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Theorem stoweidlem1 31301
Description: Lemma for stoweid 31363. This lemma is used by Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90; the key step uses Bernoulli's inequality bernneq 12254. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem1.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
stoweidlem1.2  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
stoweidlem1.3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem1.5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
stoweidlem1.6  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
stoweidlem1.7  |-  ( ph  ->  A  <_  1 )
stoweidlem1.8  |-  ( ph  ->  D  <_  A )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem1  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( 1  / 
( ( K  x.  D ) ^ N
) ) )

Proof of Theorem stoweidlem1
StepHypRef Expression
1 1re 9591 . . . . 5  |-  1  e.  RR
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
3 stoweidlem1.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
43rpred 11252 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5 stoweidlem1.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
65nnnn0d 10848 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
74, 6reexpcld 12289 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  RR )
82, 7resubcld 9983 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( A ^ N ) )  e.  RR )
9 stoweidlem1.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
109nnnn0d 10848 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
1110, 6nn0expcld 12294 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  NN0 )
128, 11reexpcld 12289 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR )
13 2nn0 10808 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
1514, 6nn0mulcld 10853 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
164, 15reexpcld 12289 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
2  x.  N ) )  e.  RR )
172, 16resubcld 9983 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )  e.  RR )
1817, 11reexpcld 12289 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR )
199nnred 10547 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
2019, 4remulcld 9620 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  x.  A
)  e.  RR )
2120, 6reexpcld 12289 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  e.  RR )
229nncnd 10548 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
233rpcnd 11254 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
249nnne0d 10576 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  =/=  0 )
253rpne0d 11257 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
2622, 23, 24, 25mulne0d 10197 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  x.  A
)  =/=  0 )
2722, 23mulcld 9612 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  x.  A
)  e.  CC )
28 expne0 12159 . . . . 5  |-  ( ( ( K  x.  A
)  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  =/=  0  <->  ( K  x.  A )  =/=  0 ) )
2927, 5, 28syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  =/=  0  <->  ( K  x.  A )  =/=  0 ) )
3026, 29mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  =/=  0 )
3118, 21, 30redivcld 10368 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) ^
( K ^ N
) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  e.  RR )
32 stoweidlem1.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
3332rpred 11252 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
3419, 33remulcld 9620 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  e.  RR )
3534, 6reexpcld 12289 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  D ) ^ N
)  e.  RR )
3632rpcnd 11254 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
3732rpne0d 11257 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  =/=  0 )
3822, 36, 24, 37mulne0d 10197 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  =/=  0 )
3922, 36mulcld 9612 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  e.  CC )
40 expne0 12159 . . . . 5  |-  ( ( ( K  x.  D
)  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( K  x.  D ) ^ N )  =/=  0  <->  ( K  x.  D )  =/=  0 ) )
4139, 5, 40syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  D ) ^ N )  =/=  0  <->  ( K  x.  D )  =/=  0 ) )
4238, 41mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  D ) ^ N
)  =/=  0 )
432, 35, 42redivcld 10368 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( K  x.  D
) ^ N ) )  e.  RR )
4419, 6reexpcld 12289 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  RR )
4544, 7remulcld 9620 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) )  e.  RR )
462, 45readdcld 9619 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) )  e.  RR )
4712, 46remulcld 9620 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  e.  RR )
4847, 21, 30redivcld 10368 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  e.  RR )
492, 7readdcld 9619 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( A ^ N ) )  e.  RR )
5049, 11reexpcld 12289 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR )
5112, 50remulcld 9620 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
( 1  +  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )  e.  RR )
5251, 21, 30redivcld 10368 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  e.  RR )
5346, 21, 30redivcld 10368 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  e.  RR )
54 stoweidlem1.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
55 stoweidlem1.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  <_  1 )
56 exple1 12187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  <_  1 )
574, 54, 55, 6, 56syl31anc 1231 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  <_  1 )
582, 7subge0d 10138 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
1  -  ( A ^ N ) )  <-> 
( A ^ N
)  <_  1 ) )
5957, 58mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  -  ( A ^ N ) ) )
608, 11, 59expge0d 12290 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
6127, 6expcld 12272 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  e.  CC )
6261, 30dividd 10314 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  =  1 )
6361addid2d 9776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( ( K  x.  A
) ^ N ) )  =  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )
64 0red 9593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
65 0le1 10072 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  1
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
6764, 2, 21, 66leadd1dd 10162 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( ( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( 1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
6863, 67eqbrtrrd 4469 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  <_  ( 1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
692, 21readdcld 9619 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K  x.  A
) ^ N ) )  e.  RR )
705nnzd 10961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
719nngt0d 10575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  K )
723rpgt0d 11255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  A )
7319, 4, 71, 72mulgt0d 9732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( K  x.  A ) )
74 expgt0 12161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  x.  A
)  e.  RR  /\  N  e.  ZZ  /\  0  <  ( K  x.  A
) )  ->  0  <  ( ( K  x.  A ) ^ N
) )
7520, 70, 73, 74syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )
76 lediv1 10403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  x.  A ) ^ N
)  e.  RR  /\  ( 1  +  ( ( K  x.  A
) ^ N ) )  e.  RR  /\  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  e.  RR  /\  0  <  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )  ->  ( (
( K  x.  A
) ^ N )  <_  ( 1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N
) )  <->  ( (
( K  x.  A
) ^ N )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  <_ 
( ( 1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N
) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) ) ) )
7721, 69, 21, 75, 76syl112anc 1232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  <_  (
1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  <-> 
( ( ( K  x.  A ) ^ N )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( (
1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) ) )
7868, 77mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( (
1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
7962, 78eqbrtrrd 4469 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <_  ( (
1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
8022, 23, 6mulexpd 12287 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  =  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )
8180oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K  x.  A
) ^ N ) )  =  ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N
) ) ) )
8281oveq1d 6297 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N
) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  =  ( ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
8379, 82breqtrd 4471 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <_  ( (
1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
8412, 53, 60, 83lemulge11d 10479 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) ) )
85 1cnd 9608 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
8623, 6expcld 12272 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )
8785, 86subcld 9926 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( A ^ N ) )  e.  CC )
8887, 11expcld 12272 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  CC )
8922, 6expcld 12272 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  CC )
9089, 86mulcld 9612 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) )  e.  CC )
9185, 90addcld 9611 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) )  e.  CC )
9288, 91, 61, 30divassd 10351 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  =  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) ) )
9384, 92breqtrrd 4473 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) ) )
9489, 86mulcomd 9613 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) )  =  ( ( A ^ N )  x.  ( K ^ N
) ) )
9594oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) )  =  ( 1  +  ( ( A ^ N )  x.  ( K ^ N
) ) ) )
962renegcld 9982 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  RR )
97 le0neg2 10057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 ) )
981, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 )
9965, 98mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  <_  0
10099a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u 1  <_  0
)
1014, 6, 54expge0d 12290 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A ^ N ) )
10296, 64, 7, 100, 101letrd 9734 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u 1  <_  ( A ^ N ) )
103 bernneq 12254 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A ^ N
)  e.  RR  /\  ( K ^ N )  e.  NN0  /\  -u 1  <_  ( A ^ N
) )  ->  (
1  +  ( ( A ^ N )  x.  ( K ^ N ) ) )  <_  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
1047, 11, 102, 103syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( A ^ N
)  x.  ( K ^ N ) ) )  <_  ( (
1  +  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
10595, 104eqbrtrd 4467 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) )  <_  ( (
1  +  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
10646, 50, 12, 60, 105lemul2ad 10482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  <_  ( (
( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) ) )
107 lediv1 10403 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
( 1  +  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  e.  RR  /\  0  <  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )  ->  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  <_  (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )  <->  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )  / 
( ( K  x.  A ) ^ N
) ) ) )
10847, 51, 21, 75, 107syl112anc 1232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) ) )  <_  (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )  <->  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )  / 
( ( K  x.  A ) ^ N
) ) ) )
109106, 108mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )  / 
( ( K  x.  A ) ^ N
) ) )
11012, 48, 52, 93, 109letrd 9734 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
11185, 86addcld 9611 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( A ^ N ) )  e.  CC )
11287, 111mulcomd 9613 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) )  x.  (
1  +  ( A ^ N ) ) )  =  ( ( 1  +  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  -  ( A ^ N
) ) ) )
113112oveq1d 6297 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( A ^ N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  =  ( ( ( 1  +  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  -  ( A ^ N
) ) ) ^
( K ^ N
) ) )
11487, 111, 11mulexpd 12287 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( A ^ N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  =  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) ) )
115 subsq 12237 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ N )  e.  CC )  -> 
