Theorem stirlinglem6 27695

Description: A series that converges to log (N+1)/N (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
stirlinglem6.1	|- H = ( j e. NN0 |-> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem6	|- ( N e. NN -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) )

Distinct variable group:   j, N

Allowed substitution hint:   H( j)

Proof of Theorem stirlinglem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2404	. . 3 |- ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) )
2		eqid 2404	. . 3 |- ( j e. NN |-> ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) = ( j e. NN |-> ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) )
3		eqid 2404	. . 3 |- ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) + ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) + ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) )
4		stirlinglem6.1	. . 3 |- H = ( j e. NN0 |-> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) )
5		eqid 2404	. . 3 |- ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) = ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
6		2re 10025	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 2 e. RR )
8		nnre 9963	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. RR )
9	7, 8	remulcld 9072	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR )
10		0re 9047	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
11		2pos 10038	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
12	10, 6, 11	ltleii 9152	. . . . . . 7 |- 0 <_ 2
13	12	a1i 11	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 <_ 2 )
14	10	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 e. RR )
15		nngt0 9985	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 < N )
16	14, 8, 15	ltled 9177	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
17	7, 8, 13, 16	mulge0d 9559	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( 2 x. N ) )
18	9, 17	ge0p1rpd 10630	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR+ )
19	18	rpreccld 10614	. . 3 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR+ )
20		1re 9046	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
21	20	a1i 11	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 e. RR )
22	21	renegcld 9420	. . . . 5 |- ( N e. NN -> -u 1 e. RR )
23	19	rpred 10604	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR )
24		0lt1 9506	. . . . . . 7 |- 0 < 1
25		lt0neg2 9491	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. RR -> ( 0 < 1 <-> -u 1 < 0 ) )
26	20, 25	ax-mp 8	. . . . . . 7 |- ( 0 < 1 <-> -u 1 < 0 )
27	24, 26	mpbi 200	. . . . . 6 |- -u 1 < 0
28	27	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> -u 1 < 0 )
29	19	rpgt0d 10607	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 < ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
30	22, 14, 23, 28, 29	lttrd 9187	. . . 4 |- ( N e. NN -> -u 1 < ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
31		1rp 10572	. . . . . 6 |- 1 e. RR+
32	31	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 e. RR+ )
33		ax-1cn 9004	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 1 e. CC )
35	34	div1d 9738	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / 1 ) = 1 )
36		2rp 10573	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR+
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 e. RR+ )
38		nnrp 10577	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
39	37, 38	rpmulcld 10620	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
40	21, 39	ltaddrp2d 10634	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
41	35, 40	eqbrtrd 4192	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 / 1 ) < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
42	32, 18, 41	ltrec1d 10624	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) < 1 )
43	23, 21	absltd 12187	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( abs ` ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) < 1 <-> ( -u 1 < ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) /\ ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) < 1 ) ) )
44	30, 42, 43	mpbir2and 889	. . 3 |- ( N e. NN -> ( abs ` ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) < 1 )
45	1, 2, 3, 4, 5, 19, 44	stirlinglem5 27694	. 2 |- ( N e. NN -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( log ` ( ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) ) )
46		2cn 10026	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
48		nncn 9964	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. CC )
49	47, 48	mulcld 9064	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. CC )
50	49, 34	addcld 9063	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. CC )
51	9, 21	readdcld 9071	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR )
52	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> 0 < 2 )
53	7, 8, 52, 15	mulgt0d 9181	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 0 < ( 2 x. N ) )
54	9	ltp1d 9897	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
55	14, 9, 51, 53, 54	lttrd 9187	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
56	55	gt0ne0d 9547	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) =/= 0 )
57	50, 56	dividd 9744	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) = 1 )
58	57	eqcomd 2409	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
59	58	oveq1d 6055	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
60	58	oveq1d 6055	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
61	59, 60	oveq12d 6058	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) )
62	50, 34, 50, 56	divdird 9784	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
63	62	eqcomd 2409	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
64	50, 34, 50, 56	divsubdird 9785	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
65	64	eqcomd 2409	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
66	63, 65	oveq12d 6058	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
67	49, 34, 34	addassd 9066	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. N ) + ( 1 + 1 ) ) )
68		1p1e2 10050	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + 1 ) = 2
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 1 + 1 ) = 2 )
70	69	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + ( 1 + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + 2 ) )
71	47	mulid1d 9061	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( 2 x. 1 ) = 2 )
72	71	eqcomd 2409	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 2 = ( 2 x. 1 ) )
73	72	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 2 ) = ( ( 2 x. N ) + ( 2 x. 1 ) ) )
74	47, 48, 34	adddid 9068	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( N + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + ( 2 x. 1 ) ) )
75	73, 74	eqtr4d 2439	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 2 ) = ( 2 x. ( N + 1 ) ) )
76	67, 70, 75	3eqtrd 2440	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) = ( 2 x. ( N + 1 ) ) )
77	76	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
78	49, 34	pncand 9368	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. N ) )
79	78	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
80	77, 79	oveq12d 6058	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
81	66, 80	eqtrd 2436	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
82	48, 34	addcld 9063	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. CC )
83	47, 82	mulcld 9064	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( N + 1 ) ) e. CC )
84	53	gt0ne0d 9547	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) =/= 0 )
85	83, 49, 50, 84, 56	divcan7d 9774	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( 2 x. N ) ) )
86	52	gt0ne0d 9547	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 2 =/= 0 )
87	15	gt0ne0d 9547	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
88	47, 47, 82, 48, 86, 87	divmuldivd 9787	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( 2 / 2 ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( 2 x. N ) ) )
89	88	eqcomd 2409	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( 2 x. N ) ) = ( ( 2 / 2 ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) )
90	47, 86	dividd 9744	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 2 / 2 ) = 1 )
91	90	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( 2 / 2 ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( 1 x. ( ( N + 1 ) / N ) ) )
92	82, 48, 87	divcld 9746	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) / N ) e. CC )
93	92	mulid2d 9062	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( N + 1 ) / N ) )
94	91, 93	eqtrd 2436	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 2 / 2 ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( N + 1 ) / N ) )
95	85, 89, 94	3eqtrd 2440	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) / N ) )
96	61, 81, 95	3eqtrd 2440	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) = ( ( N + 1 ) / N ) )
97	96	fveq2d 5691	. 2 |- ( N e. NN -> ( log ` ( ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) ) = ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) )
98	45, 97	breqtrd 4196	1 |- ( N e. NN -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   = wceq 1649   e. wcel 1721   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   -ucneg 9248   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   RR+crp 10568   seq cseq 11278   ^cexp 11337   abscabs 11994   ~~> cli 12233   logclog 20405

This theorem is referenced by:  stirlinglem7  27696

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-tan 12629  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-ulm 20246  df-log 20407