> E. k ( k e. NN /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) )
194	192, 193	sylibr 212	1 |- ( ph -> E. k e. NN ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493   + caddc 9495   x. cmul 9497   < clt 9628   <_ cle 9629   - cmin 9805   / cdiv 10206   NNcn 10536   2c2 10585   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221

This theorem is referenced by:  stoweidlem49  31377