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Theorem stoweidlem11 31678
Description: This lemma is used to prove that there is a function  g as in the proof of [BrosowskiDeutsh] p. 92 (at the top of page 92): this lemma proves that g(t) < ( j + 1 / 3 ) * ε. Here  E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem11.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
stoweidlem11.2  |-  ( ph  ->  t  e.  T )
stoweidlem11.3  |-  ( ph  ->  j  e.  ( 1 ... N ) )
stoweidlem11.4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( X `  i ) : T --> RR )
stoweidlem11.5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  <_  1 )
stoweidlem11.6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  <  ( E  /  N
) )
stoweidlem11.7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem11.8  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem11  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
Distinct variable groups:    i, j    t, i, E    i, N, t    ph, i    t, T   
t, X
Allowed substitution hints:    ph( t, j)    T( i, j)    E( j)    N( j)    X( i, j)

Proof of Theorem stoweidlem11
StepHypRef Expression
1 stoweidlem11.2 . . 3  |-  ( ph  ->  t  e.  T )
2 sumex 13484 . . 3  |-  sum_ i  e.  ( 0 ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  e.  _V
3 eqid 2441 . . . 4  |-  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )  =  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )
43fvmpt2 5944 . . 3  |-  ( ( t  e.  T  /\  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) )  e.  _V )  -> 
( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  =  sum_ i  e.  ( 0 ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )
51, 2, 4sylancl 662 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  =  sum_ i  e.  ( 0 ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )
6 fzfid 12057 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
7 stoweidlem11.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
87rpred 11260 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
98adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  E  e.  RR )
10 stoweidlem11.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( X `  i ) : T --> RR )
111adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  t  e.  T )
1210, 11ffvelrnd 6013 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  e.  RR )
139, 12remulcld 9622 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  e.  RR )
146, 13fsumrecl 13530 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  e.  RR )
15 stoweidlem11.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  j  e.  ( 1 ... N ) )
16 elfzuz 11688 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
1715, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
18 eluz2 11091 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  1  <_ 
j ) )
1917, 18sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  1  <_  j ) )
2019simp2d 1008 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  j  e.  ZZ )
2120zred 10969 . . . . 5  |-  ( ph  ->  j  e.  RR )
228, 21remulcld 9622 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  x.  j
)  e.  RR )
23 stoweidlem11.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2423nnred 10552 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
2524, 21resubcld 9988 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  -  j
)  e.  RR )
26 1red 9609 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
2725, 26readdcld 9621 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  j )  +  1 )  e.  RR )
288, 23nndivred 10585 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  /  N
)  e.  RR )
298, 28remulcld 9622 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E  x.  ( E  /  N ) )  e.  RR )
3027, 29remulcld 9622 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) )  e.  RR )
3122, 30readdcld 9621 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )  e.  RR )
32 3re 10610 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
34 3ne0 10631 . . . . . . 7  |-  3  =/=  0
3534a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
3633, 35rereccld 10372 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
3721, 36readdcld 9621 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  +  ( 1  /  3 ) )  e.  RR )
3837, 8remulcld 9622 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )
39 fzfid 12057 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
j  -  1 ) )  e.  Fin )
408adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  E  e.  RR )
41 elfzelz 11692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  j  e.  ZZ )
42 peano2zm 10908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ZZ  ->  (
j  -  1 )  e.  ZZ )
4315, 41, 423syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  ZZ )
4423nnzd 10968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
4521, 26resubcld 9988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  RR )
4621lem1d 10480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  <_  j )
47 elfzuz3 11689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  j )
)
48 eluzle 11097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  j  <_  N )
4915, 47, 483syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  j  <_  N )
5045, 21, 24, 46, 49letrd 9737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  <_  N )
51 eluz2 11091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  (
j  -  1 ) )  <->  ( ( j  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( j  -  1 )  <_  N ) )
5243, 44, 50, 51syl3anbrc 1179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( j  -  1 ) ) )
53 fzss2 11727 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  (
j  -  1 ) )  ->  ( 0 ... ( j  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... N
) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
j  -  1 ) )  C_  ( 0 ... N ) )
5554sselda 3486 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ( 0 ... N
) )
5655, 12syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  e.  RR )
5740, 56remulcld 9622 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  e.  RR )
