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Theorem stoweidlem11 27421
Description: This lemma is used to prove that there is a function  g as in the proof of [BrosowskiDeutsh] p. 92, (at the top of page 92): this lemma proves that g(t) < ( j + 1 / 3 ) * ε. Here  E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem11.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
stoweidlem11.2  |-  ( ph  ->  t  e.  T )
stoweidlem11.3  |-  ( ph  ->  j  e.  ( 1 ... N ) )
stoweidlem11.4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( X `  i ) : T --> RR )
stoweidlem11.5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  <_  1 )
stoweidlem11.6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  <  ( E  /  N
) )
stoweidlem11.7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem11.8  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem11  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
Distinct variable groups:    i, j    t, i, E    i, N, t    ph, i    t, T   
t, X
Allowed substitution hints:    ph( t, j)    T( i, j)    E( j)    N( j)    X( i, j)

Proof of Theorem stoweidlem11
StepHypRef Expression
1 stoweidlem11.2 . . 3  |-  ( ph  ->  t  e.  T )
2 sumex 12401 . . 3  |-  sum_ i  e.  ( 0 ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  e.  _V
3 eqid 2380 . . . 4  |-  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )  =  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )
43fvmpt2 5744 . . 3  |-  ( ( t  e.  T  /\  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) )  e.  _V )  -> 
( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  =  sum_ i  e.  ( 0 ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )
51, 2, 4sylancl 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  =  sum_ i  e.  ( 0 ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )
6 fzfid 11232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
7 stoweidlem11.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
87rpred 10573 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
98adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  E  e.  RR )
10 stoweidlem11.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( X `  i ) : T --> RR )
111adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  t  e.  T )
1210, 11ffvelrnd 5803 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  e.  RR )
139, 12remulcld 9042 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  e.  RR )
146, 13fsumrecl 12448 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  e.  RR )
15 stoweidlem11.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  j  e.  ( 1 ... N ) )
16 elfzuz 10980 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
1715, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
18 eluz2 10419 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  1  <_ 
j ) )
1917, 18sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  1  <_  j ) )
2019simp2d 970 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  j  e.  ZZ )
2120zred 10300 . . . . 5  |-  ( ph  ->  j  e.  RR )
228, 21remulcld 9042 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  x.  j
)  e.  RR )
23 stoweidlem11.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2423nnred 9940 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
2524, 21resubcld 9390 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  -  j
)  e.  RR )
26 1re 9016 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2726a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
2825, 27readdcld 9041 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  j )  +  1 )  e.  RR )
298, 23nndivred 9973 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  /  N
)  e.  RR )
308, 29remulcld 9042 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E  x.  ( E  /  N ) )  e.  RR )
3128, 30remulcld 9042 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) )  e.  RR )
3222, 31readdcld 9041 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )  e.  RR )
33 3re 9996 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
3433a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
35 3ne0 10010 . . . . . . 7  |-  3  =/=  0
3635a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
3734, 36rereccld 9766 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
3821, 37readdcld 9041 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  +  ( 1  /  3 ) )  e.  RR )
3938, 8remulcld 9042 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )
40 fzfid 11232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
j  -  1 ) )  e.  Fin )
418adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  E  e.  RR )
42 elfzelz 10984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  j  e.  ZZ )
43 peano2zm 10245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ZZ  ->  (
j  -  1 )  e.  ZZ )
4415, 42, 433syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  ZZ )
4523nnzd 10299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
4621, 27resubcld 9390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  RR )
4721lem1d 9869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  <_  j )
48 elfzuz3 10981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  j )
)
49 eluzle 10423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  j  <_  N )
5015, 48, 493syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  j  <_  N )
5146, 21, 24, 47, 50letrd 9152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  <_  N )
52 eluz2 10419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  (
j  -  1 ) )  <->  ( ( j  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( j  -  1 )  <_  N ) )
5344, 45, 51, 52syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( j  -  1 ) ) )
54 fzss2 11017 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  (
j  -  1 ) )  ->  ( 0 ... ( j  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... N
) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
j  -  1 ) )  C_  ( 0 ... N ) )
5655sselda 3284 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ( 0 ... N
) )
5756, 12syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  e.  RR )
5841, 57remulcld 9042 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  e.  RR )
5940, 58fsumrecl 12448 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  e.  RR )
6059, 31readdcld 9041 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  +  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) ) )  e.  RR )
6121ltm1d 9868 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  <  j )
62 fzdisj 11003 . . . . . . 7  |-  ( ( j  -  1 )  <  j  ->  (
( 0 ... (
j  -  1 ) )  i^i  ( j ... N ) )  =  (/) )
6361, 62syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  i^i  (
j ... N ) )  =  (/) )
64 fzssp1 11020 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )
6523nncnd 9941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
66 ax-1cn 8974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
6865, 67npcand 9340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
6968oveq2d 6029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 0 ... N ) )
7064, 69syl5sseq 3332 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  C_  ( 0 ... N ) )
71 1z 10236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ZZ
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
73 fzsubel 11013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( j  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( j  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( j  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ) )
7472, 45, 20, 72, 73syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( j  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ) )
7515, 74mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) )
76 1m1e0 9993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  1 )  =  0
7776oveq1i 6023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) )
7875, 77syl6eleq 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )
7970, 78sseldd 3285 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
80 fzsplit 11002 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
0 ... N )  =  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  u.  (
( ( j  - 
1 )  +  1 ) ... N ) ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  =  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  u.  ( ( ( j  -  1 )  +  1 ) ... N ) ) )
8220zcnd 10301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  j  e.  CC )
8382, 67npcand 9340 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  - 
1 )  +  1 )  =  j )
8483oveq1d 6028 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  1 )  +  1 ) ... N
)  =  ( j ... N ) )
8584uneq2d 3437 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  u.  (
( ( j  - 
1 )  +  1 ) ... N ) )  =  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  u.  ( j ... N ) ) )
8681, 85eqtrd 2412 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  =  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  u.  ( j ... N ) ) )
877rpcnd 10575 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
8887adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  E  e.  CC )
8912recnd 9040 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  e.  CC )
9088, 89mulcld 9034 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  e.  CC )
9163, 86, 6, 90fsumsplit 12453 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  =  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) )  +  sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) )
92 fzfid 11232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( j ... N
)  e.  Fin )
938adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  E  e.  RR )
94 0z 10218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ZZ
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
96 0re 9017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
98 0le1 9476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  1
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
10019simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <_  j )
10197, 27, 21, 99, 100letrd 9152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  j )
102 eluz2 10419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  0  <_ 
j ) )
10395, 20, 101, 102syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  j  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
104 fzss1 11016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( j ... N )  C_  (
0 ... N ) )
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j ... N
)  C_  ( 0 ... N ) )
106105sselda 3284 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  i  e.  ( 0 ... N
) )
107106, 10syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  ( X `  i ) : T --> RR )
1081adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  t  e.  T )
109107, 108ffvelrnd 5803 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  e.  RR )
11093, 109remulcld 9042 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  e.  RR )
11192, 110fsumrecl 12448 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  e.  RR )
112 eluzfz2 10990 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  N  e.  ( j ... N
) )
11315, 48, 1123syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( j ... N ) )
114 ne0i 3570 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( j ... N )  ->  (
j ... N )  =/=  (/) )
115113, 114syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j ... N
)  =/=  (/) )
11623adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  N  e.  NN )
11793, 116nndivred 9973 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  ( E  /  N )  e.  RR )
11893, 117remulcld 9042 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  ( E  x.  ( E  /  N ) )  e.  RR )
119 stoweidlem11.6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  <  ( E  /  N
) )
1207rpgt0d 10576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  E )
121120adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  0  <  E )
122 ltmul2 9786 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X `  i ) `  t
)  e.  RR  /\  ( E  /  N
)  e.  RR  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  ->  ( (
( X `  i
) `  t )  <  ( E  /  N
)  <->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  <  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
123109, 117, 93, 121, 122syl112anc 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  (
( ( X `  i ) `  t
)  <  ( E  /  N )  <->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  <  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
124119, 123mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  < 
( E  x.  ( E  /  N ) ) )
12592, 115, 110, 118, 124fsumlt 12499 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <  sum_ i  e.  ( j ... N
) ( E  x.  ( E  /  N
) ) )
12623nnne0d 9969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
12787, 65, 126divcld 9715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  /  N
)  e.  CC )
12887, 127mulcld 9034 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  x.  ( E  /  N ) )  e.  CC )
129 fsumconst 12493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j ... N
)  e.  Fin  /\  ( E  x.  ( E  /  N ) )  e.  CC )  ->  sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  ( E  /  N ) )  =  ( ( # `  ( j ... N
) )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
13092, 128, 129syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  ( E  /  N ) )  =  ( ( # `  ( j ... N
) )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
131 hashfz 11612 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( # `  (
j ... N ) )  =  ( ( N  -  j )  +  1 ) )
13215, 48, 1313syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  (
j ... N ) )  =  ( ( N  -  j )  +  1 ) )
133132oveq1d 6028 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
j ... N ) )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) )  =  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
134130, 133eqtrd 2412 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  ( E  /  N ) )  =  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
135125, 134breqtrd 4170 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <  ( (
( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) ) )
136111, 31, 59, 135ltadd2dd 9154 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  +  sum_ i  e.  ( j ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )  < 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  +  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) ) ) )
13791, 136eqbrtrd 4166 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) ) )
138 stoweidlem11.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  <_  1 )
13956, 138syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  <_  1 )
14026a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
141120adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  0  <  E )
142 lemul2 9788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X `  i ) `  t
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  -> 
( ( ( X `
 i ) `  t )  <_  1  <->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) )  <_  ( E  x.  1 ) ) )
14357, 140, 41, 141, 142syl112anc 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  (
( ( X `  i ) `  t
)  <_  1  <->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  <_  ( E  x.  1 ) ) )
144139, 143mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  <_ 
( E  x.  1 ) )
14587mulid1d 9031 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  x.  1 )  =  E )
146145adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  ( E  x.  1 )  =  E )
147144, 146breqtrd 4170 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  <_  E )
14840, 58, 41, 147fsumle 12498 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <_  sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) E )
149 fsumconst 12493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0 ... (
j  -  1 ) )  e.  Fin  /\  E  e.  CC )  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) E  =  ( (
# `  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) )  x.  E ) )
15040, 87, 149syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) E  =  ( (
# `  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) )  x.  E ) )
151 1e0p1 10335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =  ( 0  +  1 )
152151fveq2i 5664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
15317, 152syl6eleq 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  j  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )
154 eluzp1m1 10434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )  -> 
( j  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
15594, 153, 154sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
156 hashfz 11612 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( # `  (
0 ... ( j  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( j  -  1 )  -  0 )  +  1 ) )
157155, 156syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0 ... ( j  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( j  -  1 )  -  0 )  +  1 ) )
15882, 67subcld 9336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  CC )
159158subid1d 9325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( j  - 
1 )  -  0 )  =  ( j  -  1 ) )
160159oveq1d 6028 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  1 )  - 
0 )  +  1 )  =  ( ( j  -  1 )  +  1 ) )
161157, 160, 833eqtrd 2416 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0 ... ( j  - 
1 ) ) )  =  j )
162161oveq1d 6028 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
0 ... ( j  - 
1 ) ) )  x.  E )  =  ( j  x.  E
) )
16382, 87mulcomd 9035 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( j  x.  E
)  =  ( E  x.  j ) )
164150, 162, 1633eqtrd 2416 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) E  =  ( E  x.  j ) )
165148, 164breqtrd 4170 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <_  ( E  x.  j ) )
16659, 22, 31, 165leadd1dd 9565 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  +  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) ) )  <_  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) ) )
16714, 60, 32, 137, 166ltletrd 9155 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) ) )
1688, 8remulcld 9042 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E  x.  E
)  e.  RR )
16922, 168readdcld 9041 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) )  e.  RR )
