Theorem stoweidlem11 37983

Description: This lemma is used to prove that there is a function g as in the proof of [BrosowskiDeutsh] p. 92 (at the top of page 92): this lemma proves that g(t) < ( j + 1 / 3 ) * ε. Here E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem11.1	|- ( ph -> N e. NN )
stoweidlem11.2	|- ( ph -> t e. T )
stoweidlem11.3	|- ( ph -> j e. ( 1 ... N ) )
stoweidlem11.4	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( X ` i ) : T --> RR )
stoweidlem11.5	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) <_ 1 )
stoweidlem11.6	|- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) < ( E / N ) )
stoweidlem11.7	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem11.8	|- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem11	|- ( ph -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )

Distinct variable groups:   i, j   t, i, E   i, N, t   ph, i   t, T   t, X

Allowed substitution hints:   ph( t, j)   T( i, j)   E( j)   N( j)   X( i, j)

Proof of Theorem stoweidlem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem11.2	. . 3 |- ( ph -> t e. T )
2		sumex 13831	. . 3 |- sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. _V
3		eqid 2471	. . . 4 |- ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
4	3	fvmpt2 5972	. . 3 |- ( ( t e. T /\ sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. _V ) -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) = sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
5	1, 2, 4	sylancl 675	. 2 |- ( ph -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) = sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
6		fzfid 12224	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
7		stoweidlem11.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR+ )
8	7	rpred 11364	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. RR )
9	8	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> E e. RR )
10		stoweidlem11.4	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( X ` i ) : T --> RR )
11	1	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> t e. T )
12	10, 11	ffvelrnd 6038	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. RR )
13	9, 12	remulcld 9689	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
14	6, 13	fsumrecl 13877	. . 3 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
15		stoweidlem11.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> j e. ( 1 ... N ) )
16		elfzuz 11822	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
18		eluz2 11188	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ j e. ZZ /\ 1 <_ j ) )
19	17, 18	sylib 201	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 e. ZZ /\ j e. ZZ /\ 1 <_ j ) )
20	19	simp2d 1043	. . . . . 6 |- ( ph -> j e. ZZ )
21	20	zred 11063	. . . . 5 |- ( ph -> j e. RR )
22	8, 21	remulcld 9689	. . . 4 |- ( ph -> ( E x. j ) e. RR )
23		stoweidlem11.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN )
24	23	nnred 10646	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. RR )
25	24, 21	resubcld 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N - j ) e. RR )
26		1red 9676	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
27	25, 26	readdcld 9688	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N - j ) + 1 ) e. RR )
28	8, 23	nndivred 10680	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E / N ) e. RR )
29	8, 28	remulcld 9689	. . . . 5 |- ( ph -> ( E x. ( E / N ) ) e. RR )
30	27, 29	remulcld 9689	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) e. RR )
31	22, 30	readdcld 9688	. . 3 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) e. RR )
32		3re 10705	. . . . . . 7 |- 3 e. RR
33	32	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 3 e. RR )
34		3ne0 10726	. . . . . . 7 |- 3 =/= 0
35	34	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 3 =/= 0 )
36	33, 35	rereccld 10456	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / 3 ) e. RR )
37	21, 36	readdcld 9688	. . . 4 |- ( ph -> ( j + ( 1 / 3 ) ) e. RR )
38	37, 8	remulcld 9689	. . 3 |- ( ph -> ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) e. RR )
39		fzfid 12224	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... ( j - 1 ) ) e. Fin )
40	8	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> E e. RR )
41		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> j e. ZZ )
42		peano2zm 11004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ZZ -> ( j - 1 ) e. ZZ )
43	15, 41, 42	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. ZZ )
44	23	nnzd 11062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
45	21, 26	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. RR )
46	21	lem1d 10562	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( j - 1 ) <_ j )
47		elfzuz3 11823	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` j ) )
48		eluzle 11195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` j ) -> j <_ N )
49	15, 47, 48	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> j <_ N )
50	45, 21, 24, 46, 49	letrd 9809	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j - 1 ) <_ N )
51		eluz2 11188	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( j - 1 ) ) <-> ( ( j - 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( j - 1 ) <_ N ) )
52	43, 44, 50, 51	syl3anbrc 1214	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( j - 1 ) ) )
53		fzss2 11864	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( j - 1 ) ) -> ( 0 ... ( j - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 ... ( j - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
