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Theorem stoweidlem1 29801
Description: Lemma for stoweid 29863. This lemma is used by Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90; the key step uses Bernoulli's inequality bernneq 11995. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem1.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
stoweidlem1.2  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
stoweidlem1.3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem1.5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
stoweidlem1.6  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
stoweidlem1.7  |-  ( ph  ->  A  <_  1 )
stoweidlem1.8  |-  ( ph  ->  D  <_  A )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem1  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( 1  / 
( ( K  x.  D ) ^ N
) ) )

Proof of Theorem stoweidlem1
StepHypRef Expression
1 1re 9390 . . . . 5  |-  1  e.  RR
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
3 stoweidlem1.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
43rpred 11032 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5 stoweidlem1.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
65nnnn0d 10641 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
74, 6reexpcld 12030 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  RR )
82, 7resubcld 9781 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( A ^ N ) )  e.  RR )
9 stoweidlem1.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
109nnnn0d 10641 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
1110, 6nn0expcld 12035 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  NN0 )
128, 11reexpcld 12030 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR )
13 2nn0 10601 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
1514, 6nn0mulcld 10646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
164, 15reexpcld 12030 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
2  x.  N ) )  e.  RR )
172, 16resubcld 9781 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )  e.  RR )
1817, 11reexpcld 12030 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR )
199nnred 10342 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
2019, 4remulcld 9419 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  x.  A
)  e.  RR )
2120, 6reexpcld 12030 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  e.  RR )
229nncnd 10343 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
233rpcnd 11034 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
249nnne0d 10371 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  =/=  0 )
253rpne0d 11037 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
2622, 23, 24, 25mulne0d 9993 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  x.  A
)  =/=  0 )
2722, 23mulcld 9411 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  x.  A
)  e.  CC )
28 expne0 11900 . . . . 5  |-  ( ( ( K  x.  A
)  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  =/=  0  <->  ( K  x.  A )  =/=  0 ) )
2927, 5, 28syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  =/=  0  <->  ( K  x.  A )  =/=  0 ) )
3026, 29mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  =/=  0 )
3118, 21, 30redivcld 10164 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) ^
( K ^ N
) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  e.  RR )
32 stoweidlem1.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
3332rpred 11032 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
3419, 33remulcld 9419 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  e.  RR )
3534, 6reexpcld 12030 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  D ) ^ N
)  e.  RR )
3632rpcnd 11034 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
3732rpne0d 11037 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  =/=  0 )
3822, 36, 24, 37mulne0d 9993 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  =/=  0 )
3922, 36mulcld 9411 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  e.  CC )
40 expne0 11900 . . . . 5  |-  ( ( ( K  x.  D
)  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( K  x.  D ) ^ N )  =/=  0  <->  ( K  x.  D )  =/=  0 ) )
4139, 5, 40syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  D ) ^ N )  =/=  0  <->  ( K  x.  D )  =/=  0 ) )
4238, 41mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  D ) ^ N
)  =/=  0 )
432, 35, 42redivcld 10164 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( K  x.  D
) ^ N ) )  e.  RR )
4419, 6reexpcld 12030 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  RR )
4544, 7remulcld 9419 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) )  e.  RR )
462, 45readdcld 9418 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) )  e.  RR )
4712, 46remulcld 9419 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  e.  RR )
4847, 21, 30redivcld 10164 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  e.  RR )
492, 7readdcld 9418 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( A ^ N ) )  e.  RR )
5049, 11reexpcld 12030 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR )
5112, 50remulcld 9419 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
( 1  +  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )  e.  RR )
5251, 21, 30redivcld 10164 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  e.  RR )
5346, 21, 30redivcld 10164 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  e.  RR )
54 stoweidlem1.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
55 stoweidlem1.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  <_  1 )
56 exple1 11928 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  <_  1 )
574, 54, 55, 6, 56syl31anc 1221 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  <_  1 )
582, 7subge0d 9934 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
1  -  ( A ^ N ) )  <-> 
( A ^ N
)  <_  1 ) )
5957, 58mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  -  ( A ^ N ) ) )
608, 11, 59expge0d 12031 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
6127, 6expcld 12013 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  e.  CC )
6261, 30dividd 10110 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  =  1 )
6361addid2d 9575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( ( K  x.  A
) ^ N ) )  =  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )
64 0red 9392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
65 0le1 9868 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  1
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
6764, 2, 21, 66leadd1dd 9958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( ( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( 1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
