Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem1 Unicode version

Theorem stoweidlem1 27617
Description: Lemma for stoweid 27679. This lemma is used by Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90; the key step uses Bernoulli's inequality bernneq 11460. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem1.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
stoweidlem1.2  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
stoweidlem1.3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem1.5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
stoweidlem1.6  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
stoweidlem1.7  |-  ( ph  ->  A  <_  1 )
stoweidlem1.8  |-  ( ph  ->  D  <_  A )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem1  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( 1  / 
( ( K  x.  D ) ^ N
) ) )

Proof of Theorem stoweidlem1
StepHypRef Expression
1 1re 9046 . . . . 5  |-  1  e.  RR
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
3 stoweidlem1.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
43rpred 10604 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5 stoweidlem1.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
65nnnn0d 10230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
74, 6reexpcld 11495 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  RR )
82, 7resubcld 9421 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( A ^ N ) )  e.  RR )
9 stoweidlem1.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
109nnnn0d 10230 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
1110, 6nn0expcld 11500 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  NN0 )
128, 11reexpcld 11495 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR )
13 2nn0 10194 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
1514, 6nn0mulcld 10235 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
164, 15reexpcld 11495 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
2  x.  N ) )  e.  RR )
172, 16resubcld 9421 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )  e.  RR )
1817, 11reexpcld 11495 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR )
199nnred 9971 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
2019, 4remulcld 9072 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  x.  A
)  e.  RR )
2120, 6reexpcld 11495 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  e.  RR )
229nncnd 9972 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
233rpcnd 10606 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
249nnne0d 10000 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  =/=  0 )
253rpne0d 10609 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
2622, 23, 24, 25mulne0d 9630 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  x.  A
)  =/=  0 )
2722, 23mulcld 9064 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  x.  A
)  e.  CC )
28 expne0 11366 . . . . 5  |-  ( ( ( K  x.  A
)  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  =/=  0  <->  ( K  x.  A )  =/=  0 ) )
2927, 5, 28syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  =/=  0  <->  ( K  x.  A )  =/=  0 ) )
3026, 29mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  =/=  0 )
3118, 21, 30redivcld 9798 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) ^
( K ^ N
) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  e.  RR )
32 stoweidlem1.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
3332rpred 10604 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
3419, 33remulcld 9072 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  e.  RR )
3534, 6reexpcld 11495 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  D ) ^ N
)  e.  RR )
3632rpcnd 10606 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
3732rpne0d 10609 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  =/=  0 )
3822, 36, 24, 37mulne0d 9630 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  =/=  0 )
3922, 36mulcld 9064 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  e.  CC )
40 expne0 11366 . . . . 5  |-  ( ( ( K  x.  D
)  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( K  x.  D ) ^ N )  =/=  0  <->  ( K  x.  D )  =/=  0 ) )
4139, 5, 40syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  D ) ^ N )  =/=  0  <->  ( K  x.  D )  =/=  0 ) )
4238, 41mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  D ) ^ N
)  =/=  0 )
432, 35, 42redivcld 9798 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( K  x.  D
) ^ N ) )  e.  RR )
4419, 6reexpcld 11495 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  RR )
4544, 7remulcld 9072 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) )  e.  RR )
462, 45readdcld 9071 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) )  e.  RR )
4712, 46remulcld 9072 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  e.  RR )
4847, 21, 30redivcld 9798 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  e.  RR )
492, 7readdcld 9071 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( A ^ N ) )  e.  RR )
5049, 11reexpcld 11495 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR )
5112, 50remulcld 9072 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
( 1  +  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )  e.  RR )
5251, 21, 30redivcld 9798 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  e.  RR )
5346, 21, 30redivcld 9798 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  e.  RR )
54 stoweidlem1.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
55 stoweidlem1.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  <_  1 )
56 exple1 11394 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  <_  1 )
574, 54, 55, 6, 56syl31anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  <_  1 )
582, 7subge0d 9572 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
1  -  ( A ^ N ) )  <-> 
( A ^ N
)  <_  1 ) )
5957, 58mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  -  ( A ^ N ) ) )
608, 11, 59expge0d 11496 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
6127, 6expcld 11478 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  e.  CC )
6261, 30dividd 9744 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  =  1 )
6361addid2d 9223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( ( K  x.  A
) ^ N ) )  =  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )
64 0re 9047 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
66 0le1 9507 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  1
6766a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
