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Mathbox for Glauco Siliprandi |
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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > stoweidlem1 | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Lemma for stoweid 37925. This lemma is used by Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90; the key step uses Bernoulli's inequality bernneq 12398. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) |
Ref | Expression |
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stoweidlem1.1 |
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stoweidlem1.2 |
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stoweidlem1.3 |
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stoweidlem1.5 |
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stoweidlem1.6 |
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stoweidlem1.7 |
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stoweidlem1.8 |
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Ref | Expression |
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stoweidlem1 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 1re 9642 |
. . . . 5
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2 | 1 | a1i 11 |
. . . 4
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3 | stoweidlem1.5 |
. . . . . 6
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4 | 3 | rpred 11341 |
. . . . 5
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5 | stoweidlem1.1 |
. . . . . 6
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6 | 5 | nnnn0d 10925 |
. . . . 5
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7 | 4, 6 | reexpcld 12433 |
. . . 4
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8 | 2, 7 | resubcld 10047 |
. . 3
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9 | stoweidlem1.2 |
. . . . 5
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10 | 9 | nnnn0d 10925 |
. . . 4
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11 | 10, 6 | nn0expcld 12438 |
. . 3
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12 | 8, 11 | reexpcld 12433 |
. 2
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13 | 2nn0 10886 |
. . . . . . . 8
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14 | 13 | a1i 11 |
. . . . . . 7
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15 | 14, 6 | nn0mulcld 10930 |
. . . . . 6
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16 | 4, 15 | reexpcld 12433 |
. . . . 5
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17 | 2, 16 | resubcld 10047 |
. . . 4
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18 | 17, 11 | reexpcld 12433 |
. . 3
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19 | 9 | nnred 10624 |
. . . . 5
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20 | 19, 4 | remulcld 9671 |
. . . 4
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21 | 20, 6 | reexpcld 12433 |
. . 3
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22 | 9 | nncnd 10625 |
. . . . 5
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23 | 3 | rpcnd 11343 |
. . . . 5
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24 | 9 | nnne0d 10654 |
. . . . 5
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25 | 3 | rpne0d 11346 |
. . . . 5
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26 | 22, 23, 24, 25 | mulne0d 10264 |
. . . 4
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27 | 22, 23 | mulcld 9663 |
. . . . 5
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28 | expne0 12303 |
. . . . 5
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29 | 27, 5, 28 | syl2anc 667 |
. . . 4
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30 | 26, 29 | mpbird 236 |
. . 3
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31 | 18, 21, 30 | redivcld 10435 |
. 2
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32 | stoweidlem1.3 |
. . . . . 6
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33 | 32 | rpred 11341 |
. . . . 5
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34 | 19, 33 | remulcld 9671 |
. . . 4
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35 | 34, 6 | reexpcld 12433 |
. . 3
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36 | 32 | rpcnd 11343 |
. . . . 5
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37 | 32 | rpne0d 11346 |
. . . . 5
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38 | 22, 36, 24, 37 | mulne0d 10264 |
. . . 4
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39 | 22, 36 | mulcld 9663 |
. . . . 5
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40 | expne0 12303 |
. . . . 5
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41 | 39, 5, 40 | syl2anc 667 |
. . . 4
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42 | 38, 41 | mpbird 236 |
. . 3
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43 | 2, 35, 42 | redivcld 10435 |
. 2
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44 | 19, 6 | reexpcld 12433 |
. . . . . . . 8
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45 | 44, 7 | remulcld 9671 |
. . . . . . 7
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46 | 2, 45 | readdcld 9670 |
. . . . . 6
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47 | 12, 46 | remulcld 9671 |
. . . . 5
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48 | 47, 21, 30 | redivcld 10435 |
. . . 4
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49 | 2, 7 | readdcld 9670 |
. . . . . . 7
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50 | 49, 11 | reexpcld 12433 |
. . . . . 6
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51 | 12, 50 | remulcld 9671 |
. . . . 5
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52 | 51, 21, 30 | redivcld 10435 |
. . . 4
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53 | 46, 21, 30 | redivcld 10435 |
. . . . . 6
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54 | stoweidlem1.6 |