6863, 67eqbrtrrd 4319 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  <_  ( 1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
692, 21readdcld 9418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K  x.  A
) ^ N ) )  e.  RR )
705nnzd 10751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
719nngt0d 10370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  K )
723rpgt0d 11035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  A )
7319, 4, 71, 72mulgt0d 9531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( K  x.  A ) )
74 expgt0 11902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  x.  A
)  e.  RR  /\  N  e.  ZZ  /\  0  <  ( K  x.  A
) )  ->  0  <  ( ( K  x.  A ) ^ N
) )
7520, 70, 73, 74syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )
76 lediv1 10199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  x.  A ) ^ N
)  e.  RR  /\  ( 1  +  ( ( K  x.  A
) ^ N ) )  e.  RR  /\  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  e.  RR  /\  0  <  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )  ->  ( (
( K  x.  A
) ^ N )  <_  ( 1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N
) )  <->  ( (
( K  x.  A
) ^ N )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  <_ 
( ( 1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N
) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) ) ) )
7721, 69, 21, 75, 76syl112anc 1222 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  <_  (
1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  <-> 
( ( ( K  x.  A ) ^ N )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( (
1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) ) )
7868, 77mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( (
1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
7962, 78eqbrtrrd 4319 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <_  ( (
1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
8022, 23, 6mulexpd 12028 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  =  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )
8180oveq2d 6112 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K  x.  A
) ^ N ) )  =  ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N
) ) ) )
8281oveq1d 6111 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N
) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  =  ( ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
8379, 82breqtrd 4321 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <_  ( (
1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
8412, 53, 60, 83lemulge11d 10275 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) ) )
85 1cnd 9407 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
8623, 6expcld 12013 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )
8785, 86subcld 9724 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( A ^ N ) )  e.  CC )
8887, 11expcld 12013 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  CC )
8922, 6expcld 12013 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  CC )
9089, 86mulcld 9411 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) )  e.  CC )
9185, 90addcld 9410 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) )  e.  CC )
9288, 91, 61, 30divassd 10147 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  =  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) ) )
9384, 92breqtrrd 4323 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) ) )
9489, 86mulcomd 9412 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) )  =  ( ( A ^ N )  x.  ( K ^ N
) ) )
9594oveq2d 6112 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) )  =  ( 1  +  ( ( A ^ N )  x.  ( K ^ N
) ) ) )
962renegcld 9780 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  RR )
97 le0neg2 9853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 ) )
981, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 )
9965, 98mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  <_  0
10099a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u 1  <_  0
)
1014, 6, 54expge0d 12031 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A ^ N ) )
10296, 64, 7, 100, 101letrd 9533 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u 1  <_  ( A ^ N ) )
103 bernneq 11995 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A ^ N
)  e.  RR  /\  ( K ^ N )  e.  NN0  /\  -u 1  <_  ( A ^ N
) )  ->  (
1  +  ( ( A ^ N )  x.  ( K ^ N ) ) )  <_  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
1047, 11, 102, 103syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( A ^ N
)  x.  ( K ^ N ) ) )  <_  ( (
1  +  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
10595, 104eqbrtrd 4317 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) )  <_  ( (
1  +  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
10646, 50, 12, 60, 105lemul2ad 10278 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  <_  ( (
( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) ) )
107 lediv1 10199 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
( 1  +  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  e.  RR  /\  0  <  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )  ->  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  <_  (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )  <->  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )  / 
( ( K  x.  A ) ^ N
) ) ) )
10847, 51, 21, 75, 107syl112anc 1222 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) ) )  <_  (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )  <->  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )  / 
( ( K  x.  A ) ^ N
) ) ) )
109106, 108mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )  / 
( ( K  x.  A ) ^ N
) ) )
11012, 48, 52, 93, 109letrd 9533 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
11185, 86addcld 9410 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( A ^ N ) )  e.  CC )
11287, 111mulcomd 9412 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) )  x.  (
1  +  ( A ^ N ) ) )  =  ( ( 1  +  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  -  ( A ^ N
) ) ) )
113112oveq1d 6111 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( A ^ N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  =  ( ( ( 1  +  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  -  ( A ^ N
) ) ) ^
( K ^ N
) ) )
11487, 111, 11mulexpd 12028 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( A ^ N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  =  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) ) )
115 subsq 11978 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ N )  e.  CC )  -> 
( ( 1 ^ 2 )  -  (
( A ^ N
) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  +  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  -  ( A ^ N
) ) ) )
11685, 86, 115syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ^ 2 )  -  (
( A ^ N
) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  +  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  -  ( A ^ N
) ) ) )
117 sq1 11965 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
118117a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ^ 2 )  =  1 )
11923, 14, 6expmuld 12016 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( N  x.  2 ) )  =  ( ( A ^ N ) ^ 2 ) )
1205nncnd 10343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
121 2cnd 10399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
122120, 121mulcomd 9412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  x.  2 )  =  ( 2  x.  N ) )
123122oveq2d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( N  x.  2 ) )  =  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )
124119, 123eqtr3d 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A ^ N ) ^ 2 )  =  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )
125118, 124oveq12d 6114 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ^ 2 )  -  (
( A ^ N
) ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) )
126116, 125eqtr3d 2477 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( A ^ N
) )  x.  (
1  -  ( A ^ N ) ) )  =  ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) )
127126oveq1d 6111 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  +  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  -  ( A ^ N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  =  ( ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) ^
( K ^ N
) ) )
128113, 114, 1273eqtr3d 2483 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
( 1  +  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )  =  ( ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
129128oveq1d 6111 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  =  ( ( ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  / 
( ( K  x.  A ) ^ N
) ) )
130110, 129breqtrd 4321 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( ( ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  / 
( ( K  x.  A ) ^ N
) ) )
13118, 2jca 532 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) ^
( K ^ N
) )  e.  RR  /\  1  e.  RR ) )
132 exple1 11928 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  ( 2  x.  N
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
2  x.  N ) )  <_  1 )
1334, 54, 55, 15, 132syl31anc 1221 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
2  x.  N ) )  <_  1 )
1342, 16subge0d 9934 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )  <-> 
( A ^ (
2  x.  N ) )  <_  1 ) )
135133, 134mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) )
13617, 11, 135expge0d 12031 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
137 1m1e0 10395 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  1 )  =  0
1384, 15, 54expge0d 12031 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )
139137, 138syl5eqbr 4330 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  1 )  <_  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )
1402, 2, 16, 139subled 9947 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )  <_  1 )
141 exple1 11928 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) )  /\  ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )  <_  1 )  /\  ( K ^ N )  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  1 )
14217, 135, 140, 11, 141syl31anc 1221 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  1 )
143131, 136, 142jca32 535 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  (
0  <_  ( (
1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  /\  ( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  1 ) ) )
14435, 21jca 532 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  D ) ^ N )  e.  RR  /\  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  e.  RR ) )
14532rpgt0d 11035 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  D )
14619, 33, 71, 145mulgt0d 9531 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  ( K  x.  D ) )
147 expgt0 11902 . . . . 5  |-  ( ( ( K  x.  D
)  e.  RR  /\  N  e.  ZZ  /\  0  <  ( K  x.  D
) )  ->  0  <  ( ( K  x.  D ) ^ N
) )
14834, 70, 146, 147syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( K  x.  D ) ^ N ) )
14964, 19, 71ltled 9527 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  K )
15064, 33, 145ltled 9527 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  D )
15119, 33, 149, 150mulge0d 9921 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( K  x.  D ) )
152 stoweidlem1.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  <_  A )
15333, 4, 19, 149, 152lemul2ad 10278 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  <_  ( K  x.  A ) )
154 leexp1a 11927 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  x.  D )  e.  RR  /\  ( K  x.  A
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  ( K  x.  D )  /\  ( K  x.  D
)  <_  ( K  x.  A ) ) )  ->  ( ( K  x.  D ) ^ N )  <_  (
( K  x.  A
) ^ N ) )
15534, 20, 6, 151, 153, 154syl32anc 1226 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  D ) ^ N
)  <_  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )
156148, 155jca 532 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
( K  x.  D
) ^ N )  /\  ( ( K  x.  D ) ^ N )  <_  (
( K  x.  A
) ^ N ) ) )
157 lediv12a 10230 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  (
0  <_  ( (
1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  /\  ( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  1 ) )  /\  ( ( ( ( K  x.  D
) ^ N )  e.  RR  /\  (
( K  x.  A
) ^ N )  e.  RR )  /\  ( 0  <  (
( K  x.  D
) ^ N )  /\  ( ( K  x.  D ) ^ N )  <_  (
( K  x.  A
) ^ N ) ) ) )  -> 
( ( ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) ^
( K ^ N
) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( 1  /  ( ( K  x.  D ) ^ N ) ) )
158143, 144, 156, 157syl12anc 1216 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) ^
( K ^ N
) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( 1  /  ( ( K  x.  D ) ^ N ) ) )
15912, 31, 43, 130, 158letrd 9533 1  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( 1  / 
( ( K  x.  D ) ^ N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   class class class wbr 4297  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600   -ucneg 9601    / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   RR+crp 10996   ^cexp 11870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-seq 11812  df-exp 11871
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