5839, 57fsumrecl 13530 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  e.  RR )
5958, 30readdcld 9621 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  +  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) ) )  e.  RR )
6021ltm1d 10479 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  <  j )
61 fzdisj 11716 . . . . . . 7  |-  ( ( j  -  1 )  <  j  ->  (
( 0 ... (
j  -  1 ) )  i^i  ( j ... N ) )  =  (/) )
6260, 61syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  i^i  (
j ... N ) )  =  (/) )
63 fzssp1 11730 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )
6423nncnd 10553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
65 1cnd 9610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
6664, 65npcand 9935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
6766oveq2d 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 0 ... N ) )
6863, 67syl5sseq 3534 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  C_  ( 0 ... N ) )
69 1zzd 10896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
70 fzsubel 11723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( j  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( j  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( j  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ) )
7169, 44, 20, 69, 70syl22anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( j  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ) )
7215, 71mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) )
73 1m1e0 10605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  1 )  =  0
7473oveq1i 6287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) )
7572, 74syl6eleq 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )
7668, 75sseldd 3487 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
77 fzsplit 11715 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
0 ... N )  =  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  u.  (
( ( j  - 
1 )  +  1 ) ... N ) ) )
7876, 77syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  =  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  u.  ( ( ( j  -  1 )  +  1 ) ... N ) ) )
7920zcnd 10970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  j  e.  CC )
8079, 65npcand 9935 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  - 
1 )  +  1 )  =  j )
8180oveq1d 6292 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  1 )  +  1 ) ... N
)  =  ( j ... N ) )
8281uneq2d 3640 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  u.  (
( ( j  - 
1 )  +  1 ) ... N ) )  =  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  u.  ( j ... N ) ) )
8378, 82eqtrd 2482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  =  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  u.  ( j ... N ) ) )
847rpcnd 11262 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
8584adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  E  e.  CC )
8612recnd 9620 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  e.  CC )
8785, 86mulcld 9614 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  e.  CC )
8862, 83, 6, 87fsumsplit 13536 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  =  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) )  +  sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) )
89 fzfid 12057 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( j ... N
)  e.  Fin )
908adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  E  e.  RR )
91 0zd 10877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
92 0red 9595 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
93 0le1 10077 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  1
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
9519simp3d 1009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <_  j )
9692, 26, 21, 94, 95letrd 9737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  j )
97 eluz2 11091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  0  <_ 
j ) )
9891, 20, 96, 97syl3anbrc 1179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  j  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
99 fzss1 11726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( j ... N )  C_  (
0 ... N ) )
10098, 99syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j ... N
)  C_  ( 0 ... N ) )
101100sselda 3486 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  i  e.  ( 0 ... N
) )
102101, 10syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  ( X `  i ) : T --> RR )
1031adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  t  e.  T )
104102, 103ffvelrnd 6013 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  e.  RR )
10590, 104remulcld 9622 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  e.  RR )
10689, 105fsumrecl 13530 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  e.  RR )
107 eluzfz2 11698 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  N  e.  ( j ... N
) )
108 ne0i 3773 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( j ... N )  ->  (
j ... N )  =/=  (/) )
10915, 47, 107, 1084syl 21 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j ... N
)  =/=  (/) )
11023adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  N  e.  NN )
11190, 110nndivred 10585 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  ( E  /  N )  e.  RR )
11290, 111remulcld 9622 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  ( E  x.  ( E  /  N ) )  e.  RR )
113 stoweidlem11.6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  <  ( E  /  N
) )
1147rpgt0d 11263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  E )
115114adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  0  <  E )
116 ltmul2 10394 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X `  i ) `  t
)  e.  RR  /\  ( E  /  N
)  e.  RR  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  ->  ( (
( X `  i
) `  t )  <  ( E  /  N
)  <->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  <  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
117104, 111, 90, 115, 116syl112anc 1231 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  (
( ( X `  i ) `  t
)  <  ( E  /  N )  <->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  <  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
