Theorem stoiglem 10250

Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by FL, 28-Jan-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoiglem.1	|- J e. Top
stoiglem.2	|- A C_ U.J

Assertion

Ref	Expression
stoiglem	|- <.A, (subSp` <.A, J>.)>. e. TopSp

Proof of Theorem stoiglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istps 8875	. 2 |- (<.A, (subSp` <.A, J>.)>. e. TopSp <-> ((subSp` <.A, J>.) e. Top /\ A = U.(subSp` <.A, J>.)))
2		stoiglem.1	. . . 4 |- J e. Top
3		uniexg 3795	. . . . . 6 |- (J e. Top -> U.J e. _V)
4	2, 3	ax-mp 7	. . . . 5 |- U.J e. _V
5		stoiglem.2	. . . . 5 |- A C_ U.J
6	4, 5	ssexi 3456	. . . 4 |- A e. _V
7	2, 6	subsp 10244	. . 3 |- (subSp` <.A, J>.) = {y | E.x e. J y = (x i^i A)}
8		subtop 8916	. . . 4 |- (J e. Top -> {y | E.x e. J y = (x i^i A)} e. Top)
9	2, 8	ax-mp 7	. . 3 |- {y | E.x e. J y = (x i^i A)} e. Top
10	7, 9	eqeltri 1967	. 2 |- (subSp` <.A, J>.) e. Top
11		dfss 2606	. . . . 5 |- (A C_ U.J <-> A = (A i^i U.J))
12	5, 11	mpbi 206	. . . 4 |- A = (A i^i U.J)
13		incom 2787	. . . 4 |- (A i^i U.J) = (U.J i^i A)
14		inuni 3470	. . . 4 |- (U.J i^i A) = U.{y | E.x e. J y = (x i^i A)}
15	12, 13, 14	3eqtri 1912	. . 3 |- A = U.{y | E.x e. J y = (x i^i A)}
16	7	unieqi 3187	. . 3 |- U.(subSp` <.A, J>.) = U.{y | E.x e. J y = (x i^i A)}
17	15, 16	eqtr4i 1911	. 2 |- A = U.(subSp` <.A, J>.)
18	1, 10, 17	mpbir2an 800	1 |- <.A, (subSp` <.A, J>.)>. e. TopSp

Syntax hints:   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593  <.cop 3046  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  TopSpctps 8858  subSpcsubsp 10242

This theorem is referenced by:  stoig 10251

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-top 8861  df-topsp 8862  df-subsp 10243

Copyright terms: Public domain