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Theorem stirlinglem8 31381
Description: If A converges to C, then F converges to C^2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem8.1 |- F/ n ph
stirlinglem8.2 |- F/_ n A
stirlinglem8.3 |- F/_ n D
stirlinglem8.4 |- D = ( n e. NN |-> ( A ` ( 2 x. n ) ) )
stirlinglem8.5 |- ( ph -> A : NN --> RR+ )
stirlinglem8.6 |- F = ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
stirlinglem8.7 |- L = ( n e. NN |-> ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
stirlinglem8.8 |- M = ( n e. NN |-> ( ( D ` n ) ^ 2 ) )
stirlinglem8.9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) e. RR+ )
stirlinglem8.10 |- ( ph -> C e. RR+ )
stirlinglem8.11 |- ( ph -> A ~~> C )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem8 |- ( ph -> F ~~> ( C ^ 2 ) )
Proof of Theorem stirlinglem8
Dummy variable k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem8.1 . . 3 |- F/ n ph
2 stirlinglem8.7 . . . 4 |- L = ( n e. NN |-> ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
3 nfmpt1 4536 . . . 4 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
42, 3nfcxfr 2627 . . 3 |- F/_ n L
5 stirlinglem8.8 . . . 4 |- M = ( n e. NN |-> ( ( D ` n ) ^ 2 ) )
6 nfmpt1 4536 . . . 4 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( D ` n ) ^ 2 ) )
75, 6nfcxfr 2627 . . 3 |- F/_ n M
8 stirlinglem8.6 . . . 4 |- F = ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
9 nfmpt1 4536 . . . 4 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
108, 9nfcxfr 2627 . . 3 |- F/_ n F
11 nnuz 11113 . . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
12 1z 10890 . . . 4 |- 1 e. ZZ
1312a1i 11 . . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
14 stirlinglem8.2 . . . 4 |- F/_ n A
15 stirlinglem8.5 . . . . 5 |- ( ph -> A : NN --> RR+ )
16 rrpsscn 31138 . . . . 5 |- RR+ C_ CC
17 fss 5737 . . . . 5 |- ( ( A : NN --> RR+ /\ RR+ C_ CC ) -> A : NN --> CC )
1815, 16, 17sylancl 662 . . . 4 |- ( ph -> A : NN --> CC )
19 stirlinglem8.11 . . . 4 |- ( ph -> A ~~> C )
20 4nn0 10810 . . . . 5 |- 4 e. NN0
2120a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> 4 e. NN0 )
22 nnex 10538 . . . . . . 7 |- NN e. _V
2322mptex 6129 . . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( ( A ` n ) ^ 4 ) ) e. _V
242, 23eqeltri 2551 . . . . 5 |- L e. _V
2524a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> L e. _V )
26 simpr 461 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
2715ffvelrnda 6019 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) e. RR+ )
2827rpcnd 11254 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) e. CC )
2920a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 4 e. NN0 )
3028, 29expcld 12274 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A ` n ) ^ 4 ) e. CC )
312fvmpt2 5955 . . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ ( ( A ` n ) ^ 4 ) e. CC ) -> ( L ` n ) = ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
3226, 30, 31syl2anc 661 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( L ` n ) = ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
331, 14, 4, 11, 13, 18, 19, 21, 25, 32climexp 31147 . . 3 |- ( ph -> L ~~> ( C ^ 4 ) )
3422mptex 6129 . . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) ) e. _V
358, 34eqeltri 2551 . . . 4 |- F e. _V
3635a1i 11 . . 3 |- ( ph -> F e. _V )
37 stirlinglem8.3 . . . 4 |- F/_ n D
3818adantr 465 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A : NN --> CC )
39 2nn 10689 . . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
4039a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> 2 e. NN )
41 id 22 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> n e. NN )
4240, 41nnmulcld 10579 . . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. NN )
4342adantl 466 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 x. n ) e. NN )
4438, 43ffvelrnd 6020 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` ( 2 x. n ) ) e. CC )
45 stirlinglem8.4 . . . . 5 |- D = ( n e. NN |-> ( A ` ( 2 x. n ) ) )
461, 44, 45fmptdf 6044 . . . 4 |- ( ph -> D : NN --> CC )
47 nfmpt1 4536 . . . . 5 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) )
48 fex 6131 . . . . . 6 |- ( ( A : NN --> CC /\ NN e. _V ) -> A e. _V )
4918, 22, 48sylancl 662 . . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
50 1nn 10543 . . . . . . 7 |- 1 e. NN
51 2cnd 10604 . . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. CC )
52 ax-1cn 9546 . . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
5352a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. CC )
5451, 53mulcld 9612 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. 1 ) e. CC )
55 oveq2 6290 . . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. 1 ) )
56 eqid 2467 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) = ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) )
5755, 56fvmptg 5946 . . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ ( 2 x. 1 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` 1 ) = ( 2 x. 1 ) )
5850, 54, 57sylancr 663 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` 1 ) = ( 2 x. 1 ) )