118113, 117mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  < 
( E  x.  ( E  /  N ) ) )
11989, 109, 105, 112, 118fsumlt 13588 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <  sum_ i  e.  ( j ... N
) ( E  x.  ( E  /  N
) ) )
12023nnne0d 10581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
12184, 64, 120divcld 10321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  /  N
)  e.  CC )
12284, 121mulcld 9614 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  x.  ( E  /  N ) )  e.  CC )
123 fsumconst 13579 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j ... N
)  e.  Fin  /\  ( E  x.  ( E  /  N ) )  e.  CC )  ->  sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  ( E  /  N ) )  =  ( ( # `  ( j ... N
) )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
12489, 122, 123syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  ( E  /  N ) )  =  ( ( # `  ( j ... N
) )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
125 hashfz 12459 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( # `  (
j ... N ) )  =  ( ( N  -  j )  +  1 ) )
12615, 47, 1253syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  (
j ... N ) )  =  ( ( N  -  j )  +  1 ) )
127126oveq1d 6292 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
j ... N ) )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) )  =  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
128124, 127eqtrd 2482 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  ( E  /  N ) )  =  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
129119, 128breqtrd 4457 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <  ( (
( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) ) )
130106, 30, 58, 129ltadd2dd 9739 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  +  sum_ i  e.  ( j ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )  < 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  +  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) ) ) )
13188, 130eqbrtrd 4453 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) ) )
132 stoweidlem11.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  <_  1 )
13355, 132syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  <_  1 )
134 1red 9609 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
135114adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  0  <  E )
136 lemul2 10396 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X `  i ) `  t
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  -> 
( ( ( X `
 i ) `  t )  <_  1  <->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) )  <_  ( E  x.  1 ) ) )
13756, 134, 40, 135, 136syl112anc 1231 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  (
( ( X `  i ) `  t
)  <_  1  <->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  <_  ( E  x.  1 ) ) )
138133, 137mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  <_ 
( E  x.  1 ) )
13984mulid1d 9611 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  x.  1 )  =  E )
140139adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  ( E  x.  1 )  =  E )
141138, 140breqtrd 4457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  <_  E )
14239, 57, 40, 141fsumle 13587 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <_  sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) E )
143 fsumconst 13579 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0 ... (
j  -  1 ) )  e.  Fin  /\  E  e.  CC )  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) E  =  ( (
# `  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) )  x.  E ) )
14439, 84, 143syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) E  =  ( (
# `  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) )  x.  E ) )
145 0z 10876 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ZZ
146 1e0p1 11007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =  ( 0  +  1 )
147146fveq2i 5855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
14817, 147syl6eleq 2539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  j  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )
149 eluzp1m1 11108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )  -> 
( j  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
150145, 148, 149sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
151 hashfz 12459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( # `  (
0 ... ( j  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( j  -  1 )  -  0 )  +  1 ) )
152150, 151syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0 ... ( j  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( j  -  1 )  -  0 )  +  1 ) )
15379, 65subcld 9931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  CC )
154153subid1d 9920 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( j  - 
1 )  -  0 )  =  ( j  -  1 ) )
155154oveq1d 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  1 )  - 
0 )  +  1 )  =  ( ( j  -  1 )  +  1 ) )
156152, 155, 803eqtrd 2486 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0 ... ( j  - 
1 ) ) )  =  j )
157156oveq1d 6292 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
0 ... ( j  - 
1 ) ) )  x.  E )  =  ( j  x.  E
) )
15879, 84mulcomd 9615 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( j  x.  E
)  =  ( E  x.  j ) )
159144, 157, 1583eqtrd 2486 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) E  =  ( E  x.  j ) )
160142, 159breqtrd 4457 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <_  ( E  x.  j ) )
16158, 22, 30, 160leadd1dd 10167 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  +  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) ) )  <_  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) ) )
16214, 59, 31, 131, 161ltletrd 9740 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) ) )
1638, 8remulcld 9622 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E  x.  E
)  e.  RR )
16422, 163readdcld 9621 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) )  e.  RR )
16564, 79subcld 9931 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  j
)  e.  CC )
