Theorem stoweidlem11 31959

Description: This lemma is used to prove that there is a function g as in the proof of [BrosowskiDeutsh] p. 92 (at the top of page 92): this lemma proves that g(t) < ( j + 1 / 3 ) * ε. Here E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem11.1	|- ( ph -> N e. NN )
stoweidlem11.2	|- ( ph -> t e. T )
stoweidlem11.3	|- ( ph -> j e. ( 1 ... N ) )
stoweidlem11.4	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( X ` i ) : T --> RR )
stoweidlem11.5	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) <_ 1 )
stoweidlem11.6	|- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) < ( E / N ) )
stoweidlem11.7	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem11.8	|- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem11	|- ( ph -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )

Distinct variable groups:   i, j   t, i, E   i, N, t   ph, i   t, T   t, X

Allowed substitution hints:   ph( t, j)   T( i, j)   E( j)   N( j)   X( i, j)

Proof of Theorem stoweidlem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem11.2	. . 3 |- ( ph -> t e. T )
2		sumex 13512	. . 3 |- sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. _V
3		eqid 2382	. . . 4 |- ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
4	3	fvmpt2 5865	. . 3 |- ( ( t e. T /\ sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. _V ) -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) = sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
5	1, 2, 4	sylancl 660	. 2 |- ( ph -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) = sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
6		fzfid 11986	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
7		stoweidlem11.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR+ )
8	7	rpred 11177	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. RR )
9	8	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> E e. RR )
10		stoweidlem11.4	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( X ` i ) : T --> RR )
11	1	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> t e. T )
12	10, 11	ffvelrnd 5934	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. RR )
13	9, 12	remulcld 9535	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
14	6, 13	fsumrecl 13558	. . 3 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
15		stoweidlem11.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> j e. ( 1 ... N ) )
16		elfzuz 11605	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
17	15, 16	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
18		eluz2 11007	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ j e. ZZ /\ 1 <_ j ) )
19	17, 18	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 e. ZZ /\ j e. ZZ /\ 1 <_ j ) )
20	19	simp2d 1007	. . . . . 6 |- ( ph -> j e. ZZ )
21	20	zred 10884	. . . . 5 |- ( ph -> j e. RR )
22	8, 21	remulcld 9535	. . . 4 |- ( ph -> ( E x. j ) e. RR )
23		stoweidlem11.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN )
24	23	nnred 10467	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. RR )
25	24, 21	resubcld 9905	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N - j ) e. RR )
26		1red 9522	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
27	25, 26	readdcld 9534	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N - j ) + 1 ) e. RR )
28	8, 23	nndivred 10501	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E / N ) e. RR )
29	8, 28	remulcld 9535	. . . . 5 |- ( ph -> ( E x. ( E / N ) ) e. RR )
30	27, 29	remulcld 9535	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) e. RR )
31	22, 30	readdcld 9534	. . 3 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) e. RR )
32		3re 10526	. . . . . . 7 |- 3 e. RR
33	32	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 3 e. RR )
34		3ne0 10547	. . . . . . 7 |- 3 =/= 0
35	34	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 3 =/= 0 )
36	33, 35	rereccld 10288	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / 3 ) e. RR )
37	21, 36	readdcld 9534	. . . 4 |- ( ph -> ( j + ( 1 / 3 ) ) e. RR )
38	37, 8	remulcld 9535	. . 3 |- ( ph -> ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) e. RR )
39		fzfid 11986	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... ( j - 1 ) ) e. Fin )
40	8	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> E e. RR )
41		elfzelz 11609	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> j e. ZZ )
42		peano2zm 10824	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ZZ -> ( j - 1 ) e. ZZ )
43	15, 41, 42	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. ZZ )
44	23	nnzd 10883	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
45	21, 26	resubcld 9905	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. RR )
46	21	lem1d 10395	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( j - 1 ) <_ j )
47		elfzuz3 11606	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` j ) )
48		eluzle 11013	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` j ) -> j <_ N )
49	15, 47, 48	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> j <_ N )
50	45, 21, 24, 46, 49	letrd 9650	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j - 1 ) <_ N )
51		eluz2 11007	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( j - 1 ) ) <-> ( ( j - 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( j - 1 ) <_ N ) )
52	43, 44, 50, 51	syl3anbrc 1178	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( j - 1 ) ) )
53		fzss2 11645	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( j - 1 ) ) -> ( 0 ... ( j - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
54	52, 53	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 ... ( j - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
