Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem11 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem11 31959
Description: This lemma is used to prove that there is a function  g as in the proof of [BrosowskiDeutsh] p. 92 (at the top of page 92): this lemma proves that g(t) < ( j + 1 / 3 ) * ε. Here  E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem11.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
stoweidlem11.2  |-  ( ph  ->  t  e.  T )
stoweidlem11.3  |-  ( ph  ->  j  e.  ( 1 ... N ) )
stoweidlem11.4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( X `  i ) : T --> RR )
stoweidlem11.5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  <_  1 )
stoweidlem11.6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  <  ( E  /  N
) )
stoweidlem11.7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem11.8  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem11  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
Distinct variable groups:    i, j    t, i, E    i, N, t    ph, i    t, T   
t, X
Allowed substitution hints:    ph( t, j)    T( i, j)    E( j)    N( j)    X( i, j)

Proof of Theorem stoweidlem11
StepHypRef Expression
1 stoweidlem11.2 . . 3  |-  ( ph  ->  t  e.  T )
2 sumex 13512 . . 3  |-  sum_ i  e.  ( 0 ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  e.  _V
3 eqid 2382 . . . 4  |-  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )  =  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )
43fvmpt2 5865 . . 3  |-  ( ( t  e.  T  /\  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) )  e.  _V )  -> 
( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  =  sum_ i  e.  ( 0 ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )
51, 2, 4sylancl 660 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  =  sum_ i  e.  ( 0 ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )
6 fzfid 11986 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
7 stoweidlem11.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
87rpred 11177 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
98adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  E  e.  RR )
10 stoweidlem11.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( X `  i ) : T --> RR )
111adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  t  e.  T )
1210, 11ffvelrnd 5934 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  e.  RR )
139, 12remulcld 9535 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  e.  RR )
146, 13fsumrecl 13558 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  e.  RR )
15 stoweidlem11.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  j  e.  ( 1 ... N ) )
16 elfzuz 11605 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
1715, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
18 eluz2 11007 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  1  <_ 
j ) )
1917, 18sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  1  <_  j ) )
2019simp2d 1007 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  j  e.  ZZ )
2120zred 10884 . . . . 5  |-  ( ph  ->  j  e.  RR )
228, 21remulcld 9535 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  x.  j
)  e.  RR )
23 stoweidlem11.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2423nnred 10467 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
2524, 21resubcld 9905 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  -  j
)  e.  RR )
26 1red 9522 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
2725, 26readdcld 9534 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  j )  +  1 )  e.  RR )
288, 23nndivred 10501 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  /  N
)  e.  RR )
298, 28remulcld 9535 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E  x.  ( E  /  N ) )  e.  RR )
3027, 29remulcld 9535 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) )  e.  RR )
3122, 30readdcld 9534 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )  e.  RR )
32 3re 10526 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
34 3ne0 10547 . . . . . . 7  |-  3  =/=  0
3534a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
3633, 35rereccld 10288 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
3721, 36readdcld 9534 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  +  ( 1  /  3 ) )  e.  RR )
3837, 8remulcld 9535 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )
39 fzfid 11986 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
j  -  1 ) )  e.  Fin )
408adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  E  e.  RR )
41 elfzelz 11609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  j  e.  ZZ )
42 peano2zm 10824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ZZ  ->  (
j  -  1 )  e.  ZZ )
4315, 41, 423syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  ZZ )
4423nnzd 10883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
4521, 26resubcld 9905 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  RR )
4621lem1d 10395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  <_  j )
47 elfzuz3 11606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  j )
)
48 eluzle 11013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  j  <_  N )
4915, 47, 483syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  j  <_  N )
5045, 21, 24, 46, 49letrd 9650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  <_  N )
51 eluz2 11007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  (
j  -  1 ) )  <->  ( ( j  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( j  -  1 )  <_  N ) )
5243, 44, 50, 51syl3anbrc 1178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( j  -  1 ) ) )
53 fzss2 11645 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  (
j  -  1 ) )  ->  ( 0 ... ( j  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... N
) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
j  -  1 ) )  C_  ( 0 ... N ) )
5554sselda 3417 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ( 0 ... N
) )
5655, 12syldan 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  e.  RR )
5740, 56remulcld 9535 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  e.  RR )