166165, 65addcld 9613 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  j )  +  1 )  e.  CC )
16784, 166, 121mul12d 9787 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  x.  (
( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) )  =  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) ) )
168167oveq2d 6293 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) ) )  =  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) ) )
16927, 28remulcld 9622 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) )  e.  RR )
1708, 169remulcld 9622 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  x.  (
( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) )  e.  RR )
171166, 84, 64, 120div12d 10357 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) )  =  ( E  x.  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N
) ) )
17226, 21resubcld 9988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  -  j
)  e.  RR )
173 elfzle1 11693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  1  <_  j )
17415, 173syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  <_  j )
17526, 21suble0d 10144 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  j )  <_  0  <->  1  <_  j ) )
176174, 175mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  -  j
)  <_  0 )
177172, 92, 24, 176leadd2dd 10168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  -  j ) )  <_  ( N  +  0 ) )
17864, 65, 79addsub12d 9954 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  -  j ) )  =  ( 1  +  ( N  -  j ) ) )
17965, 165addcomd 9780 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( N  -  j ) )  =  ( ( N  -  j )  +  1 ) )
180178, 179eqtrd 2482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  -  j ) )  =  ( ( N  -  j )  +  1 ) )
18164addid1d 9778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  0 )  =  N )
182177, 180, 1813brtr3d 4462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  j )  +  1 )  <_  N )
18323nngt0d 10580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  N )
184 lediv1 10408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  -  j )  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( ( N  -  j )  +  1 )  <_  N  <->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N )  <_  ( N  /  N ) ) )
18527, 24, 24, 183, 184syl112anc 1231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  <_  N  <->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N )  <_  ( N  /  N ) ) )
186182, 185mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N
)  <_  ( N  /  N ) )
18764, 120dividd 10319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  /  N
)  =  1 )
188186, 187breqtrd 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N
)  <_  1 )
18927, 23nndivred 10585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N
)  e.  RR )
190189, 26, 7lemul2d 11300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N )  <_  1  <->  ( E  x.  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  /  N ) )  <_  ( E  x.  1 ) ) )
191188, 190mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  x.  (
( ( N  -  j )  +  1 )  /  N ) )  <_  ( E  x.  1 ) )
192191, 139breqtrd 4457 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  x.  (
( ( N  -  j )  +  1 )  /  N ) )  <_  E )
193171, 192eqbrtrd 4453 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) )  <_  E )
194169, 8, 7lemul2d 11300 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N
) )  <_  E  <->  ( E  x.  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) )  <_  ( E  x.  E ) ) )
195193, 194mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  x.  (
( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) )  <_  ( E  x.  E ) )
196170, 163, 22, 195leadd2dd 10168 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) ) )  <_  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) ) )
197168, 196eqbrtrrd 4455 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )  <_  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) ) )
19884, 79mulcomd 9615 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E  x.  j
)  =  ( j  x.  E ) )
199198oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) )  =  ( ( j  x.  E )  +  ( E  x.  E ) ) )
20079, 84, 84adddird 9619 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  E )  x.  E
)  =  ( ( j  x.  E )  +  ( E  x.  E ) ) )
201199, 200eqtr4d 2485 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) )  =  ( ( j  +  E )  x.  E ) )
20221, 8readdcld 9621 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  +  E
)  e.  RR )
203 stoweidlem11.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
2048, 36, 21, 203ltadd2dd 9739 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  +  E
)  <  ( j  +  ( 1  / 
3 ) ) )
205202, 37, 7, 204ltmul1dd 11311 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  E )  x.  E
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
206201, 205eqbrtrd 4453 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) )  <  ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
20731, 164, 38, 197, 206lelttrd 9738 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )  <  ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
20814, 31, 38, 162, 207lttrd 9741 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
2095, 208eqbrtrd 4453 1  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   _Vcvv 3093    u. cun 3456    i^i cin 3457    C_ wss 3458   (/)c0 3767   class class class wbr 4433    |-> cmpt 4491   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   Fincfn 7514   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495    < clt 9626    <_ cle 9627    - cmin 9805    / cdiv 10207   NNcn 10537   3c3 10587   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11085   RR+crp 11224   ...cfz 11676   #chash 12379   sum_csu 13482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-rp 11225  df-ico 11539  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-seq 12082  df-exp 12141  df-hash 12380  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-clim 13285  df-sum 13483
This theorem is referenced by:  stoweidlem34  31701
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