Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem8 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stirlinglem8 38055
 Description: If converges to , then converges to C^2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem8.1
stirlinglem8.2
stirlinglem8.3
stirlinglem8.4
stirlinglem8.5
stirlinglem8.6
stirlinglem8.7
stirlinglem8.8
stirlinglem8.9
stirlinglem8.10
stirlinglem8.11
Assertion
Ref Expression
stirlinglem8

Proof of Theorem stirlinglem8
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem8.1 . . 3
2 stirlinglem8.7 . . . 4
3 nfmpt1 4485 . . . 4
42, 3nfcxfr 2610 . . 3
5 stirlinglem8.8 . . . 4
6 nfmpt1 4485 . . . 4
75, 6nfcxfr 2610 . . 3
8 stirlinglem8.6 . . . 4
9 nfmpt1 4485 . . . 4
108, 9nfcxfr 2610 . . 3
11 nnuz 11218 . . 3
12 1zzd 10992 . . 3
13 stirlinglem8.2 . . . 4
14 stirlinglem8.5 . . . . 5
15 rrpsscn 37763 . . . . 5
16 fss 5749 . . . . 5
1714, 15, 16sylancl 675 . . . 4
18 stirlinglem8.11 . . . 4
19 4nn0 10912 . . . . 5
2019a1i 11 . . . 4
21 nnex 10637 . . . . . . 7
2221mptex 6152 . . . . . 6
232, 22eqeltri 2545 . . . . 5
2423a1i 11 . . . 4
25 simpr 468 . . . . 5
2614ffvelrnda 6037 . . . . . . 7
2726rpcnd 11366 . . . . . 6
2819a1i 11 . . . . . 6
2927, 28expcld 12454 . . . . 5
302fvmpt2 5972 . . . . 5
3125, 29, 30syl2anc 673 . . . 4
321, 13, 4, 11, 12, 17, 18, 20, 24, 31climexp 37780 . . 3
3321mptex 6152 . . . . 5
348, 33eqeltri 2545 . . . 4
3534a1i 11 . . 3
36 stirlinglem8.3 . . . 4
3717adantr 472 . . . . . 6
38 2nn 10790 . . . . . . . . 9
3938a1i 11 . . . . . . . 8
40 id 22 . . . . . . . 8
4139, 40nnmulcld 10679 . . . . . . 7
4241adantl 473 . . . . . 6
4337, 42ffvelrnd 6038 . . . . 5
44 stirlinglem8.4 . . . . 5
451, 43, 44fmptdf 6063 . . . 4
46 nfmpt1 4485 . . . . 5
47 fex 6155 . . . . . 6
4817, 21, 47sylancl 675 . . . . 5
49 1nn 10642 . . . . . . 7
50 2cnd 10704 . . . . . . . 8
51 1cnd 9677 . . . . . . . 8
5250, 51mulcld 9681 . . . . . . 7
53 oveq2 6316 . . . . . . . 8
54 eqid 2471 . . . . . . . 8
5553, 54fvmptg 5961 . . . . . . 7
5649, 52, 55sylancr 676 . . . . . 6
5738a1i 11 . . . . . . 7
5849a1i 11 . . . . . . 7
5957, 58nnmulcld 10679 . . . . . 6
6056, 59eqeltrd 2549 . . . . 5
61 1red 9676 . . . . . . . . 9
6239nnred 10646 . . . . . . . . 9
6341nnred 10646 . . . . . . . . 9
6439nnge1d 10674 . . . . . . . . 9
6561, 62, 63, 64leadd2dd 10249 . . . . . . . 8
6654fvmpt2 5972 . . . . . . . . . 10
6741, 66mpdan 681 . . . . . . . . 9
6867oveq1d 6323 . . . . . . . 8
69 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12
7069cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . 11
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10
72 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
7372oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
74 peano2nn 10643 . . . . . . . . . 10
7539, 74nnmulcld 10679 . . . . . . . . . 10
7671, 73, 74, 75fvmptd 5969 . . . . . . . . 9
77 2cnd 10704 . . . . . . . . . 10
78 nncn 10639 . . . . . . . . . 10
79 1cnd 9677 . . . . . . . . . 10
8077, 78, 79adddid 9685 . . . . . . . . 9
8177mulid1d 9678 . . . . . . . . . 10
8281oveq2d 6324 . . . . . . . . 9
8376, 80, 823eqtrd 2509 . . . . . . . 8
8465, 68, 833brtr4d 4426 . . . . . . 7
8541nnzd 11062 . . . . . . . . . 10
8667, 85eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9
8786peano2zd 11066 . . . . . . . 8
8875nnzd 11062 . . . . . . . . 9
8976, 88eqeltrd 2549 . . . . . . . 8
90 eluz 11196 . . . . . . . 8
9187, 89, 90syl2anc 673 . . . . . . 7
9284, 91mpbird 240 . . . . . 6
9392adantl 473 . . . . 5
9421mptex 6152 . . . . . . 7
9544, 94eqeltri 2545 . . . . . 6
9695a1i 11 . . . . 5
9744fvmpt2 5972 . . . . . . 7
9825, 43, 97syl2anc 673 . . . . . 6
9967adantl 473 . . . . . . . 8
10099eqcomd 2477 . . . . . . 7
101100fveq2d 5883 . . . . . 6
10298, 101eqtrd 2505 . . . . 5
1031, 13, 36, 46, 11, 12, 48, 27, 18, 60, 93, 96, 102climsuse 37784 . . . 4
104 2nn0 10910 . . . . 5
105104a1i 11 . . . 4
10621mptex 6152 . . . . . 6
1075, 106eqeltri 2545 . . . . 5
108107a1i 11 . . . 4
109 stirlinglem8.9 . . . . . . 7
110109rpcnd 11366 . . . . . 6
111110sqcld 12452 . . . . 5
1125fvmpt2 5972 . . . . 5
11325, 111, 112syl2anc 673 . . . 4
1141, 36, 7, 11, 12, 45, 103, 105, 108, 113climexp 37780 . . 3
115 stirlinglem8.10 . . . . 5
116115rpcnd 11366 . . . 4
117115rpne0d 11369 . . . 4
118 2z 10993 . . . . 5
119118a1i 11 . . . 4
120116, 117, 119expne0d 12460 . . 3
1211, 29, 2fmptdf 6063 . . . 4
122121ffvelrnda 6037 . . 3
123113, 111eqeltrd 2549 . . . 4
12498oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
125113, 124eqtrd 2505 . . . . . . . 8
12698, 109eqeltrrd 2550 . . . . . . . . 9
127118a1i 11 . . . . . . . . 9
128126, 127rpexpcld 12477 . . . . . . . 8
129125, 128eqeltrd 2549 . . . . . . 7
130129rpne0d 11369 . . . . . 6
131130neneqd 2648 . . . . 5
132 0cn 9653 . . . . . 6
133 elsnc2g 3990 . . . . . 6
134132, 133ax-mp 5 . . . . 5
135131, 134sylnibr 312 . . . 4
136123, 135eldifd 3401 . . 3
13728nn0zd 11061 . . . . . . 7
13826, 137rpexpcld 12477 . . . . . 6
139109, 127rpexpcld 12477 . . . . . 6
140138, 139rpdivcld 11381 . . . . 5
1418fvmpt2 5972 . . . . 5
14225, 140, 141syl2anc 673 . . . 4
1432fvmpt2 5972 . . . . . 6
14425, 138, 143syl2anc 673 . . . . 5
145144, 113oveq12d 6326 . . . 4
146142, 145eqtr4d 2508 . . 3
1471, 4, 7, 10, 11, 12, 32, 35, 114, 120, 122, 136, 146climdivf 37789 . 2
148 2cn 10702 . . . . . 6
149 2p2e4 10750 . . . . . 6
150148, 148, 149mvlladdi 9912 . . . . 5
151150a1i 11 . . . 4
152151oveq2d 6324 . . 3
15320nn0zd 11061 . . . 4
154116, 117, 119, 153expsubd 12465 . . 3
155152, 154eqtrd 2505 . 2
156147, 155breqtrrd 4422 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452  wnf 1675   wcel 1904  wnfc 2599  cvv 3031   wss 3390  csn 3959   class class class wbr 4395   cmpt 4454  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   cle 9694   cmin 9880   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  c4 10683  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  crp 11325  cexp 12310   cli 13625 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988 This theorem is referenced by:  stirlinglem15  38062
 Copyright terms: Public domain W3C validator