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Theorem stoweidlem14 31978
Description: There exists a  k as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90:  k is an integer and 1 < k * δ < 2.  D is used to represent δ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem14.1  |-  A  =  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j }
stoweidlem14.2  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem14.3  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem14  |-  ( ph  ->  E. k  e.  NN  ( 1  <  (
k  x.  D )  /\  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <  1
) )
Distinct variable groups:    j, k, D    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( j)    A( j)

Proof of Theorem stoweidlem14
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem14.1 . . . . . 6  |-  A  =  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j }
2 ssrab2 3581 . . . . . . 7  |-  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j }  C_  NN
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j }  C_  NN )
41, 3syl5eqss 3543 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
5 stoweidlem14.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
65rprecred 11292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  D
)  e.  RR )
7 arch 10813 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  D )  e.  RR  ->  E. k  e.  NN  ( 1  /  D )  <  k
)
8 breq2 4460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  (
( 1  /  D
)  <  j  <->  ( 1  /  D )  < 
k ) )
98elrab 3257 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  < 
j }  <->  ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  D )  < 
k ) )
109biimpri 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  D
)  <  k )  ->  k  e.  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j } )
1110, 1syl6eleqr 2556 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  D
)  <  k )  ->  k  e.  A )
12 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  D
)  <  k )  ->  ( 1  /  D
)  <  k )
1311, 12jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  D
)  <  k )  ->  ( k  e.  A  /\  ( 1  /  D
)  <  k )
)
1413reximi2 2924 . . . . . 6  |-  ( E. k  e.  NN  (
1  /  D )  <  k  ->  E. k  e.  A  ( 1  /  D )  < 
k )
15 rexn0 3935 . . . . . 6  |-  ( E. k  e.  A  ( 1  /  D )  <  k  ->  A  =/=  (/) )
166, 7, 14, 154syl 21 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
17 nnwo 11172 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. k  e.  A  A. z  e.  A  k  <_  z )
184, 16, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. k  e.  A  A. z  e.  A  k  <_  z )
19 df-rex 2813 . . . 4  |-  ( E. k  e.  A  A. z  e.  A  k  <_  z  <->  E. k ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )
2018, 19sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  E. k ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )
218, 1elrab2 3259 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  A  <->  ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  D )  < 
k ) )
2221simplbi 460 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  ->  k  e.  NN )
2322ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  k  e.  NN )
24 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  ph )
25 simprl 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  k  e.  A )
26 simprr 757 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  A. z  e.  A  k  <_  z )
27 nfcv 2619 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z A
28 nfrab1 3038 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j }
291, 28nfcxfr 2617 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j A
30 nfv 1708 . . . . . . . . 9  |-  F/ j  k  <_  z
31 nfv 1708 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  k  <_  j
32 breq2 4460 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  j  ->  (
k  <_  z  <->  k  <_  j ) )
3327, 29, 30, 31, 32cbvralf 3078 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  A  k  <_  z  <->  A. j  e.  A  k  <_  j )
3426, 33sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  A. j  e.  A  k  <_  j )
3521simprbi 464 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  A  ->  (
1  /  D )  <  k )
3635ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. j  e.  A  k  <_  j ) )  ->  (
1  /  D )  <  k )
3722ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. j  e.  A  k  <_  j ) )  ->  k  e.  NN )
38 1red 9628 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
39 nnre 10563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
4039adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
415rpregt0d 11287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  e.  RR  /\  0  <  D ) )
4241adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( D  e.  RR  /\  0  <  D ) )
43 ltdivmul2 10440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <  D ) )  -> 
( ( 1  /  D )  <  k  <->  1  <  ( k  x.  D ) ) )
4438, 40, 42, 43syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  D )  <  k  <->  1  <  ( k  x.  D ) ) )
4537, 44syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. j  e.  A  k  <_  j ) )  ->  (
( 1  /  D
)  <  k  <->  1  <  ( k  x.  D ) ) )
4636, 45mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. j  e.  A  k  <_  j ) )  ->  1  <  ( k  x.  D
) )
4724, 25, 34, 46syl12anc 1226 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  1  <  ( k  x.  D
) )
48 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
k  x.  D )  =  ( 1  x.  D ) )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
k  x.  D )  =  ( 1  x.  D ) )
505rpcnd 11283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  D  e.  CC )
5251mulid2d 9631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
1  x.  D )  =  D )
5349, 52eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
k  x.  D )  =  D )
5453oveq1d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
( k  x.  D
)  /  2 )  =  ( D  / 
2 ) )
555rpred 11281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
5655rehalfcld 10806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  e.  RR )
57 halfre 10775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
59 1red 9628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
60 stoweidlem14.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
61 2re 10626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
63 2pos 10648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  2
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
65 ltdiv1 10427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( D  <  1  <->  ( D  / 
2 )  <  (
1  /  2 ) ) )
6655, 59, 62, 64, 65syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( D  <  1  <->  ( D  /  2 )  <  ( 1  / 
2 ) ) )