5939a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. NN )
6050a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. NN )
6159, 60nnmulcld 10579 . . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. 1 ) e. NN )
6258, 61eqeltrd 2555 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` 1 ) e. NN )
63 1re 9591 . . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
6463a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> 1 e. RR )
6540nnred 10547 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> 2 e. RR )
6642nnred 10547 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. RR )
6740nnge1d 10574 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> 1 <_ 2 )
6864, 65, 66, 67leadd2dd 10163 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) <_ ( ( 2 x. n ) + 2 ) )
6956fvmpt2 5955 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ ( 2 x. n ) e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) = ( 2 x. n ) )
7042, 69mpdan 668 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) = ( 2 x. n ) )
7170oveq1d 6297 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) = ( ( 2 x. n ) + 1 ) )
72 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. k ) )
7372cbvmptv 4538 . . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) = ( k e. NN |-> ( 2 x. k ) )
7473a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) = ( k e. NN |-> ( 2 x. k ) ) )
75 simpr 461 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ k = ( n + 1 ) ) -> k = ( n + 1 ) )
7675oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ k = ( n + 1 ) ) -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. ( n + 1 ) ) )
77 peano2nn 10544 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. NN )
7840, 77nnmulcld 10579 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 2 x. ( n + 1 ) ) e. NN )
7974, 76, 77, 78fvmptd 5953 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( 2 x. ( n + 1 ) ) )
80 2cnd 10604 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> 2 e. CC )
81 nncn 10540 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> n e. CC )
8252a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> 1 e. CC )
8380, 81, 82adddid 9616 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( 2 x. ( n + 1 ) ) = ( ( 2 x. n ) + ( 2 x. 1 ) ) )
8480mulid1d 9609 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 2 x. 1 ) = 2 )
8584oveq2d 6298 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( 2 x. n ) + ( 2 x. 1 ) ) = ( ( 2 x. n ) + 2 ) )
8679, 83, 853eqtrd 2512 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( 2 x. n ) + 2 ) )
8768, 71, 863brtr4d 4477 . . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) <_ ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) )
8842nnzd 10961 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. ZZ )
8970, 88eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) e. ZZ )
9089peano2zd 10965 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) e. ZZ )
9178nnzd 10961 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( 2 x. ( n + 1 ) ) e. ZZ )
9279, 91eqeltrd 2555 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ZZ )
93 eluz 11091 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) e. ZZ /\ ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) ) <-> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) <_ ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) ) )
9490, 92, 93syl2anc 661 . . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) ) <-> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) <_ ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) ) )
9587, 94mpbird 232 . . . . . 6 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) ) )
9695adantl 466 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) ) )
9722mptex 6129 . . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( A ` ( 2 x. n ) ) ) e. _V
9845, 97eqeltri 2551 . . . . . 6 |- D e. _V
9998a1i 11 . . . . 5 |- ( ph -> D e. _V )
10045fvmpt2 5955 . . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ ( A ` ( 2 x. n ) ) e. CC ) -> ( D ` n ) = ( A ` ( 2 x. n ) ) )
10126, 44, 100syl2anc 661 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) = ( A ` ( 2 x. n ) ) )
10270adantl 466 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) = ( 2 x. n ) )
103102eqcomd 2475 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 x. n ) = ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) )
104103fveq2d 5868 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` ( 2 x. n ) ) = ( A ` ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) ) )
105101, 104eqtrd 2508 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) = ( A ` ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) ) )
1061, 14, 37, 47, 11, 13, 49, 28, 19, 62, 96, 99, 105climsuse 31150 . . . 4 |- ( ph -> D ~~> C )
107 2nn0 10808 . . . . 5 |- 2 e. NN0
108107a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> 2 e. NN0 )
10922mptex 6129 . . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) e. _V
1105, 109eqeltri 2551 . . . . 5 |- M e. _V
111110a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> M e. _V )
112 stirlinglem8.9 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) e. RR+ )
113112rpcnd 11254 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) e. CC )
114113sqcld 12272 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( D ` n ) ^ 2 ) e. CC )
1155fvmpt2 5955 . . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ ( ( D ` n ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( M ` n ) = ( ( D ` n ) ^ 2 ) )
11626, 114, 115syl2anc 661 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) = ( ( D ` n ) ^ 2 ) )
1171, 37, 7, 11, 13, 46, 106, 108, 111, 116climexp 31147 . . 3 |- ( ph -> M ~~> ( C ^ 2 ) )
118 stirlinglem8.10 . . . . 5 |- ( ph -> C e. RR+ )
119118rpcnd 11254 . . . 4 |- ( ph -> C e. CC )
120118rpne0d 11257 . . . 4 |- ( ph -> C =/= 0 )
121 2z 10892 . . . . 5 |- 2 e. ZZ
122121a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
123119, 120, 122expne0d 12280 . . 3 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) =/= 0 )
1241, 30, 2fmptdf 6044 . . . 4 |- ( ph -> L : NN --> CC )
125124ffvelrnda 6019 . . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( L ` n ) e. CC )
126116, 114eqeltrd 2555 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) e. CC )
127101oveq1d 6297 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( D ` n ) ^ 2 ) = ( ( A ` ( 2 x. n ) ) ^ 2 ) )
128116, 127eqtrd 2508 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) = ( ( A ` ( 2 x. n ) ) ^ 2 ) )
129101, 112eqeltrrd 2556 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` ( 2 x. n ) ) e. RR+ )
130121a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 2 e. ZZ )
131129, 130rpexpcld 12297 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A ` ( 2 x. n ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
132128, 131eqeltrd 2555 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) e. RR+ )
133132rpne0d 11257 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) =/= 0 )
134133neneqd 2669 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -. ( M ` n ) = 0 )
135 0cn 9584 . . . . . 6 |- 0 e. CC
136 elsnc2g 4057 . . . . . 6 |- ( 0 e. CC -> ( ( M ` n ) e. { 0 } <-> ( M ` n ) = 0 ) )
137135, 136ax-mp 5 . . . . 5 |- ( ( M ` n ) e. { 0 } <-> ( M ` n ) = 0 )
138134, 137sylnibr 305 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -. ( M ` n ) e. { 0 } )
139126, 138eldifd 3487 . . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) e. ( CC \ { 0 } ) )
14029nn0zd 10960 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 4 e. ZZ )
14127, 140rpexpcld 12297 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A ` n ) ^ 4 ) e. RR+ )
142112, 130rpexpcld 12297 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( D ` n ) ^ 2 ) e. RR+ )
143141, 142rpdivcld 11269 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) e. RR+ )
1448fvmpt2 5955 . . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) e. RR+ ) -> ( F ` n ) = ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
14526, 143, 144syl2anc 661 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) = ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
1462fvmpt2 5955 . . . . . 6 |- ( ( n e. NN /\ ( ( A ` n ) ^ 4 ) e. RR+ ) -> ( L ` n ) = ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
14726, 141, 146syl2anc 661 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( L ` n ) = ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
148147, 116oveq12d 6300 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( L ` n ) / ( M ` n ) ) = ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
149145, 148eqtr4d 2511 . . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) = ( ( L ` n ) / ( M ` n ) ) )
1501, 4, 7, 10, 11, 13, 33, 36, 117, 123, 125, 139, 149climdivf 31154 . 2 |- ( ph -> F ~~> ( ( C ^ 4 ) / ( C ^ 2 ) ) )
151 4cn 10609 . . . . . . 7 |- 4 e. CC
152 2cn 10602 . . . . . . 7 |- 2 e. CC
153 2p2e4 10649 . . . . . . 7 |- ( 2 + 2 ) = 4
154151, 152, 152, 153subaddrii 9904 . . . . . 6 |- ( 4 - 2 ) = 2
155154eqcomi 2480 . . . . 5 |- 2 = ( 4 - 2 )
156155a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> 2 = ( 4 - 2 ) )
157156oveq2d 6298 . . 3 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) = ( C ^ ( 4 - 2 ) ) )
15821nn0zd 10960 . . . 4 |- ( ph -> 4 e. ZZ )
159119, 120, 122, 158expsubd 12285 . . 3 |- ( ph -> ( C ^ ( 4 - 2 ) ) = ( ( C ^ 4 ) / ( C ^ 2 ) ) )
160157, 159eqtrd 2508 . 2 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) = ( ( C ^ 4 ) / ( C ^ 2 ) ) )
161150, 160breqtrrd 4473 1 |- ( ph -> F ~~> ( C ^ 2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   F/wnf 1599   e. wcel 1767   F/_wnfc 2615   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   {csn 4027   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   x. cmul 9493   <_ cle 9625   - cmin 9801   / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   4c4 10583   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   RR+crp 11216   ^cexp 12130   ~~> cli 13266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117
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