Theorem stoig3 10253

Description: A subspace topology is a topology. (Contributed by FL, 28-Jan-2009.)

Assertion

Ref	Expression
stoig3	|- ((J e. Top /\ A C_ U.J) -> (subSp` <.A, J>.) e. Top)

Proof of Theorem stoig3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoig 10251	. 2 |- ((J e. Top /\ A C_ U.J) -> <.A, (subSp` <.A, J>.)>. e. TopSp)
2		istps 8875	. . 3 |- (<.A, (subSp` <.A, J>.)>. e. TopSp <-> ((subSp` <.A, J>.) e. Top /\ A = U.(subSp` <.A, J>.)))
3	2	simplbi 349	. 2 |- (<.A, (subSp` <.A, J>.)>. e. TopSp -> (subSp` <.A, J>.) e. Top)
4	1, 3	syl 12	1 |- ((J e. Top /\ A C_ U.J) -> (subSp` <.A, J>.) e. Top)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  <.cop 3046  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  TopSpctps 8858  subSpcsubsp 10242

This theorem is referenced by:  subcld 10254  stfincomp 14959  singcon 14968  subsubtop 15423  subcls 15424  subntr 15425  cnsubsp 15426  cnsubsp2 15427  compsub 15431  connsub 15443  ivthALT 15454  subspabs 15840  cnimass 15888  cnres 15889  cnres2 15890  cnresima 15891  cnss 15892  paste 15893  piececn 15894  txsubsp 15912  phtpycolem3 16053  phtpycolem4 16054  pcocn 16076  pcohtpylem3 16082

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-top 8861  df-topsp 8862  df-subsp 10243

Copyright terms: Public domain