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Theorem stoweidlem13 31540
Description: Lemma for stoweid 31590. This lemma is used to prove the statement abs( f(t) - g(t) ) < 2 epsilon, in the last step of the proof in [BrosowskiDeutsh] p. 92. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem13.1  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem13.2  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
stoweidlem13.3  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
stoweidlem13.4  |-  ( ph  ->  j  e.  RR )
stoweidlem13.5  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  X )
stoweidlem13.6  |-  ( ph  ->  X  <_  ( (
j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
stoweidlem13.7  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  Y )
stoweidlem13.8  |-  ( ph  ->  Y  <  ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  X )
)  <  ( 2  x.  E ) )

Proof of Theorem stoweidlem13
StepHypRef Expression
1 stoweidlem13.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
2 stoweidlem13.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
31, 2resubcld 9988 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR )
4 2re 10606 . . . 4  |-  2  e.  RR
5 stoweidlem13.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
65rpred 11257 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
7 remulcl 9578 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( 2  x.  E
)  e.  RR )
84, 6, 7sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  E
)  e.  RR )
91recnd 9623 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
102recnd 9623 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
119, 10negsubdi2d 9947 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( Y  -  X )  =  ( X  -  Y ) )
122, 1resubcld 9988 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  e.  RR )
13 1red 9612 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
1413, 6remulcld 9625 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  E
)  e.  RR )
15 stoweidlem13.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  j  e.  RR )
16 3re 10610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  RR
17 3ne0 10631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =/=  0
1816, 17rereccli 10310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
2015, 19resubcld 9988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
1  /  3 ) )  e.  RR )
2120, 6remulcld 9625 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )
2221, 1resubcld 9988 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  Y
)  e.  RR )
23 4re 10613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  RR
2423, 16, 173pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  3  =/=  0 )
25 redivcl 10264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  3  =/=  0 )  ->  (
4  /  3 )  e.  RR )
2624, 25mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 4  /  3
)  e.  RR )
2715, 26resubcld 9988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
4  /  3 ) )  e.  RR )
2827, 6remulcld 9625 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )
2921, 28resubcld 9988 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) )  e.  RR )
30 stoweidlem13.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  <_  ( (
j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
312, 21, 1, 30lesub1dd 10169 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <_  ( (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  Y ) )
32 stoweidlem13.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  Y )
3328, 1, 21, 32ltsub2dd 10166 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  Y
)  <  ( (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E ) ) )
3412, 22, 29, 31, 33lelttrd 9740 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <  ( (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E ) ) )
3515recnd 9623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  j  e.  CC )
3619recnd 9623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  e.  CC )
3735, 36subcld 9931 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
1  /  3 ) )  e.  CC )
3826recnd 9623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 4  /  3
)  e.  CC )
3935, 38subcld 9931 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
4  /  3 ) )  e.  CC )
406recnd 9623 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
4137, 39, 40subdird 10014 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  -  ( j  -  (
4  /  3 ) ) )  x.  E
)  =  ( ( ( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E ) ) )
4235, 36, 35, 38sub4d 9980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  -  (
j  -  ( 4  /  3 ) ) )  =  ( ( j  -  j )  -  ( ( 1  /  3 )  -  ( 4  /  3
) ) ) )
4335, 35subcld 9931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  -  j
)  e.  CC )
4443, 36, 38subsub2d 9960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  j )  -  (
( 1  /  3
)  -  ( 4  /  3 ) ) )  =  ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) ) )
4542, 44eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  -  (
j  -  ( 4  /  3 ) ) )  =  ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) ) )
4645oveq1d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  -  ( j  -  (
4  /  3 ) ) )  x.  E
)  =  ( ( ( j  -  j
)  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) ) )  x.  E ) )
4741, 46eqtr3d 2510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) )  =  ( ( ( j  -  j
)  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) ) )  x.  E ) )
4834, 47breqtrd 4471 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <  ( (
( j  -  j
)  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) ) )  x.  E ) )
4935subidd 9919 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  -  j
)  =  0 )
5049oveq1d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )  =  ( 0  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) ) )
51 4cn 10614 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  CC
52 3cn 10611 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  CC
5351, 52, 17divcli 10287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  /  3 )  e.  CC
