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Theorem stirlinglem8 29847
Description: If  A converges to  C, then 
F converges to C^2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem8.1  |-  F/ n ph
stirlinglem8.2  |-  F/_ n A
stirlinglem8.3  |-  F/_ n D
stirlinglem8.4  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
stirlinglem8.5  |-  ( ph  ->  A : NN --> RR+ )
stirlinglem8.6  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
stirlinglem8.7  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
stirlinglem8.8  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
stirlinglem8.9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  RR+ )
stirlinglem8.10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
stirlinglem8.11  |-  ( ph  ->  A  ~~>  C )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem8  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( C ^
2 ) )

Proof of Theorem stirlinglem8
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem8.1 . . 3  |-  F/ n ph
2 stirlinglem8.7 . . . 4  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
3 nfmpt1 4376 . . . 4  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
42, 3nfcxfr 2571 . . 3  |-  F/_ n L
5 stirlinglem8.8 . . . 4  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
6 nfmpt1 4376 . . . 4  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
75, 6nfcxfr 2571 . . 3  |-  F/_ n M
8 stirlinglem8.6 . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
9 nfmpt1 4376 . . . 4  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
108, 9nfcxfr 2571 . . 3  |-  F/_ n F
11 nnuz 10888 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
12 1z 10668 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
1312a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
14 stirlinglem8.2 . . . 4  |-  F/_ n A
15 stirlinglem8.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : NN --> RR+ )
16 rrpsscn 29740 . . . . 5  |-  RR+  C_  CC
17 fss 5562 . . . . 5  |-  ( ( A : NN --> RR+  /\  RR+  C_  CC )  ->  A : NN --> CC )
1815, 16, 17sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : NN --> CC )
19 stirlinglem8.11 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  ~~>  C )
20 4nn0 10590 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  4  e.  NN0 )
22 nnex 10320 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
2322mptex 5943 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )  e.  _V
242, 23eqeltri 2508 . . . . 5  |-  L  e. 
_V
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  _V )
26 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
2715ffvelrnda 5838 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  e.  RR+ )
2827rpcnd 11021 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  e.  CC )
2920a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  4  e. 
NN0 )
3028, 29expcld 12000 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  CC )
312fvmpt2 5776 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  CC )  ->  ( L `  n )  =  ( ( A `  n
) ^ 4 ) )
3226, 30, 31syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( L `
 n )  =  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
331, 14, 4, 11, 13, 18, 19, 21, 25, 32climexp 29749 . . 3  |-  ( ph  ->  L  ~~>  ( C ^
4 ) )
3422mptex 5943 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) ) )  e.  _V
358, 34eqeltri 2508 . . . 4  |-  F  e. 
_V
3635a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
37 stirlinglem8.3 . . . 4  |-  F/_ n D
3818adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A : NN
--> CC )
39 2nn 10471 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
4039a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  NN )
41 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN )
4240, 41nnmulcld 10361 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
4342adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n )  e.  NN )
4438, 43ffvelrnd 5839 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
45 stirlinglem8.4 . . . . 5  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
461, 44, 45fmptdf 5863 . . . 4  |-  ( ph  ->  D : NN --> CC )
47 nfmpt1 4376 . . . . 5  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) )
48 fex 5945 . . . . . 6  |-  ( ( A : NN --> CC  /\  NN  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
4918, 22, 48sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
50 1nn 10325 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
51 2cnd 10386 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
52 ax-1cn 9332 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
5352a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
5451, 53mulcld 9398 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  e.  CC )
55 oveq2 6094 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  1 ) )
56 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )
5755, 56fvmptg 5767 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( 2  x.  1 )  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 1 )  =  ( 2  x.  1 ) )
5850, 54, 57sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) ` 
1 )  =  ( 2  x.  1 ) )
5939a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
6050a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
6159, 60nnmulcld 10361 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  e.  NN )
6258, 61eqeltrd 2512 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) ` 
1 )  e.  NN )
63 1re 9377 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
6463a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
6540nnred 10329 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
6642nnred 10329 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
6740nnge1d 10356 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <_  2 )
6864, 65, 66, 67leadd2dd 9946 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  <_  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
6956fvmpt2 5776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( 2  x.  n
)  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  =  ( 2  x.  n
) )
7042, 69mpdan 668 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
)  =  ( 2  x.  n ) )
7170oveq1d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
72 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
7372cbvmptv 4378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( 2  x.  k ) )
7473a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( 2  x.  k ) ) )
75 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  =  ( n  +  1 ) )  ->  k  =  ( n  +  1 ) )
7675oveq2d 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  =  ( n  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) )
77 peano2nn 10326 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
7840, 77nnmulcld 10361 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
7974, 76, 77, 78fvmptd 5774 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) )
80 2cnd 10386 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
81 nncn 10322 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
8252a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
8380, 81, 82adddid 9402 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
8480mulid1d 9395 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  =  2 )
8584oveq2d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
8679, 83, 853eqtrd 2474 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
8768, 71, 863brtr4d 4317 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 )  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1 ) ) )
8842nnzd 10738 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  ZZ )
8970, 88eqeltrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
)  e.  ZZ )
9089peano2zd 10742 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 )  e.  ZZ )
9178nnzd 10738 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  ZZ )
9279, 91eqeltrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ZZ )
93 eluz 10866 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 ) )  <->  ( (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
)  +  1 )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
9490, 92, 93syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 ) )  <-> 
( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  +  1 )  <_  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
9587, 94mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  +  1 ) ) )
9695adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 ) ) )
9722mptex 5943 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( A `
 ( 2  x.  n ) ) )  e.  _V
9845, 97eqeltri 2508 . . . . . 6  |-  D  e. 
