Theorem stoweidlem11 27627

Description: This lemma is used to prove that there is a function g as in the proof of [BrosowskiDeutsh] p. 92, (at the top of page 92): this lemma proves that g(t) < ( j + 1 / 3 ) * ε. Here E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem11.1	|- ( ph -> N e. NN )
stoweidlem11.2	|- ( ph -> t e. T )
stoweidlem11.3	|- ( ph -> j e. ( 1 ... N ) )
stoweidlem11.4	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( X ` i ) : T --> RR )
stoweidlem11.5	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) <_ 1 )
stoweidlem11.6	|- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) < ( E / N ) )
stoweidlem11.7	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem11.8	|- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem11	|- ( ph -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )

Distinct variable groups:   i, j   t, i, E   i, N, t   ph, i   t, T   t, X

Allowed substitution hints:   ph( t, j)   T( i, j)   E( j)   N( j)   X( i, j)

Proof of Theorem stoweidlem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem11.2	. . 3 |- ( ph -> t e. T )
2		sumex 12436	. . 3 |- sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. _V
3		eqid 2404	. . . 4 |- ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
4	3	fvmpt2 5771	. . 3 |- ( ( t e. T /\ sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. _V ) -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) = sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
5	1, 2, 4	sylancl 644	. 2 |- ( ph -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) = sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
6		fzfid 11267	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
7		stoweidlem11.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR+ )
8	7	rpred 10604	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. RR )
9	8	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> E e. RR )
10		stoweidlem11.4	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( X ` i ) : T --> RR )
11	1	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> t e. T )
12	10, 11	ffvelrnd 5830	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. RR )
13	9, 12	remulcld 9072	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
14	6, 13	fsumrecl 12483	. . 3 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
15		stoweidlem11.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> j e. ( 1 ... N ) )
16		elfzuz 11011	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
17	15, 16	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
18		eluz2 10450	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ j e. ZZ /\ 1 <_ j ) )
19	17, 18	sylib 189	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 e. ZZ /\ j e. ZZ /\ 1 <_ j ) )
20	19	simp2d 970	. . . . . 6 |- ( ph -> j e. ZZ )
21	20	zred 10331	. . . . 5 |- ( ph -> j e. RR )
22	8, 21	remulcld 9072	. . . 4 |- ( ph -> ( E x. j ) e. RR )
23		stoweidlem11.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN )
24	23	nnred 9971	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. RR )
25	24, 21	resubcld 9421	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N - j ) e. RR )
26		1re 9046	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
27	26	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
28	25, 27	readdcld 9071	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N - j ) + 1 ) e. RR )
29	8, 23	nndivred 10004	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E / N ) e. RR )
30	8, 29	remulcld 9072	. . . . 5 |- ( ph -> ( E x. ( E / N ) ) e. RR )
31	28, 30	remulcld 9072	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) e. RR )
32	22, 31	readdcld 9071	. . 3 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) e. RR )
33		3re 10027	. . . . . . 7 |- 3 e. RR
34	33	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 3 e. RR )
35		3ne0 10041	. . . . . . 7 |- 3 =/= 0
36	35	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 3 =/= 0 )
37	34, 36	rereccld 9797	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / 3 ) e. RR )
38	21, 37	readdcld 9071	. . . 4 |- ( ph -> ( j + ( 1 / 3 ) ) e. RR )
39	38, 8	remulcld 9072	. . 3 |- ( ph -> ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) e. RR )
40		fzfid 11267	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... ( j - 1 ) ) e. Fin )
41	8	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> E e. RR )
42		elfzelz 11015	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> j e. ZZ )
43		peano2zm 10276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ZZ -> ( j - 1 ) e. ZZ )
44	15, 42, 43	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. ZZ )
45	23	nnzd 10330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
46	21, 27	resubcld 9421	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. RR )
47	21	lem1d 9900	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( j - 1 ) <_ j )
48		elfzuz3 11012	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` j ) )
49		eluzle 10454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` j ) -> j <_ N )
50	15, 48, 49	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> j <_ N )
51	46, 21, 24, 47, 50	letrd 9183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j - 1 ) <_ N )
52		eluz2 10450	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( j - 1 ) ) <-> ( ( j - 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( j - 1 ) <_ N ) )
53	44, 45, 51, 52	syl3anbrc 1138	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( j - 1 ) ) )
54		fzss2 11048	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( j - 1 ) ) -> ( 0 ... ( j - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
55	53, 54	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 ... ( j - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