55	54	sselda 3418	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> i e. ( 0 ... N ) )
56	55, 12	syldan 478	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. RR )
57	40, 56	remulcld 9689	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
58	39, 57	fsumrecl 13877	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
59	58, 30	readdcld 9688	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) e. RR )
60	21	ltm1d 10561	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( j - 1 ) < j )
61		fzdisj 11852	. . . . . . 7 |- ( ( j - 1 ) < j -> ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) i^i ( j ... N ) ) = (/) )
62	60, 61	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) i^i ( j ... N ) ) = (/) )
63		fzssp1 11867	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) )
64	23	nncnd 10647	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. CC )
65		1cnd 9677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. CC )
66	64, 65	npcand 10009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
67	66	oveq2d 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
68	63, 67	syl5sseq 3466	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
69		1zzd 10992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
70		fzsubel 11860	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( j e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) ) -> ( j e. ( 1 ... N ) <-> ( j - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) )
71	69, 44, 20, 69, 70	syl22anc 1293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j e. ( 1 ... N ) <-> ( j - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) )
72	15, 71	mpbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
73		1m1e0 10700	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 1 ) = 0
74	73	oveq1i 6318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( 0 ... ( N - 1 ) )
75	72, 74	syl6eleq 2559	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
76	68, 75	sseldd 3419	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
77		fzsplit 11851	. . . . . . . 8 |- ( ( j - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( 0 ... N ) = ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) u. ( ( ( j - 1 ) + 1 ) ... N ) ) )
78	76, 77	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... N ) = ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) u. ( ( ( j - 1 ) + 1 ) ... N ) ) )
79	20	zcnd 11064	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> j e. CC )
80	79, 65	npcand 10009	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( j - 1 ) + 1 ) = j )
81	80	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( j - 1 ) + 1 ) ... N ) = ( j ... N ) )
82	81	uneq2d 3579	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) u. ( ( ( j - 1 ) + 1 ) ... N ) ) = ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) u. ( j ... N ) ) )
83	78, 82	eqtrd 2505	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... N ) = ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) u. ( j ... N ) ) )
84	7	rpcnd 11366	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. CC )
85	84	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> E e. CC )
86	12	recnd 9687	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. CC )
87	85, 86	mulcld 9681	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. CC )
88	62, 83, 6, 87	fsumsplit 13883	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) )
89		fzfid 12224	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( j ... N ) e. Fin )
90	8	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> E e. RR )
91		0zd 10973	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
92		0red 9662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 e. RR )
93		0le1 10158	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 <_ 1
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 <_ 1 )
95	19	simp3d 1044	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 <_ j )
96	92, 26, 21, 94, 95	letrd 9809	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 <_ j )
97		eluz2 11188	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` 0 ) <-> ( 0 e. ZZ /\ j e. ZZ /\ 0 <_ j ) )
98	91, 20, 96, 97	syl3anbrc 1214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> j e. ( ZZ>= ` 0 ) )
99		fzss1 11863	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( j ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
101	100	sselda 3418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> i e. ( 0 ... N ) )
102	101, 10	syldan 478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( X ` i ) : T --> RR )
103	1	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> t e. T )
104	102, 103	ffvelrnd 6038	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. RR )
105	90, 104	remulcld 9689	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
106	89, 105	fsumrecl 13877	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
107		eluzfz2 11833	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` j ) -> N e. ( j ... N ) )
108		ne0i 3728	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( j ... N ) -> ( j ... N ) =/= (/) )
109	15, 47, 107, 108	4syl 19	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( j ... N ) =/= (/) )
110	23	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> N e. NN )
111	90, 110	nndivred 10680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( E / N ) e. RR )
112	90, 111	remulcld 9689	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( E x. ( E / N ) ) e. RR )
113		stoweidlem11.6	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) < ( E / N ) )
114	7	rpgt0d 11367	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < E )
