HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stle0i Structured version   Unicode version

Theorem stle0i 26862
Description: If a state is less than or equal to 0, it is 0. (Contributed by NM, 11-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sto1.1  |-  A  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
stle0i  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( S `
 A )  <_ 
0  <->  ( S `  A )  =  0 ) )

Proof of Theorem stle0i
StepHypRef Expression
1 sto1.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
CH
2 stge0 26847 . . . . . 6  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  e. 
CH  ->  0  <_  ( S `  A )
) )
31, 2mpi 17 . . . . 5  |-  ( S  e.  States  ->  0  <_  ( S `  A )
)
43anim2i 569 . . . 4  |-  ( ( ( S `  A
)  <_  0  /\  S  e.  States )  -> 
( ( S `  A )  <_  0  /\  0  <_  ( S `
 A ) ) )
54expcom 435 . . 3  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( S `
 A )  <_ 
0  ->  ( ( S `  A )  <_  0  /\  0  <_ 
( S `  A
) ) ) )
6 stcl 26839 . . . . 5  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  e. 
CH  ->  ( S `  A )  e.  RR ) )
71, 6mpi 17 . . . 4  |-  ( S  e.  States  ->  ( S `  A )  e.  RR )
8 0re 9596 . . . 4  |-  0  e.  RR
9 letri3 9670 . . . 4  |-  ( ( ( S `  A
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( S `  A )  =  0  <-> 
( ( S `  A )  <_  0  /\  0  <_  ( S `
 A ) ) ) )
107, 8, 9sylancl 662 . . 3  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( S `
 A )  =  0  <->  ( ( S `
 A )  <_ 
0  /\  0  <_  ( S `  A ) ) ) )
115, 10sylibrd 234 . 2  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( S `
 A )  <_ 
0  ->  ( S `  A )  =  0 ) )
12 0le0 10625 . . 3  |-  0  <_  0
13 breq1 4450 . . 3  |-  ( ( S `  A )  =  0  ->  (
( S `  A
)  <_  0  <->  0  <_  0 ) )
1412, 13mpbiri 233 . 2  |-  ( ( S `  A )  =  0  ->  ( S `  A )  <_  0 )
1511, 14impbid1 203 1  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( S `
 A )  <_ 
0  <->  ( S `  A )  =  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5588   RRcr 9491   0cc0 9492    <_ cle 9629   CHcch 25550   Statescst 25583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-hilex 25620
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-icc 11536  df-sh 25828  df-ch 25843  df-st 26834
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator