Theorem stoig2b 14906

Description: The underlying set of a subspace topology.

Hypotheses

Ref	Expression
stoig2b.1	|- J e. Top
stoig2b.2	|- A e. B

Assertion

Ref	Expression
stoig2b	|- (J e. Top -> U.(subSp` <.A, J>.) C_ A)

Proof of Theorem stoig2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoig2b.1	. . . . . . . 8 |- J e. Top
2		stoig2b.2	. . . . . . . . 9 |- A e. B
3	2	elisseti 2301	. . . . . . . 8 |- A e. _V
4	1, 3	subsp 10244	. . . . . . 7 |- (subSp` <.A, J>.) = {a | E.b e. J a = (b i^i A)}
5	4	unieqi 3187	. . . . . 6 |- U.(subSp` <.A, J>.) = U.{a | E.b e. J a = (b i^i A)}
6	5	eleq2i 1961	. . . . 5 |- (y e. U.(subSp` <.A, J>.) <-> y e. U.{a | E.b e. J a = (b i^i A)})
7		eluniab 3189	. . . . . 6 |- (y e. U.{a | E.b e. J a = (b i^i A)} <-> E.a(y e. a /\ E.b e. J a = (b i^i A)))
8		ax-17 1317	. . . . . . 7 |- ((J e. Top -> y e. A) -> A.a(J e. Top -> y e. A))
9		df-rex 2110	. . . . . . . . 9 |- (E.b e. J a = (b i^i A) <-> E.b(b e. J /\ a = (b i^i A)))
10		ax-17 1317	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. a -> (J e. Top -> y e. A)) -> A.b(y e. a -> (J e. Top -> y e. A)))
11		eleq2 1958	. . . . . . . . . . . . 13 |- (a = (b i^i A) -> (y e. a <-> y e. (b i^i A)))
12		inss2 2813	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (b i^i A) C_ A
13	12	sseli 2617	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. (b i^i A) -> y e. A)
14	11, 13	syl6bi 231	. . . . . . . . . . . 12 |- (a = (b i^i A) -> (y e. a -> y e. A))
15	14	a1dd 53	. . . . . . . . . . 11 |- (a = (b i^i A) -> (y e. a -> (J e. Top -> y e. A)))
16	15	adantl 424	. . . . . . . . . 10 |- ((b e. J /\ a = (b i^i A)) -> (y e. a -> (J e. Top -> y e. A)))
17	10, 16	19.23ai 1412	. . . . . . . . 9 |- (E.b(b e. J /\ a = (b i^i A)) -> (y e. a -> (J e. Top -> y e. A)))
18	9, 17	sylbi 216	. . . . . . . 8 |- (E.b e. J a = (b i^i A) -> (y e. a -> (J e. Top -> y e. A)))
19	18	impcom 378	. . . . . . 7 |- ((y e. a /\ E.b e. J a = (b i^i A)) -> (J e. Top -> y e. A))
20	8, 19	19.23ai 1412	. . . . . 6 |- (E.a(y e. a /\ E.b e. J a = (b i^i A)) -> (J e. Top -> y e. A))
21	7, 20	sylbi 216	. . . . 5 |- (y e. U.{a | E.b e. J a = (b i^i A)} -> (J e. Top -> y e. A))
22	6, 21	sylbi 216	. . . 4 |- (y e. U.(subSp` <.A, J>.) -> (J e. Top -> y e. A))
23	22	com12 14	. . 3 |- (J e. Top -> (y e. U.(subSp` <.A, J>.) -> y e. A))
24	23	19.21aiv 1664	. 2 |- (J e. Top -> A.y(y e. U.(subSp` <.A, J>.) -> y e. A))
25		ax-17 1317	. . 3 |- (x e. U.(subSp` <.A, J>.) -> A.y x e. U.(subSp` <.A, J>.))
26		ax-17 1317	. . 3 |- (x e. A -> A.y x e. A)
27	25, 26	dfss2f 2612	. 2 |- (U.(subSp` <.A, J>.) C_ A <-> A.y(y e. U.(subSp` <.A, J>.) -> y e. A))
28	24, 27	sylibr 217	1 |- (J e. Top -> U.(subSp` <.A, J>.) C_ A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  E.wrex 2106   i^i cin 2592   C_ wss 2593  <.cop 3046  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  subSpcsubsp 10242

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-subsp 10243

Copyright terms: Public domain