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Theorem stoweidlem11 29731
Description: This lemma is used to prove that there is a function  g as in the proof of [BrosowskiDeutsh] p. 92 (at the top of page 92): this lemma proves that g(t) < ( j + 1 / 3 ) * ε. Here  E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem11.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
stoweidlem11.2  |-  ( ph  ->  t  e.  T )
stoweidlem11.3  |-  ( ph  ->  j  e.  ( 1 ... N ) )
stoweidlem11.4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( X `  i ) : T --> RR )
stoweidlem11.5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  <_  1 )
stoweidlem11.6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  <  ( E  /  N
) )
stoweidlem11.7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem11.8  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem11  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
Distinct variable groups:    i, j    t, i, E    i, N, t    ph, i    t, T   
t, X
Allowed substitution hints:    ph( t, j)    T( i, j)    E( j)    N( j)    X( i, j)

Proof of Theorem stoweidlem11
StepHypRef Expression
1 stoweidlem11.2 . . 3  |-  ( ph  ->  t  e.  T )
2 sumex 13161 . . 3  |-  sum_ i  e.  ( 0 ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  e.  _V
3 eqid 2441 . . . 4  |-  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )  =  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )
43fvmpt2 5778 . . 3  |-  ( ( t  e.  T  /\  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) )  e.  _V )  -> 
( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  =  sum_ i  e.  ( 0 ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )
51, 2, 4sylancl 657 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  =  sum_ i  e.  ( 0 ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )
6 fzfid 11791 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
7 stoweidlem11.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
87rpred 11023 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
98adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  E  e.  RR )
10 stoweidlem11.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( X `  i ) : T --> RR )
111adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  t  e.  T )
1210, 11ffvelrnd 5841 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  e.  RR )
139, 12remulcld 9410 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  e.  RR )
146, 13fsumrecl 13207 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  e.  RR )
15 stoweidlem11.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  j  e.  ( 1 ... N ) )
16 elfzuz 11445 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
1715, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
18 eluz2 10863 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  1  <_ 
j ) )
1917, 18sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  1  <_  j ) )
2019simp2d 996 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  j  e.  ZZ )
2120zred 10743 . . . . 5  |-  ( ph  ->  j  e.  RR )
228, 21remulcld 9410 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  x.  j
)  e.  RR )
23 stoweidlem11.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2423nnred 10333 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
2524, 21resubcld 9772 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  -  j
)  e.  RR )
26 1red 9397 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
2725, 26readdcld 9409 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  j )  +  1 )  e.  RR )
288, 23nndivred 10366 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  /  N
)  e.  RR )
298, 28remulcld 9410 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E  x.  ( E  /  N ) )  e.  RR )
3027, 29remulcld 9410 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) )  e.  RR )
3122, 30readdcld 9409 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )  e.  RR )
32 3re 10391 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
34 3ne0 10412 . . . . . . 7  |-  3  =/=  0
3534a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
3633, 35rereccld 10154 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
3721, 36readdcld 9409 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  +  ( 1  /  3 ) )  e.  RR )
3837, 8remulcld 9410 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )
39 fzfid 11791 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
j  -  1 ) )  e.  Fin )
408adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  E  e.  RR )
41 elfzelz 11449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  j  e.  ZZ )
42 peano2zm 10684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ZZ  ->  (
j  -  1 )  e.  ZZ )
4315, 41, 423syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  ZZ )
4423nnzd 10742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
4521, 26resubcld 9772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  RR )
4621lem1d 10262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  <_  j )
47 elfzuz3 11446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  j )
)
48 eluzle 10869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  j  <_  N )
4915, 47, 483syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  j  <_  N )
5045, 21, 24, 46, 49letrd 9524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  <_  N )
51 eluz2 10863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  (
j  -  1 ) )  <->  ( ( j  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( j  -  1 )  <_  N ) )
5243, 44, 50, 51syl3anbrc 1167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( j  -  1 ) ) )
53 fzss2 11494 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  (
j  -  1 ) )  ->  ( 0 ... ( j  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... N
) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
j  -  1 ) )  C_  ( 0 ... N ) )
5554sselda 3353 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ( 0 ... N
) )
5655, 12syldan 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  e.  RR )
