Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlingr Structured version   Unicode version

Theorem stirlingr 30025
Description: Stirling's approximation formula for  n factorial: here convergence is expressed with respect to the standard topology on the reals. The main theorem stirling 30024 is proven for convergence in the topology of complex numbers. The variable  R is used to denote convergence with respect to the standard topology on the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlingr.1  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
stirlingr.2  |-  R  =  ( ~~> t `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
Assertion
Ref Expression
stirlingr  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) ) R 1

Proof of Theorem stirlingr
StepHypRef Expression
1 stirlingr.1 . . 3  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
21stirling 30024 . 2  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) )  ~~>  1
3 stirlingr.2 . . . 4  |-  R  =  ( ~~> t `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
4 nnuz 10999 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5 1z 10779 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
65a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
7 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( S `  n
) ) )
8 nnnn0 10689 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
9 faccl 12164 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
10 nnre 10432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR )
118, 9, 103syl 20 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR )
12 2re 10494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
14 pire 22039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  RR
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  pi  e.  RR )
1613, 15remulcld 9517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR )
17 nnre 10432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
1816, 17remulcld 9517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  n )  e.  RR )
19 0re 9489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  e.  RR )
21 2pos 10516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  2
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  2 )
2320, 13, 22ltled 9625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  2 )
24 pipos 22041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  pi
2519, 14, 24ltleii 9600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  pi
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  pi )
2713, 15, 23, 26mulge0d 10019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  pi ) )
288nn0ge0d 10742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  n )
2916, 17, 27, 28mulge0d 10019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )
3018, 29resqrcld 13008 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  e.  RR )
31 ere 13478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  RR
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  RR )
33 epos 13593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  _e
3419, 33gtneii 9589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  =/=  0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
3617, 32, 35redivcld 10262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  RR )
3736, 8reexpcld 12128 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  RR )
3830, 37remulcld 9517 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR )
391fvmpt2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR )  -> 
( S `  n
)  =  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )
408, 38, 39syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( S `  n )  =  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )
41 2rp 11099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
4314, 24elrpii 11097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR+
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  pi  e.  RR+ )
4542, 44rpmulcld 11146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR+ )
46 nnrp 11103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
4745, 46rpmulcld 11146 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  n )  e.  RR+ )
4847rpsqrcld 13002 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  e.  RR+ )
49 epr 13594 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  e.  RR+
5049a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
5146, 50rpdivcld 11147 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  RR+ )
52 nnz 10771 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
5351, 52rpexpcld 12134 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  RR+ )
5448, 53rpmulcld 11146 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR+ )
5540, 54eqeltrd 2539 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  ( S `  n )  e.  RR+ )
5611, 55rerpdivcld 11157 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( S `
 n ) )  e.  RR )
577, 56fmpti 5967 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) ) : NN --> RR
5857a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) ) : NN --> RR )
593, 4, 6, 58climreeq 29926 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( S `  n
) ) ) R 1  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( S `  n
) ) )  ~~>  1 ) )
6059trud 1379 . 2  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( S `
 n ) ) ) R 1  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( S `
 n ) ) )  ~~>  1 )
612, 60mpbir 209 1  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) ) R 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758    =/= wne 2644   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   ran crn 4941   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   RRcr 9384   0cc0 9385   1c1 9386    x. cmul 9390    < clt 9521    <_ cle 9522    / cdiv 10096   NNcn 10425   2c2 10474   NN0cn0 10682   ZZcz 10749   RR+crp 11094   (,)cioo 11403   ^cexp 11968   !cfa 12154   sqrcsqr 12826    ~~> cli 13066   _eceu 13452   picpi 13456   topGenctg 14480   ~~> tclm 18948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cc 8707  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-addf 9464  ax-mulf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-disj 4363  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-ofr 6423  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-omul 7027  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-fi 7764  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-acn 8215  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-ioo 11407  df-ioc 11408  df-ico 11409  df-icc 11410  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-fl 11745  df-mod 11812  df-seq 11910  df-exp 11969  df-fac 12155  df-bc 12182  df-hash 12207  df-shft 12660  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-limsup 13053  df-clim 13070  df-rlim 13071  df-sum 13268  df-ef 13457  df-e 13458  df-sin 13459  df-cos 13460  df-tan 13461  df-pi 13462  df-dvds 13640  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-hom 14366  df-cco 14367  df-rest 14465  df-topn 14466  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-topgen 14486  df-pt 14487  df-prds 14490  df-xrs 14544  df-qtop 14549  df-imas 14550  df-xps 14552  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-mulg 15652  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-fbas 17925  df-fg 17926  df-cnfld 17930  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-topsp 18625  df-cld 18741  df-ntr 18742  df-cls 18743  df-nei 18820  df-lp 18858  df-perf 18859  df-cn 18949  df-cnp 18950  df-lm 18951  df-haus 19037  df-cmp 19108  df-tx 19253  df-hmeo 19446  df-fil 19537  df-fm 19629  df-flim 19630  df-flf 19631  df-xms 20013  df-ms 20014  df-tms 20015  df-cncf 20572  df-ovol 21066  df-vol 21067  df-mbf 21217  df-itg1 21218  df-itg2 21219  df-ibl 21220  df-itg 21221  df-0p 21266  df-limc 21459  df-dv 21460  df-ulm 21960  df-log 22126  df-cxp 22127
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator