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Theorem stoweidlem1 31944
Description: Lemma for stoweid 32006. This lemma is used by Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90; the key step uses Bernoulli's inequality bernneq 12294. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem1.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
stoweidlem1.2  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
stoweidlem1.3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem1.5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
stoweidlem1.6  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
stoweidlem1.7  |-  ( ph  ->  A  <_  1 )
stoweidlem1.8  |-  ( ph  ->  D  <_  A )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem1  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( 1  / 
( ( K  x.  D ) ^ N
) ) )

Proof of Theorem stoweidlem1
StepHypRef Expression
1 1re 9612 . . . . 5  |-  1  e.  RR
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
3 stoweidlem1.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
43rpred 11281 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5 stoweidlem1.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
65nnnn0d 10873 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
74, 6reexpcld 12329 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  RR )
82, 7resubcld 10008 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( A ^ N ) )  e.  RR )
9 stoweidlem1.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
109nnnn0d 10873 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
1110, 6nn0expcld 12334 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  NN0 )
128, 11reexpcld 12329 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR )
13 2nn0 10833 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
1514, 6nn0mulcld 10878 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
164, 15reexpcld 12329 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
2  x.  N ) )  e.  RR )
172, 16resubcld 10008 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )  e.  RR )
1817, 11reexpcld 12329 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR )
199nnred 10571 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
2019, 4remulcld 9641 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  x.  A
)  e.  RR )
2120, 6reexpcld 12329 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  e.  RR )
229nncnd 10572 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
233rpcnd 11283 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
249nnne0d 10601 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  =/=  0 )
253rpne0d 11286 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
2622, 23, 24, 25mulne0d 10222 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  x.  A
)  =/=  0 )
2722, 23mulcld 9633 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  x.  A
)  e.  CC )
28 expne0 12199 . . . . 5  |-  ( ( ( K  x.  A
)  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  =/=  0  <->  ( K  x.  A )  =/=  0 ) )
2927, 5, 28syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  =/=  0  <->  ( K  x.  A )  =/=  0 ) )
3026, 29mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  =/=  0 )
3118, 21, 30redivcld 10393 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) ^
( K ^ N
) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  e.  RR )
32 stoweidlem1.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
3332rpred 11281 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
3419, 33remulcld 9641 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  e.  RR )
3534, 6reexpcld 12329 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  D ) ^ N
)  e.  RR )
3632rpcnd 11283 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
3732rpne0d 11286 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  =/=  0 )
3822, 36, 24, 37mulne0d 10222 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  =/=  0 )
3922, 36mulcld 9633 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  e.  CC )
40 expne0 12199 . . . . 5  |-  ( ( ( K  x.  D
)  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( K  x.  D ) ^ N )  =/=  0  <->  ( K  x.  D )  =/=  0 ) )
4139, 5, 40syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  D ) ^ N )  =/=  0  <->  ( K  x.  D )  =/=  0 ) )
4238, 41mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  D ) ^ N
)  =/=  0 )
432, 35, 42redivcld 10393 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( K  x.  D
) ^ N ) )  e.  RR )
4419, 6reexpcld 12329 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  RR )
4544, 7remulcld 9641 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) )  e.  RR )
462, 45readdcld 9640 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) )  e.  RR )
4712, 46remulcld 9641 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  e.  RR )
4847, 21, 30redivcld 10393 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  e.  RR )
492, 7readdcld 9640 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( A ^ N ) )  e.  RR )
5049, 11reexpcld 12329 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR )
5112, 50remulcld 9641 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
( 1  +  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )  e.  RR )
5251, 21, 30redivcld 10393 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  e.  RR )
5346, 21, 30redivcld 10393 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  e.  RR )
54 stoweidlem1.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
55 stoweidlem1.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  <_  1 )
56 exple1 12227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  <_  1 )
574, 54, 55, 6, 56syl31anc 1231 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  <_  1 )
582, 7subge0d 10163 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
1  -  ( A ^ N ) )  <-> 
( A ^ N
)  <_  1 ) )
5957, 58mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  -  ( A ^ N ) ) )
608, 11, 59expge0d 12330 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
6127, 6expcld 12312 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  e.  CC )
6261, 30dividd 10339 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  =  1 )
6361addid2d 9798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( ( K  x.  A
) ^ N ) )  =  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )
64 0red 9614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
65 0le1 10097 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  1
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
6764, 2, 21, 66leadd1dd 10187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( ( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( 1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
6863, 67eqbrtrrd 4478 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  <_  ( 1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
692, 21readdcld 9640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K  x.  A
) ^ N ) )  e.  RR )
705nnzd 10989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
719nngt0d 10600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  K )
723rpgt0d 11284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  A )
7319, 4, 71, 72mulgt0d 9754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( K  x.  A ) )
74 expgt0 12201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  x.  A
)  e.  RR  /\  N  e.  ZZ  /\  0  <  ( K  x.  A
) )  ->  0  <  ( ( K  x.  A ) ^ N
) )
7520, 70, 73, 74syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )
76 lediv1 10428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  x.  A ) ^ N
)  e.  RR  /\  ( 1  +  ( ( K  x.  A
) ^ N ) )  e.  RR  /\  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  e.  RR  /\  0  <  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )  ->  ( (
( K  x.  A
) ^ N )  <_  ( 1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N
) )  <->  ( (
( K  x.  A
) ^ N )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  <_ 
( ( 1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N
) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) ) ) )
7721, 69, 21, 75, 76syl112anc 1232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  <_  (
1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  <-> 
( ( ( K  x.  A ) ^ N )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( (
1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) ) )
7868, 77mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( (
1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
7962, 78eqbrtrrd 4478 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <_  ( (
1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
8022, 23, 6mulexpd 12327 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  =  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )
8180oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K  x.  A
) ^ N ) )  =  ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N
) ) ) )
8281oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N
) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  =  ( ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
8379, 82breqtrd 4480 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <_  ( (
1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
8412, 53, 60, 83lemulge11d 10503 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) ) )
85 1cnd 9629 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
8623, 6expcld 12312 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )
8785, 86subcld 9950 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( A ^ N ) )  e.  CC )
8887, 11expcld 12312 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  CC )
8922, 6expcld 12312 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  CC )
9089, 86mulcld 9633 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) )  e.  CC )
9185, 90addcld 9632 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) )  e.  CC )
9288, 91, 61, 30divassd 10376 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  =  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) ) )
9384, 92breqtrrd 4482 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) ) )
9489, 86mulcomd 9634 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) )  =  ( ( A ^ N )  x.  ( K ^ N
) ) )
9594oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) )  =  ( 1  +  ( ( A ^ N )  x.  ( K ^ N
) ) ) )
962renegcld 10007 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  RR )
97 le0neg2 10082 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 ) )
981, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 )
9965, 98mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  <_  0
10099a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u 1  <_  0
)
1014, 6, 54expge0d 12330 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A ^ N ) )
10296, 64, 7, 100, 101letrd 9756 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u 1  <_  ( A ^ N ) )
103 bernneq 12294 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A ^ N
)  e.  RR  /\  ( K ^ N )  e.  NN0  /\  -u 1  <_  ( A ^ N
) )  ->  (
1  +  ( ( A ^ N )  x.  ( K ^ N ) ) )  <_  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
1047, 11, 102, 103syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( A ^ N
)  x.  ( K ^ N ) ) )  <_  ( (
1  +  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
10595, 104eqbrtrd 4476 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) )  <_  ( (
1  +  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
10646, 50, 12, 60, 105lemul2ad 10506 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  <_  ( (
( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) ) )
107 lediv1 10428 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
( 1  +  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  e.  RR  /\  0  <  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )  ->  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  <_  (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )  <->  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )  / 
( ( K  x.  A ) ^ N
) ) ) )
10847, 51, 21, 75, 107syl112anc 1232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) ) )  <_  (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )  <->  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )  / 
( ( K  x.  A ) ^ N
) ) ) )
109106, 108mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )  / 
( ( K  x.  A ) ^ N
) ) )
11012, 48, 52, 93, 109letrd 9756 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
11185, 86addcld 9632 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( A ^ N ) )  e.  CC )
11287, 111mulcomd 9634 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) )  x.  (
1  +  ( A ^ N ) ) )  =  ( ( 1  +  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  -  ( A ^ N
) ) ) )
113112oveq1d 6311 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( A ^ N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  =  ( ( ( 1  +  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  -  ( A ^ N
) ) ) ^
( K ^ N
) ) )
11487, 111, 11mulexpd 12327 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( A ^ N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  =  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) ) )
115 subsq 12277 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ N )  e.  CC )  -> 