5740, 56remulcld 9410 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  e.  RR )
5839, 57fsumrecl 13207 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  e.  RR )
5958, 30readdcld 9409 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  +  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) ) )  e.  RR )
6021ltm1d 10261 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  <  j )
61 fzdisj 11472 . . . . . . 7  |-  ( ( j  -  1 )  <  j  ->  (
( 0 ... (
j  -  1 ) )  i^i  ( j ... N ) )  =  (/) )
6260, 61syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  i^i  (
j ... N ) )  =  (/) )
63 fzssp1 11497 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )
6423nncnd 10334 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
65 1cnd 9398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
6664, 65npcand 9719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
6766oveq2d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 0 ... N ) )
6863, 67syl5sseq 3401 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  C_  ( 0 ... N ) )
69 1zzd 10673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
70 fzsubel 11490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( j  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( j  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( j  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ) )
7169, 44, 20, 69, 70syl22anc 1214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( j  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ) )
7215, 71mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) )
73 1m1e0 10386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  1 )  =  0
7473oveq1i 6100 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) )
7572, 74syl6eleq 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )
7668, 75sseldd 3354 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
77 fzsplit 11471 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
0 ... N )  =  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  u.  (
( ( j  - 
1 )  +  1 ) ... N ) ) )
7876, 77syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  =  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  u.  ( ( ( j  -  1 )  +  1 ) ... N ) ) )
7920zcnd 10744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  j  e.  CC )
8079, 65npcand 9719 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  - 
1 )  +  1 )  =  j )
8180oveq1d 6105 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  1 )  +  1 ) ... N
)  =  ( j ... N ) )
8281uneq2d 3507 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  u.  (
( ( j  - 
1 )  +  1 ) ... N ) )  =  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  u.  ( j ... N ) ) )
8378, 82eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  =  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  u.  ( j ... N ) ) )
847rpcnd 11025 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
8584adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  E  e.  CC )
8612recnd 9408 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  e.  CC )
8785, 86mulcld 9402 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  e.  CC )
8862, 83, 6, 87fsumsplit 13212 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  =  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) )  +  sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) )
89 fzfid 11791 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( j ... N
)  e.  Fin )
908adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  E  e.  RR )
91 0zd 10654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
92 0red 9383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
93 0le1 9859 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  1
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
9519simp3d 997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <_  j )
9692, 26, 21, 94, 95letrd 9524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  j )
97 eluz2 10863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  0  <_ 
j ) )
9891, 20, 96, 97syl3anbrc 1167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  j  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
99 fzss1 11493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( j ... N )  C_  (
0 ... N ) )
10098, 99syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j ... N
)  C_  ( 0 ... N ) )
101100sselda 3353 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  i  e.  ( 0 ... N
) )
102101, 10syldan 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  ( X `  i ) : T --> RR )
1031adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  t  e.  T )
104102, 103ffvelrnd 5841 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  e.  RR )
10590, 104remulcld 9410 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  e.  RR )
10689, 105fsumrecl 13207 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  e.  RR )
107 eluzfz2 11455 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  N  e.  ( j ... N
) )
108 ne0i 3640 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( j ... N )  ->  (
j ... N )  =/=  (/) )
10915, 47, 107, 1084syl 21 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j ... N
)  =/=  (/) )
11023adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  N  e.  NN )
11190, 110nndivred 10366 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  ( E  /  N )  e.  RR )
11290, 111remulcld 9410 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  ( E  x.  ( E  /  N ) )  e.  RR )
113 stoweidlem11.6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  <  ( E  /  N
) )
1147rpgt0d 11026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  E )
115114adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  0  <  E )
116 ltmul2 10176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X `  i ) `  t
)  e.  RR  /\  ( E  /  N
)  e.  RR  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  ->  ( (
( X `  i
) `  t )  <  ( E  /  N
)  <->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  <  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