6760, 66mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  <  ( 1  /  2 ) )
68 halflt1 10778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  <  1
6968a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  <  1 )
7056, 58, 59, 67, 69lttrd 9760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  <  1 )
7170adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( D  /  2 )  <  1 )
7254, 71eqbrtrd 4476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 )
7372adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  k  =  1 )  ->  ( (
k  x.  D )  /  2 )  <  1 )
74 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  ph )
75 simplrl 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  k  e.  A )
7675, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  k  e.  NN )
77 neqne 31616 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  =  1  -> 
k  =/=  1 )
7877adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  k  =/=  1 )
79 eluz2b3 11180 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( k  e.  NN  /\  k  =/=  1 ) )
8076, 78, 79sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
81 peano2rem 9905 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  -  1 )  e.  RR )
8275, 22, 39, 814syl 21 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
k  -  1 )  e.  RR )
8355ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  D  e.  RR )
845rpne0d 11286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  =/=  0 )
8584ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  D  =/=  0 )
8683, 85rereccld 10392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
1  /  D )  e.  RR )
87 1zzd 10916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  1  e.  ZZ )
88 df-2 10615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =  ( 1  +  1 )
8988fveq2i 5875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
9089eleq2i 2535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  k  e.  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
91 eluzsub 11135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  ->  ( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
9290, 91syl3an3b 1266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
93 nnuz 11141 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
9492, 93syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( k  -  1 )  e.  NN )
9587, 87, 80, 94syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
k  -  1 )  e.  NN )
9622, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  A  ->  k  e.  RR )
9796adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  RR )
9897, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  ( k  -  1 )  e.  RR )
99 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  k  e.  RR )
10099ltm1d 10498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( k  -  1 )  <  k )
101 ltnle 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( ( k  - 
1 )  <  k  <->  -.  k  <_  ( k  -  1 ) ) )
102100, 101mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  -.  k  <_  (
k  -  1 ) )
10398, 97, 102syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  <_  (
k  -  1 ) )
104 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( k  - 
1 )  ->  (
k  <_  z  <->  k  <_  ( k  -  1 ) ) )
105104notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( k  - 
1 )  ->  ( -.  k  <_  z  <->  -.  k  <_  ( k  -  1 ) ) )
106105rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  -.  k  <_  ( k  -  1 ) )  ->  E. z  e.  A  -.  k  <_  z )
107103, 106syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  E. z  e.  A  -.  k  <_  z )
108 rexnal 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. z  e.  A  -.  k  <_  z  <->  -.  A. z  e.  A  k  <_  z )
109107, 108sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  -.  A. z  e.  A  k  <_  z
)
110109ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  -  1 )  e.  A  ->  (
k  e.  A  ->  -.  A. z  e.  A  k  <_  z ) )
111 imnan 422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  A  ->  -.  A. z  e.  A  k  <_  z )  <->  -.  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )
112110, 111sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  -  1 )  e.  A  ->  -.  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )
113112con2i 120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z )  ->  -.  ( k  -  1 )  e.  A )
114113ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  -.  ( k  -  1 )  e.  A )
115 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( 1  /  D
)  <  j  <->  ( 1  /  D )  < 
( k  -  1 ) ) )
116115, 1elrab2 3259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  -  1 )  e.  A  <->  ( (
k  -  1 )  e.  NN  /\  (
1  /  D )  <  ( k  - 
1 ) ) )
117114, 116sylnib 304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  -.  ( ( k  - 
1 )  e.  NN  /\  ( 1  /  D
)  <  ( k  -  1 ) ) )
118 ianor 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( k  - 
1 )  e.  NN  /\  ( 1  /  D
)  <  ( k  -  1 ) )  <-> 
( -.  ( k  -  1 )  e.  NN  \/  -.  (
1  /  D )  <  ( k  - 
1 ) ) )
119117, 118sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  ( -.  ( k  -  1 )  e.  NN  \/  -.  ( 1  /  D
)  <  ( k  -  1 ) ) )
120 imor 412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  NN  ->  -.  ( 1  /  D
)  <  ( k  -  1 ) )  <-> 
( -.  ( k  -  1 )  e.  NN  \/  -.  (
1  /  D )  <  ( k  - 
1 ) ) )
121119, 120sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
( k  -  1 )  e.  NN  ->  -.  ( 1  /  D
)  <  ( k  -  1 ) ) )
12295, 121mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  -.  ( 1  /  D
)  <  ( k  -  1 ) )
12382, 86, 122nltled 31659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )
124 eluzelre 11116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  k  e.  RR )
125124adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  k  e.  RR )
12655adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  D  e.  RR )
127125, 126remulcld 9641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( k  x.  D )  e.  RR )
128127rehalfcld 10806 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
k  x.  D )  /  2 )  e.  RR )
1291283adant3 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  e.  RR )
13059, 55readdcld 9640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  +  D
)  e.  RR )
131130adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 1  +  D )  e.  RR )
132131rehalfcld 10806 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
1  +  D )  /  2 )  e.  RR )
1331323adant3 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( 1  +  D )  / 
2 )  e.  RR )
134 1red 9628 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  1  e.  RR )
135 eluzelcn 11117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  k  e.  CC )