55	54	sselda 3417	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> i e. ( 0 ... N ) )
56	55, 12	syldan 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. RR )
57	40, 56	remulcld 9535	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
58	39, 57	fsumrecl 13558	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
59	58, 30	readdcld 9534	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) e. RR )
60	21	ltm1d 10394	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( j - 1 ) < j )
61		fzdisj 11633	. . . . . . 7 |- ( ( j - 1 ) < j -> ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) i^i ( j ... N ) ) = (/) )
62	60, 61	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) i^i ( j ... N ) ) = (/) )
63		fzssp1 11648	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) )
64	23	nncnd 10468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. CC )
65		1cnd 9523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. CC )
66	64, 65	npcand 9848	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
67	66	oveq2d 6212	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
68	63, 67	syl5sseq 3465	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
69		1zzd 10812	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
70		fzsubel 11641	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( j e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) ) -> ( j e. ( 1 ... N ) <-> ( j - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) )
71	69, 44, 20, 69, 70	syl22anc 1227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j e. ( 1 ... N ) <-> ( j - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) )
72	15, 71	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
73		1m1e0 10521	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 1 ) = 0
74	73	oveq1i 6206	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( 0 ... ( N - 1 ) )
75	72, 74	syl6eleq 2480	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
76	68, 75	sseldd 3418	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
77		fzsplit 11632	. . . . . . . 8 |- ( ( j - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( 0 ... N ) = ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) u. ( ( ( j - 1 ) + 1 ) ... N ) ) )
78	76, 77	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... N ) = ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) u. ( ( ( j - 1 ) + 1 ) ... N ) ) )
79	20	zcnd 10885	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> j e. CC )
80	79, 65	npcand 9848	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( j - 1 ) + 1 ) = j )
81	80	oveq1d 6211	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( j - 1 ) + 1 ) ... N ) = ( j ... N ) )
82	81	uneq2d 3572	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) u. ( ( ( j - 1 ) + 1 ) ... N ) ) = ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) u. ( j ... N ) ) )
83	78, 82	eqtrd 2423	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... N ) = ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) u. ( j ... N ) ) )
84	7	rpcnd 11179	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. CC )
85	84	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> E e. CC )
86	12	recnd 9533	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. CC )
87	85, 86	mulcld 9527	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. CC )
88	62, 83, 6, 87	fsumsplit 13564	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) )
89		fzfid 11986	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( j ... N ) e. Fin )
90	8	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> E e. RR )
91		0zd 10793	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
92		0red 9508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 e. RR )
93		0le1 9993	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 <_ 1
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 <_ 1 )
95	19	simp3d 1008	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 <_ j )
96	92, 26, 21, 94, 95	letrd 9650	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 <_ j )
97		eluz2 11007	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` 0 ) <-> ( 0 e. ZZ /\ j e. ZZ /\ 0 <_ j ) )
98	91, 20, 96, 97	syl3anbrc 1178	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> j e. ( ZZ>= ` 0 ) )
99		fzss1 11644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( j ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
100	98, 99	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
101	100	sselda 3417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> i e. ( 0 ... N ) )
102	101, 10	syldan 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( X ` i ) : T --> RR )
103	1	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> t e. T )
104	102, 103	ffvelrnd 5934	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. RR )
105	90, 104	remulcld 9535	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
106	89, 105	fsumrecl 13558	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
107		eluzfz2 11615	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` j ) -> N e. ( j ... N ) )
108		ne0i 3717	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( j ... N ) -> ( j ... N ) =/= (/) )
109	15, 47, 107, 108	4syl 21	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( j ... N ) =/= (/) )
110	23	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> N e. NN )
111	90, 110	nndivred 10501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( E / N ) e. RR )
112	90, 111	remulcld 9535	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( E x. ( E / N ) ) e. RR )
113		stoweidlem11.6	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) < ( E / N ) )
114	7	rpgt0d 11180	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < E )
115	114	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> 0 < E )
116		ltmul2 10310	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X ` i ) ` t ) e. RR /\ ( E / N ) e. RR /\ ( E e. RR /\ 0 < E ) ) -> ( ( ( X ` i ) ` t ) < ( E / N ) <-> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( E x. ( E / N ) ) ) )
117	104, 111, 90, 115, 116	syl112anc 1230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( ( ( X ` i ) ` t ) < ( E / N ) <-> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( E x. ( E / N ) ) ) )
118	113, 117	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( E x. ( E / N ) ) )
119	89, 109, 105, 112, 118	fsumlt 13616	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( E / N ) ) )
120	23	nnne0d 10497	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N =/= 0 )
121	84, 64, 120	divcld 10237	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E / N ) e. CC )
122	84, 121	mulcld 9527	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E x. ( E / N ) ) e. CC )
123		fsumconst 13607	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( j ... N ) e. Fin /\ ( E x. ( E / N ) ) e. CC ) -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( E / N ) ) = ( ( # ` ( j ... N ) ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
124	89, 122, 123	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( E / N ) ) = ( ( # ` ( j ... N ) ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
125		hashfz 12389	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` j ) -> ( # ` ( j ... N ) ) = ( ( N - j ) + 1 ) )
126	15, 47, 125	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` ( j ... N ) ) = ( ( N - j ) + 1 ) )
127	126	oveq1d 6211	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( # ` ( j ... N ) ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) = ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
128	124, 127	eqtrd 2423	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( E / N ) ) = ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
129	119, 128	breqtrd 4391	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
130	106, 30, 58, 129	ltadd2dd 9652	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) < ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) )
131	88, 130	eqbrtrd 4387	. . . 4 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) )
132		stoweidlem11.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) <_ 1 )
133	55, 132	syldan 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) <_ 1 )
134		1red 9522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
135	114	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> 0 < E )
136		lemul2 10312	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X ` i ) ` t ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( E e. RR /\ 0 < E ) ) -> ( ( ( X ` i ) ` t ) <_ 1 <-> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ ( E x. 1 ) ) )
137	56, 134, 40, 135, 136	syl112anc 1230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( ( ( X ` i ) ` t ) <_ 1 <-> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ ( E x. 1 ) ) )
138	133, 137	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ ( E x. 1 ) )
139	84	mulid1d 9524	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E x. 1 ) = E )
140	139	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( E x. 1 ) = E )
141	138, 140	breqtrd 4391	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ E )
142	39, 57, 40, 141	fsumle 13615	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) E )
143		fsumconst 13607	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) e. Fin /\ E e. CC ) -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) E = ( ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) x. E ) )
144	39, 84, 143	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) E = ( ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) x. E ) )
145		0z 10792	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ZZ
146		1e0p1 10923	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 = ( 0 + 1 )
147	146	fveq2i 5777	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) )
148	17, 147	syl6eleq 2480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> j e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
149		eluzp1m1 11024	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. ZZ /\ j e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( j - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
150	145, 148, 149	sylancr 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
151		hashfz 12389	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) = ( ( ( j - 1 ) - 0 ) + 1 ) )
152	150, 151	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) = ( ( ( j - 1 ) - 0 ) + 1 ) )
153	79, 65	subcld 9844	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. CC )
154	153	subid1d 9833	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( j - 1 ) - 0 ) = ( j - 1 ) )
155	154	oveq1d 6211	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( j - 1 ) - 0 ) + 1 ) = ( ( j - 1 ) + 1 ) )
156	152, 155, 80	3eqtrd 2427	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) = j )
157	156	oveq1d 6211	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) x. E ) = ( j x. E ) )
158	79, 84	mulcomd 9528	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( j x. E ) = ( E x. j ) )
159	144, 157, 158	3eqtrd 2427	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) E = ( E x. j ) )
160	142, 159	breqtrd 4391	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ ( E x. j ) )
161	58, 22, 30, 160	leadd1dd 10083	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) <_ ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) )
162	14, 59, 31, 131, 161	ltletrd 9653	. . 3 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) )
163	8, 8	remulcld 9535	. . . . 5 |- ( ph -> ( E x. E ) e. RR )
