Theorem stirlinglem6 29799

Description: A series that converges to log (N+1)/N (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
stirlinglem6.1	|- H = ( j e. NN0 |-> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem6	|- ( N e. NN -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) )

Distinct variable group:   j, N

Allowed substitution hint:   H( j)

Proof of Theorem stirlinglem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2441	. . 3 |- ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) )
2		eqid 2441	. . 3 |- ( j e. NN |-> ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) = ( j e. NN |-> ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) )
3		eqid 2441	. . 3 |- ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) + ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) + ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) )
4		stirlinglem6.1	. . 3 |- H = ( j e. NN0 |-> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) )
5		eqid 2441	. . 3 |- ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) = ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
6		2re 10387	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 2 e. RR )
8		nnre 10325	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. RR )
9	7, 8	remulcld 9410	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR )
10		0le2 10408	. . . . . . 7 |- 0 <_ 2
11	10	a1i 11	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 <_ 2 )
12		0re 9382	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 e. RR )
14		nngt0 10347	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 < N )
15	13, 8, 14	ltled 9518	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
16	7, 8, 11, 15	mulge0d 9912	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( 2 x. N ) )
17	9, 16	ge0p1rpd 11049	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR+ )
18	17	rpreccld 11033	. . 3 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR+ )
19		1re 9381	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
20	19	a1i 11	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 e. RR )
21	20	renegcld 9771	. . . . 5 |- ( N e. NN -> -u 1 e. RR )
22	18	rpred 11023	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR )
23		neg1lt0 10424	. . . . . 6 |- -u 1 < 0
24	23	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> -u 1 < 0 )
25	18	rpgt0d 11026	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 < ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
26	21, 13, 22, 24, 25	lttrd 9528	. . . 4 |- ( N e. NN -> -u 1 < ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
27		1rp 10991	. . . . . 6 |- 1 e. RR+
28	27	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 e. RR+ )
29		ax-1cn 9336	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
30	29	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 1 e. CC )
31	30	div1d 10095	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / 1 ) = 1 )
32		2rp 10992	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR+
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 e. RR+ )
34		nnrp 10996	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
35	33, 34	rpmulcld 11039	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
36	20, 35	ltaddrp2d 11053	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
37	31, 36	eqbrtrd 4309	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 / 1 ) < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
38	28, 17, 37	ltrec1d 11043	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) < 1 )
39	22, 20	absltd 12912	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( abs ` ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) < 1 <-> ( -u 1 < ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) /\ ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) < 1 ) ) )
40	26, 38, 39	mpbir2and 908	. . 3 |- ( N e. NN -> ( abs ` ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) < 1 )
41	1, 2, 3, 4, 5, 18, 40	stirlinglem5 29798	. 2 |- ( N e. NN -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( log ` ( ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) ) )
42		2cnd 10390	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
43		nncn 10326	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. CC )
44	42, 43	mulcld 9402	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. CC )
45	44, 30	addcld 9401	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. CC )
46	9, 20	readdcld 9409	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR )
47		2pos 10409	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> 0 < 2 )
49	7, 8, 48, 14	mulgt0d 9522	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 0 < ( 2 x. N ) )
50	9	ltp1d 10259	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
51	13, 9, 46, 49, 50	lttrd 9528	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
52	51	gt0ne0d 9900	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) =/= 0 )
53	45, 52	dividd 10101	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) = 1 )
54	53	eqcomd 2446	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
55	54	oveq1d 6105	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
56	54	oveq1d 6105	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
57	55, 56	oveq12d 6108	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) )
58	45, 30, 45, 52	divdird 10141	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
59	58	eqcomd 2446	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
60	45, 30, 45, 52	divsubdird 10142	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
61	60	eqcomd 2446	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
62	59, 61	oveq12d 6108	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
63	44, 30, 30	addassd 9404	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. N ) + ( 1 + 1 ) ) )
64		1p1e2 10431	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + 1 ) = 2
65	64	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 1 + 1 ) = 2 )
66	65	oveq2d 6106	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + ( 1 + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + 2 ) )
67	42	mulid1d 9399	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( 2 x. 1 ) = 2 )
68	67	eqcomd 2446	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 2 = ( 2 x. 1 ) )
69	68	oveq2d 6106	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 2 ) = ( ( 2 x. N ) + ( 2 x. 1 ) ) )
70	42, 43, 30	adddid 9406	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( N + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + ( 2 x. 1 ) ) )
71	69, 70	eqtr4d 2476	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 2 ) = ( 2 x. ( N + 1 ) ) )
72	63, 66, 71	3eqtrd 2477	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) = ( 2 x. ( N + 1 ) ) )
73	72	oveq1d 6105	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
74	44, 30	pncand 9716	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. N ) )
75	74	oveq1d 6105	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
76	73, 75	oveq12d 6108	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
77	62, 76	eqtrd 2473	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
78	43, 30	addcld 9401	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. CC )
79	42, 78	mulcld 9402	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( N + 1 ) ) e. CC )
80	49	gt0ne0d 9900	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) =/= 0 )
81	79, 44, 45, 80, 52	divcan7d 10131	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( 2 x. N ) ) )
82	48	gt0ne0d 9900	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 2 =/= 0 )
83	14	gt0ne0d 9900	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
84	42, 42, 78, 43, 82, 83	divmuldivd 10144	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( 2 / 2 ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( 2 x. N ) ) )
85	84	eqcomd 2446	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( 2 x. N ) ) = ( ( 2 / 2 ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) )
86	42, 82	dividd 10101	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 2 / 2 ) = 1 )
87	86	oveq1d 6105	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( 2 / 2 ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( 1 x. ( ( N + 1 ) / N ) ) )
88	78, 43, 83	divcld 10103	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) / N ) e. CC )
89	88	mulid2d 9400	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( N + 1 ) / N ) )
90	87, 89	eqtrd 2473	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 2 / 2 ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( N + 1 ) / N ) )
91	81, 85, 90	3eqtrd 2477	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) / N ) )
92	57, 77, 91	3eqtrd 2477	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) = ( ( N + 1 ) / N ) )
93	92	fveq2d 5692	. 2 |- ( N e. NN -> ( log ` ( ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) ) = ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) )
94	41, 93	breqtrd 4313	1 |- ( N e. NN -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 1761   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   + caddc 9281   x. cmul 9283   < clt 9414   <_ cle 9415   - cmin 9591   -ucneg 9592   / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   RR+crp 10987   seqcseq 11802   ^cexp 11861   abscabs 12719   ~~> cli 12958   logclog 21965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-tan 13353  df-pi 13354  df-dvds 13532  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-ulm 21801  df-log 21967

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