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Theorem stirlinglem8 37943
Description: If A converges to C, then F converges to C^2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem8.1 |- F/ n ph
stirlinglem8.2 |- F/_ n A
stirlinglem8.3 |- F/_ n D
stirlinglem8.4 |- D = ( n e. NN |-> ( A ` ( 2 x. n ) ) )
stirlinglem8.5 |- ( ph -> A : NN --> RR+ )
stirlinglem8.6 |- F = ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
stirlinglem8.7 |- L = ( n e. NN |-> ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
stirlinglem8.8 |- M = ( n e. NN |-> ( ( D ` n ) ^ 2 ) )
stirlinglem8.9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) e. RR+ )
stirlinglem8.10 |- ( ph -> C e. RR+ )
stirlinglem8.11 |- ( ph -> A ~~> C )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem8 |- ( ph -> F ~~> ( C ^ 2 ) )
Proof of Theorem stirlinglem8
Dummy variable k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem8.1 . . 3 |- F/ n ph
2 stirlinglem8.7 . . . 4 |- L = ( n e. NN |-> ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
3 nfmpt1 4492 . . . 4 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
42, 3nfcxfr 2590 . . 3 |- F/_ n L
5 stirlinglem8.8 . . . 4 |- M = ( n e. NN |-> ( ( D ` n ) ^ 2 ) )
6 nfmpt1 4492 . . . 4 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( D ` n ) ^ 2 ) )
75, 6nfcxfr 2590 . . 3 |- F/_ n M
8 stirlinglem8.6 . . . 4 |- F = ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
9 nfmpt1 4492 . . . 4 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
108, 9nfcxfr 2590 . . 3 |- F/_ n F
11 nnuz 11194 . . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
12 1zzd 10968 . . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
13 stirlinglem8.2 . . . 4 |- F/_ n A
14 stirlinglem8.5 . . . . 5 |- ( ph -> A : NN --> RR+ )
15 rrpsscn 37666 . . . . 5 |- RR+ C_ CC
16 fss 5737 . . . . 5 |- ( ( A : NN --> RR+ /\ RR+ C_ CC ) -> A : NN --> CC )
1714, 15, 16sylancl 668 . . . 4 |- ( ph -> A : NN --> CC )
18 stirlinglem8.11 . . . 4 |- ( ph -> A ~~> C )
19 4nn0 10888 . . . . 5 |- 4 e. NN0
2019a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> 4 e. NN0 )
21 nnex 10615 . . . . . . 7 |- NN e. _V
2221mptex 6136 . . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( ( A ` n ) ^ 4 ) ) e. _V
232, 22eqeltri 2525 . . . . 5 |- L e. _V
2423a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> L e. _V )
25 simpr 463 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
2614ffvelrnda 6022 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) e. RR+ )
2726rpcnd 11343 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) e. CC )
2819a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 4 e. NN0 )
2927, 28expcld 12416 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A ` n ) ^ 4 ) e. CC )
302fvmpt2 5957 . . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ ( ( A ` n ) ^ 4 ) e. CC ) -> ( L ` n ) = ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
3125, 29, 30syl2anc 667 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( L ` n ) = ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
321, 13, 4, 11, 12, 17, 18, 20, 24, 31climexp 37683 . . 3 |- ( ph -> L ~~> ( C ^ 4 ) )
3321mptex 6136 . . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) ) e. _V
348, 33eqeltri 2525 . . . 4 |- F e. _V
3534a1i 11 . . 3 |- ( ph -> F e. _V )
36 stirlinglem8.3 . . . 4 |- F/_ n D
3717adantr 467 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A : NN --> CC )
38 2nn 10767 . . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
3938a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> 2 e. NN )
40 id 22 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> n e. NN )
4139, 40nnmulcld 10657 . . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. NN )
4241adantl 468 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 x. n ) e. NN )
4337, 42ffvelrnd 6023 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` ( 2 x. n ) ) e. CC )
44 stirlinglem8.4 . . . . 5 |- D = ( n e. NN |-> ( A ` ( 2 x. n ) ) )
451, 43, 44fmptdf 6048 . . . 4 |- ( ph -> D : NN --> CC )
46 nfmpt1 4492 . . . . 5 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) )
47 fex 6138 . . . . . 6 |- ( ( A : NN --> CC /\ NN e. _V ) -> A e. _V )
4817, 21, 47sylancl 668 . . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
49 1nn 10620 . . . . . . 7 |- 1 e. NN
50 2cnd 10682 . . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. CC )
51 1cnd 9659 . . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. CC )
5250, 51mulcld 9663 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. 1 ) e. CC )
53 oveq2 6298 . . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. 1 ) )
54 eqid 2451 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) = ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) )
5553, 54fvmptg 5946 . . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ ( 2 x. 1 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` 1 ) = ( 2 x. 1 ) )
5649, 52, 55sylancr 669 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` 1 ) = ( 2 x. 1 ) )
5738a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. NN )
5849a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. NN )
5957, 58nnmulcld 10657 . . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. 1 ) e. NN )
6056, 59eqeltrd 2529 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` 1 ) e. NN )
61 1red 9658 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> 1 e. RR )
6239nnred 10624 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> 2 e. RR )
6341nnred 10624 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. RR )
6439nnge1d 10652 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> 1 <_ 2 )
6561, 62, 63, 64leadd2dd 10228 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) <_ ( ( 2 x. n ) + 2 ) )
6654fvmpt2 5957 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ ( 2 x. n ) e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) = ( 2 x. n ) )
6741, 66mpdan 674 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) = ( 2 x. n ) )
6867oveq1d 6305 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) = ( ( 2 x. n ) + 1 ) )
69 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. k ) )
7069cbvmptv 4495 . . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) = ( k e. NN |-> ( 2 x. k ) )
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) = ( k e. NN |-> ( 2 x. k ) ) )
72 simpr 463 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ k = ( n + 1 ) ) -> k = ( n + 1 ) )
7372oveq2d 6306 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ k = ( n + 1 ) ) -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. ( n + 1 ) ) )
74 peano2nn 10621 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. NN )
7539, 74nnmulcld 10657 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 2 x. ( n + 1 ) ) e. NN )
7671, 73, 74, 75fvmptd 5954 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( 2 x. ( n + 1 ) ) )
77 2cnd 10682 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> 2 e. CC )
78 nncn 10617 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> n e. CC )
79 1cnd 9659 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> 1 e. CC )
8077, 78, 79adddid 9667 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( 2 x. ( n + 1 ) ) = ( ( 2 x. n ) + ( 2 x. 1 ) ) )
8177mulid1d 9660 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 2 x. 1 ) = 2 )
8281oveq2d 6306 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( 2 x. n ) + ( 2 x. 1 ) ) = ( ( 2 x. n ) + 2 ) )
8376, 80, 823eqtrd 2489 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( 2 x. n ) + 2 ) )
8465, 68, 833brtr4d 4433 . . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) <_ ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) )
8541nnzd 11039 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. ZZ )
8667, 85eqeltrd 2529 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) e. ZZ )
8786peano2zd 11043 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) e. ZZ )
8875nnzd 11039 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( 2 x. ( n + 1 ) ) e. ZZ )
8976, 88eqeltrd 2529 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ZZ )
90 eluz 11172 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) e. ZZ /\ ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) ) <-> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) <_ ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) ) )
9187, 89, 90syl2anc 667 . . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) ) <-> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) <_ ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) ) )
9284, 91mpbird 236 . . . . . 6 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) ) )
9392adantl 468 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) ) )
9421mptex 6136 . . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( A ` ( 2 x. n ) ) ) e. _V
9544, 94eqeltri 2525 . . . . . 6 |- D e. _V
9695a1i 11 . . . . 5 |- ( ph -> D e. _V )
9744fvmpt2 5957 . . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ ( A ` ( 2 x. n ) ) e. CC ) -> ( D ` n ) = ( A ` ( 2 x. n ) ) )
9825, 43, 97syl2anc 667 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) = ( A ` ( 2 x. n ) ) )
9967adantl 468 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) = ( 2 x. n ) )
10099eqcomd 2457 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 x. n ) = ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) )
101100fveq2d 5869 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` ( 2 x. n ) ) = ( A ` ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) ) )
10298, 101eqtrd 2485 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) = ( A ` ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) ) )
1031, 13, 36, 46, 11, 12, 48, 27, 18, 60, 93, 96, 102climsuse 37687 . . . 4 |- ( ph -> D ~~> C )
104 2nn0 10886 . . . . 5 |- 2 e. NN0
105104a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> 2 e. NN0 )
10621mptex 6136 . . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) e. _V
