Theorem stirlinglem6 32064

Description: A series that converges to log (N+1)/N (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
stirlinglem6.1	|- H = ( j e. NN0 |-> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem6	|- ( N e. NN -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) )

Distinct variable group:   j, N

Allowed substitution hint:   H( j)

Proof of Theorem stirlinglem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2457	. . 3 |- ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) )
2		eqid 2457	. . 3 |- ( j e. NN |-> ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) = ( j e. NN |-> ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) )
3		eqid 2457	. . 3 |- ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) + ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) + ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) )
4		stirlinglem6.1	. . 3 |- H = ( j e. NN0 |-> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) )
5		eqid 2457	. . 3 |- ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) = ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
6		2re 10626	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 2 e. RR )
8		nnre 10563	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. RR )
9	7, 8	remulcld 9641	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR )
10		0le2 10647	. . . . . . 7 |- 0 <_ 2
11	10	a1i 11	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 <_ 2 )
12		0red 9614	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 e. RR )
13		nngt0 10585	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 < N )
14	12, 8, 13	ltled 9750	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
15	7, 8, 11, 14	mulge0d 10150	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( 2 x. N ) )
16	9, 15	ge0p1rpd 11307	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR+ )
17	16	rpreccld 11291	. . 3 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR+ )
18		1red 9628	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 e. RR )
19	18	renegcld 10007	. . . . 5 |- ( N e. NN -> -u 1 e. RR )
20	17	rpred 11281	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR )
21		neg1lt0 10663	. . . . . 6 |- -u 1 < 0
22	21	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> -u 1 < 0 )
23	17	rpgt0d 11284	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 < ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
24	19, 12, 20, 22, 23	lttrd 9760	. . . 4 |- ( N e. NN -> -u 1 < ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
25		1rp 11249	. . . . . 6 |- 1 e. RR+
26	25	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 e. RR+ )
27		1cnd 9629	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 1 e. CC )
28	27	div1d 10333	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / 1 ) = 1 )
29		2rp 11250	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR+
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 e. RR+ )
31		nnrp 11254	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
32	30, 31	rpmulcld 11297	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
33	18, 32	ltaddrp2d 11311	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
34	28, 33	eqbrtrd 4476	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 / 1 ) < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
35	26, 16, 34	ltrec1d 11301	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) < 1 )
36	20, 18	absltd 13273	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( abs ` ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) < 1 <-> ( -u 1 < ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) /\ ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) < 1 ) ) )
37	24, 35, 36	mpbir2and 922	. . 3 |- ( N e. NN -> ( abs ` ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) < 1 )
38	1, 2, 3, 4, 5, 17, 37	stirlinglem5 32063	. 2 |- ( N e. NN -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( log ` ( ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) ) )
39		2cnd 10629	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
40		nncn 10564	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. CC )
41	39, 40	mulcld 9633	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. CC )
42	41, 27	addcld 9632	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. CC )
43	9, 18	readdcld 9640	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR )
44		2pos 10648	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> 0 < 2 )
46	7, 8, 45, 13	mulgt0d 9754	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 0 < ( 2 x. N ) )
47	9	ltp1d 10496	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
48	12, 9, 43, 46, 47	lttrd 9760	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
49	48	gt0ne0d 10138	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) =/= 0 )
50	42, 49	dividd 10339	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) = 1 )
51	50	eqcomd 2465	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
52	51	oveq1d 6311	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
53	51	oveq1d 6311	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
54	52, 53	oveq12d 6314	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) )
55	42, 27, 42, 49	divdird 10379	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
56	55	eqcomd 2465	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
57	42, 27, 42, 49	divsubdird 10380	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
58	57	eqcomd 2465	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
59	56, 58	oveq12d 6314	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
60	41, 27, 27	addassd 9635	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. N ) + ( 1 + 1 ) ) )
61		1p1e2 10670	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + 1 ) = 2
62	61	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 1 + 1 ) = 2 )
63	62	oveq2d 6312	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + ( 1 + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + 2 ) )
64	39	mulid1d 9630	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( 2 x. 1 ) = 2 )
65	64	eqcomd 2465	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 2 = ( 2 x. 1 ) )
66	65	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 2 ) = ( ( 2 x. N ) + ( 2 x. 1 ) ) )
67	39, 40, 27	adddid 9637	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( N + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + ( 2 x. 1 ) ) )
68	66, 67	eqtr4d 2501	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 2 ) = ( 2 x. ( N + 1 ) ) )
69	60, 63, 68	3eqtrd 2502	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) = ( 2 x. ( N + 1 ) ) )
70	69	oveq1d 6311	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
71	41, 27	pncand 9951	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. N ) )
72	71	oveq1d 6311	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
73	70, 72	oveq12d 6314	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
74	59, 73	eqtrd 2498	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
75	40, 27	addcld 9632	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. CC )
76	39, 75	mulcld 9633	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( N + 1 ) ) e. CC )
77	46	gt0ne0d 10138	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) =/= 0 )
78	76, 41, 42, 77, 49	divcan7d 10369	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( 2 x. N ) ) )
79	45	gt0ne0d 10138	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 2 =/= 0 )
80	13	gt0ne0d 10138	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
81	39, 39, 75, 40, 79, 80	divmuldivd 10382	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( 2 / 2 ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( 2 x. N ) ) )
82	81	eqcomd 2465	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( 2 x. N ) ) = ( ( 2 / 2 ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) )
83	39, 79	dividd 10339	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 2 / 2 ) = 1 )
84	83	oveq1d 6311	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( 2 / 2 ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( 1 x. ( ( N + 1 ) / N ) ) )
85	75, 40, 80	divcld 10341	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) / N ) e. CC )
86	85	mulid2d 9631	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( N + 1 ) / N ) )
87	84, 86	eqtrd 2498	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 2 / 2 ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( N + 1 ) / N ) )
88	78, 82, 87	3eqtrd 2502	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) / N ) )
89	54, 74, 88	3eqtrd 2502	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) = ( ( N + 1 ) / N ) )
90	89	fveq2d 5876	. 2 |- ( N e. NN -> ( log ` ( ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) ) = ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) )
91	38, 90	breqtrd 4480	1 |- ( N e. NN -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 1819   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   -ucneg 9825   / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   RR+crp 11245   seqcseq 12110   ^cexp 12169   abscabs 13079   ~~> cli 13319   logclog 23068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-tan 13819  df-pi 13820  df-dvds 13999  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-ulm 22898  df-log 23070

This theorem is referenced by:  stirlinglem7  32065