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Theorem stirlinglem8 27697
Description: If  A converges to  C, then 
F converges to C^2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem8.1  |-  F/ n ph
stirlinglem8.2  |-  F/_ n A
stirlinglem8.3  |-  F/_ n D
stirlinglem8.4  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
stirlinglem8.5  |-  ( ph  ->  A : NN --> RR+ )
stirlinglem8.6  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
stirlinglem8.7  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
stirlinglem8.8  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
stirlinglem8.9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  RR+ )
stirlinglem8.10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
stirlinglem8.11  |-  ( ph  ->  A  ~~>  C )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem8  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( C ^
2 ) )

Proof of Theorem stirlinglem8
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem8.1 . . 3  |-  F/ n ph
2 stirlinglem8.7 . . . 4  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
3 nfmpt1 4258 . . . 4  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
42, 3nfcxfr 2537 . . 3  |-  F/_ n L
5 stirlinglem8.8 . . . 4  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
6 nfmpt1 4258 . . . 4  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
75, 6nfcxfr 2537 . . 3  |-  F/_ n M
8 stirlinglem8.6 . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
9 nfmpt1 4258 . . . 4  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
108, 9nfcxfr 2537 . . 3  |-  F/_ n F
11 nnuz 10477 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
12 1z 10267 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
1312a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
14 stirlinglem8.2 . . . 4  |-  F/_ n A
15 stirlinglem8.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : NN --> RR+ )
16 rrpsscn 27586 . . . . 5  |-  RR+  C_  CC
17 fss 5558 . . . . 5  |-  ( ( A : NN --> RR+  /\  RR+  C_  CC )  ->  A : NN --> CC )
1815, 16, 17sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : NN --> CC )
19 stirlinglem8.11 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  ~~>  C )
20 4nn0 10196 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  4  e.  NN0 )
22 nnex 9962 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
2322mptex 5925 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )  e.  _V
242, 23eqeltri 2474 . . . . 5  |-  L  e. 
_V
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  _V )
26 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
2715ffvelrnda 5829 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  e.  RR+ )
2827rpcnd 10606 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  e.  CC )
2920a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  4  e. 
NN0 )
3028, 29expcld 11478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  CC )
312fvmpt2 5771 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  CC )  ->  ( L `  n )  =  ( ( A `  n
) ^ 4 ) )
3226, 30, 31syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( L `
 n )  =  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
331, 14, 4, 11, 13, 18, 19, 21, 25, 32climexp 27598 . . 3  |-  ( ph  ->  L  ~~>  ( C ^
4 ) )
3422mptex 5925 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) ) )  e.  _V
358, 34eqeltri 2474 . . . 4  |-  F  e. 
_V
3635a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
37 stirlinglem8.3 . . . 4  |-  F/_ n D
3818adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A : NN
--> CC )
39 2nn 10089 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
4039a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  NN )
41 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN )
4240, 41nnmulcld 10003 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
4342adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n )  e.  NN )
4438, 43ffvelrnd 5830 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
45 stirlinglem8.4 . . . . 5  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
461, 44, 45fmptdf 27585 . . . 4  |-  ( ph  ->  D : NN --> CC )
47 nfmpt1 4258 . . . . 5  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) )
48 fex 5928 . . . . . 6  |-  ( ( A : NN --> CC  /\  NN  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
4918, 22, 48sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
50 1nn 9967 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
51 2cn 10026 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
5251a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
53 ax-1cn 9004 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
5453a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
5552, 54mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  e.  CC )
56 oveq2 6048 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  1 ) )
57 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )
5856, 57fvmptg 5763 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( 2  x.  1 )  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 1 )  =  ( 2  x.  1 ) )
5950, 55, 58sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) ` 
1 )  =  ( 2  x.  1 ) )
6039a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
6150a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
6260, 61nnmulcld 10003 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  e.  NN )
6359, 62eqeltrd 2478 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) ` 
1 )  e.  NN )
64 1re 9046 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
6564a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
6640nnred 9971 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
6742nnred 9971 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
6840nnge1d 9998 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <_  2 )
6965, 66, 67, 68leadd2dd 9597 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  <_  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
7057fvmpt2 5771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( 2  x.  n
)  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  =  ( 2  x.  n
) )
7142, 70mpdan 650 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
)  =  ( 2  x.  n ) )
7271oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
73 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
7473cbvmptv 4260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( 2  x.  k ) )
7574a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( 2  x.  k ) ) )
76 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  =  ( n  +  1 ) )  ->  k  =  ( n  +  1 ) )
7776oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  =  ( n  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) )
78 peano2nn 9968 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
7940, 78nnmulcld 10003 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
8075, 77, 78, 79fvmptd 5769 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) )
8151a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
82 nncn 9964 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
8353a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
8481, 82, 83adddid 9068 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
8581mulid1d 9061 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  =  2 )
8685oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
8780, 84, 863eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
8869, 72, 873brtr4d 4202 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 )  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1 ) ) )
8942nnzd 10330 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  ZZ )
9071, 89eqeltrd 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
)  e.  ZZ )
9190peano2zd 10334 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 )  e.  ZZ )
9279nnzd 10330 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  ZZ )
9380, 92eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ZZ )
94 eluz 10455 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 ) )  <->  ( (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
)  +  1 )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
9591, 93, 94syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 ) )  <-> 
( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  +  1 )  <_  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
9688, 95mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  +  1 ) ) )
9796adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 ) ) )
9822mptex 5925 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( A `
 ( 2  x.  n ) ) )  e.  _V
9945, 98eqeltri 2474 . . . . . 6  |-  D  e. 
_V
10099a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
10145fvmpt2 5771 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )  -> 
( D `  n
)  =  ( A `
 ( 2  x.  n ) ) )
10226, 44, 101syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  =  ( A `  (
2  x.  n ) ) )
10371adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  =  ( 2  x.  n ) )
104103eqcomd 2409 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n ) )
105104fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 ( 2  x.  n ) )  =  ( A `  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
) ) )
106102, 105eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  =  ( A `  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
) ) )
1071, 14, 37, 47, 11, 13, 49, 28, 19, 63, 97, 100, 106climsuse 27601 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  ~~>  C )
108 2nn0 10194 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
109108a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
11022mptex 5925 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  e.  _V
1115, 110eqeltri 2474 . . . . 5  |-  M  e. 
_V
112111a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  _V )
113 stirlinglem8.9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  RR+ )
114113rpcnd 10606 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  CC )
115114sqcld 11476 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( D `  n ) ^ 2 )  e.  CC )
1165fvmpt2 5771 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( D `  n ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( M `  n )  =  ( ( D `  n
) ^ 2 ) )
11726, 115, 116syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  =  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
1181, 37, 7, 11, 13, 46, 107, 109, 112, 117climexp 27598 . . 3  |-  ( ph  ->  M  ~~>  ( C ^
2 ) )
119 stirlinglem8.10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
120119rpcnd 10606 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
121119rpne0d 10609 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
122 2z 10268 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
123122a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
124120, 121, 123expne0d 11484 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =/=  0 )
1251, 30, 2fmptdf 27585 . . . 4  |-  ( ph  ->  L : NN --> CC )
126125ffvelrnda 5829 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( L `
 n )  e.  CC )
127117, 115eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  e.  CC )
128102oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( D `  n ) ^ 2 )  =  ( ( A `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )
129117, 128eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  =  ( ( A `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )
130102, 113eqeltrrd 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
131122a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  ZZ )
132130, 131rpexpcld 11501 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
133129, 132eqeltrd 2478 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  e.  RR+ )
134133rpne0d 10609 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  =/=  0 )
135134neneqd 2583 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( M `  n )  =  0 )
136 0cn 9040 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
137 elsnc2g 3802 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
( M `  n
)  e.  { 0 }  <->  ( M `  n )  =  0 ) )
138136, 137ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( M `  n )  e.  { 0 }  <-> 
( M `  n
)  =  0 )
139135, 138sylnibr 297 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( M `  n )  e.  { 0 } )
140127, 139eldifd 3291 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
14129nn0zd 10329 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  4  e.  ZZ )
14227, 141rpexpcld 11501 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  RR+ )
143113, 131rpexpcld 11501 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( D `  n ) ^ 2 )  e.  RR+ )
144142, 143rpdivcld 10621 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  e.  RR+ )
1458fvmpt2 5771 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  e.  RR+ )  ->  ( F `  n
)  =  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) ) )
14626, 144, 145syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
1472fvmpt2 5771 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  RR+ )  ->  ( L `  n
)  =  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
14826, 142, 147syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( L `
 n )  =  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
149148, 117oveq12d 6058 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( L `  n )  /  ( M `  n ) )  =  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
150146, 149eqtr4d 2439 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( ( L `  n )  /  ( M `  n )
) )
1511, 4, 7, 10, 11, 13, 33, 36, 118, 124, 126, 140, 150climdivf 27605 . 2  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( ( C ^ 4 )  / 
( C ^ 2 ) ) )
152 4cn 10030 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
153 2p2e4 10054 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  2 )  =  4
154152, 51, 51, 153subaddrii 9345 . . . . . 6  |-  ( 4  -  2 )  =  2
155154eqcomi 2408 . . . . 5  |-  2  =  ( 4  -  2 )
156155a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  =  ( 4  -  2 ) )
157156oveq2d 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( C ^ ( 4  -  2 ) ) )
15821nn0zd 10329 . . . 4  |-  ( ph  ->  4  e.  ZZ )
159120, 121, 123, 158expsubd 11489 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C ^ (
4  -  2 ) )  =  ( ( C ^ 4 )  /  ( C ^
2 ) ) )
160157, 159eqtrd 2436 . 2  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( ( C ^ 4 )  /  ( C ^
2 ) ) )
161151, 160breqtrrd 4198 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( C ^
2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   F/wnf 1550    = wceq 1649    e. wcel 1721   F/_wnfc 2527   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   4c4 10007   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ^cexp 11337    ~~> cli 12233
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861
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