Theorem stoig 10251

Description: The topological space built with a subspace topology. (Contributed by FL, 28-Jan-2009.)

Assertion

Ref	Expression
stoig	|- ((J e. Top /\ A C_ U.J) -> <.A, (subSp` <.A, J>.)>. e. TopSp)

Proof of Theorem stoig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq2 3159	. . . . 5 |- (J = if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}) -> <.A, J>. = <.A, if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)})>.)
2	1	fveq2d 4685	. . . 4 |- (J = if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}) -> (subSp` <.A, J>.) = (subSp` <.A, if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)})>.))
3	2	opeq2d 3165	. . 3 |- (J = if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}) -> <.A, (subSp` <.A, J>.)>. = <.A, (subSp` <.A, if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)})>.)>.)
4	3	eleq1d 1963	. 2 |- (J = if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}) -> (<.A, (subSp` <.A, J>.)>. e. TopSp <-> <.A, (subSp` <.A, if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)})>.)>. e. TopSp))
5		id 73	. . . 4 |- (A = if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)) -> A = if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)))
6		opeq1 3158	. . . . 5 |- (A = if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)) -> <.A, if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)})>. = <.if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)), if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)})>.)
7	6	fveq2d 4685	. . . 4 |- (A = if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)) -> (subSp` <.A, if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)})>.) = (subSp` <.if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)), if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)})>.))
8	5, 7	opeq12d 3166	. . 3 |- (A = if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)) -> <.A, (subSp` <.A, if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)})>.)>. = <.if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)), (subSp` <.if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)), if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)})>.)>.)
9	8	eleq1d 1963	. 2 |- (A = if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)) -> (<.A, (subSp` <.A, if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)})>.)>. e. TopSp <-> <.if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)), (subSp` <.if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)), if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)})>.)>. e. TopSp))
10		iftrue 2989	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ A C_ U.J) -> if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}) = J)
11		simpl 346	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ A C_ U.J) -> J e. Top)
12	10, 11	eqeltrd 1971	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A C_ U.J) -> if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}) e. Top)
13		iffalse 2991	. . . . 5 |- (-. (J e. Top /\ A C_ U.J) -> if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}) = {(/)})
14		sn0top 8917	. . . . 5 |- {(/)} e. Top
15	13, 14	syl6eqel 1979	. . . 4 |- (-. (J e. Top /\ A C_ U.J) -> if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}) e. Top)
16	12, 15	pm2.61i 140	. . 3 |- if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}) e. Top
17		iftrue 2989	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ A C_ U.J) -> if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)) = A)
18		sseq1 2637	. . . . . . 7 |- (if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)) = A -> (if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)) C_ U.if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}) <-> A C_ U.if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)})))
19		unieq 3185	. . . . . . . 8 |- (if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}) = J -> U.if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}) = U.J)
20	19	sseq2d 2645	. . . . . . 7 |- (if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}) = J -> (A C_ U.if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}) <-> A C_ U.J))
21	18, 20	sylan9bb 599	. . . . . 6 |- ((if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)) = A /\ if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}) = J) -> (if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)) C_ U.if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}) <-> A C_ U.J))
22		simpr 350	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ A C_ U.J) -> A C_ U.J)
23	21, 22	syl5cbir 228	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ A C_ U.J) -> ((if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)) = A /\ if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}) = J) -> if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)) C_ U.if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)})))
24	17, 10, 23	mp2and 767	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A C_ U.J) -> if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)) C_ U.if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}))
25		iffalse 2991	. . . . 5 |- (-. (J e. Top /\ A C_ U.J) -> if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)) = (/))
26		0ss 2900	. . . . . 6 |- (/) C_ U.{(/)}
27		sseq1 2637	. . . . . . 7 |- (if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)) = (/) -> (if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)) C_ U.if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}) <-> (/) C_ U.if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)})))
28		unieq 3185	. . . . . . . 8 |- (if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}) = {(/)} -> U.if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}) = U.{(/)})
29	28	sseq2d 2645	. . . . . . 7 |- (if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}) = {(/)} -> ((/) C_ U.if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}) <-> (/) C_ U.{(/)}))
30	27, 29	sylan9bb 599	. . . . . 6 |- ((if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)) = (/) /\ if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}) = {(/)}) -> (if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)) C_ U.if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}) <-> (/) C_ U.{(/)}))
31	26, 30	mpbiri 211	. . . . 5 |- ((if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)) = (/) /\ if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}) = {(/)}) -> if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)) C_ U.if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}))
32	25, 13, 31	syl11anc 524	. . . 4 |- (-. (J e. Top /\ A C_ U.J) -> if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)) C_ U.if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)}))
33	24, 32	pm2.61i 140	. . 3 |- if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)) C_ U.if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)})
34	16, 33	stoiglem 10250	. 2 |- <.if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)), (subSp` <.if((J e. Top /\ A C_ U.J), A, (/)), if((J e. Top /\ A C_ U.J), J, {(/)})>.)>. e. TopSp
35	4, 9, 34	dedth2v 3018	1 |- ((J e. Top /\ A C_ U.J) -> <.A, (subSp` <.A, J>.)>. e. TopSp)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  (/)c0 2875  ifcif 2982  {csn 3044  <.cop 3046  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  TopSpctps 8858  subSpcsubsp 10242

This theorem is referenced by:  stoig2 10252  stoig3 10253  subtopsin2 14907

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-top 8861  df-topsp 8862  df-subsp 10243

Copyright terms: Public domain