Theorem stoweidlem1 37973

Description: Lemma for stoweid 38037. This lemma is used by Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90; the key step uses Bernoulli's inequality bernneq 12436. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem1.1	|- ( ph -> N e. NN )
stoweidlem1.2	|- ( ph -> K e. NN )
stoweidlem1.3	|- ( ph -> D e. RR+ )
stoweidlem1.5	|- ( ph -> A e. RR+ )
stoweidlem1.6	|- ( ph -> 0 <_ A )
stoweidlem1.7	|- ( ph -> A <_ 1 )
stoweidlem1.8	|- ( ph -> D <_ A )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem1	|- ( ph -> ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) <_ ( 1 / ( ( K x. D ) ^ N ) ) )

Proof of Theorem stoweidlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 9660	. . . . 5 |- 1 e. RR
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
3		stoweidlem1.5	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR+ )
4	3	rpred 11364	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
5		stoweidlem1.1	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
6	5	nnnn0d 10949	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
7	4, 6	reexpcld 12471	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^ N ) e. RR )
8	2, 7	resubcld 10068	. . 3 |- ( ph -> ( 1 - ( A ^ N ) ) e. RR )
9		stoweidlem1.2	. . . . 5 |- ( ph -> K e. NN )
10	9	nnnn0d 10949	. . . 4 |- ( ph -> K e. NN0 )
11	10, 6	nn0expcld 12476	. . 3 |- ( ph -> ( K ^ N ) e. NN0 )
12	8, 11	reexpcld 12471	. 2 |- ( ph -> ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) e. RR )
13		2nn0 10910	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. NN0 )
15	14, 6	nn0mulcld 10954	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. NN0 )
16	4, 15	reexpcld 12471	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ^ ( 2 x. N ) ) e. RR )
17	2, 16	resubcld 10068	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) e. RR )
18	17, 11	reexpcld 12471	. . 3 |- ( ph -> ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) e. RR )
19	9	nnred 10646	. . . . 5 |- ( ph -> K e. RR )
20	19, 4	remulcld 9689	. . . 4 |- ( ph -> ( K x. A ) e. RR )
21	20, 6	reexpcld 12471	. . 3 |- ( ph -> ( ( K x. A ) ^ N ) e. RR )
22	9	nncnd 10647	. . . . 5 |- ( ph -> K e. CC )
23	3	rpcnd 11366	. . . . 5 |- ( ph -> A e. CC )
24	9	nnne0d 10676	. . . . 5 |- ( ph -> K =/= 0 )
25	3	rpne0d 11369	. . . . 5 |- ( ph -> A =/= 0 )
26	22, 23, 24, 25	mulne0d 10286	. . . 4 |- ( ph -> ( K x. A ) =/= 0 )
27	22, 23	mulcld 9681	. . . . 5 |- ( ph -> ( K x. A ) e. CC )
28		expne0 12341	. . . . 5 |- ( ( ( K x. A ) e. CC /\ N e. NN ) -> ( ( ( K x. A ) ^ N ) =/= 0 <-> ( K x. A ) =/= 0 ) )
29	27, 5, 28	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( K x. A ) ^ N ) =/= 0 <-> ( K x. A ) =/= 0 ) )
30	26, 29	mpbird 240	. . 3 |- ( ph -> ( ( K x. A ) ^ N ) =/= 0 )
31	18, 21, 30	redivcld 10457	. 2 |- ( ph -> ( ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) e. RR )
32		stoweidlem1.3	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. RR+ )
33	32	rpred 11364	. . . . 5 |- ( ph -> D e. RR )
34	19, 33	remulcld 9689	. . . 4 |- ( ph -> ( K x. D ) e. RR )
35	34, 6	reexpcld 12471	. . 3 |- ( ph -> ( ( K x. D ) ^ N ) e. RR )
36	32	rpcnd 11366	. . . . 5 |- ( ph -> D e. CC )
37	32	rpne0d 11369	. . . . 5 |- ( ph -> D =/= 0 )
38	22, 36, 24, 37	mulne0d 10286	. . . 4 |- ( ph -> ( K x. D ) =/= 0 )
39	22, 36	mulcld 9681	. . . . 5 |- ( ph -> ( K x. D ) e. CC )
40		expne0 12341	. . . . 5 |- ( ( ( K x. D ) e. CC /\ N e. NN ) -> ( ( ( K x. D ) ^ N ) =/= 0 <-> ( K x. D ) =/= 0 ) )
41	39, 5, 40	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( K x. D ) ^ N ) =/= 0 <-> ( K x. D ) =/= 0 ) )
42	38, 41	mpbird 240	. . 3 |- ( ph -> ( ( K x. D ) ^ N ) =/= 0 )
43	2, 35, 42	redivcld 10457	. 2 |- ( ph -> ( 1 / ( ( K x. D ) ^ N ) ) e. RR )
44	19, 6	reexpcld 12471	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K ^ N ) e. RR )
45	44, 7	remulcld 9689	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) e. RR )
46	2, 45	readdcld 9688	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) e. RR )
47	12, 46	remulcld 9689	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) ) e. RR )
48	47, 21, 30	redivcld 10457	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) e. RR )
49	2, 7	readdcld 9688	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 + ( A ^ N ) ) e. RR )
50	49, 11	reexpcld 12471	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) e. RR )
51	12, 50	remulcld 9689	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) e. RR )
52	51, 21, 30	redivcld 10457	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) e. RR )
53	46, 21, 30	redivcld 10457	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) e. RR )
54		stoweidlem1.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ A )
