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Theorem stirlinglem8 37511
Description: If A converges to C, then F converges to C^2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem8.1 |- F/ n ph
stirlinglem8.2 |- F/_ n A
stirlinglem8.3 |- F/_ n D
stirlinglem8.4 |- D = ( n e. NN |-> ( A ` ( 2 x. n ) ) )
stirlinglem8.5 |- ( ph -> A : NN --> RR+ )
stirlinglem8.6 |- F = ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
stirlinglem8.7 |- L = ( n e. NN |-> ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
stirlinglem8.8 |- M = ( n e. NN |-> ( ( D ` n ) ^ 2 ) )
stirlinglem8.9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) e. RR+ )
stirlinglem8.10 |- ( ph -> C e. RR+ )
stirlinglem8.11 |- ( ph -> A ~~> C )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem8 |- ( ph -> F ~~> ( C ^ 2 ) )
Proof of Theorem stirlinglem8
Dummy variable k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem8.1 . . 3 |- F/ n ph
2 stirlinglem8.7 . . . 4 |- L = ( n e. NN |-> ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
3 nfmpt1 4515 . . . 4 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
42, 3nfcxfr 2589 . . 3 |- F/_ n L
5 stirlinglem8.8 . . . 4 |- M = ( n e. NN |-> ( ( D ` n ) ^ 2 ) )
6 nfmpt1 4515 . . . 4 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( D ` n ) ^ 2 ) )
75, 6nfcxfr 2589 . . 3 |- F/_ n M
8 stirlinglem8.6 . . . 4 |- F = ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
9 nfmpt1 4515 . . . 4 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
108, 9nfcxfr 2589 . . 3 |- F/_ n F
11 nnuz 11194 . . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
12 1zzd 10968 . . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
13 stirlinglem8.2 . . . 4 |- F/_ n A
14 stirlinglem8.5 . . . . 5 |- ( ph -> A : NN --> RR+ )
15 rrpsscn 37237 . . . . 5 |- RR+ C_ CC
16 fss 5754 . . . . 5 |- ( ( A : NN --> RR+ /\ RR+ C_ CC ) -> A : NN --> CC )
1714, 15, 16sylancl 666 . . . 4 |- ( ph -> A : NN --> CC )
18 stirlinglem8.11 . . . 4 |- ( ph -> A ~~> C )
19 4nn0 10888 . . . . 5 |- 4 e. NN0
2019a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> 4 e. NN0 )
21 nnex 10615 . . . . . . 7 |- NN e. _V
2221mptex 6151 . . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( ( A ` n ) ^ 4 ) ) e. _V
232, 22eqeltri 2513 . . . . 5 |- L e. _V
2423a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> L e. _V )
25 simpr 462 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
2614ffvelrnda 6037 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) e. RR+ )
2726rpcnd 11343 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) e. CC )
2819a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 4 e. NN0 )
2927, 28expcld 12413 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A ` n ) ^ 4 ) e. CC )
302fvmpt2 5973 . . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ ( ( A ` n ) ^ 4 ) e. CC ) -> ( L ` n ) = ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
3125, 29, 30syl2anc 665 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( L ` n ) = ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
321, 13, 4, 11, 12, 17, 18, 20, 24, 31climexp 37254 . . 3 |- ( ph -> L ~~> ( C ^ 4 ) )
3321mptex 6151 . . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) ) e. _V
348, 33eqeltri 2513 . . . 4 |- F e. _V
3534a1i 11 . . 3 |- ( ph -> F e. _V )
36 stirlinglem8.3 . . . 4 |- F/_ n D
3717adantr 466 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A : NN --> CC )
38 2nn 10767 . . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
3938a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> 2 e. NN )
40 id 23 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> n e. NN )
4139, 40nnmulcld 10657 . . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. NN )
4241adantl 467 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 x. n ) e. NN )
4337, 42ffvelrnd 6038 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` ( 2 x. n ) ) e. CC )
44 stirlinglem8.4 . . . . 5 |- D = ( n e. NN |-> ( A ` ( 2 x. n ) ) )
451, 43, 44fmptdf 6063 . . . 4 |- ( ph -> D : NN --> CC )
46 nfmpt1 4515 . . . . 5 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) )
47 fex 6153 . . . . . 6 |- ( ( A : NN --> CC /\ NN e. _V ) -> A e. _V )
4817, 21, 47sylancl 666 . . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
49 1nn 10620 . . . . . . 7 |- 1 e. NN
50 2cnd 10682 . . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. CC )
51 1cnd 9658 . . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. CC )
5250, 51mulcld 9662 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. 1 ) e. CC )
53 oveq2 6313 . . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. 1 ) )
54 eqid 2429 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) = ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) )
5553, 54fvmptg 5962 . . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ ( 2 x. 1 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` 1 ) = ( 2 x. 1 ) )
5649, 52, 55sylancr 667 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` 1 ) = ( 2 x. 1 ) )
