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Theorem stirlinglem7 29721
Description: Algebraic manipulation of the formula for J(n). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem7.1  |-  J  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) )
stirlinglem7.2  |-  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) )
stirlinglem7.3  |-  H  =  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem7  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  K )  ~~>  ( J `
 N ) )
Distinct variable groups:    k, n    n, H    n, K    k, N, n
Allowed substitution hints:    H( k)    J( k, n)    K( k)

Proof of Theorem stirlinglem7
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10884 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10664 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ZZ )
4 1e0p1 10771 . . . . . . . 8  |-  1  =  ( 0  +  1 )
54a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  =  ( 0  +  1 ) )
65seqeq1d 11796 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  H )  =  seq ( 0  +  1 ) (  +  ,  H ) )
7 nn0uz 10883 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
8 0nn0 10582 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  NN0 )
10 stirlinglem7.3 . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
1110a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  ->  H  =  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) ) )
12 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  j ) )
1312oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
1413oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
1513oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
1614, 15oveq12d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
( 2  x.  j
)  +  1 ) ) ) )
1716oveq2d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) ) )
1817adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  =  j
)  ->  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) ) )
19 simpr 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
j  e.  NN0 )
20 2cnd 10382 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
2  e.  CC )
21 2cnd 10382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN0  ->  2  e.  CC )
22 nn0cn 10577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e.  CC )
2321, 22mulcld 9394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( 2  x.  j )  e.  CC )
24 ax-1cn 9328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
2623, 25addcld 9393 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  CC )
2726adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  CC )
28 0re 9374 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN0  ->  0  e.  RR )
30 2re 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
32 nn0re 10576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e.  RR )
3331, 32remulcld 9402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( 2  x.  j )  e.  RR )
34 1re 9373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
36 0le2 10400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <_  2
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN0  ->  0  <_ 
2 )
38 nn0ge0 10593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN0  ->  0  <_ 
j )
3931, 32, 37, 38mulge0d 9904 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN0  ->  0  <_ 
( 2  x.  j
) )
40 0lt1 9850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  1
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN0  ->  0  <  1 )
4233, 35, 39, 41addgegt0d 9901 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN0  ->  0  < 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
4329, 42ltned 9498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN0  ->  0  =/=  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
4443adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
0  =/=  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
4544necomd 2685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  0 )
4627, 45reccld 10088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  e.  CC )
47 nncn 10318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
4847adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
4920, 48mulcld 9394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  CC )
5024a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
1  e.  CC )
5149, 50addcld 9393 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  CC )
5230a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
53 nnre 10317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
5452, 53remulcld 9402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
5534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
5636a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  2 )
5728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
58 nngt0 10339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
5957, 53, 58ltled 9510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
6052, 53, 56, 59mulge0d 9904 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  N
) )
6140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  1 )
6254, 55, 60, 61addgegt0d 9901 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
6362gt0ne0d 9892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  =/=  0 )
6463adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  =/=  0 )
6551, 64reccld 10088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  CC )
66 2nn0 10584 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN0
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
2  e.  NN0 )
6867, 19nn0mulcld 10629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  j
)  e.  NN0 )
69 1nn0 10583 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN0
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
1  e.  NN0 )
7168, 70nn0addcld 10628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  NN0 )
7265, 71expcld 11992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  e.  CC )
7346, 72mulcld 9394 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  CC )
7420, 73mulcld 9394 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
7511, 18, 19, 74fvmptd 5767 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( H `  j
)  =  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
( 2  x.  j
)  +  1 ) ) ) ) )
7675, 74eqeltrd 2507 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( H `  j
)  e.  CC )
7710stirlinglem6 29720 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )
787, 9, 76, 77clim2ser 13116 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  seq ( 0  +  1 ) (  +  ,  H )  ~~>  ( ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  -  (  seq 0
(  +  ,  H
) `  0 )
) )
796, 78eqbrtrd 4300 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  -  (  seq 0
(  +  ,  H
) `  0 )
) )
80 0z 10645 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
81 seq1 11803 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (  seq 0 (  +  ,  H ) `  0
)  =  ( H `
 0 ) )
8280, 81mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq 0 (  +  ,  H ) `  0
)  =  ( H `
 0 ) )
8310a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  H  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( 2  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) ) )
84 simpr 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  0 )  ->  k  =  0 )
8584oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  0 )  ->  ( 2  x.  k )  =  ( 2  x.  0 ) )
8685oveq1d 6095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  0 )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )
8786oveq2d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  0 )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) )
8886oveq2d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  0 )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) )
