Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem8 Structured version   Unicode version

Theorem stirlinglem8 30023
 Description: If converges to , then converges to C^2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem8.1
stirlinglem8.2
stirlinglem8.3
stirlinglem8.4
stirlinglem8.5
stirlinglem8.6
stirlinglem8.7
stirlinglem8.8
stirlinglem8.9
stirlinglem8.10
stirlinglem8.11
Assertion
Ref Expression
stirlinglem8

Proof of Theorem stirlinglem8
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem8.1 . . 3
2 stirlinglem8.7 . . . 4
3 nfmpt1 4488 . . . 4
42, 3nfcxfr 2614 . . 3
5 stirlinglem8.8 . . . 4
6 nfmpt1 4488 . . . 4
75, 6nfcxfr 2614 . . 3
8 stirlinglem8.6 . . . 4
9 nfmpt1 4488 . . . 4
108, 9nfcxfr 2614 . . 3
11 nnuz 11006 . . 3
12 1z 10786 . . . 4
1312a1i 11 . . 3
14 stirlinglem8.2 . . . 4
15 stirlinglem8.5 . . . . 5
16 rrpsscn 29916 . . . . 5
17 fss 5674 . . . . 5
1815, 16, 17sylancl 662 . . . 4
19 stirlinglem8.11 . . . 4
20 4nn0 10708 . . . . 5
2120a1i 11 . . . 4
22 nnex 10438 . . . . . . 7
2322mptex 6056 . . . . . 6
242, 23eqeltri 2538 . . . . 5
2524a1i 11 . . . 4
26 simpr 461 . . . . 5
2715ffvelrnda 5951 . . . . . . 7
2827rpcnd 11139 . . . . . 6
2920a1i 11 . . . . . 6
3028, 29expcld 12124 . . . . 5
312fvmpt2 5889 . . . . 5
3226, 30, 31syl2anc 661 . . . 4
331, 14, 4, 11, 13, 18, 19, 21, 25, 32climexp 29925 . . 3
3422mptex 6056 . . . . 5
358, 34eqeltri 2538 . . . 4
3635a1i 11 . . 3
37 stirlinglem8.3 . . . 4
3818adantr 465 . . . . . 6
39 2nn 10589 . . . . . . . . 9
4039a1i 11 . . . . . . . 8
41 id 22 . . . . . . . 8
4240, 41nnmulcld 10479 . . . . . . 7
4342adantl 466 . . . . . 6
4438, 43ffvelrnd 5952 . . . . 5
45 stirlinglem8.4 . . . . 5
461, 44, 45fmptdf 5976 . . . 4
47 nfmpt1 4488 . . . . 5
48 fex 6058 . . . . . 6
4918, 22, 48sylancl 662 . . . . 5
50 1nn 10443 . . . . . . 7
51 2cnd 10504 . . . . . . . 8
52 ax-1cn 9450 . . . . . . . . 9
5352a1i 11 . . . . . . . 8
5451, 53mulcld 9516 . . . . . . 7
55 oveq2 6207 . . . . . . . 8
56 eqid 2454 . . . . . . . 8
5755, 56fvmptg 5880 . . . . . . 7
5850, 54, 57sylancr 663 . . . . . 6
5939a1i 11 . . . . . . 7
6050a1i 11 . . . . . . 7
6159, 60nnmulcld 10479 . . . . . 6
6258, 61eqeltrd 2542 . . . . 5
63 1re 9495 . . . . . . . . . 10
6463a1i 11 . . . . . . . . 9
6540nnred 10447 . . . . . . . . 9
6642nnred 10447 . . . . . . . . 9
6740nnge1d 10474 . . . . . . . . 9
6864, 65, 66, 67leadd2dd 10064 . . . . . . . 8
6956fvmpt2 5889 . . . . . . . . . 10
7042, 69mpdan 668 . . . . . . . . 9
7170oveq1d 6214 . . . . . . . 8
72 oveq2 6207 . . . . . . . . . . . 12
7372cbvmptv 4490 . . . . . . . . . . 11
7473a1i 11 . . . . . . . . . 10
75 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
7675oveq2d 6215 . . . . . . . . . 10
77 peano2nn 10444 . . . . . . . . . 10
7840, 77nnmulcld 10479 . . . . . . . . . 10
7974, 76, 77, 78fvmptd 5887 . . . . . . . . 9
80 2cnd 10504 . . . . . . . . . 10
81 nncn 10440 . . . . . . . . . 10
8252a1i 11 . . . . . . . . . 10
8380, 81, 82adddid 9520 . . . . . . . . 9
8480mulid1d 9513 . . . . . . . . . 10
8584oveq2d 6215 . . . . . . . . 9
8679, 83, 853eqtrd 2499 . . . . . . . 8
8768, 71, 863brtr4d 4429 . . . . . . 7
8842nnzd 10856 . . . . . . . . . 10
8970, 88eqeltrd 2542 . . . . . . . . 9
9089peano2zd 10860 . . . . . . . 8
9178nnzd 10856 . . . . . . . . 9
9279, 91eqeltrd 2542 . . . . . . . 8
93 eluz 10984 . . . . . . . 8
9490, 92, 93syl2anc 661 . . . . . . 7
9587, 94mpbird 232 . . . . . 6
9695adantl 466 . . . . 5
9722mptex 6056 . . . . . . 7
9845, 97eqeltri 2538 . . . . . 6
9998a1i 11 . . . . 5
10045fvmpt2 5889 . . . . . . 7
10126, 44, 100syl2anc 661 . . . . . 6
10270adantl 466 . . . . . . . 8
103102eqcomd 2462 . . . . . . 7
104103fveq2d 5802 . . . . . 6
105101, 104eqtrd 2495 . . . . 5
1061, 14, 37, 47, 11, 13, 49, 28, 19, 62, 96, 99, 105climsuse 29928 . . . 4
107 2nn0 10706 . . . . 5
108107a1i 11 . . . 4
10922mptex 6056 . . . . . 6
1105, 109eqeltri 2538 . . . . 5
111110a1i 11 . . . 4
112 stirlinglem8.9 . . . . . . 7
113112rpcnd 11139 . . . . . 6
114113sqcld 12122 . . . . 5
1155fvmpt2 5889 . . . . 5
11626, 114, 115syl2anc 661 . . . 4
1171, 37, 7, 11, 13, 46, 106, 108, 111, 116climexp 29925 . . 3
118 stirlinglem8.10 . . . . 5
119118rpcnd 11139 . . . 4
120118rpne0d 11142 . . . 4
121 2z 10788 . . . . 5
122121a1i 11 . . . 4
123119, 120, 122expne0d 12130 . . 3
1241, 30, 2fmptdf 5976 . . . 4
125124ffvelrnda 5951 . . 3
126116, 114eqeltrd 2542 . . . 4
127101oveq1d 6214 . . . . . . . . 9
128116, 127eqtrd 2495 . . . . . . . 8
129101, 112eqeltrrd 2543 . . . . . . . . 9
130121a1i 11 . . . . . . . . 9
131129, 130rpexpcld 12147 . . . . . . . 8
132128, 131eqeltrd 2542 . . . . . . 7
133132rpne0d 11142 . . . . . 6
134133neneqd 2654 . . . . 5
135 0cn 9488 . . . . . 6
136 elsnc2g 4014 . . . . . 6
137135, 136ax-mp 5 . . . . 5
138134, 137sylnibr 305 . . . 4
139126, 138eldifd 3446 . . 3
14029nn0zd 10855 . . . . . . 7
14127, 140rpexpcld 12147 . . . . . 6
142112, 130rpexpcld 12147 . . . . . 6
143141, 142rpdivcld 11154 . . . . 5
1448fvmpt2 5889 . . . . 5
14526, 143, 144syl2anc 661 . . . 4
1462fvmpt2 5889 . . . . . 6
14726, 141, 146syl2anc 661 . . . . 5
148147, 116oveq12d 6217 . . . 4
149145, 148eqtr4d 2498 . . 3
1501, 4, 7, 10, 11, 13, 33, 36, 117, 123, 125, 139, 149climdivf 29932 . 2
151 4cn 10509 . . . . . . 7
152 2cn 10502 . . . . . . 7
153 2p2e4 10549 . . . . . . 7
154151, 152, 152, 153subaddrii 9807 . . . . . 6
155154eqcomi 2467 . . . . 5
156155a1i 11 . . . 4
157156oveq2d 6215 . . 3
15821nn0zd 10855 . . . 4
159119, 120, 122, 158expsubd 12135 . . 3
160157, 159eqtrd 2495 . 2
161150, 160breqtrrd 4425 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1370  wnf 1590   wcel 1758  wnfc 2602  cvv 3076   wss 3435  csn 3984   class class class wbr 4399   cmpt 4457  wf 5521  cfv 5525  (class class class)co 6199  cc 9390  cr 9391  cc0 9392  c1 9393   caddc 9395   cmul 9397   cle 9529   cmin 9705   cdiv 10103  cn 10432  c2 10481  c4 10483  cn0 10689  cz 10756  cuz 10971  crp 11101  cexp 11981   cli 13079 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-mulf 9472 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-seq 11923  df-exp 11982  df-hash 12220  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-clim 13083  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-hom 14380  df-cco 14381  df-rest 14479  df-topn 14480  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-topgen 14500  df-pt 14501  df-prds 14504  df-xrs 14558  df-qtop 14563  df-imas 14564  df-xps 14566  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-mulg 15666  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-cnfld 17943  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-cn 18962  df-cnp 18963  df-tx 19266  df-hmeo 19459  df-xms 20026  df-ms 20027  df-tms 20028  df-cncf 20585 This theorem is referenced by:  stirlinglem15  30030
 Copyright terms: Public domain W3C validator