5738a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. NN )
5849a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. NN )
5957, 58nnmulcld 10657 . . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. 1 ) e. NN )
6056, 59eqeltrd 2517 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` 1 ) e. NN )
61 1red 9657 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> 1 e. RR )
6239nnred 10624 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> 2 e. RR )
6341nnred 10624 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. RR )
6439nnge1d 10652 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> 1 <_ 2 )
6561, 62, 63, 64leadd2dd 10227 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) <_ ( ( 2 x. n ) + 2 ) )
6654fvmpt2 5973 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ ( 2 x. n ) e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) = ( 2 x. n ) )
6741, 66mpdan 672 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) = ( 2 x. n ) )
6867oveq1d 6320 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) = ( ( 2 x. n ) + 1 ) )
69 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. k ) )
7069cbvmptv 4518 . . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) = ( k e. NN |-> ( 2 x. k ) )
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) = ( k e. NN |-> ( 2 x. k ) ) )
72 simpr 462 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ k = ( n + 1 ) ) -> k = ( n + 1 ) )
7372oveq2d 6321 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ k = ( n + 1 ) ) -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. ( n + 1 ) ) )
74 peano2nn 10621 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. NN )
7539, 74nnmulcld 10657 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 2 x. ( n + 1 ) ) e. NN )
7671, 73, 74, 75fvmptd 5970 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( 2 x. ( n + 1 ) ) )
77 2cnd 10682 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> 2 e. CC )
78 nncn 10617 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> n e. CC )
79 1cnd 9658 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> 1 e. CC )
8077, 78, 79adddid 9666 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( 2 x. ( n + 1 ) ) = ( ( 2 x. n ) + ( 2 x. 1 ) ) )
8177mulid1d 9659 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 2 x. 1 ) = 2 )
8281oveq2d 6321 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( 2 x. n ) + ( 2 x. 1 ) ) = ( ( 2 x. n ) + 2 ) )
8376, 80, 823eqtrd 2474 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( 2 x. n ) + 2 ) )
8465, 68, 833brtr4d 4456 . . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) <_ ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) )
8541nnzd 11039 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. ZZ )
8667, 85eqeltrd 2517 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) e. ZZ )
8786peano2zd 11043 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) e. ZZ )
8875nnzd 11039 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( 2 x. ( n + 1 ) ) e. ZZ )
8976, 88eqeltrd 2517 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ZZ )
90 eluz 11172 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) e. ZZ /\ ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) ) <-> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) <_ ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) ) )
9187, 89, 90syl2anc 665 . . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) ) <-> ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) <_ ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) ) )
9284, 91mpbird 235 . . . . . 6 |- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) ) )
9392adantl 467 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) + 1 ) ) )
9421mptex 6151 . . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( A ` ( 2 x. n ) ) ) e. _V
9544, 94eqeltri 2513 . . . . . 6 |- D e. _V
9695a1i 11 . . . . 5 |- ( ph -> D e. _V )
9744fvmpt2 5973 . . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ ( A ` ( 2 x. n ) ) e. CC ) -> ( D ` n ) = ( A ` ( 2 x. n ) ) )
9825, 43, 97syl2anc 665 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) = ( A ` ( 2 x. n ) ) )
9967adantl 467 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) = ( 2 x. n ) )
10099eqcomd 2437 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 x. n ) = ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) )
101100fveq2d 5885 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` ( 2 x. n ) ) = ( A ` ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) ) )
10298, 101eqtrd 2470 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) = ( A ` ( ( n e. NN |-> ( 2 x. n ) ) ` n ) ) )
1031, 13, 36, 46, 11, 12, 48, 27, 18, 60, 93, 96, 102climsuse 37258 . . . 4 |- ( ph -> D ~~> C )
104 2nn0 10886 . . . . 5 |- 2 e. NN0
105104a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> 2 e. NN0 )
10621mptex 6151 . . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) e. _V
1075, 106eqeltri 2513 . . . . 5 |- M e. _V
108107a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> M e. _V )
109 stirlinglem8.9 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) e. RR+ )
110109rpcnd 11343 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) e. CC )
111110sqcld 12411 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( D ` n ) ^ 2 ) e. CC )
1125fvmpt2 5973 . . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ ( ( D ` n ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( M ` n ) = ( ( D ` n ) ^ 2 ) )
11325, 111, 112syl2anc 665 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) = ( ( D ` n ) ^ 2 ) )
1141, 36, 7, 11, 12, 45, 103, 105, 108, 113climexp 37254 . . 3 |- ( ph -> M ~~> ( C ^ 2 ) )
115 stirlinglem8.10 . . . . 5 |- ( ph -> C e. RR+ )
116115rpcnd 11343 . . . 4 |- ( ph -> C e. CC )
117115rpne0d 11346 . . . 4 |- ( ph -> C =/= 0 )
118 2z 10969 . . . . 5 |- 2 e. ZZ
119118a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
120116, 117, 119expne0d 12419 . . 3 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) =/= 0 )
1211, 29, 2fmptdf 6063 . . . 4 |- ( ph -> L : NN --> CC )
122121ffvelrnda 6037 . . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( L ` n ) e. CC )
123113, 111eqeltrd 2517 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) e. CC )
12498oveq1d 6320 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( D ` n ) ^ 2 ) = ( ( A ` ( 2 x. n ) ) ^ 2 ) )
125113, 124eqtrd 2470 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) = ( ( A ` ( 2 x. n ) ) ^ 2 ) )
12698, 109eqeltrrd 2518 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` ( 2 x. n ) ) e. RR+ )
127118a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 2 e. ZZ )
128126, 127rpexpcld 12436 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A ` ( 2 x. n ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
129125, 128eqeltrd 2517 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) e. RR+ )
130129rpne0d 11346 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) =/= 0 )
131130neneqd 2632 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -. ( M ` n ) = 0 )
132 0cn 9634 . . . . . 6 |- 0 e. CC
133 elsnc2g 4032 . . . . . 6 |- ( 0 e. CC -> ( ( M ` n ) e. { 0 } <-> ( M ` n ) = 0 ) )
134132, 133ax-mp 5 . . . . 5 |- ( ( M ` n ) e. { 0 } <-> ( M ` n ) = 0 )
135131, 134sylnibr 306 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -. ( M ` n ) e. { 0 } )
136123, 135eldifd 3453 . . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` n ) e. ( CC \ { 0 } ) )
13728nn0zd 11038 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 4 e. ZZ )
13826, 137rpexpcld 12436 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A ` n ) ^ 4 ) e. RR+ )
139109, 127rpexpcld 12436 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( D ` n ) ^ 2 ) e. RR+ )
140138, 139rpdivcld 11358 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) e. RR+ )
1418fvmpt2 5973 . . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) e. RR+ ) -> ( F ` n ) = ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
14225, 140, 141syl2anc 665 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) = ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
1432fvmpt2 5973 . . . . . 6 |- ( ( n e. NN /\ ( ( A ` n ) ^ 4 ) e. RR+ ) -> ( L ` n ) = ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
14425, 138, 143syl2anc 665 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( L ` n ) = ( ( A ` n ) ^ 4 ) )
145144, 113oveq12d 6323 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( L ` n ) / ( M ` n ) ) = ( ( ( A ` n ) ^ 4 ) / ( ( D ` n ) ^ 2 ) ) )
146142, 145eqtr4d 2473 . . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) = ( ( L ` n ) / ( M ` n ) ) )
1471, 4, 7, 10, 11, 12, 32, 35, 114, 120, 122, 136, 146climdivf 37263 . 2 |- ( ph -> F ~~> ( ( C ^ 4 ) / ( C ^ 2 ) ) )
148 2cn 10680 . . . . . 6 |- 2 e. CC
149 2p2e4 10727 . . . . . 6 |- ( 2 + 2 ) = 4
150148, 148, 149mvlladdi 9891 . . . . 5 |- 2 = ( 4 - 2 )
151150a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> 2 = ( 4 - 2 ) )
152151oveq2d 6321 . . 3 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) = ( C ^ ( 4 - 2 ) ) )
15320nn0zd 11038 . . . 4 |- ( ph -> 4 e. ZZ )
154116, 117, 119, 153expsubd 12424 . . 3 |- ( ph -> ( C ^ ( 4 - 2 ) ) = ( ( C ^ 4 ) / ( C ^ 2 ) ) )
155152, 154eqtrd 2470 . 2 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) = ( ( C ^ 4 ) / ( C ^ 2 ) ) )
156147, 155breqtrrd 4452 1 |- ( ph -> F ~~> ( C ^ 2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   F/wnf 1663   e. wcel 1870   F/_wnfc 2577   _Vcvv 3087   C_ wss 3442   {csn 4002   class class class wbr 4426   |-> cmpt 4484   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   0cc0 9538   1c1 9539   + caddc 9541   x. cmul 9543   <_ cle 9675   - cmin 9859   / cdiv 10268   NNcn 10609   2c2 10659   4c4 10661   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   ^cexp 12269   ~~> cli 13526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806
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