8987, 88oveq12d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  0 )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  0 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) ) )
9089oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  0 )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) ) ) )
91 2cnd 10382 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
92 0cnd 9367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  CC )
9391, 92mulcld 9394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  0 )  e.  CC )
9424a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
9593, 94addcld 9393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  0 )  +  1 )  e.  CC )
9691mul01d 9556 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  0 )  =  0 )
9796eqcomd 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  0  =  ( 2  x.  0 ) )
9897oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  +  1 )  =  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )
995, 98eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  1  =  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )
10061, 99breqtrd 4304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )
101100gt0ne0d 9892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  0 )  +  1 )  =/=  0 )
10295, 101reccld 10088 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )  e.  CC )
10391, 47mulcld 9394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
104103, 94addcld 9393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  CC )
105104, 63reccld 10088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  CC )
10699, 69syl6eqelr 2522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  0 )  +  1 )  e.  NN0 )
107105, 106expcld 11992 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )  e.  CC )
108102, 107mulcld 9394 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  0 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) )  e.  CC )
10991, 108mulcld 9394 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
11083, 90, 9, 109fvmptd 5767 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( H `  0 )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) ) ) )
11196oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  0 )  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
112111, 4syl6eqr 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  0 )  +  1 )  =  1 )
113112oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
11494div1d 10087 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  1 )  =  1 )
115113, 114eqtrd 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )  =  1 )
116112oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
1 ) )
117105exp1d 11987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ 1 )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
118116, 117eqtrd 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
119115, 118oveq12d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  0 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
120105mulid2d 9392 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
121119, 120eqtrd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  0 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
122121oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
12391, 94, 104, 63divassd 10130 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
12491mulid1d 9391 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  =  2 )
125124oveq1d 6095 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  ( 2  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
126122, 123, 1253eqtr2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
12782, 110, 1263eqtrd 2469 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq 0 (  +  ,  H ) `  0
)  =  ( 2  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
128127oveq2d 6096 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  (  seq 0 (  +  ,  H ) `  0
) )  =  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 2  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )
12979, 128breqtrd 4304 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 2  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )
13094, 103addcld 9393 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  ( 2  x.  N ) )  e.  CC )
131130halfcld 10557 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  e.  CC )
132 seqex 11792 . . . . 5  |-  seq 1
(  +  ,  K
)  e.  _V
133132a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  K )  e.  _V )
134 elnnuz 10885 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  <->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
135134biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
136135adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
13710a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  H  =  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) ) )
138 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  n ) )
139138oveq1d 6095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
140139oveq2d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
141139oveq2d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
142140, 141oveq12d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
143142oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
144143adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j
) )  /\  k  =  n )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
145 elfzuz 11436 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
146 elnnuz 10885 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
147146biimpri 206 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  n  e.  NN )
148 nnnn0 10574 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
149145, 147, 1483syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  n  e.  NN0 )
150149adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  NN0 )
151 2cnd 10382 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  e.  CC )
152150nn0cnd 10626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  CC )
153151, 152mulcld 9394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  CC )
15424a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  1  e.  CC )
155153, 154addcld 9393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
2  x.  n )  +  1 )  e.  CC )
156 elfznn 11465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  n  e.  NN )
15728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  e.  RR )
15834a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
15930a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
160 nnre 10317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
161159, 160remulcld 9402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
162161, 158readdcld 9401 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  RR )
16340a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  1 )
164 2rp 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR+
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
166 nnrp 10988 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
167165, 166rpmulcld 11031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR+ )
168158, 167ltaddrp2d 11045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
169157, 158, 162, 163, 168lttrd 9520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
170169gt0ne0d 9892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =/=  0 )
171156, 170syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =/=  0 )
172171adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
2  x.  n )  +  1 )  =/=  0 )
173155, 172reccld 10088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
174105ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  CC )
17566a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  e.  NN0 )
176175, 150nn0mulcld 10629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  n )  e. 
