Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlingr Structured version   Unicode version

Theorem stirlingr 31209
Description: Stirling's approximation formula for  n factorial: here convergence is expressed with respect to the standard topology on the reals. The main theorem stirling 31208 is proven for convergence in the topology of complex numbers. The variable  R is used to denote convergence with respect to the standard topology on the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlingr.1  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
stirlingr.2  |-  R  =  ( ~~> t `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
Assertion
Ref Expression
stirlingr  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) ) R 1

Proof of Theorem stirlingr
StepHypRef Expression
1 stirlingr.1 . . 3  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
21stirling 31208 . 2  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) )  ~~>  1
3 stirlingr.2 . . . 4  |-  R  =  ( ~~> t `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
4 nnuz 11106 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5 1z 10883 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
65a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
7 eqid 2460 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( S `  n
) ) )
8 nnnn0 10791 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
9 faccl 12318 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
10 nnre 10532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR )
118, 9, 103syl 20 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR )
12 2re 10594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
14 pire 22578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  RR
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  pi  e.  RR )
1613, 15remulcld 9613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR )
17 nnre 10532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
1816, 17remulcld 9613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  n )  e.  RR )
19 0re 9585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  e.  RR )
21 2pos 10616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  2
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  2 )
2320, 13, 22ltled 9721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  2 )
24 pipos 22580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  pi
2519, 14, 24ltleii 9696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  pi
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  pi )
2713, 15, 23, 26mulge0d 10118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  pi ) )
288nn0ge0d 10844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  n )
2916, 17, 27, 28mulge0d 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )
3018, 29resqrcld 13198 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  e.  RR )
31 ere 13675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  RR
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  RR )
33 epos 13790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  _e
3419, 33gtneii 9685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  =/=  0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
3617, 32, 35redivcld 10361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  RR )
3736, 8reexpcld 12282 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  RR )
3830, 37remulcld 9613 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR )
391fvmpt2 5948 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR )  -> 
( S `  n
)  =  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )
408, 38, 39syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( S `  n )  =  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )
41 2rp 11214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
4314, 24elrpii 11212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR+
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  pi  e.  RR+ )
4542, 44rpmulcld 11261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR+ )
46 nnrp 11218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
4745, 46rpmulcld 11261 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  n )  e.  RR+ )
4847rpsqrcld 13192 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  e.  RR+ )
49 epr 13791 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  e.  RR+
5049a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
5146, 50rpdivcld 11262 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  RR+ )
52 nnz 10875 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
5351, 52rpexpcld 12288 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  RR+ )
5448, 53rpmulcld 11261 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR+ )
5540, 54eqeltrd 2548 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  ( S `  n )  e.  RR+ )
5611, 55rerpdivcld 11272 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( S `
 n ) )  e.  RR )
577, 56fmpti 6035 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) ) : NN --> RR
5857a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) ) : NN --> RR )
593, 4, 6, 58climreeq 30974 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( S `  n
) ) ) R 1  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( S `  n
) ) )  ~~>  1 ) )
6059trud 1383 . 2  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( S `
 n ) ) ) R 1  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( S `
 n ) ) )  ~~>  1 )
612, 60mpbir 209 1  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) ) R 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1374   T. wtru 1375    e. wcel 1762    =/= wne 2655   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   ran crn 4993   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    / cdiv 10195   NNcn 10525   2c2 10574   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   RR+crp 11209   (,)cioo 11518   ^cexp 12122   !cfa 12308   sqrcsqr 13016    ~~> cli 13256   _eceu 13649   picpi 13653   topGenctg 14682   ~~> tclm 19486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cc 8804  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-disj 4411  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-ofr 6516  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-omul 7125  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-acn 8312  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ioc 11523  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-shft 12850  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-ef 13654  df-e 13655  df-sin 13656  df-cos 13657  df-tan 13658  df-pi 13659  df-dvds 13837  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-lp 19396  df-perf 19397  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-lm 19489  df-haus 19575  df-cmp 19646  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cncf 21110  df-ovol 21604  df-vol 21605  df-mbf 21756  df-itg1 21757  df-itg2 21758  df-ibl 21759  df-itg 21760  df-0p 21805  df-limc 21998  df-dv 21999  df-ulm 22499  df-log 22665  df-cxp 22666
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator