Theorem stirlinglem6 30017

Description: A series that converges to log (N+1)/N (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
stirlinglem6.1	|- H = ( j e. NN0 |-> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem6	|- ( N e. NN -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) )

Distinct variable group:   j, N

Allowed substitution hint:   H( j)

Proof of Theorem stirlinglem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2452	. . 3 |- ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) )
2		eqid 2452	. . 3 |- ( j e. NN |-> ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) = ( j e. NN |-> ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) )
3		eqid 2452	. . 3 |- ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) + ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) + ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) )
4		stirlinglem6.1	. . 3 |- H = ( j e. NN0 |-> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) )
5		eqid 2452	. . 3 |- ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) = ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
6		2re 10497	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 2 e. RR )
8		nnre 10435	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. RR )
9	7, 8	remulcld 9520	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR )
10		0le2 10518	. . . . . . 7 |- 0 <_ 2
11	10	a1i 11	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 <_ 2 )
12		0re 9492	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 e. RR )
14		nngt0 10457	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 < N )
15	13, 8, 14	ltled 9628	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
16	7, 8, 11, 15	mulge0d 10022	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( 2 x. N ) )
17	9, 16	ge0p1rpd 11159	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR+ )
18	17	rpreccld 11143	. . 3 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR+ )
19		1re 9491	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
20	19	a1i 11	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 e. RR )
21	20	renegcld 9881	. . . . 5 |- ( N e. NN -> -u 1 e. RR )
22	18	rpred 11133	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR )
23		neg1lt0 10534	. . . . . 6 |- -u 1 < 0
24	23	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> -u 1 < 0 )
25	18	rpgt0d 11136	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 < ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
26	21, 13, 22, 24, 25	lttrd 9638	. . . 4 |- ( N e. NN -> -u 1 < ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
27		1rp 11101	. . . . . 6 |- 1 e. RR+
28	27	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 e. RR+ )
29		ax-1cn 9446	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
30	29	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 1 e. CC )
31	30	div1d 10205	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / 1 ) = 1 )
32		2rp 11102	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR+
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 e. RR+ )
34		nnrp 11106	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
35	33, 34	rpmulcld 11149	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
36	20, 35	ltaddrp2d 11163	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
37	31, 36	eqbrtrd 4415	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 / 1 ) < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
38	28, 17, 37	ltrec1d 11153	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) < 1 )
39	22, 20	absltd 13029	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( abs ` ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) < 1 <-> ( -u 1 < ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) /\ ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) < 1 ) ) )
40	26, 38, 39	mpbir2and 913	. . 3 |- ( N e. NN -> ( abs ` ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) < 1 )
41	1, 2, 3, 4, 5, 18, 40	stirlinglem5 30016	. 2 |- ( N e. NN -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( log ` ( ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) ) )
42		2cnd 10500	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
43		nncn 10436	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. CC )
44	42, 43	mulcld 9512	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. CC )
45	44, 30	addcld 9511	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. CC )
46	9, 20	readdcld 9519	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR )
47		2pos 10519	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> 0 < 2 )
49	7, 8, 48, 14	mulgt0d 9632	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 0 < ( 2 x. N ) )
50	9	ltp1d 10369	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
51	13, 9, 46, 49, 50	lttrd 9638	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
52	51	gt0ne0d 10010	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) =/= 0 )
53	45, 52	dividd 10211	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) = 1 )
54	53	eqcomd 2460	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
55	54	oveq1d 6210	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
56	54	oveq1d 6210	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
57	55, 56	oveq12d 6213	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) )
58	45, 30, 45, 52	divdird 10251	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
59	58	eqcomd 2460	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
60	45, 30, 45, 52	divsubdird 10252	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
61	60	eqcomd 2460	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
62	59, 61	oveq12d 6213	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
63	44, 30, 30	addassd 9514	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. N ) + ( 1 + 1 ) ) )
64		1p1e2 10541	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + 1 ) = 2
65	64	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 1 + 1 ) = 2 )
66	65	oveq2d 6211	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + ( 1 + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + 2 ) )
67	42	mulid1d 9509	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( 2 x. 1 ) = 2 )
68	67	eqcomd 2460	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 2 = ( 2 x. 1 ) )
69	68	oveq2d 6211	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 2 ) = ( ( 2 x. N ) + ( 2 x. 1 ) ) )
70	42, 43, 30	adddid 9516	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( N + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + ( 2 x. 1 ) ) )
71	69, 70	eqtr4d 2496	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 2 ) = ( 2 x. ( N + 1 ) ) )
72	63, 66, 71	3eqtrd 2497	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) = ( 2 x. ( N + 1 ) ) )
73	72	oveq1d 6210	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
74	44, 30	pncand 9826	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. N ) )
75	74	oveq1d 6210	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
76	73, 75	oveq12d 6213	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
77	62, 76	eqtrd 2493	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
78	43, 30	addcld 9511	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. CC )
79	42, 78	mulcld 9512	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( N + 1 ) ) e. CC )
80	49	gt0ne0d 10010	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) =/= 0 )
81	79, 44, 45, 80, 52	divcan7d 10241	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( 2 x. N ) ) )
82	48	gt0ne0d 10010	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 2 =/= 0 )
83	14	gt0ne0d 10010	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
84	42, 42, 78, 43, 82, 83	divmuldivd 10254	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( 2 / 2 ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( 2 x. N ) ) )
85	84	eqcomd 2460	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( 2 x. N ) ) = ( ( 2 / 2 ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) )
86	42, 82	dividd 10211	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 2 / 2 ) = 1 )
87	86	oveq1d 6210	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( 2 / 2 ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( 1 x. ( ( N + 1 ) / N ) ) )
88	78, 43, 83	divcld 10213	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) / N ) e. CC )
89	88	mulid2d 9510	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( N + 1 ) / N ) )
90	87, 89	eqtrd 2493	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 2 / 2 ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( N + 1 ) / N ) )
91	81, 85, 90	3eqtrd 2497	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) / N ) )
92	57, 77, 91	3eqtrd 2497	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) = ( ( N + 1 ) / N ) )
93	92	fveq2d 5798	. 2 |- ( N e. NN -> ( log ` ( ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) ) = ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) )
94	41, 93	breqtrd 4419	1 |- ( N e. NN -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1370   e. wcel 1758   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4453   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   CCcc 9386   RRcr 9387   0cc0 9388   1c1 9389   + caddc 9391   x. cmul 9393   < clt 9524   <_ cle 9525   - cmin 9701   -ucneg 9702   / cdiv 10099   NNcn 10428   2c2 10477   NN0cn0 10685   RR+crp 11097   seqcseq 11918   ^cexp 11977   abscabs 12836   ~~> cli 13075   logclog 22134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-fi 7767  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-cda 8443  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-xneg 11195  df-xadd 11196  df-xmul 11197  df-ioo 11410  df-ioc 11411  df-ico 11412  df-icc 11413  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-fl 11754  df-mod 11821  df-seq 11919  df-exp 11978  df-fac 12164  df-bc 12191  df-hash 12216  df-shft 12669  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-limsup 13062  df-clim 13079  df-rlim 13080  df-sum 13277  df-ef 13466  df-sin 13468  df-cos 13469  df-tan 13470  df-pi 13471  df-dvds 13649  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-hom 14376  df-cco 14377  df-rest 14475  df-topn 14476  df-0g 14494  df-gsum 14495  df-topgen 14496  df-pt 14497  df-prds 14500  df-xrs 14554  df-qtop 14559  df-imas 14560  df-xps 14562  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-mnd 15529  df-submnd 15579  df-mulg 15662  df-cntz 15949  df-cmn 16395  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-met 17931  df-bl 17932  df-mopn 17933  df-fbas 17934  df-fg 17935  df-cnfld 17939  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-topsp 18634  df-cld 18750  df-ntr 18751  df-cls 18752  df-nei 18829  df-lp 18867  df-perf 18868  df-cn 18958  df-cnp 18959  df-haus 19046  df-cmp 19117  df-tx 19262  df-hmeo 19455  df-fil 19546  df-fm 19638  df-flim 19639  df-flf 19640  df-xms 20022  df-ms 20023  df-tms 20024  df-cncf 20581  df-limc 21469  df-dv 21470  df-ulm 21970  df-log 22136

This theorem is referenced by:  stirlinglem7  30018