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Theorem stirlinglem7 30022
Description: Algebraic manipulation of the formula for J(n). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem7.1  |-  J  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) )
stirlinglem7.2  |-  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) )
stirlinglem7.3  |-  H  =  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem7  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  K )  ~~>  ( J `
 N ) )
Distinct variable groups:    k, n    n, H    n, K    k, N, n
Allowed substitution hints:    H( k)    J( k, n)    K( k)

Proof of Theorem stirlinglem7
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11006 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10786 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ZZ )
4 1e0p1 10893 . . . . . . . 8  |-  1  =  ( 0  +  1 )
54a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  =  ( 0  +  1 ) )
65seqeq1d 11928 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  H )  =  seq ( 0  +  1 ) (  +  ,  H ) )
7 nn0uz 11005 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
8 0nn0 10704 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  NN0 )
10 stirlinglem7.3 . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
1110a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  ->  H  =  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) ) )
12 oveq2 6207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  j ) )
1312oveq1d 6214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
1413oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
1513oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
1614, 15oveq12d 6217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
( 2  x.  j
)  +  1 ) ) ) )
1716oveq2d 6215 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) ) )
1817adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  =  j
)  ->  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) ) )
19 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
j  e.  NN0 )
20 2cnd 10504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
2  e.  CC )
21 2cnd 10504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN0  ->  2  e.  CC )
22 nn0cn 10699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e.  CC )
2321, 22mulcld 9516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( 2  x.  j )  e.  CC )
24 ax-1cn 9450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
2623, 25addcld 9515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  CC )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  CC )
28 0re 9496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN0  ->  0  e.  RR )
30 2re 10501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
32 nn0re 10698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e.  RR )
3331, 32remulcld 9524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( 2  x.  j )  e.  RR )
34 1re 9495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
36 0le2 10522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <_  2
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN0  ->  0  <_ 
2 )
38 nn0ge0 10715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN0  ->  0  <_ 
j )
3931, 32, 37, 38mulge0d 10026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN0  ->  0  <_ 
( 2  x.  j
) )
40 0lt1 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  1
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN0  ->  0  <  1 )
4233, 35, 39, 41addgegt0d 10023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN0  ->  0  < 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
4329, 42ltned 9620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN0  ->  0  =/=  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
4443adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
0  =/=  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
4544necomd 2722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  0 )
4627, 45reccld 10210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  e.  CC )
47 nncn 10440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
4847adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
4920, 48mulcld 9516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  CC )
5024a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
1  e.  CC )
5149, 50addcld 9515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  CC )
5230a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
53 nnre 10439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
5452, 53remulcld 9524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
5534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
5636a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  2 )
5728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
58 nngt0 10461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
5957, 53, 58ltled 9632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
6052, 53, 56, 59mulge0d 10026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  N
) )
6140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  1 )
6254, 55, 60, 61addgegt0d 10023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
6362gt0ne0d 10014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  =/=  0 )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  =/=  0 )
6551, 64reccld 10210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  CC )
66 2nn0 10706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN0
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
2  e.  NN0 )
6867, 19nn0mulcld 10751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  j
)  e.  NN0 )
69 1nn0 10705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN0
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
1  e.  NN0 )
7168, 70nn0addcld 10750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  NN0 )
7265, 71expcld 12124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  e.  CC )
7346, 72mulcld 9516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  CC )
7420, 73mulcld 9516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
7511, 18, 19, 74fvmptd 5887 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( H `  j
)  =  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
( 2  x.  j
)  +  1 ) ) ) ) )
7675, 74eqeltrd 2542 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( H `  j
)  e.  CC )
7710stirlinglem6 30021 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )
787, 9, 76, 77clim2ser 13249 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  seq ( 0  +  1 ) (  +  ,  H )  ~~>  ( ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  -  (  seq 0
(  +  ,  H
) `  0 )
) )
796, 78eqbrtrd 4419 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  -  (  seq 0
(  +  ,  H
) `  0 )
) )
80 0z 10767 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
81 seq1 11935 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (  seq 0 (  +  ,  H ) `  0
)  =  ( H `
 0 ) )
8280, 81mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq 0 (  +  ,  H ) `  0
)  =  ( H `
 0 ) )
8310a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  H  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( 2  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) ) )
84 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  0 )  ->  k  =  0 )
8584oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  0 )  ->  ( 2  x.  k )  =  ( 2  x.  0 ) )
8685oveq1d 6214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  0 )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )
8786oveq2d 6215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  0 )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) )
8886oveq2d 6215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  0 )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) )
8987, 88oveq12d 6217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  0 )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  0 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) ) )
