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Theorem stoweidlem13 37813
Description: Lemma for stoweid 37865. This lemma is used to prove the statement abs( f(t) - g(t) ) < 2 epsilon, in the last step of the proof in [BrosowskiDeutsh] p. 92. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem13.1  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem13.2  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
stoweidlem13.3  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
stoweidlem13.4  |-  ( ph  ->  j  e.  RR )
stoweidlem13.5  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  X )
stoweidlem13.6  |-  ( ph  ->  X  <_  ( (
j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
stoweidlem13.7  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  Y )
stoweidlem13.8  |-  ( ph  ->  Y  <  ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  X )
)  <  ( 2  x.  E ) )

Proof of Theorem stoweidlem13
StepHypRef Expression
1 stoweidlem13.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
2 stoweidlem13.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
31, 2resubcld 10054 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR )
4 2re 10686 . . . 4  |-  2  e.  RR
5 stoweidlem13.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
65rpred 11348 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
7 remulcl 9631 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( 2  x.  E
)  e.  RR )
84, 6, 7sylancr 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  E
)  e.  RR )
91recnd 9676 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
102recnd 9676 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
119, 10negsubdi2d 10009 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( Y  -  X )  =  ( X  -  Y ) )
122, 1resubcld 10054 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  e.  RR )
13 1red 9665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
1413, 6remulcld 9678 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  E
)  e.  RR )
15 stoweidlem13.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  j  e.  RR )
16 3re 10690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  RR
17 3ne0 10711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =/=  0
1816, 17rereccli 10379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
2015, 19resubcld 10054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
1  /  3 ) )  e.  RR )
2120, 6remulcld 9678 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )
2221, 1resubcld 10054 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  Y
)  e.  RR )
23 4re 10693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  RR
2423, 16, 173pm3.2i 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  3  =/=  0 )
25 redivcl 10333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  3  =/=  0 )  ->  (
4  /  3 )  e.  RR )
2624, 25mp1i 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 4  /  3
)  e.  RR )
2715, 26resubcld 10054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
4  /  3 ) )  e.  RR )
2827, 6remulcld 9678 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )
2921, 28resubcld 10054 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) )  e.  RR )
30 stoweidlem13.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  <_  ( (
j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
312, 21, 1, 30lesub1dd 10236 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <_  ( (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  Y ) )
32 stoweidlem13.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  Y )
3328, 1, 21, 32ltsub2dd 10233 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  Y
)  <  ( (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E ) ) )
3412, 22, 29, 31, 33lelttrd 9800 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <  ( (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E ) ) )
3515recnd 9676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  j  e.  CC )
3619recnd 9676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  e.  CC )
3735, 36subcld 9993 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
1  /  3 ) )  e.  CC )
3826recnd 9676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 4  /  3
)  e.  CC )
3935, 38subcld 9993 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
4  /  3 ) )  e.  CC )
406recnd 9676 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
4137, 39, 40subdird 10082 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  -  ( j  -  (
4  /  3 ) ) )  x.  E
)  =  ( ( ( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E ) ) )
4235, 36, 35, 38sub4d 10042 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  -  (
j  -  ( 4  /  3 ) ) )  =  ( ( j  -  j )  -  ( ( 1  /  3 )  -  ( 4  /  3
) ) ) )
4335, 35subcld 9993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  -  j
)  e.  CC )
4443, 36, 38subsub2d 10022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  j )  -  (
( 1  /  3
)  -  ( 4  /  3 ) ) )  =  ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) ) )
4542, 44eqtrd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  -  (
j  -  ( 4  /  3 ) ) )  =  ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) ) )
4645oveq1d 6320 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  -  ( j  -  (
4  /  3 ) ) )  x.  E
)  =  ( ( ( j  -  j
)  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) ) )  x.  E ) )
4741, 46eqtr3d 2465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) )  =  ( ( ( j  -  j
)  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) ) )  x.  E ) )
4834, 47breqtrd 4448 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <  ( (
( j  -  j
)  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) ) )  x.  E ) )
4935subidd 9981 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  -  j
)  =  0 )
5049oveq1d 6320 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )  =  ( 0  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) ) )
51 4cn 10694 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  CC
52 3cn 10691 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  CC
5351, 52, 17divcli 10356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  /  3 )  e.  CC