. . . . . . . . 9
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55 | stoweidlem1.7 |
. . . . . . . . 9
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56 | exple1 12332 |
. . . . . . . . 9
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57 | 4, 54, 55, 6, 56 | syl31anc 1271 |
. . . . . . . 8
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58 | 2, 7 | subge0d 10203 |
. . . . . . . 8
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59 | 57, 58 | mpbird 236 |
. . . . . . 7
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60 | 8, 11, 59 | expge0d 12434 |
. . . . . 6
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61 | 27, 6 | expcld 12416 |
. . . . . . . . 9
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62 | 61, 30 | dividd 10381 |
. . . . . . . 8
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63 | 61 | addid2d 9834 |
. . . . . . . . . 10
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64 | 0red 9644 |
. . . . . . . . . . 11
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65 | 0le1 10137 |
. . . . . . . . . . . 12
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66 | 65 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
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67 | 64, 2, 21, 66 | leadd1dd 10227 |
. . . . . . . . . 10
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68 | 63, 67 | eqbrtrrd 4425 |
. . . . . . . . 9
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69 | 2, 21 | readdcld 9670 |
. . . . . . . . . 10
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70 | 5 | nnzd 11039 |
. . . . . . . . . . 11
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71 | 9 | nngt0d 10653 |
. . . . . . . . . . . 12
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72 | 3 | rpgt0d 11344 |
. . . . . . . . . . . 12
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73 | 19, 4, 71, 72 | mulgt0d 9790 |
. . . . . . . . . . 11
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74 | expgt0 12305 |
. . . . . . . . . . 11
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75 | 20, 70, 73, 74 | syl3anc 1268 |
. . . . . . . . . 10
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76 | lediv1 10470 |
. . . . . . . . . 10
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77 | 21, 69, 21, 75, 76 | syl112anc 1272 |
. . . . . . . . 9
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78 | 68, 77 | mpbid 214 |
. . . . . . . 8
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79 | 62, 78 | eqbrtrrd 4425 |
. . . . . . 7
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80 | 22, 23, 6 | mulexpd 12431 |
. . . . . . . . 9
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81 | 80 | oveq2d 6306 |
. . . . . . . 8
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82 | 81 | oveq1d 6305 |
. . . . . . 7
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83 | 79, 82 | breqtrd 4427 |
. . . . . 6
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84 | 12, 53, 60, 83 | lemulge11d 10544 |
. . . . 5
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85 | 1cnd 9659 |
. . . . . . . 8
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86 | 23, 6 | expcld 12416 |
. . . . . . . 8
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87 | 85, 86 | subcld 9986 |
. . . . . . 7
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. . . . . 6
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89 | 22, 6 | expcld 12416 |
. . . . . . . 8
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90 | 89, 86 | mulcld 9663 |
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91 | 85, 90 | addcld 9662 |
. . . . . 6
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92 | 88, 91, 61, 30 | divassd 10418 |
. . . . 5
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93 | 84, 92 | breqtrrd 4429 |
. . . 4
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94 | 89, 86 | mulcomd 9664 |
. . . . . . . 8
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95 | 94 | oveq2d 6306 |
. . . . . . 7
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96 | 2 | renegcld 10046 |
. . . . . . . . 9
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97 | le0neg2 10123 |
. . . . . . . . . . . 12
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98 | 1, 97 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
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99 | 65, 98 | mpbi 212 |
. . . . . . . . . 10
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100 | 99 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
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101 | 4, 6, 54 | expge0d 12434 |
. . . . . . . . 9
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102 | 96, 64, 7, 100, 101 | letrd 9792 |
. . . . . . . 8
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103 | bernneq 12398 |
. . . . . . . 8
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104 | 7, 11, 102, 103 | syl3anc 1268 |
. . . . . . 7
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105 | 95, 104 | eqbrtrd 4423 |
. . . . . 6
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106 | 46, 50, 12, 60, 105 | lemul2ad 10547 |
. . . . 5
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107 | lediv1 10470 |
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108 | 47, 51, 21, 75, 107 | syl112anc 1272 |
. . . . 5
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109 | 106, 108 | mpbid 214 |
. . . 4
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110 | 12, 48, 52, 93, 109 | letrd 9792 |
. . 3
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111 | 85, 86 | addcld 9662 |
. . . . . . 7
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112 | 87, 111 | mulcomd 9664 |
. . . . . 6
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113 | 112 | oveq1d 6305 |
. . . . 5
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114 | 87, 111, 11 | mulexpd 12431 |
. . . . 5
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115 | subsq 12382 |
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116 | 85, 86, 115 | syl2anc 667 |
. . . . . . 7
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117 | sq1 12369 |
. . . . . . . . 9
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118 | 117 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
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119 | 23, 14, 6 | expmuld 12419 |
. . . . . . . . 9
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120 | 5 | nncnd 10625 |
. . . . . . . . . . 11
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121 | 2cnd 10682 |
. . . . . . . . . . 11
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122 | 120, 121 | mulcomd 9664 |
. . . . . . . . . 10
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123 | 122 | oveq2d 6306 |
. . . . . . . . 9
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124 | 119, 123 | eqtr3d 2487 |
. . . . . . . 8
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125 | 118, 124 | oveq12d 6308 |
. . . . . . 7
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126 | 116, 125 | eqtr3d 2487 |
. . . . . 6
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127 | 126 | oveq1d 6305 |
. . . . 5
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128 | 113, 114, 127 | 3eqtr3d 2493 |
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129 | 128 | oveq1d 6305 |
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130 | 110, 129 | breqtrd 4427 |
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131 | 18, 2 | jca 535 |
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132 | exple1 12332 |
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133 | 4, 54, 55, 15, 132 | syl31anc 1271 |
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134 | 2, 16 | subge0d 10203 |
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135 | 133, 134 | mpbird 236 |
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136 | 17, 11, 135 | expge0d 12434 |
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137 | 1m1e0 10678 |
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138 | 4, 15, 54 | expge0d 12434 |
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139 | 137, 138 | syl5eqbr 4436 |
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140 | 2, 2, 16, 139 | subled 10216 |
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141 | exple1 12332 |
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142 | 17, 135, 140, 11, 141 | syl31anc 1271 |
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143 | 131, 136, 142 | jca32 538 |
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144 | 35, 21 | jca 535 |
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145 | 32 | rpgt0d 11344 |
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146 | 19, 33, 71, 145 | mulgt0d 9790 |
. . . . 5
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147 | expgt0 12305 |
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148 | 34, 70, 146, 147 | syl3anc 1268 |
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149 | 64, 19, 71 | ltled 9783 |
. . . . . 6
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150 | 64, 33, 145 | ltled 9783 |
. . . . . 6
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151 | 19, 33, 149, 150 | mulge0d 10190 |
. . . . 5
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152 | stoweidlem1.8 |
. . . . . 6
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153 | 33, 4, 19, 149, 152 | lemul2ad 10547 |
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154 | leexp1a 12331 |
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155 | 34, 20, 6, 151, 153, 154 | syl32anc 1276 |
. . . 4
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156 | 148, 155 | jca 535 |
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157 | lediv12a 10499 |
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158 | 143, 144, 156, 157 | syl12anc 1266 |
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159 | 12, 31, 43, 130, 158 | letrd 9792 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1669 ax-4 1682 ax-5 1758 ax-6 1805 ax-7 1851 ax-8 1889 ax-9 1896 ax-10 1915 ax-11 1920 ax-12 1933 ax-13 2091 ax-ext 2431 ax-sep 4525 ax-nul 4534 ax-pow 4581 ax-pr 4639 ax-un 6583 ax-cnex 9595 ax-resscn 9596 ax-1cn 9597 ax-icn 9598 ax-addcl 9599 ax-addrcl 9600 ax-mulcl 9601 ax-mulrcl 9602 ax-mulcom 9603 ax-addass 9604 ax-mulass 9605 ax-distr 9606 ax-i2m1 9607 ax-1ne0 9608 ax-1rid 9609 ax-rnegex 9610 ax-rrecex 9611 ax-cnre 9612 ax-pre-lttri 9613 ax-pre-lttrn 9614 ax-pre-ltadd 9615 ax-pre-mulgt0 9616 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 986 df-3an 987 df-tru 1447 df-ex 1664 df-nf 1668 df-sb 1798 df-eu 2303 df-mo 2304 df-clab 2438 df-cleq 2444 df-clel 2447 df-nfc 2581 df-ne 2624 df-nel 2625 df-ral 2742 df-rex 2743 df-reu 2744 df-rmo 2745 df-rab 2746 df-v 3047 df-sbc 3268 df-csb 3364 df-dif 3407 df-un 3409 df-in 3411 df-ss 3418 df-pss 3420 df-nul 3732 df-if 3882 df-pw 3953 df-sn 3969 df-pr 3971 df-tp 3973 df-op 3975 df-uni 4199 df-iun 4280 df-br 4403 df-opab 4462 df-mpt 4463 df-tr 4498 df-eprel 4745 df-id 4749 df-po 4755 df-so 4756 df-fr 4793 df-we 4795 df-xp 4840 df-rel 4841 df-cnv 4842 df-co 4843 df-dm 4844 df-rn 4845 df-res 4846 df-ima 4847 df-pred 5380 df-ord 5426 df-on 5427 df-lim 5428 df-suc 5429 df-iota 5546 df-fun 5584 df-fn 5585 df-f 5586 df-f1 5587 df-fo 5588 df-f1o 5589 df-fv 5590 df-riota 6252 df-ov 6293 df-oprab 6294 df-mpt2 6295 df-om 6693 df-2nd 6794 df-wrecs 7028 df-recs 7090 df-rdg 7128 df-er 7363 df-en 7570 df-dom 7571 df-sdom 7572 df-pnf 9677 df-mnf 9678 df-xr 9679 df-ltxr 9680 df-le 9681 df-sub 9862 df-neg 9863 df-div 10270 df-nn 10610 df-2 10668 df-n0 10870 df-z 10938 df-uz 11160 df-rp 11303 df-seq 12214 df-exp 12273 |
This theorem is referenced by: stoweidlem25 37885 |
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