9089oveq2d 6215 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  0 )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) ) ) )
91 2cnd 10504 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
92 0cnd 9489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  CC )
9391, 92mulcld 9516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  0 )  e.  CC )
9424a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
9593, 94addcld 9515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  0 )  +  1 )  e.  CC )
9691mul01d 9678 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  0 )  =  0 )
9796eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  0  =  ( 2  x.  0 ) )
9897oveq1d 6214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  +  1 )  =  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )
995, 98eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  1  =  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )
10061, 99breqtrd 4423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )
101100gt0ne0d 10014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  0 )  +  1 )  =/=  0 )
10295, 101reccld 10210 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )  e.  CC )
10391, 47mulcld 9516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
104103, 94addcld 9515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  CC )
105104, 63reccld 10210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  CC )
10699, 69syl6eqelr 2551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  0 )  +  1 )  e.  NN0 )
107105, 106expcld 12124 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )  e.  CC )
108102, 107mulcld 9516 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  0 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) )  e.  CC )
10991, 108mulcld 9516 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
11083, 90, 9, 109fvmptd 5887 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( H `  0 )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) ) ) )
11196oveq1d 6214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  0 )  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
112111, 4syl6eqr 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  0 )  +  1 )  =  1 )
113112oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
11494div1d 10209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  1 )  =  1 )
115113, 114eqtrd 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )  =  1 )
116112oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
1 ) )
117105exp1d 12119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ 1 )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
118116, 117eqtrd 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
119115, 118oveq12d 6217 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  0 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
120105mulid2d 9514 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
121119, 120eqtrd 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  0 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
122121oveq2d 6215 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
12391, 94, 104, 63divassd 10252 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
12491mulid1d 9513 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  =  2 )
125124oveq1d 6214 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  ( 2  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
126122, 123, 1253eqtr2d 2501 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
12782, 110, 1263eqtrd 2499 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq 0 (  +  ,  H ) `  0
)  =  ( 2  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
128127oveq2d 6215 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  (  seq 0 (  +  ,  H ) `  0
) )  =  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 2  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )
12979, 128breqtrd 4423 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 2  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )
13094, 103addcld 9515 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  ( 2  x.  N ) )  e.  CC )
131130halfcld 10679 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  e.  CC )
132 seqex 11924 . . . . 5  |-  seq 1
(  +  ,  K
)  e.  _V
133132a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  K )  e.  _V )
134 elnnuz 11007 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  <->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
135134biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
136135adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
13710a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  H  =  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) ) )
138 oveq2 6207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  n ) )
139138oveq1d 6214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
140139oveq2d 6215 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
141139oveq2d 6215 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
142140, 141oveq12d 6217 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
143142oveq2d 6215 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
144143adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j
) )  /\  k  =  n )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
145 elfzuz 11565 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
146 elnnuz 11007 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
147146biimpri 206 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  n  e.  NN )
148 nnnn0 10696 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
149145, 147, 1483syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  n  e.  NN0 )
150149adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  NN0 )
151 2cnd 10504 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  e.  CC )
152150nn0cnd 10748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  CC )
153151, 152mulcld 9516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  CC )
15424a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  1  e.  CC )
155153, 154addcld 9515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
2  x.  n )  +  1 )  e.  CC )
156 elfznn 11594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  n  e.  NN )
15728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  e.  RR )
15834a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
15930a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
160 nnre 10439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
161159, 160remulcld 9524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
162161, 158readdcld 9523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  RR )
16340a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  1 )
164 2rp 11106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR+
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
166 nnrp 11110 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
167165, 166rpmulcld 11153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR+ )
168158, 167ltaddrp2d 11167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
169157, 158, 162, 163, 168lttrd 9642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
170169gt0ne0d 10014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =/=  0 )
171156, 170syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =/=  0 )
172171adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
2  x.  n )  +  1 )  =/=  0 )
173155, 172reccld 10210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
174105ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  CC )
17566a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  e.  NN0 )
176175, 150nn0mulcld 10751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  n )  e. 
NN0 )
17769a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  1  e.  NN0 )
178176, 177nn0addcld 10750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
2  x.  n )  +  1 )  e. 
