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Theorem stirlinglem8 38055
Description: If A converges to C, then F converges to C^2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem8.1 |- F/ n ph
stirlinglem8.2 |- F/_ n A
stirlinglem8.3 |- F/_ n D
stirlinglem8.4 |- D = ( n e. NN |-> ( A ` ( 2 x. n ) ) )
stirlinglem8.5 |- ( ph -> A : NN --> RR+ )
stirlinglem8.6 |- F = ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
stirlinglem8.7 |- L = ( n e. NN |-> ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
stirlinglem8.8 |- M = ( n e. NN |-> ( ( D ` n ) ^ 2 ) )
stirlinglem8.9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) e. RR+ )
stirlinglem8.10 |- ( ph -> C e. RR+ )
stirlinglem8.11 |- ( ph -> A ~~> C )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem8 |- ( ph -> F ~~> ( C ^ 2 ) )
Proof of Theorem stirlinglem8
Dummy variable k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem8.1 . . 3 |- F/ n ph
2 stirlinglem8.7 . . . 4 |- L = ( n e. NN |-> ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
3 nfmpt1 4485 . . . 4 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
42, 3nfcxfr 2610 . . 3 |- F/_ n L
5 stirlinglem8.8 . . . 4 |- M = ( n e. NN |-> ( ( D ` n ) ^ 2 ) )
6 nfmpt1 4485 . . . 4 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( D ` n ) ^ 2 ) )
75, 6nfcxfr 2610 . . 3 |- F/_ n M
8 stirlinglem8.6 . . . 4 |- F = ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
9 nfmpt1 4485 . . . 4 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
108, 9nfcxfr 2610 . . 3 |- F/_ n F
11 nnuz 11218 . . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
12 1zzd 10992 . . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
13 stirlinglem8.2 . . . 4 |- F/_ n A
14 stirlinglem8.5 . . . . 5 |- ( ph -> A : NN --> RR+ )
15 rrpsscn 37763 . . . . 5 |- RR+ C_ CC
16 fss 5749 . . . . 5 |- ( ( A : NN --> RR+ /\ RR+ C_ CC ) -> A : NN --> CC )
1714, 15, 16sylancl 675 . . . 4 |- ( ph -> A : NN --> CC )
18 stirlinglem8.11 . . . 4 |- ( ph -> A ~~> C )
19 4nn0 10912 . . . . 5 |- 4 e. NN0
2019a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> 4 e. NN0 )
21 nnex 10637 . . . . . . 7 |- NN e. _V
2221mptex 6152 . . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( ( A ` n ) ^ 4 ) ) e. _V
232, 22eqeltri 2545 . . . . 5 |- L e. _V
2423a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> L e. _V )
25 simpr 468 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
2614ffvelrnda 6037 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) e. RR+ )
2726rpcnd 11366 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) e. CC )
2819a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 4 e. NN0 )
2927, 28expcld 12454 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A ` n ) ^ 4 ) e. CC )
302fvmpt2 5972 . . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ ( ( A ` n ) ^ 4 ) e. CC ) -> ( L ` n ) = ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
3125, 29, 30syl2anc 673 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( L ` n ) = ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
321, 13, 4, 11, 12, 17, 18, 20, 24, 31climexp 37780 . . 3 |- ( ph -> L ~~> ( C ^ 4 ) )
3321mptex 6152 . . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) ) e. _V
348, 33eqeltri 2545 . . . 4 |- F e. _V
3534a1i 11 . . 3 |- ( ph -> F e. _V )
36 stirlinglem8.3 . . . 4 |- F/_ n D
3717adantr 472 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A : NN --> CC )
38 2nn 10790 . . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
3938a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> 2 e. NN )
40 id 22 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> n e. NN )
4139, 40nnmulcld 10679 . . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. NN )
4241adantl 473 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 x. n ) e. NN )
4337, 42ffvelrnd 6038 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` ( 2 x. n ) ) e. CC )
44 stirlinglem8.4 . . . . 5 |- D = ( n e. NN |-> ( A ` ( 2 x. n ) ) )
451, 43, 44fmptdf 6063 . . . 4 |- ( ph -> D : NN --> CC )
46 nfmpt1 4485 . . . . 5 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) )
47 fex 6155 . . . . . 6 |- ( ( A : NN --> CC /\ NN e. _V ) -> A e. _V )
4817, 21, 47sylancl 675 . . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
49 1nn 10642 . . . . . . 7 |- 1 e. NN
50 2cnd 10704 . . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. CC )
51 1cnd 9677 . . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. CC )
5250, 51mulcld 9681 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. 1 ) e. CC )
53 oveq2 6316 . . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. 1 ) )
54 eqid 2471 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) = ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) )
5553, 54fvmptg 5961 . . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ ( 2 x. 1 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` 1 ) = ( 2 x. 1 ) )
5649, 52, 55sylancr 676 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` 1 ) = ( 2 x. 1 ) )
5738a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. NN )
5849a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. NN )
5957, 58nnmulcld 10679 . . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. 1 ) e. NN )
6056, 59eqeltrd 2549 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` 1 ) e. NN )
61 1red 9676 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> 1 e. RR )
6239nnred 10646 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> 2 e. RR )
6341nnred 10646 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. RR )
6439nnge1d 10674 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> 1 <_ 2 )
6561, 62, 63, 64leadd2dd 10249 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) <_ ( ( 2 x. n ) + 2 ) )
6654fvmpt2 5972 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ ( 2 x. n ) e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) = ( 2 x. n ) )
6741, 66mpdan 681 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) = ( 2 x. n ) )
6867oveq1d 6323 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) = ( ( 2 x. n ) + 1 ) )
69 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. k ) )
7069cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) = ( k e. NN |-> ( 2 x. k ) )
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) = ( k e. NN |-> ( 2 x. k ) ) )
72 simpr 468 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ k = ( n + 1 ) ) -> k = ( n + 1 ) )
7372oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ k = ( n + 1 ) ) -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. ( n + 1 ) ) )
74 peano2nn 10643 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. NN )
7539, 74nnmulcld 10679 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 2 x. ( n + 1 ) ) e. NN )
7671, 73, 74, 75fvmptd 5969 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( 2 x. ( n + 1 ) ) )
77 2cnd 10704 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> 2 e. CC )
78 nncn 10639 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> n e. CC )
79 1cnd 9677 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> 1 e. CC )
8077, 78, 79adddid 9685 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( 2 x. ( n + 1 ) ) = ( ( 2 x. n ) + ( 2 x. 1 ) ) )
8177mulid1d 9678 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 2 x. 1 ) = 2 )
8281oveq2d 6324 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( 2 x. n ) + ( 2 x. 1 ) ) = ( ( 2 x. n ) + 2 ) )
8376, 80, 823eqtrd 2509 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( 2 x. n ) + 2 ) )
8465, 68, 833brtr4d 4426 . . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) <_ ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) )
8541nnzd 11062 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. ZZ )
8667, 85eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) e. ZZ )
8786peano2zd 11066 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) e. ZZ )
8875nnzd 11062 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( 2 x. ( n + 1 ) ) e. ZZ )
8976, 88eqeltrd 2549 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ZZ )
90 eluz 11196 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) e. ZZ /\ ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) ) <-> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) <_ ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) ) )
9187, 89, 90syl2anc 673 . . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) ) <-> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) <_ ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) ) )
9284, 91mpbird 240 . . . . . 6 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) ) )
9392adantl 473 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) ) )
9421mptex 6152 . . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( A ` ( 2 x. n ) ) ) e. _V
9544, 94eqeltri 2545 . . . . . 6 |- D e. _V
9695a1i 11 . . . . 5 |- ( ph -> D e. _V )
9744fvmpt2 5972 . . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ ( A ` ( 2 x. n ) ) e. CC ) -> ( D ` n ) = ( A ` ( 2 x. n ) ) )
9825, 43, 97syl2anc 673 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) = ( A ` ( 2 x. n ) ) )
9967adantl 473 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) = ( 2 x. n ) )
10099eqcomd 2477 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 x. n ) = ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) )
101100fveq2d 5883 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` ( 2 x. n ) ) = ( A ` ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) ) )
10298, 101eqtrd 2505 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) = ( A ` ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) ) )
1031, 13, 36, 46, 11, 12, 48, 27, 18, 60, 93, 96, 102climsuse 37784 . . . 4 |- ( ph -> D ~~> C )
104 2nn0 10910 . . . . 5 |- 2 e. NN0
105104a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> 2 e. NN0 )