17065, 82subcld 9336 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  j
)  e.  CC )
171170, 67addcld 9033 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  j )  +  1 )  e.  CC )
17287, 171, 127mul12d 9200 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  x.  (
( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) )  =  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) ) )
173172oveq2d 6029 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) ) )  =  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) ) )
17428, 29remulcld 9042 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) )  e.  RR )
1758, 174remulcld 9042 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  x.  (
( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) )  e.  RR )
176171, 87, 65, 126div12d 9751 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) )  =  ( E  x.  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N
) ) )
17727, 21resubcld 9390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  -  j
)  e.  RR )
178 elfzle1 10985 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  1  <_  j )
17915, 178syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  <_  j )
18027, 21suble0d 9542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  j )  <_  0  <->  1  <_  j ) )
181179, 180mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  -  j
)  <_  0 )
182177, 97, 24, 181leadd2dd 9566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  -  j ) )  <_  ( N  +  0 ) )
18365, 67, 82addsub12d 9359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  -  j ) )  =  ( 1  +  ( N  -  j ) ) )
18467, 170addcomd 9193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( N  -  j ) )  =  ( ( N  -  j )  +  1 ) )
185183, 184eqtrd 2412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  -  j ) )  =  ( ( N  -  j )  +  1 ) )
18665addid1d 9191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  0 )  =  N )
187182, 185, 1863brtr3d 4175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  j )  +  1 )  <_  N )
18823nngt0d 9968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  N )
189 lediv1 9800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  -  j )  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( ( N  -  j )  +  1 )  <_  N  <->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N )  <_  ( N  /  N ) ) )
19028, 24, 24, 188, 189syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  <_  N  <->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N )  <_  ( N  /  N ) ) )
191187, 190mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N
)  <_  ( N  /  N ) )
19265, 126dividd 9713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  /  N
)  =  1 )
193191, 192breqtrd 4170 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N
)  <_  1 )
19428, 23nndivred 9973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N
)  e.  RR )
195194, 27, 7lemul2d 10613 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N )  <_  1  <->  ( E  x.  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  /  N ) )  <_  ( E  x.  1 ) ) )
196193, 195mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  x.  (
( ( N  -  j )  +  1 )  /  N ) )  <_  ( E  x.  1 ) )
197196, 145breqtrd 4170 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  x.  (
( ( N  -  j )  +  1 )  /  N ) )  <_  E )
198176, 197eqbrtrd 4166 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) )  <_  E )
199174, 8, 7lemul2d 10613 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N
) )  <_  E  <->  ( E  x.  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) )  <_  ( E  x.  E ) ) )
200198, 199mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  x.  (
( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) )  <_  ( E  x.  E ) )
201175, 168, 22, 200leadd2dd 9566 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) ) )  <_  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) ) )
202173, 201eqbrtrrd 4168 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )  <_  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) ) )
20387, 82mulcomd 9035 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E  x.  j
)  =  ( j  x.  E ) )
204203oveq1d 6028 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) )  =  ( ( j  x.  E )  +  ( E  x.  E ) ) )
20582, 87, 87adddird 9039 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  E )  x.  E
)  =  ( ( j  x.  E )  +  ( E  x.  E ) ) )
206204, 205eqtr4d 2415 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) )  =  ( ( j  +  E )  x.  E ) )
20721, 8readdcld 9041 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  +  E
)  e.  RR )
208 stoweidlem11.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
2098, 37, 21, 208ltadd2dd 9154 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  +  E
)  <  ( j  +  ( 1  / 
3 ) ) )
210207, 38, 7, 209ltmul1dd 10624 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  E )  x.  E
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
211206, 210eqbrtrd 4166 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) )  <  ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
21232, 169, 39, 202, 211lelttrd 9153 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )  <  ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
21314, 32, 39, 167, 212lttrd 9156 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
2145, 213eqbrtrd 4166 1  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   _Vcvv 2892    u. cun 3254    i^i cin 3255    C_ wss 3256   (/)c0 3564   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Fincfn 7038   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919    x. cmul 8921    < clt 9046    <_ cle 9047    - cmin 9216    / cdiv 9602   NNcn 9925   3c3 9975   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413   RR+crp 10537   ...cfz 10968   #chash 11538   sum_csu 12399
This theorem is referenced by:  stoweidlem34  27444
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-ico 10847  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-clim 12202  df-sum 12400
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