55		stoweidlem1.7	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A <_ 1 )
56		exple1 12370	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1 ) /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) <_ 1 )
57	4, 54, 55, 6, 56	syl31anc 1295	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ N ) <_ 1 )
58	2, 7	subge0d 10224	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 <_ ( 1 - ( A ^ N ) ) <-> ( A ^ N ) <_ 1 ) )
59	57, 58	mpbird 240	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( 1 - ( A ^ N ) ) )
60	8, 11, 59	expge0d 12472	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
61	27, 6	expcld 12454	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( K x. A ) ^ N ) e. CC )
62	61, 30	dividd 10403	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( K x. A ) ^ N ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) = 1 )
63	61	addid2d 9852	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) = ( ( K x. A ) ^ N ) )
64		0red 9662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. RR )
65		0le1 10158	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 1
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ 1 )
67	64, 2, 21, 66	leadd1dd 10248	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) <_ ( 1 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) )
68	63, 67	eqbrtrrd 4418	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( K x. A ) ^ N ) <_ ( 1 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) )
69	2, 21	readdcld 9688	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) e. RR )
70	5	nnzd 11062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
71	9	nngt0d 10675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < K )
72	3	rpgt0d 11367	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < A )
73	19, 4, 71, 72	mulgt0d 9807	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < ( K x. A ) )
74		expgt0 12343	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K x. A ) e. RR /\ N e. ZZ /\ 0 < ( K x. A ) ) -> 0 < ( ( K x. A ) ^ N ) )
75	20, 70, 73, 74	syl3anc 1292	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( ( K x. A ) ^ N ) )
76		lediv1 10492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K x. A ) ^ N ) e. RR /\ ( 1 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) e. RR /\ ( ( ( K x. A ) ^ N ) e. RR /\ 0 < ( ( K x. A ) ^ N ) ) ) -> ( ( ( K x. A ) ^ N ) <_ ( 1 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) <-> ( ( ( K x. A ) ^ N ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) <_ ( ( 1 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) ) )
77	21, 69, 21, 75, 76	syl112anc 1296	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( K x. A ) ^ N ) <_ ( 1 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) <-> ( ( ( K x. A ) ^ N ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) <_ ( ( 1 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) ) )
78	68, 77	mpbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( K x. A ) ^ N ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) <_ ( ( 1 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) )
79	62, 78	eqbrtrrd 4418	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 <_ ( ( 1 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) )
80	22, 23, 6	mulexpd 12469	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( K x. A ) ^ N ) = ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) )
81	80	oveq2d 6324	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) = ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) )
82	81	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) = ( ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) )
83	79, 82	breqtrd 4420	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 <_ ( ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) )
84	12, 53, 60, 83	lemulge11d 10566	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) <_ ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) ) )
85		1cnd 9677	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. CC )
86	23, 6	expcld 12454	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ N ) e. CC )
87	85, 86	subcld 10005	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 - ( A ^ N ) ) e. CC )
88	87, 11	expcld 12454	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) e. CC )
89	22, 6	expcld 12454	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K ^ N ) e. CC )
90	89, 86	mulcld 9681	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) e. CC )
91	85, 90	addcld 9680	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) e. CC )
92	88, 91, 61, 30	divassd 10440	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) = ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) ) )