NN0 )
17769a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  1  e.  NN0 )
178176, 177nn0addcld 10628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
2  x.  n )  +  1 )  e. 
NN0 )
179174, 178expcld 11992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
180173, 179mulcld 9394 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  CC )
181151, 180mulcld 9394 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
182137, 144, 150, 181fvmptd 5767 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( H `  n )  =  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
183182, 181eqeltrd 2507 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( H `  n )  e.  CC )
184 addcl 9352 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC )  ->  ( n  +  i )  e.  CC )
185184adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC ) )  -> 
( n  +  i )  e.  CC )
186136, 183, 185seqcl 11810 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 j )  e.  CC )
18724a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC ) )  -> 
1  e.  CC )
188 2cnd 10382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC ) )  -> 
2  e.  CC )
18947ad2antrr 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC ) )  ->  N  e.  CC )
190188, 189mulcld 9394 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC ) )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  CC )
191187, 190addcld 9393 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC ) )  -> 
( 1  +  ( 2  x.  N ) )  e.  CC )
192191halfcld 10557 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  e.  CC )
193 simprl 748 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC ) )  ->  n  e.  CC )
194 simprr 749 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC ) )  -> 
i  e.  CC )
195192, 193, 194adddid 9398 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  (
n  +  i ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  n )  +  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  i ) ) )
196 stirlinglem7.2 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) )
197196a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) ) )
198138oveq2d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) ) )
199140, 198oveq12d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  n ) ) ) )
200199adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j
) )  /\  k  =  n )  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  n ) ) ) )
201156adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  NN )
202174, 176expcld 11992 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
203173, 202mulcld 9394 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) ) )  e.  CC )
204197, 200, 201, 203fvmptd 5767 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
205130ad2antrr 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  e.  CC )
206 2ne0 10402 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
207206a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  =/=  0 )
208205, 151, 181, 207div32d 10118 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( 2  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  x.  (
( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  /  2 ) ) )
209180, 151, 207divcan3d 10100 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  /  2 )  =  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
210209oveq2d 6096 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  +  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )  / 
2 ) )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
211205, 173, 179mul12d 9566 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  +  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( 1  +  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
212104ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
2  x.  N )  +  1 )  e.  CC )
21363ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
2  x.  N )  +  1 )  =/=  0 )
214178nn0zd 10733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
2  x.  n )  +  1 )  e.  ZZ )
215212, 213, 214exprecd 12000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
216215oveq2d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  +  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  x.  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
217212, 178expcld 11992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
218212, 213, 214expne0d 11998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =/=  0 )
219205, 217, 218divrecd 10098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  +  ( 2  x.  N ) )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  x.  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
22047ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  N  e.  CC )
221151, 220mulcld 9394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  CC )
222154, 221addcomd 9559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
223212, 176expcld 11992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
224223, 212mulcomd 9395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
225222, 224oveq12d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  +  ( 2  x.  N ) )  /  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) )
226212, 176expp1d 11993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
( 2  x.  n
) )  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )
227226oveq2d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  +  ( 2  x.  N ) )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ (
2  x.  n ) )  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )
228 2z 10666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
229228a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  e.  ZZ )
230150nn0zd 10733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  ZZ )
231229, 230zmulcld 10741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  ZZ )
232212, 213, 231expne0d 11998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
233212, 212, 223, 213, 232divdiv1d 10126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) )
234225, 227, 2333eqtr4d 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  +  ( 2  x.  N ) )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
235216, 219, 2343eqtr2d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  +  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
236235oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) )
237212, 213dividd 10093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  1 )
238 1exp 11877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( 2  x.  n ) )  =  1 )
239231, 238syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1 ^ ( 2  x.  n ) )  =  1 )
240237, 239eqtr4d 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  ( 1 ^ (
2  x.  n ) ) )
241240oveq1d 6095 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( 1 ^ ( 2  x.  n
) )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
242154, 212, 213, 176expdivd 12006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) )  =  ( ( 1 ^ ( 2  x.  n
