Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem11 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stoweidlem11 37983
 Description: This lemma is used to prove that there is a function as in the proof of [BrosowskiDeutsh] p. 92 (at the top of page 92): this lemma proves that g(t) < ( j + 1 / 3 ) * ε. Here is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem11.1
stoweidlem11.2
stoweidlem11.3
stoweidlem11.4
stoweidlem11.5
stoweidlem11.6
stoweidlem11.7
stoweidlem11.8
Assertion
Ref Expression
stoweidlem11
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()   ()   (,)

Proof of Theorem stoweidlem11
StepHypRef Expression
1 stoweidlem11.2 . . 3
2 sumex 13831 . . 3
3 eqid 2471 . . . 4
43fvmpt2 5972 . . 3
51, 2, 4sylancl 675 . 2
6 fzfid 12224 . . . 4
7 stoweidlem11.7 . . . . . . 7
87rpred 11364 . . . . . 6
98adantr 472 . . . . 5
10 stoweidlem11.4 . . . . . 6
111adantr 472 . . . . . 6
1210, 11ffvelrnd 6038 . . . . 5
139, 12remulcld 9689 . . . 4
146, 13fsumrecl 13877 . . 3
15 stoweidlem11.3 . . . . . . . . 9
16 elfzuz 11822 . . . . . . . . 9
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8
18 eluz2 11188 . . . . . . . 8
1917, 18sylib 201 . . . . . . 7
2019simp2d 1043 . . . . . 6
2120zred 11063 . . . . 5
228, 21remulcld 9689 . . . 4
23 stoweidlem11.1 . . . . . . . 8
2423nnred 10646 . . . . . . 7
2524, 21resubcld 10068 . . . . . 6
26 1red 9676 . . . . . 6
2725, 26readdcld 9688 . . . . 5
288, 23nndivred 10680 . . . . . 6
298, 28remulcld 9689 . . . . 5
3027, 29remulcld 9689 . . . 4
3122, 30readdcld 9688 . . 3
32 3re 10705 . . . . . . 7
3332a1i 11 . . . . . 6
34 3ne0 10726 . . . . . . 7
3534a1i 11 . . . . . 6
3633, 35rereccld 10456 . . . . 5
3721, 36readdcld 9688 . . . 4
3837, 8remulcld 9689 . . 3
39 fzfid 12224 . . . . . 6
408adantr 472 . . . . . . 7
41 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . 12
42 peano2zm 11004 . . . . . . . . . . . 12
4315, 41, 423syl 18 . . . . . . . . . . 11
4423nnzd 11062 . . . . . . . . . . 11
4521, 26resubcld 10068 . . . . . . . . . . . 12
4621lem1d 10562 . . . . . . . . . . . 12
47 elfzuz3 11823 . . . . . . . . . . . . 13
48 eluzle 11195 . . . . . . . . . . . . 13
4915, 47, 483syl 18 . . . . . . . . . . . 12
5045, 21, 24, 46, 49letrd 9809 . . . . . . . . . . 11
51 eluz2 11188 . . . . . . . . . . 11
5243, 44, 50, 51syl3anbrc 1214 . . . . . . . . . 10
53 fzss2 11864 . . . . . . . . . 10
5452, 53syl 17 . . . . . . . . 9
5554sselda 3418 . . . . . . . 8
5655, 12syldan 478 . . . . . . 7
5740, 56remulcld 9689 . . . . . 6
5839, 57fsumrecl 13877 . . . . 5
5958, 30readdcld 9688 . . . 4
6021ltm1d 10561 . . . . . . 7
61 fzdisj 11852 . . . . . . 7
6260, 61syl 17 . . . . . 6
63 fzssp1 11867 . . . . . . . . . 10
6423nncnd 10647 . . . . . . . . . . . 12
65 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . 12
6664, 65npcand 10009 . . . . . . . . . . 11
6766oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
6863, 67syl5sseq 3466 . . . . . . . . 9
69 1zzd 10992 . . . . . . . . . . . 12
70 fzsubel 11860 . . . . . . . . . . . 12
7169, 44, 20, 69, 70syl22anc 1293 . . . . . . . . . . 11
7215, 71mpbid 215 . . . . . . . . . 10