( ( 1 ^ 2 )  -  (
( A ^ N
) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  +  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  -  ( A ^ N
) ) ) )
11685, 86, 115syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ^ 2 )  -  (
( A ^ N
) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  +  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  -  ( A ^ N
) ) ) )
117 sq1 12224 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
118117a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ^ 2 )  =  1 )
11923, 14, 6expmuld 12275 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( N  x.  2 ) )  =  ( ( A ^ N ) ^ 2 ) )
1205nncnd 10548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
121 2cnd 10604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
122120, 121mulcomd 9613 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  x.  2 )  =  ( 2  x.  N ) )
123122oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( N  x.  2 ) )  =  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )
124119, 123eqtr3d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A ^ N ) ^ 2 )  =  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )
125118, 124oveq12d 6300 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ^ 2 )  -  (
( A ^ N
) ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) )
126116, 125eqtr3d 2510 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( A ^ N
) )  x.  (
1  -  ( A ^ N ) ) )  =  ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) )
127126oveq1d 6297 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  +  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  -  ( A ^ N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  =  ( ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) ^
( K ^ N
) ) )
128113, 114, 1273eqtr3d 2516 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
( 1  +  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )  =  ( ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
129128oveq1d 6297 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  =  ( ( ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  / 
( ( K  x.  A ) ^ N
) ) )
130110, 129breqtrd 4471 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( ( ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  / 
( ( K  x.  A ) ^ N
) ) )
13118, 2jca 532 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) ^
( K ^ N
) )  e.  RR  /\  1  e.  RR ) )
132 exple1 12187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  ( 2  x.  N
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
2  x.  N ) )  <_  1 )
1334, 54, 55, 15, 132syl31anc 1231 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
2  x.  N ) )  <_  1 )
1342, 16subge0d 10138 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )  <-> 
( A ^ (
2  x.  N ) )  <_  1 ) )
135133, 134mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) )
13617, 11, 135expge0d 12290 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
137 1m1e0 10600 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  1 )  =  0
1384, 15, 54expge0d 12290 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )
139137, 138syl5eqbr 4480 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  1 )  <_  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )
1402, 2, 16, 139subled 10151 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )  <_  1 )
141 exple1 12187 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) )  /\  ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )  <_  1 )  /\  ( K ^ N )  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  1 )
14217, 135, 140, 11, 141syl31anc 1231 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  1 )
143131, 136, 142jca32 535 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  (
0  <_  ( (
1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  /\  ( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  1 ) ) )
14435, 21jca 532 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  D ) ^ N )  e.  RR  /\  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  e.  RR ) )
14532rpgt0d 11255 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  D )
14619, 33, 71, 145mulgt0d 9732 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  ( K  x.  D ) )
147 expgt0 12161 . . . . 5  |-  ( ( ( K  x.  D
)  e.  RR  /\  N  e.  ZZ  /\  0  <  ( K  x.  D
) )  ->  0  <  ( ( K  x.  D ) ^ N
) )
14834, 70, 146, 147syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( K  x.  D ) ^ N ) )
14964, 19, 71ltled 9728 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  K )
15064, 33, 145ltled 9728 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  D )
15119, 33, 149, 150mulge0d 10125 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( K  x.  D ) )
152 stoweidlem1.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  <_  A )
15333, 4, 19, 149, 152lemul2ad 10482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  <_  ( K  x.  A ) )
154 leexp1a 12186 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  x.  D )  e.  RR  /\  ( K  x.  A
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  ( K  x.  D )  /\  ( K  x.  D
)  <_  ( K  x.  A ) ) )  ->  ( ( K  x.  D ) ^ N )  <_  (
( K  x.  A
) ^ N ) )
15534, 20, 6, 151, 153, 154syl32anc 1236 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  D ) ^ N
)  <_  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )
156148, 155jca 532 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
( K  x.  D
) ^ N )  /\  ( ( K  x.  D ) ^ N )  <_  (
( K  x.  A
) ^ N ) ) )
157 lediv12a 10434 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  (
0  <_  ( (
1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  /\  ( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  1 ) )  /\  ( ( ( ( K  x.  D
) ^ N )  e.  RR  /\  (
( K  x.  A
) ^ N )  e.  RR )  /\  ( 0  <  (
( K  x.  D
) ^ N )  /\  ( ( K  x.  D ) ^ N )  <_  (
( K  x.  A
) ^ N ) ) ) )  -> 
( ( ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) ^
( K ^ N
) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( 1  /  ( ( K  x.  D ) ^ N ) ) )
158143, 144, 156, 157syl12anc 1226 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) ^
( K ^ N
) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( 1  /  ( ( K  x.  D ) ^ N ) ) )
15912, 31, 43, 130, 158letrd 9734 1  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( 1  / 
( ( K  x.  D ) ^ N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801   -ucneg 9802    / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   RR+crp 11216   ^cexp 12129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-seq 12071  df-exp 12130
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