5839, 57fsumrecl 13558 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  e.  RR )
5958, 30readdcld 9534 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  +  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) ) )  e.  RR )
6021ltm1d 10394 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  <  j )
61 fzdisj 11633 . . . . . . 7  |-  ( ( j  -  1 )  <  j  ->  (
( 0 ... (
j  -  1 ) )  i^i  ( j ... N ) )  =  (/) )
6260, 61syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  i^i  (
j ... N ) )  =  (/) )
63 fzssp1 11648 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )
6423nncnd 10468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
65 1cnd 9523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
6664, 65npcand 9848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
6766oveq2d 6212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 0 ... N ) )
6863, 67syl5sseq 3465 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  C_  ( 0 ... N ) )
69 1zzd 10812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
70 fzsubel 11641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( j  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( j  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( j  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ) )
7169, 44, 20, 69, 70syl22anc 1227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( j  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ) )
7215, 71mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) )
73 1m1e0 10521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  1 )  =  0
7473oveq1i 6206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) )
7572, 74syl6eleq 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )
7668, 75sseldd 3418 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
77 fzsplit 11632 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
0 ... N )  =  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  u.  (
( ( j  - 
1 )  +  1 ) ... N ) ) )
7876, 77syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  =  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  u.  ( ( ( j  -  1 )  +  1 ) ... N ) ) )
7920zcnd 10885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  j  e.  CC )
8079, 65npcand 9848 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  - 
1 )  +  1 )  =  j )
8180oveq1d 6211 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  1 )  +  1 ) ... N
)  =  ( j ... N ) )
8281uneq2d 3572 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  u.  (
( ( j  - 
1 )  +  1 ) ... N ) )  =  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  u.  ( j ... N ) ) )
8378, 82eqtrd 2423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  =  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  u.  ( j ... N ) ) )
847rpcnd 11179 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
8584adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  E  e.  CC )
8612recnd 9533 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  e.  CC )
8785, 86mulcld 9527 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  e.  CC )
8862, 83, 6, 87fsumsplit 13564 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  =  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) )  +  sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) )
89 fzfid 11986 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( j ... N
)  e.  Fin )
908adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  E  e.  RR )
91 0zd 10793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
92 0red 9508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
93 0le1 9993 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  1
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
9519simp3d 1008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <_  j )
9692, 26, 21, 94, 95letrd 9650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  j )
97 eluz2 11007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  0  <_ 
j ) )
9891, 20, 96, 97syl3anbrc 1178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  j  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
99 fzss1 11644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( j ... N )  C_  (
0 ... N ) )
10098, 99syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j ... N
)  C_  ( 0 ... N ) )
101100sselda 3417 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  i  e.  ( 0 ... N
) )
102101, 10syldan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  ( X `  i ) : T --> RR )
1031adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  t  e.  T )
104102, 103ffvelrnd 5934 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  e.  RR )
10590, 104remulcld 9535 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  e.  RR )
10689, 105fsumrecl 13558 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  e.  RR )
107 eluzfz2 11615 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  N  e.  ( j ... N
) )
108 ne0i 3717 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( j ... N )  ->  (
j ... N )  =/=  (/) )
10915, 47, 107, 1084syl 21 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j ... N
)  =/=  (/) )
11023adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  N  e.  NN )
11190, 110nndivred 10501 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  ( E  /  N )  e.  RR )
11290, 111remulcld 9535 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  ( E  x.  ( E  /  N ) )  e.  RR )
113 stoweidlem11.6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  <  ( E  /  N
) )
1147rpgt0d 11180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  E )
115114adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  0  <  E )
116 ltmul2 10310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X `  i ) `  t
)  e.  RR  /\  ( E  /  N
)  e.  RR  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  ->  ( (
( X `  i
) `  t )  <  ( E  /  N
)  <->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  <  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
117104, 111, 90, 115, 116syl112anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  (
( ( X `  i ) `  t
)  <  ( E  /  N )  <->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  <  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
118113, 117mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  < 
( E  x.  ( E  /  N ) ) )
11989, 109, 105, 112, 118fsumlt 13616 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <  sum_ i  e.  ( j ... N
) ( E  x.  ( E  /  N
) ) )
12023nnne0d 10497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
12184, 64, 120divcld 10237 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  /  N
)  e.  CC )
12284, 121mulcld 9527 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  x.  ( E  /  N ) )  e.  CC )
123 fsumconst 13607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j ... N
)  e.  Fin  /\  ( E  x.  ( E  /  N ) )  e.  CC )  ->  sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  ( E  /  N ) )  =  ( ( # `  ( j ... N
) )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
12489, 122, 123syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  ( E  /  N ) )  =  ( ( # `  ( j ... N
) )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
125 hashfz 12389 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( # `  (
j ... N ) )  =  ( ( N  -  j )  +  1 ) )
12615, 47, 1253syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  (
j ... N ) )  =  ( ( N  -  j )  +  1 ) )
127126oveq1d 6211 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
j ... N ) )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) )  =  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
128124, 127eqtrd 2423 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  ( E  /  N ) )  =  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
129119, 128breqtrd 4391 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <  ( (
( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) ) )
130106, 30, 58, 129ltadd2dd 9652 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  +  sum_ i  e.  ( j ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )  < 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  +  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) ) ) )
13188, 130eqbrtrd 4387 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) ) )
132 stoweidlem11.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  <_  1 )
13355, 132syldan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  <_  1 )
134 1red 9522 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
135114adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  0  <  E )
136 lemul2 10312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X `  i ) `  t
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  -> 
( ( ( X `
 i ) `  t )  <_  1  <->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) )  <_  ( E  x.  1 ) ) )
13756, 134, 40, 135, 136syl112anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  (
( ( X `  i ) `  t
)  <_  1  <->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  <_  ( E  x.  1 ) ) )
138133, 137mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  <_ 
( E  x.  1 ) )
13984mulid1d 9524 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  x.  1 )  =  E )
140139adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  ( E  x.  1 )  =  E )
141138, 140breqtrd 4391 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  <_  E )
14239, 57, 40, 141fsumle 13615 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <_  sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) E )
143 fsumconst 13607 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0 ... (
j  -  1 ) )  e.  Fin  /\  E  e.  CC )  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) E  =  ( (
# `  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) )  x.  E ) )
14439, 84, 143syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) E  =  ( (
# `  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) )  x.  E ) )
145 0z 10792 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ZZ
146 1e0p1 10923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =  ( 0  +  1 )
147146fveq2i 5777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
14817, 147syl6eleq 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  j  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )
149 eluzp1m1 11024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )  -> 
( j  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
150145, 148, 149sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
151 hashfz 12389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( # `  (
0 ... ( j  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( j  -  1 )  -  0 )  +  1 ) )
152150, 151syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0 ... ( j  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( j  -  1 )  -  0 )  +  1 ) )
15379, 65subcld 9844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  CC )
154153subid1d 9833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( j  - 
1 )  -  0 )  =  ( j  -  1 ) )
155154oveq1d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  1 )  - 
0 )  +  1 )  =  ( ( j  -  1 )  +  1 ) )
156152, 155, 803eqtrd 2427 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0 ... ( j  - 
1 ) ) )  =  j )
157156oveq1d 6211 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
0 ... ( j  - 
1 ) ) )  x.  E )  =  ( j  x.  E
) )
15879, 84mulcomd 9528 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( j  x.  E
)  =  ( E  x.  j ) )
159144, 157, 1583eqtrd 2427 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) E  =  ( E  x.  j ) )
160142, 159breqtrd 4391 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <_  ( E  x.  j ) )
16158, 22, 30, 160leadd1dd 10083 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  +  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) ) )  <_  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) ) )
16214, 59, 31, 131, 161ltletrd 9653 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) ) )
1638, 8remulcld 9535 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E  x.  E
)  e.  RR )
16422, 163readdcld 9534 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) )  e.  RR )