_V
9998a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
10045fvmpt2 5776 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )  -> 
( D `  n
)  =  ( A `
 ( 2  x.  n ) ) )
10126, 44, 100syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  =  ( A `  (
2  x.  n ) ) )
10270adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  =  ( 2  x.  n ) )
103102eqcomd 2443 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n ) )
104103fveq2d 5690 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 ( 2  x.  n ) )  =  ( A `  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
) ) )
105101, 104eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  =  ( A `  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
) ) )
1061, 14, 37, 47, 11, 13, 49, 28, 19, 62, 96, 99, 105climsuse 29752 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  ~~>  C )
107 2nn0 10588 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
108107a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
10922mptex 5943 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  e.  _V
1105, 109eqeltri 2508 . . . . 5  |-  M  e. 
_V
111110a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  _V )
112 stirlinglem8.9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  RR+ )
113112rpcnd 11021 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  CC )
114113sqcld 11998 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( D `  n ) ^ 2 )  e.  CC )
1155fvmpt2 5776 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( D `  n ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( M `  n )  =  ( ( D `  n
) ^ 2 ) )
11626, 114, 115syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  =  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
1171, 37, 7, 11, 13, 46, 106, 108, 111, 116climexp 29749 . . 3  |-  ( ph  ->  M  ~~>  ( C ^
2 ) )
118 stirlinglem8.10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
119118rpcnd 11021 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
120118rpne0d 11024 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
121 2z 10670 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
122121a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
123119, 120, 122expne0d 12006 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =/=  0 )
1241, 30, 2fmptdf 5863 . . . 4  |-  ( ph  ->  L : NN --> CC )
125124ffvelrnda 5838 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( L `
 n )  e.  CC )
126116, 114eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  e.  CC )
127101oveq1d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( D `  n ) ^ 2 )  =  ( ( A `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )
128116, 127eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  =  ( ( A `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )
129101, 112eqeltrrd 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
130121a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  ZZ )
131129, 130rpexpcld 12023 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
132128, 131eqeltrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  e.  RR+ )
133132rpne0d 11024 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  =/=  0 )
134133neneqd 2619 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( M `  n )  =  0 )
135 0cn 9370 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
136 elsnc2g 3902 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
( M `  n
)  e.  { 0 }  <->  ( M `  n )  =  0 ) )
137135, 136ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( M `  n )  e.  { 0 }  <-> 
( M `  n
)  =  0 )
138134, 137sylnibr 305 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( M `  n )  e.  { 0 } )
139126, 138eldifd 3334 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
14029nn0zd 10737 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  4  e.  ZZ )
14127, 140rpexpcld 12023 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  RR+ )
142112, 130rpexpcld 12023 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( D `  n ) ^ 2 )  e.  RR+ )
143141, 142rpdivcld 11036 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  e.  RR+ )
1448fvmpt2 5776 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  e.  RR+ )  ->  ( F `  n
)  =  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) ) )
14526, 143, 144syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
1462fvmpt2 5776 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  RR+ )  ->  ( L `  n
)  =  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
14726, 141, 146syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( L `
 n )  =  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
148147, 116oveq12d 6104 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( L `  n )  /  ( M `  n ) )  =  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
149145, 148eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( ( L `  n )  /  ( M `  n )
) )
1501, 4, 7, 10, 11, 13, 33, 36, 117, 123, 125, 139, 149climdivf 29756 . 2  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( ( C ^ 4 )  / 
( C ^ 2 ) ) )
151 4cn 10391 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
152 2cn 10384 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
153 2p2e4 10431 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  2 )  =  4
154151, 152, 152, 153subaddrii 9689 . . . . . 6  |-  ( 4  -  2 )  =  2
155154eqcomi 2442 . . . . 5  |-  2  =  ( 4  -  2 )
156155a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  =  ( 4  -  2 ) )
157156oveq2d 6102 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( C ^ ( 4  -  2 ) ) )
15821nn0zd 10737 . . . 4  |-  ( ph  ->  4  e.  ZZ )
159119, 120, 122, 158expsubd 12011 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C ^ (
4  -  2 ) )  =  ( ( C ^ 4 )  /  ( C ^
2 ) ) )
160157, 159eqtrd 2470 . 2  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( ( C ^ 4 )  /  ( C ^
2 ) ) )
161150, 160breqtrrd 4313 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( C ^
2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   F/wnf 1589    e. wcel 1756   F/_wnfc 2561   _Vcvv 2967    C_ wss 3323   {csn 3872   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   4c4 10365   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   RR+crp 10983   ^cexp 11857    ~~> cli 12954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-cnfld 17799  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-cn 18811  df-cnp 18812  df-tx 19115  df-hmeo 19308  df-xms 19875  df-ms 19876  df-tms 19877  df-cncf 20434
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