164	22, 163	readdcld 9534	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) e. RR )
165	64, 79	subcld 9844	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N - j ) e. CC )
166	165, 65	addcld 9526	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N - j ) + 1 ) e. CC )
167	84, 166, 121	mul12d 9700	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) = ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
168	167	oveq2d 6212	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) ) = ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) )
169	27, 28	remulcld 9535	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) e. RR )
170	8, 169	remulcld 9535	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) e. RR )
171	166, 84, 64, 120	div12d 10273	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) = ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) ) )
172	26, 21	resubcld 9905	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 - j ) e. RR )
173		elfzle1 11610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> 1 <_ j )
174	15, 173	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 <_ j )
175	26, 21	suble0d 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 1 - j ) <_ 0 <-> 1 <_ j ) )
176	174, 175	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 - j ) <_ 0 )
177	172, 92, 24, 176	leadd2dd 10084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N + ( 1 - j ) ) <_ ( N + 0 ) )
178	64, 65, 79	addsub12d 9867	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( N + ( 1 - j ) ) = ( 1 + ( N - j ) ) )
179	65, 165	addcomd 9693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 + ( N - j ) ) = ( ( N - j ) + 1 ) )
180	178, 179	eqtrd 2423	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N + ( 1 - j ) ) = ( ( N - j ) + 1 ) )
181	64	addid1d 9691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N + 0 ) = N )
182	177, 180, 181	3brtr3d 4396	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( N - j ) + 1 ) <_ N )
183	23	nngt0d 10496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < N )
184		lediv1 10324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N - j ) + 1 ) e. RR /\ N e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( N - j ) + 1 ) <_ N <-> ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) <_ ( N / N ) ) )
185	27, 24, 24, 183, 184	syl112anc 1230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) <_ N <-> ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) <_ ( N / N ) ) )
186	182, 185	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) <_ ( N / N ) )
187	64, 120	dividd 10235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N / N ) = 1 )
188	186, 187	breqtrd 4391	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) <_ 1 )
189	27, 23	nndivred 10501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) e. RR )
190	189, 26, 7	lemul2d 11217	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) <_ 1 <-> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) ) <_ ( E x. 1 ) ) )
191	188, 190	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) ) <_ ( E x. 1 ) )
192	191, 139	breqtrd 4391	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) ) <_ E )
193	171, 192	eqbrtrd 4387	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) <_ E )
194	169, 8, 7	lemul2d 11217	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) <_ E <-> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) <_ ( E x. E ) ) )
195	193, 194	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) <_ ( E x. E ) )
196	170, 163, 22, 195	leadd2dd 10084	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) ) <_ ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) )
197	168, 196	eqbrtrrd 4389	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) <_ ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) )
198	84, 79	mulcomd 9528	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E x. j ) = ( j x. E ) )
199	198	oveq1d 6211	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) = ( ( j x. E ) + ( E x. E ) ) )
200	79, 84, 84	adddird 9532	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( j + E ) x. E ) = ( ( j x. E ) + ( E x. E ) ) )
201	199, 200	eqtr4d 2426	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) = ( ( j + E ) x. E ) )
202	21, 8	readdcld 9534	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j + E ) e. RR )
203		stoweidlem11.8	. . . . . . 7 |- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )
204	8, 36, 21, 203	ltadd2dd 9652	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j + E ) < ( j + ( 1 / 3 ) ) )
205	202, 37, 7, 204	ltmul1dd 11228	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( j + E ) x. E ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )
206	201, 205	eqbrtrd 4387	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )
207	31, 164, 38, 197, 206	lelttrd 9651	. . 3 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )
208	14, 31, 38, 162, 207	lttrd 9654	. 2 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )
209	5, 208	eqbrtrd 4387	1 |- ( ph -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1399   e. wcel 1826   =/= wne 2577   _Vcvv 3034   u. cun 3387   i^i cin 3388   C_ wss 3389   (/)c0 3711   class class class wbr 4367   |-> cmpt 4425   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Fincfn 7435   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404   + caddc 9406   x. cmul 9408   < clt 9539   <_ cle 9540   - cmin 9718   / cdiv 10123   NNcn 10452   3c3 10503   ZZcz 10781   ZZ>=cuz 11001   RR+crp 11139   ...cfz 11593   #chash 12307   sum_csu 13510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-ico 11456  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-sum 13511

This theorem is referenced by:  stoweidlem34  31982