56	55	sselda 3308	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> i e. ( 0 ... N ) )
57	56, 12	syldan 457	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. RR )
58	41, 57	remulcld 9072	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
59	40, 58	fsumrecl 12483	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
60	59, 31	readdcld 9071	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) e. RR )
61	21	ltm1d 9899	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( j - 1 ) < j )
62		fzdisj 11034	. . . . . . 7 |- ( ( j - 1 ) < j -> ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) i^i ( j ... N ) ) = (/) )
63	61, 62	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) i^i ( j ... N ) ) = (/) )
64		fzssp1 11051	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) )
65	23	nncnd 9972	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. CC )
66		ax-1cn 9004	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. CC )
68	65, 67	npcand 9371	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
69	68	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
70	64, 69	syl5sseq 3356	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
71		1z 10267	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ZZ
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
73		fzsubel 11044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( j e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) ) -> ( j e. ( 1 ... N ) <-> ( j - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) )
74	72, 45, 20, 72, 73	syl22anc 1185	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j e. ( 1 ... N ) <-> ( j - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) )
75	15, 74	mpbid 202	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
76		1m1e0 10024	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 1 ) = 0
77	76	oveq1i 6050	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( 0 ... ( N - 1 ) )
78	75, 77	syl6eleq 2494	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
79	70, 78	sseldd 3309	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
80		fzsplit 11033	. . . . . . . 8 |- ( ( j - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( 0 ... N ) = ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) u. ( ( ( j - 1 ) + 1 ) ... N ) ) )
81	79, 80	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... N ) = ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) u. ( ( ( j - 1 ) + 1 ) ... N ) ) )
82	20	zcnd 10332	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> j e. CC )
83	82, 67	npcand 9371	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( j - 1 ) + 1 ) = j )
84	83	oveq1d 6055	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( j - 1 ) + 1 ) ... N ) = ( j ... N ) )
85	84	uneq2d 3461	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) u. ( ( ( j - 1 ) + 1 ) ... N ) ) = ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) u. ( j ... N ) ) )
86	81, 85	eqtrd 2436	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... N ) = ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) u. ( j ... N ) ) )
87	7	rpcnd 10606	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. CC )
88	87	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> E e. CC )
89	12	recnd 9070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. CC )
90	88, 89	mulcld 9064	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. CC )
91	63, 86, 6, 90	fsumsplit 12488	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) )
92		fzfid 11267	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( j ... N ) e. Fin )
93	8	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> E e. RR )
94		0z 10249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. ZZ
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
96		0re 9047	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 e. RR )
98		0le1 9507	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 <_ 1
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 <_ 1 )
100	19	simp3d 971	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 <_ j )
101	97, 27, 21, 99, 100	letrd 9183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 <_ j )
102		eluz2 10450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` 0 ) <-> ( 0 e. ZZ /\ j e. ZZ /\ 0 <_ j ) )
103	95, 20, 101, 102	syl3anbrc 1138	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> j e. ( ZZ>= ` 0 ) )
104		fzss1 11047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( j ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
105	103, 104	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
106	105	sselda 3308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> i e. ( 0 ... N ) )
107	106, 10	syldan 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( X ` i ) : T --> RR )
108	1	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> t e. T )
109	107, 108	ffvelrnd 5830	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. RR )
110	93, 109	remulcld 9072	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
111	92, 110	fsumrecl 12483	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
112		eluzfz2 11021	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` j ) -> N e. ( j ... N ) )
113	15, 48, 112	3syl 19	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ( j ... N ) )
114		ne0i 3594	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( j ... N ) -> ( j ... N ) =/= (/) )
115	113, 114	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( j ... N ) =/= (/) )
116	23	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> N e. NN )
117	93, 116	nndivred 10004	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( E / N ) e. RR )
