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Theorem stirlinglem8 32105
Description: If A converges to C, then F converges to C^2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem8.1 |- F/ n ph
stirlinglem8.2 |- F/_ n A
stirlinglem8.3 |- F/_ n D
stirlinglem8.4 |- D = ( n e. NN |-> ( A ` ( 2 x. n ) ) )
stirlinglem8.5 |- ( ph -> A : NN --> RR+ )
stirlinglem8.6 |- F = ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
stirlinglem8.7 |- L = ( n e. NN |-> ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
stirlinglem8.8 |- M = ( n e. NN |-> ( ( D ` n ) ^ 2 ) )
stirlinglem8.9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) e. RR+ )
stirlinglem8.10 |- ( ph -> C e. RR+ )
stirlinglem8.11 |- ( ph -> A ~~> C )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem8 |- ( ph -> F ~~> ( C ^ 2 ) )
Proof of Theorem stirlinglem8
Dummy variable k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem8.1 . . 3 |- F/ n ph
2 stirlinglem8.7 . . . 4 |- L = ( n e. NN |-> ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
3 nfmpt1 4528 . . . 4 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
42, 3nfcxfr 2614 . . 3 |- F/_ n L
5 stirlinglem8.8 . . . 4 |- M = ( n e. NN |-> ( ( D ` n ) ^ 2 ) )
6 nfmpt1 4528 . . . 4 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( D ` n ) ^ 2 ) )
75, 6nfcxfr 2614 . . 3 |- F/_ n M
8 stirlinglem8.6 . . . 4 |- F = ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
9 nfmpt1 4528 . . . 4 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
108, 9nfcxfr 2614 . . 3 |- F/_ n F
11 nnuz 11117 . . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
12 1zzd 10891 . . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
13 stirlinglem8.2 . . . 4 |- F/_ n A
14 stirlinglem8.5 . . . . 5 |- ( ph -> A : NN --> RR+ )
15 rrpsscn 31824 . . . . 5 |- RR+ C_ CC
16 fss 5721 . . . . 5 |- ( ( A : NN --> RR+ /\ RR+ C_ CC ) -> A : NN --> CC )
1714, 15, 16sylancl 660 . . . 4 |- ( ph -> A : NN --> CC )
18 stirlinglem8.11 . . . 4 |- ( ph -> A ~~> C )
19 4nn0 10810 . . . . 5 |- 4 e. NN0
2019a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> 4 e. NN0 )
21 nnex 10537 . . . . . . 7 |- NN e. _V
2221mptex 6118 . . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( ( A ` n ) ^ 4 ) ) e. _V
232, 22eqeltri 2538 . . . . 5 |- L e. _V
2423a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> L e. _V )
25 simpr 459 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
2614ffvelrnda 6007 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) e. RR+ )
2726rpcnd 11261 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) e. CC )
2819a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 4 e. NN0 )
2927, 28expcld 12295 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A ` n ) ^ 4 ) e. CC )
302fvmpt2 5939 . . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ ( ( A ` n ) ^ 4 ) e. CC ) -> ( L ` n ) = ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
3125, 29, 30syl2anc 659 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( L ` n ) = ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
321, 13, 4, 11, 12, 17, 18, 20, 24, 31climexp 31853 . . 3 |- ( ph -> L ~~> ( C ^ 4 ) )
3321mptex 6118 . . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) ) e. _V
348, 33eqeltri 2538 . . . 4 |- F e. _V
3534a1i 11 . . 3 |- ( ph -> F e. _V )
36 stirlinglem8.3 . . . 4 |- F/_ n D
3717adantr 463 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A : NN --> CC )
38 2nn 10689 . . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
3938a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> 2 e. NN )
40 id 22 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> n e. NN )
4139, 40nnmulcld 10579 . . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. NN )
4241adantl 464 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 x. n ) e. NN )
4337, 42ffvelrnd 6008 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` ( 2 x. n ) ) e. CC )
44 stirlinglem8.4 . . . . 5 |- D = ( n e. NN |-> ( A ` ( 2 x. n ) ) )
451, 43, 44fmptdf 6032 . . . 4 |- ( ph -> D : NN --> CC )
46 nfmpt1 4528 . . . . 5 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) )
47 fex 6120 . . . . . 6 |- ( ( A : NN --> CC /\ NN e. _V ) -> A e. _V )
4817, 21, 47sylancl 660 . . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
49 1nn 10542 . . . . . . 7 |- 1 e. NN
50 2cnd 10604 . . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. CC )
51 1cnd 9601 . . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. CC )
5250, 51mulcld 9605 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. 1 ) e. CC )
53 oveq2 6278 . . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. 1 ) )
54 eqid 2454 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) = ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) )
5553, 54fvmptg 5929 . . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ ( 2 x. 1 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` 1 ) = ( 2 x. 1 ) )
5649, 52, 55sylancr 661 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` 1 ) = ( 2 x. 1 ) )