115	114	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> 0 < E )
116		ltmul2 10478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X ` i ) ` t ) e. RR /\ ( E / N ) e. RR /\ ( E e. RR /\ 0 < E ) ) -> ( ( ( X ` i ) ` t ) < ( E / N ) <-> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( E x. ( E / N ) ) ) )
117	104, 111, 90, 115, 116	syl112anc 1296	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( ( ( X ` i ) ` t ) < ( E / N ) <-> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( E x. ( E / N ) ) ) )
118	113, 117	mpbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( E x. ( E / N ) ) )
119	89, 109, 105, 112, 118	fsumlt 13937	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( E / N ) ) )
120	23	nnne0d 10676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N =/= 0 )
121	84, 64, 120	divcld 10405	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E / N ) e. CC )
122	84, 121	mulcld 9681	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E x. ( E / N ) ) e. CC )
123		fsumconst 13928	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( j ... N ) e. Fin /\ ( E x. ( E / N ) ) e. CC ) -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( E / N ) ) = ( ( # ` ( j ... N ) ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
124	89, 122, 123	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( E / N ) ) = ( ( # ` ( j ... N ) ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
125		hashfz 12640	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` j ) -> ( # ` ( j ... N ) ) = ( ( N - j ) + 1 ) )
126	15, 47, 125	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` ( j ... N ) ) = ( ( N - j ) + 1 ) )
127	126	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( # ` ( j ... N ) ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) = ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
128	124, 127	eqtrd 2505	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( E / N ) ) = ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
129	119, 128	breqtrd 4420	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
130	106, 30, 58, 129	ltadd2dd 9811	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) < ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) )
131	88, 130	eqbrtrd 4416	. . . 4 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) )
132		stoweidlem11.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) <_ 1 )
133	55, 132	syldan 478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) <_ 1 )
134		1red 9676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
135	114	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> 0 < E )
136		lemul2 10480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X ` i ) ` t ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( E e. RR /\ 0 < E ) ) -> ( ( ( X ` i ) ` t ) <_ 1 <-> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ ( E x. 1 ) ) )
137	56, 134, 40, 135, 136	syl112anc 1296	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( ( ( X ` i ) ` t ) <_ 1 <-> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ ( E x. 1 ) ) )
138	133, 137	mpbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ ( E x. 1 ) )
139	84	mulid1d 9678	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E x. 1 ) = E )
140	139	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( E x. 1 ) = E )
141	138, 140	breqtrd 4420	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ E )
142	39, 57, 40, 141	fsumle 13936	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) E )
143		fsumconst 13928	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) e. Fin /\ E e. CC ) -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) E = ( ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) x. E ) )
144	39, 84, 143	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) E = ( ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) x. E ) )
145		0z 10972	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ZZ
146		1e0p1 11102	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 = ( 0 + 1 )
147	146	fveq2i 5882	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) )
148	17, 147	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> j e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
149		eluzp1m1 11206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. ZZ /\ j e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( j - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
150	145, 148, 149	sylancr 676	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
151		hashfz 12640	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) = ( ( ( j - 1 ) - 0 ) + 1 ) )
152	150, 151	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) = ( ( ( j - 1 ) - 0 ) + 1 ) )
153	79, 65	subcld 10005	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. CC )
154	153	subid1d 9994	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( j - 1 ) - 0 ) = ( j - 1 ) )
155	154	oveq1d 6323	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( j - 1 ) - 0 ) + 1 ) = ( ( j - 1 ) + 1 ) )
156	152, 155, 80	3eqtrd 2509	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) = j )
157	156	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) x. E ) = ( j x. E ) )
158	79, 84	mulcomd 9682	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( j x. E ) = ( E x. j ) )
159	144, 157, 158	3eqtrd 2509	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) E = ( E x. j ) )
160	142, 159	breqtrd 4420	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ ( E x. j ) )
161	58, 22, 30, 160	leadd1dd 10248	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) <_ ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) )