118	93, 117	remulcld 9072	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( E x. ( E / N ) ) e. RR )
119		stoweidlem11.6	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) < ( E / N ) )
120	7	rpgt0d 10607	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < E )
121	120	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> 0 < E )
122		ltmul2 9817	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X ` i ) ` t ) e. RR /\ ( E / N ) e. RR /\ ( E e. RR /\ 0 < E ) ) -> ( ( ( X ` i ) ` t ) < ( E / N ) <-> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( E x. ( E / N ) ) ) )
123	109, 117, 93, 121, 122	syl112anc 1188	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( ( ( X ` i ) ` t ) < ( E / N ) <-> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( E x. ( E / N ) ) ) )
124	119, 123	mpbid 202	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( E x. ( E / N ) ) )
125	92, 115, 110, 118, 124	fsumlt 12534	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( E / N ) ) )
126	23	nnne0d 10000	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N =/= 0 )
127	87, 65, 126	divcld 9746	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E / N ) e. CC )
128	87, 127	mulcld 9064	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E x. ( E / N ) ) e. CC )
129		fsumconst 12528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( j ... N ) e. Fin /\ ( E x. ( E / N ) ) e. CC ) -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( E / N ) ) = ( ( # ` ( j ... N ) ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
130	92, 128, 129	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( E / N ) ) = ( ( # ` ( j ... N ) ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
131		hashfz 11647	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` j ) -> ( # ` ( j ... N ) ) = ( ( N - j ) + 1 ) )
132	15, 48, 131	3syl 19	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` ( j ... N ) ) = ( ( N - j ) + 1 ) )
133	132	oveq1d 6055	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( # ` ( j ... N ) ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) = ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
134	130, 133	eqtrd 2436	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( E / N ) ) = ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
135	125, 134	breqtrd 4196	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
136	111, 31, 59, 135	ltadd2dd 9185	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) < ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) )
137	91, 136	eqbrtrd 4192	. . . 4 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) )
138		stoweidlem11.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) <_ 1 )
139	56, 138	syldan 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) <_ 1 )
140	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
141	120	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> 0 < E )
142		lemul2 9819	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X ` i ) ` t ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( E e. RR /\ 0 < E ) ) -> ( ( ( X ` i ) ` t ) <_ 1 <-> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ ( E x. 1 ) ) )
143	57, 140, 41, 141, 142	syl112anc 1188	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( ( ( X ` i ) ` t ) <_ 1 <-> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ ( E x. 1 ) ) )
144	139, 143	mpbid 202	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ ( E x. 1 ) )
145	87	mulid1d 9061	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E x. 1 ) = E )
146	145	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( E x. 1 ) = E )
147	144, 146	breqtrd 4196	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ E )
148	40, 58, 41, 147	fsumle 12533	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) E )
149		fsumconst 12528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) e. Fin /\ E e. CC ) -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) E = ( ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) x. E ) )
150	40, 87, 149	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) E = ( ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) x. E ) )
151		1e0p1 10366	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 = ( 0 + 1 )
152	151	fveq2i 5690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) )
153	17, 152	syl6eleq 2494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> j e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
154		eluzp1m1 10465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. ZZ /\ j e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( j - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
155	94, 153, 154	sylancr 645	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
156		hashfz 11647	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) = ( ( ( j - 1 ) - 0 ) + 1 ) )
157	155, 156	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) = ( ( ( j - 1 ) - 0 ) + 1 ) )
158	82, 67	subcld 9367	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. CC )
159	158	subid1d 9356	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( j - 1 ) - 0 ) = ( j - 1 ) )
160	159	oveq1d 6055	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( j - 1 ) - 0 ) + 1 ) = ( ( j - 1 ) + 1 ) )
161	157, 160, 83	3eqtrd 2440	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) = j )
162	161	oveq1d 6055	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) x. E ) = ( j x. E ) )
163	82, 87	mulcomd 9065	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( j x. E ) = ( E x. j ) )
164	150, 162, 163	3eqtrd 2440	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) E = ( E x. j ) )
165	148, 164	breqtrd 4196	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ ( E x. j ) )
166	59, 22, 31, 165	leadd1dd 9596	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) <_ ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) )
167	14, 60, 32, 137, 166	ltletrd 9186	. . 3 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) )
168	8, 8	remulcld 9072	. . . . 5 |- ( ph -> ( E x. E ) e. RR )
169	22, 168	readdcld 9071	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) e. RR )
170	65, 82	subcld 9367	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N - j ) e. CC )
171	170, 67	addcld 9063	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N - j ) + 1 ) e. CC )
172	87, 171, 127	mul12d 9231	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) = ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
173	172	oveq2d 6056	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) ) = ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) )
174	28, 29	remulcld 9072	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) e. RR )
175	8, 174	remulcld 9072	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) e. RR )
176	171, 87, 65, 126	div12d 9782	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) = ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) ) )
177	27, 21	resubcld 9421	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 - j ) e. RR )
178		elfzle1 11016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> 1 <_ j )
179	15, 178	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 <_ j )
180	27, 21	suble0d 9573	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 1 - j ) <_ 0 <-> 1 <_ j ) )
181	179, 180	mpbird 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 - j ) <_ 0 )
182	177, 97, 24, 181	leadd2dd 9597	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N + ( 1 - j ) ) <_ ( N + 0 ) )
183	65, 67, 82	addsub12d 9390	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( N + ( 1 - j ) ) = ( 1 + ( N - j ) ) )
184	67, 170	addcomd 9224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 + ( N - j ) ) = ( ( N - j ) + 1 ) )
185	183, 184	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N + ( 1 - j ) ) = ( ( N - j ) + 1 ) )
186	65	addid1d 9222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N + 0 ) = N )
187	182, 185, 186	3brtr3d 4201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( N - j ) + 1 ) <_ N )
188	23	nngt0d 9999	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < N )
189		lediv1 9831	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N - j ) + 1 ) e. RR /\ N e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( N - j ) + 1 ) <_ N <-> ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) <_ ( N / N ) ) )
190	28, 24, 24, 188, 189	syl112anc 1188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) <_ N <-> ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) <_ ( N / N ) ) )
191	187, 190	mpbid 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) <_ ( N / N ) )
192	65, 126	dividd 9744	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N / N ) = 1 )
193	191, 192	breqtrd 4196	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) <_ 1 )
194	28, 23	nndivred 10004	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) e. RR )
195	194, 27, 7	lemul2d 10644	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) <_ 1 <-> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) ) <_ ( E x. 1 ) ) )
196	193, 195	mpbid 202	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) ) <_ ( E x. 1 ) )
197	196, 145	breqtrd 4196	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) ) <_ E )
198	176, 197	eqbrtrd 4192	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) <_ E )
199	174, 8, 7	lemul2d 10644	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) <_ E <-> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) <_ ( E x. E ) ) )
200	198, 199	mpbid 202	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) <_ ( E x. E ) )
201	175, 168, 22, 200	leadd2dd 9597	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) ) <_ ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) )
202	173, 201	eqbrtrrd 4194	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) <_ ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) )
203	87, 82	mulcomd 9065	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E x. j ) = ( j x. E ) )
204	203	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) = ( ( j x. E ) + ( E x. E ) ) )
205	82, 87, 87	adddird 9069	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( j + E ) x. E ) = ( ( j x. E ) + ( E x. E ) ) )
206	204, 205	eqtr4d 2439	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) = ( ( j + E ) x. E ) )
207	21, 8	readdcld 9071	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j + E ) e. RR )
208		stoweidlem11.8	. . . . . . 7 |- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )
209	8, 37, 21, 208	ltadd2dd 9185	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j + E ) < ( j + ( 1 / 3 ) ) )
210	207, 38, 7, 209	ltmul1dd 10655	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( j + E ) x. E ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )
211	206, 210	eqbrtrd 4192	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )
212	32, 169, 39, 202, 211	lelttrd 9184	. . 3 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )
213	14, 32, 39, 167, 212	lttrd 9187	. 2 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )
214	5, 213	eqbrtrd 4192	1 |- ( ph -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   _Vcvv 2916   u. cun 3278   i^i cin 3279   C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   3c3 10006   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999   #chash 11573   sum_csu 12434

This theorem is referenced by:  stoweidlem34  27650

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435