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Theorem stirlinglem6 31379
Description: A series that converges to log (N+1)/N (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
stirlinglem6.1  |-  H  =  ( j  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem6  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )
Distinct variable group:    j, N
Allowed substitution hint:    H( j)

Proof of Theorem stirlinglem6
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3  |-  ( j  e.  NN  |->  ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ j )  /  j ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ j )  /  j ) ) )
2 eqid 2467 . . 3  |-  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ j )  /  j ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ j )  / 
j ) )
3 eqid 2467 . . 3  |-  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  (
( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ j
)  /  j ) )  +  ( ( ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ j )  /  j ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  (
( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ j
)  /  j ) )  +  ( ( ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ j )  /  j ) ) )
4 stirlinglem6.1 . . 3  |-  H  =  ( j  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) ) )
5 eqid 2467 . . 3  |-  ( j  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  =  ( j  e. 
NN0  |->  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
6 2re 10601 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
8 nnre 10539 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
97, 8remulcld 9620 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
10 0le2 10622 . . . . . . 7  |-  0  <_  2
1110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  2 )
12 0re 9592 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
1312a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
14 nngt0 10561 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
1513, 8, 14ltled 9728 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
167, 8, 11, 15mulge0d 10125 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  N
) )
179, 16ge0p1rpd 11278 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  RR+ )
1817rpreccld 11262 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR+ )
19 1re 9591 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2019a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
2120renegcld 9982 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  e.  RR )
2218rpred 11252 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR )
23 neg1lt0 10638 . . . . . 6  |-  -u 1  <  0
2423a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  <  0 )
2518rpgt0d 11255 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )
2621, 13, 22, 24, 25lttrd 9738 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  <  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )
27 1rp 11220 . . . . . 6  |-  1  e.  RR+
2827a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR+ )
29 ax-1cn 9546 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
3029a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
3130div1d 10308 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  1 )  =  1 )
32 2rp 11221 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
3332a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
34 nnrp 11225 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
3533, 34rpmulcld 11268 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR+ )
3620, 35ltaddrp2d 11282 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
3731, 36eqbrtrd 4467 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  1 )  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
3828, 17, 37ltrec1d 11272 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <  1 )
3922, 20absltd 13217 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( abs `  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  <  1  <->  ( -u 1  <  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  /\  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  <  1 ) ) )
4026, 38, 39mpbir2and 920 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  <  1 )
411, 2, 3, 4, 5, 18, 40stirlinglem5 31378 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( log `  ( ( 1  +  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  /  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) ) ) )
42 2cnd 10604 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
43 nncn 10540 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
4442, 43mulcld 9612 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
4544, 30addcld 9611 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  CC )
469, 20readdcld 9619 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  RR )
47 2pos 10623 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  2 )
497, 8, 48, 14mulgt0d 9732 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( 2  x.  N
) )
509ltp1d 10472 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
5113, 9, 46, 49, 50lttrd 9738 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
5251gt0ne0d 10113 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  =/=  0 )
5345, 52dividd 10314 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  1 )
5453eqcomd 2475 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
5554oveq1d 6297 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  +  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
5654oveq1d 6297 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  -  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
5755, 56oveq12d 6300 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  +  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  / 
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  -  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) ) )
5845, 30, 45, 52divdird 10354 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  +  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
5958eqcomd 2475 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  +  1 )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
6045, 30, 45, 52divsubdird 10355 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  -  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
6160eqcomd 2475 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  -  1 )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
6259, 61oveq12d 6300 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  / 
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  - 
1 )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
6344, 30, 30addassd 9614 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 1  +  1 ) ) )
64 1p1e2 10645 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  1 )  =  2
6564a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  1 )  =  2 )
6665oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  2 ) )
6742mulid1d 9609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  =  2 )
6867eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  2  =  ( 2  x.  1 ) )
6968oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  2 )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
7042, 43, 30adddid 9616 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
7169, 70eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  2 )  =  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )
7263, 66, 713eqtrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  =  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )
7372oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
7444, 30pncand 9927 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  N ) )
7574oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
7673, 75oveq12d 6300 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  N )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
7762, 76eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  N )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
7843, 30addcld 9611 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
7942, 78mulcld 9612 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
8049gt0ne0d 10113 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  =/=  0 )
8179, 44, 45, 80, 52divcan7d 10344 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( N  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  N )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( 2  x.  N
) ) )
8248gt0ne0d 10113 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
8314gt0ne0d 10113 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
8442, 42, 78, 43, 82, 83divmuldivd 10357 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  /  2
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( 2  x.  N
) ) )
8584eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( 2  x.  N ) )  =  ( ( 2  /  2 )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )
8642, 82dividd 10314 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  /  2 )  =  1 )
8786oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  /  2
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( 1  x.  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )
8878, 43, 83divcld 10316 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  e.  CC )
8988mulid2d 9610 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
9087, 89eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  /  2
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
9181, 85, 903eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( N  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  N )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
9257, 77, 913eqtrd 2512 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
9392fveq2d 5868 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( 1  +  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  / 
( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )
9441, 93breqtrd 4471 1  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801   -ucneg 9802    / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   RR+crp 11216    seqcseq 12070   ^cexp 12129   abscabs 13024    ~~> cli 13263   logclog 22667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11960  df-seq 12071  df-exp 12130  df-fac 12316  df-bc 12343  df-hash 12368  df-shft 12857  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-limsup 13250  df-clim 13267  df-rlim 13268  df-sum 13465  df-ef 13658  df-sin 13660  df-cos 13661  df-tan 13662  df-pi 13663  df-dvds 13841  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-hom 14572  df-cco 14573  df-rest 14671  df-topn 14672  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-topgen 14692  df-pt 14693  df-prds 14696  df-xrs 14750  df-qtop 14755  df-imas 14756  df-xps 14758  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-mnd 15725  df-submnd 15775  df-mulg 15858  df-cntz 16147  df-cmn 16593  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-fbas 18184  df-fg 18185  df-cnfld 18189  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-topsp 19167  df-cld 19283  df-ntr 19284  df-cls 19285  df-nei 19362  df-lp 19400  df-perf 19401  df-cn 19491  df-cnp 19492  df-haus 19579  df-cmp 19650  df-tx 19795  df-hmeo 19988  df-fil 20079  df-fm 20171  df-flim 20172  df-flf 20173  df-xms 20555  df-ms 20556  df-tms 20557  df-cncf 21114  df-limc 22002  df-dv 22003  df-ulm 22503  df-log 22669
This theorem is referenced by:  stirlinglem7  31380
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