16564, 79subcld 9844 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  j
)  e.  CC )
166165, 65addcld 9526 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  j )  +  1 )  e.  CC )
16784, 166, 121mul12d 9700 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  x.  (
( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) )  =  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) ) )
168167oveq2d 6212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) ) )  =  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) ) )
16927, 28remulcld 9535 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) )  e.  RR )
1708, 169remulcld 9535 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  x.  (
( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) )  e.  RR )
171166, 84, 64, 120div12d 10273 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) )  =  ( E  x.  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N
) ) )
17226, 21resubcld 9905 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  -  j
)  e.  RR )
173 elfzle1 11610 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  1  <_  j )
17415, 173syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  <_  j )
17526, 21suble0d 10060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  j )  <_  0  <->  1  <_  j ) )
176174, 175mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  -  j
)  <_  0 )
177172, 92, 24, 176leadd2dd 10084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  -  j ) )  <_  ( N  +  0 ) )
17864, 65, 79addsub12d 9867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  -  j ) )  =  ( 1  +  ( N  -  j ) ) )
17965, 165addcomd 9693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( N  -  j ) )  =  ( ( N  -  j )  +  1 ) )
180178, 179eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  -  j ) )  =  ( ( N  -  j )  +  1 ) )
18164addid1d 9691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  0 )  =  N )
182177, 180, 1813brtr3d 4396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  j )  +  1 )  <_  N )
18323nngt0d 10496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  N )
184 lediv1 10324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  -  j )  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( ( N  -  j )  +  1 )  <_  N  <->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N )  <_  ( N  /  N ) ) )
18527, 24, 24, 183, 184syl112anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  <_  N  <->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N )  <_  ( N  /  N ) ) )
186182, 185mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N
)  <_  ( N  /  N ) )
18764, 120dividd 10235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  /  N
)  =  1 )
188186, 187breqtrd 4391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N
)  <_  1 )
18927, 23nndivred 10501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N
)  e.  RR )
190189, 26, 7lemul2d 11217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N )  <_  1  <->  ( E  x.  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  /  N ) )  <_  ( E  x.  1 ) ) )
191188, 190mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  x.  (
( ( N  -  j )  +  1 )  /  N ) )  <_  ( E  x.  1 ) )
192191, 139breqtrd 4391 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  x.  (
( ( N  -  j )  +  1 )  /  N ) )  <_  E )
193171, 192eqbrtrd 4387 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) )  <_  E )
194169, 8, 7lemul2d 11217 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N
) )  <_  E  <->  ( E  x.  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) )  <_  ( E  x.  E ) ) )
195193, 194mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  x.  (
( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) )  <_  ( E  x.  E ) )
196170, 163, 22, 195leadd2dd 10084 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) ) )  <_  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) ) )
197168, 196eqbrtrrd 4389 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )  <_  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) ) )
19884, 79mulcomd 9528 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E  x.  j
)  =  ( j  x.  E ) )
199198oveq1d 6211 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) )  =  ( ( j  x.  E )  +  ( E  x.  E ) ) )
20079, 84, 84adddird 9532 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  E )  x.  E
)  =  ( ( j  x.  E )  +  ( E  x.  E ) ) )
201199, 200eqtr4d 2426 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) )  =  ( ( j  +  E )  x.  E ) )
20221, 8readdcld 9534 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  +  E
)  e.  RR )
203 stoweidlem11.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
2048, 36, 21, 203ltadd2dd 9652 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  +  E
)  <  ( j  +  ( 1  / 
3 ) ) )
205202, 37, 7, 204ltmul1dd 11228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  E )  x.  E
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
206201, 205eqbrtrd 4387 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) )  <  ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
20731, 164, 38, 197, 206lelttrd 9651 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )  <  ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
20814, 31, 38, 162, 207lttrd 9654 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
2095, 208eqbrtrd 4387 1  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   _Vcvv 3034    u. cun 3387    i^i cin 3388    C_ wss 3389   (/)c0 3711   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Fincfn 7435   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    x. cmul 9408    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718    / cdiv 10123   NNcn 10452   3c3 10503   ZZcz 10781   ZZ>=cuz 11001   RR+crp 11139   ...cfz 11593   #chash 12307   sum_csu 13510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-ico 11456  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-sum 13511
This theorem is referenced by:  stoweidlem34  31982
  Copyright terms: Public domain W3C validator