HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stlei Structured version   Unicode version

Theorem stlei 25649
Description: Ordering law for states. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
stle.1  |-  A  e. 
CH
stle.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
stlei  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  C_  B  ->  ( S `  A )  <_  ( S `  B )
) )

Proof of Theorem stlei
StepHypRef Expression
1 stle.2 . . . . . . . . . 10  |-  B  e. 
CH
21chshii 24635 . . . . . . . . 9  |-  B  e.  SH
3 shococss 24702 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  SH  ->  B  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  B ) ) )
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  B  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  B ) )
5 sstr2 3368 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  B  ->  ( B  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  B ) )  ->  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  B
) ) ) )
64, 5mpi 17 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  B  ->  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  B ) ) )
7 stle.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
CH
81choccli 24715 . . . . . . . 8  |-  ( _|_ `  B )  e.  CH
97, 8pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CH  /\  ( _|_ `  B )  e. 
CH )
106, 9jctil 537 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( A  e.  CH  /\  ( _|_ `  B
)  e.  CH )  /\  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  B
) ) ) )
11 stj 25644 . . . . . 6  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( ( A  e.  CH  /\  ( _|_ `  B )  e.  CH )  /\  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  B ) ) )  ->  ( S `  ( A  vH  ( _|_ `  B ) ) )  =  ( ( S `  A )  +  ( S `  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
1210, 11syl5 32 . . . . 5  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  C_  B  ->  ( S `  ( A  vH  ( _|_ `  B ) ) )  =  ( ( S `  A )  +  ( S `  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
1312imp 429 . . . 4  |-  ( ( S  e.  States  /\  A  C_  B )  ->  ( S `  ( A  vH  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( ( S `  A )  +  ( S `  ( _|_ `  B ) ) ) )
147, 8chjcli 24865 . . . . . . 7  |-  ( A  vH  ( _|_ `  B
) )  e.  CH
15 stle1 25634 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( A  vH  ( _|_ `  B
) )  e.  CH  ->  ( S `  ( A  vH  ( _|_ `  B
) ) )  <_ 
1 ) )
1614, 15mpi 17 . . . . . 6  |-  ( S  e.  States  ->  ( S `  ( A  vH  ( _|_ `  B ) ) )  <_  1 )
171sto1i 25645 . . . . . 6  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( S `
 B )  +  ( S `  ( _|_ `  B ) ) )  =  1 )
1816, 17breqtrrd 4323 . . . . 5  |-  ( S  e.  States  ->  ( S `  ( A  vH  ( _|_ `  B ) ) )  <_  ( ( S `  B )  +  ( S `  ( _|_ `  B ) ) ) )
1918adantr 465 . . . 4  |-  ( ( S  e.  States  /\  A  C_  B )  ->  ( S `  ( A  vH  ( _|_ `  B
) ) )  <_ 
( ( S `  B )  +  ( S `  ( _|_ `  B ) ) ) )
2013, 19eqbrtrrd 4319 . . 3  |-  ( ( S  e.  States  /\  A  C_  B )  ->  (
( S `  A
)  +  ( S `
 ( _|_ `  B
) ) )  <_ 
( ( S `  B )  +  ( S `  ( _|_ `  B ) ) ) )
21 stcl 25625 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  e. 
CH  ->  ( S `  A )  e.  RR ) )
227, 21mpi 17 . . . . . 6  |-  ( S  e.  States  ->  ( S `  A )  e.  RR )
23 stcl 25625 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  States  ->  ( B  e. 
CH  ->  ( S `  B )  e.  RR ) )
241, 23mpi 17 . . . . . 6  |-  ( S  e.  States  ->  ( S `  B )  e.  RR )
25 stcl 25625 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( _|_ `  B )  e.  CH  ->  ( S `  ( _|_ `  B ) )  e.  RR ) )
268, 25mpi 17 . . . . . 6  |-  ( S  e.  States  ->  ( S `  ( _|_ `  B ) )  e.  RR )
2722, 24, 263jca 1168 . . . . 5  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( S `
 A )  e.  RR  /\  ( S `
 B )  e.  RR  /\  ( S `
 ( _|_ `  B
) )  e.  RR ) )
2827adantr 465 . . . 4  |-  ( ( S  e.  States  /\  A  C_  B )  ->  (
( S `  A
)  e.  RR  /\  ( S `  B )  e.  RR  /\  ( S `  ( _|_ `  B ) )  e.  RR ) )
29 leadd1 9812 . . . 4  |-  ( ( ( S `  A
)  e.  RR  /\  ( S `  B )  e.  RR  /\  ( S `  ( _|_ `  B ) )  e.  RR )  ->  (
( S `  A
)  <_  ( S `  B )  <->  ( ( S `  A )  +  ( S `  ( _|_ `  B ) ) )  <_  (
( S `  B
)  +  ( S `
 ( _|_ `  B
) ) ) ) )
3028, 29syl 16 . . 3  |-  ( ( S  e.  States  /\  A  C_  B )  ->  (
( S `  A
)  <_  ( S `  B )  <->  ( ( S `  A )  +  ( S `  ( _|_ `  B ) ) )  <_  (
( S `  B
)  +  ( S `
 ( _|_ `  B
) ) ) ) )
3120, 30mpbird 232 . 2  |-  ( ( S  e.  States  /\  A  C_  B )  ->  ( S `  A )  <_  ( S `  B
) )
3231ex 434 1  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  C_  B  ->  ( S `  A )  <_  ( S `  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3333   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   RRcr 9286   1c1 9288    + caddc 9290    <_ cle 9424   SHcsh 24335   CHcch 24336   _|_cort 24337    vH chj 24340   Statescst 24369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367  ax-hilex 24406  ax-hfvadd 24407  ax-hvcom 24408  ax-hvass 24409  ax-hv0cl 24410  ax-hvaddid 24411  ax-hfvmul 24412  ax-hvmulid 24413  ax-hvmulass 24414  ax-hvdistr1 24415  ax-hvdistr2 24416  ax-hvmul0 24417  ax-hfi 24486  ax-his1 24489  ax-his2 24490  ax-his3 24491  ax-his4 24492  ax-hcompl 24609
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-sum 13169  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-lm 18838  df-haus 18924  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cau 20772  df-grpo 23683  df-gid 23684  df-ginv 23685  df-gdiv 23686  df-ablo 23774  df-vc 23929  df-nv 23975  df-va 23978  df-ba 23979  df-sm 23980  df-0v 23981  df-vs 23982  df-nmcv 23983  df-ims 23984  df-dip 24101  df-hnorm 24375  df-hvsub 24378  df-hlim 24379  df-hcau 24380  df-sh 24614  df-ch 24629  df-oc 24660  df-ch0 24661  df-chj 24718  df-st 25620
This theorem is referenced by:  stlesi  25650  stm1i  25652
  Copyright terms: Public domain W3C validator