Theorem stoweidlem11 29818

Description: This lemma is used to prove that there is a function g as in the proof of [BrosowskiDeutsh] p. 92 (at the top of page 92): this lemma proves that g(t) < ( j + 1 / 3 ) * ε. Here E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem11.1	|- ( ph -> N e. NN )
stoweidlem11.2	|- ( ph -> t e. T )
stoweidlem11.3	|- ( ph -> j e. ( 1 ... N ) )
stoweidlem11.4	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( X ` i ) : T --> RR )
stoweidlem11.5	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) <_ 1 )
stoweidlem11.6	|- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) < ( E / N ) )
stoweidlem11.7	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem11.8	|- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem11	|- ( ph -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )

Distinct variable groups:   i, j   t, i, E   i, N, t   ph, i   t, T   t, X

Allowed substitution hints:   ph( t, j)   T( i, j)   E( j)   N( j)   X( i, j)

Proof of Theorem stoweidlem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem11.2	. . 3 |- ( ph -> t e. T )
2		sumex 13177	. . 3 |- sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. _V
3		eqid 2443	. . . 4 |- ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
4	3	fvmpt2 5793	. . 3 |- ( ( t e. T /\ sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. _V ) -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) = sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
5	1, 2, 4	sylancl 662	. 2 |- ( ph -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) = sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
6		fzfid 11807	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
7		stoweidlem11.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR+ )
8	7	rpred 11039	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. RR )
9	8	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> E e. RR )
10		stoweidlem11.4	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( X ` i ) : T --> RR )
11	1	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> t e. T )
12	10, 11	ffvelrnd 5856	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. RR )
13	9, 12	remulcld 9426	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
14	6, 13	fsumrecl 13223	. . 3 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
15		stoweidlem11.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> j e. ( 1 ... N ) )
16		elfzuz 11461	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
17	15, 16	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
18		eluz2 10879	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ j e. ZZ /\ 1 <_ j ) )
19	17, 18	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 e. ZZ /\ j e. ZZ /\ 1 <_ j ) )
20	19	simp2d 1001	. . . . . 6 |- ( ph -> j e. ZZ )
21	20	zred 10759	. . . . 5 |- ( ph -> j e. RR )
22	8, 21	remulcld 9426	. . . 4 |- ( ph -> ( E x. j ) e. RR )
23		stoweidlem11.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN )
24	23	nnred 10349	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. RR )
25	24, 21	resubcld 9788	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N - j ) e. RR )
26		1red 9413	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
27	25, 26	readdcld 9425	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N - j ) + 1 ) e. RR )
28	8, 23	nndivred 10382	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E / N ) e. RR )
29	8, 28	remulcld 9426	. . . . 5 |- ( ph -> ( E x. ( E / N ) ) e. RR )
30	27, 29	remulcld 9426	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) e. RR )
31	22, 30	readdcld 9425	. . 3 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) e. RR )
32		3re 10407	. . . . . . 7 |- 3 e. RR
33	32	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 3 e. RR )
34		3ne0 10428	. . . . . . 7 |- 3 =/= 0
35	34	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 3 =/= 0 )
36	33, 35	rereccld 10170	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / 3 ) e. RR )
37	21, 36	readdcld 9425	. . . 4 |- ( ph -> ( j + ( 1 / 3 ) ) e. RR )
38	37, 8	remulcld 9426	. . 3 |- ( ph -> ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) e. RR )
39		fzfid 11807	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... ( j - 1 ) ) e. Fin )
40	8	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> E e. RR )
41		elfzelz 11465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> j e. ZZ )
42		peano2zm 10700	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ZZ -> ( j - 1 ) e. ZZ )
43	15, 41, 42	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. ZZ )
44	23	nnzd 10758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
45	21, 26	resubcld 9788	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. RR )
46	21	lem1d 10278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( j - 1 ) <_ j )
47		elfzuz3 11462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` j ) )
48		eluzle 10885	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` j ) -> j <_ N )
49	15, 47, 48	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> j <_ N )
50	45, 21, 24, 46, 49	letrd 9540	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j - 1 ) <_ N )
51		eluz2 10879	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( j - 1 ) ) <-> ( ( j - 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( j - 1 ) <_ N ) )
52	43, 44, 50, 51	syl3anbrc 1172	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( j - 1 ) ) )
53		fzss2 11510	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( j - 1 ) ) -> ( 0 ... ( j - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
54	52, 53	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 ... ( j - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
