HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stle0i Structured version   Unicode version

Theorem stle0i 27727
Description: If a state is less than or equal to 0, it is 0. (Contributed by NM, 11-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sto1.1  |-  A  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
stle0i  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( S `
 A )  <_ 
0  <->  ( S `  A )  =  0 ) )

Proof of Theorem stle0i
StepHypRef Expression
1 sto1.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
CH
2 stge0 27712 . . . . . 6  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  e. 
CH  ->  0  <_  ( S `  A )
) )
31, 2mpi 21 . . . . 5  |-  ( S  e.  States  ->  0  <_  ( S `  A )
)
43anim2i 571 . . . 4  |-  ( ( ( S `  A
)  <_  0  /\  S  e.  States )  -> 
( ( S `  A )  <_  0  /\  0  <_  ( S `
 A ) ) )
54expcom 436 . . 3  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( S `
 A )  <_ 
0  ->  ( ( S `  A )  <_  0  /\  0  <_ 
( S `  A
) ) ) )
6 stcl 27704 . . . . 5  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  e. 
CH  ->  ( S `  A )  e.  RR ) )
71, 6mpi 21 . . . 4  |-  ( S  e.  States  ->  ( S `  A )  e.  RR )
8 0re 9642 . . . 4  |-  0  e.  RR
9 letri3 9718 . . . 4  |-  ( ( ( S `  A
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( S `  A )  =  0  <-> 
( ( S `  A )  <_  0  /\  0  <_  ( S `
 A ) ) ) )
107, 8, 9sylancl 666 . . 3  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( S `
 A )  =  0  <->  ( ( S `
 A )  <_ 
0  /\  0  <_  ( S `  A ) ) ) )
115, 10sylibrd 237 . 2  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( S `
 A )  <_ 
0  ->  ( S `  A )  =  0 ) )
12 0le0 10699 . . 3  |-  0  <_  0
13 breq1 4429 . . 3  |-  ( ( S `  A )  =  0  ->  (
( S `  A
)  <_  0  <->  0  <_  0 ) )
1412, 13mpbiri 236 . 2  |-  ( ( S `  A )  =  0  ->  ( S `  A )  <_  0 )
1511, 14impbid1 206 1  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( S `
 A )  <_ 
0  <->  ( S `  A )  =  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   class class class wbr 4426   ` cfv 5601   RRcr 9537   0cc0 9538    <_ cle 9675   CHcch 26417   Statescst 26450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-hilex 26487
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-icc 11642  df-sh 26695  df-ch 26709  df-st 27699
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator