Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlingr Structured version   Unicode version

Theorem stirlingr 32038
Description: Stirling's approximation formula for  n factorial: here convergence is expressed with respect to the standard topology on the reals. The main theorem stirling 32037 is proven for convergence in the topology of complex numbers. The variable  R is used to denote convergence with respect to the standard topology on the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlingr.1  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
stirlingr.2  |-  R  =  ( ~~> t `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
Assertion
Ref Expression
stirlingr  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) ) R 1

Proof of Theorem stirlingr
StepHypRef Expression
1 stirlingr.1 . . 3  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
21stirling 32037 . 2  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) )  ~~>  1
3 stirlingr.2 . . . 4  |-  R  =  ( ~~> t `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
4 nnuz 11036 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5 1zzd 10812 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
6 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( S `  n
) ) )
7 nnnn0 10719 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
8 faccl 12265 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
9 nnre 10459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR )
107, 8, 93syl 20 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR )
11 2re 10522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
13 pire 22936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  RR
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  pi  e.  RR )
1512, 14remulcld 9535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR )
16 nnre 10459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
1715, 16remulcld 9535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  n )  e.  RR )
18 0re 9507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  e.  RR )
20 2pos 10544 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  2
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  2 )
2219, 12, 21ltled 9644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  2 )
23 pipos 22938 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  pi
2418, 13, 23ltleii 9618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  pi
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  pi )
2612, 14, 22, 25mulge0d 10046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  pi ) )
277nn0ge0d 10772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  n )
2815, 16, 26, 27mulge0d 10046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )
2917, 28resqrtcld 13251 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  e.  RR )
30 ere 13826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  RR
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  RR )
32 epos 13942 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  _e
3318, 32gtneii 9607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  =/=  0
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
3516, 31, 34redivcld 10289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  RR )
3635, 7reexpcld 12229 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  RR )
3729, 36remulcld 9535 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR )
381fvmpt2 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR )  -> 
( S `  n
)  =  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )
397, 37, 38syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( S `  n )  =  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )
40 2rp 11144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
42 pirp 22939 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR+
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  pi  e.  RR+ )
4441, 43rpmulcld 11193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR+ )
45 nnrp 11148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
4644, 45rpmulcld 11193 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  n )  e.  RR+ )
4746rpsqrtcld 13245 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  e.  RR+ )
48 epr 13943 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  e.  RR+
4948a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
5045, 49rpdivcld 11194 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  RR+ )
51 nnz 10803 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
5250, 51rpexpcld 12235 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  RR+ )
5347, 52rpmulcld 11193 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR+ )
5439, 53eqeltrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  ( S `  n )  e.  RR+ )
5510, 54rerpdivcld 11204 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( S `
 n ) )  e.  RR )
566, 55fmpti 5956 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) ) : NN --> RR
5756a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) ) : NN --> RR )
583, 4, 5, 57climreeq 31785 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( S `  n
) ) ) R 1  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( S `  n
) ) )  ~~>  1 ) )
5958trud 1408 . 2  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( S `
 n ) ) ) R 1  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( S `
 n ) ) )  ~~>  1 )
602, 59mpbir 209 1  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) ) R 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1399   T. wtru 1400    e. wcel 1826    =/= wne 2577   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   ran crn 4914   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    x. cmul 9408    < clt 9539    <_ cle 9540    / cdiv 10123   NNcn 10452   2c2 10502   NN0cn0 10712   RR+crp 11139   (,)cioo 11450   ^cexp 12069   !cfa 12255   sqrcsqrt 13068    ~~> cli 13309   _eceu 13800   picpi 13804   topGenctg 14845   ~~> tclm 19813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cc 8728  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-disj 4339  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-ofr 6440  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-omul 7053  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-acn 8236  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ioc 11455  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-fac 12256  df-bc 12283  df-hash 12308  df-shft 12902  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-limsup 13296  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-ef 13805  df-e 13806  df-sin 13807  df-cos 13808  df-tan 13809  df-pi 13810  df-dvds 13989  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-lp 19723  df-perf 19724  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-lm 19816  df-haus 19902  df-cmp 19973  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-fil 20432  df-fm 20524  df-flim 20525  df-flf 20526  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-cncf 21467  df-ovol 21961  df-vol 21962  df-mbf 22113  df-itg1 22114  df-itg2 22115  df-ibl 22116  df-itg 22117  df-0p 22162  df-limc 22355  df-dv 22356  df-ulm 22857  df-log 23029  df-cxp 23030
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator