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Theorem stirlinglem6 30017
Description: A series that converges to log (N+1)/N (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
stirlinglem6.1  |-  H  =  ( j  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem6  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )
Distinct variable group:    j, N
Allowed substitution hint:    H( j)

Proof of Theorem stirlinglem6
StepHypRef Expression
1 eqid 2452 . . 3  |-  ( j  e.  NN  |->  ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ j )  /  j ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ j )  /  j ) ) )
2 eqid 2452 . . 3  |-  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ j )  /  j ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ j )  / 
j ) )
3 eqid 2452 . . 3  |-  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  (
( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ j
)  /  j ) )  +  ( ( ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ j )  /  j ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  (
( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ j
)  /  j ) )  +  ( ( ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ j )  /  j ) ) )
4 stirlinglem6.1 . . 3  |-  H  =  ( j  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) ) )
5 eqid 2452 . . 3  |-  ( j  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  =  ( j  e. 
NN0  |->  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
6 2re 10497 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
8 nnre 10435 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
97, 8remulcld 9520 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
10 0le2 10518 . . . . . . 7  |-  0  <_  2
1110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  2 )
12 0re 9492 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
1312a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
14 nngt0 10457 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
1513, 8, 14ltled 9628 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
167, 8, 11, 15mulge0d 10022 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  N
) )
179, 16ge0p1rpd 11159 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  RR+ )
1817rpreccld 11143 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR+ )
19 1re 9491 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2019a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
2120renegcld 9881 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  e.  RR )
2218rpred 11133 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR )
23 neg1lt0 10534 . . . . . 6  |-  -u 1  <  0
2423a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  <  0 )
2518rpgt0d 11136 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )
2621, 13, 22, 24, 25lttrd 9638 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  <  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )
27 1rp 11101 . . . . . 6  |-  1  e.  RR+
2827a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR+ )
29 ax-1cn 9446 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
3029a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
3130div1d 10205 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  1 )  =  1 )
32 2rp 11102 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
3332a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
34 nnrp 11106 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
3533, 34rpmulcld 11149 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR+ )
3620, 35ltaddrp2d 11163 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
3731, 36eqbrtrd 4415 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  1 )  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
3828, 17, 37ltrec1d 11153 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <  1 )
3922, 20absltd 13029 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( abs `  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  <  1  <->  ( -u 1  <  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  /\  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  <  1 ) ) )
4026, 38, 39mpbir2and 913 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  <  1 )
411, 2, 3, 4, 5, 18, 40stirlinglem5 30016 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( log `  ( ( 1  +  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  /  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) ) ) )
42 2cnd 10500 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
43 nncn 10436 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
4442, 43mulcld 9512 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
4544, 30addcld 9511 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  CC )
469, 20readdcld 9519 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  RR )
47 2pos 10519 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  2 )
497, 8, 48, 14mulgt0d 9632 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( 2  x.  N
) )
509ltp1d 10369 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
5113, 9, 46, 49, 50lttrd 9638 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
5251gt0ne0d 10010 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  =/=  0 )
5345, 52dividd 10211 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  1 )
5453eqcomd 2460 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
5554oveq1d 6210 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  +  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
5654oveq1d 6210 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  -  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
5755, 56oveq12d 6213 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  +  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  / 
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  -  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) ) )
5845, 30, 45, 52divdird 10251 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  +  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
5958eqcomd 2460 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  +  1 )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
6045, 30, 45, 52divsubdird 10252 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  -  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
6160eqcomd 2460 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  -  1 )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
6259, 61oveq12d 6213 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  / 
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  - 
1 )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
6344, 30, 30addassd 9514 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 1  +  1 ) ) )
64 1p1e2 10541 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  1 )  =  2
6564a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  1 )  =  2 )
6665oveq2d 6211 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  2 ) )
6742mulid1d 9509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  =  2 )
6867eqcomd 2460 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  2  =  ( 2  x.  1 ) )
6968oveq2d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  2 )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
7042, 43, 30adddid 9516 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
7169, 70eqtr4d 2496 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  2 )  =  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )
7263, 66, 713eqtrd 2497 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  =  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )
7372oveq1d 6210 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
7444, 30pncand 9826 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  N ) )
7574oveq1d 6210 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
7673, 75oveq12d 6213 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  N )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
7762, 76eqtrd 2493 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  N )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
7843, 30addcld 9511 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
7942, 78mulcld 9512 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
8049gt0ne0d 10010 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  =/=  0 )
8179, 44, 45, 80, 52divcan7d 10241 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( N  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  N )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( 2  x.  N
) ) )
8248gt0ne0d 10010 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
8314gt0ne0d 10010 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
8442, 42, 78, 43, 82, 83divmuldivd 10254 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  /  2
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( 2  x.  N
) ) )
8584eqcomd 2460 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( 2  x.  N ) )  =  ( ( 2  /  2 )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )
8642, 82dividd 10211 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  /  2 )  =  1 )
8786oveq1d 6210 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  /  2
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( 1  x.  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )
8878, 43, 83divcld 10213 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  e.  CC )
8988mulid2d 9510 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
9087, 89eqtrd 2493 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  /  2
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
9181, 85, 903eqtrd 2497 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( N  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  N )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
9257, 77, 913eqtrd 2497 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
9392fveq2d 5798 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( 1  +  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  / 
( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )
9441, 93breqtrd 4419 1  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   CCcc 9386   RRcr 9387   0cc0 9388   1c1 9389    + caddc 9391    x. cmul 9393    < clt 9524    <_ cle 9525    - cmin 9701   -ucneg 9702    / cdiv 10099   NNcn 10428   2c2 10477   NN0cn0 10685   RR+crp 11097    seqcseq 11918   ^cexp 11977   abscabs 12836    ~~> cli 13075   logclog 22134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-fi 7767  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-cda 8443  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-xneg 11195  df-xadd 11196  df-xmul 11197  df-ioo 11410  df-ioc 11411  df-ico 11412  df-icc 11413  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-fl 11754  df-mod 11821  df-seq 11919  df-exp 11978  df-fac 12164  df-bc 12191  df-hash 12216  df-shft 12669  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-limsup 13062  df-clim 13079  df-rlim 13080  df-sum 13277  df-ef 13466  df-sin 13468  df-cos 13469  df-tan 13470  df-pi 13471  df-dvds 13649  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-hom 14376  df-cco 14377  df-rest 14475  df-topn 14476  df-0g 14494  df-gsum 14495  df-topgen 14496  df-pt 14497  df-prds 14500  df-xrs 14554  df-qtop 14559  df-imas 14560  df-xps 14562  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-mnd 15529  df-submnd 15579  df-mulg 15662  df-cntz 15949  df-cmn 16395  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-met 17931  df-bl 17932  df-mopn 17933  df-fbas 17934  df-fg 17935  df-cnfld 17939  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-topsp 18634  df-cld 18750  df-ntr 18751  df-cls 18752  df-nei 18829  df-lp 18867  df-perf 18868  df-cn 18958  df-cnp 18959  df-haus 19046  df-cmp 19117  df-tx 19262  df-hmeo 19455  df-fil 19546  df-fm 19638  df-flim 19639  df-flf 19640  df-xms 20022  df-ms 20023  df-tms 20024  df-cncf 20581  df-limc 21469  df-dv 21470  df-ulm 21970  df-log 22136
This theorem is referenced by:  stirlinglem7  30018
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