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Theorem stirlinglem8 30023
Description: If  A converges to  C, then 
F converges to C^2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem8.1  |-  F/ n ph
stirlinglem8.2  |-  F/_ n A
stirlinglem8.3  |-  F/_ n D
stirlinglem8.4  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
stirlinglem8.5  |-  ( ph  ->  A : NN --> RR+ )
stirlinglem8.6  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
stirlinglem8.7  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
stirlinglem8.8  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
stirlinglem8.9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  RR+ )
stirlinglem8.10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
stirlinglem8.11  |-  ( ph  ->  A  ~~>  C )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem8  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( C ^
2 ) )

Proof of Theorem stirlinglem8
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem8.1 . . 3  |-  F/ n ph
2 stirlinglem8.7 . . . 4  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
3 nfmpt1 4488 . . . 4  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
42, 3nfcxfr 2614 . . 3  |-  F/_ n L
5 stirlinglem8.8 . . . 4  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
6 nfmpt1 4488 . . . 4  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
75, 6nfcxfr 2614 . . 3  |-  F/_ n M
8 stirlinglem8.6 . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
9 nfmpt1 4488 . . . 4  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
108, 9nfcxfr 2614 . . 3  |-  F/_ n F
11 nnuz 11006 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
12 1z 10786 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
1312a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
14 stirlinglem8.2 . . . 4  |-  F/_ n A
15 stirlinglem8.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : NN --> RR+ )
16 rrpsscn 29916 . . . . 5  |-  RR+  C_  CC
17 fss 5674 . . . . 5  |-  ( ( A : NN --> RR+  /\  RR+  C_  CC )  ->  A : NN --> CC )
1815, 16, 17sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : NN --> CC )
19 stirlinglem8.11 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  ~~>  C )
20 4nn0 10708 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  4  e.  NN0 )
22 nnex 10438 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
2322mptex 6056 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )  e.  _V
242, 23eqeltri 2538 . . . . 5  |-  L  e. 
_V
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  _V )
26 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
2715ffvelrnda 5951 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  e.  RR+ )
2827rpcnd 11139 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  e.  CC )
2920a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  4  e. 
NN0 )
3028, 29expcld 12124 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  CC )
312fvmpt2 5889 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  CC )  ->  ( L `  n )  =  ( ( A `  n
) ^ 4 ) )
3226, 30, 31syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( L `
 n )  =  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
331, 14, 4, 11, 13, 18, 19, 21, 25, 32climexp 29925 . . 3  |-  ( ph  ->  L  ~~>  ( C ^
4 ) )
3422mptex 6056 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) ) )  e.  _V
358, 34eqeltri 2538 . . . 4  |-  F  e. 
_V
3635a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
37 stirlinglem8.3 . . . 4  |-  F/_ n D
3818adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A : NN
--> CC )
39 2nn 10589 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
4039a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  NN )
41 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN )
4240, 41nnmulcld 10479 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
4342adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n )  e.  NN )
4438, 43ffvelrnd 5952 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
45 stirlinglem8.4 . . . . 5  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
461, 44, 45fmptdf 5976 . . . 4  |-  ( ph  ->  D : NN --> CC )
47 nfmpt1 4488 . . . . 5  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) )
48 fex 6058 . . . . . 6  |-  ( ( A : NN --> CC  /\  NN  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
4918, 22, 48sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
50 1nn 10443 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
51 2cnd 10504 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
52 ax-1cn 9450 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
5352a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
5451, 53mulcld 9516 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  e.  CC )
55 oveq2 6207 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  1 ) )
56 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )
5755, 56fvmptg 5880 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( 2  x.  1 )  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 1 )  =  ( 2  x.  1 ) )
5850, 54, 57sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) ` 
1 )  =  ( 2  x.  1 ) )
5939a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
6050a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
6159, 60nnmulcld 10479 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  e.  NN )
6258, 61eqeltrd 2542 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) ` 
1 )  e.  NN )
63 1re 9495 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
6463a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
6540nnred 10447 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
6642nnred 10447 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
6740nnge1d 10474 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <_  2 )
6864, 65, 66, 67leadd2dd 10064 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  <_  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
6956fvmpt2 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( 2  x.  n
)  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  =  ( 2  x.  n
) )
7042, 69mpdan 668 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
)  =  ( 2  x.  n ) )
7170oveq1d 6214 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
72 oveq2 6207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
7372cbvmptv 4490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( 2  x.  k ) )
7473a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( 2  x.  k ) ) )
75 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  =  ( n  +  1 ) )  ->  k  =  ( n  +  1 ) )
7675oveq2d 6215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  =  ( n  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) )
77 peano2nn 10444 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
7840, 77nnmulcld 10479 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
7974, 76, 77, 78fvmptd 5887 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) )
80 2cnd 10504 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
81 nncn 10440 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
8252a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
8380, 81, 82adddid 9520 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
8480mulid1d 9513 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  =  2 )
8584oveq2d 6215 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
8679, 83, 853eqtrd 2499 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
8768, 71, 863brtr4d 4429 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 )  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1 ) ) )
8842nnzd 10856 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  ZZ )
8970, 88eqeltrd 2542 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
)  e.  ZZ )
9089peano2zd 10860 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 )  e.  ZZ )
9178nnzd 10856 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  ZZ )
9279, 91eqeltrd 2542 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ZZ )
93 eluz 10984 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 ) )  <->  ( (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
)  +  1 )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
9490, 92, 93syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 ) )  <-> 
( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  +  1 )  <_  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
9587, 94mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  +  1 ) ) )
9695adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 ) ) )
9722mptex 6056 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( A `
 ( 2  x.  n ) ) )  e.  _V
9845, 97eqeltri 2538 . . . . . 6  |-  D  e. 
_V
9998a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
10045fvmpt2 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )  -> 
( D `  n
)  =  ( A `
 ( 2  x.  n ) ) )
10126, 44, 100syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  =  ( A `  (
2  x.  n ) ) )
10270adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  =  ( 2  x.  n ) )
103102eqcomd 2462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n ) )
104103fveq2d 5802 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 ( 2  x.  n ) )  =  ( A `  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
) ) )
105101, 104eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  =  ( A `  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
) ) )
1061, 14, 37, 47, 11, 13, 49, 28, 19, 62, 96, 99, 105climsuse 29928 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  ~~>  C )
107 2nn0 10706 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
108107a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
10922mptex 6056 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  e.  _V
1105, 109eqeltri 2538 . . . . 5  |-  M  e. 
_V
111110a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  _V )
112 stirlinglem8.9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  RR+ )
113112rpcnd 11139 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  CC )
114113sqcld 12122 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( D `  n ) ^ 2 )  e.  CC )
1155fvmpt2 5889 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( D `  n ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( M `  n )  =  ( ( D `  n
) ^ 2 ) )
11626, 114, 115syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  =  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
1171, 37, 7, 11, 13, 46, 106, 108, 111, 116climexp 29925 . . 3  |-  ( ph  ->  M  ~~>  ( C ^
2 ) )
118 stirlinglem8.10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
119118rpcnd 11139 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
120118rpne0d 11142 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
121 2z 10788 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
122121a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
123119, 120, 122expne0d 12130 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =/=  0 )
1241, 30, 2fmptdf 5976 . . . 4  |-  ( ph  ->  L : NN --> CC )
125124ffvelrnda 5951 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( L `
 n )  e.  CC )
126116, 114eqeltrd 2542 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  e.  CC )
127101oveq1d 6214 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( D `  n ) ^ 2 )  =  ( ( A `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )
128116, 127eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  =  ( ( A `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )
129101, 112eqeltrrd 2543 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
130121a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  ZZ )
131129, 130rpexpcld 12147 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
132128, 131eqeltrd 2542 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  e.  RR+ )
133132rpne0d 11142 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  =/=  0 )
134133neneqd 2654 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( M `  n )  =  0 )
135 0cn 9488 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
136 elsnc2g 4014 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
( M `  n
)  e.  { 0 }  <->  ( M `  n )  =  0 ) )
137135, 136ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( M `  n )  e.  { 0 }  <-> 
( M `  n
)  =  0 )
138134, 137sylnibr 305 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( M `  n )  e.  { 0 } )
139126, 138eldifd 3446 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
14029nn0zd 10855 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  4  e.  ZZ )
14127, 140rpexpcld 12147 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  RR+ )
142112, 130rpexpcld 12147 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( D `  n ) ^ 2 )  e.  RR+ )
143141, 142rpdivcld 11154 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  e.  RR+ )
1448fvmpt2 5889 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  e.  RR+ )  ->  ( F `  n
)  =  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) ) )
14526, 143, 144syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
1462fvmpt2 5889 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  RR+ )  ->  ( L `  n
)  =  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
14726, 141, 146syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( L `
 n )  =  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
148147, 116oveq12d 6217 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( L `  n )  /  ( M `  n ) )  =  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
149145, 148eqtr4d 2498 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( ( L `  n )  /  ( M `  n )
) )
1501, 4, 7, 10, 11, 13, 33, 36, 117, 123, 125, 139, 149climdivf 29932 . 2  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( ( C ^ 4 )  / 
( C ^ 2 ) ) )
151 4cn 10509 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
152 2cn 10502 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
153 2p2e4 10549 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  2 )  =  4
154151, 152, 152, 153subaddrii 9807 . . . . . 6  |-  ( 4  -  2 )  =  2
155154eqcomi 2467 . . . . 5  |-  2  =  ( 4  -  2 )
156155a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  =  ( 4  -  2 ) )
157156oveq2d 6215 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( C ^ ( 4  -  2 ) ) )
15821nn0zd 10855 . . . 4  |-  ( ph  ->  4  e.  ZZ )
159119, 120, 122, 158expsubd 12135 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C ^ (
4  -  2 ) )  =  ( ( C ^ 4 )  /  ( C ^
2 ) ) )
160157, 159eqtrd 2495 . 2  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( ( C ^ 4 )  /  ( C ^
2 ) ) )
161150, 160breqtrrd 4425 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( C ^
2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   F/wnf 1590    e. wcel 1758   F/_wnfc 2602   _Vcvv 3076    C_ wss 3435   {csn 3984   class class class wbr 4399    |-> cmpt 4457   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   RRcr 9391   0cc0 9392   1c1 9393    + caddc 9395    x. cmul 9397    <_ cle 9529    - cmin 9705    / cdiv 10103   NNcn 10432   2c2 10481   4c4 10483   NN0cn0 10689   ZZcz 10756   ZZ>=cuz 10971   RR+crp 11101   ^cexp 11981    ~~> cli 13079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-mulf 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-seq 11923  df-exp 11982  df-hash 12220  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-clim 13083  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-hom 14380  df-cco 14381  df-rest 14479  df-topn 14480  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-topgen 14500  df-pt 14501  df-prds 14504  df-xrs 14558  df-qtop 14563  df-imas 14564  df-xps 14566  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-mulg 15666  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-cnfld 17943  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-cn 18962  df-cnp 18963  df-tx 19266  df-hmeo 19459  df-xms 20026  df-ms 20027  df-tms 20028  df-cncf 20585
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  30030
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