93	84, 92	breqtrrd 4422	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) <_ ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) )
94	89, 86	mulcomd 9682	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) = ( ( A ^ N ) x. ( K ^ N ) ) )
95	94	oveq2d 6324	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) = ( 1 + ( ( A ^ N ) x. ( K ^ N ) ) ) )
96	2	renegcld 10067	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u 1 e. RR )
97		le0neg2 10144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. RR -> ( 0 <_ 1 <-> -u 1 <_ 0 ) )
98	1, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 <_ 1 <-> -u 1 <_ 0 )
99	65, 98	mpbi 213	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 <_ 0
100	99	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u 1 <_ 0 )
101	4, 6, 54	expge0d 12472	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( A ^ N ) )
102	96, 64, 7, 100, 101	letrd 9809	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u 1 <_ ( A ^ N ) )
103		bernneq 12436	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ^ N ) e. RR /\ ( K ^ N ) e. NN0 /\ -u 1 <_ ( A ^ N ) ) -> ( 1 + ( ( A ^ N ) x. ( K ^ N ) ) ) <_ ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
104	7, 11, 102, 103	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 + ( ( A ^ N ) x. ( K ^ N ) ) ) <_ ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
105	95, 104	eqbrtrd 4416	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) <_ ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
106	46, 50, 12, 60, 105	lemul2ad 10569	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) ) <_ ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) )
107		lediv1 10492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) ) e. RR /\ ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) e. RR /\ ( ( ( K x. A ) ^ N ) e. RR /\ 0 < ( ( K x. A ) ^ N ) ) ) -> ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) ) <_ ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) <-> ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) <_ ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) ) )
108	47, 51, 21, 75, 107	syl112anc 1296	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) ) <_ ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) <-> ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) <_ ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) ) )
109	106, 108	mpbid 215	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) <_ ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) )
110	12, 48, 52, 93, 109	letrd 9809	. . 3 |- ( ph -> ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) <_ ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) )
111	85, 86	addcld 9680	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 + ( A ^ N ) ) e. CC )
112	87, 111	mulcomd 9682	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 - ( A ^ N ) ) x. ( 1 + ( A ^ N ) ) ) = ( ( 1 + ( A ^ N ) ) x. ( 1 - ( A ^ N ) ) ) )
113	112	oveq1d 6323	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) x. ( 1 + ( A ^ N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) = ( ( ( 1 + ( A ^ N ) ) x. ( 1 - ( A ^ N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
114	87, 111, 11	mulexpd 12469	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) x. ( 1 + ( A ^ N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) = ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) )
115		subsq 12420	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. CC /\ ( A ^ N ) e. CC ) -> ( ( 1 ^ 2 ) - ( ( A ^ N ) ^ 2 ) ) = ( ( 1 + ( A ^ N ) ) x. ( 1 - ( A ^ N ) ) ) )
116	85, 86, 115	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 ^ 2 ) - ( ( A ^ N ) ^ 2 ) ) = ( ( 1 + ( A ^ N ) ) x. ( 1 - ( A ^ N ) ) ) )
117		sq1 12407	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
118	117	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
119	23, 14, 6	expmuld 12457	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ^ ( N x. 2 ) ) = ( ( A ^ N ) ^ 2 ) )
120	5	nncnd 10647	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. CC )
121		2cnd 10704	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 e. CC )
122	120, 121	mulcomd 9682	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N x. 2 ) = ( 2 x. N ) )
123	122	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ^ ( N x. 2 ) ) = ( A ^ ( 2 x. N ) ) )
124	119, 123	eqtr3d 2507	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A ^ N ) ^ 2 ) = ( A ^ ( 2 x. N ) ) )
125	118, 124	oveq12d 6326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 ^ 2 ) - ( ( A ^ N ) ^ 2 ) ) = ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) )
126	116, 125	eqtr3d 2507	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 + ( A ^ N ) ) x. ( 1 - ( A ^ N ) ) ) = ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) )