136135adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  k  e.  CC )
13750adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  D  e.  CC )
138136, 137mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( k  x.  D )  e.  CC )
1391383adant3 1016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( k  x.  D )  e.  CC )
140503ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  D  e.  CC )
141139, 140npcand 9954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( ( k  x.  D )  -  D )  +  D )  =  ( k  x.  D ) )
142127, 126resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
k  x.  D )  -  D )  e.  RR )
1431423adant3 1016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  x.  D )  -  D )  e.  RR )
144553ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  D  e.  RR )
145 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( k  - 
1 )  <_  (
1  /  D ) )
146 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  RR )
147124, 146resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( k  -  1 )  e.  RR )
1481473ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( k  - 
1 )  e.  RR )
14963ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( 1  /  D )  e.  RR )
150413ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( D  e.  RR  /\  0  < 
D ) )
151 lemul1 10415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  RR  /\  ( 1  /  D
)  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <  D ) )  ->  ( (
k  -  1 )  <_  ( 1  /  D )  <->  ( (
k  -  1 )  x.  D )  <_ 
( ( 1  /  D )  x.  D
) ) )
152148, 149, 150, 151syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  -  1 )  <_ 
( 1  /  D
)  <->  ( ( k  -  1 )  x.  D )  <_  (
( 1  /  D
)  x.  D ) ) )
153145, 152mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  -  1 )  x.  D )  <_  (
( 1  /  D
)  x.  D ) )
154 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  e.  CC )
155136, 154, 137subdird 10034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
k  -  1 )  x.  D )  =  ( ( k  x.  D )  -  (
1  x.  D ) ) )
156137mulid2d 9631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 1  x.  D )  =  D )
157156oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
k  x.  D )  -  ( 1  x.  D ) )  =  ( ( k  x.  D )  -  D
) )
158155, 157eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
k  -  1 )  x.  D )  =  ( ( k  x.  D )  -  D
) )
1591583adant3 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  -  1 )  x.  D )  =  ( ( k  x.  D
)  -  D ) )
160 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
161160, 50, 843jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  CC  /\  D  e.  CC  /\  D  =/=  0 ) )
1621613ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( 1  e.  CC  /\  D  e.  CC  /\  D  =/=  0 ) )
163 divcan1 10237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  D  e.  CC  /\  D  =/=  0 )  ->  (
( 1  /  D
)  x.  D )  =  1 )
164162, 163syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( 1  /  D )  x.  D )  =  1 )
165153, 159, 1643brtr3d 4485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  x.  D )  -  D )  <_  1
)
166143, 134, 144, 165leadd1dd 10187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( ( k  x.  D )  -  D )  +  D )  <_  (
1  +  D ) )
167141, 166eqbrtrrd 4478 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( k  x.  D )  <_  (
1  +  D ) )
1681273adant3 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( k  x.  D )  e.  RR )
1691303ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( 1  +  D )  e.  RR )
17061, 63pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
171170a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
172 lediv1 10428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  x.  D
)  e.  RR  /\  ( 1  +  D
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
k  x.  D )  <_  ( 1  +  D )  <->  ( (
k  x.  D )  /  2 )  <_ 
( ( 1  +  D )  /  2
) ) )
173168, 169, 171, 172syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  x.  D )  <_ 
( 1  +  D
)  <->  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <_  (
( 1  +  D
)  /  2 ) ) )
174167, 173mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <_  (
( 1  +  D
)  /  2 ) )
17555, 59, 59, 60ltadd2dd 9758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  +  D
)  <  ( 1  +  1 ) )
176 1p1e2 10670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  +  1 )  =  2
177175, 176syl6breq 4495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  +  D
)  <  2 )
178 ltdiv1 10427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  +  D
)  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 1  +  D )  <  2  <->  ( ( 1  +  D )  / 
2 )  <  (
2  /  2 ) ) )
179130, 62, 62, 64, 178syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  D )  <  2  <->  ( ( 1  +  D
)  /  2 )  <  ( 2  / 
2 ) ) )
180177, 179mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  D )  /  2
)  <  ( 2  /  2 ) )
181 2div2e1 10679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  /  2 )  =  1
182180, 181syl6breq 4495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  D )  /  2
)  <  1 )
1831823ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( 1  +  D )  / 
2 )  <  1
)
184129, 133, 134, 174, 183lelttrd 9757 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <  1
)
18574, 80, 123, 184syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 )
18673, 185pm2.61dan 791 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 )
18723, 47, 186jca32 535 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  (
k  e.  NN  /\  ( 1  <  (
k  x.  D )  /\  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <  1
) ) )
188187ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z )  ->  ( k  e.  NN  /\  ( 1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) ) ) )
189188eximdv 1711 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. k ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z )  ->  E. k ( k  e.  NN  /\  ( 1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) ) ) )
19020, 189mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. k ( k  e.  NN  /\  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) ) )
191 df-rex 2813 . 2  |-  ( E. k  e.  NN  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 )  <->  E. k
( k  e.  NN  /\  ( 1  <  (
k  x.  D )  /\  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <  1
) ) )
192190, 191sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  NN  ( 1  <  (
k  x.  D )  /\  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <  1
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246
This theorem is referenced by:  stoweidlem49  32013
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