NN0 )
179174, 178expcld 12124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
180173, 179mulcld 9516 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  CC )
181151, 180mulcld 9516 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
182137, 144, 150, 181fvmptd 5887 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( H `  n )  =  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
183182, 181eqeltrd 2542 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( H `  n )  e.  CC )
184 addcl 9474 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC )  ->  ( n  +  i )  e.  CC )
185184adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC ) )  -> 
( n  +  i )  e.  CC )
186136, 183, 185seqcl 11942 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 j )  e.  CC )
18724a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC ) )  -> 
1  e.  CC )
188 2cnd 10504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC ) )  -> 
2  e.  CC )
18947ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC ) )  ->  N  e.  CC )
190188, 189mulcld 9516 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC ) )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  CC )
191187, 190addcld 9515 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC ) )  -> 
( 1  +  ( 2  x.  N ) )  e.  CC )
192191halfcld 10679 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  e.  CC )
193 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC ) )  ->  n  e.  CC )
194 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC ) )  -> 
i  e.  CC )
195192, 193, 194adddid 9520 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  (
n  +  i ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  n )  +  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  i ) ) )
196 stirlinglem7.2 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) )
197196a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) ) )
198138oveq2d 6215 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) ) )
199140, 198oveq12d 6217 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  n ) ) ) )
200199adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j
) )  /\  k  =  n )  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  n ) ) ) )
201156adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  NN )
202174, 176expcld 12124 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
203173, 202mulcld 9516 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) ) )  e.  CC )
204197, 200, 201, 203fvmptd 5887 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
205130ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  e.  CC )
206 2ne0 10524 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
207206a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  =/=  0 )
208205, 151, 181, 207div32d 10240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( 2  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  x.  (
( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  /  2 ) ) )
209180, 151, 207divcan3d 10222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  /  2 )  =  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
210209oveq2d 6215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  +  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )  / 
2 ) )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
211205, 173, 179mul12d 9688 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  +  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( 1  +  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
212104ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
2  x.  N )  +  1 )  e.  CC )
21363ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
2  x.  N )  +  1 )  =/=  0 )
214178nn0zd 10855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
2  x.  n )  +  1 )  e.  ZZ )
215212, 213, 214exprecd 12132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
216215oveq2d 6215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  +  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  x.  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
217212, 178expcld 12124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
218212, 213, 214expne0d 12130 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =/=  0 )
219205, 217, 218divrecd 10220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  +  ( 2  x.  N ) )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  x.  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
22047ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  N  e.  CC )
221151, 220mulcld 9516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  CC )
222154, 221addcomd 9681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
223212, 176expcld 12124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
224223, 212mulcomd 9517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
225222, 224oveq12d 6217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  +  ( 2  x.  N ) )  /  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) )
226212, 176expp1d 12125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
( 2  x.  n
) )  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )
227226oveq2d 6215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  +  ( 2  x.  N ) )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ (
2  x.  n ) )  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )
228 2z 10788 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
229228a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  e.  ZZ )
230150nn0zd 10855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  ZZ )
231229, 230zmulcld 10863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  ZZ )
232212, 213, 231expne0d 12130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
233212, 212, 223, 213, 232divdiv1d 10248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) )
234225, 227, 2333eqtr4d 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  +  ( 2  x.  N ) )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
235216, 219, 2343eqtr2d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  +  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
236235oveq2d 6215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) )
237212, 213dividd 10215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  1 )
238 1exp 12009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( 2  x.  n ) )  =  1 )
239231, 238syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1 ^ ( 2  x.  n ) )  =  1 )
240237, 239eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  ( 1 ^ (
2  x.  n ) ) )
241240oveq1d 6214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( 1 ^ ( 2  x.  n
) )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
242154, 212, 213, 176expdivd 12138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) )  =  ( ( 1 ^ ( 2  x.  n
) )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
243241, 242eqtr4d 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  n ) ) )
244243oveq2d 6215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ (
2  x.  n ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
245211, 236, 2443eqtrd 2499 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  +  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
246208, 210, 2453eqtrd 2499 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( 2  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
247182eqcomd 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )  =  ( H `  n
) )
248247oveq2d 6215 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( 2  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( H `  n )
) )
249204, 246, 2483eqtr2d 2501 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  =  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( H `
 n ) ) )
250185, 195, 136, 183, 249seqdistr 11973 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  K ) `
 j )  =  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  j
) ) )
2511, 3, 129, 131, 133, 186, 250climmulc2 13231 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  K )  ~~>  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  -  (
2  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) ) )
25294, 103addcomd 9681 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  ( 2  x.  N ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
253252oveq1d 6214 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
2 ) )
254253oveq1d 6214 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 2  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  2 )  x.  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 2  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) ) )
255253, 131eqeltrrd 2543 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  e.  CC )
25647, 94addcld 9515 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
257 nnne0 10464 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
258256, 47, 257divcld 10217 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  e.  CC )
25953, 55readdcld 9523 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
26053ltp1d 10373 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
26157, 53, 259, 58, 260lttrd 9642 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( N  +  1 ) )
262261gt0ne0d 10014 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
263256, 47, 262, 257divne0d 10233 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  =/=  0 )
264258, 263logcld 22154 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  e.  CC )
26591, 104, 63divcld 10217 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  CC )
266255, 264, 265subdid 9910 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2
)  x.  ( ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 2  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2
)  x.  ( 2  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) ) )
267103, 94addcomd 9681 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  =  ( 1  +  ( 2  x.  N
) ) )
268267oveq1d 6214 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 ) )
269268oveq1d 6214 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
270206a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
271104, 91, 63, 270divcan6d 10236 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2
)  x.  ( 2  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  1 )
272269, 271oveq12d 6217 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
273254, 266, 2723eqtrd 2499 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 2  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
274251, 273breqtrd 4423 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  K )  ~~>  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  - 
1 ) )
275 stirlinglem7.1 . . . 4  |-  J  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) )
276275a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  J  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) ) )
277 oveq2 6207 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  N ) )
278277oveq2d 6215 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
1  +  ( 2  x.  n ) )  =  ( 1  +  ( 2  x.  N
) ) )
279278oveq1d 6214 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 ) )
280 oveq1 6206 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
n  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
281 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  n  =  N )
282280, 281oveq12d 6217 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( n  +  1 )  /  n )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
283282fveq2d 5802 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) )  =  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )
284279, 283oveq12d 6217 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( 1  +  ( 2  x.  n
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
285284oveq1d 6214 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
286285adantl 466 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  =  N )  ->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  - 
1 ) )
287 id 22 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN )
288131, 264mulcld 9516 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  e.  CC )
289288, 94subcld 9829 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )
290276, 286, 287, 289fvmptd 5887 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( J `  N )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
291274, 290breqtrrd 4425 1  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  K )  ~~>  ( J `
 N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2647   _Vcvv 3076   class class class wbr 4399    |-> cmpt 4457   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   RRcr 9391   0cc0 9392   1c1 9393    + caddc 9395    x. cmul 9397    < clt 9528    <_ cle 9529    - cmin 9705    / cdiv 10103   NNcn 10432   2c2 10481   NN0cn0 10689   ZZcz 10756   ZZ>=cuz 10971   RR+crp 11101   ...cfz 11553    seqcseq 11922   ^cexp 11981    ~~> cli 13079   logclog 22138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-addf 9471  ax-mulf 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-pm 7326  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-ioo 11414  df-ioc 11415  df-ico 11416  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-fl 11758  df-mod 11825  df-seq 11923  df-exp 11982  df-fac 12168  df-bc 12195  df-hash 12220  df-shft 12673  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-limsup 13066  df-clim 13083  df-rlim 13084  df-sum 13281  df-ef 13470  df-sin 13472  df-cos 13473  df-tan 13474  df-pi 13475  df-dvds 13653  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-hom 14380  df-cco 14381  df-rest 14479  df-topn 14480  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-topgen 14500  df-pt 14501  df-prds 14504  df-xrs 14558  df-qtop 14563  df-imas 14564  df-xps 14566  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-mulg 15666  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-fbas 17938  df-fg 17939  df-cnfld 17943  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-cld 18754  df-ntr 18755  df-cls 18756  df-nei 18833  df-lp 18871  df-perf 18872  df-cn 18962  df-cnp 18963  df-haus 19050  df-cmp 19121  df-tx 19266  df-hmeo 19459  df-fil 19550  df-fm 19642  df-flim 19643  df-flf 19644  df-xms 20026  df-ms 20027  df-tms 20028  df-cncf 20585  df-limc 21473  df-dv 21474  df-ulm 21974  df-log 22140
This theorem is referenced by:  stirlinglem9  30024
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