Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweid Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stoweid 37919
 Description: This theorem proves the Stone-Weierstrass theorem for real valued functions: let be a compact topology on , and be the set of real continuous functions on . Assume that is a subalgebra of (closed under addition and multiplication of functions) containing constant functions and discriminating points (if and are distinct points in , then there exists a function in such that h(r) is distinct from h(t) ). Then, for any continuous function and for any positive real , there exists a function in the subalgebra , such that approximates up to ( represents the usual ε value). As a classical example, given any a, b reals, the closed interval could be taken, along with the subalgebra of real polynomials on , and then use this theorem to easily prove that real polynomials are dense in the standard metric space of continuous functions on . The proof and lemmas are written following [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). Some effort is put in avoiding the use of the axiom of choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweid.1
stoweid.2
stoweid.3
stoweid.4
stoweid.5
stoweid.6
stoweid.7
stoweid.8
stoweid.9
stoweid.10
stoweid.11
stoweid.12
stoweid.13
Assertion
Ref Expression
stoweid
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,,,,,)   ()   (,,)   (,,,,)

Proof of Theorem stoweid
StepHypRef Expression
1 simpr 463 . . . 4
2 stoweid.10 . . . . . . 7
32ralrimiva 2801 . . . . . 6
4 1re 9639 . . . . . 6
5 id 22 . . . . . . . . 9
65mpteq2dv 4489 . . . . . . . 8
76eleq1d 2512 . . . . . . 7
87rspccv 3146 . . . . . 6
93, 4, 8mpisyl 21 . . . . 5
109adantr 467 . . . 4
111, 10stoweidlem9 37863 . . 3
12 stoweid.1 . . . 4
13 nfv 1760 . . . . 5
14 nfv 1760 . . . . 5
1513, 14nfan 2010 . . . 4
16 stoweid.2 . . . . 5
17 nfv 1760 . . . . 5
1816, 17nfan 2010 . . . 4
19 eqid 2450 . . . 4 inf inf
20 stoweid.3 . . . 4
21 stoweid.5 . . . 4
22 stoweid.4 . . . . 5
2322adantr 467 . . . 4
24 stoweid.6 . . . 4
25 stoweid.7 . . . . 5
2625adantr 467 . . . 4
27 stoweid.8 . . . . 5
28273adant1r 1260 . . . 4
29 stoweid.9 . . . . 5
30293adant1r 1260 . . . 4
312adantlr 720 . . . 4
32 stoweid.11 . . . . 5
3332adantlr 720 . . . 4
34 stoweid.12 . . . . 5
3534adantr 467 . . . 4
36 stoweid.13 . . . . . 6
37 4re 10683 . . . . . . . . 9
38 4pos 10702 . . . . . . . . 9
3937, 38elrpii 11302 . . . . . . . 8
4039a1i 11 . . . . . . 7
4140rpreccld 11348 . . . . . 6
4236, 41ifcld 3923 . . . . 5
4342adantr 467 . . . 4
44 neqne 37368 . . . . 5
4544adantl 468 . . . 4
4636rpred 11338 . . . . . . 7
47 4ne0 10703 . . . . . . . . 9
4837, 47rereccli 10369 . . . . . . . 8
4948a1i 11 . . . . . . 7
5046, 49ifcld 3923 . . . . . 6
51 3re 10680 . . . . . . . 8
52 3ne0 10701 . . . . . . . 8
5351, 52rereccli 10369 . . . . . . 7
5453a1i 11 . . . . . 6
5536rpxrd 11339 . . . . . . 7
5641rpxrd 11339 . . . . . . 7
57 xrmin2 11470 . . . . . . 7
5855, 56, 57syl2anc 666 . . . . . 6
59 3lt4 10776 . . . . . . . 8
60 3pos 10700 . . . . . . . . 9
6151, 37, 60, 38ltrecii 10520 . . . . . . . 8
6259, 61mpbi 212 . . . . . . 7
6362a1i 11 . . . . . 6
6450, 49, 54, 58, 63lelttrd 9790 . . . . 5
6564adantr 467 . . . 4
6612, 15, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 33, 35, 43, 45, 65stoweidlem62 37917 . . 3
6711, 66pm2.61dan 799 . 2
68 nfv 1760 . . . . 5
6916, 68nfan 2010 . . . 4
70 xrmin1 11469 . . . . . . 7
7155, 56, 70syl2anc 666 . . . . . 6
7271ad2antrr 731 . . . . 5
7325ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12
74 simplr 761 . . . . . . . . . . . 12
7573, 74sseldd 3432 . . . . . . . . . . 11
7620, 21, 24, 75fcnre 37340 . . . . . . . . . 10
77 simpr 463 . . . . . . . . . 10
7876, 77jca 535 . . . . . . . . 9
79 ffvelrn 6018 . . . . . . . . 9
80 recn 9626 . . . . . . . . 9
8178, 79, 803syl 18 . . . . . . . 8
8234ad2antrr 731 . . . . . . . . . . 11
8320, 21, 24, 82fcnre 37340 . . . . . . . . . 10
8483, 77jca 535 . . . . . . . . 9
85 ffvelrn 6018 . . . . . . . . 9
86 recn 9626 . . . . . . . . 9
8784, 85, 863syl 18 . . . . . . . 8
8881, 87subcld 9983 . . . . . . 7
8988abscld 13491 . . . . . 6
904, 37, 473pm3.2i 1185 . . . . . . . . 9
91 redivcl 10323 . . . . . . . . 9
9290, 91mp1i 13 . . . . . . . 8
9346, 92ifcld 3923 . . . . . . 7
9493ad2antrr 731 . . . . . 6
9546ad2antrr 731 . . . . . 6
96 ltletr 9722 . . . . . 6
9789, 94, 95, 96syl3anc 1267 . . . . 5
9872, 97mpan2d 679 . . . 4
9969, 98ralimdaa 2789 . . 3
10099reximdva 2861 . 2
10167, 100mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 371   w3a 984   wceq 1443  wnf 1666   wcel 1886  wnfc 2578   wne 2621  wral 2736  wrex 2737   wss 3403  c0 3730  cif 3880  cuni 4197   class class class wbr 4401   cmpt 4460   crn 4834  wf 5577  cfv 5581  (class class class)co 6288  infcinf 7952  cc 9534  cr 9535  cc0 9536  c1 9537   caddc 9539   cmul 9541  cxr 9671   clt 9672   cle 9673   cmin 9857   cdiv 10266  c3 10657  c4 10658  crp 11299  cioo 11632  cabs 13290  ctg 15329   ccn 20233  ccmp 20394 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-cmp 20395  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330 This theorem is referenced by:  stowei  37920
 Copyright terms: Public domain W3C validator