54 ax-1cn 9604 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
5554, 52, 17divcli 10356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
56 1div1e1 10307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  /  1 )  =  1
5756oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  3 )  +  ( 1  / 
1 ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  +  1 )
58 ax-1ne0 9615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =/=  0
5954, 52, 54, 54, 17, 58divadddivi 10376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  3 )  +  ( 1  / 
1 ) )  =  ( ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  /  (
3  x.  1 ) )
6057, 59eqtr3i 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  /  3 )  +  1 )  =  ( ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  /  (
3  x.  1 ) )
6152, 54addcomi 9831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  +  1 )  =  ( 1  +  3 )
62 df-4 10677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  =  ( 3  +  1 )
63 1t1e1 10764 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
6452mulid2i 9653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
6563, 64oveq12i 6317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  =  ( 1  +  3 )
6661, 62, 653eqtr4ri 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  =  4
6766oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  /  ( 3  x.  1 ) )  =  ( 4  /  (
3  x.  1 ) )
68 3t1e3 10767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
6968oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  /  ( 3  x.  1 ) )  =  ( 4  /  3
)
7060, 67, 693eqtri 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  3 )  +  1 )  =  ( 4  /  3
)
7153, 55, 54, 70subaddrii 9971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) )  =  1
7271oveq2i 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( 0  +  1 )
73 1e0p1 11086 . . . . . . . . 9  |-  1  =  ( 0  +  1 )
7472, 73eqtr4i 2454 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) )  =  1
7550, 74syl6eq 2479 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )  =  1 )
7675oveq1d 6320 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  / 
3 )  -  (
1  /  3 ) ) )  x.  E
)  =  ( 1  x.  E ) )
7748, 76breqtrd 4448 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <  ( 1  x.  E ) )
78 1lt2 10783 . . . . . 6  |-  1  <  2
794a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
8013, 79, 5ltmul1d 11386 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  <  2  <->  ( 1  x.  E )  <  ( 2  x.  E ) ) )
8178, 80mpbii 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  E
)  <  ( 2  x.  E ) )
8212, 14, 8, 77, 81lttrd 9803 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <  ( 2  x.  E ) )
8311, 82eqbrtrd 4444 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u ( Y  -  X )  <  (
2  x.  E ) )
843, 8, 83ltnegcon1d 10200 . 2  |-  ( ph  -> 
-u ( 2  x.  E )  <  ( Y  -  X )
)
85 5re 10695 . . . . . 6  |-  5  e.  RR
8685a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  5  e.  RR )
8716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
8817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
8986, 87, 88redivcld 10442 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 5  /  3
)  e.  RR )
9089, 6remulcld 9678 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 5  / 
3 )  x.  E
)  e.  RR )
912renegcld 10053 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u X  e.  RR )
9215, 19readdcld 9677 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  +  ( 1  /  3 ) )  e.  RR )
9392, 6remulcld 9678 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )
9428renegcld 10053 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  e.  RR )
95 stoweidlem13.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  <  ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
96 stoweidlem13.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  X )
9728, 2ltnegd 10198 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  <  X  <->  -u X  <  -u (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) ) )
9896, 97mpbid 213 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u X  <  -u (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) )
991, 91, 93, 94, 95, 98lt2addd 10243 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  +  -u X )  <  (
( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  +  -u (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) ) )
1009, 10negsubd 9999 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  +  -u X )  =  ( Y  -  X ) )
10135, 36, 40adddird 9675 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  /  3 )  x.  E ) ) )
10235, 38negsubd 9999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  +  -u ( 4  /  3
) )  =  ( j  -  ( 4  /  3 ) ) )
103102eqcomd 2430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
4  /  3 ) )  =  ( j  +  -u ( 4  / 
3 ) ) )
104103oveq1d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( j  +  -u (
4  /  3 ) )  x.  E ) )
10538negcld 9980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( 4  / 
3 )  e.  CC )
10635, 105, 40adddird 9675 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  + 
-u ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  =  ( ( j  x.  E
)  +  ( -u ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )
10738, 40mulneg1d 10078 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( 4  /  3 )  x.  E )  =  -u ( ( 4  / 
3 )  x.  E
) )
108107oveq2d 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  x.  E )  +  (
-u ( 4  / 
3 )  x.  E
) )  =  ( ( j  x.  E
)  +  -u (
( 4  /  3
)  x.  E ) ) )
109104, 106, 1083eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( j  x.  E )  +  -u ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
110109negeqd 9876 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  =  -u ( ( j  x.  E )  +  -u ( ( 4  / 
3 )  x.  E
) ) )
11135, 40mulcld 9670 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j  x.  E
)  e.  CC )
11238, 40mulcld 9670 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 4  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC )
113112negcld 9980 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( ( 4  /  3 )  x.  E )  e.  CC )