55	54	sselda 3368	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> i e. ( 0 ... N ) )
56	55, 12	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. RR )
57	40, 56	remulcld 9426	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
58	39, 57	fsumrecl 13223	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
59	58, 30	readdcld 9425	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) e. RR )
60	21	ltm1d 10277	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( j - 1 ) < j )
61		fzdisj 11488	. . . . . . 7 |- ( ( j - 1 ) < j -> ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) i^i ( j ... N ) ) = (/) )
62	60, 61	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) i^i ( j ... N ) ) = (/) )
63		fzssp1 11513	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) )
64	23	nncnd 10350	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. CC )
65		1cnd 9414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. CC )
66	64, 65	npcand 9735	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
67	66	oveq2d 6119	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
68	63, 67	syl5sseq 3416	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
69		1zzd 10689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
70		fzsubel 11506	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( j e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) ) -> ( j e. ( 1 ... N ) <-> ( j - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) )
71	69, 44, 20, 69, 70	syl22anc 1219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j e. ( 1 ... N ) <-> ( j - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) )
72	15, 71	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
73		1m1e0 10402	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 1 ) = 0
74	73	oveq1i 6113	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( 0 ... ( N - 1 ) )
75	72, 74	syl6eleq 2533	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
76	68, 75	sseldd 3369	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
77		fzsplit 11487	. . . . . . . 8 |- ( ( j - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( 0 ... N ) = ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) u. ( ( ( j - 1 ) + 1 ) ... N ) ) )
78	76, 77	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... N ) = ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) u. ( ( ( j - 1 ) + 1 ) ... N ) ) )
79	20	zcnd 10760	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> j e. CC )
80	79, 65	npcand 9735	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( j - 1 ) + 1 ) = j )
81	80	oveq1d 6118	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( j - 1 ) + 1 ) ... N ) = ( j ... N ) )
82	81	uneq2d 3522	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) u. ( ( ( j - 1 ) + 1 ) ... N ) ) = ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) u. ( j ... N ) ) )
83	78, 82	eqtrd 2475	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... N ) = ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) u. ( j ... N ) ) )
84	7	rpcnd 11041	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. CC )
85	84	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> E e. CC )
86	12	recnd 9424	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. CC )
87	85, 86	mulcld 9418	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. CC )
88	62, 83, 6, 87	fsumsplit 13228	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) )
89		fzfid 11807	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( j ... N ) e. Fin )
90	8	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> E e. RR )
91		0zd 10670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
92		0red 9399	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 e. RR )
93		0le1 9875	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 <_ 1
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 <_ 1 )
95	19	simp3d 1002	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 <_ j )
96	92, 26, 21, 94, 95	letrd 9540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 <_ j )
97		eluz2 10879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` 0 ) <-> ( 0 e. ZZ /\ j e. ZZ /\ 0 <_ j ) )
98	91, 20, 96, 97	syl3anbrc 1172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> j e. ( ZZ>= ` 0 ) )
99		fzss1 11509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( j ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
100	98, 99	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
101	100	sselda 3368	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> i e. ( 0 ... N ) )
102	101, 10	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( X ` i ) : T --> RR )
103	1	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> t e. T )
104	102, 103	ffvelrnd 5856	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. RR )
105	90, 104	remulcld 9426	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
106	89, 105	fsumrecl 13223	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
107		eluzfz2 11471	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` j ) -> N e. ( j ... N ) )
108		ne0i 3655	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( j ... N ) -> ( j ... N ) =/= (/) )
109	15, 47, 107, 108	4syl 21	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( j ... N ) =/= (/) )
110	23	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> N e. NN )
111	90, 110	nndivred 10382	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( E / N ) e. RR )
112	90, 111	remulcld 9426	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( E x. ( E / N ) ) e. RR )
113		stoweidlem11.6	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) < ( E / N ) )
114	7	rpgt0d 11042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < E )
115	114	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> 0 < E )