) )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
243241, 242eqtr4d 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  n ) ) )
244243oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ (
2  x.  n ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
245211, 236, 2443eqtrd 2469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  +  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
246208, 210, 2453eqtrd 2469 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( 2  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
247182eqcomd 2438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )  =  ( H `  n
) )
248247oveq2d 6096 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( 2  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( H `  n )
) )
249204, 246, 2483eqtr2d 2471 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  =  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( H `
 n ) ) )
250185, 195, 136, 183, 249seqdistr 11841 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  K ) `
 j )  =  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  j
) ) )
2511, 3, 129, 131, 133, 186, 250climmulc2 13098 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  K )  ~~>  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  -  (
2  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) ) )
25294, 103addcomd 9559 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  ( 2  x.  N ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
253252oveq1d 6095 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
2 ) )
254253oveq1d 6095 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 2  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  2 )  x.  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 2  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) ) )
255253, 131eqeltrrd 2508 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  e.  CC )
25647, 94addcld 9393 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
257 nnne0 10342 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
258256, 47, 257divcld 10095 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  e.  CC )
25953, 55readdcld 9401 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
26053ltp1d 10251 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
26157, 53, 259, 58, 260lttrd 9520 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( N  +  1 ) )
262261gt0ne0d 9892 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
263256, 47, 262, 257divne0d 10111 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  =/=  0 )
264258, 263logcld 21907 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  e.  CC )
26591, 104, 63divcld 10095 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  CC )
266255, 264, 265subdid 9788 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2
)  x.  ( ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 2  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2
)  x.  ( 2  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) ) )
267103, 94addcomd 9559 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  =  ( 1  +  ( 2  x.  N
) ) )
268267oveq1d 6095 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 ) )
269268oveq1d 6095 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
270206a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
271104, 91, 63, 270divcan6d 10114 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2
)  x.  ( 2  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  1 )
272269, 271oveq12d 6098 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
273254, 266, 2723eqtrd 2469 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 2  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
274251, 273breqtrd 4304 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  K )  ~~>  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  - 
1 ) )
275 stirlinglem7.1 . . . 4  |-  J  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) )
276275a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  J  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) ) )
277 oveq2 6088 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  N ) )
278277oveq2d 6096 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
1  +  ( 2  x.  n ) )  =  ( 1  +  ( 2  x.  N
) ) )
279278oveq1d 6095 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 ) )
280 oveq1 6087 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
n  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
281 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  n  =  N )
282280, 281oveq12d 6098 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( n  +  1 )  /  n )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
283282fveq2d 5683 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) )  =  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )
284279, 283oveq12d 6098 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( 1  +  ( 2  x.  n
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
285284oveq1d 6095 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
286285adantl 463 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  =  N )  ->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  - 
1 ) )
287 id 22 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN )
288131, 264mulcld 9394 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  e.  CC )
289288, 94subcld 9707 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )
290276, 286, 287, 289fvmptd 5767 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( J `  N )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
291274, 290breqtrrd 4306 1  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  K )  ~~>  ( J `
 N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   _Vcvv 2962   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275    < clt 9406    <_ cle 9407    - cmin 9583    / cdiv 9981   NNcn 10310   2c2 10359   NN0cn0 10567   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849   RR+crp 10979   ...cfz 11424    seqcseq 11790   ^cexp 11849    ~~> cli 12946   logclog 21891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-ioc 11293  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-mod 11693  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-bc 12063  df-hash 12088  df-shft 12540  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-limsup 12933  df-clim 12950  df-rlim 12951  df-sum 13148  df-ef 13336  df-sin 13338  df-cos 13339  df-tan 13340  df-pi 13341  df-dvds 13519  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-fbas 17658  df-fg 17659  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cls 18467  df-nei 18544  df-lp 18582  df-perf 18583  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-haus 18761  df-cmp 18832  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-fil 19261  df-fm 19353  df-flim 19354  df-flf 19355  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-cncf 20296  df-limc 21183  df-dv 21184  df-ulm 21727  df-log 21893
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