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Theorem stoweidlem13 27629
Description: Lemma for stoweid 27679. This lemma is used to prove the statement abs( f(t) - g(t) ) < 2 epsilon , in [BrosowskiDeutsh] p. 92, the last step of the proof. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem13.1  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem13.2  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
stoweidlem13.3  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
stoweidlem13.4  |-  ( ph  ->  j  e.  RR )
stoweidlem13.5  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  X )
stoweidlem13.6  |-  ( ph  ->  X  <_  ( (
j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
stoweidlem13.7  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  Y )
stoweidlem13.8  |-  ( ph  ->  Y  <  ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  X )
)  <  ( 2  x.  E ) )

Proof of Theorem stoweidlem13
StepHypRef Expression
1 stoweidlem13.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
2 stoweidlem13.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
31, 2resubcld 9421 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR )
4 2re 10025 . . . 4  |-  2  e.  RR
5 stoweidlem13.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
65rpred 10604 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
7 remulcl 9031 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( 2  x.  E
)  e.  RR )
84, 6, 7sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  E
)  e.  RR )
91recnd 9070 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
102recnd 9070 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
119, 10negsubdi2d 9383 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( Y  -  X )  =  ( X  -  Y ) )
122, 1resubcld 9421 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  e.  RR )
13 1re 9046 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
1514, 6remulcld 9072 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  E
)  e.  RR )
16 stoweidlem13.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  j  e.  RR )
17 3re 10027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  RR
18 3ne0 10041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =/=  0
1917, 18rereccli 9735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
2116, 20resubcld 9421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
1  /  3 ) )  e.  RR )
2221, 6remulcld 9072 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )
2322, 1resubcld 9421 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  Y
)  e.  RR )
24 4re 10029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  RR
2524, 17, 183pm3.2i 1132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  3  =/=  0 )
26 redivcl 9689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  3  =/=  0 )  ->  (
4  /  3 )  e.  RR )
2725, 26mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 4  /  3
)  e.  RR )
2816, 27resubcld 9421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
4  /  3 ) )  e.  RR )
2928, 6remulcld 9072 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )
3022, 29resubcld 9421 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) )  e.  RR )
31 stoweidlem13.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  <_  ( (
j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
322, 22, 1, 31lesub1dd 9598 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <_  ( (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  Y ) )
33 stoweidlem13.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  Y )
3429, 1, 22, 33ltsub2dd 9595 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  Y
)  <  ( (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E ) ) )
3512, 23, 30, 32, 34lelttrd 9184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <  ( (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E ) ) )
3616recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  j  e.  CC )
3720recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  e.  CC )
3836, 37subcld 9367 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
1  /  3 ) )  e.  CC )
3927recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 4  /  3
)  e.  CC )
4036, 39subcld 9367 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
4  /  3 ) )  e.  CC )
416recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
4238, 40, 41subdird 9446 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  -  ( j  -  (
4  /  3 ) ) )  x.  E
)  =  ( ( ( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E ) ) )
4336, 37, 36, 39sub4d 9416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  -  (
j  -  ( 4  /  3 ) ) )  =  ( ( j  -  j )  -  ( ( 1  /  3 )  -  ( 4  /  3
) ) ) )
4436, 36subcld 9367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  -  j
)  e.  CC )
4544, 37, 39subsub2d 9396 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  j )  -  (
( 1  /  3
)  -  ( 4  /  3 ) ) )  =  ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) ) )
4643, 45eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  -  (
j  -  ( 4  /  3 ) ) )  =  ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) ) )
4746oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  -  ( j  -  (
4  /  3 ) ) )  x.  E
)  =  ( ( ( j  -  j
)  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) ) )  x.  E ) )
4842, 47eqtr3d 2438 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) )  =  ( ( ( j  -  j
)  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) ) )  x.  E ) )
4935, 48breqtrd 4196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <  ( (
( j  -  j
)  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) ) )  x.  E ) )
5036subidd 9355 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  -  j
)  =  0 )
5150oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )  =  ( 0  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) ) )
52 4cn 10030 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  CC
53 3cn 10028 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  CC
5452, 53, 18divcli 9712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  /  3 )  e.  CC
55 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