162	14, 59, 31, 131, 161	ltletrd 9812	. . 3 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) )
163	8, 8	remulcld 9689	. . . . 5 |- ( ph -> ( E x. E ) e. RR )
164	22, 163	readdcld 9688	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) e. RR )
165	64, 79	subcld 10005	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N - j ) e. CC )
166	165, 65	addcld 9680	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N - j ) + 1 ) e. CC )
167	84, 166, 121	mul12d 9860	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) = ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
168	167	oveq2d 6324	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) ) = ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) )
169	27, 28	remulcld 9689	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) e. RR )
170	8, 169	remulcld 9689	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) e. RR )
171	166, 84, 64, 120	div12d 10441	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) = ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) ) )
172	26, 21	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 - j ) e. RR )
173		elfzle1 11828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> 1 <_ j )
174	15, 173	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 <_ j )
175	26, 21	suble0d 10225	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 1 - j ) <_ 0 <-> 1 <_ j ) )
176	174, 175	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 - j ) <_ 0 )
177	172, 92, 24, 176	leadd2dd 10249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N + ( 1 - j ) ) <_ ( N + 0 ) )
178	64, 65, 79	addsub12d 10028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( N + ( 1 - j ) ) = ( 1 + ( N - j ) ) )
179	65, 165	addcomd 9853	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 + ( N - j ) ) = ( ( N - j ) + 1 ) )
180	178, 179	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N + ( 1 - j ) ) = ( ( N - j ) + 1 ) )
181	64	addid1d 9851	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N + 0 ) = N )
182	177, 180, 181	3brtr3d 4425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( N - j ) + 1 ) <_ N )
183	23	nngt0d 10675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < N )
184		lediv1 10492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N - j ) + 1 ) e. RR /\ N e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( N - j ) + 1 ) <_ N <-> ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) <_ ( N / N ) ) )
185	27, 24, 24, 183, 184	syl112anc 1296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) <_ N <-> ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) <_ ( N / N ) ) )
186	182, 185	mpbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) <_ ( N / N ) )
187	64, 120	dividd 10403	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N / N ) = 1 )
188	186, 187	breqtrd 4420	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) <_ 1 )
189	27, 23	nndivred 10680	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) e. RR )
190	189, 26, 7	lemul2d 11405	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) <_ 1 <-> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) ) <_ ( E x. 1 ) ) )
191	188, 190	mpbid 215	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) ) <_ ( E x. 1 ) )
192	191, 139	breqtrd 4420	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) ) <_ E )
193	171, 192	eqbrtrd 4416	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) <_ E )
194	169, 8, 7	lemul2d 11405	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) <_ E <-> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) <_ ( E x. E ) ) )
195	193, 194	mpbid 215	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) <_ ( E x. E ) )
196	170, 163, 22, 195	leadd2dd 10249	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) ) <_ ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) )
197	168, 196	eqbrtrrd 4418	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) <_ ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) )
198	84, 79	mulcomd 9682	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E x. j ) = ( j x. E ) )
199	198	oveq1d 6323	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) = ( ( j x. E ) + ( E x. E ) ) )
200	79, 84, 84	adddird 9686	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( j + E ) x. E ) = ( ( j x. E ) + ( E x. E ) ) )
201	199, 200	eqtr4d 2508	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) = ( ( j + E ) x. E ) )
202	21, 8	readdcld 9688	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j + E ) e. RR )
203		stoweidlem11.8	. . . . . . 7 |- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )
204	8, 36, 21, 203	ltadd2dd 9811	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j + E ) < ( j + ( 1 / 3 ) ) )
205	202, 37, 7, 204	ltmul1dd 11416	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( j + E ) x. E ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )
206	201, 205	eqbrtrd 4416	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )
207	31, 164, 38, 197, 206	lelttrd 9810	. . 3 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )
208	14, 31, 38, 162, 207	lttrd 9813	. 2 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )
209	5, 208	eqbrtrd 4416	1 |- ( ph -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   _Vcvv 3031   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   3c3 10682   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810   #chash 12553   sum_csu 13829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830

This theorem is referenced by:  stoweidlem34  38007