73 1m1e0 10700 . . . . . . . . . . 11
7473oveq1i 6318 . . . . . . . . . 10
7572, 74syl6eleq 2559 . . . . . . . . 9
7668, 75sseldd 3419 . . . . . . . 8
77 fzsplit 11851 . . . . . . . 8
7876, 77syl 17 . . . . . . 7
7920zcnd 11064 . . . . . . . . . 10
8079, 65npcand 10009 . . . . . . . . 9
8180oveq1d 6323 . . . . . . . 8
8281uneq2d 3579 . . . . . . 7
8378, 82eqtrd 2505 . . . . . 6
847rpcnd 11366 . . . . . . . 8
8584adantr 472 . . . . . . 7
8612recnd 9687 . . . . . . 7
8785, 86mulcld 9681 . . . . . 6
8862, 83, 6, 87fsumsplit 13883 . . . . 5
89 fzfid 12224 . . . . . . 7
908adantr 472 . . . . . . . 8
91 0zd 10973 . . . . . . . . . . . . 13
92 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . 14
93 0le1 10158 . . . . . . . . . . . . . . 15
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
9519simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . 14
9692, 26, 21, 94, 95letrd 9809 . . . . . . . . . . . . 13
97 eluz2 11188 . . . . . . . . . . . . 13
9891, 20, 96, 97syl3anbrc 1214 . . . . . . . . . . . 12
99 fzss1 11863 . . . . . . . . . . . 12
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . 11
101100sselda 3418 . . . . . . . . . 10
102101, 10syldan 478 . . . . . . . . 9
1031adantr 472 . . . . . . . . 9
104102, 103ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8
10590, 104remulcld 9689 . . . . . . 7
10689, 105fsumrecl 13877 . . . . . 6
107 eluzfz2 11833 . . . . . . . . 9
108 ne0i 3728 . . . . . . . . 9
10915, 47, 107, 1084syl 19 . . . . . . . 8
11023adantr 472 . . . . . . . . . 10
11190, 110nndivred 10680 . . . . . . . . 9
11290, 111remulcld 9689 . . . . . . . 8
113 stoweidlem11.6 . . . . . . . . 9
1147rpgt0d 11367 . . . . . . . . . . 11
115114adantr 472 . . . . . . . . . 10
116 ltmul2 10478 . . . . . . . . . 10
117104, 111, 90, 115, 116syl112anc 1296 . . . . . . . . 9
118113, 117mpbid 215 . . . . . . . 8
11989, 109, 105, 112, 118fsumlt 13937 . . . . . . 7
12023nnne0d 10676 . . . . . . . . . . 11
12184, 64, 120divcld 10405 . . . . . . . . . 10
12284, 121mulcld 9681 . . . . . . . . 9
123 fsumconst 13928 . . . . . . . . 9
12489, 122, 123syl2anc 673 . . . . . . . 8
125 hashfz 12640 . . . . . . . . . 10
12615, 47, 1253syl 18 . . . . . . . . 9
127126oveq1d 6323 . . . . . . . 8
128124, 127eqtrd 2505 . . . . . . 7
129119, 128breqtrd 4420 . . . . . 6
130106, 30, 58, 129ltadd2dd 9811 . . . . 5
13188, 130eqbrtrd 4416 . . . 4
132 stoweidlem11.5 . . . . . . . . . 10
13355, 132syldan 478 . . . . . . . . 9
134 1red 9676 . . . . . . . . . 10
135114adantr 472 . . . . . . . . . 10
136 lemul2 10480 . . . . . . . . . 10
13756, 134, 40, 135, 136syl112anc 1296 . . . . . . . . 9
138133, 137mpbid 215 . . . . . . . 8
13984mulid1d 9678 . . . . . . . . 9
140139adantr 472 . . . . . . . 8
141138, 140breqtrd 4420 . . . . . . 7
14239, 57, 40, 141fsumle 13936 . . . . . 6
143 fsumconst 13928 . . . . . . . 8
14439, 84, 143syl2anc 673 . . . . . . 7
145 0z 10972 . . . . . . . . . . 11
146 1e0p1 11102 . . . . . . . . . . . . 13
147146fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . 12
14817, 147syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . 11
