Theorem stoi 14998

Description: The underlying set of the standard topology on an open interval is the open interval itself.

Assertion

Ref	Expression
stoi	|- <.(A(,)B), (subSp` <.(A(,)B), (topGen` ran (,))>.)>. e. TopSp

Proof of Theorem stoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istps 8875	. 2 |- (<.(A(,)B), (subSp` <.(A(,)B), (topGen` ran (,))>.)>. e. TopSp <-> ((subSp` <.(A(,)B), (topGen` ran (,))>.) e. Top /\ (A(,)B) = U.(subSp` <.(A(,)B), (topGen` ran (,))>.)))
2		retop 8926	. . . 4 |- (topGen` ran (,)) e. Top
3		oprex 4907	. . . 4 |- (A(,)B) e. _V
4	2, 3	subsp 10244	. . 3 |- (subSp` <.(A(,)B), (topGen` ran (,))>.) = {y | E.x e. (topGen` ran (,))y = (x i^i (A(,)B))}
5		subtop 8916	. . . 4 |- ((topGen` ran (,)) e. Top -> {y | E.x e. (topGen` ran (,))y = (x i^i (A(,)B))} e. Top)
6	2, 5	ax-mp 7	. . 3 |- {y | E.x e. (topGen` ran (,))y = (x i^i (A(,)B))} e. Top
7	4, 6	eqeltri 1967	. 2 |- (subSp` <.(A(,)B), (topGen` ran (,))>.) e. Top
8		ioossre 7557	. . . . . 6 |- (A(,)B) C_ RR
9		uniretop 8927	. . . . . 6 |- U.(topGen` ran (,)) = RR
10	8, 9	sseqtr4i 2650	. . . . 5 |- (A(,)B) C_ U.(topGen` ran (,))
11		dfss 2606	. . . . 5 |- ((A(,)B) C_ U.(topGen` ran (,)) <-> (A(,)B) = ((A(,)B) i^i U.(topGen` ran (,))))
12	10, 11	mpbi 206	. . . 4 |- (A(,)B) = ((A(,)B) i^i U.(topGen` ran (,)))
13		incom 2787	. . . 4 |- ((A(,)B) i^i U.(topGen` ran (,))) = (U.(topGen` ran (,)) i^i (A(,)B))
14		inuni 3470	. . . 4 |- (U.(topGen` ran (,)) i^i (A(,)B)) = U.{y | E.x e. (topGen` ran (,))y = (x i^i (A(,)B))}
15	12, 13, 14	3eqtri 1912	. . 3 |- (A(,)B) = U.{y | E.x e. (topGen` ran (,))y = (x i^i (A(,)B))}
16	4	unieqi 3187	. . 3 |- U.(subSp` <.(A(,)B), (topGen` ran (,))>.) = U.{y | E.x e. (topGen` ran (,))y = (x i^i (A(,)B))}
17	15, 16	eqtr4i 1911	. 2 |- (A(,)B) = U.(subSp` <.(A(,)B), (topGen` ran (,))>.)
18	1, 7, 17	mpbir2an 800	1 |- <.(A(,)B), (subSp` <.(A(,)B), (topGen` ran (,))>.)>. e. TopSp

Syntax hints:   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  E.wrex 2106   i^i cin 2592   C_ wss 2593  <.cop 3046  U.cuni 3177  ran crn 3987  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  (,)cioo 7524  Topctop 8857  TopSpctps 8858  topGenctg 8860  subSpcsubsp 10242

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-ioo 7528  df-top 8861  df-topsp 8862  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-subsp 10243

Copyright terms: Public domain