5655, 53, 18divcli 9712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
5755div1i 9698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  /  1 )  =  1
5857oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  3 )  +  ( 1  / 
1 ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  +  1 )
59 ax-1ne0 9015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =/=  0
6055, 53, 55, 55, 18, 59divadddivi 9732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  3 )  +  ( 1  / 
1 ) )  =  ( ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  /  (
3  x.  1 ) )
6158, 60eqtr3i 2426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  /  3 )  +  1 )  =  ( ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  /  (
3  x.  1 ) )
6253, 55addcomi 9213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  +  1 )  =  ( 1  +  3 )
63 df-4 10016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  =  ( 3  +  1 )
64 1t1e1 10082 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
6553mulid2i 9049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
6664, 65oveq12i 6052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  =  ( 1  +  3 )
6762, 63, 663eqtr4ri 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  =  4
6867oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  /  ( 3  x.  1 ) )  =  ( 4  /  (
3  x.  1 ) )
6953mulid1i 9048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
7069oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  /  ( 3  x.  1 ) )  =  ( 4  /  3
)
7161, 68, 703eqtri 2428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  3 )  +  1 )  =  ( 4  /  3
)
7254, 56, 55, 71subaddrii 9345 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) )  =  1
7372oveq2i 6051 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( 0  +  1 )
74 1e0p1 10366 . . . . . . . . 9  |-  1  =  ( 0  +  1 )
7573, 74eqtr4i 2427 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) )  =  1
7651, 75syl6eq 2452 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )  =  1 )
7776oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  / 
3 )  -  (
1  /  3 ) ) )  x.  E
)  =  ( 1  x.  E ) )
7849, 77breqtrd 4196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <  ( 1  x.  E ) )
79 1lt2 10098 . . . . . 6  |-  1  <  2
804a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
8114, 80, 5ltmul1d 10641 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  <  2  <->  ( 1  x.  E )  <  ( 2  x.  E ) ) )
8279, 81mpbii 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  E
)  <  ( 2  x.  E ) )
8312, 15, 8, 78, 82lttrd 9187 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <  ( 2  x.  E ) )
8411, 83eqbrtrd 4192 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u ( Y  -  X )  <  (
2  x.  E ) )
853, 8, 84ltnegcon1d 9562 . 2  |-  ( ph  -> 
-u ( 2  x.  E )  <  ( Y  -  X )
)
86 5re 10031 . . . . . 6  |-  5  e.  RR
8786a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  5  e.  RR )
8817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
8918a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
9087, 88, 89redivcld 9798 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 5  /  3
)  e.  RR )
9190, 6remulcld 9072 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 5  / 
3 )  x.  E
)  e.  RR )
922renegcld 9420 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u X  e.  RR )
9316, 20readdcld 9071 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  +  ( 1  /  3 ) )  e.  RR )
9493, 6remulcld 9072 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )
9529renegcld 9420 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  e.  RR )
96 stoweidlem13.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  <  ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
97 stoweidlem13.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  X )
9829, 2ltnegd 9560 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  <  X  <->  -u X  <  -u (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) ) )
9997, 98mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u X  <  -u (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) )
1001, 92, 94, 95, 96, 99lt2addd 9604 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  +  -u X )  <  (
( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  +  -u (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) ) )
1019, 10negsubd 9373 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  +  -u X )  =  ( Y  -  X ) )
10236, 37, 41adddird 9069 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  /  3 )  x.  E ) ) )
10336, 39negsubd 9373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  +  -u ( 4  /  3
) )  =  ( j  -  ( 4  /  3 ) ) )
104103eqcomd 2409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
4  /  3 ) )  =  ( j  +  -u ( 4  / 
3 ) ) )
105104oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( j  +  -u (
4  /  3 ) )  x.  E ) )
10639negcld 9354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( 4  / 
3 )  e.  CC )
10736, 106, 41adddird 9069 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  + 
-u ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  =  ( ( j  x.  E
)  +  ( -u ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )
10839, 41mulneg1d 9442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( 4  /  3 )  x.  E )  =  -u ( ( 4  / 
3 )  x.  E
) )
109108oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  x.  E )  +  (
-u ( 4  / 
3 )  x.  E
) )  =  ( ( j  x.  E
)  +  -u (
( 4  /  3
)  x.  E ) ) )
110105, 107, 1093eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( j  x.  E )  +  -u ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
111110negeqd 9256 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  =  -u ( ( j  x.  E )  +  -u ( ( 4  / 
3 )  x.  E
) ) )
11236, 41mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j  x.  E
)  e.  CC )
11339, 41mulcld 9064 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 4  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC )
114113negcld 9354 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( ( 4  /  3 )  x.  E )  e.  CC )
115112, 114negdid 9380 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( j  x.  E )  + 
-u ( ( 4  /  3 )  x.  E ) )  =  ( -u ( j  x.  E )  + 
-u -u ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
116113negnegd 9358 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u -u ( ( 4  /  3 )  x.  E )  =  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) )
117116oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u ( j  x.  E )  + 
-u -u ( ( 4  /  3 )  x.  E ) )  =  ( -u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  / 
3 )  x.  E
) ) )
118111, 115, 1173eqtrd 2440 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  =  (
-u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )
119102, 118oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  +  -u ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
) )  =  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  /  3
)  x.  E ) )  +  ( -u ( j  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) ) )
12037, 41mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC )
121112negcld 9354 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( j  x.  E )  e.  CC )
122112, 120, 121, 113add4d 9245 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
) )  +  (
-u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )  =  ( ( ( j  x.  E )  +  -u ( j  x.  E
) )  +  ( ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) ) )
123112negidd 9357 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( j  x.  E )  +  -u ( j  x.  E
) )  =  0 )
124123oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  + 
-u ( j  x.  E ) )  +  ( ( ( 1  /  3 )  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3
)  x.  E )  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) ) )
125120, 113addcld 9063 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 )  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) )  e.  CC )
126125addid2d 9223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )  =  ( ( ( 1  /  3
)  x.  E )  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
127122, 124, 1263eqtrd 2440 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
) )  +  (
-u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )  =  ( ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
12837, 39, 41adddird 9069 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 )  +  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( ( 1  /  3
)  x.  E )  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
12988recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
130129, 37, 39adddid 9068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( 1  /  3
)  +  ( 4  /  3 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( 1  /  3 ) )  +  ( 3  x.  ( 4  /  3
) ) ) )
13155, 52addcomi 9213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  +  4 )  =  ( 4  +  1 )
13255, 53, 18divcan2i 9713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  ( 1  / 
3 ) )  =  1
13352, 53, 18divcan2i 9713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  ( 4  / 
3 ) )  =  4
134132, 133oveq12i 6052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  x.  ( 1  /  3 ) )  +  ( 3  x.  ( 4  /  3
) ) )  =  ( 1  +  4 )
135 df-5 10017 . . . . . . . . . . 11  |-  5  =  ( 4  +  1 )
136131, 134, 1353eqtr4i 2434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  x.  ( 1  /  3 ) )  +  ( 3  x.  ( 4  /  3
) ) )  =  5
137130, 136syl6eq 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( 1  /  3
)  +  ( 4  /  3 ) ) )  =  5 )
13887recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  5  e.  CC )
13937, 39addcld 9063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 )  +  ( 4  /  3 ) )  e.  CC )
140138, 129, 139, 89divmuld 9768 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 5  / 
3 )  =  ( ( 1  /  3
)  +  ( 4  /  3 ) )  <-> 
( 3  x.  (
( 1  /  3
)  +  ( 4  /  3 ) ) )  =  5 ) )
141137, 140mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 5  /  3
)  =  ( ( 1  /  3 )  +  ( 4  / 
3 ) ) )
142141eqcomd 2409 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 )  +  ( 4  /  3 ) )  =  ( 5  /  3 ) )
143142oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 )  +  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( 5  /  3 )  x.  E ) )
144127, 128, 1433eqtr2d 2442 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
) )  +  (
-u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )  =  ( ( 5  /  3
)  x.  E ) )
145119, 144eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  +  -u ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
) )  =  ( ( 5  /  3
)  x.  E ) )
146100, 101, 1453brtr3d 4201 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  <  ( (
5  /  3 )  x.  E ) )
147 5lt6 10108 . . . . . . 7  |-  5  <  6
148 3t2e6 10084 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
149147, 148breqtrri 4197 . . . . . 6  |-  5  <  ( 3  x.  2 )
150 3pos 10040 . . . . . . . 8  |-  0  <  3
15117, 150pm3.2i 442 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
152 ltdivmul 9838 . . . . . . 7  |-  ( ( 5  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( ( 5  /  3 )  <  2  <->  5  <  (
3  x.  2 ) ) )
15386, 4, 151, 152mp3an 1279 . . . . . 6  |-  ( ( 5  /  3 )  <  2  <->  5  <  ( 3  x.  2 ) )
154149, 153mpbir 201 . . . . 5  |-  ( 5  /  3 )  <  2
155154a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 5  /  3
)  <  2 )
15690, 80, 5, 155ltmul1dd 10655 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 5  / 
3 )  x.  E
)  <  ( 2  x.  E ) )
1573, 91, 8, 146, 156lttrd 9187 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  <  ( 2  x.  E ) )
1583, 8absltd 12187 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( Y  -  X )
)  <  ( 2  x.  E )  <->  ( -u (
2  x.  E )  <  ( Y  -  X )  /\  ( Y  -  X )  <  ( 2  x.  E
) ) ) )
15985, 157, 158mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  X )
)  <  ( 2  x.  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   2c2 10005   3c3 10006   4c4 10007   5c5 10008   6c6 10009   RR+crp 10568   abscabs 11994
This theorem is referenced by:  stoweidlem61  27677
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996
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