116		ltmul2 10192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X ` i ) ` t ) e. RR /\ ( E / N ) e. RR /\ ( E e. RR /\ 0 < E ) ) -> ( ( ( X ` i ) ` t ) < ( E / N ) <-> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( E x. ( E / N ) ) ) )
117	104, 111, 90, 115, 116	syl112anc 1222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( ( ( X ` i ) ` t ) < ( E / N ) <-> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( E x. ( E / N ) ) ) )
118	113, 117	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( E x. ( E / N ) ) )
119	89, 109, 105, 112, 118	fsumlt 13275	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( E / N ) ) )
120	23	nnne0d 10378	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N =/= 0 )
121	84, 64, 120	divcld 10119	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E / N ) e. CC )
122	84, 121	mulcld 9418	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E x. ( E / N ) ) e. CC )
123		fsumconst 13269	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( j ... N ) e. Fin /\ ( E x. ( E / N ) ) e. CC ) -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( E / N ) ) = ( ( # ` ( j ... N ) ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
124	89, 122, 123	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( E / N ) ) = ( ( # ` ( j ... N ) ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
125		hashfz 12200	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` j ) -> ( # ` ( j ... N ) ) = ( ( N - j ) + 1 ) )
126	15, 47, 125	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` ( j ... N ) ) = ( ( N - j ) + 1 ) )
127	126	oveq1d 6118	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( # ` ( j ... N ) ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) = ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
128	124, 127	eqtrd 2475	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( E / N ) ) = ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
129	119, 128	breqtrd 4328	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
130	106, 30, 58, 129	ltadd2dd 9542	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) < ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) )
131	88, 130	eqbrtrd 4324	. . . 4 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) )
132		stoweidlem11.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) <_ 1 )
133	55, 132	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) <_ 1 )
134		1red 9413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
135	114	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> 0 < E )
136		lemul2 10194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X ` i ) ` t ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( E e. RR /\ 0 < E ) ) -> ( ( ( X ` i ) ` t ) <_ 1 <-> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ ( E x. 1 ) ) )
137	56, 134, 40, 135, 136	syl112anc 1222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( ( ( X ` i ) ` t ) <_ 1 <-> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ ( E x. 1 ) ) )
138	133, 137	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ ( E x. 1 ) )
139	84	mulid1d 9415	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E x. 1 ) = E )
140	139	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( E x. 1 ) = E )
141	138, 140	breqtrd 4328	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ E )
142	39, 57, 40, 141	fsumle 13274	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) E )
143		fsumconst 13269	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) e. Fin /\ E e. CC ) -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) E = ( ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) x. E ) )
144	39, 84, 143	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) E = ( ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) x. E ) )
145		0z 10669	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ZZ
146		1e0p1 10795	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 = ( 0 + 1 )
147	146	fveq2i 5706	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) )
148	17, 147	syl6eleq 2533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> j e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
149		eluzp1m1 10896	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. ZZ /\ j e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( j - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
150	145, 148, 149	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
151		hashfz 12200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) = ( ( ( j - 1 ) - 0 ) + 1 ) )
152	150, 151	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) = ( ( ( j - 1 ) - 0 ) + 1 ) )
153	79, 65	subcld 9731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. CC )
154	153	subid1d 9720	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( j - 1 ) - 0 ) = ( j - 1 ) )
155	154	oveq1d 6118	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( j - 1 ) - 0 ) + 1 ) = ( ( j - 1 ) + 1 ) )
156	152, 155, 80	3eqtrd 2479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) = j )
157	156	oveq1d 6118	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) x. E ) = ( j x. E ) )
158	79, 84	mulcomd 9419	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( j x. E ) = ( E x. j ) )
159	144, 157, 158	3eqtrd 2479	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) E = ( E x. j ) )
160	142, 159	breqtrd 4328	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ ( E x. j ) )
161	58, 22, 30, 160	leadd1dd 9965	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) <_ ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) )
162	14, 59, 31, 131, 161	ltletrd 9543	. . 3 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) )
163	8, 8	remulcld 9426	. . . . 5 |- ( ph -> ( E x. E ) e. RR )