1075, 106eqeltri 2525 . . . . 5 |- M e. _V
108107a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> M e. _V )
109 stirlinglem8.9 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) e. RR+ )
110109rpcnd 11343 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) e. CC )
111110sqcld 12414 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( D ` n ) ^ 2 ) e. CC )
1125fvmpt2 5957 . . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ ( ( D ` n ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( M ` n ) = ( ( D ` n ) ^ 2 ) )
11325, 111, 112syl2anc 667 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) = ( ( D ` n ) ^ 2 ) )
1141, 36, 7, 11, 12, 45, 103, 105, 108, 113climexp 37683 . . 3 |- ( ph -> M ~~> ( C ^ 2 ) )
115 stirlinglem8.10 . . . . 5 |- ( ph -> C e. RR+ )
116115rpcnd 11343 . . . 4 |- ( ph -> C e. CC )
117115rpne0d 11346 . . . 4 |- ( ph -> C =/= 0 )
118 2z 10969 . . . . 5 |- 2 e. ZZ
119118a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
120116, 117, 119expne0d 12422 . . 3 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) =/= 0 )
1211, 29, 2fmptdf 6048 . . . 4 |- ( ph -> L : NN --> CC )
122121ffvelrnda 6022 . . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( L ` n ) e. CC )
123113, 111eqeltrd 2529 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) e. CC )
12498oveq1d 6305 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( D ` n ) ^ 2 ) = ( ( A ` ( 2 x. n ) ) ^ 2 ) )
125113, 124eqtrd 2485 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) = ( ( A ` ( 2 x. n ) ) ^ 2 ) )
12698, 109eqeltrrd 2530 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` ( 2 x. n ) ) e. RR+ )
127118a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 2 e. ZZ )
128126, 127rpexpcld 12439 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A ` ( 2 x. n ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
129125, 128eqeltrd 2529 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) e. RR+ )
130129rpne0d 11346 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) =/= 0 )
131130neneqd 2629 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -. ( M ` n ) = 0 )
132 0cn 9635 . . . . . 6 |- 0 e. CC
133 elsnc2g 3998 . . . . . 6 |- ( 0 e. CC -> ( ( M ` n ) e. { 0 } <-> ( M ` n ) = 0 ) )
134132, 133ax-mp 5 . . . . 5 |- ( ( M ` n ) e. { 0 } <-> ( M ` n ) = 0 )
135131, 134sylnibr 307 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -. ( M ` n ) e. { 0 } )
136123, 135eldifd 3415 . . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) e. ( CC \ { 0 } ) )
13728nn0zd 11038 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 4 e. ZZ )
13826, 137rpexpcld 12439 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A ` n ) ^ 4 ) e. RR+ )
139109, 127rpexpcld 12439 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( D ` n ) ^ 2 ) e. RR+ )
140138, 139rpdivcld 11358 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) e. RR+ )
1418fvmpt2 5957 . . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) e. RR+ ) -> ( F ` n ) = ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
14225, 140, 141syl2anc 667 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) = ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
1432fvmpt2 5957 . . . . . 6 |- ( ( n e. NN /\ ( ( A ` n ) ^ 4 ) e. RR+ ) -> ( L ` n ) = ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
14425, 138, 143syl2anc 667 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( L ` n ) = ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
145144, 113oveq12d 6308 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( L ` n ) / ( M ` n ) ) = ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
146142, 145eqtr4d 2488 . . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) = ( ( L ` n ) / ( M ` n ) ) )
1471, 4, 7, 10, 11, 12, 32, 35, 114, 120, 122, 136, 146climdivf 37692 . 2 |- ( ph -> F ~~> ( ( C ^ 4 ) / ( C ^ 2 ) ) )
148 2cn 10680 . . . . . 6 |- 2 e. CC
149 2p2e4 10727 . . . . . 6 |- ( 2 + 2 ) = 4
150148, 148, 149mvlladdi 9892 . . . . 5 |- 2 = ( 4 - 2 )
151150a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> 2 = ( 4 - 2 ) )
152151oveq2d 6306 . . 3 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) = ( C ^ ( 4 - 2 ) ) )
15320nn0zd 11038 . . . 4 |- ( ph -> 4 e. ZZ )
154116, 117, 119, 153expsubd 12427 . . 3 |- ( ph -> ( C ^ ( 4 - 2 ) ) = ( ( C ^ 4 ) / ( C ^ 2 ) ) )
155152, 154eqtrd 2485 . 2 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) = ( ( C ^ 4 ) / ( C ^ 2 ) ) )
156147, 155breqtrrd 4429 1 |- ( ph -> F ~~> ( C ^ 2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   F/wnf 1667   e. wcel 1887   F/_wnfc 2579   _Vcvv 3045   C_ wss 3404   {csn 3968   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   <_ cle 9676   - cmin 9860   / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   4c4 10661   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   ^cexp 12272   ~~> cli 13548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910
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