54 ax-1cn 9551 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
5554, 52, 17divcli 10287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
56 1div1e1 10238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  /  1 )  =  1
5756oveq2i 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  3 )  +  ( 1  / 
1 ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  +  1 )
58 ax-1ne0 9562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =/=  0
5954, 52, 54, 54, 17, 58divadddivi 10307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  3 )  +  ( 1  / 
1 ) )  =  ( ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  /  (
3  x.  1 ) )
6057, 59eqtr3i 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  /  3 )  +  1 )  =  ( ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  /  (
3  x.  1 ) )
6152, 54addcomi 9771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  +  1 )  =  ( 1  +  3 )
62 df-4 10597 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  =  ( 3  +  1 )
63 1t1e1 10684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
6452mulid2i 9600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
6563, 64oveq12i 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  =  ( 1  +  3 )
6661, 62, 653eqtr4ri 2507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  =  4
6766oveq1i 6295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  /  ( 3  x.  1 ) )  =  ( 4  /  (
3  x.  1 ) )
68 3t1e3 10687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
6968oveq2i 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  /  ( 3  x.  1 ) )  =  ( 4  /  3
)
7060, 67, 693eqtri 2500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  3 )  +  1 )  =  ( 4  /  3
)
7153, 55, 54, 70subaddrii 9909 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) )  =  1
7271oveq2i 6296 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( 0  +  1 )
73 1e0p1 11005 . . . . . . . . 9  |-  1  =  ( 0  +  1 )
7472, 73eqtr4i 2499 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) )  =  1
7550, 74syl6eq 2524 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )  =  1 )
7675oveq1d 6300 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  / 
3 )  -  (
1  /  3 ) ) )  x.  E
)  =  ( 1  x.  E ) )
7748, 76breqtrd 4471 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <  ( 1  x.  E ) )
78 1lt2 10703 . . . . . 6  |-  1  <  2
794a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
8013, 79, 5ltmul1d 11294 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  <  2  <->  ( 1  x.  E )  <  ( 2  x.  E ) ) )
8178, 80mpbii 211 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  E
)  <  ( 2  x.  E ) )
8212, 14, 8, 77, 81lttrd 9743 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <  ( 2  x.  E ) )
8311, 82eqbrtrd 4467 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u ( Y  -  X )  <  (
2  x.  E ) )
843, 8, 83ltnegcon1d 10133 . 2  |-  ( ph  -> 
-u ( 2  x.  E )  <  ( Y  -  X )
)
85 5re 10615 . . . . . 6  |-  5  e.  RR
8685a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  5  e.  RR )
8716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
8817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
8986, 87, 88redivcld 10373 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 5  /  3
)  e.  RR )
9089, 6remulcld 9625 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 5  / 
3 )  x.  E
)  e.  RR )
912renegcld 9987 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u X  e.  RR )
9215, 19readdcld 9624 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  +  ( 1  /  3 ) )  e.  RR )
9392, 6remulcld 9625 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )
9428renegcld 9987 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  e.  RR )
95 stoweidlem13.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  <  ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
96 stoweidlem13.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  X )
9728, 2ltnegd 10131 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  <  X  <->  -u X  <  -u (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) ) )
9896, 97mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u X  <  -u (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) )
991, 91, 93, 94, 95, 98lt2addd 10175 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  +  -u X )  <  (
( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  +  -u (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) ) )
1009, 10negsubd 9937 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  +  -u X )  =  ( Y  -  X ) )
10135, 36, 40adddird 9622 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  /  3 )  x.  E ) ) )
10235, 38negsubd 9937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  +  -u ( 4  /  3
) )  =  ( j  -  ( 4  /  3 ) ) )
103102eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
4  /  3 ) )  =  ( j  +  -u ( 4  / 
3 ) ) )
104103oveq1d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( j  +  -u (
4  /  3 ) )  x.  E ) )
10538negcld 9918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( 4  / 
3 )  e.  CC )
10635, 105, 40adddird 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  + 
-u ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  =  ( ( j  x.  E
)  +  ( -u ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )
10738, 40mulneg1d 10010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( 4  /  3 )  x.  E )  =  -u ( ( 4  / 
3 )  x.  E
) )
108107oveq2d 6301 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  x.  E )  +  (
-u ( 4  / 
3 )  x.  E
) )  =  ( ( j  x.  E
)  +  -u (
( 4  /  3
)  x.  E ) ) )
109104, 106, 1083eqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( j  x.  E )  +  -u ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
110109negeqd 9815 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  =  -u ( ( j  x.  E )  +  -u ( ( 4  / 
3 )  x.  E
) ) )
11135, 40mulcld 9617 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j  x.  E
)  e.  CC )
11238, 40mulcld 9617 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 4  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC )
113112negcld 9918 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( ( 4  /  3 )  x.  E )  e.  CC )
114111, 113negdid 9944 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( j  x.  E )  + 
-u ( ( 4  /  3 )  x.  E ) )  =  ( -u ( j  x.  E )  + 
-u -u ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
115112negnegd 9922 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u -u ( ( 4  /  3 )  x.  E )  =  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) )
116115oveq2d 6301 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u ( j  x.  E )  + 
-u -u ( ( 4  /  3 )  x.  E ) )  =  ( -u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  / 
3 )  x.  E
) ) )
117110, 114, 1163eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  =  (
-u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )
118101, 117oveq12d 6303 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  +  -u ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
) )  =  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  /  3
)  x.  E ) )  +  ( -u ( j  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) ) )
11936, 40mulcld 9617 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC )
120111negcld 9918 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( j  x.  E )  e.  CC )
121111, 119, 120, 112add4d 9804 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
) )  +  (
-u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )  =  ( ( ( j  x.  E )  +  -u ( j  x.  E
) )  +  ( ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) ) )
122111negidd 9921 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( j  x.  E )  +  -u ( j  x.  E
) )  =  0 )
123122oveq1d 6300 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  + 
-u ( j  x.  E ) )  +  ( ( ( 1  /  3 )  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3
)  x.  E )  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) ) )
124119, 112addcld 9616 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 )  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) )  e.  CC )
125124addid2d 9781 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )  =  ( ( ( 1  /  3
)  x.  E )  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
126121, 123, 1253eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
) )  +  (
-u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )  =  ( ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
12736, 38, 40adddird 9622 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 )  +  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( ( 1  /  3
)  x.  E )  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
12887recnd 9623 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
12936, 38addcld 9616 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 )  +  ( 4  /  3 ) )  e.  CC )
130128, 36, 38adddid 9621 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( 1  /  3
)  +  ( 4  /  3 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( 1  /  3 ) )  +  ( 3  x.  ( 4  /  3
) ) ) )
13154, 51addcomi 9771 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  4 )  =  ( 4  +  1 )
13254, 52, 17divcan2i 10288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  x.  ( 1  / 
3 ) )  =  1
13351, 52, 17divcan2i 10288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  x.  ( 4  / 
3 ) )  =  4
134132, 133oveq12i 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  x.  ( 1  /  3 ) )  +  ( 3  x.  ( 4  /  3
) ) )  =  ( 1  +  4 )
135 df-5 10598 . . . . . . . . . 10  |-  5  =  ( 4  +  1 )
136131, 134, 1353eqtr4i 2506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  x.  ( 1  /  3 ) )  +  ( 3  x.  ( 4  /  3
) ) )  =  5
137130, 136syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( 1  /  3
)  +  ( 4  /  3 ) ) )  =  5 )
138128, 129, 88, 137mvllmuld 10377 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 )  +  ( 4  /  3 ) )  =  ( 5  /  3 ) )
139138oveq1d 6300 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 )  +  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( 5  /  3 )  x.  E ) )
140126, 127, 1393eqtr2d 2514 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
) )  +  (
-u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )  =  ( ( 5  /  3
)  x.  E ) )
141118, 140eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  +  -u ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
) )  =  ( ( 5  /  3
)  x.  E ) )
14299, 100, 1413brtr3d 4476 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  <  ( (
5  /  3 )  x.  E ) )
143 5lt6 10713 . . . . . . 7  |-  5  <  6
144 3t2e6 10688 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
145143, 144breqtrri 4472 . . . . . 6  |-  5  <  ( 3  x.  2 )
146 3pos 10630 . . . . . . . 8  |-  0  <  3
14716, 146pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
148 ltdivmul 10418 . . . . . . 7  |-  ( ( 5  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( ( 5  /  3 )  <  2  <->  5  <  (
3  x.  2 ) ) )
14985, 4, 147, 148mp3an 1324 . . . . . 6  |-  ( ( 5  /  3 )  <  2  <->  5  <  ( 3  x.  2 ) )
150145, 149mpbir 209 . . . . 5  |-  ( 5  /  3 )  <  2
151150a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 5  /  3
)  <  2 )
15289, 79, 5, 151ltmul1dd 11308 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 5  / 
3 )  x.  E
)  <  ( 2  x.  E ) )
1533, 90, 8, 142, 152lttrd 9743 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  <  ( 2  x.  E ) )
1543, 8absltd 13227 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( Y  -  X )
)  <  ( 2  x.  E )  <->  ( -u (
2  x.  E )  <  ( Y  -  X )  /\  ( Y  -  X )  <  ( 2  x.  E
) ) ) )
15584, 153, 154mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  X )
)  <  ( 2  x.  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   RRcr 9492   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    x. cmul 9498    < clt 9629    <_ cle 9630    - cmin 9806   -ucneg 9807    / cdiv 10207   2c2 10586   3c3 10587   4c4 10588   5c5 10589   6c6 10590   RR+crp 11221   abscabs 13033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035
This theorem is referenced by:  stoweidlem61  31588
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