164	22, 163	readdcld 9425	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) e. RR )
165	64, 79	subcld 9731	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N - j ) e. CC )
166	165, 65	addcld 9417	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N - j ) + 1 ) e. CC )
167	84, 166, 121	mul12d 9590	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) = ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
168	167	oveq2d 6119	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) ) = ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) )
169	27, 28	remulcld 9426	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) e. RR )
170	8, 169	remulcld 9426	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) e. RR )
171	166, 84, 64, 120	div12d 10155	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) = ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) ) )
172	26, 21	resubcld 9788	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 - j ) e. RR )
173		elfzle1 11466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> 1 <_ j )
174	15, 173	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 <_ j )
175	26, 21	suble0d 9942	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 1 - j ) <_ 0 <-> 1 <_ j ) )
176	174, 175	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 - j ) <_ 0 )
177	172, 92, 24, 176	leadd2dd 9966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N + ( 1 - j ) ) <_ ( N + 0 ) )
178	64, 65, 79	addsub12d 9754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( N + ( 1 - j ) ) = ( 1 + ( N - j ) ) )
179	65, 165	addcomd 9583	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 + ( N - j ) ) = ( ( N - j ) + 1 ) )
180	178, 179	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N + ( 1 - j ) ) = ( ( N - j ) + 1 ) )
181	64	addid1d 9581	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N + 0 ) = N )
182	177, 180, 181	3brtr3d 4333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( N - j ) + 1 ) <_ N )
183	23	nngt0d 10377	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < N )
184		lediv1 10206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N - j ) + 1 ) e. RR /\ N e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( N - j ) + 1 ) <_ N <-> ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) <_ ( N / N ) ) )
185	27, 24, 24, 183, 184	syl112anc 1222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) <_ N <-> ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) <_ ( N / N ) ) )
186	182, 185	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) <_ ( N / N ) )
187	64, 120	dividd 10117	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N / N ) = 1 )
188	186, 187	breqtrd 4328	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) <_ 1 )
189	27, 23	nndivred 10382	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) e. RR )
190	189, 26, 7	lemul2d 11079	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) <_ 1 <-> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) ) <_ ( E x. 1 ) ) )
191	188, 190	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) ) <_ ( E x. 1 ) )
192	191, 139	breqtrd 4328	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) ) <_ E )
193	171, 192	eqbrtrd 4324	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) <_ E )
194	169, 8, 7	lemul2d 11079	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) <_ E <-> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) <_ ( E x. E ) ) )
195	193, 194	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) <_ ( E x. E ) )
196	170, 163, 22, 195	leadd2dd 9966	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) ) <_ ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) )
197	168, 196	eqbrtrrd 4326	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) <_ ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) )
198	84, 79	mulcomd 9419	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E x. j ) = ( j x. E ) )
199	198	oveq1d 6118	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) = ( ( j x. E ) + ( E x. E ) ) )
200	79, 84, 84	adddird 9423	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( j + E ) x. E ) = ( ( j x. E ) + ( E x. E ) ) )
201	199, 200	eqtr4d 2478	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) = ( ( j + E ) x. E ) )
202	21, 8	readdcld 9425	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j + E ) e. RR )
203		stoweidlem11.8	. . . . . . 7 |- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )
204	8, 36, 21, 203	ltadd2dd 9542	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j + E ) < ( j + ( 1 / 3 ) ) )
205	202, 37, 7, 204	ltmul1dd 11090	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( j + E ) x. E ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )
206	201, 205	eqbrtrd 4324	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )
207	31, 164, 38, 197, 206	lelttrd 9541	. . 3 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )
208	14, 31, 38, 162, 207	lttrd 9544	. 2 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )
209	5, 208	eqbrtrd 4324	1 |- ( ph -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2618   _Vcvv 2984   u. cun 3338   i^i cin 3339   C_ wss 3340   (/)c0 3649   class class class wbr 4304   e. cmpt 4362   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Fincfn 7322   CCcc 9292   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295   + caddc 9297   x. cmul 9299   < clt 9430   <_ cle 9431   - cmin 9607   / cdiv 10005   NNcn 10334   3c3 10384   ZZcz 10658   ZZ>=cuz 10873   RR+crp 11003   ...cfz 11449   #chash 12115   sum_csu 13175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-rp 11004  df-ico 11318  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-clim 12978  df-sum 13176

This theorem is referenced by:  stoweidlem34  29841