Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweid Unicode version

Theorem stoweid 27914
 Description: This theorem proves the Stone-Weierstrass theorem for real valued functions: let be a compact topology on , and be the set of real continuous functions on . Assume that is a subalgebra of (closed under addition and multiplication of functions) containing constant functions and discriminating points (if and are distinct points in , then there exists a function in such that h(r) is distinct from h(t) ). Then, for any continuous function and for any positive real , there exists a function in the subalgebra , such that approximates up to ( represents the usual ε value). As a classical example, given any a,b reals, the closed interval could be taken, along with the subalgebra of real polynomials on , and then use this theorem to easily prove that real polynomials are dense in the standard metric space of continuous functions on . The proof and lemmas are written following [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). Some effort is put in avoiding the use of the axiom of choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweid.1
stoweid.2
stoweid.3
stoweid.4
stoweid.5
stoweid.6
stoweid.7
stoweid.8
stoweid.9
stoweid.10
stoweid.11
stoweid.12
stoweid.13
Assertion
Ref Expression
stoweid
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,,,,,)   ()   (,,)   (,,,,)

Proof of Theorem stoweid
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . 4
2 stoweid.10 . . . . . . 7
32ralrimiva 2639 . . . . . 6
4 1re 8853 . . . . . . 7
54a1i 10 . . . . . 6
6 id 19 . . . . . . . . 9
76mpteq2dv 4123 . . . . . . . 8
87eleq1d 2362 . . . . . . 7
98rspccv 2894 . . . . . 6
103, 5, 9sylc 56 . . . . 5
1110adantr 451 . . . 4
121, 11stoweidlem9 27860 . . 3
13 stoweid.1 . . . 4
14 nfv 1609 . . . . 5
15 nfv 1609 . . . . 5
1614, 15nfan 1783 . . . 4
17 stoweid.2 . . . . 5
18 nfv 1609 . . . . 5
1917, 18nfan 1783 . . . 4
20 eqid 2296 . . . 4
21 stoweid.3 . . . 4
22 stoweid.5 . . . 4
23 stoweid.4 . . . . 5
2423adantr 451 . . . 4
25 stoweid.6 . . . 4
26 stoweid.7 . . . . 5
2726adantr 451 . . . 4
28 simp1l 979 . . . . . 6
29 simp2 956 . . . . . 6
30 simp3 957 . . . . . 6
3128, 29, 303jca 1132 . . . . 5
32 stoweid.8 . . . . 5
3331, 32syl 15 . . . 4
34 stoweid.9 . . . . 5
3531, 34syl 15 . . . 4
362adantlr 695 . . . 4
37 simpll 730 . . . . . 6
38 simpr 447 . . . . . 6
3937, 38jca 518 . . . . 5
40 stoweid.11 . . . . 5
4139, 40syl 15 . . . 4
42 stoweid.12 . . . . 5
4342adantr 451 . . . 4
44 stoweid.13 . . . . . . 7
45 1rp 10374 . . . . . . . . 9
4645a1i 10 . . . . . . . 8
47 4re 9835 . . . . . . . . . . 11
48 4pos 9848 . . . . . . . . . . 11
4947, 48pm3.2i 441 . . . . . . . . . 10
50 elrp 10372 . . . . . . . . . 10
5149, 50mpbir 200 . . . . . . . . 9
5251a1i 10 . . . . . . . 8
5346, 52rpdivcld 10423 . . . . . . 7
5444, 53jca 518 . . . . . 6
55 ifcl 3614 . . . . . 6
5654, 55syl 15 . . . . 5
5756adantr 451 . . . 4
58 df-ne 2461 . . . . . 6
5958biimpri 197 . . . . 5
6059adantl 452 . . . 4
61 rpre 10376 . . . . . . . . . 10
6244, 61syl 15 . . . . . . . . 9
63 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . 14
6463, 48pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . 13
65 ltne 8933 . . . . . . . . . . . . 13
6664, 65ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
674, 47, 663pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . 11
68 redivcl 9495 . . . . . . . . . . 11
6967, 68ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
7069a1i 10 . . . . . . . . 9
7162, 70jca 518 . . . . . . . 8
72 ifcl 3614 . . . . . . . 8
7371, 72syl 15 . . . . . . 7
74 3re 9833 . . . . . . . . . 10
75 3ne0 9847 . . . . . . . . . 10
764, 74, 753pm3.2i 1130 . . . . . . . . 9
77 redivcl 9495 . . . . . . . . 9
7876, 77ax-mp 8 . . . . . . . 8
7978a1i 10 . . . . . . 7
8073, 70, 793jca 1132 . . . . . 6
81 rpxr 10377 . . . . . . . . . 10
8244, 81syl 15 . . . . . . . . 9
8353idi 2 . . . . . . . . . 10
84 rpxr 10377 . . . . . . . . . 10
8583, 84syl 15 . . . . . . . . 9
8682, 85jca 518 . . . . . . . 8
87 xrmin2 10523 . . . . . . . 8
8886, 87syl 15 . . . . . . 7
89 3lt4 9905 . . . . . . . . 9
90 3pos 9846 . . . . . . . . . . 11
9190, 48pm3.2i 441 . . . . . . . . . 10
9274, 47ltreci 9683 . . . . . . . . . 10
9391, 92ax-mp 8 . . . . . . . . 9
9489, 93mpbi 199 . . . . . . . 8
9594a1i 10 . . . . . . 7
9688, 95jca 518 . . . . . 6
97 lelttr 8928 . . . . . 6
9880, 96, 97sylc 56 . . . . 5
9998adantr 451 . . . 4
10013, 16, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 27, 33, 35, 36, 41, 43, 57, 60, 99stoweidlem62 27913 . . 3
10112, 100pm2.61dan 766 . 2
102 nfv 1609 . . . . . 6
10317, 102nfan 1783 . . . . 5
104 xrmin1 10522 . . . . . . . . 9
10586, 104syl 15 . . . . . . . 8
106105ad2antrr 706 . . . . . . 7
10726ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
108 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109107, 108jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . . . . . 16
111109, 110syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
11221, 22, 25, 111fcnre 27798 . . . . . . . . . . . . . 14
113 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14
114112, 113jca 518 . . . . . . . . . . . . 13
115 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13
116 recn 8843 . . . . . . . . . . . . 13
117114, 115, 1163syl 18 . . . . . . . . . . . 12
11842ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15
11921, 22, 25, 118fcnre 27798 . . . . . . . . . . . . . 14
120119, 113jca 518 . . . . . . . . . . . . 13
121 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13
122 recn 8843 . . . . . . . . . . . . 13
123120, 121, 1223syl 18 . . . . . . . . . . . 12
124117, 123jca 518 . . . . . . . . . . 11
125 subcl 9067 . . . . . . . . . . 11
126124, 125syl 15 . . . . . . . . . 10
127 abscl 11779 . . . . . . . . . 10
128126, 127syl 15 . . . . . . . . 9
12947, 48gt0ne0ii 9325 . . . . . . . . . . . . . . 15
1304, 47, 1293pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . . . . 14
131130a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
132131, 68syl 15 . . . . . . . . . . . 12
13362, 132jca 518 . . . . . . . . . . 11
134133, 72syl 15 . . . . . . . . . 10
135134ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
13662ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
137128, 135, 1363jca 1132 . . . . . . . 8
138 ltletr 8929 . . . . . . . 8
139137, 138syl 15 . . . . . . 7
140106, 139mpan2d 655 . . . . . 6
141140ex 423 . . . . 5
142103, 141ralrimi 2637 . . . 4
143 ralim 2627 . . . 4
144142, 143syl 15 . . 3
145144reximdva 2668 . 2
146101, 145mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wnf 1534   wceq 1632   wcel 1696  wnfc 2419   wne 2459  wral 2556  wrex 2557   wss 3165  c0 3468  cif 3578  cuni 3843   class class class wbr 4039   cmpt 4093  ccnv 4704   crn 4706  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  csup 7209  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758  cxr 8882   clt 8883   cle 8884   cmin 9053   cdiv 9439  c3 9812  c4 9813  crp 10370  cioo 10672  cabs 11735  ctg 13358   ccn 16970  ccmp 17129 This theorem is referenced by:  stowei  27915 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903
 Copyright terms: Public domain W3C validator