127	126	oveq1d 6323	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 + ( A ^ N ) ) x. ( 1 - ( A ^ N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) = ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
128	113, 114, 127	3eqtr3d 2513	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) = ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
129	128	oveq1d 6323	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) = ( ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) )
130	110, 129	breqtrd 4420	. 2 |- ( ph -> ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) <_ ( ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) )
131	18, 2	jca 541	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) )
132		exple1 12370	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1 ) /\ ( 2 x. N ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( 2 x. N ) ) <_ 1 )
133	4, 54, 55, 15, 132	syl31anc 1295	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ^ ( 2 x. N ) ) <_ 1 )
134	2, 16	subge0d 10224	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 <_ ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) <-> ( A ^ ( 2 x. N ) ) <_ 1 ) )
135	133, 134	mpbird 240	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) )
136	17, 11, 135	expge0d 12472	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
137		1m1e0 10700	. . . . . . 7 |- ( 1 - 1 ) = 0
138	4, 15, 54	expge0d 12472	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( A ^ ( 2 x. N ) ) )
139	137, 138	syl5eqbr 4429	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - 1 ) <_ ( A ^ ( 2 x. N ) ) )
140	2, 2, 16, 139	subled 10237	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) <_ 1 )
141		exple1 12370	. . . . 5 |- ( ( ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) /\ ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) <_ 1 ) /\ ( K ^ N ) e. NN0 ) -> ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) <_ 1 )
142	17, 135, 140, 11, 141	syl31anc 1295	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) <_ 1 )
143	131, 136, 142	jca32 544	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) /\ ( 0 <_ ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) /\ ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) <_ 1 ) ) )
144	35, 21	jca 541	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( K x. D ) ^ N ) e. RR /\ ( ( K x. A ) ^ N ) e. RR ) )
145	32	rpgt0d 11367	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < D )
146	19, 33, 71, 145	mulgt0d 9807	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < ( K x. D ) )
147		expgt0 12343	. . . . 5 |- ( ( ( K x. D ) e. RR /\ N e. ZZ /\ 0 < ( K x. D ) ) -> 0 < ( ( K x. D ) ^ N ) )
148	34, 70, 146, 147	syl3anc 1292	. . . 4 |- ( ph -> 0 < ( ( K x. D ) ^ N ) )
149	64, 19, 71	ltled 9800	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ K )
150	64, 33, 145	ltled 9800	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ D )
151	19, 33, 149, 150	mulge0d 10211	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( K x. D ) )
152		stoweidlem1.8	. . . . . 6 |- ( ph -> D <_ A )
153	33, 4, 19, 149, 152	lemul2ad 10569	. . . . 5 |- ( ph -> ( K x. D ) <_ ( K x. A ) )
154		leexp1a 12369	. . . . 5 |- ( ( ( ( K x. D ) e. RR /\ ( K x. A ) e. RR /\ N e. NN0 ) /\ ( 0 <_ ( K x. D ) /\ ( K x. D ) <_ ( K x. A ) ) ) -> ( ( K x. D ) ^ N ) <_ ( ( K x. A ) ^ N ) )
155	34, 20, 6, 151, 153, 154	syl32anc 1300	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K x. D ) ^ N ) <_ ( ( K x. A ) ^ N ) )
156	148, 155	jca 541	. . 3 |- ( ph -> ( 0 < ( ( K x. D ) ^ N ) /\ ( ( K x. D ) ^ N ) <_ ( ( K x. A ) ^ N ) ) )
157		lediv12a 10521	. . 3 |- ( ( ( ( ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) /\ ( 0 <_ ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) /\ ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) <_ 1 ) ) /\ ( ( ( ( K x. D ) ^ N ) e. RR /\ ( ( K x. A ) ^ N ) e. RR ) /\ ( 0 < ( ( K x. D ) ^ N ) /\ ( ( K x. D ) ^ N ) <_ ( ( K x. A ) ^ N ) ) ) ) -> ( ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) <_ ( 1 / ( ( K x. D ) ^ N ) ) )
158	143, 144, 156, 157	syl12anc 1290	. 2 |- ( ph -> ( ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) <_ ( 1 / ( ( K x. D ) ^ N ) ) )
159	12, 31, 43, 130, 158	letrd 9809	1 |- ( ph -> ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) <_ ( 1 / ( ( K x. D ) ^ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   class class class wbr 4395  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   -ucneg 9881   / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   RR+crp 11325   ^cexp 12310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-seq 12252  df-exp 12311

This theorem is referenced by:  stoweidlem25  37997