5738a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. NN )
5849a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. NN )
5957, 58nnmulcld 10579 . . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. 1 ) e. NN )
6056, 59eqeltrd 2542 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` 1 ) e. NN )
61 1red 9600 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> 1 e. RR )
6239nnred 10546 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> 2 e. RR )
6341nnred 10546 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. RR )
6439nnge1d 10574 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> 1 <_ 2 )
6561, 62, 63, 64leadd2dd 10163 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) <_ ( ( 2 x. n ) + 2 ) )
6654fvmpt2 5939 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ ( 2 x. n ) e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) = ( 2 x. n ) )
6741, 66mpdan 666 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) = ( 2 x. n ) )
6867oveq1d 6285 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) = ( ( 2 x. n ) + 1 ) )
69 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. k ) )
7069cbvmptv 4530 . . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) = ( k e. NN |-> ( 2 x. k ) )
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) = ( k e. NN |-> ( 2 x. k ) ) )
72 simpr 459 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ k = ( n + 1 ) ) -> k = ( n + 1 ) )
7372oveq2d 6286 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ k = ( n + 1 ) ) -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. ( n + 1 ) ) )
74 peano2nn 10543 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. NN )
7539, 74nnmulcld 10579 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 2 x. ( n + 1 ) ) e. NN )
7671, 73, 74, 75fvmptd 5936 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( 2 x. ( n + 1 ) ) )
77 2cnd 10604 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> 2 e. CC )
78 nncn 10539 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> n e. CC )
79 1cnd 9601 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> 1 e. CC )
8077, 78, 79adddid 9609 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( 2 x. ( n + 1 ) ) = ( ( 2 x. n ) + ( 2 x. 1 ) ) )
8177mulid1d 9602 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 2 x. 1 ) = 2 )
8281oveq2d 6286 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( 2 x. n ) + ( 2 x. 1 ) ) = ( ( 2 x. n ) + 2 ) )
8376, 80, 823eqtrd 2499 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( 2 x. n ) + 2 ) )
8465, 68, 833brtr4d 4469 . . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) <_ ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) )
8541nnzd 10964 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. ZZ )
8667, 85eqeltrd 2542 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) e. ZZ )
8786peano2zd 10968 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) e. ZZ )
8875nnzd 10964 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( 2 x. ( n + 1 ) ) e. ZZ )
8976, 88eqeltrd 2542 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ZZ )
90 eluz 11095 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) e. ZZ /\ ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) ) <-> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) <_ ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) ) )
9187, 89, 90syl2anc 659 . . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) ) <-> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) <_ ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) ) )
9284, 91mpbird 232 . . . . . 6 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) ) )
9392adantl 464 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) ) )
9421mptex 6118 . . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( A ` ( 2 x. n ) ) ) e. _V
9544, 94eqeltri 2538 . . . . . 6 |- D e. _V
9695a1i 11 . . . . 5 |- ( ph -> D e. _V )
9744fvmpt2 5939 . . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ ( A ` ( 2 x. n ) ) e. CC ) -> ( D ` n ) = ( A ` ( 2 x. n ) ) )
9825, 43, 97syl2anc 659 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) = ( A ` ( 2 x. n ) ) )
9967adantl 464 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) = ( 2 x. n ) )
10099eqcomd 2462 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 x. n ) = ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) )
101100fveq2d 5852 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` ( 2 x. n ) ) = ( A ` ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) ) )
10298, 101eqtrd 2495 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) = ( A ` ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) ) )
1031, 13, 36, 46, 11, 12, 48, 27, 18, 60, 93, 96, 102climsuse 31856 . . . 4 |- ( ph -> D ~~> C )
104 2nn0 10808 . . . . 5 |- 2 e. NN0
105104a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> 2 e. NN0 )
10621mptex 6118 . . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) e. _V
1075, 106eqeltri 2538 . . . . 5 |- M e. _V
108107a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> M e. _V )
109 stirlinglem8.9 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) e. RR+ )
110109rpcnd 11261 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) e. CC )
111110sqcld 12293 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( D ` n ) ^ 2 ) e. CC )
1125fvmpt2 5939 . . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ ( ( D ` n ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( M ` n ) = ( ( D ` n ) ^ 2 ) )
11325, 111, 112syl2anc 659 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) = ( ( D ` n ) ^ 2 ) )
1141, 36, 7, 11, 12, 45, 103, 105, 108, 113climexp 31853 . . 3 |- ( ph -> M ~~> ( C ^ 2 ) )
115 stirlinglem8.10 . . . . 5 |- ( ph -> C e. RR+ )
116115rpcnd 11261 . . . 4 |- ( ph -> C e. CC )
117115rpne0d 11264 . . . 4 |- ( ph -> C =/= 0 )
118 2z 10892 . . . . 5 |- 2 e. ZZ
119118a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
120116, 117, 119expne0d 12301 . . 3 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) =/= 0 )
1211, 29, 2fmptdf 6032 . . . 4 |- ( ph -> L : NN --> CC )
122121ffvelrnda 6007 . . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( L ` n ) e. CC )
123113, 111eqeltrd 2542 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) e. CC )
12498oveq1d 6285 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( D ` n ) ^ 2 ) = ( ( A ` ( 2 x. n ) ) ^ 2 ) )
125113, 124eqtrd 2495 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) = ( ( A ` ( 2 x. n ) ) ^ 2 ) )
12698, 109eqeltrrd 2543 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` ( 2 x. n ) ) e. RR+ )
127118a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 2 e. ZZ )
128126, 127rpexpcld 12318 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A ` ( 2 x. n ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
129125, 128eqeltrd 2542 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) e. RR+ )
130129rpne0d 11264 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) =/= 0 )
131130neneqd 2656 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -. ( M ` n ) = 0 )
132 0cn 9577 . . . . . 6 |- 0 e. CC
133 elsnc2g 4046 . . . . . 6 |- ( 0 e. CC -> ( ( M ` n ) e. { 0 } <-> ( M ` n ) = 0 ) )
134132, 133ax-mp 5 . . . . 5 |- ( ( M ` n ) e. { 0 } <-> ( M ` n ) = 0 )
135131, 134sylnibr 303 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -. ( M ` n ) e. { 0 } )
136123, 135eldifd 3472 . . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) e. ( CC \ { 0 } ) )
13728nn0zd 10963 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 4 e. ZZ )
13826, 137rpexpcld 12318 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A ` n ) ^ 4 ) e. RR+ )
139109, 127rpexpcld 12318 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( D ` n ) ^ 2 ) e. RR+ )
140138, 139rpdivcld 11276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) e. RR+ )
1418fvmpt2 5939 . . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) e. RR+ ) -> ( F ` n ) = ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
14225, 140, 141syl2anc 659 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) = ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
1432fvmpt2 5939 . . . . . 6 |- ( ( n e. NN /\ ( ( A ` n ) ^ 4 ) e. RR+ ) -> ( L ` n ) = ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
14425, 138, 143syl2anc 659 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( L ` n ) = ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
145144, 113oveq12d 6288 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( L ` n ) / ( M ` n ) ) = ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
146142, 145eqtr4d 2498 . . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) = ( ( L ` n ) / ( M ` n ) ) )
1471, 4, 7, 10, 11, 12, 32, 35, 114, 120, 122, 136, 146climdivf 31860 . 2 |- ( ph -> F ~~> ( ( C ^ 4 ) / ( C ^ 2 ) ) )
148 2cn 10602 . . . . . 6 |- 2 e. CC
149 2p2e4 10649 . . . . . 6 |- ( 2 + 2 ) = 4
150148, 148, 149mvlladdi 9828 . . . . 5 |- 2 = ( 4 - 2 )
151150a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> 2 = ( 4 - 2 ) )
152151oveq2d 6286 . . 3 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) = ( C ^ ( 4 - 2 ) ) )
15320nn0zd 10963 . . . 4 |- ( ph -> 4 e. ZZ )
154116, 117, 119, 153expsubd 12306 . . 3 |- ( ph -> ( C ^ ( 4 - 2 ) ) = ( ( C ^ 4 ) / ( C ^ 2 ) ) )
155152, 154eqtrd 2495 . 2 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) = ( ( C ^ 4 ) / ( C ^ 2 ) ) )
156147, 155breqtrrd 4465 1 |- ( ph -> F ~~> ( C ^ 2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   F/wnf 1621   e. wcel 1823   F/_wnfc 2602   _Vcvv 3106   C_ wss 3461   {csn 4016   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482   + caddc 9484   x. cmul 9486   <_ cle 9618   - cmin 9796   / cdiv 10202   NNcn 10531   2c2 10581   4c4 10583   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11221   ^cexp 12151   ~~> cli 13392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-clim 13396  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551
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