10621mptex 6152 . . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) e. _V
1075, 106eqeltri 2545 . . . . 5 |- M e. _V
108107a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> M e. _V )
109 stirlinglem8.9 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) e. RR+ )
110109rpcnd 11366 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) e. CC )
111110sqcld 12452 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( D ` n ) ^ 2 ) e. CC )
1125fvmpt2 5972 . . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ ( ( D ` n ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( M ` n ) = ( ( D ` n ) ^ 2 ) )
11325, 111, 112syl2anc 673 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) = ( ( D ` n ) ^ 2 ) )
1141, 36, 7, 11, 12, 45, 103, 105, 108, 113climexp 37780 . . 3 |- ( ph -> M ~~> ( C ^ 2 ) )
115 stirlinglem8.10 . . . . 5 |- ( ph -> C e. RR+ )
116115rpcnd 11366 . . . 4 |- ( ph -> C e. CC )
117115rpne0d 11369 . . . 4 |- ( ph -> C =/= 0 )
118 2z 10993 . . . . 5 |- 2 e. ZZ
119118a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
120116, 117, 119expne0d 12460 . . 3 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) =/= 0 )
1211, 29, 2fmptdf 6063 . . . 4 |- ( ph -> L : NN --> CC )
122121ffvelrnda 6037 . . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( L ` n ) e. CC )
123113, 111eqeltrd 2549 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) e. CC )
12498oveq1d 6323 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( D ` n ) ^ 2 ) = ( ( A ` ( 2 x. n ) ) ^ 2 ) )
125113, 124eqtrd 2505 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) = ( ( A ` ( 2 x. n ) ) ^ 2 ) )
12698, 109eqeltrrd 2550 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` ( 2 x. n ) ) e. RR+ )
127118a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 2 e. ZZ )
128126, 127rpexpcld 12477 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A ` ( 2 x. n ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
129125, 128eqeltrd 2549 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) e. RR+ )
130129rpne0d 11369 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) =/= 0 )
131130neneqd 2648 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -. ( M ` n ) = 0 )
132 0cn 9653 . . . . . 6 |- 0 e. CC
133 elsnc2g 3990 . . . . . 6 |- ( 0 e. CC -> ( ( M ` n ) e. { 0 } <-> ( M ` n ) = 0 ) )
134132, 133ax-mp 5 . . . . 5 |- ( ( M ` n ) e. { 0 } <-> ( M ` n ) = 0 )
135131, 134sylnibr 312 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -. ( M ` n ) e. { 0 } )
136123, 135eldifd 3401 . . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) e. ( CC \ { 0 } ) )
13728nn0zd 11061 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 4 e. ZZ )
13826, 137rpexpcld 12477 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A ` n ) ^ 4 ) e. RR+ )
139109, 127rpexpcld 12477 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( D ` n ) ^ 2 ) e. RR+ )
140138, 139rpdivcld 11381 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) e. RR+ )
1418fvmpt2 5972 . . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) e. RR+ ) -> ( F ` n ) = ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
14225, 140, 141syl2anc 673 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) = ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
1432fvmpt2 5972 . . . . . 6 |- ( ( n e. NN /\ ( ( A ` n ) ^ 4 ) e. RR+ ) -> ( L ` n ) = ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
14425, 138, 143syl2anc 673 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( L ` n ) = ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
145144, 113oveq12d 6326 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( L ` n ) / ( M ` n ) ) = ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
146142, 145eqtr4d 2508 . . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) = ( ( L ` n ) / ( M ` n ) ) )
1471, 4, 7, 10, 11, 12, 32, 35, 114, 120, 122, 136, 146climdivf 37789 . 2 |- ( ph -> F ~~> ( ( C ^ 4 ) / ( C ^ 2 ) ) )
148 2cn 10702 . . . . . 6 |- 2 e. CC
149 2p2e4 10750 . . . . . 6 |- ( 2 + 2 ) = 4
150148, 148, 149mvlladdi 9912 . . . . 5 |- 2 = ( 4 - 2 )
151150a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> 2 = ( 4 - 2 ) )
152151oveq2d 6324 . . 3 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) = ( C ^ ( 4 - 2 ) ) )
15320nn0zd 11061 . . . 4 |- ( ph -> 4 e. ZZ )
154116, 117, 119, 153expsubd 12465 . . 3 |- ( ph -> ( C ^ ( 4 - 2 ) ) = ( ( C ^ 4 ) / ( C ^ 2 ) ) )
155152, 154eqtrd 2505 . 2 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) = ( ( C ^ 4 ) / ( C ^ 2 ) ) )
156147, 155breqtrrd 4422 1 |- ( ph -> F ~~> ( C ^ 2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   F/wnf 1675   e. wcel 1904   F/_wnfc 2599   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   4c4 10683   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ^cexp 12310   ~~> cli 13625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988
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