( ( 1 ^ 2 )  -  (
( A ^ N
) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  +  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  -  ( A ^ N
) ) ) )
11685, 86, 115syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ^ 2 )  -  (
( A ^ N
) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  +  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  -  ( A ^ N
) ) ) )
117 sq1 12264 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
118117a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ^ 2 )  =  1 )
11923, 14, 6expmuld 12315 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( N  x.  2 ) )  =  ( ( A ^ N ) ^ 2 ) )
1205nncnd 10572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
121 2cnd 10629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
122120, 121mulcomd 9634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  x.  2 )  =  ( 2  x.  N ) )
123122oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( N  x.  2 ) )  =  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )
124119, 123eqtr3d 2500 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A ^ N ) ^ 2 )  =  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )
125118, 124oveq12d 6314 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ^ 2 )  -  (
( A ^ N
) ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) )
126116, 125eqtr3d 2500 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( A ^ N
) )  x.  (
1  -  ( A ^ N ) ) )  =  ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) )
127126oveq1d 6311 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  +  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  -  ( A ^ N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  =  ( ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) ^
( K ^ N
) ) )
128113, 114, 1273eqtr3d 2506 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
( 1  +  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )  =  ( ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
129128oveq1d 6311 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  =  ( ( ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  / 
( ( K  x.  A ) ^ N
) ) )
130110, 129breqtrd 4480 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( ( ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  / 
( ( K  x.  A ) ^ N
) ) )
13118, 2jca 532 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) ^
( K ^ N
) )  e.  RR  /\  1  e.  RR ) )
132 exple1 12227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  ( 2  x.  N
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
2  x.  N ) )  <_  1 )
1334, 54, 55, 15, 132syl31anc 1231 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
2  x.  N ) )  <_  1 )
1342, 16subge0d 10163 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )  <-> 
( A ^ (
2  x.  N ) )  <_  1 ) )
135133, 134mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) )
13617, 11, 135expge0d 12330 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
137 1m1e0 10625 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  1 )  =  0
1384, 15, 54expge0d 12330 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )
139137, 138syl5eqbr 4489 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  1 )  <_  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )
1402, 2, 16, 139subled 10176 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )  <_  1 )
141 exple1 12227 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) )  /\  ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )  <_  1 )  /\  ( K ^ N )  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  1 )
14217, 135, 140, 11, 141syl31anc 1231 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  1 )
143131, 136, 142jca32 535 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  (
0  <_  ( (
1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  /\  ( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  1 ) ) )
14435, 21jca 532 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  D ) ^ N )  e.  RR  /\  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  e.  RR ) )
14532rpgt0d 11284 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  D )
14619, 33, 71, 145mulgt0d 9754 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  ( K  x.  D ) )
147 expgt0 12201 . . . . 5  |-  ( ( ( K  x.  D
)  e.  RR  /\  N  e.  ZZ  /\  0  <  ( K  x.  D
) )  ->  0  <  ( ( K  x.  D ) ^ N
) )
14834, 70, 146, 147syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( K  x.  D ) ^ N ) )
14964, 19, 71ltled 9750 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  K )
15064, 33, 145ltled 9750 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  D )
15119, 33, 149, 150mulge0d 10150 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( K  x.  D ) )
152 stoweidlem1.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  <_  A )
15333, 4, 19, 149, 152lemul2ad 10506 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  <_  ( K  x.  A ) )
154 leexp1a 12226 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  x.  D )  e.  RR  /\  ( K  x.  A
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  ( K  x.  D )  /\  ( K  x.  D
)  <_  ( K  x.  A ) ) )  ->  ( ( K  x.  D ) ^ N )  <_  (
( K  x.  A
) ^ N ) )
15534, 20, 6, 151, 153, 154syl32anc 1236 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  D ) ^ N
)  <_  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )
156148, 155jca 532 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
( K  x.  D
) ^ N )  /\  ( ( K  x.  D ) ^ N )  <_  (
( K  x.  A
) ^ N ) ) )
157 lediv12a 10458 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  (
0  <_  ( (
1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  /\  ( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  1 ) )  /\  ( ( ( ( K  x.  D
) ^ N )  e.  RR  /\  (
( K  x.  A
) ^ N )  e.  RR )  /\  ( 0  <  (
( K  x.  D
) ^ N )  /\  ( ( K  x.  D ) ^ N )  <_  (
( K  x.  A
) ^ N ) ) ) )  -> 
( ( ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) ^
( K ^ N
) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( 1  /  ( ( K  x.  D ) ^ N ) ) )
158143, 144, 156, 157syl12anc 1226 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) ^
( K ^ N
) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( 1  /  ( ( K  x.  D ) ^ N ) ) )
15912, 31, 43, 130, 158letrd 9756 1  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( 1  / 
( ( K  x.  D ) ^ N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   RR+crp 11245   ^cexp 12168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12110  df-exp 12169
This theorem is referenced by:  stoweidlem25  31968
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