114111, 113negdid 10006 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( j  x.  E )  + 
-u ( ( 4  /  3 )  x.  E ) )  =  ( -u ( j  x.  E )  + 
-u -u ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
115112negnegd 9984 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u -u ( ( 4  /  3 )  x.  E )  =  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) )
116115oveq2d 6321 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u ( j  x.  E )  + 
-u -u ( ( 4  /  3 )  x.  E ) )  =  ( -u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  / 
3 )  x.  E
) ) )
117110, 114, 1163eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  =  (
-u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )
118101, 117oveq12d 6323 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  +  -u ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
) )  =  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  /  3
)  x.  E ) )  +  ( -u ( j  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) ) )
11936, 40mulcld 9670 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC )
120111negcld 9980 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( j  x.  E )  e.  CC )
121111, 119, 120, 112add4d 9865 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
) )  +  (
-u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )  =  ( ( ( j  x.  E )  +  -u ( j  x.  E
) )  +  ( ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) ) )
122111negidd 9983 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( j  x.  E )  +  -u ( j  x.  E
) )  =  0 )
123122oveq1d 6320 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  + 
-u ( j  x.  E ) )  +  ( ( ( 1  /  3 )  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3
)  x.  E )  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) ) )
124119, 112addcld 9669 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 )  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) )  e.  CC )
125124addid2d 9841 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )  =  ( ( ( 1  /  3
)  x.  E )  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
126121, 123, 1253eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
) )  +  (
-u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )  =  ( ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
12736, 38, 40adddird 9675 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 )  +  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( ( 1  /  3
)  x.  E )  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
12887recnd 9676 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
12936, 38addcld 9669 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 )  +  ( 4  /  3 ) )  e.  CC )
130128, 36, 38adddid 9674 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( 1  /  3
)  +  ( 4  /  3 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( 1  /  3 ) )  +  ( 3  x.  ( 4  /  3
) ) ) )
13154, 51addcomi 9831 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  4 )  =  ( 4  +  1 )
13254, 52, 17divcan2i 10357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  x.  ( 1  / 
3 ) )  =  1
13351, 52, 17divcan2i 10357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  x.  ( 4  / 
3 ) )  =  4
134132, 133oveq12i 6317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  x.  ( 1  /  3 ) )  +  ( 3  x.  ( 4  /  3
) ) )  =  ( 1  +  4 )
135 df-5 10678 . . . . . . . . . 10  |-  5  =  ( 4  +  1 )
136131, 134, 1353eqtr4i 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  x.  ( 1  /  3 ) )  +  ( 3  x.  ( 4  /  3
) ) )  =  5
137130, 136syl6eq 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( 1  /  3
)  +  ( 4  /  3 ) ) )  =  5 )
138128, 129, 88, 137mvllmuld 10446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 )  +  ( 4  /  3 ) )  =  ( 5  /  3 ) )
139138oveq1d 6320 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 )  +  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( 5  /  3 )  x.  E ) )
140126, 127, 1393eqtr2d 2469 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
) )  +  (
-u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )  =  ( ( 5  /  3
)  x.  E ) )
141118, 140eqtrd 2463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  +  -u ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
) )  =  ( ( 5  /  3
)  x.  E ) )
14299, 100, 1413brtr3d 4453 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  <  ( (
5  /  3 )  x.  E ) )
143 5lt6 10793 . . . . . . 7  |-  5  <  6
144 3t2e6 10768 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
145143, 144breqtrri 4449 . . . . . 6  |-  5  <  ( 3  x.  2 )
146 3pos 10710 . . . . . . . 8  |-  0  <  3
14716, 146pm3.2i 456 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
148 ltdivmul 10487 . . . . . . 7  |-  ( ( 5  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( ( 5  /  3 )  <  2  <->  5  <  (
3  x.  2 ) ) )
14985, 4, 147, 148mp3an 1360 . . . . . 6  |-  ( ( 5  /  3 )  <  2  <->  5  <  ( 3  x.  2 ) )
150145, 149mpbir 212 . . . . 5  |-  ( 5  /  3 )  <  2
151150a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 5  /  3
)  <  2 )
15289, 79, 5, 151ltmul1dd 11400 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 5  / 
3 )  x.  E
)  <  ( 2  x.  E ) )
1533, 90, 8, 142, 152lttrd 9803 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  <  ( 2  x.  E ) )
1543, 8absltd 13491 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( Y  -  X )
)  <  ( 2  x.  E )  <->  ( -u (
2  x.  E )  <  ( Y  -  X )  /\  ( Y  -  X )  <  ( 2  x.  E
) ) ) )
15584, 153, 154mpbir2and 930 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  X )
)  <  ( 2  x.  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1872    =/= wne 2614   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549    x. cmul 9551    < clt 9682    <_ cle 9683    - cmin 9867   -ucneg 9868    / cdiv 10276   2c2 10666   3c3 10667   4c4 10668   5c5 10669   6c6 10670   RR+crp 11309   abscabs 13297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-sup 7965  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-seq 12220  df-exp 12279  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299
This theorem is referenced by:  stoweidlem61  37862
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