6865, 2, 21, 67leadd1dd 9596 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( ( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( 1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
6963, 68eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  <_  ( 1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
702, 21readdcld 9071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K  x.  A
) ^ N ) )  e.  RR )
715nnzd 10330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
729nngt0d 9999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  K )
733rpgt0d 10607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  A )
7419, 4, 72, 73mulgt0d 9181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( K  x.  A ) )
75 expgt0 11368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  x.  A
)  e.  RR  /\  N  e.  ZZ  /\  0  <  ( K  x.  A
) )  ->  0  <  ( ( K  x.  A ) ^ N
) )
7620, 71, 74, 75syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )
77 lediv1 9831 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  x.  A ) ^ N
)  e.  RR  /\  ( 1  +  ( ( K  x.  A
) ^ N ) )  e.  RR  /\  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  e.  RR  /\  0  <  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )  ->  ( (
( K  x.  A
) ^ N )  <_  ( 1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N
) )  <->  ( (
( K  x.  A
) ^ N )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  <_ 
( ( 1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N
) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) ) ) )
7821, 70, 21, 76, 77syl112anc 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  <_  (
1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  <-> 
( ( ( K  x.  A ) ^ N )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( (
1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) ) )
7969, 78mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( (
1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
8062, 79eqbrtrrd 4194 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <_  ( (
1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
8122, 23, 6mulexpd 11493 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  =  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )
8281oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K  x.  A
) ^ N ) )  =  ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N
) ) ) )
8382oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N
) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  =  ( ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
8480, 83breqtrd 4196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <_  ( (
1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
8512, 53, 60, 84lemulge11d 9904 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) ) )
86 ax-1cn 9004 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
8786a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
8823, 6expcld 11478 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )
8987, 88subcld 9367 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( A ^ N ) )  e.  CC )
9089, 11expcld 11478 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  CC )
9122, 6expcld 11478 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  CC )
9291, 88mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) )  e.  CC )
9387, 92addcld 9063 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) )  e.  CC )
9490, 93, 61, 30divassd 9781 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  =  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) ) )
9585, 94breqtrrd 4198 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) ) )
9691, 88mulcomd 9065 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) )  =  ( ( A ^ N )  x.  ( K ^ N
) ) )
9796oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) )  =  ( 1  +  ( ( A ^ N )  x.  ( K ^ N
) ) ) )
982renegcld 9420 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  RR )
99 le0neg2 9493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 ) )
1001, 99ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 )
10166, 100mpbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  <_  0
102101a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u 1  <_  0
)
1034, 6, 54expge0d 11496 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A ^ N ) )
10498, 65, 7, 102, 103letrd 9183 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u 1  <_  ( A ^ N ) )
105 bernneq 11460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A ^ N
)  e.  RR  /\  ( K ^ N )  e.  NN0  /\  -u 1  <_  ( A ^ N
) )  ->  (
1  +  ( ( A ^ N )  x.  ( K ^ N ) ) )  <_  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
1067, 11, 104, 105syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( A ^ N
)  x.  ( K ^ N ) ) )  <_  ( (
1  +  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
10797, 106eqbrtrd 4192 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) )  <_  ( (
1  +  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
10846, 50, 12, 60, 107lemul2ad 9907 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  <_  ( (
( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) ) )
109 lediv1 9831 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
( 1  +  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  e.  RR  /\  0  <  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )  ->  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  <_  (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )  <->  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )  / 
( ( K  x.  A ) ^ N
) ) ) )
11047, 51, 21, 76, 109syl112anc 1188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) ) )  <_  (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )  <->  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )  / 
( ( K  x.  A ) ^ N
) ) ) )
111108, 110mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )  / 
( ( K  x.  A ) ^ N
) ) )
11212, 48, 52, 95, 111letrd 9183 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
11387, 88addcld 9063 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( A ^ N ) )  e.  CC )
11489, 113mulcomd 9065 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) )  x.  (
1  +  ( A ^ N ) ) )  =  ( ( 1  +  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  -  ( A ^ N
) ) ) )
115114oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( A ^ N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  =  ( ( ( 1  +  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  -  ( A ^ N
) ) ) ^
( K ^ N
) ) )
11689, 113, 11mulexpd 11493 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( A ^ N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  =  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) ) )
117 subsq 11443 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ N )  e.  CC )  -> 
( ( 1 ^ 2 )  -  (
( A ^ N
) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  +  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  -  ( A ^ N
) ) ) )
11887, 88, 117syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ^ 2 )  -  (
( A ^ N
) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  +  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  -  ( A ^ N
) ) ) )
119 sq1 11431 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
120119a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ^ 2 )  =  1 )
12123, 14, 6expmuld 11481 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( N  x.  2 ) )  =  ( ( A ^ N ) ^ 2 ) )
1225nncnd 9972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
123 2cn 10026 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
124123a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
125122, 124mulcomd 9065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  x.  2 )  =  ( 2  x.  N ) )
126125oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( N  x.  2 ) )  =  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )
127121, 126eqtr3d 2438 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A ^ N ) ^ 2 )  =  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )
128120, 127oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ^ 2 )  -  (
( A ^ N
) ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) )
129118, 128eqtr3d 2438 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( A ^ N
) )  x.  (
1  -  ( A ^ N ) ) )  =  ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) )
130129oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  +  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  -  ( A ^ N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  =  ( ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) ^
( K ^ N
) ) )
131115, 116, 1303eqtr3d 2444 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
( 1  +  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )  =  ( ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
132131oveq1d 6055 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  =  ( ( ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  / 
( ( K  x.  A ) ^ N
) ) )
133112, 132breqtrd 4196 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( ( ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  / 
( ( K  x.  A ) ^ N
) ) )
13418, 2jca 519 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) ^
( K ^ N
) )  e.  RR  /\  1  e.  RR ) )
135 exple1 11394 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  ( 2  x.  N
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
2  x.  N ) )  <_  1 )
1364, 54, 55, 15, 135syl31anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
2  x.  N ) )  <_  1 )
1372, 16subge0d 9572 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )  <-> 
( A ^ (
2  x.  N ) )  <_  1 ) )
138136, 137mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) )
13917, 11, 138expge0d 11496 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
140 1m1e0 10024 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  1 )  =  0
1414, 15, 54expge0d 11496 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )
142140, 141syl5eqbr 4205 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  1 )  <_  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )
1432, 2, 16, 142subled 9585 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )  <_  1 )
144 exple1 11394 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) )  /\  ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )  <_  1 )  /\  ( K ^ N )  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  1 )
14517, 138, 143, 11, 144syl31anc 1187 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  1 )
146134, 139, 145jca32 522 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  (
0  <_  ( (
1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  /\  ( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  1 ) ) )
14735, 21jca 519 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  D ) ^ N )  e.  RR  /\  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  e.  RR ) )
14832rpgt0d 10607 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  D )
14919, 33, 72, 148mulgt0d 9181 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  ( K  x.  D ) )
150 expgt0 11368 . . . . 5  |-  ( ( ( K  x.  D
)  e.  RR  /\  N  e.  ZZ  /\  0  <  ( K  x.  D
) )  ->  0  <  ( ( K  x.  D ) ^ N
) )
15134, 71, 149, 150syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( K  x.  D ) ^ N ) )
15265, 19, 72ltled 9177 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  K )
15365, 33, 148ltled 9177 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  D )
15419, 33, 152, 153mulge0d 9559 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( K  x.  D ) )
155 stoweidlem1.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  <_  A )
15633, 4, 19, 152, 155lemul2ad 9907 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  <_  ( K  x.  A ) )
157 leexp1a 11393 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  x.  D )  e.  RR  /\  ( K  x.  A
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  ( K  x.  D )  /\  ( K  x.  D
)  <_  ( K  x.  A ) ) )  ->  ( ( K  x.  D ) ^ N )  <_  (
( K  x.  A
) ^ N ) )
15834, 20, 6, 154, 156, 157syl32anc 1192 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  D ) ^ N
)  <_  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )
159151, 158jca 519 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
( K  x.  D
) ^ N )  /\  ( ( K  x.  D ) ^ N )  <_  (
( K  x.  A
) ^ N ) ) )
160 lediv12a 9859 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  (
0  <_  ( (
1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  /\  ( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  1 ) )  /\  ( ( ( ( K  x.  D
) ^ N )  e.  RR  /\  (
( K  x.  A
) ^ N )  e.  RR )  /\  ( 0  <  (
( K  x.  D
) ^ N )  /\  ( ( K  x.  D ) ^ N )  <_  (
( K  x.  A
) ^ N ) ) ) )  -> 
( ( ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) ^
( K ^ N
) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( 1  /  ( ( K  x.  D ) ^ N ) ) )
161146, 147, 159, 160syl12anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) ^
( K ^ N
) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( 1  /  ( ( K  x.  D ) ^ N ) ) )
16212, 31, 43, 133, 161letrd 9183 1  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( 1  / 
( ( K  x.  D ) ^ N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   RR+crp 10568   ^cexp 11337
This theorem is referenced by:  stoweidlem25  27641
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338
  Copyright terms: Public domain W3C validator