117104, 111, 90, 115, 116syl112anc 1217 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  (
( ( X `  i ) `  t
)  <  ( E  /  N )  <->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  <  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
118113, 117mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  < 
( E  x.  ( E  /  N ) ) )
11989, 109, 105, 112, 118fsumlt 13259 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <  sum_ i  e.  ( j ... N
) ( E  x.  ( E  /  N
) ) )
12023nnne0d 10362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
12184, 64, 120divcld 10103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  /  N
)  e.  CC )
12284, 121mulcld 9402 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  x.  ( E  /  N ) )  e.  CC )
123 fsumconst 13253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j ... N
)  e.  Fin  /\  ( E  x.  ( E  /  N ) )  e.  CC )  ->  sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  ( E  /  N ) )  =  ( ( # `  ( j ... N
) )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
12489, 122, 123syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  ( E  /  N ) )  =  ( ( # `  ( j ... N
) )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
125 hashfz 12184 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( # `  (
j ... N ) )  =  ( ( N  -  j )  +  1 ) )
12615, 47, 1253syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  (
j ... N ) )  =  ( ( N  -  j )  +  1 ) )
127126oveq1d 6105 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
j ... N ) )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) )  =  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
128124, 127eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  ( E  /  N ) )  =  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
129119, 128breqtrd 4313 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <  ( (
( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) ) )
130106, 30, 58, 129ltadd2dd 9526 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  +  sum_ i  e.  ( j ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )  < 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  +  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) ) ) )
13188, 130eqbrtrd 4309 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) ) )
132 stoweidlem11.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  <_  1 )
13355, 132syldan 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  <_  1 )
134 1red 9397 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
135114adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  0  <  E )
136 lemul2 10178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X `  i ) `  t
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  -> 
( ( ( X `
 i ) `  t )  <_  1  <->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) )  <_  ( E  x.  1 ) ) )
13756, 134, 40, 135, 136syl112anc 1217 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  (
( ( X `  i ) `  t
)  <_  1  <->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  <_  ( E  x.  1 ) ) )
138133, 137mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  <_ 
( E  x.  1 ) )
13984mulid1d 9399 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  x.  1 )  =  E )
140139adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  ( E  x.  1 )  =  E )
141138, 140breqtrd 4313 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  <_  E )
14239, 57, 40, 141fsumle 13258 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <_  sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) E )
143 fsumconst 13253 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0 ... (
j  -  1 ) )  e.  Fin  /\  E  e.  CC )  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) E  =  ( (
# `  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) )  x.  E ) )
14439, 84, 143syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) E  =  ( (
# `  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) )  x.  E ) )
145 0z 10653 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ZZ
146 1e0p1 10779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =  ( 0  +  1 )
147146fveq2i 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
14817, 147syl6eleq 2531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  j  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )
149 eluzp1m1 10880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )  -> 
( j  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
150145, 148, 149sylancr 658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
151 hashfz 12184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( # `  (
0 ... ( j  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( j  -  1 )  -  0 )  +  1 ) )
152150, 151syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0 ... ( j  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( j  -  1 )  -  0 )  +  1 ) )
15379, 65subcld 9715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  CC )
154153subid1d 9704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( j  - 
1 )  -  0 )  =  ( j  -  1 ) )
155154oveq1d 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  1 )  - 
0 )  +  1 )  =  ( ( j  -  1 )  +  1 ) )
156152, 155, 803eqtrd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0 ... ( j  - 
1 ) ) )  =  j )
157156oveq1d 6105 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
0 ... ( j  - 
1 ) ) )  x.  E )  =  ( j  x.  E
) )
15879, 84mulcomd 9403 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( j  x.  E
)  =  ( E  x.  j ) )
159144, 157, 1583eqtrd 2477 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) E  =  ( E  x.  j ) )
160142, 159breqtrd 4313 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <_  ( E  x.  j ) )
16158, 22, 30, 160leadd1dd 9949 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  +  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) ) )  <_  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) ) )
16214, 59, 31, 131, 161ltletrd 9527 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) ) )
1638, 8remulcld 9410 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E  x.  E
)  e.  RR )
16422, 163readdcld 9409 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) )  e.  RR )
16564, 79subcld 9715 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  j
)  e.  CC )
166165, 65addcld 9401 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  j )  +  1 )  e.  CC )
16784, 166, 121mul12d 9574 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  x.  (
( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) )  =  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) ) )
168167oveq2d 6106 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) ) )  =  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) ) )
16927, 28remulcld 9410 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) )  e.  RR )
1708, 169remulcld 9410 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  x.  (
( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) )  e.  RR )
171166, 84, 64, 120div12d 10139 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) )  =  ( E  x.  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N
) ) )
17226, 21resubcld 9772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  -  j
)  e.  RR )
173 elfzle1 11450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  1  <_  j )
17415, 173syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  <_  j )
17526, 21suble0d 9926 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  j )  <_  0  <->  1  <_  j ) )
176174, 175mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  -  j
)  <_  0 )
177172, 92, 24, 176leadd2dd 9950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  -  j ) )  <_  ( N  +  0 ) )
17864, 65, 79addsub12d 9738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  -  j ) )  =  ( 1  +  ( N  -  j ) ) )
17965, 165addcomd 9567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( N  -  j ) )  =  ( ( N  -  j )  +  1 ) )
180178, 179eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  -  j ) )  =  ( ( N  -  j )  +  1 ) )
18164addid1d 9565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  0 )  =  N )
182177, 180, 1813brtr3d 4318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  j )  +  1 )  <_  N )
18323nngt0d 10361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  N )
184 lediv1 10190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  -  j )  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( ( N  -  j )  +  1 )  <_  N  <->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N )  <_  ( N  /  N ) ) )
18527, 24, 24, 183, 184syl112anc 1217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  <_  N  <->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N )  <_  ( N  /  N ) ) )
186182, 185mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N
)  <_  ( N  /  N ) )
18764, 120dividd 10101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  /  N
)  =  1 )
188186, 187breqtrd 4313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N
)  <_  1 )
18927, 23nndivred 10366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N
)  e.  RR )
190189, 26, 7lemul2d 11063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N )  <_  1  <->  ( E  x.  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  /  N ) )  <_  ( E  x.  1 ) ) )
191188, 190mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  x.  (
( ( N  -  j )  +  1 )  /  N ) )  <_  ( E  x.  1 ) )
192191, 139breqtrd 4313 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  x.  (
( ( N  -  j )  +  1 )  /  N ) )  <_  E )
193171, 192eqbrtrd 4309 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) )  <_  E )
194169, 8, 7lemul2d 11063 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N
) )  <_  E  <->  ( E  x.  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) )  <_  ( E  x.  E ) ) )
195193, 194mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  x.  (
( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) )  <_  ( E  x.  E ) )
196170, 163, 22, 195leadd2dd 9950 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) ) )  <_  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) ) )
197168, 196eqbrtrrd 4311 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )  <_  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) ) )
19884, 79mulcomd 9403 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E  x.  j
)  =  ( j  x.  E ) )
199198oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) )  =  ( ( j  x.  E )  +  ( E  x.  E ) ) )
20079, 84, 84adddird 9407 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  E )  x.  E
)  =  ( ( j  x.  E )  +  ( E  x.  E ) ) )
201199, 200eqtr4d 2476 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) )  =  ( ( j  +  E )  x.  E ) )
20221, 8readdcld 9409 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  +  E
)  e.  RR )
203 stoweidlem11.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
2048, 36, 21, 203ltadd2dd 9526 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  +  E
)  <  ( j  +  ( 1  / 
3 ) ) )
205202, 37, 7, 204ltmul1dd 11074 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  E )  x.  E
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
206201, 205eqbrtrd 4309 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) )  <  ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
20731, 164, 38, 197, 206lelttrd 9525 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )  <  ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
20814, 31, 38, 162, 207lttrd 9528 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
2095, 208eqbrtrd 4309 1  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   _Vcvv 2970    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   NNcn 10318   3c3 10368   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   RR+crp 10987   ...cfz 11433   #chash 12099   sum_csu 13159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-ico 11302  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160
This theorem is referenced by:  stoweidlem34  29754
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