149 eluzp1m1 11206 . . . . . . . . . . 11
150145, 148, 149sylancr 676 . . . . . . . . . 10
151 hashfz 12640 . . . . . . . . . 10
152150, 151syl 17 . . . . . . . . 9
15379, 65subcld 10005 . . . . . . . . . . 11
154153subid1d 9994 . . . . . . . . . 10
155154oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
156152, 155, 803eqtrd 2509 . . . . . . . 8
157156oveq1d 6323 . . . . . . 7
15879, 84mulcomd 9682 . . . . . . 7
159144, 157, 1583eqtrd 2509 . . . . . 6
160142, 159breqtrd 4420 . . . . 5
16158, 22, 30, 160leadd1dd 10248 . . . 4
16214, 59, 31, 131, 161ltletrd 9812 . . 3
1638, 8remulcld 9689 . . . . 5
16422, 163readdcld 9688 . . . 4
16564, 79subcld 10005 . . . . . . . 8
166165, 65addcld 9680 . . . . . . 7
16784, 166, 121mul12d 9860 . . . . . 6
168167oveq2d 6324 . . . . 5
16927, 28remulcld 9689 . . . . . . 7
1708, 169remulcld 9689 . . . . . 6
171166, 84, 64, 120div12d 10441 . . . . . . . 8
17226, 21resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . . 14
173 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . . . . . 16
17415, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
17526, 21suble0d 10225 . . . . . . . . . . . . . . 15
176174, 175mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . 14
177172, 92, 24, 176leadd2dd 10249 . . . . . . . . . . . . 13
17864, 65, 79addsub12d 10028 . . . . . . . . . . . . . 14
17965, 165addcomd 9853 . . . . . . . . . . . . . 14
180178, 179eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13
18164addid1d 9851 . . . . . . . . . . . . 13
182177, 180, 1813brtr3d 4425 . . . . . . . . . . . 12
18323nngt0d 10675 . . . . . . . . . . . . 13
184 lediv1 10492 . . . . . . . . . . . . 13
18527, 24, 24, 183, 184syl112anc 1296 . . . . . . . . . . . 12
186182, 185mpbid 215 . . . . . . . . . . 11
18764, 120dividd 10403 . . . . . . . . . . 11
188186, 187breqtrd 4420 . . . . . . . . . 10
18927, 23nndivred 10680 . . . . . . . . . . 11
190189, 26, 7lemul2d 11405 . . . . . . . . . 10
191188, 190mpbid 215 . . . . . . . . 9
192191, 139breqtrd 4420 . . . . . . . 8
193171, 192eqbrtrd 4416 . . . . . . 7
194169, 8, 7lemul2d 11405 . . . . . . 7
195193, 194mpbid 215 . . . . . 6
196170, 163, 22, 195leadd2dd 10249 . . . . 5
197168, 196eqbrtrrd 4418 . . . 4
19884, 79mulcomd 9682 . . . . . . 7
199198oveq1d 6323 . . . . . 6
20079, 84, 84adddird 9686 . . . . . 6
201199, 200eqtr4d 2508 . . . . 5
20221, 8readdcld 9688 . . . . . 6
203 stoweidlem11.8 . . . . . . 7
2048, 36, 21, 203ltadd2dd 9811 . . . . . 6
205202, 37, 7, 204ltmul1dd 11416 . . . . 5
206201, 205eqbrtrd 4416 . . . 4
20731, 164, 38, 197, 206lelttrd 9810 . . 3
20814, 31, 38, 162, 207lttrd 9813 . 2
2095, 208eqbrtrd 4416 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  cvv 3031   cun 3388   cin 3389   wss 3390  c0 3722   class class class wbr 4395   cmpt 4454  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cmin 9880   cdiv 10291  cn 10631  c3 10682  cz 10961  cuz 11182  crp 11325  cfz 11810  chash 12553  csu 13829 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830 This theorem is referenced by:  stoweidlem34  38007
 Copyright terms: Public domain W3C validator